[理学]概率论与数理统计练习题含答案

第一章 随机事件及其概率

练习： 1. 判断正误

（1）必然事件在一次试验中一定发生，小概率事件在一次试验中一定不发生。（B ）

（2）事件的发生与否取决于它所包含的全部样本点是否同时出现。（B ）

（3）事件的对立与互不相容是等价的。（B ） （4）若()0,P A = 则A =?。（B ）

（5）()0.4,()0.5,()0.2P A P B P AB ===若则。 （B ） （6）A,B,C 三个事件至少发生两个可表示为AB BC AC ??（A ） （7）考察有两个孩子的家庭孩子的性别，

{()Ω=两个男孩（，两个女孩),(一个男孩，}一个女孩)，则P

{}1

=3

两个女孩。

（B ）

（8）若P(A)P(B)≤，则?A B 。（B ） （9）n 个事件若满足,,()()()

i j i j i j P A A P A P A ?=，则n 个事件相互

独立。（B ）

（10）只有当A B ?时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。（A ） 2. 选择题

（1）设A, B 两事件满足P(AB)=0，则?

A. A 与B 互斥

B. AB 是不可能事件

C. AB 未必是不可能事件

D. P(A)=0 或 P(B)=0 （2）设A, B 为两事件，则P(A-B)等于(C)

A. P(A)-P(B)

B. P(A)-P(B)+P(AB)

C. P(A)-P(AB)

D. P(A)+P(B)-P(AB) （3）以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为(D)

A. “甲种产品滞销，乙种产品畅销”

B. “甲乙两种产品均畅销”

C. “甲种产品滞销”

D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销”

（4）若A, B 为两随机事件，且B A ?，则下列式子正确的是(A) A. P(A ∪B)=P(A) B. P(AB)=P(A) C. P(B|A)=P(B) D. P(B-A)=P(B)-P(A) （5）设(),(),()P A B a P A b P B c ?===，则()P AB 等于(B)

A. ()a c c + B . 1a c +-

C.

a b c +- D. (1)b c -

（6）假设事件A 和B 满足P(B|A)=1, 则(B)

A. A 是必然事件 B . (|)0P B A = C. A B ? D. A B ? （7）设0

A. 事件A, B 互不相容

B. 事件A 和B 互相

对立

C. 事件A, B 互不独立 D . 事件A, B 互相独立

8.,,.,,.D ,,.,,.,,141

9.(),(),(),(),()375

14131433.,.,.,.,37351535105

A B A AB A B B AB A B C AB A B D AB A B P B A P B A P AB P A P B A B C φφφφ≠=≠====对于任意两个事件必有（C ）

若则一定独立；若则一定独立；若则有可能独立；若则一定不独立；

已知则的值分别为：(D)

三解答题

1.(),(),(),(),(),(),().

P A p P B q P AB r P A B P AB P A B P AB ===设求下列事件的概率：

解：由德摩根律有____

()()1()1;P A B P AB P AB r ?==-=-

()()()();P AB P B AB P B P AB q r =-=-=-

()()()()(1)()1;P A B P A P B P AB p q q r r p ?=+-=-+--=+-

________

()()1[()()()]1().P AB P A B P A P B P AB p q r =?=-+-=-+-

2.甲乙两人独立地对同一目标射击一次，命中率分别是0.6和0.5，现已知目标被命中，求它是甲射击命中的概率。

解：设事件A A B 甲乙表示甲命中，表示乙命中，表示目标被命中。

()()0.6

()=0.75()()0.6+0.5-0.60.5

()=()()()()P A B P A P A B P B P A A A B A B A P B P A A P A A P A P A =

==???=?=甲甲甲甲乙甲甲甲甲乙甲乙甲乙（因为，所以），

目标被命中只要甲乙至少有一个命中即可，所以甲乙独立射击，所以。

3.设一枚深水炸弹击沉一潜艇的概率为0.6，求释放4枚深水炸弹能击沉潜艇的概率。

解：4枚深水炸弹只要有一枚射中就有击沉潜艇的可能，所以 设B 表示潜艇被击沉，,1,2,3,4i A i =为第i 枚深水炸弹击沉潜艇。

_______________________

123412344

12341234()()1()1()1()()()()10.4

P B P A A A A P A A A A P A A A A P A P A P A P A =???=-???=-=-=-

4.某卫生机构的资料表明：患肺癌的人中吸烟的占90%，不患肺癌的人中吸烟的占20%。设患肺癌的人占人群的0.1%。求在吸烟的人中患肺癌的概率。

解：设A 表示吸烟，B 表示患肺癌。

已知条件为()90%,()20%,()0.1%.

()()()

()()()()()()

0.0010.9

0.0010.90.9990.2

P A B P A B P B P B P A B P AB P B A P A P B P A B P B P A B =====

+?=

?+? 5.设玻璃杯整箱出售，每箱20个，各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，经顾客开箱随机查看4只，若无残次品，则购买，否则不买，求 （1）顾客购买此箱玻璃杯的概率。

（2）在顾客购买的此箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率。

解：参考书上24页例4 第二章随机变量及其分布

练习题： 1判断正误：

（1） 概率函数与密度函数是同一个概念。（B ）

（2） 超几何分布在一定条件下可近似成二项分布。（A ）

（3）()P λ中的λ是一个常数，它的概率含义是均值。（A ） （3） ()()P a X b P a X b <<=≤≤。

（B ） （4） 若X 的密度函数为()f x =cos x ，则0(0)cos .P X tdt π

π<<=?（B ） 2选择题

（1） 若X 的概率函数为

(),0,1,2,a ....k

D P X k a k k A B C e e λλ

λλ

λ-===-则的值为（D ）

！

（2） 设在区间[],a b 上，X 的密度函数()sin f x x =，而在[],a b 之外，

()0f x =，则区间[],a b 等于：(A)

[]

3.0,.0,.,0.0,222A B C D ππππ??

????-????????

????

（3） 若(),()()X P m P X m λ~==当时最大？(A)

[]

[]

..1

..B C D A λλλλλ

-或

三解答题

（1） 已知一批产品共20个，其中有4个次品，按不放回与有放

回两种抽样方式抽取6个产品，求抽得的次品数的概率分布。 解：不放回抽样，次品数(4,6,20)X H ~

6416

6

20

(),0,1,2,3,4.k k

C C P X k k C -=== 放回抽样，次品数4(6,

)20

X B ~ 6614

()()(),0,1,2,3,4

20.55

k k k P X k C k -=== （2） 设X 的分布律是11(1),(1),2

2

P X P X =-===求它的分布函数。 解：

1,()0,()0;

1

11,()()(1);

2

1,()()(1)(1)1;0,0;1(),11

21, 1.

x P X x F x x F x P X x P X x F x P X x P X P X x F x x x <-<==-≤<=≤==-=≤=≤==-+==

=-≤

（3） 设连续型随机变量X 的分布函数为

0,0,()sin ,0,21,2

x F x A x x x ππ?

?

?

=≤≤??

?>??求（1）常数A 的值

（2）()6

P x π

<（3）X 的密度函数

解：由分布函数的右连续性，函数的右极限值等于函数值有

2

lim ()(),1sin , 1.22x F x F A A πππ

+

→

===所以所以

1()()()()sin 0.6

6

66662

P X P X F F π

π

π

πππ<

=-

<<

=--=-= cos ,0,()()20,.

x x f x F x π?

≤≤?

'==???其它

4设随机变量X 的概率密度函数为,12,

()0,Ax x f x ≤≤?=??

其他，求（1）常数A

（2）3

(1)2

P X -<< （3）X 的分布函数。 解：由密度函数性质有

2

2

21

1

21,21,.2

23

x A Axdx A

A A ==-

=∴=?

33

3

12

2221

-1-11321

5(1)()0.233

12

P X f x dx dx xdx x -<<==+==

??? 分布函数为：

221

-1

1()()0;

211112()()().33

33

2,() 1.

x

x x

x F x P X x x F x P X x f t dt tdt t x x F x ∞≤=<=<<=<====-≥=??

当时，当时，当时 5.电话站为300个电话用户服务，在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于0.01，求在一小时内恰有4个用户使用电话的概率：先用二项分布计算，再用泊松分布近似计算，并求相对误差。

解：443004

1300

(4)0.010.990.1689P x C -===，3000.013np λ==?=。 43

23(4)0.16804!

P x e -===

121

-0.53%P P R P ∣ ∣ =

=

第三章 随机变量的数字特征

练习 1判断正误：

（1）只要是随机变量，都能计算期望和方差。（B ）

（2）期望反映的是随机变量取值的中心位置，方差反映的是随机变量取值的分散程度。（A ）

（3）方差越小，随机变量取值越集中，方差越大越分散。（A ） （4）方差的实质是随机变量函数的期望。（A ）

（5）对于任意的X,Y ，都有,()EXY EXEY D X Y DX DY =-=-成立。（B ） （6）若,EX EY =则X Y =。（B ） 2选择题

(1) 对于X 与Y ，若EXY=EXEY ，则下列结论不正确的是（A ） A. X 与Y 相互独立 B. X 与Y 必不相关

C. D(X+Y)=DX+DY

D. cov(X,Y)=0 (2) ~(,), 2.4, 1.44,X B n p EX DX ==则,n p 的值为（B ） A. 4, 0.6 B. 6, 0.4 C. 8, 0.3 D. 24, 0.1

(3) 两个独立随机变量X 和Y 的方差分别为4和2，则3X-2Y 的方差是（D ）

A. 8

B. 16

C. 28

D. 44 (4) 若EX ，DX 存在，则E(DX)，D(EX)的值分别为（C ）

A. X, X

B. DX, EX

C. DX, 0

D. EX, DX 3解答题

（1）X 与Y 相互独立，且EX=EY=1，DX=DY=1，求2

E(X-Y)。

解：

222()()()()110 2.E X Y D X Y E X Y DX DY EX EY -=-+-=++-=++=

（2）设X 与Y 独立同分布，都服从参数为λ的泊松分布，设2,2U X Y V X Y =+=-

求U 与V 的相关系数ρ。 解：cov(,).U V EUV EUEV =-

22222()(2)(2)(4)4()()3().

E UV E X Y X Y E X Y DX E X DY E Y λλ=+-=-=+-+=+2(2)(2)(2)(2)3.EUEV E X Y E X Y λλλλλ=+-=+-= 22cov(,)3()33.U V EUV EUEV λλλλ=-=+-=

(2)45;(2)45.DU D X Y DX DY DV D X Y DX DY λλ=-=+==-=+=

3

.5

ρ=

==

（3）

1,0

~(1,2),0,0

1,0X X U Y X X -

-==??>?

求EY 及DY 。

解：1(1)0(0)1(1)1(0)1(0)EY P Y P Y P Y P X P X =-?=-+?=+?==-?<+?>

12111.333

=-?

+?= 2222218

(1)(0)1(0)().39

DY EY E Y P X P X =-=-?<+?>-=

（4）假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元，发生一次故障仍可获利润5万元；发生二次故障所获利润为0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元，求一周内期望利润是多少？ 解：设X 表示出故障的次数，Y 表示利润。

10,05,1~(5,0.2),0,22,35

X X X B Y X X =??=?

=?

=??-≤≤? 10(0)5(1)(2)[(3)(4)(5)]EY P X P X P X P X P X =?=+?=+-=+=++

0051143324415

5055555100.20.850.20.8(2)[0.20.80.20.80.20.8]EY C C C C C =?+?+-++

化简即可。

（5）汽车起点站分别于每小时的10分、30分和55分钟发车，若乘客不知发车的时间，在每小时的任一时刻随机到达车站，求乘客等候时间的数学期望。

解：设X 表示乘客的到达时间，则Y 表示等候时间，

10,01030,1030~[0,60],55,305570,5560

X X X X X U Y X X X X -≤≤??-<≤?

=?

-<≤??-<≤? 10

305560010305511115(10)(30)(55)(70)10

6060606012

EY x dx x dx x dx x dx =-?

+-?+-?+-?=????第四章 正态分布

练习题： 1． 判断题： （1） 若2(,),X

N μσ则2μσ，称为正态分布的两个参数，且

200.μσ≥>，（B ）

（2） 正态分布的密度函数是偶函数，其图象关于y 轴对称。（B ） （3） 正态分布密度函数的图象对称轴由μ决定，平坦度由2

σ决定。

（A ）

（4）

()()();P a X b b a <≤=Φ-Φ（B ） （5） 若(5,1),(5,1),X

N Y

N -则(0,2).X Y N +（B ）

2． 选择题：

（1）若两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布(0,1)N 和

(1,1)N ，则（ B ）。

1

1.(0);.(1);221

1.(0);.(1);2

2A P X Y B P X Y C P X Y B P X Y +≤=+≤=

-≤=-≤=

（2）已知2(,)X

N μσ，则随σ的增大，()P X μσ-<的值（ C ）。

.....A B C D 单调增加；单调减少；保持不变；

非单调变化

（3）在本门课程中，习惯上用u α表示标准正态分布的上侧α分位数，则()()u B αΦ=

.;

.1;

.1;.2

A B C D α

αα--

无法确定。

（4）若(0,1),X

N 且(),P X u αα>=则()().P X u B α

>=

..2.

.12

2A B C D α

α

α

α

-

3解答题 （1） 已知2(8,0.5),X

N 求

(9),(7.510),(81),(90.5).

P X P X P X P X ≤≤≤-≤-<

解：

98

(9)(9)(

)(2)0.9772,0.5

1087.58

(7.510)(10)(7.5)()()

0.50.5

(4)(1)(1)0.8413,81

(81)()2(2)10.9544,

0.50.5

(90.5)(0.590.5)(8.59.5)9.588.(

)(0.5P X F P X F F X P X P P X P X P X -≤==Φ=Φ=--≤≤=-=Φ-Φ=Φ-Φ-≈Φ=--≤=≤=Φ-=-<=-<-<=<<-=Φ-Φ58

)10.84130.1587.0.5

-≈-=

（2） 某地抽样调查考生的英语成绩（按百分制）计算，近似服从

正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，求考生的英语成绩在6084分之间的概率。

解：设X 表示考生的英语成绩，则2(72,)X N σ~，由已知有

(96)0.023,P X >=则(96)10.0230.977,P X ≤=-=

即72

9672

24

(

)(

)0.977,X P σ

σ

σ

--≤

=Φ=查正态分布表知

24

2,σ

=所以2.1σ=要求

607272

84

72(6084)()(1)(1)2(1)10.6826

1212

.12

X P X P ---<<=<<

=Φ

-Φ-=Φ-= 第五章

1. 判断正误。

（1） 总体是随机变量，样本也是随机变量，并且它们的概率分布

完全相同。（A ）

（2） 样本来自总体，样本与样本，样本与总体之间都是相互独立

的。（B ）

（3） 统计问题的核心是由样本估计总体，样本容量越大，估计越

准确。（A ）

（4） 统计量是样本的函数，但不是所有的统计量都是随机变量。

（B ）

（5） 样本均值与EX 是相等的。（B ） 2. 选择题。 （1）12

,n X X X 为来自总体2(,)N μσ的一个样本，μ已知，2σ未知，

则以下是统计量的是（A ）

2

1

.()n

i i A X X =-∑

2

1

2

().

n

i i X X B σ=-∑

21

2

.

n

i

i X

C σ

=∑

1

2

()

.

n

i

i X

X D σ=-∑

（2）12,n X X X 为来自总体N （0，1）的一个样本，2,X S 分别为

样本均值和样本方差，则以下不正确的是（ B ）

221.(0,);.

(1)1

.()

.(0,)

n

i i X

A nX N n

B t n S

C X n

D X N n

χ=~~-~~∑ （3） 下列统计量服从2()n χ分布的是：（D ）

2

2

1

2

2

2

2

22

1

1

1

2

2

1

()(1).

.

()(1)1.

,().

n

i

i n

i

n

i i i X

X n S

A B X

n S

C S X X

D n σ

σμσσ===----=-∑∑∑

（4）1210,X X X 和129,X X X 是分别来自总体(1,4)N 和(2,9)N 的样

本，2212,S S 分别是它们的样本方差，则常数()a C =时，统计量

2

122aS S 服从(9,8)F 分布。

394..2

..2

4

9A B C D

（5）若2(),X n χ~则2()()E X C =

22.3.2.2.A n B n

C n n

D n n ++

（6）12,n X X X 为来自总体2(,)N μσ的一个样本，X 为样本均值，

则()()P X C μσ-<

.. C.n D.A B σμ与有关；

与有关；

与有关；

为一常数

（7）设22(6),(5),X Y χχ~~且,X Y 相互独立，则

5()6X

D Y

~ 11..(5,6).

.(6,5)

(5,6)

(6,5)

A B F C D F F F

（8）设

21()(1),,

X

t n n Y X >=

则（C ）

22.().(1)

.(,1)

.(1,)AY n BY n C Y F n DY F n χχ~~-~~

（9）设(0,1),(0,1),X N Y N ~~则必有（C ）

2222222

2...A X Y B X Y C X Y X F Y

χχ++服从正态分布服从分布与都服从分布D.服从分布。

第六章 参数估计

1. 判断题

(1）参数的点估计适用于总体分布已知但参数未知的情形。A 2参数的点估计由不用的估计法得到的估计量完全相同。B 3同一参数的矩估计量优于极大似然估计量。B 4无偏估计量的函数未必是无偏估计量。A 5同一参数的矩估计量往往不唯一。A 6同一参数的两个估计量方差越小的越有效。B 2．选择题。

（1）若1，1，1，0，1，1是来自总体(1,)B p 的观察值，则p 的矩估计量是（D ）

3215 (5)

5

2

6

A B C D （2）12,n X X X 是来自总体X 的一个样本，

且2DX σ=，2,X S 分别是样本均值和样本方差，则必有（ D ）

2

22

....A S B S C X S D ES σσσ

=是的无偏估计量是的极大似然估计量与相互独立

（3）正态总体X 的方差2σ已知，为使总体均值的置信度为1α-的置信区间长度不大于L ，则样本容量n 应取（ D ）

22

22

2

2

22

2

2

2

2

2

2

44....u u u u A n B n C n D n L L L

L

αααασσσ

σ≥

≥

≤

≥

（4） 总体X 服从(0,)θ上的均匀分布，0θ>未知，12

,n X X X 是来

自总体X 的一个样本，则θ的矩估计量为：（B ）

12

12

..2.min{,}

.max{,}n n A X

B X

C X X X

D X X X

（5） 总体X 的分布律为(),0,1,2

!

x e P X x x x λ

λ-==

=，而1，2，5，7，

8是来自X 的观察值，则λ的最大似然估计值为（ C ）

23

.4

.5

..35

A B C D

（6）123,,X X X 是来自总体X 的一个样本，2DX σ=，则以下无偏估计量中（ B ）最有效。

123

123123

123

3121

..()5553

111111..632

442

A X X X

B X X X

C X X X

D X X X ++++++++

3.解答题

（1）12,n X X X 是来自总体X 的一个样本，其中总体有密度

2

2

(),0,

(,)0,x x f x θθθθ?-<

（i ）求未知参数的矩估计量 （ii ）判断矩估计量的无偏性 （iii ）计算估计量的方差

解：(i)先求总体的一阶原点矩即数学期望

2

3

00

2

2

220

2

2

2

22().23

3==33

x x EX x x dx x dx x xdx EX X X X θ

θ

θ

θ

θθ

θθθ

θ

θθθθ

θ=?

-=?-?=?-?=

=???令即，得。

（ii ）(3)3()3()33

E E X E X E X θ

θθ====?=，

所以该估计量是无偏估计量。 （iii ）估计量的方差

2

22

2

2

2

2

2()();

318

()(3)9()9.

2DX EX E X x x dx DX D D X D X n n

θ

θ

θθθθ

θ=-=?

--====?=? （2）设总体X 的概率密度为(1),01;

()0,x x f x θθ?+<<=??其他

其中-1θ>是未知

参数，分别用矩估计法和极大似然估计法求θ得估计量。 解：矩估计法求解，先求总体期望

2

1

1

1

1

001

(1)(1)(1),2

2121

=21x EX x x dx x dx X EX X X X

θθ

θθθθθθθθθθ+++=?+=+=+?

=

+++-==+-??令即，得。

极大似然估计法：先写似然函数

1

1

11

1

1

1

()(1),01,()(1)(),

ln ()[ln(1)()]ln(1)ln()ln(1)ln 0

ln ()ln 0,1= 1.

ln n n

n

i i i i i n

n

n

n

i i i i n

i

i n

i i n i

i L x x L x L x x n x d L n

x d n

X θ

θθθ

θθθθθθθθθθθθθ========+<<=+=+=++=++=+=+--∏∏∏∏∑∑∑化简求对数似然函数

求导并令导数为解得

（3）证明：在所有的无偏估计量1

1

(1)n n

i i i i i C X C μΛ

====∑∑其中中，样本

均值是最有效的。（此题不用掌握） 证明：利用柯西-许瓦兹不等式有

2

2

2

2

2

21

1

1

1

1

1

222211

1

1()(1)1,11

,()(),

n

n

n

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DX D C X C n n X σσσ==========?

=?=>?∑∑∑∑∑∑∑∑即而所以最有效。

（4）设1DX =，根据来自总体X 的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5，求X 的数学期望的置信度为0.95的置信区间。 解：显然此题是在已知总体X 的方差条件下求总体期望的95%置信区间。故用公式160页的

6.19

00.050.0252

2

=1===1.96100,

1.96 1.96

55(4.804,5.196).

1010

X X u u u n αμσμ∈+

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概率论与数理统计期末复习资料(学生)

概率论与数理统计期末复习资料 一 填空 1．设A ，B 为两个随机事件，若A 发生必然导致B 发生，且P (A )=0.6，则P (AB ) =______． 2．设随机事件A 与B 相互独立，且P (A )=0.7，P (A -B )=0.3，则P (B ) = ______． 3．己知10件产品中有2件次品，从该产品中任意取3件，则恰好取到一件次品的概率等于______． 4．已知某地区的人群吸烟的概率是0.2，不吸烟的概率是0.8，若吸烟使人患某种疾病的概率为0.008，不吸烟使人患该种疾病的概率是0.001，则该人群患这种疾病的概率等于______． 5．设连续型随机变量X 的概率密度为? ??≤≤=,,0; 10,1)(其他x x f 则当10≤≤x 时，X 的分布函数F (x )= ______． 6．设随机变量X ～N (1，32 )，则P{-2≤ X ≤4}=______．(附：)1(Φ=0.8413) 7．设二维随机变量(X ，Y )的分布律为 则P {X <1,Y 2≤}=______． 8．设随机变量X 的期望E (X )=2，方差D (X )=4，随机变量Y 的期望E (Y )=4，方差D (Y )=9，又E (XY )=10，则X ，Y 的相关系数ρ= ______． 9．设随机变量X 服从二项分布)3 1,3(B ，则E (X 2 )= ______． 10．中心极限定理证明了在很一般条件下，无论随机变量Xi 服从什么分布，当n →∞时，∑=n i i X 1 的极限分布是 _________________ 11．设总体X ～N (1，4)，x 1，x 2，…，x 10为来自该总体的样本，∑== 10 110 1 i i x x ，则)(x D = ______.· 12．设总体X ～N (0，1)，x 1，x 2，…，x 5为来自该总体的样本，则 ∑=5 1 2i i x 服从自由度为______ 的2χ分布． 15．对假设检验问题H 0：μ=μ0，H 1：μ≠μ0，若给定显著水平0.05，则该检验犯第一类错误的概率为______． 16．设A ，B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P （A ）=0.3，P （B ）=0.4，则P （A B ）=__________. 17．盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的 概率为_________. 18．设随机变量X 的概率密度?? ???≤≤=,,0; 10 ,A )(2其他x x x f 则常数A=_________.

数三概率论与数理统计教学大纲

数三《概率论与数理统计》教学大纲 教材：四川大学数学学院邹述超、何腊梅：《概率论与数理统计》，高等教育出版社出，2002年8月。 参考书：袁荫棠：《概率论与数理统计》（修订本），中国人民大学出版社。 四川大学数学学院概率统计教研室：《概率论与数理统计学习指导》 总学时：60学时，其中：讲课50学时，习题课10学时。 学分：3学分。 说明： 1.生源结构：数三的学生是由高考文科生和一部分高考理科生构成。有些专业全是文科生或含极少部分理科生（如：旅游管理，行政管理），有些专业约占1/4～1/3的理科生（国贸，财政学，经济学），有些专业全是理科生（如：国民经济管理，金融学）。 2.高中已讲的内容：高中文、理科都讲了随机事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率，即教材第一章除条件概率以及有关的内容以外，其余内容高中都讲了。高中理科已讲离散型随机变量的概率分布（包括二项分布、几何分布）和离散型随机变量的期望与方差，统计基本概念、频率直方图、正态分布、线性回归。而高中文科则只讲了一点统计基本概念、频率直方图、样本均值和样本方差的简单计算。 3.基本要求：学生的数学基础差异大，不同专业学生对数学课重视程度的差异大，这就给讲授这门课带来一定的难度，但要尽量做到“分层次”培养学生。高中没学过的内容要重点讲解，学过的内容也要适当复习或适当增加深度。讲课时，既要照顾数学基础差的学生，多举基本例子，使他们掌握大纲要求的基本概念和方法；也要照顾数学基础好的学生，使他们会做一些综合题以及简单证明题。因为有些专业还要开设相关的后继课程（如：计量经济学），将用到较多的概率统计知识；还有一部分学生要考研，数三的概率考研题往往比数一的难。 该教材每一章的前几节是讲述基本概念和方法，习题(A)是针对基本方法的训练而编写的，因此，这一部分内容须重点讲解，并要求学生必须掌握；每一章的最后一节是综合例题，习题(B)具有一定的综合性和难度，可以选讲部分例题，数学基础好的学生可选做(B)题。 建议各章学时分配(+号后面的是习题课学时)： 第一章随机事件及其概率 一、基本内容 随机事件的概念及运算。概率的统计定义、古典定义及公理化定义。概率的基本性质、加法公式、条件概率与乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式。事件的独立性，独立随机试验、

《概率论与数理统计》期末考试试题及解答

一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故

概率论与数理统计期末总结

第1章 概率论的基本概念 1.1 随机试验 称满足以下三个条件的试验为随机试验： （1）在相同条件下可以重复进行； （2）每次试验的结果不止一个，并且能事先明确所有的可能结果； （3）进行试验之前，不能确定哪个结果出现。 1.2 样本点 样本空间 随机事件 随机试验的每一个可能结果称为一个样本点，也称为基本事件。 样本点的全体所构成的集合称为样本空间，也称为必然事件。必然事件在每次试验中必然发生。 随机试验的样本空间不一定唯一。在同一试验中，试验的目的不同时，样本 空间往往是不同的。所以应从试验的目的出发确定样本空间。 样本空间的子集称为随机事件，简称事件。 在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。 1.3 事件的关系及运算 （1）包含关系 B A ?，即事件A 发生，导致事件B 发生； （2）相等关系 B A =，即B A ?且A B ?； （3）和事件（也叫并事件） B A C ?=，即事件A 与事件B 至少有一个发生； （4）积事件（也叫交事件） B A AB C ?==，即事件A 与事件B 同时发生； （5）差事件 AB A B A C -=-=，即事件A 发生，同时，事件B 不发生； （6）互斥事件（也叫互不相容事件） A 、 B 满足φ=AB ，即事件A 与事件B 不同时发生； （7）对立事件（也叫逆事件） A A -Ω=，即φ=Ω=?A A A A ,。

1.4 事件的运算律 （1）交换律 BA AB A B B A =?=?,； （2）结合律 ()()()()C AB BC A C B A C B A =??=??,； （3）分配律 ()()()()()()C A B A BC A AC AB C B A ??=??=?,； （4）幂等律 A AA A A A ==?, ； （5）差化积 B A AB A B A =-=-； （6）反演律（也叫德·摩根律）B A AB B A B A B A B A ?==?=?=?,。 1.5 概率的公理化定义 设E 是随机试验，Ω为样本空间，对于Ω中的每一个事件A ，赋予一个实数P （A ），称之为A 的概率，P （A ）满足： （1）1)(0≤≤A P ； （2）1)(=ΩP ； （3）若事件 ，，， ，n A A A 21两两互不相容，则有 () ++++=????)()()(2121n n A P A P A P A A A P 。 1.6 概率的性质 （1）0)(=φP ； （2）若事件n A A A ，， ， 21两两不互相容，则())()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=??? ； （3）)(1)(A P A P -=； （4）)()()(AB P B P A B P -=-。 特别地，若B A ?，则)()(),()()(B P A P A P B P A B P ≤-=-； （5）)()()()(AB P B P A P B A P -+=?。

概率论与数理统计知识点总结(详细)

《概率论与数理统计》 第一章概率论的基本概念 (2) §2．样本空间、随机事件..................................... 2.. §4 等可能概型（古典概型）................................... 3.. §5．条件概率.............................................................. 4.. . §6．独立性.............................................................. 4.. . 第二章随机变量及其分布 (5) §1随机变量.............................................................. 5.. . §2 离散性随机变量及其分布律................................. 5..§3 随机变量的分布函数....................................... 6..§4 连续性随机变量及其概率密度............................... 6..§5 随机变量的函数的分布..................................... 7..第三章多维随机变量. (7) §1 二维随机变量............................................ 7...§2边缘分布................................................ 8...§3条件分布................................................ 8...§4 相互独立的随机变量....................................... 9..§5 两个随机变量的函数的分布................................. 9..第四章随机变量的数字特征.. (10)

(完整word版)概率论与数理统计期末试卷及答案

一、选 择 题 (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分) (1)设A 、B 互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则必有( ) (A)0)(>A B P (B))()(A P B A P = (C)0)(=B A P (D))()()(B P A P AB P = (2)将3粒黄豆随机地放入4个杯子，则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（ ） 3311() () () ()32 8 168 A B C D (3)),4,(~2 μN X ),5,(~2 μN Y }5{},4{21+≥=-≤=μμY P p X P p ，则( ) (A)对任意实数21,p p =μ （B ）对任意实数21,p p <μ (C)只对μ的个别值，才有21p p = （D ）对任意实数μ，都有21p p > (4)设随机变量X 的密度函数为)(x f ，且),()(x f x f =-)(x F 是X 的分布函数，则对任意 实数a 成立的是( ) （A ）? - =-a dx x f a F 0 )(1)( （B ）?-= -a dx x f a F 0 )(21)( （C ）)()(a F a F =- （D ）1)(2)(-=-a F a F (5)已知1250,,,X X X L 为来自总体()2,4X N :的样本，记50 11,50i i X X ==∑ 则 50 21 1()4i i X X =-∑服从分布为( ) （A ）4(2, )50N (B) 2 (,4)50 N （C ）()250χ (D) ()249χ 二、填 空 题 (本大题5小题, 每小题4分, 共20分) (1) 4.0)(=A P ,3.0)(=B P ,4.0)(=?B A P ,则___________)(=B A P (2) 设随机变量X 有密度? ??<<=其它01 0,4)(3x x x f , 则使)()(a X P a X P <=> 的常数a = (3) 设随机变量),2(~2 σN X ，若3.0}40{=<

概率论与数理统计课程教学大纲

概率论与数理统计课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称：概率论与数理统计 所属专业：物理学 课程性质：必修 学分：3 （二）课程简介、目标与任务； 《概率论与数理统计》是研究随机现象规律性的一门学科；它有着深刻的实际背景，在自然科学、社会科学、工程技术、军事和工农业生产等领域中有广泛的应用。通过本课程的学习，使学生掌握概率与数理统计的基本概念，并在一定程度上掌握概率论认识问题、解决问题的方法。同时这门课程的学习对培养学生的逻辑思维能力、分析解决问题能力也会起到一定的作用。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接； 先修课程：高等数学。后续相关课程：统计物理。《概率论与数理统计》需要用到高等数学中的微积分、级数、极限等数学知识与计算方法。它又为统计物理、量子力学等课程提供了数学基础，起了重要作用。 （四）教材与主要参考书。 教材： 同济大学数学系编，工程数学–概率统计简明教程（第二版），高等教 育出版社，2012. 主要参考书： 1.浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编，概率论与数理统计（第四版）， 高等教育出版社，2008. 2.J.L. Devore, Probability and Statistics(fifth ed.)概率论与数 理统计（第5版）影印版，高等教育出版社，2004. 二、课程内容与安排 第一章随机事件 1.1 样本空间和随机事件； 1.2 事件关系和运算。

第二章事件的概率 2.1概率的概念；2.2 古典概型；2.3几何概型；2.4 概率的公理化定义。第三章条件概率与事件的独立性 3.1 条件概率； 3.2 全概率公式； 3.3贝叶斯公式；3.4 事件的独立性； 3.5 伯努利试验和二项概率。 第四章随机变量及其分布 4.1 随机变量及分布函数；4.2离散型随机变量；4.3连续型随机变量。 第五章二维随机变量及其分布 5.1 二维随机变量及分布函数；5.2 二维离散型随机变量；5.3 二维连续随机变量；5.4 边缘分布； 5.5随机变量的独立性。 第六章随机变量的函数及其分布 6.1 一维随机变量的函数及其分布；6.2 多元随机变量的函数的分布。 第七章随机变量的数字特征 7.1数学期望与中位数； 7.2 方差和标准差； 7.3协方差和相关系数； *7.4大数律； 7.5中心极限定理。 第八章统计量和抽样分布 8.1统计与统计学；8.2统计量；8.3抽样分布。 第九章点估计

(完整版)概率论与数理统计课程标准

《概率论与数理统计》课程标准 一、课程概述 （一）课程定位 《概率论与数理统计》(Probability Theory and Mathematical Statistics)，由概率论和数理统计两部分组成。它是研究随机现象并找出其统计规律的一门学科，是广泛应用于社会、经济、科学等各个领域的定量和定性分析的科学体系。从学科性质讲，它是一门基础性学科，它为建筑专业学生后继专业课程的学习提供方法论的指导。 （二）先修后续课程 《概率论与数理统计》的先修课程为《高等数学》、《线性代数》等，这些课程为本课程的学习奠定了理论基础。 《概率论与数理统计》的后续课程为《混凝土结构设计》、《地基与基础》等课程。通过该课程的学习可为这些课程中的模型建立等内容的知识学习奠定良好的基础,在教学中起到了承上启下的作用。 二.课程设计思路 本课程的基本设计思路是极力用较为通俗的语言阐释概率论的基本理论和数理统计思想方法;理论和方法相结合，以强调数理统计理论的应用价值。总之,强调理论与实际应用相结合的特点,力求在实际应用方面做些有益的探索，也为其它学科的

进一步学习打下一个良好的基础。 三、课程目标 《概率论与数理统计》是一门几乎遍及所有的科学技术领域以及工农业生产和国民经济各部门之中。通过学习该课程使学生掌握概率、统计的基本概念，熟悉数据处理、数据分析、数据推断的各种基本方法，并能用所掌握的方法具体解决工程实践中所遇到的各种问题。 （一）能力目标 力求在简洁的基础上使学生能从整体上了解和掌握该课程的内容体系，使学生能够在实际工作中、其它学科的学习中能灵活、自如地应用这些理论。 （二）知识目标 1.理解掌握概率论中的相关概念和公式定理； 2.学会应用概率论的知识解决一些基本的概率计算； 3.理解数理统计的基本思想和解决实际问题的方法。 （三）素质目标 1.培养学生乐于观察、分析、不断创新的精神； 2.培养具有较好的逻辑思维、较强的计划、组织和协调能力； 3.培养具有认真、细致严谨的职业能力。 四、课程内容 根据能力培养目标的要求，本课程的主要内容是随机事件、随机变量、随机向量、数字特征、极限定理。具体内容和学时分配见表4-1。 表4-1 课程内容和学时分配

概率论与数理统计期末考试卷答案

《概率论与数理统计》 试卷A （考试时间：90分钟； 考试形式：闭卷） （注意：请将答案填写在答题专用纸上，并注明题号。答案填写在试卷和草稿纸上无效） 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分) 1、A ，B 为二事件，则A B = U () A 、A B B 、A B C 、A B D 、A B U 2、设A ，B ，C 表示三个事件，则A B C 表示( ) A 、A ， B ， C 中有一个发生 B 、A ，B ，C 中恰有两个发生 C 、A ，B ，C 中不多于一个发生 D 、A ，B ，C 都不发生 3、A 、B 为两事件，若()0.8P A B =U ，()0.2P A =，()0.4P B =， 则( )成立 A 、()0.32P A B = B 、()0.2P A B = C 、()0.4P B A -= D 、()0.48P B A = 4、设A ，B 为任二事件，则( ) A 、()()()P A B P A P B -=- B 、()()()P A B P A P B =+U C 、()()()P AB P A P B = D 、()()()P A P AB P AB =+ 5、设事件A 与B 相互独立，则下列说法错误的是() A 、A 与 B 独立 B 、A 与B 独立 C 、()()()P AB P A P B = D 、A 与B 一定互斥 6、设离散型随机变量X 的分布列为 其分布函数为()F x ，则(3)F =() A 、0 B 、0.3 C 、0.8 D 、1 7、设离散型随机变量X 的密度函数为4,[0,1] ()0, cx x f x ?∈=??其它 ，则常数c = () A 、 15 B 、1 4 C 、4 D 、5

《概率论与数理统计》课程教学大纲

《概率论与数理统计》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程编号：450006 课程名称：概率论与数理统计 课程类别：公共基础课（必修） 学时学分：理论48学时/3学分 适用专业：计算机、自动化、经管各专业 开课学期：第一学期 先修课程：高等数学 后续课程： 执笔人： 审核人： 制（修）订时间：2015.9 二、课程性质与任务 概率论与数理统计是研究随机现象客观规律性的数学学科，是高等学校理、工、管理类本科各专业的一门重要的基础理论课。通过本课程的教学，应使学生掌握概率论与数理统计的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理随机事件的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。 三、课程教学基本要求 本课程以课堂讲授为主，致力于讲清楚基本的概率统计思想，使学生掌握基本的概率、统计计算方法。注意培养基本运算能力、分析问题和解决实际问题的能力。讲授中运用实例来说明本课程应用的广泛性和重要性。每节课布置适量的习题以巩固所学知识，使学生能够运用概率统计思想和方法解决一些实际问题。 四、课程教学内容及各教学环节要求 （一）概率论的基本概念

1、教学目的 理解随机现象、样本空间、随机事件、概率等概念，掌握事件的关系与运算，掌握古典概犁及其计算、条件概率的计算、全概率公式和贝叶斯公式的应用。 2、教学重点与难点 （1）教学重点 ① 概率、条件概率与独立性的概念； ② 加法公式；乘法公式；全概率公式；贝叶斯公式。 （2）教学难点 ① 古典概型的有关计算；② 全概率公式的应用； ③ 贝叶斯公式的应用。 3、教学方法 采用传统教学方式，以课堂讲授为主，课堂讨论、多媒体演示、课下辅导等为辅的教学方法。加强互动教学，学生对课程的某一学术问题通过检索资料、实际调查来提高自学能力和实践应用能力。 4、教学要求 （1）理解随机试验、样本空间、随机事件等基本概念；熟练掌握事件的关系及运算 （2）理解频率和概率定义；熟练掌握概率的基本性质 （3）理解等可能概型的定义性质；,会计算等可能概型的概率 （4）理解条件概率的定义；熟练掌握加法公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式（5）理解事件独立性概念,掌握应用独立性进行概率计算 （二）随机变量及其分布 1、教学目的 了解随机变量的概念；理解离散型随机变量的分布律和连续型随机变量的概率密度的概念及性质，会利用性质确定分布律和概率密度；理解分布函数的概念及性质，会利用此概念和性质确定分布函数，会利用概率分布计算有关事件的概率；掌握正态分布、均匀分布、指数分布、0-1分布、二项分布、泊松分布，会求简单的随机变量函数的分布 2、教学重点与难点 （1）教学重点 ① 随机变量及其概率分布的概念； ② 离散型随机变量分布律的求法；

概率论与数理统计学习地总结

概率论与数理统计 学习报告 学院 学号： 姓名：

概率论与数理统计学习报告 通过短短一学期的学习，虽然学习、研究地并不深入，但该课程的每一处内容都有不同的奇妙吸引着我，让我对它在生活中饰演的角色充满遐想；它将我带入了一个由随机变量为桥梁，通过表面偶然性找出其内在规律性，从而与其它的数学分支建立联系的世界，让我对这种进行大量的随机重复实验，通过分析研究得出统计规律性的过程产生了极大地兴趣。我很喜欢这门课程，但也不得不说课后在它上面花的时间并不多，因此学得还不深入，但它真的深深地吸引了我，我一定会找时间进一步深入地学习它。 先简单地介绍一下概率论与数理统计这门学科。 概率论是基于给出随机现象的数学模型，并用数学语言来描述它们，然后研究其基本规律，透过表面的偶然性，找出其内在的规律性，建立随机现象与数学其他分支的桥梁，使得人们可以利用已成熟的数学工具和方法来研究随机现象，进而也为其他数学分支和其他新兴学科提供了解决问题的新思路和新方法。数理统计是以概率论为基础，基于有效的观测、收集、整理、分析带有随机性的数据来研究随机现象，进而对所观察的问题作出推断和预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议。 概率论与数理统计是研究随机现象及其规律性的一门数学学科。研究随机现象的规律性有其独特的思想方法，它不是寻求出现每一现象的一切物理因素，不能用研究确定性现象的方法研究随机现象，而是承认在所研究的问题中存在一些人们不能认识或者根本不知道的

随机因素作用下，发生随机现象。这样，人们既可以通过试验来观察随机现象，揭示其规律性，作出决策，也可根据实际问题的具体情况找出随机现象的规律，作出决策。 至今，概率论与数理统计的理论与方法已经广泛应用于自然科学、社会科学以及人文科学等各个领域中，并随着计算机的普及，概率论与数理统计已成为处理信息、制定决策的重要理论和方法。它们不仅是许多新兴学科，如信息论、控制论、排队论、可靠性论以及人工智能的数学理论基础，而且与其他领域的新兴学科的相互交叉而产生了许多新的分支和边缘学科，如生物统计、统计物理、数理金融、神经网络统计分析、统计计算等。 概率论应用随机变量与随机变量的概率分布、数字特征及特征函数为数学工具对随机现象进行描述、分析与研究，其前提条件是假设随机变量的概率分布是已知的；而数理统计中作为研究对象的随机变量的概率分布是完全未知的，或者分布类型已知，但其中的某些参数或某些数字特征是未知的。概率论研究问题的方法是从假设、命题、已知的随机现象的事实出发，按一定的逻辑推理得到结论，在方法上是演绎式的。而统计学的方法是归纳式的，从所研究地对象的全体中随机抽取一部分进行试验或观测，以获得试验数据，依据试验数据所获取的信息，对整体进行推断，是归纳而得到结论的。因此掌握它特有的学习方法是很重要的。 在学习的过程中，不论是老师提出的一些希望我们课后讨论的问题还是自己在做作业看书过程中遇到的一些问题都引发了我的一些

《概率论与数理统计》课程重点与难点要记

《概率论与数理统计》课程重点与难点要记 第一章：随机事件及其概率 题型一：古典概型 1．房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码，求最小号码为5的概率，及最大号码是5的概率。 2．设袋中有5个白球，3个黑球，从袋中随机摸取4个球，分别求出下列事件的概率： 1）采用有放回的方式摸球，则四球中至少有1个白球的概率； 2）采用无放回的方式摸球，则四球中有1个白球的概率。 3．一盒子中有10件产品，其中4件次品，每次随机地取一只进行检验， 1）求第二次检验到次品的概率； 2）求第二才次检验到次品的概率。 4．在1－2000的整数中随机的取一个数，问取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除 的概率是多少？（合理的设置事件，通过概率的性质解题也很重要） 课后习题：P16：2，3，4，5， 7，9，10，11，12，13，14 P30：8，9，10，16 题型二：利用条件概率、乘法公式及事件的独立性计算事件的概率 1。3人独立去破译一个密码，他们能译出的概率分别为1/5、1/4、1/3，问能将此密码译出的概率。 2。设口袋有2n-1只白球，2n 只黑球，一次取出n 只球，如果已知取出的球都是同一种颜色，试计算该颜色是黑色的概率。 3。设袋中装有a 只红球，b 只白球，每次自袋中任取一只球，观察颜色后放回，并同时放入m 只与所取出的那只同色的球，连续在袋中取球四次，试求第一、第二次取到红球且第三次取到白球，第四次取到红球的概率。 课后习题：P23：1，2，3，4，6，10，11 P28：1，2，4，5，6，7，9，10，12， 13 题型三：全概率与贝叶斯公式 1．在一个每题有4个备选答案的测验中，假设有一个选项是正确的，如果一个学生不知道问题的正确答案，他就作随机选择。知道正确答案的学生占参加测验者的90%，试求： （1）学生回答正确的概率； （2）假如某学生回答此问题正确，那么他是随机猜出的概率。 2．一通讯通道，使用信号“0”和“1”传输信息。以A 记事件收到信号“1”，以B 记事件发出信号“1”。已知()0.4,(/)0.95,(/)0.90P B P A B P A B ===。 1）求收到信号“1”的概率？ 2）现已收到信号“1”，求发出信号是“1”的概率？ 课后习题：P23：7，8，9，12 P31：19，26，27，28 第二章：随机变量及其分布 题型一：关于基本概念：概率分布律、分布函数、密度函数 1．一房间有三扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了

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第二章随机变量及其分布第一节随机变量及其分布函数 一、随机变量 随机试验的结果是事件，就“事件”这一概念而言，它是定性的。要定量地研究随机现象，事件的数量化是一个基本前提。很自然的想法是，既然试验的所有可能的结果是知道的，我们就可以对每一个结果赋予一个相应的值，在结果(本事件)数值之间建立起一定的对应关系，从而对一个随机试验进行定量的描述。 例2-1 将一枚硬币掷一次，观察出现正面H、反面T的情况。这一试验有两个结果：“出现H”或“出现T”。为了便于研究，我们将每一个结果用一个实数来代表。比如，用数“1”代表“出现H”，用数“0”代表“出现T”。这样，当我们讨论试验结果时，就可以简单地说成结果是1或0。建立这种数量化的关系，实际上就相当于引入一个变量X，对于试验的两个结果，将X的值分别规定为1或0。如果与样本空间 { } {H,T}联系起来，那么，对于样本空间的不同元素，变量X可以取不同的值。因此，X是定义在样本空间上的函数，具体地说是 1,当 H X X( ) 0,当 T 由于试验结果的出现是随机的，因而X(ω)的取值也是随机的，为此我们称 X( )X(ω)为随机变量。 例2-2 在一批灯泡中任意取一只，测试它的寿命。这一试验的结果（寿命）本身就是用数值描述的。我们以X记灯泡的寿命，它的取值由试验的结果所确定，随着试验结果的不同而取不同的值，X是定义在样本空间 {t|t 0}上的函数 X X(t) t,t 因此X也是一个随机变量。一般地有 定义2-1 设 为一个随机试验的样本空间，如果对于 中的每一个元素 ，都有一个实数X( )与之相对应，则称X为随机变量。 一旦定义了随机变量X后，就可以用它来描述事件。通常，对于任意实数集合L,X在 L上的取值，记为{X L}，它表示事件{ |X( ) L}，即 。 {X L} { |X( ) L} 例2-3 将一枚硬币掷三次，观察出现正、反面的情况。设X为“正面出现”的次数，则X是一个随机变量。显然，X的取值为0，1，2，3。X的取值与样本点之间的对应关系如表2-1所示。 表2-1 表2-1

概率论与数理统计结课论文

概率论与数理统计课程总结报告——概率论与数理统计在日常生活中的应用 姓名： 学号： 专业：电子信息工程

摘要：数学作为一门工具性学科在我们的日常生活以及科学研究中扮演着极其重要的角色。概率论与 数理统计作为数学的一个重要组成部分，在生活中的应用也越来越广泛，近些年来，概率论与数理统计知识也越来越多的渗透到经济学，心理学，遗传学等学科中，另外在我们的日常生活之中，赌博，彩票，天气，体育赛事等都跟概率学有着十分密切的关系。本文着眼于概率论与数理统计在我们生活中的应用，通过前半部分对概率论与数理统计的一些基本知识的介绍，包括概率的基本性质，随机变量的数字特征及其分布，贝叶斯公式，中心极限定理等，结合后半部分的事例分析讨论了概率论与数理统计在我们生活中的指导作用，可以说，概率论与数理统计是如今数学中最活跃，应用最广泛的学科之一。 关键词：概率论 数理统计 经济生活 随机变量 贝叶斯公式 基本知识 §1.1 概率的重要性质 1.1.1定义 设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率。 概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P （3）可列可加性：设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，有∑===n k k n k k A P A P 1 1 )()( （n 可以取∞） 1.1.2 概率的一些重要性质 （i ） 0)(=φP （ii ）若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，则有∑===n k k n k k A P A P 1 1 )()( （n 可以取∞） （iii ）设A ，B 是两个事件若B A ?，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P （v ）)(1)(A P A P -= （逆事件的概率） （vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=?

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《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事 件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1 )S (=P

概率论与数理统计期末考试试题及答案

《概率论与数理统计》期末考试试题(A) 专业、班级: 姓名: 学号: 十二总成绩 、单项选择题(每题3分共18分) 1. D 2 . A 3 . B 4 . A 5 . (1) (2)设随机变量X其概率分布为X -1 0 1 2 P 则 P{X 1.5}() (A) (B) 1 (C) 0 (D) 设事件A与A同时发生必导致事件A发生，则下列结论正确的是( (A) P (A) P(A I A2) (B) P(A) P(A i) P(A2) (C) P(A) P(A1 A2) (D) P(A) P(A i) P(A2) 设随机变量X~N( 3, 1), Y ?N(2, 1),且X 与Y相互独 7,贝y z~(). (A) N(0, 5); (B) N(0, 3); (C) N(0, 46); (D) N(0, 54).

(5)设 X1X2, 未知，贝U( n (A) X i2 i 1 ,X n为正态总体N(, )是一个统计量。 (B) (C) X (D) (6)设样本X i,X2, 为H o： (A)U (C) 2)的一个简单随机样本，其中2, ,X n来自总体X ~ N( 0( 0已知) (n 1)S2 2 二、填空题(每空3分 xe x 1. P(B) 2. f(x) 0 (1) 如果P(A) 0, P(B) H1 ： (B) (D) 共15分) 0, P(A B) 设随机变量X的分布函数为 F(x) 则X的密度函数f(x) 3e P(A) n (X i ) i 1 2), 2未知。统计假设 则所用统计量为( 3 . 1 4. 则P(BA) 0, 1 (1 x)e x, x 0, 0. n (X i 1 P(X 设总体X和丫相互独立，且都服从N(0,1) , X1,X2, 样本，丫1,丫2, Y9是来自总体丫的样本，则统计量 服从分布(要求给出自由度)。t(9 ) 2) )2 X9是来自总体X的 X1 U肩

概率论与数理统计期末复习资料

《概率统计》、《概率论与数理统计》、《随机数学》课程 期末复习资料 注：以下是考试的参考内容，不作为实际考试范围，考试内容以教学大纲和实施计划为准；注明“了解”的内容一般不考。 1、能很好地掌握写样本空间与事件方法，会事件关系的运算，了解概率的古典定义 2、能较熟练地求解古典概率；了解概率的公理化定义 3、掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算；理解条件概率的概念；掌握加法公式与乘法公式 4、能准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式解题；掌握事件独立性的概念及性质。 5、理解随机变量的概念，能熟练写出(0—1)分布、二项分布、泊松分布的分布律。 6、理解分布函数的概念及性质，理解连续型随机变量的概率密度及性质。 7、掌握指数分布(参数λ)、均匀分布、正态分布，特别是正态分布概率计算 8、会求一维随机变量函数分布的一般方法，求一维随机变量的分布律或概率密度。 9、会求分布中的待定参数。 10、会求边缘分布函数、边缘分布律、条件分布律、边缘密度函数、条件密度函数，会判别随机变量的独立性。 11、掌握连续型随机变量的条件概率密度的概念及计算。 12、理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布函数及其性质，理解二维离散型随机变量的联合分布律及其性质，理解二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。 13、了解求二维随机变量函数的分布的一般方法。 14、会熟练地求随机变量及其函数的数学期望和方差。会熟练地默写出几种重要随机变量的数学期望及方差。 15、较熟练地求协方差与相关系数. 16、了解矩与协方差矩阵概念。会用独立正态随机变量线性组合性质解题。 17、了解大数定理结论，会用中心极限定理解题。 18、掌握总体、样本、简单随机样本、统计量及抽样分布概念，掌握样本均值与样本方差及样本矩概念，掌握2分布(及性质)、t分布、F分布及其分位点概念。 19、理解正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理；会用矩估计方法来估计未知参数。 20、掌握极大似然估计法，无偏性与有效性的判断方法。 21、会求单正态总体均值与方差的置信区间。会求双正态总体均值与方差的置信区间。 23、明确假设检验的基本步骤，会U检验法、t检验、2χ检验法、F检验法解题。 24、掌握正态总体均值与方差的检验法。 概率论部分必须要掌握的内容以及题型 1．古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。 2．概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质。3．准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式。 4．一维、二维离散型随机变量的分布律，连续型随机变量的密度函数性质的运用。分布中待定参数的确定，分布律、密度函数与分布函数的关系，联合分布与边缘分布、条件分布的关系，求数学期望、方差、协方差、相关系数，求函数的分布律、密度函数及期望和方差。5．会用中心极限定理解题。 6．熟记(0-1)分布、二项分布、泊松分布的分布律、期望和方差，指数分布(参数λ)、均匀分布、正态分布的密度函数、期望和方差。

概率论与数理统计学习感想

学习概率论感想一点 因为辅修的缘故，在上学期的时候我选修了数科开设的概率论课程，那个时候觉得课程难度好大，也许由于数科同学们的基础相较于我要好，老师基本都不告诉每个要点出现的前因后果，就直接讲问题的处理方法，并且课本上差不多全都是公式的证明，实际运用的部分很少，所以上学期课程结束之后非但没有让我了解概率论是什么在我们生活中有什么作用，反而让我觉得概率论是一门高深学术的学科。这学期上了概率论与数理统计课程之后，概率论的思想体系终于被理清楚了，我才知道原来每个部分之间的关联是怎样的，每个分布的导出是怎样的可以怎样运用，明白了概率论的思想不是枯燥的证明，它在实际生活中的运用也是很广泛的，与我们的生活密切相关。 让我印象深刻的是每个分布在实际生活中的运用，并且当我在生活中遇到一些问题就会自然而然的联想到老师上课讲的知识点。有一次我和同学一起去银行办理业务，我们一行三个人，在排队拿号的时候，本着礼让的原则，我拿到了我们三个人当中最靠后的号码，我们坐在那里等的时候，我同学说：“我前面还有4个人，你前面还有6个人。不过没事，我们办完了会等你的。”这个时候我想到了指数分布，我说：“虽然我是最后拿到号码的，不过我不一定是最后一个办完的哦，说不一定我还需要等你们呢。”本来想到同学的号码在我前面，他们办完业务之后还需要等我，我心里觉得很过意不去，这样想了之后，心中的忧虑就少了一点，反正我不一定是最后一个嘛。那次办理业务，我是第二个办理完成的。当然，这也只是可能发生的情况之一，也有可能我就是最后一个才办完业务的，不过了解了指数分布之后，在等待的时候，一个人的心态就会有所改变，毕竟在日常生活中，等待总会被理解成为一种浪费时间的行为，在需要排队的时候，拿到较为靠后的号码，很多人都会觉得自己会等待很久，从而厌烦等待严重影响心情，在我了解指数分布之后，我就不会再满怀抱怨的态度进行等待了。 此外，本学期适逢毕业季，学长学姐们有的选择继续留校提升自己，有的选择步入社会，在职业生涯中提升自己，然而如今找工作是个十分有难度的事情，很多人因为没有找到合适的工作觉得很泄气。不过我认为没有找到工作的学长学姐们不要太难过，从概率学的角度讲，只要我们坚持不懈的找工作，就会把成功的概率不断的提高。当我们同时面对多家公司的时候，将每家公司面试不合格的概率相乘就是去每家面试都不合格的概率，用1减去这个值就是至少有一家成功的概率，我们假设有5家公司，每家公司的通过率均为30%，至少通过一家面试的概率就是83%！这是一个看着就让人信心倍增的数字，所以学长学姐们在没有找到工作之前不要灰心丧气，“失败是成功之母”，总有一家适合你的工作在等着你的到来，同样的道理来勉励自己认真复习，从每道习题中汲取经验，就会增加做对题的概率。 现在正是期末备考的非常时期，同学们都在积极备考，虽然大家都全力以赴，但是总有那么一些题目在自己的复习范围之外，对于在考试中遇到的不确定的题，很多同学都会采用瞎猜的方法进行选择。对于我自身而言，我很不擅长理解性的记忆近代史这样的文科性质科目，很多的知识点在我脑子里面就是一团乱麻，做选择题的时候我都只能是根据模糊的印象进行判断，这种考试效率极其低下，既花了时间背书，可是却没有背书成功，基本上属于把时间花在了没用的地方上。这学期我又有一门毛概这种需要记忆的科目，我就想要是我不花时间看选择题的部分，就只是背诵论述题的考点，我考试及格的概率有多少。按照以往试题的格式，论述题的分值在40分左右，选择题每道题2分，共30道选择题，如果我把看选择题的时间全部都花在背论述题上，假定我的论述题部分能够拿到30分，要想卷面分数及格，我就需要在选择题部分拿到30分，那么我就需要在30道选择题中选对15道以上。每道题答对的概率为P=0.25，将这看做是一个30重的贝努力试验。设随机变量x 为答对的题数， 则~(;30,0.25)x b k ，其分布为：3030P{x=k}=C (0.25)(0.75)k k k -，1,2,......,30k =，若要