高三物理巧用极限法分析临界问题
高三物理巧用极限法分析临界问题
临界问题的分析是中学物理中较为常见，也是很多同学感到困难的问题之一，这就要求
我们在教学中能不断探索这类问题的分析方法。
极限法分析临界问题，是通过分析把关键物理量同时推向极大和极小时的物理现象，从
而找出解决问题的突破口的一种方法。下面通过几种情况的分析来体会：
一、关键物理量“力F ”
【例1】如图1所示，物体A 的质量为2kg ，两轻绳AB 和AC(L AB =2L AC )的一端连接在
竖直墙上，另一端系在物体A 上，今在物体A 上另施加一个与水平方向成α=600角的拉力
F 。要使两绳都能伸直，试求拉力F 的大小范围。(g=10m/s 2)
分析与解 如果F 很小，由竖直方向平衡知轻绳AB
中必有张力，当AC 中张力恰为零时，F 最小；如果F 很
大，由竖直方向平衡知轻绳AC 中必有张力，当AB 中张 力恰好为零时，F 最大。
设物体的质量为m ，轻绳AB 中的张力为T AB ，AC 中的张力为T AC ，F 的最小值为F 1，最大值为F 2 L AB =2L AC ，有∠CAB=600
由平衡条件有：
F 1sin600+T AB sin600=mg , F 1cos600=T AB cos600
F 2sin600=mg
以上各式代入数据得：F 1=/3N ，F 2=40√3/3N
因此，拉力F 的大小范围：/3N ＜F ＜40√3/3N
此题也可由平衡条件直接列方程，结合不等式关系T AB ＞0，T AC ＞0求解。
二、关键物理量“加速度a ”
【例2】质量为0.2kg 的小球用细绳吊在倾角θ=600的斜面体的顶端，斜面体静止时，
小球紧靠在斜面上，线与斜面平行，如图2所示，不计摩擦，求当斜面体分别以（1）2√3m/s 2，
（2）4√3m/s 2的加速度向右加速时，线对小球的拉力。
分析与解 很多同学看到题目就会不加分析的列方程 求解，从而出现解出的结果不符合实际。其实，如果我们
仔细审题就会发现题目设问的着眼点是加速度。当小球向 右加速运动时，如果加速度a 很小，小球压紧斜面，受力 分析如图2—1；如果加速度a 很大，小球将离开斜面，受
力分析如图2—2。 设小球对斜面的压力为零时，斜面体的加速度为a 0
（即临界加速度），受力分析得：a 0=gcot θ=10√3/3（m/s 2）
（1）因为a=2√3（m/s 2）＜a 0，因此小球仍压紧斜面，
由牛顿第二定律和平衡条件列方程有： Tcos θ-Nsin θ=ma , Tsin θ+Ncos θ=mg 代入数据解得：T=m （gsin θ+acos θ）=1.2√3 N
（2）因为a=4√3 m/s 2＞a 0，因此小球已飘离斜面， T=m √g 2+a 2=0.4√37 N （此处也可按（1）的列式
方法求解）。
三、关键物理量“速度v /ω”
【例3】如图3所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O 点的水平轴自由转动。现给
图
1
图2—1 图2—3
小球一初速度，使它做圆周运动，图中a 、b 分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对
球的作用力可能是（ ）
A 、a 处为拉力，b 处为拉力
B 、a 处为拉力，b 处为推力
C 、a 处为推力，b 处为拉力
D 、a 处为推力，b 处为推力
分析与解 a 处的分析很容易，只能为拉力；而b 处则有两种
可能。当v 或ω很小时，小球的重力大于所需的向心力，杆对球
的作用力为推力；v 或ω很大时，小球的重力不足以提供小球所需
的向心力，杆对小球的作用力为拉力。故正确答案为AB
【例4】如图4—1所示，在互相垂直的匀强电场和匀强磁场中，一个质量为m 、带电
量为+q 的有孔小球沿着穿过它的竖直长杆下滑，小球与杆之间的滑动摩擦系数为μ，设电
场场强为E ，磁感应强度为B ，电场、磁场范围足够大，求：（1）当小球有最大加速度时
的速度为多大？（2）当小球有最小加速度时的速度为多大？
分析与解 对小球受力分析，如图4—2，开始
速度很小，所受的杆的弹力向右，大小N=qE-qvB ，
随着速度的增大，N 减小，f=μN 减小，加速度 a=（G-f ）/m 增大；小球速度很大时，所受弹力向左，
大小为N= qvB –qE ，随着速度的增大，N 增大，
f=μN 增大，加速度a=（G-f ）/m 减小，直至为零。 （1）当N= qvB –qE =0时，小球有最大加速度 v=E/B 。
（2）小球的最小加速度为a=0，则有 mg=f ，f=μN ，N= qvB –qE 由以上各式解得：v=mg/μqB+E/B
四、关键物理量“动量 / 冲量”
【例5】宇航员在某一星球上以速度v 0竖直向上抛出一个小球，经过时间t ，小球又落
回到原抛出点。然后他用一根长为l 的细绳把一个质量为m 的小球悬挂在O 点，使小球处
于静止状态，如图5所示，现在最低点给小球一个水平向右的冲量I ，使小球能在竖直平面
内运动，若小球在运动的过程中始终对
细绳有力的作用，则冲量I 应满足什么条件？
分析与解 如果给小球的冲量I 很小，小球在竖直平面
内摆动，细绳中必有张力；如果给小球的冲量I 很大，小球 在竖直平面内做圆周运动，只要过最高点时的速度大于临界
速度，细绳中也有张力。
宇航员所在星球的重力加速度：g=2v 0/t
设使小球在竖直平面内摆动的最大冲量为I 1，小球获得
的初速度的最大值为v 1，由机械能守恒定律：
（1/2）mv 12=mg l
解得I 1=m v 1=2m √v 0l /t
设使小球在竖直平面内做圆周运动的最小冲量为I 2，小球获得的初速度的最小值为v 2，
小球过最高点的临界速度为v 临
由机械能守恒定律：（1/2）mv 临 -（1/2）mv 22= - mg2l
由牛顿第二定律与向心力公式：mg=mv 临2/l
解得I 2=m v 2=m √10v 0l /t
所以，要使小球在运动过程中始终对细绳有力的作用，给小球的冲量：
图4—1
图4—
2 图5
I ＜2m √v 0l /t 或I ＞m √10v 0l /t
五、关键物理量“磁感强度B ”
【例6】M 、N 两板间相距为d ，板长均为5d ，两板未带电，板间有垂直纸面的匀强磁场，如图6—1所示，一大群电子沿平行于板的方向从各处位置以速度v 射入板间，为了使电子都不从板间穿出，磁感强度B 的范围应为多少？
分析与解 根据左手定则，电子受洛仑兹力向下， 只要从板的最上端进入的电子不从板间穿出，则所有
电子都不会从板间穿出。如果B 很小，电子运动的轨
道半径很大，将会从板的右端穿出，当电子恰好从N
板的右边缘穿出时，B 最小（如图6—2）；如果B 很 大，电子运动的轨道半径很小，将会从板的左端穿出， 当电子恰好从N 板的左边缘穿出时，B 最大。（如图
6—3）
设电子不从板间穿出，磁感应强度最小值为B 1，
轨道半径为R 1，电子的质量为m ，带电量为e ，则有：
mv 2/R 1=evB 1， R 12=（5d ）2 +（R 1-d ）2
解得B 1=mv/13de 设电子不从板间穿出，磁感应强度最大值为B 2，
轨道半径为R 2，电子的质量为m ，带电量为e ，则有： m v 2/R 2=evB 2 ， 2R 2=d
解得B 2=2mv/de
因此，电子不从板间穿出，磁感强度B 的范围是 mv/13de ＜B ＜2mv/de
六、关键物理量“厚度d ”
【例7】如图7—1所示、宽为a 的平行光束从空气斜向射入到两个面平行的玻璃板表面，入射角为450，光束中包含两种波长的波，玻璃对这两种波长的光的折射率分别为n 1=1.5,n 2=√3 。
（1）求每种波长的光入射玻璃板上表面后的折射角；
（2）为了使光束从玻璃板下表面出射时能分成不交叠的两束，玻璃板的厚度d 至少为多少？
分析与解 两种波长的光射到玻璃板表面后，
如果玻璃板的厚度d 较小，光束从下表面出射时，
仍相互交叠，如图7—2；如果玻璃板的厚度d 较
大，光束从下表面出射时，将分成不交叠的两束，
如图7—3，临界厚度如图7—4。
（1）设入射角为i ，经玻璃板折射后，折射率为n 1的光的折射角为r 1，折射率为n 2的光的折射角为r
2，根据折射定律：n 1=sini/sinr 1 ，n 2=sini/sinr 2
代入数据解得：r 1=arcsin √2/3 ，r 2=arcsin √6/6
图6—1
图6—3 图7—3 图7—2 图7—4
（2）如图9—3，由几何关系有：dtanr1– dtanr2 = √2 a
又tanr1=√14/7 ，tanr2 =√5/5
代入数据解得：d= 70a/（10√7 – 7√10）
极限法分析临界问题在解题中的应用远不止这些，只要我们用心体会，定会收益匪浅，深感其妙。
利用换元法解方程组
2 例如：x 2 3x x 2 3x 2 3x 2 2x 3x 2 2x 4x 2 5x 观察发现 2 3x 2 3x 2x 4x 2 5x 1，故可设 x 2 3x 2 3x 2 2x v ，原方程变为u 2 uv v 2 ，方程由繁变简，可得解? 第 6 讲利用换元法解方程 、方法技巧 （一） 换元法 解方程是用新元代替方程中含有未知数的某个部分，达到化简的目的 . （二） 运用换元法解方程，主要有三种类型：分式方程、无理方程、整式（高次）方程 解分式方程、无理方程、 整式（高次）方程的基本思想是将分式方程化为整式方程、 无理方程化为有理方程、整式（高次）方程逐步降次 （三） 换元的方法是以所讨论方程的特有性质为依据的， 不同的方程就有不同的换元方 法，因此， 这种方法灵活性大，技巧性强?恰当地换元，可将复杂方程化简，以 便寻求解题的途径. 常用换元方法有局部换元、均值换元、倒数换元、常数换元等. 82，使方程变得易解，这是均值换元法 例如: 5 — 6 0，可使用局部换元法, x 1 ②x 2 0,变形后也可使用局部换元法，设 2x 2 ~2 x x 2 1 19 —，看着很繁冗，变形整理成 6 x 2 x 2 2 x 2 x 19 一 —时，就可使用局部换兀法 6 82 , 可设 口 x 2，方程变成 ⑤6x 4 5x 3 38x 2 5x 符合与中间项等距离的项的系数相等, 如6x 4 与6 , 5x 3与5x 系数相等，可构造 x 1换元，是倒数换元法. x ⑥x 3 2、.3x 2 3x .3 1 0 ,不易求解，若反过来看，把设 x 看作已知数, 把.3设为设t ，则方程就变成x t 2 2x 2 1 t 数字换元法不常用，但不失为一种巧妙的解题方法 有时根 据方程各部分特点可设双元，达到化繁为简, 求解的目的
求极限的方法总结
学号：0 学年论文 求极限的方法总结 Method of Limit 学院理学院专业班级 学生指导教师（职称） 完成时间年月日至年月日
摘要 极限的概念是高等数学中最重要、最基本的概念之一。许多重要的概念如连续、导数、定积分、无穷级数的和及广义积分等都是用极限来定义的。因此掌握好求极限的方法对学好高等数学是十分重要的。但求极限的方法因题而异，变化多端，有时甚至感到变幻莫测无从下手，通过通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。本文主要对了数学分析中求极限的方法进行一定的总结，以供参考。 关键词：极限洛必达法则泰勒展开式定积分无穷小量微分中值定理
Abstract The concept of limit is the most important mathematics,one of the most basic important concepts such as continuity,derivative,definite integral,infinite series and generalized integrals and are defined by the mater the methods the Limit learn mathematics integrals and are defined by the limit varies by title,varied,anf sometimes even impossible to start very unpredictable,and summarized through the adoption,we set out the requirements of some commonly used this paper,the mathematical analysis of the method of seeking a certain limit a summary for reference. Keyword:Limit Hospital's Rule Taylor expansion Definite integral Infinitesimal Mean Value Theorem
(完整word)高中化学极限法
专题7·极限法 极限判断是指从事物的极端上来考虑问题的一种思维方法。该思维方法的特点是确定了事物发展的最大(或最小)程度以及事物发生的范围。 例1 ：在120℃时分别进行如下四个反应： A．2H2S+O2＝2H2O＋2S B．2H2S+3O2=2H2O+2SO2 C．C2H4+3O2=2H2O+2CO2D．C4H8+6O2=4H2O+4CO2 （l）若反应在容积固定的容器内进行，反应前后气体密度（d）和气体总压强（P）分别符合关系式d前=d后和P前＞P后的是；符合关系式d前=d后和P前=P后的是（请填写反应的代号）。 （2）若反应在压强恒定容积可变的容器内进行，反应前后气体密度（d）和气体体积（V）分别符合关系式d前>d后和V前
方法：采用极值法或平均分子量法。 解析：[解法一]：（极值法） 假设95mg全为MgCl2，无杂质，则有：MgCl2 ~ 2AgCl 95mg2×143.5mg 生成沉淀为287mg，所以假设95mg全部为杂质时，产生的AgCl沉淀应大于300mg。 总结：极值法和平均分子量法本质上是相同的，目的都是求出杂质相对分子量的区间值，或者杂质中金属元素的原子量的区间值，再逐一与选项比较，筛选出符合题意的选项。 例3 ：在一个容积固定的反应器中,有一可左右滑动的密封隔板,两侧分别进行如图所示的可逆反应.各物质的起始加入量如下:A、B和C均为4.0mol、D为6.5 mol、F为2.0 mol,设E为x mol.当x在一定范围内变化时,均可以通过调节反应器的温度,使两侧反应都达到平衡,并且隔板恰好处于反应器的正中位置.请填写以下空白:
合并法换元法解元次方程组
合并法、换元法解二元一次方程组 （一）知识教学点 1．掌握用合并法、换元法解二元一次方程组的步骤． 2．熟练运用合并法、换元法解二元一次方程组． （二）能力训练点 1．培养学生的观察分析能力; 2．训练学生的运算技巧，养成检验的习惯． （三）德育渗透点 消元，化未知为已知的数学思想． （四）美育渗透点 通过本节课的学习，渗透化归的数学美，以及方程组的解所体现出来的奇异的数学美． 二、学法引导 1．教学方法：引导发现法、练习法，指导法． 2．学生学法：在前面已经学过二元一次方程组的解法，故在求解过程中始终应抓住消元的思想方法． 三、重点、难点、疑点及解决办法 （－）重点 使学生会用合并法、换元法解二元一次方程组． （二）难点 灵活运用合并法、换元法的技巧． （三）疑点 如何“消元”，把“二元”转化为“一元”．
四、课时安排 一课时． 五、教具学具准备 电脑 投影仪． 六、教学过程 一导 运用导学案 自主学习 （一）解二元一次方程组的基本思路是消元，即通过运用代入法和加减法把二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求出方程组的解.而对于具有某些特点的二元一次方程组，如果仍按常规方法不仅运算量大，而且容易出错.若能根据题目的特点，适时改进方法，不仅可以减少运算量，而且可以又快又准地解出方程组. （二）自主探究请同学们根据提示用合并法解二元一次方程组 （略） 设计意图：以学生的兴趣为主，由易至难，逐层递进，逐步完成各个任务。 （三）总结 二研 合作学习 研究探讨 （一）例题解析 （1） ???-=+=+② 10y 65x ① 1056y x
（2） ???=+-=-+-② 72009)-7(2010y 9)4(2x ① 3)20092010(3)92(2y x 设计意图：合作探究，探索比较，发现规律，使每位学生参与其中，成为课堂的主人，提高解题技巧 （二）练习题 （1）???=+=+② 79y 137x ① 61713y x （2）???=+=+② 74y 1911x ① 1061119y x （3）?????-=--+=-++.1106,3106y x y x y x y x （4）??? ????=--+=-++.86)32(55)1(3,36)32(5)1(2y x y x 设计意图：竞赛完成，激发学习热情，巩固强化 三验 课堂小测验（略） 设计意图：对学生完成情况及时了解，及时总结，对课堂教学及时反思，对下一步的教学进行适时，适当的调整。并对学生的解题情况进行总体的评价，要本着激励的原则，使学生有成就感。
高等数学求极限的常用方法附例题和详解完整版
高等数学求极限的常用 方法附例题和详解 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即 “一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ） A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→? =→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 )(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下：
1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了 无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即 )(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即 e x f x g x g x f ) (ln )()()(=，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候） 12)! 1(!!21+++++++=n x n x x n e n x x x e θ ； cos=221242)! 22(cos )1()!2()1(!4!21+++-+-+-+-m m m m x m x m x x x θ
综合解一元二次方程—换元法
2.2.5《解一元二次方程—换元法》典例解析与同步训练 【知识要点】 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化， 这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母 来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元 的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 【典例解析】 例1．用适当方法解下列方程： （1）2x2﹣5x﹣3=0 （2）16（x+5）2﹣9=0 2 2 2 ． （3）（x+x）+（x+x）=6 例题分析：本题考查了一元二次方程的几种解法：①公式法；②直接开平方法；③换元法（1）用公式法解一元二次方程，先找a，b，c；再求△；再代入公式求解即可； （2）用直接开平方法解一元二次方程，先将方程化为（x+5）2= ，直接开方即可；（3）设t=x2+x，将原方程转化为一元二次方程，求解即可． 解：（1）∵a=2，b=﹣5，c=﹣3，△=b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×2×（﹣3）=25+24=49， ∴x= = = ， ∴x1=3，x2=﹣； （2）整理得，（x+5）2=， 开方得，x+5=±， 即x1=﹣4 ，x2=﹣5 ， 2 +x，将原方程转化为2 ， （3）设t=x t+t=6 因式分解得，（t﹣2）（t+3）=0， 解得t1=2，t2=﹣3． 2 2 ∴x+x=2或x+x=﹣3（△＜0，无解）， ∴原方程的解为x1=1，x2=﹣2．
数学分析中求极限的方法总结
数学分析中求极限的方法总结 1 利用极限的四则运算法则和简单技巧 极限的四则运算法则叙述如下： 定理１.１: (1 (2（３)若B ≠ （(5）[] 0lim ()lim () n n n x x x x f x f x →→??==A ???? （n 为自然数) i 由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商. 例1。 求225 lim 3 x x x →+-的极限 解:由定理中的第三式可以知道 ()()22222 lim 55lim 3lim 3x x x x x x x →→→++=-- 22 2 2 2 lim lim5 lim lim3x x x x x x →→→→+= + 2259 23+ ==-- 例２． 求3 x →
33 22 x x →→ = 3 x→ = 1 4 = 式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可例３。已知() 111 1223 1 n x n n =+++ ??-?, 解：观察 11 =1 122 - ? 111 = 2323 - ? 因此得到() 111 12231 n x n n =+++ ??-? 1111111 1 22 11 n n n =-+-+-+- -- 所以 1 lim lim11 n n n x n →∞→∞ ?? =-= ? ?? 2 利用导数的定义求极限 导数的定义：函数f(x) 如果 ()( ) 00 lim lim x x f x x f x y x x ?→?→ +?- ? = ?? 存在， 则此极限值就称函数f(x) () 'f x。 即
高等数学求极限的常用方法
高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{} 的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ）A x x f x A x f x =+∞ →=-∞ →?=∞ →lim lim lim )()( (iii) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 ) (lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通 项之后，就能变成(i)中的形式了。即)(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0 ∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即e x f x g x g x f ) (ln )()()(=， 这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候）
数学分析求极限的方法
求极限的方法 具体方法 ⒈利用函数极限的四则运算法则来求极限 定理1①：若极限)(lim 0 x f x x →和)(lim x g x x →都存在，则函数)(x f ±)(x g ，)()(x g x f ? 当0x x →时也存在且 ①[])()()()(lim lim lim 0 .0 x g x f x g x f x x x x x →→→±=± ②[])()()()(lim lim lim 0 x g x f x g x f x x x x x x →→→?=? 又若0)(lim 0 ≠→x g x x ，则 ) () (x g x f 在0x x →时也存在，且有 )()()() (lim lim lim 0 x g x f x g x f x x x x x x →→→= 利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如 ∞ ∞、00 等情况，都不能直接用四则运算法则，必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。 " 例1：求24 22 lim ---→x x x 解：原式=()()()022 22lim lim 22 =+= -+-- - →→x x x x x x ⒉用两个重要的极限来求函数的极限 ①利用1sin lim =→x x x 来求极限 1sin lim 0 =→x x x 的扩展形为： 令()0→x g ，当0x x →或∞→x 时，则有
()()1sin lim 0=→x g x g x x 或()()1sin lim =∞ →x g x g x 例2：x x x -→ππ sin lim 解：令t=x -π.则sinx=sin(-π t)=sint, 且当π→x 时0→t 故 1sin sin lim lim 0 ==-→→t t x x t x ππ ~ 例3：求() 11 sin 21 lim --→x x x 解：原式=()()()()()()()211sin 1111sin 1221 21lim lim =--?+=-+-+→→x x x x x x x x x ②利用e x x =+∞→)1 1(lim 来求极限 e x x =+∞ →)1 1(lim 的另一种形式为e =+→α α α1 )1(lim .事实上，令 .1 x =α∞→x .0→?α所以=+=∞ →x x x e )11(lim e =+→ααα1 0)1(lim 例4: 求x x x 1 )21(lim +→的极限 解：原式=221 210)21()21(lim e x x x x x =?? ?+????+→ 利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。 ⒊利用等价无穷小量代换来求极限 所谓等价无穷小量即.1) () (lim =→x g x f x x 称)(x f 与)(x g 是0x x →时的等价无穷小量，记作)(x f )(~x g .)(0x x →.
利用换元法解方程(组)教学内容
第6讲 利用换元法解方程 一、方法技巧 （一）换元法解方程是用新元代替方程中含有未知数的某个部分，达到化简的目的. （二）运用换元法解方程，主要有三种类型：分式方程、无理方程、整式（高次）方程. 解分式方程、无理方程、整式(高次)方程的基本思想是将分式方程化为整式方程、无理方程化为有理方程、整式（高次）方程逐步降次. （三）换元的方法是以所讨论方程的特有性质为依据的，不同的方程就有不同的换元方 法，因此，这种方法灵活性大，技巧性强．恰当地换元，可将复杂方程化简，以便寻求解题的途径． 常用换元方法有局部换元、均值换元、倒数换元、常数换元等． 例如：① 256011x x x x ????++= ? ?++? ??? ，可使用局部换元法，设1x y x =+ ②22110x x x x +++=，变形后也可使用局部换元法，设1x t x += ③222212219116 x x x x x x x +++++=+++，看着很繁冗，变形整理成222211191116 x x x x x x +++++=+++时，就可使用局部换元法. ④()()443182x x +++=，可设()()3122x x y x +++==+，方程变成 ()()441182y y ++-=，使方程变得易解，这是均值换元法. ⑤4326538560x x x x +-++=，符合与中间项等距离的项的系数相等， 如46x 与6，35x 与5x 系数相等，可构造1x x + 换元，是倒数换元法. ⑥32310x x +++=，不易求解，若反过来看，把设x 看作已 t ，则方程就变成()() 2232110x t x t x ?+++-=， 数字换元法不常用，但不失为一种巧妙的解题方法. 有时根据方程各部分特点可设双元，达到化繁为简，求解的目的. 例如：
高等数学-求极限的各种方法
求极限的各种方法 1．约去零因子求极限 例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限 例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方； (2) ???? ??? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1ΛΛ 3．分子(母)有理化求极限 例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 01 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x
例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 +-+-=+-+→→ 41 sin tan lim 21sin tan lim sin 1tan 11 lim 30300 =-=-+++=→→→x x x x x x x x x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ， 第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。 例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 + ，最后凑指数部分。 【解】22 212 12112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→ 例6：(1)x x x ??? ??-+∞→211lim ；(2)已知82lim =??? ??-++∞→x x a x a x ，求a 。 5．用等价无穷小量代换求极限 【说明】 (1)常见等价无穷小有： 当0→x 时,~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~x x x x x x +1e x -, ()abx ax x x b ~11,2 1~ cos 12-+-； (2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式．． ；
数学分析中求极限的方法总结
数学分析中求极限的方 法总结 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
数学分析中求极限的方法总 结 1 利用极限的四则运算法则和简单技巧 极限的四则运算法则叙述如下： 定理：如果0 x x lim f x =,lim g x =x x →→A B （）（） （1）[]0 lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±=A ±B （2）[]0 x x lim f x g x =lim f x)lim ()x x x x g x →→→??=A?B （）（）（ （3）若B ≠0 （4）0 x lim c ()lim ()x x x f x c f x c →→?=?=A （5） [] 0lim ()lim ()n n n x x x x f x f x →→??==A ????（n 为自然数） 上述性质对于,,x x x →∞→+∞→-∞也同样成立i 由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。 例1. 求225 lim 3x x x →+-的极限 解：由定理中的第三式可以知道 例2. 求3 2 lim 3x x →-的极限 式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可 例3. 已知 ()1111223 1n x n n = +++ ??-?，求lim n n x →∞ 解： 观察 11 =112 2- ? 111=2323-?
因此得到 ()1111223 1n x n n = +++ ??-? 所以 1lim lim 11n n n x n →∞→∞ ?? =-= ??? 2 利用导数的定义求极限 导数的定义：函数f(x)在0x 附近有定义，χ??，则 如果 存在， 则此极限值就称函数f(x)在点0x 的导数记为 () 0'f x 。 即 在这种方法的运用过程中，首先要选好f(x)。然后把所求极限都表示成f(x)在定点0 x 的导数。 例4. 3 利用两个重要极限公式求极限 两个极限公式： （1 （2）1lim 1x x e x →∞ ?? += ??? 但我们经常使用的是它们的变形： （1，
换元法解方程
换元法解方程 西安市第八十五中学江树基 换元法是用新元代替方程中含有未知数的某个部分，达到化简的目的．换元的方法是以所讨论方程的特有性质为依据的，不同的方程就有不同的换元方法，因此，这种方法灵活性大，技巧性强．恰当地换元，可将复杂方程化简，以便寻求解题的途径．常用方法有均值代换、多元代换、常数代换等． 解分式方程、无理方程、高次方程的基本思想是将分式方程化为整式方程、无理方程化为有理方程、高次方程逐步降次，实现这一基本思想的方法有多种，其中换元法是常用的一种重要方法，本文注重研究用换元法解方程的技能、技巧． 一、分式方程 分析：这个方程左边两个分式互为倒数关系，抓住这一特点，可设 ∴（y-1）2=0，解得y=1． 经检验，x 1，x 2 都是原方程的根． 分析：观察方程的分母，发现各分母均是关于x的二次三项式，仅常数项不同，抓住这一特点，可设y=x2+2x． 解：设y=x2+2x，则原方程可化为 即y2-y-12=0，解得y1=4，y2=-3．
x2＋2x=-3，无实数解． 例3 解方程 分析：观察方程的分母，发现三个分母都是关于x的二次三项式，仅一次项不同，抓住这一特点，可设y=x2＋2x＋10． 解：设y=x2＋2x＋10，则原方程可化为 解得y =9x，y2=-5x. 1 由x2＋2x＋10=9x，解得x =5，x2=2． 1 由x2＋2x＋10=-5x，解得x =-5，x4=-2． 3 经检验知，它们都是原方程的解． 注：以上三个例子可看出，换元时必须对原方程进行仔细观察、分析，抓住方程的特点，恰当换元，化繁为简，达到解方程的目的． 二、无理方程 两边立方，并整理得 y3-2y2＋3y=0，即y（y2-2y＋3）=0， ∴y=0或y2-2y＋3=0，无解． 经检验知x=-1是原方程的解． 可设两个未知数，利用韦达定理解． 原方程为m＋n=1，又∵（m＋n）3=m3＋n3＋3mn·（m+n）=4+3mn=1，∴mn=-1．
高等数学求极限的16种方法
高等数学求极限的16种方法 首先说下我的感觉，假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。 为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面 首先对极限的总结如下 极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致 1 极限分为一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种） 2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？）1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记 （x趋近无穷的时候还原成无穷小） 2落笔他法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！ 必须是 X趋近而不是N趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件 （还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！！） 必须是 0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！ 当然还要注意分母不能为0 落笔他法则分为3中情况 1 0比0 无穷比无穷时候直接用 2 0乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 3 0的0次方1的无穷次方无穷的0次方 对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0） 3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！！！！）
换元法解方程
换元法 在因式分解中,把一个较复杂的数学式子的某一部分看成一个整体,用一个字母去代替这一部分,使原式变成含有新元的简单式子,在分解后再将新元换出,这种方法叫换元法. 1.10)3)(4(22+++-+x x x x 2.24)4)(3)(2)(1(-++++x x x x 3.20)5)(1)(3(2-+-+x x x 4.90)384)(23(22-++++x x x x 5.)(4)(22222y x xy y xy x +-++ 6.2)1()2)(2(-+-+-+xy y x xy y x 7.4482--a a 8.yz z y x 2222+-- 9. 644+x 10. 2214176y xy x -- 11. 581337622-++--y x y xy x 12.1433181892022-+--+y x y xy x 13. 2820152-+--y x xy x 14.12)2)(1(22-++++x x x x
15.1)1(2)(3---++y x xy y x 16. 222222)1(2)1)(16(5)16(2++++++++x x x x x x 17. 已知乘法公式 a 5+b 5=(a+b)(a 4-a 3b+a 2b 2-ab 3+b 4)，a 5-b 5=(a-b)(a 4+a 3b+a 2b 2+ab 3+b 4),利用或不利用上述公式，分解因式：x 8+x 6+x 4+x 2+1. 五.待定系数法 1. 192256112--x x 2.744272234+---x x x x 3.156234+-+-x x x x 六.因式定理 余数定理 ).()()(a f a x x f 的余数等于 除以多项式- 因式定理 整除能被则即的值为零，多项式如果a x x f a f x f a x -==)(,0)( )(,).)(a x x f -含有因式（即
数学分析中求极限的方法总结
数学分析中求极限的方法 总结 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020
数学分析中求极限的方法总结 1 利用极限的四则运算法则和简单技巧 极限的四则运算法则叙述如下： 定理：如果0 x x lim f x =,lim g x =x x →→A B （）（） （1）[]0 lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±=A ±B （2）[]0 x x lim f x g x =lim f x)lim ()x x x x g x →→→??=A?B （）（）（ （3）若B ≠0 （4）0 x lim c ()lim ()x x x f x c f x c →→?=?=A （5）[]00lim ()lim ()n n n x x x x f x f x →→??==A ????（n 为自然数） 上述性质对于,,x x x →∞→+∞→-∞也同样成立i 由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。 例1. 求225 lim 3x x x →+-的极限 解：由定理中的第三式可以知道 例2. 求3 x →的极限
式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可 例3. 已知 ()1111223 1n x n n = +++ ??-?，求lim n n x →∞ 解： 观察 11=112 2-? 111=2323- ?因此得到 ()1111223 1n x n n = +++ ??-? 所以 1lim lim 11n n n x n →∞→∞ ?? =-= ??? 2 利用导数的定义求极限 导数的定义：函数f(x)在0x 附近有定义，χ??，则 如果 存在， 则此极限值就称函数f(x)在点0x 的导数记为 () 0'f x 。 即 在这种方法的运用过程中，首先要选好f(x)。然后把所求极限都表示成f(x)在定点 x 的导数。
高数数学极限总结
函数极限总结 一．极限的产生 极限理论是研究关于极限的严格定义、基本性质和判别准则等问题的基础理论。 极限思想的萌芽可以追溯到古希腊时期和中国战国时期，但极限概念真正意义上的首次出现于沃利斯的《无穷算数》中，牛顿在其《自然哲学的数学原理》一书中明确使用了极限这个词并作了阐述。但迟至18世纪下半叶，达朗贝尔等人才认识到，把微积分建立在极限概念的基础之上，微积分才是完善的，柯西最先给出了极限的描述性定义，之后，魏尔斯特拉斯给出了极限的严格定义（ε-δ和ε-N 定义）。 从此，各种极限问题才有了切实可行的判别准则，使极限理论成为了微积分的工具和基础。[1] 二．极限知识点总结 1. 极限定义 函数极限：设函数f(x)在点的x 0某一去心邻域内有定义，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数 ，使得当x 满足不等式 时，对应的函数值 都满足不等式： 那么常数A 就叫做函数f(x)?当x →x 0时的极限，记作。[2] 单侧极限：?.左极限：或 ?.右极限：或 定理： 函数当时极限存在的充分必要条件是左、右极限各自存在且相 δ<<|x -x |00ε <-|)(|A x f A x f x x =→)(lim 0 A x f x x =- →)(lim )()(左→→x A x f A x f x x =+ →)(lim )()(右→→x A x f A x f x f A x f x x ==? =+-→)()()(lim 0 )(x f 0x x →
等 即。 2. 极限概念 函数极限可以分成以的极限为例，f(x) 在点x 0以A 为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x 满足不等式 时，对应的函数值f(x)都满足不 等式：|f(x)-A|<ε，那么常数A 就叫做函数f(x)当 x →x 。时的极限。 函数极限具有唯一性、局部有限性、局部保号性[2] 3. 存在准则 有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得，需要先判定。下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。 准则Ⅰ.如果数列，及满足以下条件： （1）从某项起，即，当时，有； （2）；， 那么数列的极限存在，且 准则Ⅰ＇如果（1）当（或）时， （2） ，， 那么存在，且等于。 夹逼定理：（1）当时，有??成立 （2） ?,那么，极限存在，且等于A 【准则Ⅰ，准则Ⅰ′合称夹逼定理】 )()()(lim 0 00x f x f x f x x →+-==0,,,x x x x x →-∞→+∞→∞→0x x →{}n x {}n y {}n z +∈?N n 00n n >n n n z x y ≤≤a y n x =∞→lim a z n x =∞ →lim {}n x a x n x =∞ →lim ),(0r x U x ο ∈M x >||)()()(x h x f x g ≤≤A x g x x x =∞→→)(lim ) (0 A x h x x x o =∞→→)(lim ) ()(lim ) (0 x f x x x ∞→→A ),(x 0r x U ο ?()0x f
数学分析求极限的方法
求极限的方法 具体方法 ⒈利用函数极限的四则运算法则来求极限 定理1①：若极限)(lim 0 x f x x →和)(lim x g x x →都存在，则函数)(x f ±)(x g ，)()(x g x f ? 当0x x →时也存在且 ①[])()()()(lim lim lim 0 .00 x g x f x g x f x x x x x →→→± = ± ②[])()()()(lim lim lim 0 x g x f x g x f x x x x x x →→→?= ? 又若0)(lim 0 ≠→x g x x ，则 ) ()(x g x f 在0x x →时也存在，且有 ) ()() ()(lim lim lim x g x f x g x f x x x x x x →→→= 利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如 ∞ ∞、 0等情况，都不能直接用四则运算法则， 必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。 例1：求2 42 2 lim --- →x x x 解：原式=()() ()022 22lim lim 2 2 =+= -+-- - →→x x x x x x ⒉用两个重要的极限来求函数的极限 ①利用1sin lim =→x x x 来求极限 1sin lim =→x x x 的扩展形为： 令()0→x g ，当0x x →或∞→x 时，则有 ()() 1sin lim =→x g x g x x 或()() 1sin lim =∞ →x g x g x
用换元法解各种复杂方程
用换元法解各种复杂方程 用换元思想探索双二次方程、无理方程、分式方程这三类方程的解法。 [内容综述] “换元法”是一种重要的数学方法，它可以把较复杂的问题转化为较简单的问题去解决。在解高次方程、分式方程、无理方程的过程中都可以应用换元方法，其要点是把方程中的一些表达形式相同的部分看成一个整体并设新的字母表示，从而达到化简方程并把原方程化归为已经会解的一元一次或一元二次方程的目的。 [问题精讲] 1.在中学课程中,只要求学生会解一些特殊的高次方程,最常见的就是“双二次方程”，即只含有未知数的四次项、二次项和常数项的方程。对于这类方程,可以经过对二次项的换元转化为一元二次方程。例1，解方程(x 2+1)2=x 2+3 分析:思路1：以x 2+1为一个整体进行换元，因此要对方程右边进行变形使其含有x 2+1。 思路2：把方程展开成标准的双二次方程，再对x 2 进行换元。 解法一：原方程可化为(x 2+1)2-(x 2+1)-2=0，设x 2+1=y 得y 2-y-2=0， 解得 y 1=2，y 2=-1，x 2+1=-1无实根， 由x 2+1=2解得x 1=1，x 2=-1。 解法二：由原方程得x 4+x 2-2=0，设x 2=y （解题熟练时，这一换元过程也可以不写出） 得y 2+y-2=0，解得y 1=1，y 2=-2，x 2=-2无实根， 由x 2=1解得x 1=1，x 2=-1。 注意：换元的关键是善于发现或构造方程中表达形式相同的部分作为换元的对象。在解方程的过程中换元的方法常常不是唯一的，解高次方程时，只要能达到降次目的的换元方法都可以应用。例如在牛刀小试题1中，可以设4x 2+2=y ，则原方程化为y 2+y-12=0；也可以设4x 2+1=y ，则原方程化为y 2+3y-10=0（选C ），（还可以设4x 2=y 等等，学生可以自己练习）。但是无论采用哪一种换元方法，所得方程的解都是相同的。 2.解无理方程时，常把原方程中的一个含有未知数的根式作为整体进行换元，达到化去根号转化为可解方程的目的。这时经过变形，原方程的某个整式部分常可表示为新元的平方。 例2，解方程051356222=-----x x x x 分析：为使原方程中出现形式相同的部分，可以将其变形为 03135)13(222=------x x x x 。 解：设y x x =--132，则原方程可以化为2y 2-5y-3=0 解得（不符合算术根的定义，舍去。） 由3132=--x x 得x 1=5，x 2=-2，经检验是原方程的根。