有关中值定理中辅助函数构造的一般方法研究【开题报告】

毕业论文开题报告

数学与应用数学

有关中值定理中辅助函数构造的一般方法研究

一、选题的背景、意义

1.辅助函数构造法背景

当某些数学问题使用通常办法按定势思维去考虑而很难奏效时，可根据题设条件和结论特征、性质展开联想，进而构造出解决问题的特殊模式——构造辅助函数。辅助函数构造法是数学分析中一个重要的思想方法，在数学分析中具有广泛的应用。构造辅助函数是把复杂问题转化为已知的容易解决问题的一种方法，在解题时，常表现为不对问题本身求解，而是构造一个与问题有关的辅助问题进行求解。

微积分学中辅助函数的构造是在一定条件下利用微积分中值定理求解数学问题的方法。通过查阅现有的大量资料发现，现在国内外对微积分学中辅助函数构造法的研究比较多，其中有一部分研究的是辅助函数构造法的思路，但大部分研究的是辅助函数的构造在微积分学解题中的应用。通过构造辅助函数，可以解决数学分析中众多难题，尤其是在微积分学证明题中应用颇广，且可达到事半功倍的效果。

2.研究现状及发展趋势

辅助函数的构造是我们解决问题的重要工具，对它的研究从没中断过，众多数学工作者对微积分学中辅助函数的构造做了很多研究，也取得了很多学术成果。

辅助函数构造法在数学的发展过程中，有着非常重要的地位，许多经典的定理和公式都是运用到了辅助函数构造法再得以完美的解决，所以对辅助函数构造法的研究也应该运用到更为广泛的领域当中，它可以将未知的问题化为现有的简单的问题。本文只是着重探讨了微积分领域中的一些辅助函数构造法的思路，现在已经有很多学者在更为广泛的数学问题中研究运用辅助函数构造法。相信辅助函数构造法的思想会继续推动着数学领域更好的发展。

二、相关研究的最新成果及动态

本文主要研究辅助函数构造在微积分中的地位与作用，而其中主要分三部分内容，一是

通过分析罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理的推导，尤其是其中辅助函数的构造思想；二是讨论有关中值命题证明中辅助函数构造的方法，归纳罗列出几种常见的方法，从而方便的解决有关中值命题的证明；三是在具体的题目中运用所罗列的构造法，体味构造法的思想。

本文研究的重点内容是通过分析罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理的推导，尤其是其中辅助函数的构造思想，给出有关中值命题证明中辅助函数构造的一般性方法，从而方便的解决有关中值命题的证明。

三、课题的研究内容及拟采取的研究方法（技术路线）、难点及预期达到的目标

1.研究方法与路线

本文主要是通过搜集一些期刊、网页、书籍中有关研究对象辅助函数构造的资料，包括它的历史背景、性质及应、研究的现状及发展方向等内容。然后对资料进行整理，提取有用信息，形成论文的大体构思，其中补充自己的观点，使全文有较好的协接。

本文从罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理的推导切入，在理解其辅助函数的构造思想的基础上来探讨辅助函数构造的方法；接下来转入有关中值命题证明中辅助函数构造的方法，归纳罗列出几种常见的方法。先介绍有关的方法，然后应用举例，由此体现构造法的优越之处。最后，给出具体的题目，运用所列的构造法，体会构造法的思想。

2.研究难点

本问研究难点主要在给出有关中值命题证明中辅助函数构造的一般性方法内容上。

3.预期的目标

通过本文的研究，在我们的《数学分析》的微积分证明中，证明某个问题的结论时，经常会遇到通过已有的条件无法直接推导证明出结论，而这时可以尝试运用辅助函数构造法，根据命题中的条件，将结论变换，从而构造出一个辅助函数，再运用有关的定理结论推导出命题的结论。

四、论文详细工作进度和安排

第七学期第9周至第12周：

收集资料，阅读相关文献，对数学分析中的各种辅助函数构造形式进行深入

地学习和理解，形成系统知识，并整理完成文献综述。

第七学期第13周至第16周：

在理解的基础上给出例题，具体说明问题，撰写开题报告；翻译相关外文文献；上交文

献综述、开题报告，外文翻译。

第八学期第1周至第6周：

在前期的准备工作基础上全面展开论述，撰写论文，并完成论文初稿。

第八学期第7周至第11周：继续完善论文初稿，严格按照论文要求进行编辑和整理。

第八学期第12周至第13周：对论文进行修改完善，定稿。

第八学期第14周至第15周:做好毕业论文答辩准备事项，进行答辩。

五、主要参考文献

[1] 吕喜明,邵颖丽.浅谈微分中值类问题中辅助函数的构造[J].内蒙古财经学院学报(综合版).2004.6,(2):82-83.

[2] 林小龙.微分中值问题中辅助函数的构造法及其应用[J].福建商业高等专科学校学报.2004.10,(5):47-48.

[3] 李国成.利用微分中值定理解题中辅助函数的构造[J].江西教育学院学报(综合).2009.12,(6):5-7.

[4] 李兴东.微分中值问题辅助函数的构造方法[J].兰州交通大学学报.2008.6,(3):151-153.

[5] 何春元.中值问题中辅助函数的一种构造方法[J].工科数学.1995.12,(4):166-168.

[6] 赵林生,杨殿军.中值定理证明中建立辅助函数的几种思想[J].黑龙江商学院学报(自然科学版).1987,(2):121-123.

[7] 孟祥云,王恩亮.由微分中值定理构造函数[J].河北能源职业技术学院学报.2005.6,(2):85-86.

[8] 刘立山,孙钦福.数学分析的基本理论与典型方法[M].北京:中国科学技术出版社,2005:63-71,87-139.

[9] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社,2006:206-222.

[10] 徐利治,王兴华.数学分析的方法及例题选讲[M].北京:高等教育出版社,1983.

[11] 华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M].北京：高等教育出版社，2001:119-127.

[12] 宋振云,陈少元.微分中值定理证明中辅助函数的构造[J].高师理科学刊,2009,29(2):10-13.

[13] 吕书强,李秋红.用罗尔定理证明数学等式时辅助函数的构造法[J].平顶山工学院学报,2002,11(3):86-87.

[14] Rober M.Mcleod.Mean Value Theorems For Vector Valued Functions[J].Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society.1965,(14):197-209.

[15] Zhao Bao-lin.A Note on the Mean Value Theorem for Integrals[J].The Amecian Mathematical Monthly.1997.6,(104):561-562.

高等数学-中值定理证明

第三章中值定理证明

1.闭区间上连续函数定理① ② ③ ④ 2.微分中值定理 ① ② ③ ④ 3.积分中值定理 ① ② 不等式证明思路 ①构造函数（利用极值） ②拉格朗日中值定理 ③函数凹凸性定义

1.若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，()()0f a f b ==，证明：R λ?∈， (,)a b ξ?∈使得：()()0 f f ξλξ'+=2.设,0a b >，证明：(,)a b ξ?∈，使得(1)() b a ae be e a b ξξ-=--3.设()f x 在(0,1)内有二阶导数，且(1)0f =，有2()()F x x f x =证明：在(0,1)内至少存在一点ξ，使得：()0 F ξ''=4.设)(x f 在[0，2a]上连续，)2()0(a f f =，证明在[0,a]上存在ξ使得 )()(ξξf a f =+.

5.若)(x f 在]1,0[上可导，且当]1,0[∈x 时有1)(0<

构造函数法在高等数学中的应用

构造辅助函数在高等数学中的应用 摘要：证明等式和不等式是高等数学中的常见问题，证明方法也多种多样。论文通过几个例子，从研究题目的条件和结论人手，巧妙构造适当的辅助函数进行解题，既能简化证明，又能培养学生的创新思维能力。 构造辅助函数是数学解题的一个很好的工具，辅助函数是使问题转化的桥梁，通过恰当的构造辅助函数可以帮助我们解决很多数学问题，使问题简单化，构造辅助函数的方法是多种多样的，有时需要巧妙的灵活运用，构造辅助函数法还需要进一步探索和总结 如何构造辅助函数是高等数学解题中的难点，看似无章可循，但仔细研究不失基本方法和一般规律 文章通过详尽的实例讲明了辅助函数在中值问题不等式恒等式函数求极限讨论方程的根及计算积分求函数值中的运用 关键词：构造辅助函数；中值定理；恒等式与不等式； 在解题过程中，如果用思维定势来探求解题途径比较困难时，我们不妨换一下思维角度，从问题的结构和特点出发，构造一个与问题相关的辅助函数，实现问题的转化，从而使问题得到证明。本文通过对高等数学中中值问题、不等式的证明、恒等式的证明、函数求极限问题、讨论方程的根及计算积分求函数值这几类问题，应用构造辅助函数进行求解，从不同题型总结归纳了辅助函数的思想和具体的方法 一、有关中值定理命题的证明的应用 1.1构造辅助函数证明中值存在性问题 设()x f ，()x g 在[]b a ,连续，在()b a ,可导。()()0==b f a f 而[]b a x ,∈?，()0≠x g 证明至少存在一点∈ξ()b a ,使()()()()ξξξξf g g f ''= 分析：由于所证命题含有导数形式，我们大胆猜想它积分后的形式。为此我们分下面几步走： (一) 将结论化为()()()()x f x g x g x f ''= (二) 移项并同时除以()x g 2得：()() ()()() 0''2=-x g x f x g x g x f (三) 求积分，并令之为()x F ()()()()()() ()()()()()()x g x f a g a f x g x f dt t g t f t g t g t f x F x =-=-=?02'' 则()x F 就是我们要找的辅助函数。 证明 由于()x f ，()x g 在[]b a ,连续，在()b a ,可导且()()0==b f a f 则()x F 在[]b a ,满足罗尔中值定理，存在∈ξ()b a ,，使得()0'=ξF 即()()()()() 0''2=-ξξξξξg f g g f 也即

几种构造辅助函数的方法及应用

几种构造辅助函数的方法及应用 许生虎 （西北师范大学数学系，甘肃 兰州 730070） 摘 要：在对数学命题的观察和分析基础上给出了构造辅助函数的方法，举例说明了寻求 辅助函数的几种方法及在解题中的作用。 关键词：辅助函数 弧弦差法 原函数法 几何直观法 微分方程法 1. 引言 在解题过程中，根据问题的条件与结论的特点，通过逆向分析、综合运用数学的基本概念和原理，经过深入思考、缜密的观察和广泛的联想，构造出一个与问题有关的辅助函数，通过对函数特征的考查达到解决问题的目的，这种解决问题的方法叫做构造辅助函数法。 构造函数方法在许多命题证明中的应用，使问题得以解决，如在微分中值定理、泰勒公式、中值点存在性、不等式等证明。但构造辅助函数方法的内涵十分丰富没有固定的模式和方法，构造过程充分体现了数学的发现、类比、逆向思维及归纳、猜想、分析与化归思想。但如何通过构造，构造怎样的辅助函数给出命题的证明，是很难理解的问题之一，本文通过一些典型例题归纳、分析和总结常见的构造辅助函数方法及应用。 2. 构造辅助函数的七中方法 2.1“逆向思维法” 例1： 设()x f 在[]1,0 上可微，且满足 ()()?=2 1 21dx x xf f ，证明在][1,0内至少有一点θ，

使()() θθθf f -='. 证明:由所证明的结论出发,结合已知条件,探寻恰当的辅助函数. 将()() θθθf f '变为()()0='?+θθθf f ,联想到()[]()()θθθθf f x xf x '?+='=,可考虑 辅助函数 ()()[].1,0,∈=x x xf x F 因为()()ξξf f =1 , 而对于()x F ,有()()ξξξf F =,()().11f F = 所以,()()1F F =ξ ,由罗尔定理知,至少存在一点()1,ξθ∈,使得()0='θF 即:()() θθθf f -='. 证毕 2.2 原函数法 在微分中值定理(尤其是罗尔定理)求解介值(或零点)问题时要证明的结论往往是某一个函数的导函数的零点,因此可通过不定积分反求出原函数作为辅助函数,用此法构造辅助函数的具体步骤如下: (1)将要证的结论中的;)(0x x 换或ξ (2)通过恒等变换,将结论化为易积分(或易消除导数符号)的形式; (3)用观察法或凑微分法求出原函数(必要时可在等式两端同乘以非零的积分因子),为简便起见,可将积分常数取为零;

中值定理证明

中值定理 首先我们来瞧瞧几大定理: 1、 介值定理:设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A 及 f(b)=B,那么对于A 与B 之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ

中值定理构造辅助函数

微分中值定理证明中辅助函数的构造 1 原函数法 此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数，主要思想分为四点：(1)将要证的结论中的ξ换成x ；(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；(3)用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取积分常数为零；(4)移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数()F x ． 例1：证明柯西中值定理． 分析：在柯西中值定理的结论 ()()'()()()'()f b f a f g b g a g ξξ-=-中令x ξ=，得()()'()()()'()f b f a f x g b g a g x -=-，先变形为()()'()'()()()f b f a g x f x g b g a -=-再两边同时积分得 ()()()()()() f b f a g x f x C g b g a -=+-，令0C =，有() ()()()0()()f b f a f x g x g b g a --=-故()()()()()()() f b f a F x f x g x g b g a -=--为所求辅助函数． 例2：若0a ,1a ,2a ,…,n a 是使得1200231 n a a a a n ++++=+…的实数．证明方程20120n n a a x a x a x ++++=…在（0，1）内至少有一实根． 证：由于2231120120()231n n n n a a a a a x a x a x dx a x x x x C n +++++=++++++?…… 并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设 231120()231 n n a a a F x a x x x x n +=+++++…（取0C =），则 1）()F x 在[0，1]上连续 2）()F x 在（0，1）内可导 3）(0)F =0， 120(1)0231 n a a a F a n =++++=+… 故()F x 满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，存在(0,1)ξ∈使'()0F ξ=，即231120()'0231 n n x a a a a x x x x n ξ+=++++=+…亦即20120n n a a a a ξξξ++++=…．

第四章 微分中值定理与导数的应用

第四章 微分中值定理与导数的应用 第一节 中值定理（2课时） 要求：理解罗尔中值定理与拉格朗日中值定理。了解柯西中值定理。 重点：理解中值定理及简单的应用。 难点：中值定理证明的应用。 一、罗尔(Rolle)定理 罗尔定理 如果函数)(x f 满足条件 （1）在闭区间],[b a 上连续； （2）在开区间),(b a 内可导； （3）)()(b f a f =． 则在开区间),(b a 内至少有一点)(b a <<ξξ，使得函数)(x f 在该点的导数等 于零，即0)(='ξf ． 几何解释 设曲线? AB 的方程为))((b x a x f y ≤≤=，罗尔定理的条件的几何表示，?AB 是一条连续的曲线弧，除端点外处处具有不垂直于x 轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，结论是曲线弧? AB 上至少有一点C ，使该点处曲线的切线是水平的．从图中看到，在曲线的最高点或最低点处，切线是水平的，这就启发了我们证明这个定理的思路，ξ应在函数取最值点处找． 例1．验证罗尔定理对函数34)(2+-=x x x f 在]3,1[上的正确性． 证明 因为函数)3)(1(34)(2--=+-=x x x x x f 在闭区间]3,1[上连续，可导．

)2 (2 4 2 ) (- = - = 'x x x f 且0 )3( )1(= =f f 函数) (x f在区间]3,1[上满足罗尔定理条件，所以在区间)3,1(内存在ξ使得 )2 (2 ) (= - = 'ξ ξ f， 于是)3,1( 2∈ = ξ． 故确实在区间)3,1(内至少存在一点2 = ξ使得0 )2(= 'f，结论成立． 二、拉格朗日中值定理（微分中值定理） 几何分析 拉格朗日中值定理设函数) (x f满足条件 （1）在闭区间] , [b a上连续； （2）在开区间) , (b a内可导． 则在区间) , (b a内至少存在一点) (b a< <ξ ξ，使得等式 ) )( ( ) ( ) (a b f a f b f- ' = -ξ成立． 推论1如果函数) (x f在区间I上的导数恒为零，那么函数) (x f在区间I上是一个常数（它的逆命题也成立）． 例2．试证 2 cot arctan π = +x arc x) (+∞ < < -∞x． 证明构造函数x arc x x f cot arctan ) (+ =， 因为函数) (x f在) , (+∞ -∞上可导，且 1 1 1 1 ) ( 2 2 = + - + = ' x x x f 由推论得()arctan cot f x x arc x C =+=，(,) x∈-∞+∞，

二元函数的积分中值定理的探究

目录 摘要................................................................................ I 关键词.............................................................................. I Abstract ........................................................................... II Key words .......................................................................... II 前言.. (1) 1预备知识 (1) 1.1相关定理 (1) 2 多元函数积分中值定理的各种形式 (2) 2.1 曲线积分中值定理的推广 (2) 2.1.1第一型曲线积分中值定理 (2) 2.1.2第二型曲线积分中值定理 (4) 2.2二重积分中值定理的探究及推广 (5) 2.3曲面积分中值定理的探究及推广 (7) 2.3.1第一型曲面积分中值定理 (7) 2.3.2第二型曲面积分中值定理 (7) 结论 (9) 参考文献 (10) 致谢 (11)

摘要：积分中值定理是数学分析的重要定理，我们主要讨论了二元函数的曲线、重积分、曲面的各种形式中值定理，而且还给出了这些定理的证明过程，最后总结出各类积分中值定理的形式. 关键词：积分中值定理；第二中值定理；曲线积分中值定理；二重积分中值定理；曲面积分中值定理

中值定理构造辅助函数

中值定理构造辅助函数 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

微分中值定理证明中辅助函数的构造 1 原函数法 此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数，主要思想分为四点：(1)将要证的结论中的ξ换成x ；(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；(3)用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取积分常数为零；(4)移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数()F x ． 例1：证明柯西中值定理． 分析：在柯西中值定理的结论()()'()()()'() f b f a f g b g a g ξξ-=-中令x ξ=，得()()'()()()'()f b f a f x g b g a g x -=-，先变形为()()'()'()()() f b f a g x f x g b g a -=-再两边同时积分得()()()()()()f b f a g x f x C g b g a -=+-，令0C =，有()()()()0()() f b f a f x g x g b g a --=-故()()()()()()() f b f a F x f x g x g b g a -=--为所求辅助函数． 例2：若0a ,1a ,2a ,…,n a 是使得1200231 n a a a a n ++++=+…的实数．证明方程20120n n a a x a x a x ++++=…在（0，1）内至少有一实根． 证：由于2231120120()231 n n n n a a a a a x a x a x dx a x x x x C n +++++=++++++?…… 并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设 231120()231 n n a a a F x a x x x x n +=+++++…（取0C =），则 1）()F x 在[0，1]上连续 2）()F x 在（0，1）内可导 3）(0)F =0， 120(1)0231 n a a a F a n =++++=+…

高数中值定理

第三章中值定理与导数 的应用

中值定理与导数的应用的结构 洛必达法则 Rolle 定理 Lagrange 中值定理 常用的泰勒公式 型 0,1,0∞∞型 21∞-∞型 ∞?0型00型∞ ∞Cauchy 中值定理 Taylor 中值定理 x x F =)() ()(b f a f =0 =n g f g f 1= ?2 11 2 21111∞∞∞-∞=∞-∞取对数 令g f y =单调性,极值与最值,凹凸性,拐点,函数图形的描绘;曲率;求根方法. 导数的应用

第三章中值定理与导数的应用 1. 中值定理 2. 常用麦克劳林公式 3. 洛必达法则 4. 函数的单调性、凹凸性、极值与拐点 5. 函数图形性质的讨论 6. 判定极值的充分条件 7. 最值问题 8. 典型例题

1. 中值定理 泰勒中值定理 设f (x )在含0x 的某开区间(a ,b )内具有(n +1)阶 导数, 则当),(b a x ∈时，在 x 与0x 之间存在 ξ ,使 （柯西中值公式） ) () ()()()()('' ξξg f b g a g b f a f =--（拉氏中值公式） )()()(ξf b f a f '=-柯西中值定理 设f (x ), g (x )在闭区间[a ,b ]上连续,在开区间 (a ,b )内可导且g '(x )≠0, 那末),(b a ∈?ξ,使 罗尔中值定理 设f (x )在闭区间[a ,b ]上连续,在开区间(a ,b )内 可导且f (a )= f (b ), 那末),(b a ∈?ξ,使f '(ξ )=0 1 0)1(0 00)() ()!1()()(!)()(++=-++-=∑n n n k n n x x n f x x n x f x f ξ拉氏中值定理 设f (x )在闭区间[a ,b ]上连续,在开区间(a ,b )内 可导, 那末),(b a ∈?ξ,使

拉格朗日中值定理证明中辅助函数构造及应用

分类号 编号 本科生毕业论文（设计） 题目拉格朗日中值定理证明中的辅助函数的构造及应用 作者姓名常正军 专业数学与应用数学 学号 2 9 1 0 1 0 1 0 2 研究类型数学应用方向 指导教师李明图 提交日期 2 0 1 3 - 3 - 1 5

论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交毕业论文，是本人在指导教师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 论文作者签名：年月日

摘要拉格朗日中值定理是微积分学三大基本定理中的主要定理，它在微积分中占据极其重要的地位，有着广泛地应用。关于它的证明，绝大多数教科书采用作辅助函数的方法，然后利用罗尔中值定理的结论证明拉格朗日中值定理来证明。罗尔中值定理是其的特殊形式，而柯西中值定理是其的推广形式，鉴于微分中值定理的广泛地应用，笔者将从以下几个不同的角度探讨拉格朗日中值定理中辅助函数的构造，以及几个方面的应用加以举例。 关键词：拉格朗日中值定理辅助函数的构造证明及应用 Abstract Lagrange mean value theorem is the main theorem of calculus three basic theorem, It occupies an important status and role in the calculus, has wide application. Proof of it, the vast majority of textbooks by using the method of auxiliary function, and then use the conclusion of Rolle's theorem to prove the Lagrange mean value theorem. Rolle mean value theorem is a special form of it, and Cauchy's theorem is extended form of it, given the widely application of the differential mean value theorem. This paper will discuss the construction of auxiliary function of the Lagrange mean value theorem from several following different angles, and several applications for example. Keyword: Lagrange mean value theorem The construction of auxiliary function Proof and Application

微分中值定理的证明题[1](1)

微分中值定理的证明题 1. 若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，()()0f a f b ==，证明：R λ?∈， (,)a b ξ?∈使得：()()0f f ξλξ'+=。 证：构造函数()()x F x f x e λ=，则()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导， 且()()0F a F b ==，由罗尔中值定理知：,)a b ξ?∈ （，使()0F ξ'= 即：[()()]0f f e λξξλξ'+=，而0e λξ≠，故()()0f f ξλξ'+=。 2. 设,0a b >，证明：(,)a b ξ?∈，使得(1)()b a ae be e a b ξξ-=--。 证：将上等式变形得：1111 111111 (1)()b a e e e b a b a ξξ-=-- 作辅助函数1 ()x f x xe =，则()f x 在11[,]b a 上连续，在11 (,)b a 内可导， 由拉格朗日定理得： 11()()1()11f f b a f b a ξ-'=- 1ξ11(,)b a ∈ ， 即 1111(1)11b a e e b a e b a ξξ-=-- 1ξ11(,)b a ∈ ， 即： )()1(b a e be ae a b --=-ξξ (,)a b ξ∈。 3. 设()f x 在(0,1)内有二阶导数，且(1)0f =，有2()()F x x f x =证明：在(0,1) 内至少存在一点ξ，使得：()0F ξ''=。 证：显然()F x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，又(0)(1)0F F ==，故由罗尔定理知：0(0,1)x ?∈，使得0()0F x '= 又2()2()()F x xf x x f x ''=+，故(0)0F '=， 于是()F x '在0[0]x ，上满足罗尔定理条件，故存在0(0,)x ξ∈， 使得：()0F ξ''=，而0(0,)x ξ∈?(0,1)，即证

中值定理构造辅助函数

【第 1 页 共 8页】 微分中值定理证明中辅助函数的构造 1 原函数法 此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数，主要思想分为四点：(1)将要证的结论中的ξ换成x ；(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；(3)用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取积分常数为零；(4)移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数()F x ． 例1：证明柯西中值定理． 分析：在柯西中值定理的结论()()'()()()'() f b f a f g b g a g ξξ-=-中令x ξ=，得()()'()()()'()f b f a f x g b g a g x -=-，先变形为()()'()'()()() f b f a g x f x g b g a -=-g 再两边同时积分得()()()()()() f b f a g x f x C g b g a -=+-g ，令0C =，有()()()()0()()f b f a f x g x g b g a --=-g 故()()()()()()() f b f a F x f x g x g b g a -=--g 为所求辅助函数． 例2：若0a ,1a ,2a ,…,n a 是使得1200231 n a a a a n ++++=+…的实数．证明方程20120n n a a x a x a x ++++=…在（0，1）内至少有一实根． 证：由于2231120120()231n n n n a a a a a x a x a x dx a x x x x C n +++++=++++++?…… 并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设 231120()231 n n a a a F x a x x x x n +=+++++…（取0C =），则 1）()F x 在[0，1]上连续 2）()F x 在（0，1）内可导 3）(0)F =0， 120(1)0231 n a a a F a n =++++=+… 故()F x 满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，存在(0,1)ξ∈使'()0F ξ=，即231120()'0231 n n x a a a a x x x x n ξ+=++++=+…亦即20120n n a a a a ξξξ++++=…．

关于高等数学常见中值定理证明及应用

中值定理 首先我们来看看几大定理： 1、介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值 f(a)=A及f(b)=B，那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ

二元函数中值定理的简单应用

目录 一、引言 (1) 二、主要定理的证明、应用 (1) 2.1二元函数中值定理的第一种形式 (1) 2.11定理及推论的证明 (1) 2.12定理及推论的应用 (2) 2.2二元函数中值定理的第二种形式 (5) 2.21定理及推论的证明 (5) 2.22定理及推论的应用 (5) 2.3二元函数中值定理的不等式形式 (6) 2.31定理及推论的证明 (6) 2.32定理及推论的应用 (8) 三、结论 (9) 四、参考文献 (9) 五、致谢 (9)

数学科学学院本科学年论文二元函数中值定理的简单应用 二元函数中值定理的简单应用 内容摘要 给出了二元函数中值定理的三种不同形式：含一个参变量型、含两个参变量型和不等式型.在每一种形式下我们都给出主要定理的证明，充分了解定理的生成以及内容.此外，在就给出的定理的各种形式以及他们的推论加以推广、运用，得到许多在多元函数中得到广泛运用的重要定理. 关键词：二元函数中值定理

一、引言 我们知道，一元函数的中值定理是数学分析中的一个重要定理，他深刻的揭示了函数在某些区间上的增量与函数在该区间内某点处的导数及区间的长度之间的关系，是利用导数研究函数性质的基础，本文将中值定理推广到二元函数（多元函数的代表），并利用最基本的公式、定理证明一些重要的结论和定理. 二、主要定理的证明、应用 2.1二元函数中值定理的第一种形式 2.11定理及推论的证明 定理 1 若二元函数(,)f x y 在点000(,)p x y 的邻域G 存在两个偏导数，则 G y y x x ∈?+?+?),(00，全改变量 0000,(),(y x f y y x x f z -?+?+=?) y y y x f x y y x x f y x ??++??+?+=),('),('200010θθ 其中.10,1021<<<<θθ 证明： 显然，若点G y y x x ∈?+?+),(00，则点)(0,0y y x ?+与G y x x ∈?+),(00，且连接两点 ),(00y y x x ?+?+与),(00y y x ?+或),(00y y x x ?+?+与),(00y x x ?+的线段也属于 G ，如图1,为此，将全改变量z ?改写为如下形式：

微分中值定理怎样构造辅助函数

微分中值定理怎样构造 辅助函数 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

怎样在微分中值定理中构造辅助函数成了解这类题的主要关键，下面介绍怎样构造的方法，还有附带几个经典例题，希望对广大高数考生有所帮助。 先看这一题，已知f(x)连续，且f(a)=f(b)=0,求证在（a ，b ）中存在ε使f ’(ε)=f(ε) 证明过程： f ’(ε)=f(ε), 所以f ’(x)=f(x), 让f(x)=y, 所以 y dx dy =,即dx dy y =1，所以对两边简单积分，即??=dx dy y 11，所以解出来（真的是不定积分的话后面还要加个常数C ，但这只是我的经验方法，所以不加）就是x y =ln ，也就是x e y =，这里就到了最关键的一步，要使等式一边为1！，所以把x e 除下来，就是1=x e y ，所以左边就是构造函数，也就是x e y -?，而y 就是f(x)，所以构造函数就是x e x f -)(，你用罗尔定理带进去看是不是。再给大家举几个例子。 二、已知f(x)连续，且f(a)=f(b)=0,求证： 在（a ，b ）中存在ε使f ’(ε)+2εf(ε)=0 证：一样的， xy dx dy 2-=，把x,y 移到两边，就是xdx dy y 21-=，所以积分出来就是2ln x y -=，注意y 一定要单独出来，不能带ln ，所以就是=y 2x e -，移出1就是,12=x ye 所以构造函数就是2)(x e x f ，再用罗尔定理就出来了。 三、已知f(x)连续，且f(a)=f(-a),求证在（-a ，a ）中存在ε使f ’(ε) ε+2f(ε)=0.

七大中值定理的理解与运用

七大中值定理的理解与运用 在高等数学内容中，七大中值定理（零点定理、介值定理、三大微分中值定理、泰勒定理与积分中值定理）是学生在学习过程中认为最难的部分。七大定理的难主要在于难理解、难应用。在历次考试，包括研究生入学考试中，与中值有关的问题一直是考试中得分最少的题，因此如何让学生更好的理解与掌握定理，灵活有效的使用定理，一直是我在授课过程中觉得比较难把握的。在授课和答疑过程中也曾经积累了一些想法，但是这些想法都比较零碎。乐老师在培训过程中对中值定理证明问题中辅助函数构造的讲解，对我帮助最大。借这次机会将我对七大定理教学过程中的体会总结如下。 第一，七大定理的归属。 零点定理与介值定理属于闭区间上连续函数的性质。三大中值定理与泰勒定理同属于微分中值定理，并且所包含的内容递进。积分中值定理属于积分范畴，但其实也是微分中值定理的推广。 第二，对使用每个定理的体会。 学生在看到题目时，往往会知道使用某个中值定理，因为这些问题有个很明显的特征—含有某个中值。关键在于是对哪个函数在哪个区间上使用哪个中值定理。

1．使用零点定理问题的基本格式是“证明方程f(x)=0在a,b 之间有一个（或者只有一个）根”。从题目中我们一目了然，应当是对函数f(x)在区间[a,b]内使用零点定理。应当注意的是零点定理只能说明零点在某个开区间内，当要求说明根在某个闭区间或者半开半闭区间内时，需要对这些端点做例外说明。 2．介值定理问题可以化为零点定理问题，也可以直接说明，如“证明在(a,b)内存在ξ，使得f(ξ)=c”，仅需要说明函数 f(x)在[a,b]内连续，以及c位于f(x)在区间[a,b]的值域内。 3．用微分中值定理说明的问题中，有两个主要特征：含有某个函数的导数（甚至是高阶导数）、含有中值（也可能有多个中值）。正如乐老师在培训过程中所说，应用微分中值定理主要难点在于构造适当的函数。曾经在以往授课过程中总结了一点构造函数的方法，这次经过培训，我对构造函数的方法有了进一步的掌握，感觉乐老师讲述的方法便于记忆，更便于学生理解。在微分中值定理证明问题时，我的体会有下面几点：（1）当问题的结论中出现一个函数的一阶导数与一个中值时，肯定是对某个函数在某个区间内使用罗尔定理或者拉格朗日中值定理；（2）当出现多个函数的一阶导数与一个中值时，使用柯西中值定理，此时找到函数是最主要的；（3）当出现高阶导数时，通常归结为两种方法，对低一阶的导函数使用三大微分中值定理、或者使用泰勒定理说明；（4）当出现多个中值点时，应当使用多次中值定理，在更多情况下，由于要求中值点不一样，需要注意区间的选择，两

微分中值定理推广及其应用

微分中值定理推广及其应用 目录 一、引言 (2) 二、微分中值定理及其证明 (2) 2.1罗尔定理 (3) 2.2拉格朗日中值定理 (3) 三、微分中值定理的应用 (4) 3.1证明方程根的存在性 (4) 3.2证明不等式 (5) 3.3 利用微分中值定理求极限及证明相关问题 (6) 3.4求极限 (7) 3.5用来证明函数恒为常数 (7) 3.6中值点存在性的应用 (8) 3.6.1一个中值点的情形 (8) 3.6.2.2 泰勒公式法 (10) 四小结： (11) 致谢 (12) 参考文献： (12)

微分中值定理推广及其应用 【摘要】微分中值定理是数学分析中非常重要的基本定理, 它是沟通函数与其导数之间关系的桥梁. 本文主要对罗尔中值定理的条件做一些适当的改变，能得出如下一些结论，从而扩大罗尔定理的应用范围。从拉格朗日中值定理的几何意义出发，通过几何直观，把数学分析空间解析几何知识有机的结合起来，改变传统的构造函数差的方法，通过构造行列式函数得出定理的新方法。通过对这两个定理进行分析，并加以推广，结合几个常见的实例论述了罗尔中值定理、拉格朗日中值定理。在证明不等式，求函数极限等方面的应用，从而加深对两个定理的理解。 【关键词】罗尔定理拉格朗日中值定理推广应用 一、引言 微分中值定理是微分学的基本定理，在数学分析中占有重要的地位，是研究函数在某个区间的整体性质的有力工具。其中，拉格朗日定理是核心，罗尔定理是其特殊情况，柯西定理是其推广。通过查阅大量资料文献和网上查阅，我找到了很多相关资料。 本文以案例形式介绍了微分中值定理在数学分析中的应用，论述了微分中值定理在求极限、证明不等式以及泰勒公式和中值点存在性等几个方面的应用研究比较细致和深入。其中证明某区间上满足一定条件的中值点的存在性是微分中值定理非常重要的应用，也是在历年考研试题中经常出现的题型之一。利用中值定理证明中值点的存在性，要兼顾条件与结论，综合分析，寻求证明思路。充分理解微分学的相关知识，掌握微分中值定理的内容，并会熟练的应用。 使用微分中值定理证题，方法多种多样，技巧性强。本文对这一部分的典型例题进行整理归纳总结，总结出一套符合初学者认知规律的解题方法是非常必要的，这也是进一步学习数学分析的基础。 二、微分中值定理及其证明 为了应用导数的概念和运算来研究函数与实际问题，需要一个联系局部与整体的工具，这就是微分中值定理.微分学是数学分析的重要组成部分, 微分中值定理作为微分学的核心, 是沟通导数和函数值之间的桥梁.罗尔中值定理、拉格朗

中值定理构造函数

构造辅助函数法在微积分证明中的运用 石琼芳 【摘要】《数学分析》的微积分证明中，证明某个问题的结论时，经常会遇到通过已有的条件无法直接推导证明出结论，而这时可以尝试运用构造函数法，根据命题中的条件，将结论变换，从而构造出一个辅助函数，再运用有关的定理结论推导出命题的结论，这往往对命题的证明能起到事半功倍的结果。构造函数法是一种重要的数学方法，其构造方法思路也是多种多样的，本文通过构造函数法在一些著名的定理，公式以及经典例题的运用，尝试找出如何构造辅助函数的几种方法，并通过这些方法在一些具体实例中的运用归纳出构造函数法的一些思路。 【关键词】构造函数法微积分等式微分中值定理极值 微积分学是数学分析中的核心内容，其命题十分的抽象复杂。因此，在微积分中常见命题的解决时，通常会遇到这样的问题：对于与命题相关的定理与知识所熟悉，但不知如何通过题设，运用定理来解题。这时，单凭对定理的一般运用是无法解决问题的，而是需要构造出一个既能运用题设条件又能应用相关定理得辅助函数，将抽象的关系通过具体的函数表达出来，转化为比较直观的，易于解决的问题。 构造函数法在数学领域中广泛地被采用着，它们所起的作用是桥梁式的作用，甚至有些是起着无法替代的作用。所谓构造函数法，就是利用数学中的概念和方法，按固定的模式经过有限个步骤能够定义的概念和能都实现的方法。而构造函数，简而言之，就是为了使某一数学命题或者某一数学概念通过已知的数学概念和方法，人为地构造出来的函数，这些函数的存在，往往依赖于已知命题的函数的存在，在条件的约束下，去达到证明或者说明某种结论或概念的正确性。在本文，将在不等式证明这个领域中分别讨论构造函数法的运用，将会解决构造函数法在这个领域中运用的一些思路和如何构造辅助函数的方法。再探讨这些方法时，首先，对一些经典的定理以及公式的证明进行分析，找到这些证明的思路，进而将这些思路运用到一些具体的实例当中，进行探讨验证，最后在总结出完成这些思路的一类方法。 “构造函数法”是微积分学里经常用来证明一些重要定理的重要方法。许多文献中，lagrange中值定理，罗尔定理和Cauchy定理的证明都运用到了构造辅助函数，其推理过程简单明了。

中值定理构造辅助函数.docx

微分中值定理证明中辅助函数的构造 1原函数法 此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数， 主要思想分为四点：（1）将要证的结论中的§换成兀；（2）通过恒等变形将结论化为易消 除导数符号的形式；（3）用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取 积分常数为零；（4）移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数F ⑴. 例1：证明柯西中值定理. 分析：在柯西中值定理的结论酬筒中令…，得 '先变形为衞喘伯"）再两边同时积分得 尸（兀）=/（兀）_ /丫）一/"" g （x ）为所求辅助函数. g@）-g ⑷ 例2：若兔，q , $，…，色是使得&）+” + ￥ +…+上、=0的实数.证明方程 2 3 n + \ 兔+q 无+匕2兀2 +…+匕“"=0在（0, 1）内至少有一实根. 证： 由于［*（&）+。］兀 + 偽〒 ++ a n x n ）dx = a^x-^ — x 1 +—x 3 +??? + -^—兀"° +C 」 ? 2 3 n +1 并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设 F （x ） = a {}x + — x 2 + —x 3 +??? + -^-x"J （取C = 0 ）,贝！J 2 3 n + 1 1） F （x ）在［0, 1］上连续 2） F （x ）在（0, 1）内可导 3） F （0）=0, 尸⑴二勺+色+纟+…+厶二。 2 3 n + \ 故尸（尢）满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，存在e （0,1）使F@） = 0,即 （。（）兀+号■兀2 + 守兀‘+…+上穿兀处）：=卍=0亦即€z 0+a,^ + ^2 +???+qg" = 0? /(b)-/⑺) g(b)-g(a) g(x) = /(Q + C ,令 C = 0 /(毎 g(坍 /(>

文科高等数学(4.中值定理)

第四章 中值定理与导数的应用 §4. 1 中值定理 一、罗尔定理 费马引理 设函数f (x )在点x 0的某邻域U (x 0)内有定义, 并且在x 0处可导, 如果对任意x ∈U (x 0), 有 f (x )≤f (x 0) (或f (x )≥f (x 0)), 那么f '(x 0)=0. 罗尔定理 如果函数y =f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 且有f (a )=f (b ), 那么在(a , b )内至少在一点ξ , 使得f '(ξ)=0. 简要证明: (1)如果f (x )是常函数, 则f '(x )≡0, 定理的结论显然成立. (2)如果f (x )不是常函数, 则f (x )在(a , b )内至少有一个最大值点或最小值点, 不妨设有一最大值点ξ∈(a , b ). 于是 0) ()(lim )()(≥--='='- →-ξξξξξ x f x f f f x , 0)()(lim )()(≤--='='+ →+ξ ξξξξ x f x f f f x , 所以f '(x )=0. 罗尔定理的几何意义: 二、拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理 如果函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 那么在(a , b )内至少有一点ξ(a <ξ