中值定理构造辅助函数

中值定理构造辅助函数 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

微分中值定理证明中辅助函数的构造

1 原函数法

此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数，主要思想分为四点：(1)将要证的结论中的ξ换成x ；(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；(3)用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取积分常数为零；(4)移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数()F x ．

例1：证明柯西中值定理． 分析：在柯西中值定理的结论()()'()()()'()

f b f a f

g b g a g ξξ-=-中令x ξ=，得()()'()()()'()f b f a f x g b g a g x -=-，先变形为()()'()'()()()

f b f a

g x f x g b g a -=-再两边同时积分得()()()()()()f b f a g x f x C g b g a -=+-，令0C =，有()()()()0()()

f b f a f x

g x g b g a --=-故()()()()()()()

f b f a F x f x

g x g b g a -=--为所求辅助函数． 例2：若0a ,1a ,2a ,…,n a 是使得1200231

n a a a a n ++++=+…的实数．证明方程20120n n a a x a x a x ++++=…在（0，1）内至少有一实根． 证：由于2231120120()231

n n n n a a a a a x a x a x dx a x x x x C n +++++=++++++?…… 并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设

231120()231

n n a a a F x a x x x x n +=+++++…（取0C =），则 1）()F x 在[0，1]上连续

2）()F x 在（0，1）内可导

3）(0)F =0， 120(1)0231

n a a a F a n =++++=+…

故()F x 满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，存在(0,1)ξ∈使'()0F ξ=，即231120()'0231

n n x a a a a x x x x n ξ+=++++=+…亦即20120n n a a a a ξξξ++++=…． 这说明方程20120n n a a x a x a x ++++=…在（0，1）内至少有实根x ξ=．

2 积分法

对一些不易凑出原函数的问题，可用积分法找相应的辅助函数．

例3：设()f x 在[1，2]上连续，在（1，2）内可导，1(1)2

f =

，(2)2f =．证明存在(1,2)ξ∈使2()'()f f ξξξ=．

分析：结论变形为'()2()0f f ξξξ-=，不易凑成'()0x F x ξ==．我们将ξ换为

x ，结论变形为'()20()f x f x x -=，积分得：2()ln ()2ln ln ln f x f x x c x

-==，即2()f x c x =，从而可设辅助函数为2()()f x F x x =，有1(1)(2)2

F F ==．本题获证． 例4：设函数()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可微，()()0f a f b ==．证明存在(,)a b ξ∈，使得：'()()'()0f f g ξξξ+=．

证：将'()()'()0f f g ξξξ+=变形为'()()'()f f g ξξξ=-?'()'()()

f g f ξξξ=-，将ξ换为x ，则'()'()()

f x

g x f x =-，两边关于x 积分，得： '()'()()f x dx g dx f x ξ=-???1[()][()]ln ()()()

d f x d g x f x g x C f x =-?=-+??，所以()(())exp(())exp()f x exp g x C g x C =-+=-exp(())K g x =-，其中exp()K C =，由()(())f x Kexp g x =-可得()exp(())K f x g x =．由上面积分的推导可知，

()exp(())f x g x 为一常数K ，故其导数必为零，从整个变形过程知，满足这样结论的ξ的存在是不成问题的．因而令()()exp(())F x f x g x =，易验证其满足罗尔定理的条件，原题得证．

3 几何直观法

此法是通过几何图形考查两函数在区间端点处函数值的关系，从而建立适当的辅助函数．

例5：证明拉格朗日中值定理．

分析：通过弦AB 两个端点的直线方程为

()()()()f b f a y f a x a b a

-=+--，则函数()f x 与直线AB 的方程之差即函数

()()()()[()()]f b f a F x f x f a x a b a

-=-+--在两个端点处的函数值均为零，从而满足罗尔定理的条件故上式即为要做辅助函数．

例6：若()f x 在[,]a b 上连续且(),()f a a f b b <>．试证在(,)a b 内至少有一点ξ，使()f ξξ=．

分析：由图可看出，此题的几何意义是说，

连续函数()y f x =的图形曲线必跨越y x =这一条

直线，而两者的交点的横坐标ξ，恰满足

()f ξξ=．进而还可由图知道，对[,]a b 上的同一

自变量值x ，这两条曲线纵坐标之差()f x x -构成

一个新的函数()g x ，它满足()g a <0,()g b >0,因而

符合介值定理的条件．当ξ为()g x 的一个零点时，()0g ξ=恰等价于()f ξξ=．因此即知证明的关键是构造辅助函数()()g x f x x =-．

4 常数k 值法

此方法构造辅助函数的步骤分为以下四点：

1）将结论变形，使常数部分分离出来并令为k ．

2）恒等变形使等式一端为a 及()f a 构成的代数式，另一端为b 及()f b 构成的代

数式．

3）观察分析关于端点的表达式是否为对称式．若是，则把其中一个端点设为

x ，相应的函数值改为()f x ．

4）端点换变量x 的表达式即为辅助函数()F x ．

例7：设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，(0)a b <<，试证存在一点(,)a b ξ∈，使等式()()ln '()a

f b f a f b

ξξ-=成立． 分析：将结论变形为()()'()ln ln f b f a f b a ξξ-=-，令()()ln ln f b f a k b a

-=-，则有()ln ()ln f b k b f a k a -=-，令b x =，可得辅助函数()()ln F x f x k x =-．

例8：设''()f x 在[,]a b 上存在，在a c b <<，试证明存在(,)a b ξ∈，使得()()()1''()()()()()()()2

f a f b f c f a b a c b a b c c a c b ξ++=------． 分析：令()()()()()()()()()

f a f b f c k a b a c b a b c c a c b ++=------，于是有()()()()()()()()()b c f a a b f c c a f b k a b a c b c -+-+-=---，上式为关于a ，b ，c 三点的轮换对称式，令b x =（or ：c x =，or ：a x =），则得辅助函数

()()()()()()()()()()F x x c f a a x f c c a f x k a x a c x c =-+-+-----．

5 分析法

分析法又叫倒推法，就是从欲证的结论出发借助于逻辑关系导出已知的条件和结论．

例9：设函数()F x 在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，证明在（0，1）内存在一点C ，使得1(1)(0)()'()c c F F e e F C --=+-．

分析：所要证的结论可变形为：11(1)(0)()'()'()c c c e F F e e F c F c e

----=-=，即(1)(0)'()1c F F F c e e

-=-，因此可构造函数()x G x e =，则对()F x 与()G x 在[0，1]上应用柯西中值定理即可得到证明．

例10：设函数()f x 在[0,1]上连续，在（0，1）内可导，且(0)f =0，对任意(0,1)x ∈有()0f x ≠．证明存在一点(0,1)ξ∈使'()'(1)()(1)

nf f f f ξξξξ-=-（n 为自然数）成立．

分析：欲证其成立，只需证'()(1)'(1)()0nf f f f ξξξξ---=由于对任意(0,1)x ∈有()0f x ≠，故只需证：1(())'()(1)'(1)(())0n n n f f f f f ξξξξξ----=即

'

[(())(1)]0n x f x f x ξ=-=，于是引入辅助函数()(())(1)n F x f x f x =-（n 为自然数）．

例11：设函数()f x 在区间［0，+∞］上可导，且有n 个不同零点：

120n x x x <<<<…．试证()'()af x f x +在[0，+∞]内至少有1n -个不同零点．（其中，a 为任意实数）

证明：欲证()'()af x f x +在[0，+∞）内至少有1n -个不同零点，只需证方程()'()af x f x +=0在[0，+∞]内至少有1n -个不同实根．

因为，[0,+)x ∈∞，ax e 0≠，故只需证方程ax e [()'()]0af x f x +=在[0,+)∞内至少有1n -个不同实根．

引入辅助函数()()ax F x e f x =，易验证()F x 在区间[12,x x ]，[23,x x ]，…，[1,n n x x -]上满足罗尔定理的条件，所以，分别在这1n -个区间上应用罗尔定理，得121'()'()'()0n F F F ξξξ-====…，其中11222311(,),(,),(,)n n n x x x x x x ξξξ--∈∈∈…且1210n ξξξ-<<<<…

以上说明方程

'()0F x =在[12,x x ][23,x x ]…[1,n n x x -]?[0，+∞]内至少有1n -个不同实根，从而证明了方程()'()af x f x +=0在[0，+∞]内至少有1n -个不同实根．

6 待定系数法

在用待定系数法时，一般选取所证等式中含ξ的部分为M ，再将等式中一个端点的值b 换成变量x ，使其成为函数关系，等式两端做差构造辅助函数()x ?，这样首先可以保证()b ?=0，而由等式关系()a ?=0自然满足，从而保证()x ?满足罗尔定理条件，再应用罗尔定理最终得到待定常数M 与'()f ξ之间的关系．

例12：设()f x 是[,]a b 上的正值可微函数，试证存在(,)a b ξ∈，使

()'()ln ()()()

f b f b a f a f ξξ=-． 证明：设()ln ()()f b M b a f a =-，令()()ln ()()

f x x M x a f a ?=--容易验证()x ?在[,]a b 上满足罗尔定理条件，由罗尔定理，存在(,)a b ξ∈使'()0?ξ=，解得'()()f M f ξξ=，故()'()ln

()()()f b f b a f a f ξξ=-． 例13：设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，则在(,)a b 内至少存在一点ξ使222[()()]()'()f b f a b a f ξξ-=-． 证明：将所证等式看作22'()()()()2f f b f a b a ξξ

-=-，设22()()()f b f a M b a -=-，令22()()()()x f x f a M x a ?=---，则()x ?满足罗尔定理条件，由罗尔定理得，存在一点(,)a b ξ∈，使'()0?ξ=，即'()2f M ξξ=，若ξ=0，

则'()0f ξ=，结论成立；若0ξ≠，则'()2f M ξξ

=

，从而有222[()()]()()f b f a f b a ξξ-=-． 例14：设120x x <<，则存在12(,)x x ξ∈使211212(1)()x x x e x e e x x ξξ-=--． 分析：对于此题设211212()x x x e x e M x x -=-作函数

1

1()x x x x e xe ?=-1()M x x --．应用罗尔定理可得存在12(,)x x ξ∈，使'()0?ξ=，即110x x e e M ξ-+=，从而11x M e x e ξ=-，这样并不能证明原结论，遇到这种情况，说明所作的辅助函数不合适，则需要将所证明的等式变形，重新构造辅助函数． 证明：将所证等式变形为212121

11(1)()x x e e e x x x x ξξ-=--，设2121x x e e x x -=2111()M x x -，令11

()x x e e x x x ?=-111()M x x --，则()x ?满足罗尔定理条件，用罗尔定理可得存在12(,)x x ξ∈，使'()0?ξ=，即22

10e e M ξξξξξ-+=，于是(1)M e ξξ=-，故211212(1)()x x x e x e e x x ξξ-=--．

总之，证明微分中值命题的技巧在于：一是要仔细观察，适当变换待证式子；二是要认真分析，巧妙构造辅助函数．抓住这两点，即可顺利完成证明．

几种构造辅助函数的方法及应用

几种构造辅助函数的方法及应用 许生虎 （西北师范大学数学系，甘肃 兰州 730070） 摘 要：在对数学命题的观察和分析基础上给出了构造辅助函数的方法，举例说明了寻求 辅助函数的几种方法及在解题中的作用。 关键词：辅助函数 弧弦差法 原函数法 几何直观法 微分方程法 1. 引言 在解题过程中，根据问题的条件与结论的特点，通过逆向分析、综合运用数学的基本概念和原理，经过深入思考、缜密的观察和广泛的联想，构造出一个与问题有关的辅助函数，通过对函数特征的考查达到解决问题的目的，这种解决问题的方法叫做构造辅助函数法。 构造函数方法在许多命题证明中的应用，使问题得以解决，如在微分中值定理、泰勒公式、中值点存在性、不等式等证明。但构造辅助函数方法的内涵十分丰富没有固定的模式和方法，构造过程充分体现了数学的发现、类比、逆向思维及归纳、猜想、分析与化归思想。但如何通过构造，构造怎样的辅助函数给出命题的证明，是很难理解的问题之一，本文通过一些典型例题归纳、分析和总结常见的构造辅助函数方法及应用。 2. 构造辅助函数的七中方法 2.1“逆向思维法” 例1： 设()x f 在[]1,0 上可微，且满足 ()()?=2 1 21dx x xf f ，证明在][1,0内至少有一点θ，

使()() θθθf f -='. 证明:由所证明的结论出发,结合已知条件,探寻恰当的辅助函数. 将()() θθθf f '变为()()0='?+θθθf f ,联想到()[]()()θθθθf f x xf x '?+='=,可考虑 辅助函数 ()()[].1,0,∈=x x xf x F 因为()()ξξf f =1 , 而对于()x F ,有()()ξξξf F =,()().11f F = 所以,()()1F F =ξ ,由罗尔定理知,至少存在一点()1,ξθ∈,使得()0='θF 即:()() θθθf f -='. 证毕 2.2 原函数法 在微分中值定理(尤其是罗尔定理)求解介值(或零点)问题时要证明的结论往往是某一个函数的导函数的零点,因此可通过不定积分反求出原函数作为辅助函数,用此法构造辅助函数的具体步骤如下: (1)将要证的结论中的;)(0x x 换或ξ (2)通过恒等变换,将结论化为易积分(或易消除导数符号)的形式; (3)用观察法或凑微分法求出原函数(必要时可在等式两端同乘以非零的积分因子),为简便起见,可将积分常数取为零;

构造辅助函数证明微分中值定理及应用

构造辅助函数证明微分中值定理及应用 摘要：构造辅助函数是证明中值命题的一种重要途径。本文给出了几种辅助函数的构造方法：微分方程法，常数K值法，几何直观法，原函数法，行列式法；并且举出具体例子加以说明。 关键字：辅助函数，微分方程，微分中值定理 Constructing auxiliary function to prove differential median theorem and its copplications

Abstract: Constructing auxiliary function is the important method to prove median theorem. This paper gives several ways of constructing auxiliary function:Differential equation, Constant K, Geometry law, Primary function law, Determinant law;and Gives some specific examples to illustrate how to constructing. Key words: Auxiliary function; Differential equation; Differential median theorem 目录 一：引言 (4) 二：数学分析中三个中值定理 (4) 三：五种方法构造辅助函数 (6) 1：几何直观法 (6)

2：行列式法…………………………………………………………………… .第7页 3：原函数法 (8) 4：微分方程法 (10) 5：常数k值法 (13) 四：结论 (15) 参考文献 (15) 致谢 (16) 一:引言 微分中值定理是应用导数的局部性质研究函数在区间上的整体性质的基本工具，在高等数学课程中占有十分重要的地位，是微分学的理论基础，这部分内容理论性强，抽象程度高，所谓中值命题是指涉及函数（包括函数的一阶导数，二阶导数等）定义区间中值一些命

中值定理构造辅助函数

微分中值定理证明中辅助函数的构造 1 原函数法 此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数，主要思想分为四点：(1)将要证的结论中的ξ换成x ；(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；(3)用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取积分常数为零；(4)移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数()F x ． 例1：证明柯西中值定理． 分析：在柯西中值定理的结论 ()()'()()()'()f b f a f g b g a g ξξ-=-中令x ξ=，得()()'()()()'()f b f a f x g b g a g x -=-，先变形为()()'()'()()()f b f a g x f x g b g a -=-再两边同时积分得 ()()()()()() f b f a g x f x C g b g a -=+-，令0C =，有() ()()()0()()f b f a f x g x g b g a --=-故()()()()()()() f b f a F x f x g x g b g a -=--为所求辅助函数． 例2：若0a ,1a ,2a ,…,n a 是使得1200231 n a a a a n ++++=+…的实数．证明方程20120n n a a x a x a x ++++=…在（0，1）内至少有一实根． 证：由于2231120120()231n n n n a a a a a x a x a x dx a x x x x C n +++++=++++++?…… 并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设 231120()231 n n a a a F x a x x x x n +=+++++…（取0C =），则 1）()F x 在[0，1]上连续 2）()F x 在（0，1）内可导 3）(0)F =0， 120(1)0231 n a a a F a n =++++=+… 故()F x 满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，存在(0,1)ξ∈使'()0F ξ=，即231120()'0231 n n x a a a a x x x x n ξ+=++++=+…亦即20120n n a a a a ξξξ++++=…．

中值定理有关的证明题辅助函数法

与微分中值定理有关的证明题，辅助函数方法介绍 一．积分法 例 设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，试证明：在(,)a b 内至少存在一点ξ， 满足：22[()()]2[]()f b f a b a f ξξ'-?=-? 分析 将求证等式改写为22[()()]2[]()0f b f a b a f ξξ'-?--?= 左端看成一个函数()F x （辅助函数）在ξ处的导数，即令 22()[()()]2[]()F x f b f a x b a f x ''=-?--? 积分得222()[()()][]()F x f b f a x b a f x =-?--? 证明：作辅助函数222()[()()][]()F x f b f a x b a f x =-?--? 22()[()()]2[]()F x f b f a x b a f x ''=-?--? 则()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且 22 ()()()()F a a f b b f a F b =-= 由罗尔定理知：存在(,)a b ξ∈，使()0F ξ'=，即得 22[()()]2[]()f b f a b a f ξξ'-?=-? 说明：（1）由于积分的不唯一性，也可以取 2222 ()[()()]()[](()())F x f b f a x a b a f x f a =----- 由此可得()()0F a F b ==，不但计算更方便，而且对证明更有信心 （2）本题若取2()g x x =，所以()2g x x '= 由柯西中值定理得：存在(,)a b ξ∈， 使得 22()()()2f b f a f b a ξξ '-=- 移项得22[()()]2[]()f b f a b a f ξξ'-?=-? 但是为了应用柯西中值定理，必须假定00a b a b ≤<<≤或，以确保()0g x '≠ 而对0a b <<情况，不能应用柯西中值定理 二．微分方程法（含有求知函数以及未知函数的等式，称为微分方程，课本第6章） 例 设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(1)0f =，求证：在(0,1)内至少存在 一点ξ，满足：2()()0f f ξξξ'+= 分析 本题求证式中不仅含有()f ξ'，而且含有()f ξ，对()f ξ是难以直接积分法，像上例的求出一个()F x ，使得它的导数满足()2()()F x f x x f x ''=+常常不可能 由于[()()]()()()()u x f x u x f x u x f x '''=+中既含有含有()f x 又含有()f x ' 与求证式构造已是相同的了，但要使()2()u x u x x '==和同时成立也是不可能的， 解决矛盾的关键，结论中可能约去了一个不等于的的公因子 因为任给一个()0x ?≠，有 2()()0()[2()()]0f f f f ξξξ?ξξξξ''+=?+= 从而求证式等价于2()()()()0f f ?ξξ?ξξξ'+= 上式左端看成一个函数()()()F x u x f x =（辅助函数）在ξ处的导数，即令 ()()()()() 2()()()()F x u x f x u x f x x f x x x f x ??'''=+'=+ 令 () () ()2()()()()2u x u x u x x u x x x x x ???''==?== （说明()f x 与()f x '的系数对应成比例） 所以 () ()222 u x u x du u du dx x dx x u x '=?==分离变量得 22ln ln du dx u x c u x =?=+? ? 得 2u cx = 取1c = 得2u x = 作辅助函数2()()F x x f x =

中值定理构造辅助函数

中值定理构造辅助函数 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

微分中值定理证明中辅助函数的构造 1 原函数法 此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数，主要思想分为四点：(1)将要证的结论中的ξ换成x ；(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；(3)用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取积分常数为零；(4)移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数()F x ． 例1：证明柯西中值定理． 分析：在柯西中值定理的结论()()'()()()'() f b f a f g b g a g ξξ-=-中令x ξ=，得()()'()()()'()f b f a f x g b g a g x -=-，先变形为()()'()'()()() f b f a g x f x g b g a -=-再两边同时积分得()()()()()()f b f a g x f x C g b g a -=+-，令0C =，有()()()()0()() f b f a f x g x g b g a --=-故()()()()()()() f b f a F x f x g x g b g a -=--为所求辅助函数． 例2：若0a ,1a ,2a ,…,n a 是使得1200231 n a a a a n ++++=+…的实数．证明方程20120n n a a x a x a x ++++=…在（0，1）内至少有一实根． 证：由于2231120120()231 n n n n a a a a a x a x a x dx a x x x x C n +++++=++++++?…… 并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设 231120()231 n n a a a F x a x x x x n +=+++++…（取0C =），则 1）()F x 在[0，1]上连续 2）()F x 在（0，1）内可导 3）(0)F =0， 120(1)0231 n a a a F a n =++++=+…

拉格朗日中值定理证明中的辅助函数的构造及应用

分类号 编号 本科生毕业论文（设计） 题目拉格朗日中值定理证明中的辅助函数的构造及应用 作者姓名常正军 专业数学与应用数学 学号 2 9 1 0 1 0 1 0 2 研究类型数学应用方向 指导教师李明图 提交日期 2 0 1 3 - 3 - 1 5

论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交毕业论文，是本人在指导教师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 论文作者签名：年月日

摘要拉格朗日中值定理是微积分学三大基本定理中的主要定理，它在微积分中占据极其重要的地位，有着广泛地应用。关于它的证明，绝大多数教科书采用作辅助函数的方法，然后利用罗尔中值定理的结论证明拉格朗日中值定理来证明。罗尔中值定理是其的特殊形式，而柯西中值定理是其的推广形式，鉴于微分中值定理的广泛地应用，笔者将从以下几个不同的角度探讨拉格朗日中值定理中辅助函数的构造，以及几个方面的应用加以举例。 关键词：拉格朗日中值定理辅助函数的构造证明及应用 Abstract Lagrange mean value theorem is the main theorem of calculus three basic theorem, It occupies an important status and role in the calculus, has wide application. Proof of it, the vast majority of textbooks by using the method of auxiliary function, and then use the conclusion of Rolle's theorem to prove the Lagrange mean value theorem. Rolle mean value theorem is a special form of it, and Cauchy's theorem is extended form of it, given the widely application of the differential mean value theorem. This paper will discuss the construction of auxiliary function of the Lagrange mean value theorem from several following different angles, and several applications for example. Keyword: Lagrange mean value theorem The construction of auxiliary function Proof and Application

中值定理构造辅助函数

【第 1 页 共 8页】 微分中值定理证明中辅助函数的构造 1 原函数法 此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数，主要思想分为四点：(1)将要证的结论中的ξ换成x ；(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；(3)用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取积分常数为零；(4)移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数()F x ． 例1：证明柯西中值定理． 分析：在柯西中值定理的结论()()'()()()'() f b f a f g b g a g ξξ-=-中令x ξ=，得()()'()()()'()f b f a f x g b g a g x -=-，先变形为()()'()'()()() f b f a g x f x g b g a -=-g 再两边同时积分得()()()()()() f b f a g x f x C g b g a -=+-g ，令0C =，有()()()()0()()f b f a f x g x g b g a --=-g 故()()()()()()() f b f a F x f x g x g b g a -=--g 为所求辅助函数． 例2：若0a ,1a ,2a ,…,n a 是使得1200231 n a a a a n ++++=+…的实数．证明方程20120n n a a x a x a x ++++=…在（0，1）内至少有一实根． 证：由于2231120120()231n n n n a a a a a x a x a x dx a x x x x C n +++++=++++++?…… 并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设 231120()231 n n a a a F x a x x x x n +=+++++…（取0C =），则 1）()F x 在[0，1]上连续 2）()F x 在（0，1）内可导 3）(0)F =0， 120(1)0231 n a a a F a n =++++=+… 故()F x 满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，存在(0,1)ξ∈使'()0F ξ=，即231120()'0231 n n x a a a a x x x x n ξ+=++++=+…亦即20120n n a a a a ξξξ++++=…．

微分中值定理怎样构造辅助函数

微分中值定理怎样构造 辅助函数 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

怎样在微分中值定理中构造辅助函数成了解这类题的主要关键，下面介绍怎样构造的方法，还有附带几个经典例题，希望对广大高数考生有所帮助。 先看这一题，已知f(x)连续，且f(a)=f(b)=0,求证在（a ，b ）中存在ε使f ’(ε)=f(ε) 证明过程： f ’(ε)=f(ε), 所以f ’(x)=f(x), 让f(x)=y, 所以 y dx dy =,即dx dy y =1，所以对两边简单积分，即??=dx dy y 11，所以解出来（真的是不定积分的话后面还要加个常数C ，但这只是我的经验方法，所以不加）就是x y =ln ，也就是x e y =，这里就到了最关键的一步，要使等式一边为1！，所以把x e 除下来，就是1=x e y ，所以左边就是构造函数，也就是x e y -?，而y 就是f(x)，所以构造函数就是x e x f -)(，你用罗尔定理带进去看是不是。再给大家举几个例子。 二、已知f(x)连续，且f(a)=f(b)=0,求证： 在（a ，b ）中存在ε使f ’(ε)+2εf(ε)=0 证：一样的， xy dx dy 2-=，把x,y 移到两边，就是xdx dy y 21-=，所以积分出来就是2ln x y -=，注意y 一定要单独出来，不能带ln ，所以就是=y 2x e -，移出1就是,12=x ye 所以构造函数就是2)(x e x f ，再用罗尔定理就出来了。 三、已知f(x)连续，且f(a)=f(-a),求证在（-a ，a ）中存在ε使f ’(ε) ε+2f(ε)=0.

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微分中值定理证明中辅助函数的构造 1原函数法 此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数， 主要思想分为四点：（1）将要证的结论中的§换成兀；（2）通过恒等变形将结论化为易消 除导数符号的形式；（3）用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取 积分常数为零；（4）移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数F ⑴. 例1：证明柯西中值定理. 分析：在柯西中值定理的结论酬筒中令…，得 '先变形为衞喘伯"）再两边同时积分得 尸（兀）=/（兀）_ /丫）一/"" g （x ）为所求辅助函数. g@）-g ⑷ 例2：若兔，q , $，…，色是使得&）+” + ￥ +…+上、=0的实数.证明方程 2 3 n + \ 兔+q 无+匕2兀2 +…+匕“"=0在（0, 1）内至少有一实根. 证： 由于［*（&）+。］兀 + 偽〒 ++ a n x n ）dx = a^x-^ — x 1 +—x 3 +??? + -^—兀"° +C 」 ? 2 3 n +1 并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设 F （x ） = a {}x + — x 2 + —x 3 +??? + -^-x"J （取C = 0 ）,贝！J 2 3 n + 1 1） F （x ）在［0, 1］上连续 2） F （x ）在（0, 1）内可导 3） F （0）=0, 尸⑴二勺+色+纟+…+厶二。 2 3 n + \ 故尸（尢）满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，存在e （0,1）使F@） = 0,即 （。（）兀+号■兀2 + 守兀‘+…+上穿兀处）：=卍=0亦即€z 0+a,^ + ^2 +???+qg" = 0? /(b)-/⑺) g(b)-g(a) g(x) = /(Q + C ,令 C = 0 /(毎 g(坍 /(>

微分中值定理辅助函数类型的构造技巧

辅助函数的几种特殊用法 在高等数学中，证明一些中值等式的题目也是比较困难的。因为一般我们要花大量的时间去找一个恰当的辅助函数，如果我们能熟悉一些特殊类型题目的辅助函数的构造及相关定理的运用，这样就会为我们解题提供方便，从而节约大量的时间。为此我们需要牢记以下几种常见题型中辅助函数的特殊用法。 (1)若题目中出现等式“'()()f kf ζζ-”时，一般可以考虑作辅助函数 )()(x f e x F kx -=. 例:设函数f 在[,]a b 上可微，且()()0f a f b ==证明：k R ?∈，(,)a b ζ?∈，使得'()()f kf ζζ= 分析:要证'()()f kf ζζ=，即证'( )()0f k f ζζ-=，也就是证ζ函数)()(x kf x f -'的零点.注意到[()]'['()()]kx kx f x e f x kf x e --=-，因此，只要检验函数 ()()kx F x f x e -=是否满足罗尔中值定理条件，但这是明显的. 证明:构造辅助函数()()kx F x f x e -=，(,)x a b ∈， 则()F x 在[,]a b 上满足罗尔定理条件，故(,)a b ζ?∈，使得0)(='ζF ， 而 [])()()()()(ζζζζζ kf f e e x kf e x f F k x kx kx -'=-'='-=--， 则 ['()()]0k e f kf ζζζ--=， 即 '()()f kf ζζ=. (2)若题目结论中出现等式“1'()n A f ζζ-=)0(≠A ”时，可考虑作副主函数

()()F x f x =，()n G x x =. 例:设函数f 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可微.证明：(,)a b ζ?∈，使得： 222(()())'()()f b f a f b a ζζ-=-. 证明: i ）若0(,)a b ?作辅助函数()()F x f x =，2()G x x =，()F x ，()G x 均满足柯西中值定理条件 所以(,)a b ζ?∈使得 22()()'() 2f b f a f b a ζζ -=-， 即 222(()())'()()f b f a f b a ζζ-=-. ii ）若0(,)a b ∈，'(0)0,0f a b ≠+≠由i ）可类似得证. iii ）若0(,)a b ∈，'(0)0f ≠，取0ζ=，即证. (3)若题目结论中出现“()'()f f ζζζ-”时，可以考虑作辅助函数 ()()f x F x x = ，1 ()G x x =. 例:设函数f 在[,]a b 上连续)0(>a ，在(,)a b 内可微.证明： (,)a b ζ?∈使得 1 ()'()()() a b f f f a f b a b ζζζ=--, 证明:因为 2 )()()(x x f x f x x x f -'=' ?? ????, 考虑作辅助函数()()f x F x x = ，1 ()G x x =，显然F 与G 在[,]a b 上满足柯西中值 定理条件，所以必(,)a b ζ?∈， 使得 ) ()()()()()(ζζG F a G b G a F b F ''=-- 即

微分中值定理(怎样构造辅助函数)

怎样在微分中值定理中构造辅助函数成了解这类题的主要关键，下面介绍怎样构造的方法，还有附带几个经典例题，希望对广大高数考生有所帮助。 先看这一题，已知f(x)连续，且f(a)=f(b)=0,求证在（a ，b ）中存在ε使f ’(ε)=f(ε) 证明过程： f ’(ε)=f(ε), 所以f ’(x)=f(x), 让f(x)=y, 所以 y dx dy =,即dx dy y =1，所以对两边简单积分，即??=dx dy y 11，所以解出来（真的是不定积分的话后面还要加个常数C ，但这只是我的经验方法，所以不加）就是x y =ln ，也就是x e y =，这里就到了最关键的一步，要使等式一边为1！，所以把x e 除下来，就是1=x e y ，所以左边就是构造函数，也就是x e y -?，而y 就是f(x)，所以构造函数就是x e x f -)(，你用罗尔定理带进去看是不是。再给大家举几个例子。 二、已知f(x)连续，且f(a)=f(b)=0,求证： 在（a ，b ）中存在ε使f ’(ε)+2εf(ε)=0 证：一样的，xy dx dy 2-=，把x,y 移到两边，就是xdx dy y 21-=，所以积分出来就是2ln x y -=，注意y 一定要单独出来，不能带ln ，所以就是=y 2x e -，移出1就是,12=x ye 所以构造函数就是2 )(x e x f ，再用罗尔定理就出来了。

三、已知f(x)连续，且f(a)=f(-a),求证在（-a ，a ）中存在ε使f ’(ε) ε+2f(ε)=0. 证： 02=+y x dx dy ，移项就是dx x dy y 121-=，所以x y ln 2ln -=，所以就是2 1x y =，移项就是12=?x y ，所以构造的函数就是2)(x x f ?，再用罗尔定理就可以了。 注：这种方法不是万能的， 结合下面例题尝试做下。 微分中值定理的证明题 1. 若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，()()0f a f b ==，证明： R λ?∈，(,)a b ξ?∈使得：()()0f f ξλξ'+=。

微分中值定理(怎样构造辅助函数)

微分中值定理中用积分因子(微分方程)来构造辅助函数的方 法 相信同学们在微分中值定理这一块内容不是很懂，特别是构造辅助函数这一部分相当困难。本人今天有幸在书上看到一个方法叫做用积分因子(微分方程)来构造函数的方法，个人感觉这方法特别有用。于是我百度找到了下面内容： 先看这一题，已知f(x)连续，且f(a)=f(b)=0,求证在（a ，b ）中存在ε使f ’(ε)=f(ε) 证明过程： f ’(ε)=f(ε), 所以f ’(x)=f(x), 让f(x)=y, 所以 y dx dy =,即dx dy y =1，所以对两边简单积分，即??=dx dy y 11，所以解出来（真的是不定积分的话后面还要加个常数C ，但这只是我的经验方法，所以不加）就是x y =ln ，也就是x e y =，这里就到了最关键的一步，要使等式一边为1！，所以把x e 除下来，就是1=x e y ，所以左边就是构造函数，也就是x e y -?，而y 就是f(x)，所以构造函数就是x e x f -)(，你用罗尔定理带进去看是不是。再给大家举几个例子。 二、已知f(x)连续，且f(a)=f(b)=0,求证： 在（a ，b ）中存在ε使f ’(ε)+2εf(ε)=0

证：一样的，xy dx dy 2-=，把x,y 移到两边，就是xdx dy y 21-=，所以积分出来就是2ln x y -=，注意y 一定要单独出来，不能带ln ，所以就是=y 2x e -，移出1就是,12=x ye 所以构造函数就是2 )(x e x f ，再用罗尔定理就出来了。 三、已知f(x)连续，且f(a)=f(-a),求证在（-a ，a ）中存在ε使f ’(ε) ε+2f(ε)=0. 证： 02=+y x dx dy ，移项就是dx x dy y 121-=，所以x y ln 2ln -=，所以就是21x y =，移项就是12=?x y ，所以构造的函数就是2)(x x f ?，再用罗尔定理就可以了。 注：这种方法不是万能的，

有关中值定理中辅助函数构造的一般方法研究开题报告

有关中值定理中辅助函数构造的一般方法研究开题报 告 开题报告 有关中值定理中辅助函数构造的一般方法研究 一、选题的背景、意义 1.辅助函数构造法背景当某些数学问题使用通常办法按定势思维去考虑而很难奏效时,可根据题设条件和结论特征、性质展开联想,进而构造出解决问题的特殊模式??构造辅助函数。辅助函数构造法是数学分析中一个重要的思想方法,在数学分析中具有广泛的应用。构造辅助函数是把复杂问题转化为已知的容易解决问题的一种方法,在解题时,常表现为不对问题本身求解,而是构造一个与问题有关的辅助问题进行求解。微积分学中辅助函数的构造是在一定条件下利用微积分中值定理求解数学问题的方法。通过查阅现有的大量资料发现,现在国内外对微积分学中辅助函数构造法的研究比较多,其中有一部分研究的是辅助函数构造法的思路,但大部分研究的是辅助函数的构造在微积分学解题中的应用。通过构造辅助函数,可以解决数学分析中众多难题,尤其是在微积分学证明题中应用颇广,且可达到事半功倍的效果。 2.研究现状及发展趋势辅助函数的构造是我们解决问题的重要工具,对它的研究从没中断过,众多数学工作者对微积分学中辅助函数的构造做了很多研究,也取得了很多学术成果。辅助函数构造法在数学的发展过程中,有着非常重要的地位,许多经典的定理和公式都是运用到了辅助函数构造法再得以完美的解决, 所以对辅助函数构造法的研究也应该运用到更为广泛的领域当中,它可以将未知的问题化为现有的简单的问题。本文只是着重探讨了微积分领域中的一些辅助函数构造法的思路,现在已经有很多学者在更为广泛的数学问题中研究运用辅助函数构造法。相信辅助函数构造法的思想会继续推动着数学领域更好的发展。

有关中值定理中辅助函数构造的一般方法研究【开题报告】

毕业论文开题报告 数学与应用数学 有关中值定理中辅助函数构造的一般方法研究 一、选题的背景、意义 1.辅助函数构造法背景 当某些数学问题使用通常办法按定势思维去考虑而很难奏效时，可根据题设条件和结论特征、性质展开联想，进而构造出解决问题的特殊模式——构造辅助函数。辅助函数构造法是数学分析中一个重要的思想方法，在数学分析中具有广泛的应用。构造辅助函数是把复杂问题转化为已知的容易解决问题的一种方法，在解题时，常表现为不对问题本身求解，而是构造一个与问题有关的辅助问题进行求解。 微积分学中辅助函数的构造是在一定条件下利用微积分中值定理求解数学问题的方法。通过查阅现有的大量资料发现，现在国内外对微积分学中辅助函数构造法的研究比较多，其中有一部分研究的是辅助函数构造法的思路，但大部分研究的是辅助函数的构造在微积分学解题中的应用。通过构造辅助函数，可以解决数学分析中众多难题，尤其是在微积分学证明题中应用颇广，且可达到事半功倍的效果。 2.研究现状及发展趋势 辅助函数的构造是我们解决问题的重要工具，对它的研究从没中断过，众多数学工作者对微积分学中辅助函数的构造做了很多研究，也取得了很多学术成果。 辅助函数构造法在数学的发展过程中，有着非常重要的地位，许多经典的定理和公式都是运用到了辅助函数构造法再得以完美的解决，所以对辅助函数构造法的研究也应该运用到更为广泛的领域当中，它可以将未知的问题化为现有的简单的问题。本文只是着重探讨了微积分领域中的一些辅助函数构造法的思路，现在已经有很多学者在更为广泛的数学问题中研究运用辅助函数构造法。相信辅助函数构造法的思想会继续推动着数学领域更好的发展。 二、相关研究的最新成果及动态 本文主要研究辅助函数构造在微积分中的地位与作用，而其中主要分三部分内容，一是

微分中值定理中辅助函数的构造及应用

微分中值定理中辅助函数的构造及应用 摘要：本文围绕数学分析微分中值定理这一章节的内容，结合作者的实际学习及应用定理的经验，介绍了在学习微分中值定理和解决一些实际问题的过程中，辅助函数的重要作用以及其广泛应用。 关键词：辅助函数微分中值定理1、构造辅助函数 构造辅助函数是一种重要的数学思想方法。无论是在初等数学还是高等数学中都具有广泛的应用。它属于数学思想方法中的构造法。所谓构造法，就是在数学解题中．不能直接运用逻辑推理一步—步地导出必要条件而最后得出问题的结论时。就要跳出原来问题的圈子，从新的角度、用新的观点观察分析，别开生面地依据题设条件的特点，用已知条件中的元素为“原件”，用已知数学关系式为“支架”。在思维中构造出一种新的数学形式，使原问题中隐晦不清的关系和性质在新构造中清晰地展现出来，从而简捷地解决问题。辅助函数是依据数学问题所提供的信息而构造的函数，再利用这个函数的特性进行求解。构造辅助函数是将原来的数学问题转化为容易解决的辅助函数问题。在我们学习数学分析和应用数学分析的若干定理去解决一些数学问题的时候，经常会发现，构造一个合适的辅助函数，可以起到事半功倍的效果。尤其是在学习微分中值定理和在利用微分中值定理的相关知识去解决一些实际问题的时候，构造合适的辅助函数就显得尤为重要了。 利用构造辅助函数来证明中值定理是辅助函数用以解决数学命题的精彩典范;通过巧妙地数学变换，将一般化为特殊（特殊情况先证明），将复杂问题化为简单问题的论证思想在我们学习数学分析或者高等代数时有很深的影响。 2、构造辅助函数的方法 综上所述，在微分中值定理的学习及应用的过程中，构造合适的辅助函数不仅可以便于我们理解领会，在某些实际问题的解决上，构造合适的辅助函数去进行证明和计算，往往就能够化难为易，使问题迎刃而解。 参考文献： [1]华东师大数学系，数学分析[M]，高等教育出版社，1999. [2]黄先开.曹显兵.简怀玉，2009年考研数学经典讲义(理工类)，2008. [3]辅助函数在数学分析中的应用一二，张宣，西安文理学院幼儿师范学院，2009. [4]高等数学中辅助函数的构造，蔡凤仙，昭通师范高等专科学校学报，2009.K常数法

辅助函数

构造辅助函数法在微积分证明中的运用 石琼芳 【摘要】《数学分析》的微积分证明中，证明某个问题的结论时，经常会遇到通过已有的条件无法直接推导证明出结论，而这时可以尝试运用构造函数法，根据命题中的条件，将结论变换，从而构造出一个辅助函数，再运用有关的定理结论推导出命题的结论，这往往对命题的证明能起到事半功倍的结果。构造函数法是一种重要的数学方法，其构造方法思路也是多种多样的，本文通过构造函数法在一些著名的定理，公式以及经典例题的运用，尝试找出如何构造辅助函数的几种方法，并通过这些方法在一些具体实例中的运用归纳出构造函数法的一些思路。 【关键词】构造函数法微积分等式微分中值定理极值 微积分学是数学分析中的核心内容，其命题十分的抽象复杂。因此，在微积分中常见命题的解决时，通常会遇到这样的问题：对于与命题相关的定理与知识所熟悉，但不知如何通过题设，运用定理来解题。这时，单凭对定理的一般运用是无法解决问题的，而是需要构造出一个既能运用题设条件又能应用相关定理得辅助函数，将抽象的关系通过具体的函数表达出来，转化为比较直观的，易于解决的问题。 构造函数法在数学领域中广泛地被采用着，它们所起的作用是桥梁式的作用，甚至有些是起着无法替代的作用。所谓构造函数法，就是利用数学中的概念和方法，按固定的模式经过有限个步骤能够定义的概念和能都实现的方法。而构造函数，简而言之，就是为了使某一数学命题或者某一数学概念通过已知的数学概念和方法，人为地构造出来的函数，这些函数的存在，往往依赖于已知命题的函数的存在，在条件的约束下，去达到证明或者说明某种结论或概念的正确性。在本文，将在不等式证明这个领域中分别讨论构造函数法的运用，将会解决构造函数法在这个领域中运用的一些思路和如何构造辅助函数的方法。再探讨这些方法时，首先，对一些经典的定理以及公式的证明进行分析，找到这些证明的思路，进而将这些思路运用到一些具体的实例当中，进行探讨验证，最后在总结出完成这些思路的一类方法。 “构造函数法”是微积分学里经常用来证明一些重要定理的重要方法。许多文献中，lagrange中值定理，罗尔定理和Cauchy定理的证明都运用到了构造辅助函数，其推理过程简单明了。