混沌现象研究
混沌现象研究
实验二十九混沌现象研究
长期以来，人们在认识和描述运动时，大多只局限于线性动力学描述方法，即确定的运动有一个完美确定的解析解。但是自然界在相当多情况下，非线性现
象却起着很大的作用。1963年美国气象学家Lorenz在分析天气预报模型时，首
先发现空气动力学中的混沌现象，该现象只能用非线性动力学来解释。于是，1975年混沌作为一个新的科学名词首次出现在科学文献中。从此，非线性动力学迅速
发展，并成为有丰富内容的研究领域。该学科涉及非常广泛的科学范围，从电子
学到物理学，从气象学到生态学，从数学到经济学等。混沌通常相应于不规则或
非周期性，这是由非线性系统本质产生的。本实验将引导学生自己建立一个非线
性电路，该电路包括有源非线性负阻、LC振荡器和RC移相器三部分；采用物理实验方法研究LC振荡器产生的正弦波与经过RC移相器移相的正弦波合成的相图（李萨如图），观测振动周期发生的分岔及混沌现象；测量非线性单元电路
的电流—电压特性，从而对非线性电路及混沌现象有一深刻了解；学会自己制作
和测量一个实用带铁磁材料介质的电感器以及测量非线性器件伏安特性的方法。
1、非线性电路与非线性动力学
实验电路如图30-1所示，图30-1中只有一个非线性元件R，它是一个有源非线性负阻器件。电感器L和电容器C2组成一个损耗可以忽略的谐振回路；可变电阻R和电容器C串联将振荡器产生的正弦信号移相输出。本实验所用的非01
线性元件R是一个五段分段线性元件。图30-2所示的是该电阻的伏安特性曲线，
可以看出加在此非线性元件上电压与通过它的电流极性是相反的。由于加在此元
件上的电压增加时，通过它的电流却减小，因而将此元件称为非线性负阻元件。
R0 IR
C R 1C VR L 2
图29-1 非线性电路原理图
图29-2 非线性元件伏安特性
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图30-1电路的非线性动力学方程为：
dUC1C=G(U-U)-gU 1C2C1C1dt
dUC2C=G(U-U)+i30-1 2C1C2L dt
diLL=-U C2dt
式中，U、U是C、C上的电压，ｉ是电感L上的电流，G=1/R是电、C1C212L0导，在图5中，ｇ为U的函数，如果R是线性的，g是常数，电路就是一般的振荡
电路，得到的解是正弦函数，电阻R的作用是调节C和C的位相差，把、012C和C 两端的电压分别输入到示波器的x，y轴，则显示的图形是椭圆。如果R12 是非线性的，会看到什么现象呢？
电路中的R是非线性元件，它的伏安特性如图4所示，是一个分端线性的电阻，整体呈现出非线性。gU是一个分段线性函数。由于g总体是非线性函C1 数，三元非线性方程组（1）没有解析解。若用计算机编程进行数据计算，当取
适当电路参数时，可在显示屏上观察到模拟实验的混沌现象[见参考资料（6）]。
除了计算机数学模拟方法之外，更直接的方法是用示波器来观察混沌现象，实验电路如图5所示，图5中，非线性电阻是电路的关键，它是通过一个双运算
放大器和六个电阻组合来实现的。电路中，LC并联构成振荡电路，R的作用是0分相，使J1和J2两处输入示波器的信号产生位相差，可得到x,y两个信号的合成图形，双运放LF353的前级和后级正、负反馈同时存在，正反馈的强弱与比值R/R，R/R有关，负反馈的强弱与比值R/R，R/R有关。当正反馈大于负30602155反馈时，振荡电路才能维持振荡。若调节R，正反馈就发生变化，LF353处于0
振荡状态，表现出非线性，从C，D两点看，LF353与六个电阻等效一个非线性电阻，它的伏安特性大致如图30-4所示。
I
R3 R6 8 3 6 + + 7 1 LF353 LF353 2 5 - - R5 0 U 4 R2
R4 R1
图29-4 双运放非线性元件的伏安特性图29-3 有源非线性器件
2、有源非线性负阻元件的实现
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有源非线性负阻元件实现的方法有多种，这里使用的是一种较简单的电路
采用两个运算放大器（一个双运放LF353）和六个配制电阻来实现，其电路如图
3所示，它的伏安特性曲线如图4所示，实验所要研究的是该非线性元件对整个
电路的影响，而非线性负阻元件的作用是使振动周期产生分岔和混沌等一系列非
线性现象。实际非线性混沌实验电路如图30-5所示
J(CH) J(CH) 2211scope x-y
C y x
R0 R6 R3 8 6 3 + + 1 7 LF353 LF353 5 2 - - C C 12L R5 4 R2
R1 R4
图29-5 非线性电路混沌实验电路 3、名词解释
本名词解释引自参考资料2中的附录3 “简明词汇”。这些定义是描述性的，并非是标准数学定义，但有助于初学者对这些词汇的理解。这些词汇定义多数是按相空间作出的。
分岔：在一族系统中，当一个参数值达到某一临界值以上时，系统长期行
为的一个突然变化。
混沌：?表征一个动力系统的特征，在该系统中大多数轨道显示敏感依赖
性，即完全混沌。 ?有限混沌；表征一个动力系统的特征，在该系统中某些特殊轨道是非周期的，但大多数轨道是周期或准周期的。
实验用仪器如图6所示。非线性电路混沌实验仪由四位半电压表（量程0～
19.999V，分辩率1ｍV）、-15V~0~+15V稳压电源和非线性电路混沌实验线路板三
部分组成。观察倍周期分岔和混沌现象用双踪示波器。一、必做内容
1、测量有源非线性电阻的伏安特性并画出伏安特性图
（1）由于非线性电阻是含源的，测量时不用电源，用电阻箱调节，伏安表实验二十九混沌现象研究
并联在非线性电阻两端，再和电阻箱串联在一起构成回路。
(2) 尽量多测数据点。
图29-6 实验装置
2、倍周期现象、周期性窗口、单吸引子和双吸引子的观察、记录和描述
将电容C和C上的电压输入到示波器的X，Y轴，先把R调到最小，示波120器上可以观察到一条直线，调节R，直线变成椭圆，到某一位置，图形缩成一点。0
增大示波器的倍率，反向微调R，可见曲线作倍周期变化，曲线由一周期增为二0
周期，由二周期增为四周期……直至一系列难以计数的无首尾的环状曲线，这是
一个单涡旋吸引子集，再细微调节R，单吸引子突然变成了双吸引子，只见环状0
曲线在两个向外涡旋的吸引子之间不断填充与跳跃，这就是混沌研究文献中所描
述的“蝴蝶”图象，也是一种奇怪吸引子，它的特点是整体上的稳定性和局域
上的不稳定性同时存在。利用这个电路，还可以观察到周期性窗口，仔细调节R，有时原先的混沌吸引子不是倍周期变化,却突然出现了一个三周期图象，再0
微调R，又出现混沌吸引子，这一现象称为出现了周期性窗口。混沌现象的另一0
个特征是对于初值的敏感性。
观察并记录不同倍周期时UC--t图和R的值。 10
二、选做内容
测量一个铁氧体电感器的电感量，观测倍周期分岔和混沌现象。
1、按图5所示电路接线。其中电感器L由实验者用漆包铜线手工缠绕。可
在线框上绕75—85圈，然后装上铁氧体磁芯，并把引出漆包线端点上的绝缘漆
用刀片刮去，使两端点导电性能良好。也可以用仪器附带铁氧体电感器。
2、串联谐振法测电感器电感量。把自制电感器、电阻箱（取30.00Ω）串联，并与低频信号发生器相接。用示波器测量电阻两端的电压，调节低频信号发生器正弦波频率，使电阻两端电压达到最大值。同时，测量通过电阻的电流值I。
实验二十九混沌现象研究
要求达到I=5mA（有效值）时，测量电感器的电感量
1.1、按图5接好实验面板图，将方程（1）中的1/G即RV1+RV2值放到较大某值，这时示波器出现李萨如图，如图7-a所示，用扫描档观测为二个具有一定相移（相位差）的正弦波。
1.2、逐步减小1/G值，开始出现二个“分列”的环图，出现了分岔现象，
即由原来1倍周期变为2倍周期，示波器上显示李萨如图，如图7-b所示。
1.3、继续减小1/G值，出现4倍周期（如图7-c所示）、8倍周期、16倍周期与阵发混沌交替现象，阵发混沌见图7-d。
1.4、再减小1/G值，出现了3倍周期，如图7-e所示，图象十分清楚稳定。
根据Yorke的著名论断“周期3意味着混沌”，说明电路即将出现混沌。
1.5、继续减小1/G，则出现单个吸引子，如图7-f 所示。
1.6、再减小1/G，出现双吸引子，如图7-g所示。
由于在本实验中制作线圈时使用了磁芯，因而线圈的电感对电流的变化非
常明显，以下测量到的数据可以很清楚地说明这一点，但由于本实验对混沌现象
只用于定性半定量的观察，因而对实验影响并不大。
L
CH2测量R两端电压。保持信号发生器输出电压不变，调节频率，当CH2测得的电压最大时，RLC串联电路达到谐振。
CH2
L C R
CH1
图30-8 测量电感的电路
电感谐振时有
LCωL=1/ωC f=1/2π 0
22实验二十九混沌现象研究 2L=1/4πCf U=U/2，回路中电流的有效值
I=UR/R 0RCH2
其中f为谐振频率，UCH2表示CH2波形的峰-峰电压，UR表示电阻R两端0 输出的电压。
测量的实验数据记录表如表1所示
1
f/kH I/mA L/mH 0Z
双运算放大器中2个对称放大器各自的配置电阻相差100倍，这就使得2
个放大器输出电流的总和，在不同的工作电压段，输出总电流随电压变化关系不
相同（其中一个放大器达到电流饱和，另一个尚未饱和），因而出现了非线性的
伏安特性。测量结果如表2，实验电路如图11所示。
’R有源非线性负阻(接通电源的双运放) ’ V RR R为外接电阻箱
图29-9 有源非线性负阻元件伏安特性原理图
有源非线性负阻元件一般满足“蔡氏电路”的特性曲线。实验中，将电路
的LC振荡部分与非线性电阻直接断开，图8的伏特表用来测量非线性元件两端的电压。由于非线性电阻是有源的，因此回路中始终有电流流过，R使用的是电阻箱，其作用是改变非线性元件的对外输出。使用电阻箱可以得到很精确的电阻，尤其可以对电阻值做微小的改变，因而微小地改变输出。
实验二十九混沌现象研究实验测得数据记录见表2（仅供参考）：
2
电压/V 电流/mA 电压/V 电流/mA 电压/V 电流/mA
1、实验中需自制铁氧体为介质的电感器，该电感器的电感量与哪些因素有关？此电感量可用哪些方法测量？
2、非线性负阻电路（元件），在本实验中的作用是什么？
3、为什么要采用RC移相器，并且用相图来观测倍周期分岔等现象？如果
不用移相器，可用哪些仪器或方法？
4、通过做本实验请阐述倍周期分岔、混沌、奇怪吸引子等概念的物理含义。
蔡氏电路MATLAB混沌仿真
蔡氏电路的Matlab混沌 仿真研究 班级： 姓名： 学号：
摘要 本文首先介绍非线性系统中的混沌现象，并从理论分析与仿真计算两个方面细致研究了非线性电路中典型混沌电路，即蔡氏电路反映出的非线性性质。通过改变蔡氏电路中元件的参数，进而产生多种类型混沌现象。最后利用软件对蔡氏电路的非线性微分方程组进行编程仿真，实现了双涡旋和单涡旋状态下的同步，并准确地观察到混沌吸引子的行为特征。 关键词：混沌；蔡氏电路；MATLAB仿真 Abstract This paper introduce s the chaos phenomenon in nonlinear circuits. Chua’s circuit was a typical chaos circuit, thus theoretical analysis and simulation was made to research it. Many kinds of chaos phenomenon on would generate as long as one component parameter was altered in C hua’s circuit．On the platform of Matlab, mathematical model of Chua’s circuit was programmed and simulated to acquire the synchronization of dual and single cochlear volume. Meanwhile, behavioral characteristics of chaos attractor were observed. Key words：chaos phenomenon；Chua’s circuit；Simulation
混沌现象的通俗解释
混沌现象的通俗解释 非线性，俗称“蝴蝶效应”。 什么是蝴蝶效应？先从美国麻省理工学院气象学家洛伦兹（Lorenz）的发现谈起。为了预报天气，他用计算机求解仿真地球大气的13个方程式。为了更细致地考察结果，他把一个中间解取出，提高精度再送回。而当他喝了杯咖啡以后回来再看时竟大吃一惊：本来很小的差异，结果却偏离了十万八千里！计算机没有毛病，于是，洛伦兹（Lorenz）认定，他发现了新的现象：“对初始值的极端不稳定性”，即：“混沌”，又称“蝴蝶效应”，亚洲蝴蝶拍拍翅膀，将使美洲几个月后出现比狂风还厉害的龙卷风！ 这个发现非同小可，以致科学家都不理解，几家科学杂志也都拒登他的文章，认为“违背常理”：相近的初值代入确定的方程，结果也应相近才对，怎么能大大远离呢！ 线性，指量与量之间按比例、成直线的关系，在空间和时间上代表规则和光滑的运动；而非线性则指不按比例、不成直线的关系，代表不规则的运动和突变。如问：两个眼睛的视敏度是一个眼睛的几倍？很容易想到的是两倍，可实际是6－10倍！这就是非线性：1＋1不等于2。 激光的生成就是非线性的！当外加电压较小时，激光器犹如普通电灯，光向四面八方散射；而当外加电压达到某一定值时，会突然出现一种全新现象：受激原子好象听到“向右看齐”的命令，发射出相位和方向都一致的单色光，就是激光。 非线性的特点是：横断各个专业，渗透各个领域，几乎可以说是：“无处不在时时有。”如：天体运动存在混沌；电、光与声波的振荡，会突陷混沌；地磁场在400万年间，方向突变16次，也是由于混沌。甚至人类自己，原来都是非线性的：与传统的想法相反，健康人的脑电图和心脏跳动并不是规则的，而是混沌的，混沌正是生命力的表现，混沌系统对外界的刺激反应，比非混沌系统快。由此可见，非线性就在我们身边，躲也躲不掉了。 1979年12月，洛伦兹（Lorenz）在华盛顿的美国科学促进会的一次讲演中提出：一只蝴蝶在巴西扇动翅膀，有可能会在美国的德克萨斯引起一场龙卷风。他的演讲和结论给人们留下了极其深刻的印象。从此以后，所谓“蝴蝶效应”之说就不胫而走，名声远扬了。 “蝴蝶效应”之所以令人着迷、令人激动、发人深省，不但在于其大胆的想象力和迷人的美学色彩，更在于其深刻的科学内涵和内在的哲学魅力。混沌理论认为在混沌系统中，初始条件的十分微小的变化经过不断放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别。我们可以用在西方流传的一首民谣对此作形象的说明。这首民谣说： 丢失一个钉子，坏了一只蹄铁； 坏了一只蹄铁，折了一匹战马； 折了一匹战马，伤了一位骑士； 伤了一位骑士，输了一场战斗； 输了一场战斗，亡了一个帝国。 马蹄铁上一个钉子是否会丢失，本是初始条件的十分微小的变化，但其“长期”效应却是一个帝国存与亡的根本差别。这就是军事和政治领域中的所谓“蝴蝶效应”。有点不可思议，但是确实能够造成这样的恶果。一个明智的领导人一定要防微杜渐，看似一些极微小的事情却有可能造成集体内部的分崩离析，那时岂不是悔之晚矣？ 横过深谷的吊桥，常从一根细线拴个小石头开始。 莫以恶小而为之，莫以善小而不为。 千里之堤，毁于蚁穴。 混沌现象在自然界所经历的途径及是普遍存在的，近些年来，人们不仅从实验室观察到了许多混沌现象，而且认识到混沌产生的条件，其特征，在理论上发现了一些有关混沌产生的普遍规律，混沌理论的研究已经不仅仅局限于物理学方面，而且成为跨学科的十分活跃的研究方向，比如在生命，意识，社会发展变化上的研究。有人甚至认为混沌理论是继量子论，相对论以后的第三大革命。所以对混沌与牛顿定律的内在随机性的研究，不仅是在物理学上，
混沌现象研究
实验二十九混沌现象研究 长期以来，人们在认识和描述运动时，大多只局限于线性动力学描述方法，即确定的运动有一个完美确定的解析解。但是自然界在相当多情况下，非线性现象却起着很大的作用。1963年美国气象学家Lorenz在分析天气预报模型时，首先发现空气动力学中的混沌现象，该现象只能用非线性动力学来解释。于是，1975年混沌作为一个新的科学名词首次出现在科学文献中。从此，非线性动力学迅速发展，并成为有丰富内容的研究领域。该学科涉及非常广泛的科学范围，从电子学到物理学，从气象学到生态学，从数学到经济学等。混沌通常相应于不规则或非周期性，这是由非线性系统本质产生的。本实验将引导学生自己建立一个非线性电路，该电路包括有源非线性负阻、LC振荡器和RC移相器三部分；采用物理实验方法研究LC振荡器产生的正弦波与经过RC移相器移相的正弦波合成的相图（李萨如图），观测振动周期发生的分岔及混沌现象；测量非线性单元电路的电流—电压特性，从而对非线性电路及混沌现象有一深刻了解；学会自己制作和测量一个实用带铁磁材料介质的电感器以及测量非线性器件伏安特性的方法。【实验原理】 1、非线性电路与非线性动力学 实验电路如图30-1所示，图30-1中只有一个非线性元件R，它是一个有源非线性负阻器件。电感器L和电容器C2组成一个损耗可以忽略的谐振回路；可变电阻R0和电容器C1串联将振荡器产生的正弦信号移相输出。本实验所用的非线性元件R是一个五段分段线性元件。图30-2所示的是该电阻的伏安特性曲线，可以看出加在此非线性元件上电压与通过它的电流极性是相反的。由于加在此元件上的电压增加时，通过它的电流却减小，因而将此元件称为非线性负阻元件。 C2 R0 R C1 L 图29-2 非线性元件伏安特性 图29-1 非线性电路原理图 V（R）
用Matlab观察分岔与混沌现象
M a t l a b 实验报告 实验目的：用Matlab 观察分岔与混沌现象。 题目：Feigenbaum 曾对超越函数sin()y x λπ=（λ为非负实数）进行了分岔与混沌的研究，试利用迭代格式1sin()k k x x λπ+=，做出相应的Feigenbaum 图 算法设计： 1、因为λ为非负实数，所以试将λ的范围限制在[0,3]，制图时x 的坐标限制在[0,3]，考虑到y 的值有正有负，所以把y 的坐标限制在 [-3,3]。 2、根据课本上给的例题，编写程序代码来绘图。 程序代码： clear;clf; hold on axis([0,3,-3,3]); grid for a=0:0.005:3 x=[0.1]; for i=2:150 x(i)=a*sin(pi*x(i-1)); end pause(0.1) for i=101:150 plot(a,x(i),'k.'); end end 图像： 结果分析：在λ取值在[0,0.3]区间内时，y 的值保持在0，然后开始上升，在λ取值在0.75附近时，开始分岔为两支。从整体上看，随着λ的值越来越大，所产生的迭代序列越来越复杂，可能会随机地落在区间（-3,3）的任一子区间内。并可能重复，这就是混沌的遍历性。 进一步分析：由于λ的取值空间偏小，考虑扩大其取值范围
到[0,6]，再进一步观察图像。程序代码如下： clear;clf; hold on axis([0,6,-6,6]); grid for a=0:0.05:6 x=[0.1]; for i=2:150 x(i)=a*sin(pi*x(i-1)); end pause(0.1) for i=101:150 plot(a,x(i),'k.'); end end 图像： 分析：由图像可见，随着 取值范围的增大，图像呈现出周期性的特点。 总结：1、当取值范围比较小，不足以发现图像规律时，可以考虑扩大变量的取值范围。 2、由于图像是由大量点构成的，所以在编程的时候注意循环 语句的应用。
非线性电路中混沌现象的研究实验
非线性电路中混沌现象的研究实验 长期以来人们在认识和描述运动时，大多只局限于线性动力学描述方法，即确定的运动必然有一个确定的解析解。但是在自然界中相当多的情况下，非线性现象却有着非常大的作用。1963年美国气象学家Lorenz 在分析天气预报模型时，首先发现空气动力学中的混沌现象，这一现象只能用非线性动力学来解释。于是，1975年混沌作为一个新的科学名词首先出现在科学文献中。从此,非线性动力学得到迅速发展,并成为有丰富内容的研究领域。该学科涉及到非常广泛的科学范围，从电子学到物理学，从气象学到生态学,从数学到经济学等。混沌通常相应于不规则或非周期性,这是非由非线性系统产生的本实验将引导学生自已建立一个非线性电路。 【实验目的】 1.测量非线性单元电路的电流--电压特性,从而对非线性电路及混沌现象有一深刻了解。 2.学会测量非线性器件伏安特性的方法。 【实验仪器】 非线性电路混沌实验仪 【实验原理】 图1 非线性电路 图2 三段伏安特性曲线 1.非线性电路与非线性动力学： 实验电路如图1所示,图1中只有一个非线性元件R ，它是一个有源非线性负阻器件。电感器L 和电容器2C 组成一个损耗可以忽略的振荡回路:可变电阻21W W +和电容器1C 串联将振荡器产生的正弦信号移相输出。较理想的非线性元件R 是一个三段分段线性元件。图2所示的是该电阻的伏安特性曲线,从特性曲线显示加在此非线性元件上电压与通过它的电流极性是相反的。由于加在此元件上的电压增加时，通过它的电流却减小，因而将此元件称为非线性负阻元件。图1 电路的非线性动力学方程为： 11211Vc g )Vc Vc (G dt dVc C ?--?=L 2122 i )Vc Vc (G dt dVc C +-?=
MIS的混沌治理研究
ＭＩＳ的混沌治理研究 关于《ＭＩＳ的混沌治理研究》，是我们特意为大家整理的，希望对大家有所帮助。 ［摘要］MIS系统的混沌治理研究大体上指两个方面：一是将MIS看成是一个混沌系统分析其所应具有的若干混沌特性，二是把混沌理论和方法应用于MIS的治理实践。本文首先先容了混沌现象的特征及混沌理论的研究内容，并运用混沌理论探讨了MIS 系统中的若干混沌特性,这些特性包括：分形性、耗散性、内在随机性以及初值敏感性等，然后分析了混沌理论在MIS中的应用，最后指出了混沌理论在MIS系统中的一些研究方向。［关键词］混沌；MIS；混沌吸引子；分形；蝴蝶效应；混沌治理 1 引言
MIS（Management Information Systems）发展过程中的不确定性和现代企业经营环境的不稳定性，使得越来越多 的治理理论家们倾向于将MIS理解成为非线性系统、复杂系统，并且用非线性系统理论、复杂系统理论研究MIS发展的过程，解决和解释MIS发展过程中出现的题目和现象。目前将非线性系统理论尤其是混沌理论与MIS治理相联系的研究成果还未几见，而应用混沌理论分析MIS的特性，研究MIS演化的模式及其过程的治理，对发展MIS治理理论具有重要的学术及实际指导意义。 2 混沌理论简介 混沌学研究起源于1960s Edward Lorenz的天气猜测模型“蝴蝶效应”，正是这一“蝴蝶效应”模型，揭示了自然界表面看起来杂乱无序的事物中惊人的某种秩序。20世纪70年代科学家们开始普遍熟悉到混沌的存在与其重要意义，并对各领域的混沌现象进行大量研究；20世纪80年代混沌研究在全球迅速推广，物理、生物、化学、经济、治理等领域对混沌的研究都取得了可喜成果。自然总是如此神秘，杂乱无章、不可猜测的运动背后隐躲着其内在规律性，而且这种规律并不随外界扰动而改变，这就是混沌。 2. 1混沌的概念 “混沌”，本意是“混乱无序”的意思，但是其描述的对象却具
(完整版)基于MATLAB的混沌序列图像加密程序
设计题目：基于MATLAB的混沌序列图像加密程序 一.设计目的 图像信息生动形象，它已成为人类表达信息的重要手段之一，网络上的图像数据很多是要求发送方和接受都要进行加密通信，信息的安全与保密显得尤为重 要，因此我想运用异或运算将数据进行隐藏，连续使用同一数据对图像数据两次异或运算图像的数据不发生改变，利用这一特性对图像信息进行加密保护。 熟练使用matlab运用matlab进行编程，使用matlab语言进行数据的隐藏加密，确保数字图像信息的安全，混沌序列具有容易生成，对初始条件和混沌参数敏感等特点，近年来在图像加密领域得到了广泛的应用。使用必要的算法将信息进行加解密，实现信息的保护。 .设计内容和要求 使用混沌序列图像加密技术对图像进行处理使加密后的图像 使用matlab将图像信息隐藏，实现信息加密。 三.设计思路 1. 基于混沌的图像置乱加密算法 本文提出的基于混沌的图像置乱加密算法示意图如图1所示 加密算法如下：首先，数字图像B大小为MX N（ M是图像B的行像素数，N是图像B的列像素数），将A的第j行连接到j-1行后面（j=2，3, A，M，形成长度为MX N的序列C。其次，用Logistic混沌映射产生一个长度为的混沌序列｛k1，k2，A，kMX N｝，并构造等差序列D: ｛1，2，3, A，MX N-1，MX N｝。再次，将所
产生的混沌序列｛kl, k2. A, kMX N｝的M N个值由小到大排序，形成有序序列｛k1', k2'. A' kMX N' ｝，确定序列｛k1, k2, A, kMX N｝中的每个ki在有序序列｛k1', k2', A , kMX N' ｝中的编号，形成置换地址集合 ｛t1 , t2 , A, tM X N｝，其中ti为集合｛1 , 2, A, MX N｝中的一个；按置换地址集合｛t1 , t2 , A, tM X N｝对序列C进行置换，将其第i个像素置换至第ti列, i=1 , 2, A, MX N,得到C'。将等差序列D做相同置换，得到D'。 最后，B'是一个MX N 的矩阵，B' (i ,j)=C ' ((i-1) X M+j)，其中i=1 , 2, A, M j=i=1 , 2, A, N,则B'就是加密后的图像文件。 解密算法与加密算法相似，不同之处在于第3步中，以序列C'代替随机序列｛k1, k2, A, kMX N｝,即可实现图像的解密。 2. 用MATLAB勺实现基于混沌的图像置乱加密算法 本文借助MATLAB^件平台，使用MATLAB!供的文本编辑器进行编程实现加密功能。根据前面加密的思路，把加密算法的编程分为三个主要模块：首先，构造一个与原图a等高等宽的矩阵b加在图像矩阵a后面形成复合矩阵c: b=zeros(m1, n1); ifm1>=n1 ifm1> n1 fore=1: n1 b=(e,e); end else fore=1: n1 end fore=1:( n1-m1) b((m1+e-1),e)=m1+e-1 end end c=zeros(m1*2, n1); c=zeros(m1*2,1); c=[b,a]; 然后，用Logitic映射产生混沌序列:
用非线性电路研究混沌现象pdf
用非线性电路研究混沌现象 长期以来，人们在认识和描述运动时，大多只局限于线性动力学描述方法，即确定的运动有一个完美确定的解析解。直到1963年美国气象学家LORENZ 在分析天气预报模型时，首先发现空气动力学中的混沌现象，该现象只能用非线性动力学来解释。如今，非线性科学已成为21世纪科学研究的一个重要方向。非线性科学的研究对了解生物、物理、化学、气象等学科都有重要意义。混沌作为非线性科学中的主要研究对象之一，在许多领域都得到了证实和应用。混沌作为一门新学科，填补着自然界决定论和概论的鸿沟。混沌是对经典决定论的否定，但本身有它特有的规律。研究混沌的目的是要揭示貌似随机的现象背后所隐藏的规律。 本实验通过建立一个非线性电路，该电路包括有源非线性负阻、LC 振荡器和RC 移相器三部分；采用物理实验方法研究LC 振荡器产生的正弦波与经过RC 移相器移相的正弦波合成的相图(李萨如图)，观测非线性电中倍周期分岔产生混沌的全过程。同时了解混沌现象的一些基本特征。 [实验目的] 1． 通过对非线性电路的分析，了解产生混沌现象的基本条件； 2． 通过调整蔡氏电路的参数，学习用示波器观察倍周期分岔走向混沌的过程； 3． 用示波器观察非线性电路的I-U 特性曲线。 [实验原理] 混沌产生的必要条件是系统具有非线性因素。图1是讨论非线性电路系统的一种简单而又经典的电路——蔡氏电路。电路中共有5个基本电路元件：4个线性元件L ，C1，C2，R0和一个非线性电阻R ，其中R 的伏安特性如图2。电路中电感L 和电容C2并联构成一个LC 振荡电路，可变电阻R 0和电容器C 1串联构成移相电路，将振荡器产生的正弦信号移相输出，非线性负阻元件R 和R0共同作用是使振荡周期产生分岔和混沌等一系列非线性现象。 由蔡氏电路图1可得到蔡氏电路的状态方程组为: ????? ???????=+??=????=2211211121)(1)()(10201C L L C C C C C C C C U dt di L i U U R dt dU C U U g U U R dt dU C (1) 式中: Uc1, Uc2 和iL 分别是电容C 1, C 2 两端的电压和流过电感L 的电流, g (Uc 1 ) 是描述非线性电阻R 的i - v 特性的折线(图2)多项式为
谈谈日常生活中的混沌现象
谈谈日常生活中的混沌现象 XX学院专业姓名 摘要：本文通过具体科学，解释日常生活中的混沌现象，以及以及如何通过物理问题解决日常生活中的问题。 关键字：物理，混沌现象，蝴蝶效应 一、混沌现象的定义 混沌现象是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性一不可重复、不可预测，这就是混沌现象。进一步研究表明，混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象。牛顿确定性理论能够充分处理的多为线性系统，而线性系统大多是由非线性系统简化来的。因此，在现实生活和实际工程技术问题中，混沌是无处不在的。 “ 混沌”是近代非常引人注目的热点研究，它掀起了继相对论和量子力学以来基础科学的第三次革命。科学中的混沌概念不同于古典哲学和日常语言中的理解，简单地说，混沌是一种确定系统中出现的无规则的运动。混沌理论所研究的是非线性动力学混沌，目的是要揭示貌似随机的现象背后可能隐藏的简单规律，以求发现一大类复杂问题普遍遵循的共同规律。 二、混沌现象的相关例子 混沌理论证明，在世界上发生的具有如下特征的事件均属混沌事件，即混沌现象。 1.蝴蝶效应现象 蝴蝶效应现象，是指事物发展的结果对初始条件具有极为敏感的依赖性.初始条件极小的偏差将会引起结果的巨大差异。在政治、经济、军事、自然、社会等诸多领域均有蝴蝶效应发生，而且这种现象对世界具有极大的影响效果。金融炒家索洛斯引发的东亚金融危机，和白宫实习生莱温斯基引发的克林顿绯闻案，就是两个最典型的例证。 （1）产生蝴蝶效应的内在机制 所谓复杂系统，是指非线性系统且在临界性条件下呈现混沌现象或混沌性行为的系统．非线性系统的动力学方程中含有非线性项，它是非线性系统内部多因素交叉耦合作用机制的数学描述．正是由于这种“诸多因素的交叉耦合作用机制”，才导致复杂系统的初值敏感性即蝴蝶效应，才导致复杂系统呈现混沌性行为． 目前，非线性学及混沌学的研究方兴未艾，这标志人类对自然与社会现象的认识正在向更为深入复杂的阶段过渡与进化．
混沌保密通信的研究
混沌保密通信的研究 [摘要]：文章简要讨论了基于混沌的保密通信的几种方法的特点及其发展状况，介绍了混沌保密通信的理论依据，对混沌保密通信走向实用化存在的关键问题进行了讨论。 [关键字]：混沌保密通信超混沌 混沌现象是非线性动力系统中一种确定的、类似随机的过程。由于混沌动力系统对初始条件的极端敏感性，而能产生大量的非周期、连续宽带频谱、似噪声且确定可再生的混沌信号，因而特别适用于保密通信领域。现在的混沌保密通信大致分为三大类：第一类是直接利用混沌进行保密通信；第二类是利用同步的混沌进行保密通信；第三类是混沌数字编码的异步通信。另外，由于混沌信号具有宽带、类噪声、难以预测的特点，并且对初始状态十分敏感，能产生性能良好的扩频序列，因而在混沌扩频通信领域中有着广阔的应用前景。 1、混沌保密通信的基本思想 要实现保密通信，必须解决以下三方面的问题。 （1）制造出鲁棒性强的同步信号；（2）信号的调制和解调；（3）信号的可靠传输。 同步混沌保密通信系统的基本模型如图所示：在发送端，驱动混沌电路产生2个混沌信号U和V，V用于加密明文信息M，得到密文C，混沌信号U可视作一个密钥，他和密文C一起被传送出去；在接收端，同步混沌电路利用接收到的驱动信号U，产生出混沌信号V’，再用信号V ’去解密收到的密文C，从而恢复消息M（见图）。
同步混沌保密通信系统的基本模型 2、混沌保密通信的理论依据 混沌保密通信作为保密通信的一个新的发展方向,向人们展示了诱人的应用前景。混沌信号的隐蔽性,不可预测性,高度复杂性,对初始条件的极端敏感性是混沌用于保密通信的重要的理论依据。 3、混沌保密通信的方法 按照目前国际国内水平，混沌保密通信分为模拟通信和数字通信。混沌模拟通信通常通过非线性电路系统来实现，对电路系统的设计制作精度要求较高，同步较难实现。混沌数字通信对电路元件要求不高，易于硬件实现，便于计算机处理，传输中信息损失少，通用性强，应用范围广，备受研究者的关注。由于混沌系统的内随机性、连续宽频谱和对初值的极端敏感等特点，使其特别适合用于保密通信,而混沌同步是混沌保密通信中的一个关键技术。目前各种混沌保密通信的方案可归结如下几种： 3.1混沌掩盖 混沌掩盖方案可传送模拟和数字信息，思想是以混沌同步为基础，把小的信号叠加在混沌信号上，利用混沌信号的伪随机特点，把信息信号隐藏在看似杂乱的混沌信号中，在接收端用一个同步的混沌信号解调出信号信息，以此达到保密。混沌掩盖直接把模拟信号发送出去，实现简单，但它严格依赖于发送端、接收端混沌系统的同步且信息信号的功率要远低于混沌掩盖信号的功率，否则，保密通信的安全性将大大降低。1993年，Cuomo和Oppenteim构造了基于Lorenze吸引子的混沌掩盖通信系统，完成了模拟电路实验。他们将两个响应子系统合成一个完整的响应系统，使其结构和驱动系统相同，在发送器混沌信号的驱动下，接收器能复制发送器的所有状态，达到两者的同步。1996年Mianovic V和Zaghlou M E在上述混沌掩盖方案的基础上提出了改进方案,Yu和Lookman 进一步完善了这一方案,对Lorenze系统的发送器引入合成信号的反馈,来实现接收器和发送器之间的更完满的同步，若发送器和接收器的初始状态不同,经过短暂的瞬态过程,就可以达到同步,模拟电路的实验研究表明,改进方案的信号恢复精度较高。考虑到高维混沌系统的保密性优于低维混沌系统,1996年，Lu Hongtao等提出了由单变量时延微分方程描述的无限维系统,该系统的动力学行为包括稳定平衡态、
心脏中的混沌现象
心脏中的混沌现象 刘 芳 魏建西 综述 杨福生* 审 白求恩国际和平医院(050082) *清华大学电机系(100084) 摘要 近年来混沌和分形理论被广泛用于研究复杂的生命现象,本文简要介绍了混沌和分形理论的一般概念以及常用的非线性动力学方法,着重介绍了上述理论在心脏病学中的应用。 关键词 混沌 分形 心脏病 1 引言 混沌,是非线性行为的理论学说。混沌提供了一种了解很多生物现象的新工具[1,2],随着各种成功的非线性动力学概念和技术被用于人体生理过程中的非线性行为,使人们已能更好地理解复杂的心律失常、浦肯野氏纤维传导、房室传导类型等等[3,4]。讲到混沌就离不开分形,本文将就混沌与分形概念、两者在心脏病学中的应用,以及常用的非线性动力学方法进行综述。 2 一般概念 2.1 混沌理论 混沌定义为一个非周期似随机行为的确定系统。比较两个我们熟悉的行为——随机和周期。随机行为绝对不重复自己,它是内在特有的不可预测和非组织的。从生理上讲,遗传易位、受精、受体结合是基本随机的。周期行为是高度可预测的,它总是以一个有限的时间间隔重复自己如数学上的正弦波,妇女的月经也被定义为周期行为。混沌不同于周期和随机,但又具有两者的特点,虽然混沌行为看上去无组织像随机行为,但它实际上是可以确定的。目前的研究已经证实,麻疹流行、心脏行为模式、心肺相互作用、血细胞生成、脑电图等均是呈混沌的[4,5]。 混沌的特点如下: (1)混沌是确定性和随机性两者的结合。在牛顿物理学中,如果知道了方程(例如抛物线)和初始状态(例如X和K),就可以准确预测系统行为。不象牛顿物理学,混沌行为永不准确重复自己,没有可辨别的周期使它在规则的间隔返回。 (2)混沌系统表现为敏感地依赖初始状态。这句话的意思是非常小的初始状态的差别将导致巨大的结果差别。 (3)混沌行为被约束在比较窄的范围内。虽然表现为随机的,系统行为实际是有界限的,而非无界限的漫游。 (4)混沌行为有确定的形式。混沌行为不但是受约束的,而且有特定的行为模式[5]。2.2 分形 分形是以几何学的观点去观察一些看起来毫无规律的图形,如云团、海岸线、血管结构等。分形的突出特点是分数维和自相似。所谓分数维是指维数在日常所见的一维、二维、三维之间,其值不是一个整数。如一个正方形是二维,一本杂志是三维;但我们无法断定人体的血管组织其整个组织到底是处于一维、二维、还是三维空间,因为无法在长度、面积或体积上找到共有意义的表达,也即用整数维表达血管组织没有意义,因此整数维不能准确刻划出它的性质,但我们可用分数维(分形维,简称分维)的概念来定义这些形体。有 100
连续时间混沌系统MATLAB程序和SIMULINK模型
第6章连续时间混沌系统 本章讨论连续时间混沌系统的基本特点与分析方法，主要包括混沌数值仿真和硬件实验方法简介、混沌系数平衡点的计算、平衡点的分类与性质、相空间中的轨道、几类典型连续混沌系统的介绍、混沌机理的分析方法、用特征向量空间法寻找异宿轨道、Lorenz系统及混沌机理定性分析、Lorenz映射、Poincare截面、Chua系统及其混沌机理定性分析、时间序列与相空间重构等内容。 6.1 混沌数值仿真和硬件实验方法简介 混沌的数值仿真主要包括MA TLAB编程、SIMULINK模块构建、EWB仿真以及其他一些相关的软件仿真或数值计算等方法，从而获取混沌吸引子的相图、时域波形图、李氏指数、分叉图和功率谱等。混沌的硬件实验主要包括模拟/数字电路设计与硬件实验、现场可编程门阵列器件（FPGA）、数字信号处理器（DSP）等硬件实现方法来产生混沌信号。本节仅对各种数值仿真方法作简单介绍。 1）混沌系统的MA TLAB数值仿真 该方法主要根据混沌系统的状态方程来编写MA TLAB程序。现举二例来说明这种编程方法。（1）已知Lorenz系统的状态方程为 dx/dt=-a(x-y) dy/dt=bx-xz-y dz/dt=-cz+xy 式中a=10,b=30,c=8/3。 MA TLAB仿真程序如下： >> %************************************************** Function dxdt=lorenz(t,x) %除符号dxdt外，还可用其他编程者习惯的有意义的符号 A=10; B=30; C=8/3; dxdt=zeros(3,1); dxdt(1)=-A*(x(1)-x(2)); dxdt(2)=B*x(1)-x(1).*x(3)-x(2); dxdt(3)=x(1)*x(2)-C*x(3); %************************************************* options=odeset('RelTol',1e-6,'AbsTol',[ 1e-6 1e-6 1e-6]); t0=[0 200]; x0=[0.02,0.01,0.03]; [t,x]=ode45('lorenz',t0,x0,options); %************************************************** n=length(t) n1=round(n/2) %n1=1; %************************************************** figure(1); plot(t(n1:n,1),x(n1:n,1));
生活中的混沌现象
生活中的混沌现象 环境设计 郭书楠 20130313101022最近全国许多地方不是闹旱灾就是发大水，貌似老天爷有点变化无常了。不过话说回来，这位老天爷好像爱你个从来都是变化无常的。记得小学时候学过一篇课文叫《看云识天气》，学完后将信将疑的，回去试了一下，发现根据那些云来预测天气好多都不准。从此心中就有一个结——我们到底能不能知道明天到底是什么天气呢？ 在气象学出现之前人们只能根据经验来预测天气，但这种经验性的方法误差很大，往往不能精确预报。我想那时候的人们一定会像，要是能精确预报天气该多好啊！那时的人们大多靠天吃饭，而且天气与人们的声场生活密切相关。 幸运的是现在我们有了计算机，有了卫星云图，精确预报明天甚至后天的天气情况是没多大问题的。更进一步，气象学家已经建立了大气环流模型。模型的思想是用网格划分全球，确定每个格点上某些气象数据（气压、温度、密度等）的值，然后在计算机上模拟这些数据的时间演化。初始数据（即某个时刻气象参数的值）由卫星、探空和地面观测搜集获得。然后计算机用这些数据、已知的山脉位置及其他许多资料，算出之后某个时刻的气象数值，当然这些预测面临着现实的检验。这么说只要知道初始值，我们就应该能够预测将来任意时刻的天气了，这是多么激动人心啊！但是结果让所有人失望了，大约
一周后计算机模拟的与实际的天气情况的误差已经大得不可接受了。问题到底出在哪呢？难道是计算机出错了？当然计算机是很忠诚的，它并没有出错。究其原因，是因为任何测量都会有误差，无论过去、现在、还是未来，误差都将于我们同在，只要有测量，就一定有误差，无论将来的测量技术有多发达，这都是一个真理，因为任何测量都是有一定精度的。明白了这个事实，那么我们对于初始值的测量就变得不是那么准确了，虽然可能只有十分微小的误差。或许有人会不服：“不就是一点微小的误差嘛！至于造成这么大的影响吗？”为了证明初始值的微笑误差会造成气象上的巨大变化，我们只需将初始值做十分微小的变动然后再输入计算机进行模拟就可以了。模拟结果不出所料，这么点小小的误差（就像一股小小的风）却造成了巨大的气象灾难。发现这种现象的美国科学家爱德华·洛伦茨形象地称之为“蝴蝶效应”。 洛伦茨发现了“蝴蝶效应”之后并没有停留在这表面的现象上，若停留在可预料性被单纯的随机性战胜这一图像上，那他不过是带来了一条非常坏的消息而已。洛伦茨看到的不仅仅是随机性潜伏在他的气象模型中，他还看到一种精致的几何结构，这是一种伪装成随机性的规律性，这就是混沌！ “天气是不可长期准确预料”这一事实对于经典的决定论是绝对不能容忍的。按照牛顿力学，如果知道了一个系统初始时刻的状态我们就能知道它在其他任何时刻的状态。天体运动是牛顿力学的第一块试金石，根据牛顿力学预言的众多天文现象如海王星的位置一再证明
混沌优化方法的研究进展
第20卷第1期计算技术与自动化V o l120 N o11 2001年3月COM PU T I N G T ECHNOLO GY AND AU TOM A T I ON M arch 2001文章编号:1003—6199(2001)01—0001—05 混沌优化方法的研究进展 王 凌1,郑大钟1,李清生2 (1.清华大学自动化系,北京100084;2.北京航空航天大学理学院,北京100083) 摘 要:混沌是一种普遍的非线性现象,具有随机性、遍历性和内在规律性的特点。由于遍历性可作为避免搜 索过程陷入局部极小的有效机制,因此混沌已成为一种新颖且有潜力的优化工具。为了让混沌优化这一新兴研究方向为更多工作者所了解,此文综述了混沌优化方法的研究进展,包括基于混沌的函数优化与基于混沌神经网络的组合优化,并在分析混沌优化特点的基础上讨论了有待发展的若干研究课题。 关键词:混沌;优化;神经网络 中图分类号:TP301 文献标识码:A Survey on Chaoti c Opti m i za ti on M ethods W A N G L ing1,ZH EN G D a-zhong1,L IN Q ing-sheng2 (1.D ep t.of A utom ati on,T singhua U niversity,Beijing100084;2.D ep t.O f Physics,BUAA100083) Abstract:Chaos is a universal nonlinear phenom enon w ith stochastic p roperty,ergodic p roperty and regular p rop2 erty,w hose ergodicity can be used as a kind of m echanis m for op ti m izati on to effectively avoid the search being trapped in l ocal op ti m um,s o that chaos has been a novel and p rom ising tool for gl obal op ti m izati on.In this paper,a survey on chaotic op ti m izati on including functi onal op ti m izati on based on chaos and com binatorial op ti m izati on based on chaotic neural network has been p resented,the features of chaotic op ti m izati on have been analyzed,as w ell as s om e corres ponding studies to be i m p roved have been discussed. Key words:chaos;op ti m izati on;neural networks 1 引言 混沌是一种普遍的非线性现象,其行为复杂且类似随机,但存在精致的内在规律性。混沌的发现,对科学的发展具有空前深远的影响。近年来,混沌控制[1]、混沌同步[2]和混沌神经网络[3]受到了广泛关注,并展现出诱人的应用与发展前景。混沌具有其独特性质:①随机性,即混沌具有类似随机变量的杂乱表现;②遍历性,即混沌能够不重复地历经一定范围内的所有状态;③规律性,即混沌是由确定性的迭代式产生的。介于确定性和随机性之间,混沌具有丰富的时空动态,系统动态的演变可导致吸引子的转移。最重要的是,混沌的遍历性特点可作为搜索过程中避免陷入局部极小的一种优化机制,这与模拟退火的概率性劣向转移和禁忌搜索的禁忌表检验存在明显的区别。因此,混沌已成为一种新颖的优化技术,并受到广泛重视和大量研究。为了让混沌优化这一新兴研究方向为更多工作者所了解,本文对混沌优化方法的研究进展进行了综述,分析了各类混沌优化的特点,包括混沌在函数优化与组合优化中的应用,并讨论 收稿日期:2000-09-10 基金项目:国家自然科学基金项目(69684001)和国家攀登计划项目 作者简介:王凌,(1972—),男,博士、讲师,研究方向:优化算法及其应用、神经网络、HD S等。
Matlab实现混沌系统的控制
基于MATLAB 的各类混沌系统的计算机模拟 混沌是非线性系统所独有且广泛存在的一种非周期运动形式, 其覆盖面涉及到自然科学和社会科学的几乎每一个分支。1972年12月29日，美国麻省理工学院教授、混沌学开创人之一E.N.洛伦兹在美国科学发展学会第139次会议上发表了题为《蝴蝶效应》的论文，提出一个貌似荒谬的论断：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个龙卷风，并由此提出了天气的不可准确预报性。为什么会出现这种情况呢？这是混沌在作怪！ “混沌”译自英语中“chaos”一词，原意是混乱、无序，在现代非线性理论中，混沌则是泛指在确定体系中出现的貌似无规则的、类随机的运动。 混沌现象是普遍的，就在我们身边，是与我们关系最密切的现象，我们就生活在混沌的海洋中。一支燃着的香烟，在平稳的气流中缓缓升起一缕青烟，突然卷成一团团剧烈搅动的烟雾，向四方飘散；打开水龙头，先是平稳的层流，然后水花四溅，流动变的不规则，这就是湍流；一个风和日丽的夏天，突然风起云涌，来了一场暴风雨。一面旗帜在风中飘扬，一片秋叶从树上落下，它们都在做混沌运动。可见混沌始终围绕在我们的周围，一直与人类为伴。 1.混沌的基本概念 1. 混沌: 目前尚无通用的严格的定义, 一般认为,将不是由随机性外因引起的, 而是由确定性方程(内因)直接得到的具有随机性的运动状态称为混沌。 2. 相空间: 在连续动力系统中, 用一组一阶微分方程描述运动, 以状态变量(或状态向量)为坐标轴的空间构成系统的相空间。系统的一个状态用相空间的一个点表示, 通过该点有唯一的一条积分曲线。 3. 混沌运动: 是确定性系统中局限于有限相空间的高度不稳定的运动。所谓轨道高度不稳定, 是指近邻的轨道随时间的发展会指数地分离。由于这种不稳定性, 系统的长时间行为会显示出某种混乱性。 4. 分形和分维: 分形是 n 维空间一个点集的一种几何性质, 该点集具有无限精细的结构, 在任何尺度下都有自相似部分和整体相似性质, 具有小于所在空间维数 n 的非整数维数。分维就是用非整数维——分数维来定量地描述分形的基本性质。 5. 不动点: 又称平衡点、定态。不动点是系统状态变量所取的一组值, 对于这些值系统不随时间变化。在连续动力学系统中, 相空间中有一个点0x , 若满足当 t →∞时, 轨迹0()x t x →, 则称0x 为不动点。 6. 吸引子: 指相空间的这样的一个点集 s (或一个子空间) , 对s 邻域的几乎任意一点, 当t →∞时所有轨迹线均趋于s, 吸引子是稳定的不动点。 7. 奇异吸引子: 又称混沌吸引子, 指相空间中具有分数维的吸引子的集合。该吸引集由永不重复自身的一系列点组成, 并且无论如何也不表现出任何周期性。混沌轨道就运行在其吸引子集中。 8. 分叉和分叉点: 又称分岔或分支。指在某个或者某组参数发生变化时, 长时间动力学运动的类型也发生变化。这个参数值(或这组参数值)称为分叉点, 在分叉点处参数的微小变化会产生不同性质的动力学特性, 故系统在分叉点处是结构不稳定的。 9. 周期解: 对于系统1()n n x f x += , 当n →∞时,若存在n i n x x ξ+== , 则称该系统有周期i 解ξ 。不动点可以看作是周期为1的解, 因为它满足1n n x x +=。 10. 初值敏感性：对初始条件的敏感依赖是混沌的基本特征，也有人用它来定义混沌：混沌系统是其终极状态极端敏感地依赖于系统的初始状态的系统。敏感依赖性的一个严重后果就在于，使得系统的长期行为变得不可预见。
混沌系统介绍及例子
专业学术讲座 报告 班级：信计12-2 学号：201211011060 姓名：凌雷 二零一五年六月二十二日
目录 1.混沌系统概念 2.典型混沌系统介绍 3.混沌金融系统的线性与非线性反馈同步 4.混沌研究的发展方向及意义
一、混沌系统概念 混沌（chaos ）是指确定性动力学系统因对初值敏感而表现出的不可预测的、类似随机性的运动。又称浑沌。英语词Chaos 源于希腊语，原始 含义是宇宙初开之前的景象，基本含义主要指混乱、无序的状态。作为科学术语，混沌一词特指一种运动形态。 动力学系统的确定性是一个数学概念，指系统在任一时刻的状态被初始状态所决定。虽然根据运动的初始状态数据和运动规律能推算出任一未来时刻的运动状态，但由于初始数据的测定不可能完全精确，预测的结果必然出现误差，甚至不可预测。运动的可预测性是一个物理概念。一个运动即使是确定性的，也仍可为不可预测的，二者并不矛盾。牛顿力学的成功，特别是它在预言海王星上的成功，在一定程度上产生误解，把确定性和可预测性等同起来，以为确定性运动一定是可预测的。20世纪70年代后的研究表明，大量非线性系统中尽管系统是确定性的，却普遍存在着对运动状态初始值极为敏感、貌似随机的不可预测的运动状态——混沌运动。 混沌是指现实世界中存在的一种貌似无规律的复杂运动形态。共同特征是原来遵循简单物理规律的有序运动形态，在某种条件下突然偏离预期的规律性而变成了无序的形态。混沌可在相当广泛的一些确定性动力学系统中发生。混沌在统计特性上类似于随机过程，被认为是确定性系统中的一种内禀随机性。 二、典型混沌系统介绍 Lorenz 系统 混沌的最早实例是由美国麻省理工学院的气象学家洛伦兹在1963年研究大气运动时描述的。他提出了著名的Lorenz 方程组： 。 这是一个三阶常微分方程组。它以无限平板间流体热对流运动的简化模型为基础，由于它的变量不显含时间t ，一般称作自治方程。式中x 表示对流强度，y 表示向上流和向下流在单位元之间的温度差，z 表示垂直方向温度分布的非线性强度，-xz 和xy 为非线性项，b 是瑞利数，它表示引起对流和湍流的驱动因素 (如贝纳对流上下板的温度差△T)和抑制对流因素 (如(Prandtl)数粘性)之比，是系统(2-1)的主要控制参数。k v a =是普朗特数(v 和k 分别为分子粘性系数和热传导系数)，c 代表与对流纵横比有关的外形比，且a 和c 为无量纲常数。在参数范围为1)3(--++?≥c a c a a b 时，Lorenz 系统均处于混沌态。 在混沌区域内选择系统参数a=10, b=28，c=8/3，取系统的初始状态为 [x(0), y(0), z(0)]=[10, 10, 10]，此时，系统为一混沌系统，系统的三维吸引子如图2.1所12121213331210(),28,8/3,x x x x x x x x x x x x =-??=--??=-+?