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高三总复习强化训练6导数应用(一)

高三总复习强化训练6导数应用（一）

一、填空题：

1．当h 无限趋近于0时，22

(3)3h h

+-无限趋近于．

2．若函数ln y x ax =-的增区间为（0，1），则a 的值是．

3．曲线sin y x =在点（

． 4．函数y =x 3

-3x +1在闭区间[-3 0]上的最大值与最小值分别为___________ ． 5．函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间为_______________． 6．当]21[-∈x 时，32

122

x x x m -

-< 恒成立，则实数m 的取值范围是__________． 7．设()f x ,()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时'()()()'()0f x g x f x g x +>且

(3)0g -=，则不等式()()0f x g x <的解集为_________________．

8．若函数32()f x ax bx cx =++在x =1处取的极值，则3a +b +c =____________．

9．若曲线x y lg =在点P 处的切线垂直于直线ln10y x =-，则P 的坐标为_______．

10．设曲线),0(3

≥=x x y 直线y =0及x =t (t >0)围成的封闭图形的面积为S (t )，则

'()S t ．

11．设a 、b 为实数且b-a =2，若多项式函数)(x f 在区间（a , b ）上的导函数)('x f 满足'()0f x <，则(1)f a +与1

()2

f b -的大小关系是___ ． 12．母线长为1的圆锥体积最大时，圆锥的高等于_______ ．

13．圆形水波的半径50cm/s 的速度向外扩张，当半径为250cm 时，圆面积的膨胀率为．

14．已知数列{a n }满足2a n+1= -a n 3

+3a n 且)1,0(1∈a ，则a n 的取值范围为___________．

二、解答题

15．已知函数2()210f x x x =-，37

()g x x

，是否存在整数m ，使得函数f (x )与g (x )图像在区间(m ,m +1)内有且仅有两个公共点，若有，求出m 的值，若没有，请说明理由．

16．用导数知识证明抛物线的光学性质：位于焦点F 的光源所射出的光线FP 经抛物线上任一点

00(,)P x y 反射后（该点处的切线反射）反射光线PM 与抛物线对称轴平行．

17．如图,酒杯的形状为倒立的圆锥，杯深8cm ，上口宽6cm ，水以20s cm 2

的流量倒入杯中，当水深为4cm 时，求水面升高的瞬时变化率．

18．（07连云港三模）函数f (x )=｜x 3

-3tx +m ｜(m ,t 为实常数)是偶函数，且g (x )= f (x )

x 2

．（1）求实数m 的值并比较f (t )与f (2t )( t ＞0)的大小；（2）求函数y =f (x )在区间[-2,2]上的最大值F (t )．

19．烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染，据环保部门测定，地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱的距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比，某乡境内有两个烟囱A,B 相距20km ，其中B 烟囱喷出的烟尘量A 的8倍，该乡要在两座烟囱连线上一点C 处建一小学，请确定该小学的位置使得烟尘浓度最低．

20．设f(x)=x(x-p)(x-q) (p>q>0)且函数f(x)在x=a和x=b (a>b)处取得极值

（1）求证:p>a>q>b；

（2）若p+q<22,则过原点与曲线y=f(x)相切的两条直线能否互相垂直?若能请证明你的结论．若不能,说明理由．

答案

一、填空题

1．当h 无限趋近于0时，22

(3)3h h

+-无限趋近于 6 ．

2．若函数ln y x ax =-的增区间为（0，1），则a 的值是 1 ．

3．曲线sin y x =在点（

1()23y x π=- ．

4．函数y=x 3

-3x+1在闭区间[-3 0]上的最大值与最小值分别为___3,-17__． 5．函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间为1

(,)e

+∞．

6．当[12]x ∈-时，32

122

x x x m -

-<恒成立，则实数m 的取值范围是___m >2___． 7．设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时'()()()'()0f x g x f x g x +>且(3)0g -=，则不等式()()0f x g x <的解集为(,3)(0,3)-∞-?． 8．若函数32()f x ax bx cx =++在x =1处取的极值，则3a+b+c =____0____．

9．若曲线x y lg =在点P 处的切线垂直于直线10ln x y -=，则P 的坐标为__(1,0)_ __．

10.设曲线3(0),y x x =≥直线y =0及x =t (t >0)围成的封闭图形的面积为S (t)，则'()S t = 3

t ；

11．设a 、b 为实数且b-a =2，若多项式函数)(x f 在区间（a, b ）上的导函数)('x f 满足

'()0f x <，则(1)f a +与1

()2

f b -的大小关系是1(1)()2f a f b +>-．

12．母线长为1． 13．圆形水波的半径50cm/s 的速度向外扩张，当半径为250cm 时，圆面积的膨胀率为

25000π．

14．已知数列{a n }满足2a n +1= -a n 3

+3a n 且)1,0(1∈a ，则a n 的取值范围为 (0,1)．

二、解答题：

15.已知函数2()210f x x x =-，37

()g x x

，是否存在整数m ，使得函数f (x )与g (x )图像

在区间(m ,m +1)内有且仅有两个公共点，若有，求出m 的值，若没有，请说明理由. 变式题:已知函数f (x )=x 3

+bx 2

+3cx +8 和g (x )=x 3+bx 2

+cx (其中- 32

＜b ＜0)，

F (x )=f (x )+5g (x ), f '(1)=g '(m )=0.

（1）求m 的取值范围；

（2）方程F (x )=0有几个实根？为什么？

点拨：两曲线的公共点一般转化为方程的根问题，

根据方程特点，利用三次函数的单调性，极值（最值）及图像特征是解决问题的突破点. 解：函数f (x )与g (x )公共点的横坐标即是方程237

210x x x

-=-

的解, 也就是方程 32210370x x -+=的根. 记h (x )= 3221037x x -+，则2'()620h x x x =-

令0)('=x h 得10

0,3

x x ==

，由单调性易知，h (0)和10()3h 分别是极大值和极小值.

101

(0)370,()327

h h =>=-＜0（如图）,由图形知()0h x =有三个零点321,,x x x ,

且12310

0,03

x x x <<<

<又h (3)=1,h (4)=5,故2334x x <<<,即34,(3,4)x x ∈故可取m =3. 又区间(m ,m +1)长度为1，故m 不可能有其他值.综合知，存在整数m =3满足题意. 变式点拔：（1）/2/2()323,()32f x x bx c g x x bx c =++=++，由题设易得

3230320b c m bm c ++=??++=?

，消去c 得2

96230m bm b +--=，故29331m b m -=-，再由-32 ＜b ＜0 可解得m

的取值范围是(m ∈ . （2）方程F (x )=0，化简有3x 3

+3bx 2

+4cx +4=0.记Q (x )= 3x 3

+3bx 2

+4cx +4,则Q /

(x )= 9x

+6bx +4c ,∵-32 ＜b ＜0,c = - 2b+33

,∴-1＜c ＜0,∴△＞0，故Q /

(x )=0有相异两实根,即函数

Q (x )有两个极值点,不妨设为x 1, x 2 (x 1＜x 2),则Q (x )极大值为Q (x 1)，极小值为Q (x 2).

下面要确定两个极值的符号，显然十分困难，从函数结构特征上发现Q (0)=4,它就是此题的一个“启示点”，因为Q （x ）在区间（x 1,x 2）内为减函数,所以Q (x 1) ＞Q (0) ＞Q (x 2),则Q (x 1)一定为正，从而只须确定Q (x 2)的符号即可. 而三次函数Q (x 2)= 3 x 23

+3b x 22

+4c x 2+4

的符号较难确定,函数Q （x ）具有一个特性，即Q /

(x 2)恒为0 (x 2为Q (x )的极值点),以此为中心,利用它的特性进行两次降次，由3次降至1次,寻求解决问题的思路.Q (x 2)= 3 x 23

+3b x 22+4c x 2+4= 13

x 2(9 x 22+6b x 2+4c )+b x 22+83

c x 2+4=0+ b x 22+83

c x 2+4= b

(9 x 22+6bx 2+4c )

+(83c -23b 2) x 2+4- 49bc =(83c -23b 2)x 2+4- 49

bc . 由韦达定理得x 1+x 2= - 23b , x 1x 2= 49c ,∴0＜x 1+x 2＜1, - 4

9＜x 1x 2＜0,x 1＜0＜x 2,x 1＞

-49x 2 ,∴1＞x 1+x 2＞-49x 2 +x 2,9x 22

-9x 2-4＜0 ,∴0＜x 2＜43

, 于是 Q (x 2)=(83c -23b 2)x 2+4-49bc ＞(83c -23 b 2)43 +4- 49bc ＞-32

9+4＞0,

故Q （x ）与x 轴只有一个交点,所以方程F (x )=0只有一个实根．

点评: 此题从函数特性中抓“启示点”—引领思维“寻路”。特殊函数可以帮助我们轻松地选择思维的起点、方向、重心，以特殊函数特征、特性为中心，对信息层层剖析，使推理更具针对性、目标性。此题充分利用三次函数Q (x 2)具有的Q /

(x 2)=0这个特性,因势利导, 由三次降为一次,拨开云雾挖掘出深层次的内涵, 突破了关口.它的特性有着画龙点睛，凝神聚气之奇效!是思维的导向标!

16.用导数知识证明抛物线的光学性质：位于焦点F 的光源所射出的光线FP 经抛物线上任一点),(00y x P 反射后（该点处的切线反射）反射光线PM 与抛物线对称轴平行.

点拨：要证两直线平行，可从多种角度入手根据导数意义及切线特点，从角方面研究本题较为方便.

证：设抛物线方程为2(0)y ax a => , 则焦点为1

(0,

)4F a

由抛物线定义知01

4PF y a

=+，又ax y 2'= ，

故PN 的方程为0002()y y ax x x -=-，

令x =0得20002y y ax y =-=- ∴01

4FT y a

,FT FP FTP FPT ∴=∠=∠ FPH MPH ∠=∠又 ,//FTP MPN MP y ∴∠=∠∴轴．

17．如图,酒杯的形状为倒立的圆锥，杯深8cm ，上口宽6cm ，水以202cm s 的流量倒入杯中，当水深为4cm 时，求水面升高的瞬时变化率.

变式:已知圆台形水桶高60cm ，上口直径为60cm ，底面直径为40cm ，现将水以203cm s 的流量倒入桶中，当水深为20cm 时，求水面升高的瞬时变化率. 点拨：什么是水面升高的变化率？是)(t h '，还是

h ??？它们与导数有何关系？当0t ?→时，水增量形状如何？这些都会导致对问题的不同思考与解法.

解法1：设当水深h cm 时圆锥横截面半径为r cm ，对应体积为V 可知，

3388r h r h =?=,23133

()3864

V h h h ππ==,

333

[())]

64h h h V t t π+?-?=?? 223[3()3()()()]64h h h h h h h t t t π???=

+?+????又当0→?t 时，0→?h 且20V

?→?，即2320364

h h π

'=??，当4h =时，2

206480(cm s)949h ππ?'==?. 答：当水深为4cm 时，水面升高的瞬时变化率为80

cm s 9π.

解法2：由231320364

V r h h t ππ===

得1

364203h t h π=??=

于是2313h t -'= 又当4=h 时，20

3t π

= 故809h π'=.

答：当水深为4cm 时，水面升高的瞬时变化率为

cm s 9π

. 解法3：易知当水深为4时，水面直径为3，设经秒t ?后水面上升为h ?，则此时水的增量近似地（看成圆柱）为2380()20,cm/s 29h h t t ππ

??=?=?故

. 答：当水深为4cm 时，水面升高的瞬时变化率为

cm s 9π

. 点评：法1从导数定义出发，解决实际问题；法2则从实际问题中先提炼出函数解析式，然

后对函数求导，法3是从变化率的本质入手，运用以直代曲思想使问题获解,解法新颖别致,给人耳目一新之感

18．函数f (x )=｜x 3

-3tx +m ｜(m,t 为实常数)是偶函数，且g (x )=

f (x )

x 2

. （1）求实数m 的值并比较f (t )与f (2t )( t ＞0)的大小；（2）求函数y =f (x )在区间[-2,2]上的最大值F (t ). 变式（07福建改编）已知函数()e x f x kx x =-∈R ，.

（1）若0k >，且对于任意x ∈R ，()0f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围；（2）设函数()()()F x f x f x =+-，求证：1

(1)(2)()(e

2)()n

n F F F n n +*>+∈N ．

点拔：（1）由)()(x f x f =-恒成立易得m =0．而

t t t t t t t f 268)2(=-=，故f(t )=f(2t )；

（2）由于函数f (x )是偶函数，故要讨论函数

f (x )在[-2,2]的最大值，只需讨论函数f (x )

在[0,2]的最大值.令h (x )= x 3

-3tx (x ∈[0,2])，

h /(x )=3x 2 -3t .

①当t ≤0时，h /

(x)=3x 2

-3t ≥0, (仅当t =0,

x =0时，h /

(x )=0)，从而h (x )是增函数，∴h (x )的值域为[0,8-6t ]，∴F (t )= 8-6t ．②当t

＞0时,分类的标准如何确定，先画出在x ≥0时函数f (x )的图像,如图所示，而(1)中结论

f (t )=f(2t ),以这个铺垫为中心，点明分类讨论的标准是什么，即区间[0，2]边界值2

与t 和2t 大小关系为分类标准.分类为：①当2＜t ,即t ＞4时，h /

(x)=3x 2

-3t ＜0, 从而h (x )是减函数, f (x )在[0，2]单调递增函数，所以F (t )=f (2)=|8-6t |= 6t -8；②当t ≤2≤2t ,即1≤t ≤4时, 在[0，t ]上，f (x )为增函数，F (t )=f(t )=2t t ；③当2t ＜2,即0＜t ＜1时，F (t )=f(2)=|8-6t|= 8-6t.

综上可得，F (t )=????

?8-6t (t ＜1) 2t t (1≤t ≤4) 6t-8 (t ＞4)

点评: 此题从前置铺垫中抓“启示点”—引领思维“指路”。在知识发展、生成过程中，前后知识有着必然的联系，前面的铺垫为后者的发展创建有效的平台,也为前者沉淀的知识得到全然的释放与延伸,开辟了通道，促使游戈无序的思维有序化、方向化、目标化.

O 1o

19．烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染，据环保部门测定，地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱的距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比，某乡境内有两个烟囱A,B 相距20km ，其中B 烟囱喷出的烟尘量A 的8倍，该乡要在两座烟囱连线上一点C 处建一小学，请确定该小学的位置使得烟尘浓度最低.

变式（06年江苏）（如图）请你设计一个帐篷，它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥，试问当帐篷的顶点O 到底面中心1O 的距离为多少时，帐篷的体积最大？点拨：如何求解实际应用问题，建立数学模型，构造目标函数，利用导数求其最值是此类问题的通法.

解：不妨设A 烟囱喷出的烟尘量为1，则B 烟囱喷出烟尘量为 8，设AC =x ,0

k k

y k x x =

+-为比例系数）, 332333333

2162[8(20)]2(320)(3400)'(20)(20)(20)k k k x x k x x y x x x x x x ---+=-+==---.

令0'=y 得203x =,当20

x <<时，0'. ∴当203x =时，y 取得极小值，也是最小值，故当小学建设在距离A 烟囱20

km 处，烟囱

浓度最低．

20．设f (x )=x (x-p )(x-q ) (p>q>0)且函数f (x )在x=a 和x=b (a >b )处取得极值．（1）求证:p>a>q>b ；

（2）若p+q

,则过原点与曲线y =f (x )相切的两条直线能否互相垂直?若能请证明你的结论.若不能,说明理由．

点拨：对可导函数而言，极值点是导函数的零点，而p 、q 又是f (x )的零点，结合图像即可

解决问题（1）.对（2）这种探究性问题，常假设成立，然后进行探讨，进而做出判断.

解:（1）f (x )=x 3-(p +q )x 2+pqx ,f '(x )=3x 2

-2(p +q )x +pq ，

∵f (x )在x=a,b 处取的极值, ∴f '(x )=0的两根为a,b .又f '(q )=q (q -p )<0,

f '(p )=p (p-q )>0 而p >q ,由二次函数y ′=f '(x )的图象可知 p>a>q>b.

（2）设过原点的直线与曲线y =f (x )切于点T (x 0,y 0)且切线方程为y =kx ,

则k = f '(x 0)=2

0032()x p q x pq -++又T 在切线y =kx 上，∴y 0=kx 0..

y 0=3200032()x p q x pqx -++,而T 在曲线y =f (x )上，

∴y 0=3200032()x p q x pqx -++，∴23200()0x p q x -+=解得00x =或02

p q

x +=

. 故过原点的两条切线的斜率分别为k 1= f '(0)=pq ,k 2=f '(

2p q +)=21

()4

p q pq -++ 若两条切线互相垂直，则k 1k 2=-1,即qp [21

()4

p q pq -++]=-1

即2[()4]4pq p q pq +-=,从而得24

()48p q pq pq

+≥.而已知0

点评：本题通过导数的几何意义，考查了曲线的极值、切线等有关知识，旨在培养学生的应用意识及代数推理探究能力．

精编导数及其应用高考题精选含答案

导数及其应用高考题精选 1.（2010·海南高考·理科T3）曲线y x 在点1,1 处的切线方程为（） x 2 （A）y2x1（B）y2x1（C）y2x 3（D）y 2x2 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解. 【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程. 【规范解答】选A.因为y 2 2，所以，在点 1,1 处的切线斜率 2) (x 2 22 ，所以，切线方程为 y1 2(x 1) ，即 y2x1 ，故选A. ky x1 (12) 2.（2010·山东高考文科·Ｔ8）已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为y 1x3 81x 234，则使该生产厂 3 家获得最大年利润的年产量为（） (A)13万件(B)11 万件 (C)9万件(D)7万件【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力. 【思路点拨】利用导数求函数的最值. 【规范解答】选C，y' x2 81,令y0得x 9或x 9（舍去），当x 9 时y' 0；

当x9时y'0，故当x 9时函数有极大值，也是最大值，故选C. 3.（2010·山东高考理科·Ｔ7）由曲线y=x 2,y= x 3围成的封闭图形面积为（）（A）1 (B) 1 (C) 1 (D) 7 12 4 3 12 【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的

面积,考查了考生的想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【思路点拨】先求出曲线y=x2,y=x3的交点坐标，再利用定积分求面积. 【规范解答】选A,由题意得:曲线y=x2,y=x3的交点坐标为(0,0) ，(1,1)，故所求封闭图形的面积为1（x2-x3)dx= 1 1 1 0 1- 1= 故选A. 3 4 12 4 4.（2010·辽宁高考理科·Ｔ10）已知点P在曲线y= x 上，为曲线在点 e 1 P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（） (A)[0, )(B)[ , )( ,3 ](D)[ 3 ,) 4 4 2 2 4 4 【命题立意】本题考查了导数的几何意义，考查了基本等式，函数的值域，直线的倾斜角与斜率。【思路点拨】先求导数的值域，即tan的范围，再根据正切函数的性质求的范围。【规范解答】选 D. 5.（2010·湖南高考理科·Ｔ4） 4 1 dx等于（）2x A、2ln2 B、2ln2 C、ln2 D、ln2 【命题立意】考查积分的概念和基本运算. 【思路点拨】记住1 的原函数. x 1 4 【规范解答】选D. dx=(lnx+c)|42=(ln4+c)-(ln2+c)=ln2. 2 x 【方法技巧】关键是记住被积函数的原函数.

高三数学专题复习：导数及其应用

【考情解读】导数的概念及其运算是导数应用的基础，这是高考重点考查的内容．考查方式以客观题为主，主要考查：一是导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义；二是导数的应用，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题、证明不等式以及讨论方程的根等，已成为高考热点问题；三是应用导数解决实际问题．【知识梳理】 1．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在点处的切线的，其切线方程是．注意：函数在点P0处的切线与函数过点P0的切线的区别：． 2．导数与函数单调性的关系 (1)() '>0是f(x)为增函数的条件． f x 如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0． (2)() '≥0是f(x)为增函数的条件． f x 当函数在某个区间内恒有() '＝0时，则f(x)为常数，函数不具有单调 f x 性．注意：导数值为0的点是函数在该点取得极值的条件．

3．函数的极值与最值 (1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题． (2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有． (3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的． 4．几个易误导数公式及两个常用的运算法则 (1)(sin x )′＝； (2)(cos x )′＝； (3)(e x )′＝； (4)(a x )′＝ (a >0，且a ≠1)； (5)(x a )′＝； (6)(log e x )′＝； (7)(log a x )′＝ (a >0，且a ≠1)； (8)′＝； (9)??????? ? f (x ) g (x )′＝ (g (x )≠0) ．

高考数学导数及其应用的典型例题

第二部分导数、微分及其导数的应用知识汇总一、求导数方法 1.利用定义求导数 2.导数的四则运算法则 3.复合函数的求导法则若)(u f y =与)(x u φ=均可导，则[])(x f y φ=也可导，且dx du du dy dx dy ? = 即 [])()(x x f y φφ'?'=' 4.反函数的求导法则若)(x f y =与)(y x φ=互为反函数，且)(y φ单调、可导，则 )(1)(y x f φ'= '，即dy dx dx dy 1 = 5.隐函数求导法求由方程0),(=y x F 确定的隐函数 )(x f y =的导数dx dy 。只需将方程0),(=y x F 两边同时对x 求导（注意其中变量y 是x 的函数），然后解出 dx dy 即可。 6.对数求导法对数求导法是先取对数，然后按隐函数求导数的方法来求导数。对数求导法主要解决两类函数的求导数问题： (1)幂指数函数y=)()(x v x u ；(2)由若干个因子的乘积或商的显函数，如 y= 3 4 )3(52)2)(1(---++x x x x x ,3 ) 2)(53() 32)(1(--+-=x x x x y ,5 5 2 2 5 +-=x x y 等等。 7.由参数方程所确定函数的求导法则设由参数方程 ? ? ?==)() (t y t x ?φ ),(βα∈t 确定的函数为y=f(x)，其中)(),(t t ?φ

可导，且)(t φ'≠0，则y=f(x)可导，且 dt dx dt dy t t dx dy =''=)()(φ? 8.求高阶导数的方法二、求导数公式 1.基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 2.常见函数的高阶导数 (1) n n x n x -+-?-?-?=αα αααα)1()2()1()() ( (2) x n x e e =) () ( (3) ()()ln x n x n a a a = (4) () (sin ) sin 2n x x n π? ?=+? ??? (5) ??? ? ??+=2cos )(cos )(πn x x n (6) () 1 (1)!ln()(1) ()n n n n a x a x --+=-+ (7) 1 )() (!)1()1(++-=+n n n n b ax a n b ax

高考数学专题导数题的解题技巧

第十讲导数题的解题技巧【命题趋向】导数命题趋势：综观2007年全国各套高考数学试题，我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特点：（1）多项式求导（结合不等式求参数取值范围）,和求斜率（切线方程结合函数求最值）问题. （2）求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合. 分值在12---17分之间，一般为1个选择题或1个填空题，1个解答题. 【考点透视】 1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念． 2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数． 3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．【例题解析】考点1 导数的概念对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 例1．（2007年北京卷）()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是． [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力. [解答过程] ()2 2 ()2,(1)12 3.f x x f ''=+∴-=-+=Q 故填3. 例2. ( 2006年湖南卷）设函数()1 x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若M P,则实数a 的取值范围是 ( ) A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞) [考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.

2019衡水名师原创理科数学专题卷：专题五《导数及其应用》

2019届高三一轮复习理科数学专题卷专题五导数及其应用考点13：导数的概念及运算（1,2题）考点14：导数的应用（3-11题，13-15题，17-22题）考点15：定积分的计算（12题，16题）考试时间：120分钟满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。） 1.【来源】2017-2018年河北武邑中学高二理周考考点13 易函数()2sin f x x =的导数是（） A.2sin x B.22sin x C.2cos x D.sin 2x 2．【来源】2017-2018年河北武邑中学高二理周考考点13 易已知()21cos 4 f x x x =+，()'f x 为()f x 的导函数，则()'f x 的图像是（） 3.【2017课标II ，理11】考点14 易若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（） A.1- B.32e -- C.35e - D.1 4．【来源】2017届湖北孝感市高三理上学期第一次统考考点14 中难若曲线()ln y x a =+的一条切线为y ex b =+，其中,a b 为正实数，则2e a b + +的取值范围是（） A.2,2e e ??++∞ ??? B.[),e +∞ C.[)2,+∞ D.[)2,e 5．【来源】2017届福建闽侯县三中高三上期中考点14 难已知函数2x y =的图象在点),(2 00x x 处的切线为l ，若l 也与函数x y ln =，)1,0(∈x 的图象相切，则0x 必满足（）

高三数学重点知识：导数及其应用

2019年高三数学重点知识：导数及其应用查字典数学网高中频道收集和整理了2019年高三数学重点知识：导数及其应用，以便高中生在高考备考过程中更好的梳理知识，轻松备战。祝大家暑假快乐。一基础再现考点87简单复合函数的导数 1.曲线在点处的切线方程为____________。 2.已知函数和的图象在处的切线互相平行，则=________. 3.(宁夏、海南卷)设函数 (Ⅰ)讨论的单调性；(Ⅱ)求在区间的最大值和最小值. 考点88定积分 4.计算 5.(1)；(2) 6. 计算= 7.___________ 8.求由曲线y=x3，直线x=1，x=2及y=0所围成的曲边梯形的面积. 二感悟解答 1.答案： 2.答案：6 3.解：的定义域为. 当时，；当时，；当时，.

从而，分别在区间，单调增，在区间单调减. (Ⅱ)由(Ⅰ)知在区间的最小值为. 又. 所以在区间的最大值为. 4.答案：6 5.答案：(1) 死记硬背是一种传统的教学方式，在我国有悠久的历史。但随着素质教育的开展，死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式，渐渐为人们所摒弃；而另一方面，老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。其实，只要应用得当，“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。相反，它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。 (2)利用导数的几何意义：与x=0，x=2所围图形是以(0，0)为圆心，2为半径的四分之一个圆，其面积即为(图略) 观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重

高考数学难点突破_难点35__导数的应用问题

难点35 导数的应用问题利用导数求函数的极大(小)值，求函数在连续区间［a ,b ］上的最大最小值，或利用求导法解决一些实际应用问题是函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法使复杂问题变得简单化，因而已逐渐成为新高考的又一热点.本节内容主要是指导考生对这种方法的应用. ●难点磁场 (★★★★★)已知f (x )=x 2+c ,且f ［f (x )］=f (x 2+1) (1)设g (x )=f ［f (x )］,求g (x )的解析式； (2)设φ(x )=g (x )－λf (x ),试问：是否存在实数λ,使φ(x )在(－∞,－1)内为减函数，且在 (－1，0)内是增函数. ●案例探究［例1］已知f (x )=ax 3+bx 2+cx (a ≠0)在x =±1时取得极值，且f (1)=－1. (1)试求常数a 、b 、c 的值； (2)试判断x =±1是函数的极小值还是极大值，并说明理由. 命题意图：利用一阶导数求函数的极大值和极小值的方法是导数在研究函数性质方面的继续深入.是导数应用的关键知识点，通过对函数极值的判定，可使学生加深对函数单调性与其导数关系的理解.属★★★★★级题目. 知识依托：解题的成功要靠正确思路的选择.本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构进行逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽象的问题具体化.这是解答本题的闪光点. 错解分析：本题难点是在求导之后，不会应用f ′(±1)=0的隐含条件，因而造成了解决问题的最大思维障碍. 技巧与方法：考查函数f (x )是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值，再通过极值点与导数的关系，建立由极值点x =±1所确定的相等关系式，运用待定系数法求值. 解：(1)f ′(x )=3ax 2+2bx +c ∵x =±1是函数f (x )的极值点， ∴x =±1是方程f ′(x )=0,即3ax 2+2bx +c =0的两根. 由根与系数的关系，得???????-==-13032a c a b 又f (1)=－1,∴a +b +c =－1, ③ 由①②③解得a =2 3,0,21==c b , (2)f (x )=21x 3－2 3x , ∴f ′(x )=23x 2－23=2 3(x －1)(x +1) 当x ＜－1或x ＞1时，f ′(x )＞0 当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0 ∴函数f (x )在(－∞,－1)和(1,+∞)上是增函数，在(－1，1)上是减函数. ∴当x =－1时，函数取得极大值f (－1)=1, 当x =1时，函数取得极小值f (1)=－1. ［例2］在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，① ②

08高考数学导数的应用问题

难点35导数的应用问题利用导数求函数的极大(小)值，求函数在连续区间［a,b ］上的最大最小值，或利用求导法解决一些实际应用问题是函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法使复杂问题变得简单化，因而已逐渐成为新高考的又一热点?本节内容主要是指导考生对这种方法的应用??难点磁场 2 2 (★★★★★)已知f(x)=x +C,且f ［f(x)］=f(x +1) ⑴设g(x)=f : f(x)］，求g(x)的解析式； (2)设0 (x)=g(x)-入f(x),试问：是否存在实数入，使0 (x)在(一8，- 1)内为减函数，且在(-1, 0)内是增函数? ?案例探究［例1］已知f(x)=ax3+bx2+cx(a 工0)在x=± 1 时取得极值，且f(1)= - 1. (1) 试求常数a、b、c的值； (2) 试判断x= ± 1是函数的极小值还是极大值，并说明理由. 命题意图：利用一阶导数求函数的极大值和极小值的方法是导数在研究函数性质方面的继续深入?是导数应用的关键知识点，通过对函数极值的判定，可使学生加深对函数单调性与其导数关系的理解?属★★★★★级题目? 知识依托：解题的成功要靠正确思路的选择?本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构进行逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽象的问题具体化?这是解答本题的闪光点?错解分析：本题难点是在求导之后，不会应用f' (土1)=0的隐含条件，因而造成了解决问题的最大思维障碍? 技巧与方法：考查函数f(x )是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值，再通过极值点与导数的关系，建立由极值点x= ± 1所确定的相等关系式，运用待定系数法求值?解：(1)f' (x)=3ax2+2bx+c x= ± 1是函数f(x)的极值点, ??? x= ± 1 是方程f' (x)=0,即3ax2+2bx+c=0 的两根? 二=0 ①由根与系数的关系，得3a ② ,3a 又f(1)= - 1,.?. a+b+c= -1, ③ 由①②③解得a=丄,b = 0,c =色， 2 2 1 3 (2) f(x)= x3-x, 2 2 3 2 3 3 …f (x)= x —= —(x- 1)(x+1) 2 2 2 当x v- 1 或x> 1 时，f' (x)> 0 当一1v x v 1 时，f' (x)v 0 ?函数f(x)在(-8 , - 1)和(1,+8)上是增函数，在(—1, 1)上是减函数? ? ??当x= - 1时，函数取得极大值f( -1)=1, 当x=1时，函数取得极小值f(1)= - 1.