导数的概念和几何意义.doc
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■ ? —
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导数的概念和几何意义
注意事项：
1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2. 请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
1. 曲线y=2sinx 在点P （ n , 0）处的切线方程为（
）
A. y = -2x + 2〃
B. y = 0
C. y — -2x - 2/r
D. y = 2x + 2/r
【答案】A 【解析】
试题分析：因为，y=2sinx,所以，y' = 2cosx,曲线y=2sinx 在点P （ n , 0）处的切 线斜率为-2,由直线方程的点斜式，整理得，曲线y 二2sinx 在点P （ n , 0）处的切线 方程为），二一2工+ 2几，选A 。 考点：导数的几何意义
点评：简单题，曲线切线的斜率，等于在切点的导函数值。
2. 若蓦函数），二 /（】）的图像经过点A （：S ）,则它在A 点处的切线方程是（ ） A. 4x + 4y+ 1 = 0 B. 4x-4y + l = 0 C. 2x-y = 0 D. 2x+ y = 0
【答案】B 【解析】
试题分析：设/（x ） = f ,把人（一,一）代入，得一=一，得。=一，所以j 、（x ） = E=￡,
4 4
广（：）=1 ,所以所求的切线方程为y — ! = * — !即4x — 4y +1 = 0 ,
选B.
考点：羸函数、曲线的切线.
3. 函数f （x ） = e x
cosx 的图像在点（0,/（0））处的切线的倾斜角为（）
考试范围：导数的概念和几何意义；考试时间：
100分钟；命题人：张磊
(C) (l,e) (D) (0,2)
7[
3兀
A 、一
B N 0
C N —
D 、1
4
4
【答案】A 【解析】
试题分析：由广⑴= / （cosx — sin X ）,则在点（0,/（0））处的切线的斜率k =广
（0） = 1,
TT
故倾斜角为一.选A.
4
考点：1.利用导数求切线的斜率；2.直线斜率与倾斜角的关系
4.
曲线y = b 在点（2,疽）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（
）
2
A. *
B. 2e 2
C. 4e 2
D.—
2
【答案】D 【解析】
试题分析：?.,点（2,疽）在曲线上，..?切线的斜率k = y x _2 = e x
x _2 = e 2
,
..?切线的方程为y —疽=疽（工—2）,即e 2
x-y-e 2
=0,
两坐标轴的交点坐标为
(0,-乃，(1,0),
考点：1.利用导数求切线方程；2.三角形面积公式.
5.曲线= e v 在点A 处的切线与直线x —y + 3 = 0平行，则点月的坐标为（ ）
(A) (-l,e _,)
(B) (0,1)
【答案】B
【解析】 试题分析：直线x —y + 3 =。的斜率为1,所以切线的斜率为1, B|J k = y , = e x
^=} 解得%0=0，此时y = e° = \ ,即点A 的坐标为（0,1）. 考点：导数的几何意义.
6.设|1】|线），=史在点（3,2）处的切线与直线” + y + l = 0垂直，则。等于（
）
%-1 A. 2
B. —
C. —
D. — 2
2 2
【答案】D 【解析】 试题分析：由y =
- => y'= ~~ = ------ 曲线y =三口 在点（3,2）处 ,
A-1 . （X-1）- （X-1）- ? X-1
※※案※※知※※天一※※^※※」！※※^※※^※※?※※』※※?※※O
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的切线的斜率为k=-\ ;又直线以 + y + l=0的斜率为-。，由它们垂直得
_；x (_Q ) = _]=> Q = -2
考点：导数运算及导数的几何意义，直线间的位置关系
7.已知曲线)，= J+cW + l在点(-1, 67 + 2)处切线的斜率为8,。=()
A. 9
B. 6
C. -9
D. -6
【答案】D
【解析】
试题分析：y = F + ax2 +1 , /. y = 4x3 4- lax ,当x = -\时，y' = 8 ,即4X(-1)3+2?X(-1) =8,
即-4 —2。= 8,解得。=—6.
考点：函数图象的切线方程
8.若曲线y = 在坐标原点处的切线方程是2x-y = 0,则实数( )
A. 1
B. -1
C. 2
D. -2
【答案】C
【解析】
试题分析：根据题意，由于曲线y = F+心在坐标原点处的切线方程是2i-)，= 0,则根据导数公式可知，y* = 3x2+a,将x二°代入可知，y，=2,故可知a=2,因此答案为C.
考点：导数的几何意义
点评：主要是考杏由于导数求解曲线的切线方程的运用，属于基础题。
9.若曲线y = %2 + ax + b在点(0,/?)处的切线方程是尤一y + l = 0,贝U ( )
A. a = \,b = l
B. 。= 一1,/? 二1
C. a = l,b = — 1
D. a = —1,& = —1
【答案】A
【解析】
试题分析：因为，y = x2+Qx + 8，所以，y'= 2x +a f由切线的斜率等于函数在切点的导函数值。a=l,将x=0代入直线方程得,y=1,所以，H，故选A。
考点：本题主要考杳导数的几何意义。
点评：简单题’切线的斜率等于函数在切点的导函数值。
10.已知直线ax - by - 2-0与曲线y=x，在点P (1, 1)处的切线互相垂直，则言为( )
9 9 1
A. 3
B. -
C. --
D.--
3 3 3
【答案】D
【解析】
试题分析：由导数的几何意义可求曲线疙X’在(1, 1)处的切线斜率k,然后根据直线
※※案※※知※※天一※※^※※」！※※^※※^※※?※※』※※?※※o
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垂直的条件可求坦的值.解：设曲线y=x，在点P (1, 1)处的切线斜率为k,则k=f' b
(1) =3
因为直线ax-by-2=0与曲线y=x‘在点P (1, 1)处的切线互相垂直，- =
b 3，故选D.
考点：导数的几何意义
点评：本题主要考查了导数的几何意义：曲线在点(x。，yo)处的切线斜率即为该点处
的导数值，两直线垂直的条件的运用.属于基础试题.
cos X
11.函数f(x) = —在(0,1)处的切线方程是
1+ X
A?x+y —1 = 0 B?2JV +)‘—1=0 C?2x —y + l=0 D. x — y + \ = 0
【答案】A
【解析】
试题分析：..?m)=西，???广。)=土也牛*,.?.在(0,1)处的切线斜1 + x (1 + x)
率k二广(0)疽1 + %；*c()s() = _],.?.在(0,1)处的切线方程为y—1=T(X-0)即
x + y - 1 = 0，故选A
考点：本题考杏了导数的几何意义
点评：⑴在x = x()处导数广(工。)即为fU)所表示曲线在x = x0处切线的斜率，即
k = f(X。),则切线方程为:y- f(x
Q
) = f' (x0 )(x f o)
12.己知函数J'(x) = ar + 4,若lim /(廿*)二，⑴=2,则实数。的值为( )
AIO Ax
A. 2
B. -2
C. 3
D. -3
【答案】A
【解析】
试题分析：?.?lim /(1七&)二匕⑴=2,.?./'(1) = 2，又f\x) = a, :.a = 2，故选kT°Ax
A
考点：本题考查了导数的概念及运算
点评：掌握导数的概念及运算是解决此类问题的关键，属基础题
13.若/(x) = 2矿(1) +亍,则广(°)等于 ( )
A. -2
B. -4
C. 2
D. 0
【答案】B
【解析】
试题分析：,: f(x) = 2xf,(l)+x2 , /. f\x) = If '(1) + 2x , :. /z(l) = —2 , .*?
/z Cv) = 2x-4,..? f'(0) = —4，故选B
茶
x 2 %的值为（）
选Bo
考点：本题考查了导数的运用
点评：利用导数法则求解导函数，然后代入函数求值是解决此类问题的常用方法
14.设曲线N*）在点（1, 1）处的切线与X 轴的交点的横坐标为％,则
D. 1
n
【答案】B
【解析】 试题分析：因为，y = x"%icN"）,所以，y ，= （〃 + l ）T,曲线 y = x ,t+
\ne N （
'）在
点（1, 1）处的切线斜率为n+1,切线方程为y = （〃 + l ）x — 〃，令y=0得，x= --
n +1
1 2 3 n 1
X = — X — X — X ...X --------
2 3 4
〃 +1 n + 1
考点：本题主要考查导数的几何意义，直线方程，等比数列的求和公式。
点评：中档题，切线的斜率等于函数在切点的导函数值。最终转化成确定数列的通项公 式问题。
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第II卷(非选择题)
15.曲线)，=尤/ + 2尤+1在点(0,1)处的切线方程为
【答案】)，=3工+ 1
【解析】
试题分析：由y'=W+x/+2,得& =协,_0=/+2 = 3,所以所求点(0,1)处的
切线方程为：y-l = 3(x-O),即y = 3x + \.
考点：利用导函数处理曲线的切线方程
16.在两曲线y = sinx和)，=。0$工的交点()处，两切线的斜率之积等4 2
于?
【答案】-上
2
【解析】解：因为在两曲线y = sinx和》=<^乂的交点(生,兰)处，两切线的斜率之4
积等于虫X —=
2 ~ 2 2
17.函数y=f(x)的图像在点M(l,f(D)处的切线方程为y = ：x + 2,贝U J'(l) +/"(I)
【答案】3
【解析】
试题分析:由题意可知r(x)l A.=1 = )t w =-=>/\1) = -, /(l) = -xl + 2 = -,所以
/⑴+广⑴=3.
考点：导数的几何意义.
18.直线y = 2x + b与曲线y = -x + 31nx相切，则/?的值为.
【答案】-3
【解析】
3
试题分析：由y = -x + 31nx得)疽= —l + — = 2nx = l ,得切点为(1,一1),代入切线
x
得S—3.
考点：利用导数求切线方程.
19.(如图所示)函数y = /(x)在点P处的切线方程是y = -x + 8,则/(5) + /\5)=
二、填空题
评卷人
得分
~0|
5X
【答案】2 【解析】
试题分析：因为函数y = /(x)在点P 处的切线方程是)，=-工+ 8 ,所以
/'(5) =-1/(5) =-5+8=3,所以八5)+ 广(5)=2.
考点：导数的几何意义。
点评：我们要灵活应用导数的几何意义求曲线的切线方程，尤其要注意切点这个特殊点, 充分利用切点即在曲线方程上，又在切线方程上，切点处的导数等于切线的斜率这些条 件列出方程组求解。属于基础题。
20.已知曲线fM = x n+
\ne N*)与直线工=1交于点P,若设曲线y=f (x)在点P
处的切线与X 轴交点的横坐标为天，则logg X
\ +1°§2012 X
2 +??? + log 20|2X 20H 的值
为.
【答案】-1 【解析】
试题分析：求导函数，可得f‘ (x) = (n+1) x n ,设过(1, 1)的切线斜率k, 则 k=f' (1) =n+l, 「?切线方程为 y-l= ( n+1) ( x-1),令 y=0 , nf 得 Xn= " , Xi ? x 2 ??- x 2on n +1
1 2 2011 1 =—X —X---X ------------------------------- = ------------------
， 故 log2012Xl + log2012X 2
+--- +log2012X20U = log2012 ( Xl X
2 3
2012
2012
X2X ???XX2
。”) =1082012^^ = -1
考点：1.利用导数研究曲线上某点切线方程；2.数列的求和
21..(本小题满分10分)已知函数f(x) = xe x
.
(1) 求这个函数的导数；
(2) 求这个函数的图象在点工=1处的切线方程.
【答案】(1) f (x) = (x) e x
x(e x
) = e x
+ xe x
； (2) 2ex — y-e = 0。
【解析】木试题主要是考杏了函数的导数的求解以及导数的几何意义的运用。 . (1)因为 /(x) = xe A ,则 / ⑴=(X )/+工(/) = $'+双'
(2)因为上=广(1) = 2八 过点(1, e)，那么可知切线方程为y —e = 2e(x —1)
三、解答题
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,
.解：(1) f (x) = (x) e x + A) = e x + xe x.............................................. . . (4 分)
(2) k = fQ) = 2e ....................................................................... (6 分)
当工=1时，y = e ....................................................................... (7分)
因此，这个函数的图象在点工=1处的切线方程是y-e = 2e(x-\)...................... (9分)
即2ex — y — e = 0 ....................................................................... (10 分) 22.求与直线2尤-6"1=0垂直，且与曲线)，=尸+ 3亍-1相切的直线方?程。
【答案】3x+y + 2 = 0
【解析】与2x-6y + l= 0垂直的直线的斜率为一3, y =3X2+6X ,由y=3得3x2 +6% = 3 ,得尤=一1,当x = -1时，y = 1 , 切点为(一1,1) , 「?切线为y-1 = -3(x + l),即3x + y + 2 = 0。
23.己知函数/(x) = x + — + h［x 0),其中a,he R .
x
若曲线)，=J‘(x)在点P(2,/(2))处的切线方程为)，= 3x + l,求函数J'(x)的解析式；
Q
［答案］f (x) —x---- 9
【解析】/⑴二1一￡,由导数的几何意义得厂(2) = 3,于是。=—8.由切点x~
P(2J(2))在直线y = 3x+l上可得—2 + /? = 7,解得人=9?所以函数八工)的解析式
Q
为/(x) = x ——+ 9 ?
x
24.已知函数/(x) = ? + x-16.
(1)求曲线y = f(x)在点(2,-6)处的切线方程；
(2)直线/为曲线y = f(x)的切线，且经过原点，求直线/的方程及切点坐标.
【答案】(1))=13工一32； (2)直线/的方程为y = 13x,切点坐标为(一2,-26).
【解析】
试题分析：(1) Q/ (x) = 3x2 +1
??.在点(2,-6)处的切线的斜率* =广(2) = 3x2? +1 = 13 ,
???切线的方程为y = 13x — 32；
(2)设切点为(x(), y()),则直线/的斜率为/'(%) = 3x(； +1,
?，?直线l的方程为:y = (3%0 + l)(x — x0) 4- 4- x0— 16.
又直线Z过点(0,0),
0 = (3xJ +1)(—Xg) + X Q +X Q—16,
整理,得蓦=-8 , 「?x0 = -2,
)% —(―2)' + (―2) — 16 = —26,
Z的斜率k = 3x(—2)2+1 = 13,直线/的方程为y = 13x,切点坐标为(—2,— 26).
考点：木题主要考杏导数的几何意义，直线方程的点斜式。
点评：中档题，曲线的切线斜率，等于切点的导函数值。求切线方程，有两种情况，一是给定点在曲线上，二是给定点在曲线外。本题包含了上述两种情况，比较典型。