2008年广州市高二数学竞赛试卷

2008年广州市高二数学竞赛试卷

考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答； ⒉不准使用计算器；

⒊考试用时120分钟，全卷满分150分．

一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确选项前的字母代号填在该小题后的括号内．

1．若集合{}

a a a -2,有4个子集，则实数a 的取值范围是（ ） A ． {}2,0 B ．{

∈≠a a a ,0R

}

C ．{∈≠a a a ,2R

} D ．{0≠a a 且∈≠a a ,2R }

2. 已知函数()?

??<≤-≤≤-=.01,2,

10,12x x x x f x 则)]5.0([-f f 等于( )

A ．5.0-

B ．1-

C ．5.0

D ．1

3．在空间直角坐标系xyz O -中，点D C B A 、、、的坐标分别为A ()001，，、B ()020，，、C ()042，，、

()221--，，D ，则三棱锥BCD A -的体积是（ ）

A ．2

B ．3

C ．6

D ．10 4. 已知直线012=+-y x 与圆()()5

1

2

2

=

-+-b y a x ∈b a ,(R )有交点, 则 1222

2++-+b a b a 的最小值是 ( )

A ．51

B ．54

C ．59

D ．5

14

二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．把答案填在题中横线上．

5. △ABC 的三个内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、, 若?

===6024A b a ，，, 则=C cos .

6．已知直角梯形ABCD 的顶点坐标分别为()()()()3,1,1,3,0,2,1,D C B a A ，

则实数a 的值是 .

7. 在数列}{n a 中，1a ＝2，∈=++n a a n n (11N )*，设n S 为数列}{n a 的前n 项和，则

3029282S S S -+的值为 .

8．已知C B A 、、三点在同一条直线l 上，O 为直线l 外一点，若=++r q p 0， ∈r q p ,,R ，则=++r q p .

9．一个非负整数的有序数对(,)m n ，如果在做m n +的加法时不用进位，则称(,)m n 为“奥运数对”，m n +称为“奥运数对”(,)m n 的和，则和为2008的“奥运数对”的个数有___________个. 10.如图1所示, 函数()x f y =圆弧, 则不等式()()x x f x f +-<2

三、解答题：本大题共5小题，共90分．要求写出解答过程． 图1 11．（本小题满分15分）

已知函数()sin cos f x a x b x ωω=+(,a b ∈R ，0ω>)的部分图象如图2所示． (1) 求,,a b ω的值； （2）若关于x 的方程[]2

3()()0f x f x m -+=在2(,)x ππ

∈-内有解,求实数m 的取值范围．

图2

23

π76

πy

O 1-

D

B 1

C 1

A 1

F

E C

B A

12．（本小题满分15分）

如图3所示, 在三棱柱ABC C B A -111中, ⊥1AA 底面ABC ，,BC AC ⊥

21===CC BC AC .

（1）若点F E D 、、分别为棱CA B C CC 、、111的中点，求证：⊥EF 平面BD A 1；

(2) 请根据下列要求设计切割和拼接方法:要求用平行于三棱柱ABC C B A -111的某一条侧棱的平面去截此三棱柱,切

开后的两个几何体再拼接成一个长方体. 简单地写出一种切割和拼接方法，

并写出拼接后的长方体的表面积（不必计算过程）.

图3

13．（本小题满分20分）

已知点11(,)A x y ，22(,)B x y 是椭圆L ：

22

1189

x y +=上不同的两点，线段AB 的中点为(2,1)M . （1）求直线AB 的方程；

（2）若线段AB 的垂直平分线与椭圆L 交于点C 、D ，试问四点A 、B 、C 、D 是否在同一个圆

上，若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由.

14．（本小题满分20分）

已知在数列}{n a 中，11=a ，d qa a n n +=-+1212(d ∈R ,q ∈R 且q ≠0,∈n N *

). （1）若数列}{12-n a 是等比数列，求q 与d 满足的条件；

（2）当0d =，2q =时，一个质点在平面直角坐标系内运动，从坐标原点出发，第1次向右运动，第2次向上运动，

第3次向左运动，第4次向下运动，以后依次按向右、向上、向左、向下的方向交替地运动，设第n 次运动的位移是n a ，第n 次运动后，质点到达点(,)n n n P x y ,求数列{}n x n 4?的前n 项和n S .

15．（本小题满分20分）

已知函数()∈--=b a bx ax x x f ,(ln 2R ，且)0≠a .

（1）当2=b 时，若函数()x f 存在单调递减区间，求a 的取值范围； （2）当0>a 且12=+b a 时，讨论函数()x f 的零点个数.

2008年广州市高二数学竞赛参考答案

一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，共24分． 1．D 2．C 3．A 4．B

二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分． 5．

8133- 6．1± 7．3- 8．0 9．27 10．()??

?

??2,581,0 三、解答题：本大题共5小题，共90分．要求写出解答过程．

11．（本小题满分15分）

解：(1) 由图象可知函数()f x 的周期为4T =(67π23

π

-)=2π， ∴2212T ππ

ωπ

=

==． 函数()f x 的图象过点???

??-??? ??1,67,0,32ππ，

∴2(

)03

f π

=且7()16f π=-.

∴1

0,21 1.2b a ?-=???

?--=-??

解得：1,2

a b =

=

. ∴,1=ω 1,

22

a b ==. （2）由（1）得1()sin 2f x x x =+sin()3x π=+.

当?

?

? ??-∈32,3ππx 时，()ππ,03∈+x ，得13sin 0≤??? ??

+<πx . 令()??? ?

?

+==3sin πx x f t ，则10≤

故关于x 的方程[]23()()0f x f x m -+=在2(,)33

x ππ

∈-内有解等价于关于t 的方程

032=+-m t t 在(]1,0∈t 上有解.

由032

=+-m t t ，得12161332

2+??

? ??--=+-=t t t m .

(]1,0∈t ，

∴??

????

-∈121,2m . ∴实数m 的取值范围是?????

?

-121,2. 12．（本小题满分15分）

A

B

C

E

F

A 1

C 1

B 1

D

（1）证法一：以点C 为原点，分别以1CC CA CB 、、所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系xyz C -，

依题意得()()()2201000,0,21，，、，，、A D B 、 ()()010201，，、，，F E .

∴=EF ()211--，，，=BD ()102，，-，=A 1 ()120--，，.

()()()，0120121=?-+?+-?-=?BD EF ()()()()，

01221011=-?-+-?+?-=?A ∴A 1⊥⊥.

∴D A EF BD EF 1⊥⊥，.

?BD 平面BD A 1，?D A 1平面BD A 1，D D A BD =1 . ∴⊥EF 平面BD A 1.

证法二：连结F C 1，

⊥1AA 底面ABC ，?AC 平面ABC ，

∴AC AA ⊥1.

21==CC AC ，F D 、分别为棱CA CC 、1的中点，

∴2,11111====CC C A DC CF .

?=∠=∠90111D C A CF C ，

∴Rt △?CF C 1 Rt △D C A 11. ∴111C DA F CC ∠=∠.

G

B 1

C 1

A 1

E ?=∠+∠901111DC A C DA ,

∴?=∠+∠90111DC A F DC .

∴F C D A 11⊥.

,BC AC ⊥

∴,1111C B C A ⊥

1111111,A C A AA AA C B =⊥ ，

∴⊥11C B 平面11CC AA .

∴D A C B 111⊥.

1111C F C C B = ，

∴⊥D A 1平面FE C 1.

?EF 平面FE C 1，

∴D A EF 1⊥. 同理可证BD EF ⊥.

D BD D A = 1，

∴⊥EF 平面BD A 1.

（2）切割拼接方法一：如图甲所示，分别以CB AB B A B C 、、、1111的中点N M G E 、、、所确定的平面为截面，把

三棱柱ABC C B A -111切开后的两个几何体再拼接成一个长方体（该长方体的一个底面为长方形1'

1A EE C 如图①所示，），此时所拼接成的长方体的表面积为16.

E '

G E C 1

A 1

N M B 1

C 1

A 1C

B A (B 1)

M '

B 1

M

C 1A 1

图甲 图①

切割拼接方法二：如图乙所示，设AB B A 、11的中点分别为N M 、，以四点C N M C 、、、1所确定的平面为截面，把三棱柱ABC C B A -111切开后的两个几何体再拼接成一个长方体（该长方体的一个底面为正方形'

11M MA C ），此时所拼接成的长方体的表面积为284+.

图乙 图② 13．（本小题满分20分） 解一：（1） 点11(,)A x y ，22(,)B x y 是椭圆L 上不同的两点，

∴

22111189x y +=，22

221189

x y +=. 以上两式相减得：

2222

1212

0189

x x y y --+=， 即2222

12122()0x x y y -+-=，12121212()()2()()0x x x x y y y y -++-+=，

∵线段AB 的中点为(2,1)M ，

∴12124,2x x y y +=+=. ∴12124()4()0x x y y -+-=，

当12x x =，由上式知，12y y = 则,A B 重合，与已知矛盾，因此12x x ≠， ∴

12

12

1y y x x -=--.

∴直线AB 的方程为1(2)y x -=--，即03=-+y x .

由?????=+=-+.19

18032

2y x y x ， 消去y ，得01232=-x x ，解得0=x 或4=x . ∴所求直线AB 的方程为03=-+y x . 解二: 当直线AB 的不存在时, AB 的中点在x 轴上, 不符合题意.

故可设直线AB 的方程为()21-=-x k y , ()()2211,,,y x B y x A .

由()?????=+-=-.19

18212

2y

x x k y ， 消去y ，得()()()

028********=--+--+k k x k k x k (*) 2

2212148k

k

k x x +-=+∴. AB 的中点为()1,2M , 421=+∴x x .

421482

2=+-∴k

k k . 解得1-=k .

此时方程(*)为01232

=-x x ,其判别式0144>=?.

∴所求直线AB 的方程为03=-+y x . （2）由于直线AB 的方程为03=-+y x ，

则线段AB 的垂直平分线CD 的方程为21-=-x y ，即01=--y x .

由?????=+=-+,1918,032

2y x y x 得()().1,4,3,0-B A ， 由?????=+=--,1918,012

2y x y x 消去y 得016432=--x x ，设()().,,,2211y x D y x C 则1212416

,33

x x x x +==-. ∴线段CD 的中点E 的横坐标为1

2223E x x x +==，纵坐标3

1

1-=-=E E x y . ∴E 21,33??

-

???

. ∴()(

)[]

326

43164342411221221=???????

???? ??-?-??? ??=-++=

x x x x CD . ∵3262331322

2

=

??

?

??--+??? ??=EA CD 21=， 32623314322

2

=

??

?

??+-+??? ??-=EB CD 21=， ∴四点A 、B 、C 、D 在同一个圆上，此圆的圆心为点E ，半径为

3

26

2，

其方程为22

21104339x y ?

???-++= ? ?????

.

14．（本小题满分20分）

解:（1） 11=a ，2121n n a qa d +-=+，q ≠0，

① 当0d =时，2121n n a qa +-=，显然21{}n a -是等比数列； ② 当0d ≠时，()d d q q d qa a d q d qa a ++=+=+=+=3513,.

数列21{}n a -是等比数列，

∴512

3a a a =，即()()d d q q d q ++=+2

，化简得1=+d q .

此时有q qa a n n -+=-+11212，得()111212-=--+n n a q a ，

由 11=a ，q ≠0, 得112=-n a （∈n N *

)，则数列21{}n a -是等比数列. 综上，q 与d 满足的条件为0(0)d q =≠或1q d +=（0,0≠≠d q ）. （2）当0d =，2q =时，

∵21212n n a a +-=，

∴1121122n n n a a ---=?=， 依题意得：41312x a a =-=-，2381222x =-+-，…，

∴2222

3

22

21

41(2)121212222

2

1(2)123

n n n

n n n x ------=-+-++-===

--+ . ∴24132n n x -=.

∴3

2124n

n

x -=.

∴()n n n x n x n x x x S 4)1(41284132?+?-+???+++=-

()()

n n n 264222322213132131

?+???+?+?+?-+???+++=

()61+=

n n ()

n n 264222322213

1

?+???+?+?+?-.

令()n n n n n T 2)1(2642221232221?+?-+???+?+?+?=- ①

n T 4()222864221232221+?+?-+???+?+?+?=n n n n ②

①-②得2226422222213+?-+???+++?=-n n n n T

()

222224

1212+?---=

n n

n ()22221234+?--=n n n . ∴()

()9

2139432219422222++?-+=?+-=n n n

n n n T .

∴()()27

213274612

2+?---+=n n n n n S . 15．（本小题满分20分）

解：（1）当2=b 时，函数()x f x ax x 2ln 2

--=，其定义域是()∞+,0，

∴()x

x ax ax x x f 1

222212'

-+-=--=.

函数()x f 存在单调递减区间，

∴()x

x ax x f 1

222'

-+-

=0≤在()∞+∈,0x 上有无穷多个解. ∴关于x 的不等式01222

≥-+x ax 在()∞+∈,0x 上有无穷多个解.

① 当0>a 时，函数1222

-+=x ax y 的图象为开口向上的抛物线，

关于x 的不等式01222

≥-+x ax 在()∞+∈,0x 上总有无穷多个解.

② 当0

-+=x ax y 的图象为开口向下的抛物线，其对称轴为

01

>-

=a

x .要使关于x 的不等式01222≥-+x ax 在()∞+∈,0x 上有无穷多个解.

必须480a ?=+>，

解得12a >-

，此时1

02

a -<<. 综上所述，a 的取值范围为()1

(,0)0,2

-+∞ .

另解：分离系数：不等式01222

≥-+x ax 在()∞+∈,0x 上有无穷多个解，

则关于x 的不等式2

2

1212(1)1x a x x

-≥=--在()∞+∈,0x 上有无穷多个解， ∴21a >-，即1

2a >-

，而0a ≠. ∴a 的取值范围为()1

(,0)0,2

-+∞ .

（2）当12b a =-时，函数()x f ()2ln 12x ax a x =---，其定义域是()∞+,0，

∴()()2'

12(12)1

212ax a x f x ax a x x

+--=---=-.

令()0'

=x f ，得

22(12)1

0ax a x x

+--=，即22(12)10ax a x +--=， (1)(21)0x ax -+=， 0x > ，0a >，则210ax +>， ∴1x =

当<x f ；当>x 1时，()0'

∴函数()x f 在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减. ∴当1x =时，函数()x f 取得最大值，其值为()1ln1121f a b a a a =--=--+=-. ① 当1a =时，()10f =，若1≠x , 则()()1f x f <, 即()0

此时，函数()x f 与x 轴只有一个交点，故函数()x f 只有一个零点；

② 当1a >时，()10f >，又()011112111ln 12

2<-???

??--=?--??? ???-=??? ??a a a a a a e e a e a e a e e f ,

()()()02121ln 2<---=---=e e ae e a ae e e f ,

函数()x f 与x 轴有两个交点，故函数()x f 有两个零点； ③ 当01a <<时，()10f <，函数()x f 与x 轴没有交点，故函数()x f 没有零点.