2016年高考真题--数列(含答案)
2016年高考真题--数列
一．选择题（共5小题）
1．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）
（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）
A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年
2．已知无穷等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，且=S，下列条件中，使得2S n＜S（n∈N*）恒成立的是（）
A．a1＞0，0.6＜q＜0.7 B．a1＜0，﹣0.7＜q＜﹣0.6
C．a1＞0，0.7＜q＜0.8 D．a1＜0，﹣0.8＜q＜﹣0.7
3．已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（）
A．100 B．99 C．98 D．97
4．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A．B．5 C．7 D．9
5．在等差数列{a n}中，若a2=4，a4=2，则a6=（）
A．﹣1 B．0 C．1 D．6
二．填空题（共5小题）
6．设数列{a n}的前n项和为S n，若S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*，则a1=，S5=．7．已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1=6，a3+a5=0，则S6=．8．已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和，若a1+a22=﹣3，S5=10，则a9的值是．9．设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n的最大值为．10．在数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n，S n为{a n}的前n项和，若S n=126，则n=．
三．解答题（共6小题）
11．等差数列{a n}中，a3+a4=4，a5+a7=6．
（Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=[a n]，求数列{b n}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．
12．已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；
（Ⅱ）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．
13．已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，a n b n+1+b n+1=nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）求{b n}的前n项和．
14．设数列{a n}的前n项和为S n，已知S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*．
（Ⅰ）求通项公式a n；
（Ⅱ）求数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和．
15．S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1=1，S7=28，记b n=[lga n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．
（Ⅰ）求b1，b11，b101；
（Ⅱ）求数列{b n}的前1000项和．
16．已知数列{a n}的首项为1，S n为数列{a n}的前n项和，S n+1=qS n+1，其中q＞0，n∈N+
（Ⅰ）若a2，a3，a2+a3成等差数列，求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设双曲线x2﹣=1的离心率为e n，且e2=2，求e12+e22+…+e n2．
2016年高考真题--数列
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2016?四川）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）
（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）
A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年
【分析】设第n年开始超过200万元，可得130×（1+12%）n﹣2015＞200，两边取对数即可得出．
【解答】解：设第n年开始超过200万元，
则130×（1+12%）n﹣2015＞200，
化为：（n﹣2015）lg1.12＞lg2﹣lg1.3，
n﹣2015＞=3.8．
取n=2019．
因此开始超过200万元的年份是2019年．
故选：B．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
2．（2016?上海）已知无穷等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，且=S，下列条件中，使得2S n＜S（n∈N*）恒成立的是（）
A．a1＞0，0.6＜q＜0.7 B．a1＜0，﹣0.7＜q＜﹣0.6
C．a1＞0，0.7＜q＜0.8 D．a1＜0，﹣0.8＜q＜﹣0.7
【分析】由已知推导出，由此利用排除法能求出结果．
【解答】解：∵，S==，﹣1＜q＜1，
2S n＜S，
∴，
若a1＞0，则，故A与C不可能成立；
若a1＜0，则q n，
在B中，a1＜0，﹣0.7＜q＜﹣0.6故B成立；
在D中，a1＜0，﹣0.8＜q＜﹣0.7，此时q2＞，D不成立．
故选：B．
【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．
3．（2016?新课标Ⅰ）已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100 B．99 C．98 D．97
【分析】根据已知可得a5=3，进而求出公差，可得答案．
【解答】解：∵等差数列{a n}前9项的和为27，
∴9a5=27，a5=3，
又∵a10=8，
∴d=1，
∴a100=a5+95d=98，
故选：C
【点评】本题考查的知识点是数列的性质，熟练掌握等差数列的性质，是解答的关键．
4．（2015?新课标Ⅱ）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）
A．B．5 C．7 D．9
【分析】由等差数列{a n}的性质，a1+a3+a5=3=3a3，解得a3．再利用等差数列的前n项和公式即可得出．
【解答】解：由等差数列{a n}的性质，a1+a3+a5=3=3a3，解得a3=1．
则S5==5a3=5．
故选：B．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．（2015?重庆）在等差数列{a n}中，若a2=4，a4=2，则a6=（）
A．﹣1 B．0 C．1 D．6
【分析】直接利用等差中项求解即可．
【解答】解：在等差数列{a n}中，若a2=4，a4=2，则a4=（a2+a6）==2，解得a6=0．
故选：B．
【点评】本题考查等差数列的性质，等差中项个数的应用，考查计算能力．
二．填空题（共5小题）
6．（2016?浙江）设数列{a n}的前n项和为S n，若S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*，则a1=1，S5=121．
【分析】运用n=1时，a1=S1，代入条件，结合S2=4，解方程可得首项；再由n =S n+1﹣S n，结合条件，计算即可得到所求和．
＞1时，a n
+1
【解答】解：由n=1时，a1=S1，可得a2=2S1+1=2a1+1，
又S2=4，即a1+a2=4，
即有3a1+1=4，解得a1=1；
由a n
=S n+1﹣S n，可得
+1
S n+1=3S n+1，
由S2=4，可得S3=3×4+1=13，
S4=3×13+1=40，
S5=3×40+1=121．
故答案为：1，121．
【点评】本题考查数列的通项和前n项和的关系：n=1时，a1=S1，n＞1时，a n=S n ，考查运算能力，属于中档题．
﹣S n
﹣1
7．（2016?北京）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1=6，a3+a5=0，则S6=6．
【分析】由已知条件利用等差数列的性质求出公差，由此利用等差数列的前n 项和公式能求出S6．
【解答】解：∵{a n}为等差数列，S n为其前n项和．
a1=6，a3+a5=0，
∴a1+2d+a1+4d=0，
∴12+6d=0，
解得d=﹣2，
∴S6==36﹣30=6．
故答案为：6．
【点评】本题考查等差数列的前6项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
8．（2016?江苏）已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和，若a1+a22=﹣3，S5=10，则a9的值是20．
【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a9的值．
【解答】解：∵{a n}是等差数列，S n是其前n项和，a1+a22=﹣3，S5=10，
∴，
解得a1=﹣4，d=3，
∴a9=﹣4+8×3=20．
故答案为：20．
【点评】本题考查等差数列的第9项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
9．（2016?新课标Ⅰ）设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n的最大值为64．
【分析】求出数列的等比与首项，化简a1a2…a n，然后求解最值．
【解答】解：等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，
可得q（a1+a3）=5，解得q=．
a1+q2a1=10，解得a1=8．
则a1a2…a n=a1n?q1+2+3+…+（n﹣1）=8n?==，
当n=3或4时，表达式取得最大值：=26=64．
故答案为：64．
【点评】本题考查数列的性质数列与函数相结合的应用，转化思想的应用，考查计算能力．
10．（2015?新课标Ⅰ）在数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n，S n为{a n}的前n项和，若S n=126，则n=6．
=2a n，结合等比数列的定义可知数列{a n}是a1=2为首项，以2为【分析】由a n
+1
公比的等比数列，代入等比数列的求和公式即可求解．
【解答】解：∵a n
=2a n，
+1
∴，
∵a1=2，
∴数列{a n}是a1=2为首项，以2为公比的等比数列，
∴S n===2n+1﹣2=126，
∴2n+1=128，
∴n+1=7，
∴n=6．
故答案为：6
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，解题的关
键是熟练掌握基本公式．
三．解答题（共6小题）
11．（2016?新课标Ⅱ）等差数列{a n}中，a3+a4=4，a5+a7=6．
（Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=[a n]，求数列{b n}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．
（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，根据已知构造关于首项和公差方程组，【分析】
解得答案；
（Ⅱ）根据b n=[a n]，列出数列{b n}的前10项，相加可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，
∵a3+a4=4，a5+a7=6．
∴，
解得：，
∴a n=；
（Ⅱ）∵b n=[a n]，
∴b1=b2=b3=1，
b4=b5=2，
b6=b7=b8=3，
b9=b10=4．
故数列{b n}的前10项和S10=3×1+2×2+3×3+2×4=24．
【点评】本题考查的知识点是等差数列的通项公式，等差数列的性质，难度中档．12．（2016?山东）已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1．
（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；
（Ⅱ）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．
【分析】（Ⅰ）求出数列{a n}的通项公式，再求数列{b n}的通项公式；
（Ⅱ）求出数列{c n}的通项，利用错位相减法求数列{c n}的前n项和T n．
【解答】解：（Ⅰ）S n=3n2+8n，
∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=6n+5，
n=1时，a1=S1=11，∴a n=6n+5；
∵a n=b n+b n+1，
∴a n
=b n﹣1+b n，
﹣1
=b n+1﹣b n﹣1．
∴a n﹣a n
﹣1
∴2d=6，
∴d=3，
∵a1=b1+b2，
∴11=2b1+3，
∴b1=4，
∴b n=4+3（n﹣1）=3n+1；
（Ⅱ）c n===6（n+1）?2n，
∴T n=6[2?2+3?22+…+（n+1）?2n]①，
∴2T n=6[2?22+3?23+…+n?2n+（n+1）?2n+1]②，
①﹣②可得
﹣T n=6[2?2+22+23+…+2n﹣（n+1）?2n+1]
=12+6×﹣6（n+1）?2n+1
=（﹣6n）?2n+1=﹣3n?2n+2，
∴T n=3n?2n+2．
【点评】本题考查数列的通项与求和，着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用，考查分析与运算能力，属于中档题．
13．（2016?新课标Ⅰ）已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=
，a n b n+1+b n+1=nb n．
（Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）求{b n}的前n项和．
【分析】（Ⅰ）令n=1，可得a1=2，结合{a n}是公差为3的等差数列，可得{a n}的通项公式；
（Ⅱ）由（1）可得：数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，进而可得：{b n}的前n项和．
【解答】解：（Ⅰ）∵a n b n+1+b n+1=nb n．
当n=1时，a1b2+b2=b1．
∵b1=1，b2=，
∴a1=2，
又∵{a n}是公差为3的等差数列，
∴a n=3n﹣1，
（Ⅱ）由（I）知：（3n﹣1）b n
+1+b n
+1
=nb n．
即3b n
+1
=b n．
即数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，
∴{b n}的前n项和S n==（1﹣3﹣n）=﹣．
【点评】本题考查的知识点是数列的递推式，数列的通项公式，数列的前n项和公式，难度中档．
14．（2016?浙江）设数列{a n}的前n项和为S n，已知S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*．（Ⅰ）求通项公式a n；
（Ⅱ）求数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和．
【分析】（Ⅰ）根据条件建立方程组关系，求出首项，利用数列的递推关系证明数列{a n}是公比q=3的等比数列，即可求通项公式a n；
（Ⅱ）讨论n的取值，利用分组法将数列转化为等比数列和等差数列即可求数列
{|a n﹣n﹣2|}的前n项和．
【解答】解：（Ⅰ）∵S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*．
∴a1+a2=4，a2=2S1+1=2a1+1，
解得a1=1，a2=3，
=2S n+1，a n=2S n﹣1+1，
当n≥2时，a n
+1
﹣a n=2（S n﹣S n﹣1）=2a n，
两式相减得a n
+1
即a n
=3a n，当n=1时，a1=1，a2=3，
+1
=3a n，
满足a n
+1
∴=3，则数列{a n}是公比q=3的等比数列，
则通项公式a n=3n﹣1．
（Ⅱ）a n﹣n﹣2=3n﹣1﹣n﹣2，
设b n=|a n﹣n﹣2|=|3n﹣1﹣n﹣2|，
则b1=|30﹣1﹣2|=2，b2=|3﹣2﹣2|=1，
当n≥3时，3n﹣1﹣n﹣2＞0，
则b n=|a n﹣n﹣2|=3n﹣1﹣n﹣2，
此时数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和T n=3+﹣=
，
则T n==．
【点评】本题主要考查递推数列的应用以及数列求和的计算，根据条件建立方程组以及利用方程组法证明列{a n}是等比数列是解决本题的关键．求出过程中使用了转化法和分组法进行数列求和．
15．（2016?新课标Ⅱ）S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1=1，S7=28，记b n=[lga n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．
（Ⅰ）求b1，b11，b101；
（Ⅱ）求数列{b n}的前1000项和．
【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出等差数列的公差，求出通项公式，然后求解b1，b11，b101；
（Ⅱ）找出数列的规律，然后求数列{b n}的前1000项和．
【解答】解：（Ⅰ）S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1=1，S7=28，7a4=28．可得a4=4，则公差d=1．
a n=n，
b n=[lgn]，则b1=[lg1]=0，
b11=[lg11]=1，
b101=[lg101]=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：b1=b2=b3=…=b9=0，b10=b11=b12=…=b99=1．
b100=b101=b102=b103=…=b999=2，b10，00=3．
数列{b n}的前1000项和为：9×0+90×1+900×2+3=1893．
【点评】本题考查数列的性质，数列求和，考查分析问题解决问题的能力，以及计算能力．
16．（2016?四川）已知数列{a n}的首项为1，S n为数列{a n}的前n项和，S n+1=qS n+1，其中q＞0，n∈N+
（Ⅰ）若a2，a3，a2+a3成等差数列，求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设双曲线x2﹣=1的离心率为e n，且e2=2，求e12+e22+…+e n2．
【分析】（Ⅰ）根据题意，由数列的递推公式可得a2与a3的值，又由a2，a3，a2+a3成等差数列，可得2a3=a2+（a2+a3），代入a2与a3的值可得q2=2q，解可得q的=2S n+1，进而可得S n=2S n﹣1+1，将两式相减可得a n=2a n﹣1，即可值，进而可得S n
+1
得数列{a n}是以1为首项，公比为2的等比数列，由等比数列的通项公式计算可得答案；
（Ⅱ）根据题意S n
=qS n+1，同理有S n=qS n﹣1+1，将两式相减可得a n=qa n﹣1，分析
+1
可得a n=q n﹣1；又由双曲线x2﹣=1的离心率为e n，且e2=2，分析可得e2=
=2，
解可得a2的值，由a n=q n﹣1可得q的值，进而可得数列{a n}的通项公式，再次由双曲线的几何性质可得e n2=1+a n2=1+3n﹣1，运用分组求和法计算可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，数列{a n}的首项为1，即a1=1，
=qS n+1，则S2=qa1+1，则a2=q，
又由S n
+1
又有S3=qS2+1，则有a3=q2，
若a2，a3，a2+a3成等差数列，即2a3=a2+（a2+a3），
则可得q2=2q，（q＞0），
解可得q=2，
=2S n+1，①
则有S n
+1
进而有S n=2S n﹣1+1，②
①﹣②可得a n=2a n﹣1，
则数列{a n}是以1为首项，公比为2的等比数列，
则a n=1×2n﹣1=2n﹣1；
=qS n+1，③
（Ⅱ）根据题意，有S n
+1
同理可得S n=qS n﹣1+1，④
③﹣④可得：a n=qa n﹣1，
又由q＞0，
则数列{a n}是以1为首项，公比为q的等比数列，则a n=1×q n﹣1=q n﹣1；
若e 2=2，则e2==2，
解可得a2=，
则a2=q=，即q=，
a n=1×q n﹣1=q n﹣1=（）n﹣1，
则e n2=1+a n2=1+3n﹣1，
故e12+e22+…+e n2=n+（1+3+32+…+3n﹣1）=n+．
【点评】本题考查数列的递推公式以及数列的求和，涉及双曲线的简单几何性质，注意题目中q＞0这一条件．