直线的位置关系和平行条件

两直线的位置关系、直线平行的条件

【考纲传真】

1.了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等.

2.了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意义.

3.知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线.

4.会认各种图形下的同位角，并掌握直线平行的条件是“同位角相等，两直线平行”.

5.弄清内错角和同旁内角的意义，会用“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”.

【复习建议】

在学习过程中，要带着以下问题去学习：①直线有哪些位置关系②什么是余角、补角、对顶角和邻补角③为何对顶角相等④垂直的性质是什么⑤证明步骤与格式应该注意什么⑥三线八角中，能否将角的位置关系进行分类⑦直线平行的条件是什么.

【考点梳理】

（一）相关角概念：

1.余角：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角.

若∠1＋∠2=90°?∠1、∠2互余.

2.补角：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角.

若∠A +∠B=180○?∠A、∠B互补.

.

3.邻补角：邻补角互补

4.对顶角：把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且角的两边互为

反向延长线的两个角叫做对顶角.

对顶角的性质：对顶角相等.

注意：（1）互为余角、互为补角表明的只是两个角之间的度量关系，而与这两个角的位置无关；（2）只有当两条直线相交时，才能产生对顶

角，且对顶角是成对出现的.

（二）垂直

1.垂直的定义：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直.记为：l ⊥m

2.垂直性质：在同一平面内，过任意一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短.

3.点到直线的距离: 垂线段的长度.

（二）探索直线平行的条件:

1.两条直线被第三条直线所截，构成同位角、内错角、同旁内角.

2.两条直线平行的条件：

（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行.简称：同位角相等，两直线平行.

（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行.简称：内错角相等，两直线平行.

（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互

补，那么两直线平行.简称：同旁内角互补，两

直线平行.

补充平行线的判定方法：

（1）平行于同一条直线的两直线平行.

（2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行.

（3）平行线的定义.

典例探究

【例1】

（1）如图，直线AB与CD相交于O，∠EOD=90°，正确填写下列两角关系的名称.∠1与∠2:______________________________

∠2与∠3:______________________________ ∠2与∠4:______ _ _________________

∠1与∠4:______________________________

（2）如图，∠AOD=∠DOB=∠COE=90o，其中共有互余的角( ） A.2对 B.3对 C.4对 D.6对

（3）若∠1与∠2互补，∠3与∠1互余，∠2+∠3=240o，由∠2是∠1的 （ ）

A.25

1

倍 B.5倍 C.11倍 D.无法确定倍数

（4） 如图，下列条件中，不能判断直线ｌ１∥ｌ２的是（ ）

Ａ.∠１＝∠３ Ｂ.∠４＝∠５ Ｃ.∠２＋∠４＝180° Ｄ.∠２＝∠３

（5）. 如图，ＡＢ∥ＣＤ∥ＥＦ，ＡＦ∥ＣＧ，则图中与∠Ａ（不包括∠Ａ）相等的角有

（ ）

Ａ.５个 Ｂ.４个 Ｃ.３个 Ｄ.２个

【例2】

（1）下列语句说法正确的个数是( )

①两条直线相交成四个角,如果有两个角相等,那么这两条直线垂直 ②两条直线相交成四个角,如果有一个角是直角,那么这两条直线垂直 ③一条直线的垂线可以画无数条

④在同一平面内, 经过一个已知点能画一条且只能画一条直线和已知直线垂直

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

（2）如图，CD ⊥OB 于D ，EF ⊥OA 于F ，则C 到OB 的距离是______，E 到OA 的距离是______，O 到CD 的距离是______，Ｏ到EF 的距离是______.

O

E

D

C

B

A

【例3】

（1）如图，∠1与∠2是同位角的个数有（ ）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

（2） 同一平面内的四条直线满足a ⊥b ，b ⊥c ，c ⊥d ，则下列式子成立的是

（ ）

A ．a ∥b

B ．b ⊥d

C ．a ⊥d

D ．b ∥c （3）、如图，直线EF 分别交CD 、AB 于M 、N ，且∠EMD=65°，∠MNB=115°，

则下列结论正确的是（ ）

（4） 如图，能判断直线AB ∥CD 的条件是（ ）

A 、∠1=∠2

B 、∠3=∠4

C 、∠1+∠3=180 o

D 、∠3+∠4=180 o （5）、下列句子中不是命题的是（ ）

A 、两直线平行，同位角相等。

B 、直线AB 垂直于CD 吗？

C 、若︱a ︱=︱b ︱，则a 2 = b 2。

D 、同角的补角相等。 【例4】

（1）如图，直线a 、b 与直线c 相交，给出下列条件：①∠1＝∠2, ②∠3＝∠

6, ③∠4＋∠7＝180°, ④∠5＋∠3＝180°，其中能判断a ∥b 的是（ ）

A.①②③④

B.①③④

C.①③

D.②④

E

M

D

C

B

N

A

F

（2）如图,如果∠1=∠2,根据_______________________,得DE∥BC; 如果∠2+∠BED=180°,根据______________________,得DE∥BC;

如果∠EGF=∠GFC,根据__________________________,得DE ∥BC;

（3）. 如图，AB ∥CD ，且∠BAP=60°-α，∠APC=45°+α，∠PCD=30°-α，则α=( )

A 、10°

B 、15°

C 、20°

D 、30°

（4）．如右图，CD AB //，且 25=∠A ， 45=∠C ，则E ∠的度数是（ ）

A. 60

B. 70

C. 110

D. 80

（5）如图，若∠3=∠4，你能说明AD ∥BC ，AB ∥DC 吗？

小亮回答：都行，∵∠3=∠4，∴AD ∥BC ，AB ∥DC 小亮错在哪里，请指出错因，并改正．

3

21

(1)

E

G D C

F A

H B

876c

b

a 543

2

1A

B P C

D E

D

C B

A

第4题

【例5】（1）如图,已知∠1=∠2,AB ∥CD,求证:CD ∥EF.

（2）如图，∠ABC ＝∠ADC ，DE 、BF 是∠ABC 、∠ ADC 的角平分线，∠1＝∠2，求征DC ∥AB.

（3）已知：如图，∠ADE ＝∠B ，∠DEC ＝115°．求∠C 的度数．

（4）已知：如图，AD∥BC，∠D＝100°，AC平分∠BCD，求∠DAC的度数．新课 标第 一 网

3

2

1E

D C F

A B 3

2

1

F

E D

C

B

A

D

E

B C

A

【课堂小结】 本课主要知识：

1.平面上两条直线的位置关系：相交、平行.

2.常考的角：余角、补角、对顶角、领补角.

2.平面上两条直线被第三条直线所截而成的三线八角：同位角、内错角、同旁内角.

3.两点的距离、点到直线的距离（经过那一点做直线的垂线）、两条平行线间的距离相等.

4.平行线的判定，垂线的性质.

5.平面上两条直线的位置关系不相交就平行. 【课后作业】 (一)选择题

1.下列四个图中，∠1和∠2是对顶角的图的个数是 ( )

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

2.下列说法正确的个数是（ ）

①若∠1与∠2是对顶角，则∠1＝∠2； ②若∠1与∠2是邻补角，则∠1＝∠2；

③若∠1与∠2不是对顶角，则∠1≠∠2； ④若∠1与∠2不是邻补角，则∠1＋∠2≠180°.

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3 3.一个角的余角和这个角的补角互补，则这个角是（ ）

A.45°

B.90°

C.135°

D.不能确定 4.下列说法中正确的是（ ） A ．有且只有一条直线垂直于已知直线.

B ．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离.

C ．互相垂直的两条直线一定相交.

D ．直线c 外一点A 与直线c 上各点连接而成的所有线段中，最短线段的长

是3cm ，则点A 到直线c 的距离是3cm.

1

2

1 2

1

2

1

2

① ②

③

④

5.如下图，ACB 是直线，AB ⊥CD ，EC ⊥FC ，图中共有（ ）对角互余

A.2

B.3

C.4

D.以上都不对 6.如下图，下列推理错误的是( )

A.∵∠1＝∠2,∴a ∥b

B.∵∠1＝∠3,∴a ∥b

C.∵∠3＝∠5,∴c ∥d

D.∵∠2＋∠4＝180°,∴c ∥d 7.如下图，在下列四组条件中，能判定AB ∥CD 的是（ ）

A.∠1＝∠2

B.∠3＝∠4

C.∠BAD ＋∠ABC ＝180°

D.∠ABD ＝∠BDC

F E D C

B

A

d c

b a

543

2

1 4

3

2

1

B

A

第5题图 第6题图 第7题图

8．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30 ，那么这两个角是（ ） A ． 42138 、

B ． 都是10

C ． 42138 、或4210 、

D ． 以上都不对

9．如图，a ∥b ，∠1与∠2互余，∠3=1150，则∠4等于（ ） A ．115０ B ． 155０ C ． 135０ D ．125０

10．如图，∠1=15０ ， ∠AOC =90０，点B 、O 、D 在同一直线上，则∠2的度数

为（ ）

A ．75０

B ．15０

C ．105０

D ． 165０

d

第（18）题4

321

c

b

a 第（20）题

D

C

B

A

O

第（19）题

D

C

B

A

2

1

第9题图 第10题图 第11题图

11．如图，∠ACB =90，∠CDA =90０能表示点到直线（或线段）距离的线段有（ ）

A ． 2条

B ．3条

C ．4条

D ．5条

12．如图，如果AB ∥CD ，那么图中相等的内错角是（ ）

A ．∠1与∠5，∠2与∠6；

B ．∠3与∠7，∠4与∠8；

C ．∠5与∠1，∠4与∠8；

D ．∠2与∠6，∠7与∠3

（二）填空题

13.如图，直线AB 和CD 相交于点O ，∠DOE 是直角，若∠1＝30°，则∠2＝________,

∠3＝________.∠4＝__________.

14.如图，直线a 、b 、c 两两相交，∠1＝60°，∠2=2

3

∠4，则∠3=_____,∠5=_______.

43

21

O

D

C

B A

c

b

a

5

4

321

第13题图 第14题图 第16题

15.从钝角∠AOB 的顶点引射线OP ⊥OA , 若∠BOP :∠AOP = 2 : 3, 则∠AOB = _________

16.如图, 直线AB , CD 交于点O , EO ⊥AB , O 为垂足, OF 平分∠AOC , 且∠EOC =

5

2

∠AOC , 则∠DOF 的度数为___________ 17．如图，给出下列论断：①AD ∥BC ：②AB ∥CD ；③∠A =∠C ．以上其中两个作为题设，另一个作为结论，用“如果……，那么……”形式，写出一个你认为正确的命题是___________．

8

7

6

5

43

21

D

C

B

A 第12题图

D

C

B

A

F

E

O D

C

B

A c

l

N

M

b a

2

1

第17题图 第18题图 第19题图

18．如图，直线AB、CD、EF相交于同一点O，而且∠B O C=2

3

∠AOC，∠DOF=

1

3

∠AOD，那么∠FOC=______ 度．

19．如图，直线a、b被c所截，a⊥l于M，b⊥l于N，∠1=66°，则∠2=________．

（三）解答题

20.如图，已知AC、BC分别平分∠QAB、∠ABN，且∠1与∠2互余，试说明PQ//MN.

21.已知：如图，∠FED＝∠AHD，∠HAQ＝15°，∠ACB＝70°，∠CAQ＝55°．求证：BD∥GE∥AH．

22．如图，AB ⊥BD ，CD ⊥MN ，垂足分别是B 、D 点，∠FDC =∠EBA ． （1）判断CD 与AB 的位置关系;

（2）BE 与DE 平行吗?为什么?

N

M

F

E D

C

B

A

23．如图，已知：E 、F 分别是AB 和CD 上的点，DE 、AF 分别交BC 于G 、H ，

∠A =∠D ，∠1=∠2，求证：∠B =∠C ．

2 A

B

E

C

F

D H

G 1

24．如图，∠1+∠2=180°，∠DAE =∠BCF ，DA 平分∠BDF ． （1）AE 与FC 会平行吗?说明理由． （2）AD 与BC 的位置关系如何?为什么?

（3）BC 平分∠DBE 吗?为什么．

F 2

1

D

C

B

A