【志鸿优化】2015高考数学(人教,理)一轮课时规范练2 命题及其关系、充分条件与必要条件]

课时规范练2命题及其关系、充分条件与必要条件

课时规范练第3页

一、选择题

1.设原命题:若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1,则原命题与其逆命题的真假情况是()

A.原命题真,逆命题假

B.原命题假,逆命题真

C.原命题与逆命题均为真命题

D.原命题与逆命题均为假命题

答案:A

解析:可以考虑原命题的逆否命题,即a,b都小于1,则a+b<2,显然为真.

其逆命题,即a,b中至少有一个不小于1,则a+b≥2,为假,如a=1.2,b=0.2,则a+b<2.

2.下面四个条件中,使a>b成立的充分而不必要的条件是()

A.a>b+1

B.a>b-1

C.a2>b2

D.a3>b3

答案:A

解析:A选项中a>b+1>b,所以充分性成立,但必要性不成立,所以a>b+1为a>b成立的充分不必要条件,故选A.

3.命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆否命题是()

A.若x+y是偶数,则x与y不都是偶数

B.若x+y是偶数,则x与y都不是偶数

C.若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数

D.若x+y不是偶数,则x与y都不是偶数

答案:C

解析:由于“x,y都是偶数”的否定表达是“x,y不都是偶数”,“x+y是偶数”的否定表达是“x+y不是偶数”,故原命题的逆否命题为“若x+y不是偶数,则x,y不都是偶数”,故选C.

4.(2014湖南长沙实验中学月考)已知a,b∈R,则“log3a>log3b”是“”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

答案:A

5.(2013福建高考)已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A?B”的()

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案:A

解析:若a=3,则A={1,3}?B,故a=3是A?B的充分条件;而若A?B,则a不一定为3,当a=2时,也有A?B.故a=3不是A?B的必要条件.故选A.

6.“≤-2”是“a>0且b<0”的()

A.必要不充分条件

B.充要条件

C.充分不必要条件

D.既不充分又不必要条件

答案:A

解析:+2=≤0?ab<0?故选A.

二、填空题

7.命题“若m>0,则关于x的方程x2+x-m=0有实数根”与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数

为.

答案:2

解析:先写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题,逐一判断.或只写出逆命题,判断原命题和逆命题的真假即可,原命题为真,逆命题为假.

8.设有如下三个命题:

甲:m∩l=A,m,l?α,m,l?β;

乙:直线m,l中至少有一条与平面β相交;

丙:平面α与平面β相交.

当甲成立时,乙是丙的条件.

答案:充要

解析:由题意乙?丙,丙?乙.

故当甲成立时,乙是丙的充要条件.

9.已知p是r的充分不必要条件,q是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件.现有下列命题:

①s是q的充要条件;②p是q的充分条件而不是必要条件;③r是q的必要条件而不是充分条件;④p是s的必要条件而不是充分条件;⑤r是s的充分条件而不是必要条件.

则正确命题的序号是.

答案:①②④

解析:由题意知

∴s?q,①正确;p?r?s?q,

∴p?q,但q p,②正确;

同理判断③⑤不正确,④正确.

三、解答题

10.设p:|4x-3|≤1,q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.

解:p:由|4x-3|≤1,解得-1≤4x-3≤1,

∴≤x≤1;

q:由x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,

解得(x-a)[x-(a+1)]≤0,

∴a≤x≤a+1.

由题意知p是q的充分不必要条件,故有则0≤a≤.

11.求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.

解:必要性:

若方程ax2+bx+c=0有一个根为1,

则x=1满足方程ax2+bx+c=0,

∴a+b+c=0.

充分性:

若a+b+c=0,则b=-a-c,

∴ax2+bx+c=0可化为ax2-(a+c)x+c=0,

∴(ax-c)(x-1)=0,

∴当x=1时,ax2+bx+c=0,

∴x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根.

12.设函数f(x)=lg(x2-x-2)的定义域为集合A,函数g(x)=的定义域为集合B.已知α:x∈A∩B,β:x满足2x+p≤0,且α是β的充分条件,求实数p的取值范围.

解:依题意,得A={x|x2-x-2>0}=(-∞,-1)∪(2,+∞),

B==(0,3],

所以A∩B=(2,3].

设集合C={x|2x+p≤0},

则x∈.

因为α是β的充分条件,

所以(A∩B)?C.

则需满足3≤-?p≤-6.

故实数p的取值范围是(-∞,-6].