高三数学一轮复习导数导学案
课题： 导数、导数的计算及其应用 2课时
一、考点梳理：
1.导数、导数的计算
（1）．导数的概念：一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0Δy
Δx
＝__________，称其为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或0|x x y '=. （2）．导函数： 记为f ′(x )或y ′.
（3）．导数的几何意义： 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几
何意义是曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率．相应地，切线方程为______________． !
（4）．基本初等函数的导数公式
（5）．导数的运算法则
(1)[f (x )±g (x )]′＝__________；(2)[f (x )·g (x )]′＝__________；(3)???
?f x g x ′
＝__________(g (x )≠0)． （6）．复合函数的导数： 2．导数与函数的单调性及极值、最值
（1）导数和函数单调性的关系：
(1)对于函数y ＝f (x )，如果在某区间上f ′(x )>0，那么f (x )为该区间上的________；如果在某区间上f ′(x )<0，那么f (x )为该区间上的________．
(2)若在(a ，b )的任意子区间内f ′(x )都不恒等于0，f ′(x )≥0?f (x )在(a ，b )上为____函数，若在(a ，b )上，f ′(x )≤0，?f (x )在(a ，b )上为____函数．
[
（2）函数的极值与导数
(1)判断f (x 0)是极值的方法： 一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时， ①如果在x 0附近的左侧________，右侧________，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧________，右侧________，那么f (x 0)是极小值．
(2)求可导函数极值的步骤 ： ①____________ ；②________________ ;③_________________________.
（3）求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤：
(1)求函数y ＝f (x )在(a ，b )上的________；
(2)将函数y ＝f (x )的各极值与______________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． `
二、基础自测：
1．若函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则Δy
Δx 等于( )．
A ．4
B ．4x
C ．4＋2Δx
D ．4＋2Δx 2
原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0
f (x )＝x n (n ∈Q *) ；
f ′(x )＝________ f (x )＝sin x f ′(x )＝________ f (x )＝cos x f ′(x )＝________ f (x )＝a x f ′(x )＝________
f (x )＝e x >
f ′(x )＝________ f (x )＝lo
g a x f ′(x )＝________ f (x )＝ln x
f ′(x )＝________
2．曲线y ＝x 3在点P 处的切线的斜率为3，则点P 的坐标为( )．
A ．(－1,1)
B ．(－1，－1)
C ．(1,1)或(－1，－1)
D ．(1，－1) 3．(2012陕西高考)设函数f (x )＝2
x ＋ln x ，则( )．
A ．x ＝12为f (x )的极大值点
B ．x ＝1
2为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点 4．若函数y ＝a (x 3－x )的递减区间为? ??
??
－
33，33，则a 的取值范围是( )． {
A ．a ＞0
B ．－1＜a ＜0
C ．a ＞1
D ．0＜a ＜1
5．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为__________． 6．已知f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，则a 的最大值是__________．
三、考点突破：
考点一、根据导数的定义求函数的导数 【例1-1】已知f ′(2)＝2，f (2)＝3，则lim x →2f
x －3
x －2
＋1的值为( )A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【例1－2】用导数的定义求函数y ＝f (x )＝1
x
在x ＝1处的导数．
~
【变式】：求函数y ＝x 2＋1在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并求出其导函数．
考点二、利用求导公式、法则求导 [例2]求下列函数的导数：
(1) y ＝(2x －3)2；(2)y ＝tan x ；(3)y ＝x e x ；(4)y ＝ln x
x . （5）y ＝ln(2x ＋5)．
；
【变式】求下列函数的导数：
(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝3x e x －2x ＋e ； (2)y ＝3－x ；
考点三、导数的几何意义
【例3】已知曲线y ＝13x 3＋4
3.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求斜率为1的曲线的切线方程．
…
【变式】：求曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 过原点的切线方程．
考点四、利用导数研究函数的单调性与极值、最值
【例4】已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值范围；
\
【变式】(2009·浙江)已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点
处的切线斜率是－3，求a ，b 的值；(2)若函数f (x )在区间(－1,1)上不单调，求a 的取值范围．
"
【例5】若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－4
3.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )
＝k 有三个零点，求实数k 的取值范围．
【变式】设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点．(1)试确定常数a 和b 的值；(2)试判断x ＝1，
x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由．
@
【例6】已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0，若x ＝2
3时，y ＝f (x )
有极值．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值．
【变式】已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R )，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数．
、
(1)求f (x )的表达式；(2)讨论g (x )的单调性，并求g (x )在区间[1,2]上的最大值和最小值．
四、课题巩固：
一、选择题：
1．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0
f
1－f 1－2x
2x
＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为( )． ?
A ．2
B ．－1
C ．1
D ．－2
2．(2012辽宁高考)函数y ＝1
2x 2－ln x 的单调递减区间为( )． A ．(－1,1] B ．(0,1]C ．[1，＋∞) D ．(0，＋∞)
3．如图所示的曲线是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象，则x 21＋x 2
2等于( )
4.已知f ′(x )是f (x )的导函数，在区间[0，＋∞)上f ′(x )>0，且偶函数f (x )满足f (2x －1) ?13，则x 的取值范围是( ) 二、填空题： — 5．函数f (x )＝x －ln x 的单调减区间为________． 6． 已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是________． 7．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是_____________． 8．若a >2，则函数f (x )＝1 3x 3－ax 2＋1在区间(0,2)上有________个零点． 三、解答题 9.已知函数f (x )＝x ln x .(1)求f (x )的极小值；(2)讨论关于x 的方程f (x )－m ＝0 (m ∈R )的解的个数． ? 10．设f (x )＝e x 1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝4 3时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围． 11.已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋nx －2的图象过点(－1，－6)，且函数g (x )＝f ′(x )＋6x 的图象关于y 轴对称． ~ (1)求m ，n 的值及函数y ＝f (x )的单调区间；(2)若a >1，求函数y ＝f (x )在区间(a －1，a ＋1)内的极值． 课题： 导数、导数的计算及其应用 2课时 参考答案 二、基础自测： 1．若函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则Δy Δx 等于( )． A ．4 B ．4x C ．4＋2Δx D ．4＋2Δx 2 } 2．曲线y ＝x 3在点P 处的切线的斜率为3，则点P 的坐标为( )． A ．(－1,1) B ．(－1，－1) C ．(1,1)或(－1，－1) D ．(1，－1) 3．(2012陕西高考)设函数f (x )＝2 x ＋ln x ，则( )． A ．x ＝12为f (x )的极大值点 B ．x ＝1 2为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点 4．若函数y ＝a (x 3－x )的递减区间为? ?? ?? － 33，33，则a 的取值范围是( )． A ．a ＞0 B ．－1＜a ＜0C ．a ＞1 D ．0＜a ＜1 5．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为__________． 6．已知f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，则a 的最大值是__________． 《 参考答案：1．C 解析：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－1＝4Δx ＋2(Δx )2，∴Δy Δx ＝4＋2Δx . 2．C 解析：y ′＝3x 2，∴3x 2＝3.∴x ＝±1.当x ＝1时，y ＝1，当x ＝－1时，y ＝－1. 3．D 解析：由f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝1x ?? ? ?1－2x ＝0可得x ＝2.当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ＞2时，f ′(x ) ＞0，f (x )单调递增．故x ＝2为f (x )的极小值点． 4．A 解析：∵y ′＝a (3x 2－1)＝3a ? ? ???x ＋33? ????x －33，∴当－33＜x ＜33时，? ? ???x ＋33? ????x －33＜0. ∴要使y ′＜0，必须取a ＞0. 5．4x －y －3＝0 解析：设切点为(x 0，y 0)，y ′＝4x 3,4x 03＝4，∴x 0＝1.∴y 0＝1.∴l 的方程为4x －y －3＝0. 6．3 解析：∵f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，∴f ′(x )＝3x 2－a ≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a ≤3x 2在[1，＋∞)上恒成立，而当x ∈[1，＋∞)时，(3x 2)min ＝3×12＝3.∴a ≤3，故a max ＝3. 三、考点突破： ^ 考点一、根据导数的定义求函数的导数 【例1-1】已知f ′(2)＝2，f (2)＝3，则lim x →2 f x －3 x －2 ＋1的值为( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【例1－2】用导数的定义求函数y ＝f (x )＝ 1 x 在x ＝1处的导数． 【例1－1】C 解析：令Δx ＝x －2，则lim x →2f (x )－3x －2＋1＝lim Δx →0f (Δx ＋2)－f (2) Δx ＋1＝f ′(2)＋1＝2＋1＝3. 【例1－2】解：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝ 11＋Δx －1 1＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝－Δx 1＋Δx (1＋1＋Δx ) .∴Δy Δx ＝－ 11＋Δx (1＋1＋Δx ) ，∴lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0?????? －11＋Δx (1＋1＋Δx )＝－12.∴f ′(1)＝－12. 【变式】：求函数y ＝x 2＋1在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并求出其导函数． 解 ∵Δy ＝ x 0＋Δx 2＋1－ x 20＋1＝ x 0＋Δx 2＋1－x 20－1x 0＋Δx 2＋1＋ x 20 ＋1＝ 2x 0Δx ＋Δx 2 x 0＋Δx 2＋1＋ x 20 ＋1， ￥ ∴Δy Δx ＝ 2x 0＋Δx x 0＋Δx 2＋1＋x 20＋1 .∴Δx →0时，Δy Δx →x x 2＋1.∴y ′＝x x 2＋1. 考点二、利用求导公式、法则求导 [例2]求下列函数的导数： (1) y ＝(2x －3)2；(2)y ＝tan x ；(3)y ＝x e x ；(4)y ＝ln x x . （5）y ＝ln(2x ＋5)． 解：(1)y ′＝(4x 2－12x ＋9)′＝8x －12. (2)y ′＝??? ?sin x cos x ′＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′cos 2x ＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x ＝1cos 2x . (3)y ′＝x ′e x ＋x (e x )′＝e x ＋x e x ＝e x (x ＋1)． (4)y ′＝??? ?ln x x ′＝(ln x )′x －x ′ln x x 2＝1 x ·x －ln x x 2 ＝1－ln x x 2. ? （5）设u ＝2x ＋5，则y ＝ln(2x ＋5)由y ＝ln u 与u ＝2x ＋5复合而成．∴y ′＝y ′u ·u ′x ＝1u ·2＝2u ＝2 2x ＋5. 【变式】求下列函数的导数： (1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝3x e x －2x ＋e ； (2)y ＝3－x ； 考点三、导数的几何意义 【例3】已知曲线y ＝13x 3＋4 3.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程；(3)求斜率为1 的曲线的切线方程． 解：(1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋4 3上，且y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率为：y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为：y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0. (2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ??? ?x 0，13x 03＋43，则切线的斜率为：0|x x y '=＝x 02.∴切线方程为y －????1 3x 03＋43＝x 02(x －x 0)，即y ＝x 02·x －23x 03＋43.∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 02－23x 03＋43，即x 03－3 x 02＋4＝0，∴x 03 ＋x 02－4x 02＋4＝0，∴x 02(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0. (3)设切点为(x 0，y 0)，则x 02＝1，x 0＝±1，切点为(－1,1)或????1，53，∴切线方程为y －1＝x ＋1或y －53＝x －1，即x －y ＋2＝0或3x －3y ＋2＝0. ？ 【变式】：求曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 过原点的切线方程． 解:f ′(x )＝3x 2－6x ＋2.设切线的斜率为k . (1)当切点是原点时k ＝f ′(0)＝2，所以所求曲线的切线方程为y ＝2x . (2)当切点不是原点时，设切点是(x 0，y 0)，则有y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，k ＝f ′(x 0)＝3x 2 0－6x 0＋2，①又k ＝y 0x 0＝x 2 0－3x 0 ＋2，②由①②得x 0＝32，k ＝－14.∴所求曲线的切线方程为y ＝－1 4x .综上，曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 过原点的切线方程为y ＝2x 或y ＝－1 4x . 考点四、利用导数研究函数的单调性与极值、最值 【例4】已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值范围； 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x ，∴f ′(x )＝(－2x ＋2)e x ＋(－x 2＋2x )e x ＝(－x 2＋2)e x . 令f ′(x )＞0，即(－x 2＋2)e x ＞0，∵e x ＞0，∴－x 2＋2＞0，解得－2＜x ＜ 2.∴函数f (x )的单调递增 / 区间是(－2，2)． (2)∵函数f (x )在(－1,1)上单调递增，∴f ′(x )≥0对x ∈(－1,1)都成立．∵f ′(x )＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ， ∴[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0对x ∈(－1,1)都成立．∵e x >0，∴－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0对x ∈(－1,1)都成立，即x 2－(a －2)x －a ≤0对x ∈(－1,1)恒成立．设h (x )＝x 2－(a －2)x －a ，只需满足????? h －1≤0h 1≤0 ，解得a ≥3 2. 【变式】(2009·浙江)已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a ，b 的值；(2)若函数f (x )在区间(－1,1)上不单调，求a 的取值范围． 解 (1)由题意得 f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)，又??? ?? f 0＝b ＝0 f ′ 0＝－a a ＋2＝－3 ,解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1. (2)由f ′(x )＝0，得x 1＝a ，x 2＝－a ＋2 3.又f (x )在(－1,1)上不单调，即????? －1 －1<－a ＋2 3<1，a ≠－a ＋23. 解得????? －1 ???? －5 2.所以a 的取值范围为(－5，－12)∪(－12，1)． 【例5】若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－4 3.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )＝k 有三个零点，求实数k 的取值范围． 【 解 (1)由题意可知f ′(x )＝3ax 2－b .于是????? f ′2＝12a －b ＝0f 2＝8a －2b ＋4＝－43，解得??? ?? a ＝13， b ＝4故函数为f (x )＝1 3x 3－4x ＋4. (2)由(1)可知f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)．令f ′(x )＝0得x ＝2或x ＝－2， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表所示： x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 ] (2，＋∞) f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x ) ~ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值283，当x ＝2时，f (x )有极小值－4 3， 所以函数的大致图象如右图，故实数k 的取值范围为(－43，28 3)． 【变式】 设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点．(1)试确定常数a 和b 的值；(2)试判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由． > 解 (1)f ′(x )＝a x ＋2bx ＋1，∴????? f ′1＝a ＋2b ＋1＝0f ′2＝a 2＋4b ＋1＝0.解得a ＝－23，b ＝－1 6. (2)f ′(x )＝－23x ＋(－x 3)＋1＝－x －1x －23x .函数定义域为(0，＋∞)，列表 x (0,1) 1 (1,2) 2 (2，＋∞) { f ′(x ) － 0 ＋ 0 － f (x ) 单调递减 [ 极小值 单调递增 极大值 单调递减 ∴x ＝1是f (x )的极小值点，x ＝2是f (x )的极大值点． 【例6】已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0，若x ＝2 3时，y ＝f (x )有极值．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值． 解： (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， 当x ＝1时，切线l 的斜率为3，可得2a ＋b ＝0；① 、 当x ＝23时，y ＝f (x )有极值，则f ′??? ?23＝0，可得4a ＋3b ＋4＝0.② 由①②解得a ＝2，b ＝－4，又切点的横坐标为x ＝1，∴f (1)＝4.∴1＋a ＋b ＋c ＝4.∴c ＝5. (2)由(1)，得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，∴f ′(x )＝3x 2＋4x －4.令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝23，∴f ′(x )<0的解集为??? ?－2，23， 即为f (x )的减区间．[－3，－2)、????23，1是函数的增区间．又f (－3)＝8，f (－2)＝13，f ??? ?23＝95 27，f (1)＝4，∴y ＝ f (x )在[－3,1]上的最大值为13，最小值为95 27. 变式迁移3 已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R )，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数． (1)求f (x )的表达式；(2)讨论g (x )的单调性，并求g (x )在区间[1,2]上的最大值和最小值． 解 (1)由题意得f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b .因此g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b .因为函数g (x )是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，即对任意实数x ，有a (－x )3＋(3a ＋1)(－x )2＋(b ＋2)(－x )＋b ＝－[ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b ]，从而3a ＋1＝0，b ＝0，解得a ＝－13，b ＝0，因此f (x )的表达式为f (x )＝－1 3x 3＋x 2. (2)由(1)知g (x )＝－1 3x 3＋2x ，所以g ′(x )＝－x 2＋2，令g ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2， 则当x <－2或x >2时，g ′(x )<0，从而g (x )在区间(－∞，－2)，(2，＋∞)上是减函数； ） 当－2 由前面讨论知，g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x ＝1，2，2时取得，而g (1)＝53，g (2)＝42 3，g (2)＝43.因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝43. 四、课题巩固： 一、选择题： 1．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0 f 1－f 1－2x 2x ＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为( )． A ．2 B ．－1 C ．1 D ．－2 2．(2012辽宁高考)函数y ＝1 2x 2－ln x 的单调递减区间为( )． A ．(－1,1] B ．(0,1]C ．[1，＋∞) D ．(0，＋∞) : 3．如图所示的曲线是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象，则x 21＋x 22等于( ) 4.已知f ′(x )是f (x )的导函数，在区间[0，＋∞)上f ′(x )>0，且偶函数f (x )满足f (2x －1) ?13，则x 的取值范围是( ) 参考答案：1．B 解析：lim x →0f (1)－f (1－2x )2x ＝lim x →0f (1－2x )－f (1) －2x ＝－1，即y ′|x ＝1＝－1，则y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为－1. 2．B 解析：对函数y ＝12x 2－ln x 求导，得y ′＝x －1x ＝x 2 －1 x (x ＞0)，令????? x 2－1x ≤0，x ＞0， 解得x ∈(0,1]． 因此函数y ＝1 2x 2－ln x 的单调递减区间为(0,1]．故选B. 3．C [由图象知f (x )＝x (x ＋1)(x －2)＝x 3－x 2－2x ＝x 3＋bx 2＋cx ＋d ，∴b ＝－1，c ＝－2，d ＝0.而x 1，x 2是函数f (x )的极值点，故x 1，x 2是f ′(x )＝0，即3x 2＋2bx ＋c ＝0的根，∴x 1＋x 2＝－2b 3，x 1x 2＝c 3， 、 x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2 ＝49b 2－2c 3＝169.] [∵x ∈[0，＋∞)，f ′(x )>0，∴f (x )在[0，＋∞)上单调递增，又因f (x )是偶函数，∴f (2x －1) ?13 ?f (|2x －1|) 5．函数f (x )＝x －ln x 的单调减区间为________． 6． 已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是_____． 7．已知点P 在曲线y ＝4 e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是_____________． 8．若a >2，则函数f (x )＝1 3x 3－ax 2＋1在区间(0,2)上有________个零点． | 参考答案：1．(0,1) 2.－37 3. ??? ?3π4，π 4. 1个解析：f ′(x )＝x 2－2ax ＝x (x －2a )＝0?x 1＝0，x 2＝2a >4，易知f (x )在(0,2)上为减函数，且f (0)＝1>0，f (2)＝113－4a <0，由零点判定定理知，在函数f (x )＝1 3x 3－ax 2＋1在区间(0,2)上恰好有1个零点． 三、解答题 9.已知函数f (x )＝x ln x .(1)求f (x )的极小值；(2)讨论关于x 的方程f (x )－m ＝0 (m ∈R )的解的个数． 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )＝0，得x ＝1e ， 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )，f (x )的变化的情况如下： x ??? ?0，1e 1e 《 ??? ?1e ，＋∞ f ′(x ) － 0 ＋ f (x ) 极小值 ￥ 所以，f (x )在(0，＋∞)上的极小值是f ??? ?1e ＝－1e . (2)当x ∈????0，1e ，f (x )单调递减且f (x )的取值范围是????－1e ，0；当x ∈??? ?1e ，＋∞时，f (x )单调递增且f (x )的取值范围是????－1e ，＋∞.令y ＝f (x )，y ＝m ，两函数图象交点的横坐标是f (x )－m ＝0的解，由(1)知当m <－1e 时，原方程无解；由f (x )的单调区间上函数值的范围知，当m ＝－1e 或m ≥0时，原方程有唯一解；当－1 e f (x )＝e x 1＋ax 2 ，其中a 为正实数．(1)当a ＝4 3时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围． 解：对f (x )求导得 f ′(x )＝e x 1＋ax 2－2ax (1＋ax 2)2 .①(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1 ＝32，x 2＝12. 结合①，可知 所以，x 1＝3 2是极小值点，x 2＝1 2是极 大值点． (2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x ) 在R 上不变号．结合①与条件a ＞0，知ax 2－2ax ＋1≥0 在R 上恒成 立，因此Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a ＞0，知0＜a ≤1. 11.已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋nx －2的图象过点(－1，－6)，且函数g (x )＝f ′(x )＋6x 的图象关于y 轴对称． (1)求m ，n 的值及函数y ＝f (x )的单调区间； (2)若a >1，求函数y ＝f (x )在区间(a －1，a ＋1)内的极值． 解: (1)由函数f (x )图象过点(－1，－6)，得m －n ＝－3.①由f (x )＝x 3＋mx 2＋nx －2，得f ′(x )＝3x 2＋2mx ＋n ，则g (x )＝f ′(x )＋6x ＝3x 2＋(2m ＋6)x ＋n .而g (x )的图象关于y 轴对称，所以－2m ＋6 2×3＝0.所以m ＝－3，代入①，得n ＝0.于是f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．由f ′(x )>0，得x >2或x <0，故f (x )的单调递增区间是(－∞，0)∪(2,＋∞);由f ′(x )<0,得0 (2)由(1)得f ′(x )＝3x (x －2) ，令f ′( x )＝0，得 x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表： x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x ) 极大值 极小值 由此可得： 当1 综上得：当