已知函数f (x )＝ax 3－3x ＋1对x ∈(0,1]总有f (x )≥0成立，则实数a 的取值范围是__________．
答案 [4，＋∞)
解析 当x ∈(0,1]时不等式ax 3－3x ＋1≥0可化为
a ≥3x －1x 3，设g (x )＝3x －1
x 3，x ∈(0,1]，
g ′(x )＝3x 3－(3x －1)(3x 2)x 6＝－6??
?
?x －12x 4，
g ′(x )与g (x )随x 的变化情况如下表： x ????0，12 1
2 ????1
2，1
g ′(x ) ＋ 0 －
g (x ) 4
因此g (x )的最大值为4，则实数a 的取值范围是[4，＋∞)．
导数与不等式的综合问题
典例：(12分)(2011·辽宁)设函数f (x )＝x ＋ax 2＋b ln x ，曲线y ＝f (x )过P (1,0)，且在P 点处的切线斜率为2.
(1)求a ，b 的值；
(2)证明：f (x )≤2x －2.
(1)解 f ′(x )＝1＋2ax ＋b
x .[1分]
由已知条件得????? f (1)＝0，f ′(1)＝2，即????? 1＋a ＝0，
1＋2a ＋b ＝2.
解得????? a ＝－1，b ＝3.[4分]
(2)证明 因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，
由(1)知f (x )＝x －x 2＋3ln x .
设g (x )＝f (x )－(2x －2)＝2－x －x 2＋3ln x ，
则g ′(x )＝－1－2x ＋3x ＝－(x －1)(2x ＋3)
x .[8分]
当00，当x >1时，g ′(x )<0.
所以g (x )在(0,1)上是增加的，在(1，＋∞)上是减少的．[10分]
而g (1)＝0，故当x >0时，g (x )≤0，
即f (x )≤2x －2.[12分]
一、选择题(每小题5分，共20分)
1． 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－1,2)
B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)
C ．(－3,6)
D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 答案 B
解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)，
由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根．
∴Δ＝4a 2－4×3(a ＋6)>0，即a 2－3a －18>0.
∴a >6或a <－3.
2． 曲线y ＝f (x )＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为
( ) A.94
e 2 B ．2e 2 C ．e 2 D.e 22 答案 D
解析 ∵点(2，e 2)在曲线上，
∴切线的斜率k ＝f ′(2)＝e 2，
∴切线的方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即e 2x －y －e 2＝0.
与两坐标轴的交点坐标为(0，－e 2)，(1,0)，
∴S △＝12×1×e 2＝e 22
. 3． 已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋ln x 是单调递增函数，则m 的取值范围是
( ) A ．m >－2 2
B ．m ≥－2 2
C ．m <2 2
D ．m ≤2 2 答案 B
解析 依题意知，x >0，f ′(x )＝2x 2＋mx ＋1x
， 令g (x )＝2x 2＋mx ＋1，x ∈(0，＋∞)，
当－m 4
≤0时，g (0)＝1>0恒成立，∴m ≥0成立， 当－m 4
>0时，则Δ＝m 2－8≤0，∴－22≤m <0， 综上，m 的取值范围是m ≥－2 2.
4． 某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R 与年产
量x 的年关系是R ＝R (x )＝????? 400x －12x 2 (0≤x ≤400)，80 000 (x >400)，
则总利润最大时，每年生产的产品是
( ) A ．100
B ．150
C ．200
D ．300 答案 D 解析 由题意得，总成本函数为C ＝C (x )＝20 000＋100x ，
总利润P (x )＝????? 300x －x 22－20 000 (0≤x ≤400)，60 000－100x (x >400)，
又P ′(x )＝?????
300－x (0≤x ≤400)，－100 (x >400)， 令P ′(x )＝0，得x ＝300，易知x ＝300时，总利润P (x )最大．
二、填空题(每小题5分，共15分)
5． 设P 为曲线C ：y ＝f (x )＝x 2－x ＋1上一点，曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是
[－1,3]，则点P 纵坐标的取值范围是__________．
答案 ????34，3
解析 设P (a ，a 2－a ＋1)，则f ′(x )＝2a －1∈[－1,3]，
∴0≤a ≤2.而g (a )＝a 2－a ＋1＝????a －122＋34
， 当a ＝12时，g (a )min ＝34
.当a ＝2时，g (a )max ＝3， 故P 点纵坐标的取值范围是????34，3.
6． 在直径为d 的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁，则矩形面的长为________(强度与bh 2成正比，
其中h 为矩形的长，b 为矩形的宽)．
答案 63
d 解析 截面如图所示，设抗弯强度系数为k ，强度为ω，
则ω＝kbh 2，
又h 2＝d 2－b 2，
∴ω＝kb (d 2－b 2)＝－kb 3＋kd 2b ，
ω′＝－3kb 2＋kd 2，
令ω′＝0，得b 2
＝d 2
3， ∴b ＝33d 或b ＝－33
d (舍去)． ∴h ＝d 2－b 2＝
63d . 7． 已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m 、n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是________．
答案－13
解析对函数f(x)求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，
由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，
即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.
由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，
易知f(x)在(－1,0)上是减少的，在(0,1)上是增加的，
∴当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.
又∵f′(x)＝－3x2＋6x的图像开口向下，
且对称轴为x＝1，∴当n∈[－1,1]时，
f′(n)min＝f′(－1)＝－9.
故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.
三、解答题(共22分)
8．(10分)设函数f(x)＝ax3－3x2 (a∈R)，且x＝2是y＝f(x)的极值点．
(1)求实数a的值，并求函数的单调区间；
(2)求函数g(x)＝e x·f(x)的单调区间．
解(1)f′(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2)，因为x＝2是函数y＝f(x)的极值点，所以f′(2)＝0，即6(2a－2)＝0，因此a＝1.
经验证，当a＝1时，x＝2是函数y＝f(x)的极值点．
所以f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．
所以y＝f(x)的单调增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)；
单调减区间是(0,2)．
(2)g(x)＝e x(x3－3x2)，g′(x)＝e x(x3－3x2＋3x2－6x)
＝e x(x3－6x)＝x(x＋6)(x－6)e x，
因为e x>0，所以y＝g(x)的单调增区间是(－6，0)，(6，＋∞)；单调减区间是(－∞，－6)，(0，6)．
导数之数列型不等式证明
函数与导数解答题之数列型不等式证明 例1.已知函数()()ln 3f x a x ax a R =--∈ (1)讨论函数)(x f 的单调性; (2)证明:*1111ln(1)()23n n N n + +++>+∈ (3)证明:()*ln 2ln 3ln 4ln 5ln 12,2345n n n N n n ???<≥∈ (4)证明:()*22222ln 2ln 3ln 4ln 5ln 112,23452n n n n n N n n +?????
例3．已知函数()x f x e ax a =--（其中,a R e ∈是自然对数的底数， 2.71828e =…）. （1）当a e =时，求函数()f x 的极值；（II ）当01a ≤≤时，求证()0f x ≥； （2）求证：对任意正整数n ，都有2111111222n e ??????+ +???+< ??? ???????. 例4.设函数()ln 1f x x px （1）求函数()f x 的极值点； （2）当p ＞0时，若对任意的x ＞0，恒有0)(≤x f ，求p 的取值范围； （3）证明：).2,()1(212ln 33ln 22ln 2222222≥∈+--<+++n N n n n n n n 例5.已知函数()ln 1f x x x =-+? (1)求()f x 的最大值; (2)证明不等式:()*121n n n n e n N n n n e ??????+++<∈ ? ? ?-???? ??
01导数应用——不等式恒成立问题
2015届高三培优____导数应用不等式恒成立问题 【基础导练】 1．已知函数32()39f x x x x c =--+，若[2,6]x ∈-时，()2f x c <恒成立，则c 的取值范 围是 解析：问题等价于3239()c x x x g x >+-=，只要max ()(6)54c g x g >== 答案：(54,)+∞ 2．已知33()3,(0),()3,(0)f x x x x g t t t m t =-≤=-+≥，若对任意0,0x t ≤≥恒有不等 式()()g t f x ≥成立，则实数m 的取值范围是 解析：求得max ()(1)2f x f =-=，min ()(1)2g t g m ==-，只需22m -≥，即 4.m ≥ 答案：[4,)+∞ 3．设函数()(1)ln(1)f x x x =++，若对所有的0x ≥，都有()f x ax ≥成立，则实数a 的 取值范围 ． 【解析】令()(1)ln(1)g x x x ax =++-， 对函数()g x 求导数：'()ln(1)1g x x a =++-令'()0g x =，解得11a x e -=-， (i)当1a ≤时，对所有0,'()0x g x >>，所以()g x 在[0,)+∞上是增函数， 又(0)0g =，所以对0x ≥，都有()(0)g x g ≥， 即当1a ≤时，对于所有0x ≥，都有()f x ax ≥． (ii)当1a >时，对于101a x e -<<-，'()0g x <，所以()g x 在1(0,1)a e -- 是减函数， 又(0)0g =，所以对1 01a x e -<<-，都有()(0)g x g <，即当1a >时，对所有的0x ≥，都有()f x ax ≥成立． 综上，a 的取值范围是（－∞，1]． 【例题研究】 例题1．已知函数()f x ax e x =-,其中0a ≠ . 若对一切x R ∈ ,()f x ≥1恒成立,求a 的取值集合. 【解析】(Ⅰ)若0a <,则对一切0x >,()f x 1ax e x =-<,这与题设矛盾,又0a ≠, 故0a >. 而()1,ax f x ae '=-令11()0,ln .f x x a a '==得
导数中恒成立问题(最值问题)
导数中恒成立问题（最值问题） 恒成立问题是高考函数题中的重点问题， 也是高中数学非常重要的一个模块， 不管是小题，还 是大题，常常以压轴题的形式出现。 知识储备（我个人喜欢将参数放左边，函数放右边） 先来简单的（也是最本质的）如分离变量后， a f （x ）恒成立，则有a f （X ）max 2. 对于双变量的恒成立问题 f(x) min g(x)min 今天呢，我会花很多时间来讲解一道二次函数，因为二次函数是最本质的， （甚至我提出这样 一个观点，所有导数的题目95%3根结底就是带参数二次函数在已知定义域上根的讨论， 3%是 ax b 与ax 3 b 这种形式根的讨论，2%!观察法得到零点，零点通常是1,-,e 之类），所以如果 e 我们真正弄清楚了二次函数，那么对于千变万化的导数题，我们还会畏惧吗。 那么我们先从一道练习题说起 一?二次函数型（通常方法是讨论对称轴，根据图像求最值） 例题1.已知f （x ） ■ 2x2 2ax a 1定义域为R ，求a 的取值围 思考：①引入定义域（非R ） ② 参数在二次项，就需考虑是否为0 1 ③ 引入高次（3次，4次，—，I nx , e x 等等） x ④ 引入a 2, a 3等项（导致不能分离变量） f （x ）恒成立，则有a f ( x) min （若是存在性问题，那么最大变最小, 最小变最大） 如：化简后我们分析得到, a,b ， f (x) 0恒成立，那么只需 f ( x) min a,b ，使得 f(x) 0,那么只需f （X ）max 0 如：化简后我们分析得到, X i ,X 2 a,b ， f(xj g(X 2)，那么只需 f (X)min g ( X) max 如：化简后我们分析得到, X i a,b ， x 2 c, d 使f （xj gg ），那么只需 如：化简后我们分析得到, X i a,b ，X 2 C,d 使 f (X i ) g(X 2),那么只需 f (X)max g(x)min 还有一些情况了，这里不一一列举， 一个变量，再处理另一个变量） 3.对于带绝对值的恒成立问题， 成立问题（2014.03锡常镇一模那题特别典型） 总之一句话 （双变量的存在性与恒成立问题，都是先处理 我们往往先根据函数的单调性，去掉绝对值，再转变成恒
利用导数证明不等式的两种通法
利用导数证明不等式的两种通法 吉林省长春市东北师范大学附属实验学校 金钟植 岳海学 利用导数证明不等式是高考中的一个热点问题，利用导数证明不等式主要有两种通法，即函数类不等式证明和常数类不等式证明。下面就有关的两种通法用列举的方式归纳和总结。 一、函数类不等式证明 函数类不等式证明的通法可概括为：证明不等式()()f x g x >（()()f x g x <）的问 题转化为证明()()0f x g x ->（()()0f x g x -<），进而构造辅助函数 ()()()h x f x g x =-，然后利用导数证明函数()h x 的单调性或证明函数()h x 的最小值（最 大值）大于或等于零（小于或等于零）。 例1 已知(0, )2 x π ∈，求证：sin tan x x x << 分析：欲证sin tan x x x <<，只需证函数()sin f x x x =-和()tan g x x x =-在(0,)2 π 上 单调递减即可。 证明： 令()sin f x x x =- ，其中(0,)2 x π ∈ 则/ ()cos 1f x x =-，而(0,)cos 1cos 102 x x x π ∈?
导数的不等式恒成立问题
导数的应用 【考查重点与常见题型】 题型一 运用导数证明不等式问题 例1 设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间与极值； (2)求证：当a >ln 2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1. (1)解 由f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R 知 f ′(x )＝e x －2，x ∈R . 令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2， 于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： x (－∞，ln 2) ln 2 (ln 2，＋∞) f ′(x ) － 0 ＋ f (x ) 单调递减 2(1－ln 2＋a ) 单调递增 故f (x )的单调递减区间是(－∞，ln 2]，单调递增区间是[ln 2，＋∞)， f (x )在x ＝ln 2处取得极小值，极小值为 f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a ＝2(1－ln 2＋a )． (2)证明 设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R ， 于是g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R . 由(1)知当a >ln 2－1时，g ′(x )的最小值为 g ′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a )>0. 于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )>0， 所以g (x )在R 上是增加的． 于是当a >ln 2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>g (0)． 而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，g (x )>0. 即e x －x 2＋2ax －1>0，故e x >x 2－2ax ＋1. 已知f (x )＝x ln x . (1)求g (x )＝ f (x )＋k x (k ∈R)的单调区间； (2)证明：当x ≥1时，2x －e ≤f (x )恒成立． 解：(1) g (x )＝ln x ＋k x ， ∴令g ′(x )＝x －k x 2＝0得x ＝k . ∵x >0，∴当k ≤0时，g ′(x )>0. ∴函数g (x )的增区间为(0，＋∞)，无减区间； 当k >0时g ′(x )>0得x >k ；g ′(x )<0得0导数中的恒成立和存在性问题
导数中的恒成立和存在性问题
技巧传播 1．恒成立问题的转化：()a f x >恒成立max ()a f x ?>；()a f x ≤恒成立min ()a f x ?≤； 2．能成立问题的转化：()a f x >能成立min ()a f x ?>；()a f x ≤能成立max ()a f x ?≤； 3．恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立()a f x ?>的解集为R ()()a f x M M a f x C M >???≤?在上恒成立在上恒成立 ； 另一转化方法：若x D ∈，()f x A ≥在D 上恰成立，等价于()f x 在D 上的最小值min ()f x A =， 若x D ∈，()f x B ≤在D 上恰成立，则等价于()f x 在D 上的最大值max ()f x B =； 4．设函数()f x 、()g x ，对任意的1[,]x a b ∈，存在2[,]x c d ∈，使得12()()f x g x ≥，则min min ()()f x g x ≥； 5．设函数()f x 、()g x ，对任意的1[,]x a b ∈，存在2[,]x c d ∈，使得12()()f x g x ≤，则max max ()()f x g x ≤； 6．设函数()f x 、()g x ，存在1[,]x a b ∈，存在2[,]x c d ∈，使得12()()f x g x ≥，则max min ()()f x g x ≥； 7．设函数()f x 、()g x ，存在1[,]x a b ∈，存在2[,]x c d ∈，使得12()()f x g x ≤，则min max ()()f x g x ≤； 8．若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图像在函数()y g x =图像上方； 9．若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图像在函数()y g x =图像下方；
第18讲 导数的应用——利用导数研究不等式恒成立问题备战2021年新高考数学考点精讲与达标测试
《导数的应用——利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题》 达标检测 [A 组]—应知应会 1．已知函数f (x )＝x ＋4 x ，g (x )＝2x ＋a ，若?x 1∈????12，1，?x 2∈[2，3]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤1 B ．a ≥1 C ．a ≤2 D ．a ≥2 【解析】选A.由题意知f (x )min ??? ?x ∈????12，1≥g (x )min (x ∈[2，3])，因为f (x )min ＝5，g (x )min ＝4＋a ，所以5≥4＋a ，即a ≤1，故选A. 2．(2020·吉林白山联考)设函数f (x )＝e x ????x ＋3x －3－a x ，若不等式f (x )≤0有正实数解，则实数a 的最小值为________． 【解析】原问题等价于存在x ∈(0，＋∞)，使得a ≥e x (x 2－3x ＋3)，令g (x )＝e x (x 2－3x ＋3)，x ∈(0，＋∞)，则a ≥g (x )min ，而g ′(x )＝e x (x 2－x )．由g ′(x )>0可得x ∈(1，＋∞)，由g ′(x )<0可得x ∈(0，1)．据此可知，函数g (x )在区间(0，＋∞)上的最小值为g (1)＝e.综上可得，实数a 的最小值为e. 3．(2020·西安质检)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x －1. (1)求函数y ＝f (x )的图象在x ＝1处的切线方程； (2)若不等式f (x )≤ag (x )对任意的x ∈(1，＋∞)均成立，求实数a 的取值范围． 【解析】(1)因为f ′(x )＝1 x ， 所以f ′(1)＝1. 又f (1)＝0，所以切线的方程为y －f (1)＝f ′(1)(x －1)， 即所求切线的方程为y ＝x －1. (2)易知对任意的x ∈(1，＋∞)，f (x )＞0，g (x )＞0. ①当a ≥1时，f (x )≤g (x )≤ag (x )； ②当a ≤0时，f (x )＞0，ag (x )≤0，所以不满足不等式f (x )≤ag (x )； ③当0＜a ＜1时，设φ(x )＝f (x )－ag (x )＝ln x －a (x －1)，则φ′(x )＝1 x －a ，
利用导数解决不等式恒成立中的参数问题学案
利用导数解决不等式恒成立中的参数问题 一、单参数放在不等式上型： 【例题1】（07全国Ⅰ理）设函数()x x f x e e -=-．若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围． 解：令()()g x f x ax =-，则()()x x g x f x a e e a -''=-=+-， （1）若2a ≤，当0x >时，()20x x g x e e a a -'=+->-≥，故()g x 在(0,)+∞上为增函数， ∴0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥． （2）若2a >，方程()0g x '=的正根为1x = 此时，若1(0,)x x ∈，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数． ∴1(0,)x x ∈时，()(0)0g x g <=，即()f x ax <，与题设()f x ax ≥相矛盾． 综上，满足条件的a 的取值范围是(,2]-∞． 说明：上述方法是不等式放缩法． 【针对练习1】（10课标理）设函数2 ()1x f x e x ax =---，当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围． 解： 【例题2】（07全国Ⅰ文）设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值． （1）求a 、b 的值；（2）若对于任意的[0,3]x ∈，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围． 解：（1）2()663f x x ax b '=++， ∵函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=． 即6630241230a b a b ++=?? ++=? ，解得3a =-，4b =． （2）由（1）可知，32()29128f x x x x c =-++，2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--． 当(0,1)x ∈时，()0f x '>；当(1,2)x ∈时，()0f x '<；当(2,3)x ∈时，()0f x '>． ∴当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+． 则当[0,3]x ∈时，()f x 的最大值为(3)98f c =+． ∵对于任意的[0,3]x ∈，有2()f x c <恒成立，∴298c c +<，解得1c <-或9c >， 因此c 的取值范围为(,1)(9,)-∞-+∞． 最值法总结：区间给定情况下，转化为求函数在给定区间上的最值． 【针对练习2】（07重庆理）已知函数44 ()ln (0)f x ax x bx c x =+->在1x =处取得极值3c --，其中 a 、b 、c 为常数． （1）试确定a 、b 的值；（2）讨论函数()f x 的单调区间； （3）若对任意0x >，不等式2()2f x c ≥-恒成立，求c 的取值范围．
用导数研究函数的恒成立与存在性问题-答案
用导数研究函数的恒成立与存在问题 1．已知函数23()2ln x f x x x a = -+，其中a 为常数． （1）若1a =，求函数()f x 的单调区间； （2）若函数()f x 在区间[1,2]上为单调函数，求a 的取值范围． 2．已知函数3 2 ()4()f x x ax a R =-+-∈，'()f x 是()f x 的导函数。 （1）当2a =时，对于任意的[1,1]m ∈-，[1,1]n ∈-，求()()f m f n '+的最小值； （2）若存在0(0,)x ∈+∞，使0()f x ＞0，求a 的取值范围。
3．已知函数x ax x f ln )(+= )(R a ∈. （1）若2=a ，求曲线)(x f y =在点1x =处的切线方程； （2）求)(x f 的单调区间； （3）设22)(2 +-=x x x g ，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]1,02∈x ，使得)()(21x g x f <， 求实数a 的取值范围.
4．（2016届惠州二模）已知函数()22ln f x x x =-+． （Ⅰ）求函数()f x 的最大值； （Ⅱ）若函数()f x 与()a g x x x =+ 有相同极值点． ①求实数a 的值； ②对121,,3x x e ???∈???? (e 为自然对数的底数)，不等式 ()() 1211 f x g x k -≤-恒成立，求实数k 的取值范围．
5．已知函数2 12 ()()ln ()f x a x x a R =-+∈． （1）当1a =时，01[,]x e ?∈使不等式0()f x m ≤，求实数m 的取值范围； （2）若在区间1(,)+∞，函数()f x 的图象恒在直线2y ax =的下方，求实数a 的取值范围．
导数在处理不等式的恒成立问题(一轮复习教案)
学习过程 一、复习预习 考纲要求： 1．理解导数和切线方程的概念。 2．能在具体的数学环境中，会求导，会求切线方程。 3．特别是没有具体点处的切线方程，如何去设点，如何利用点线式建立直线方程。4．灵活应用建立切线方程与其它数学知识之间的内在联系。
5. 灵活应用导数研究函数的单调性问题 二、知识讲解 1.导数的计算公式和运算法则 几种常见函数的导数：0'=C (C 为常数)；1 )'(-=n n nx x (Q n ∈)； x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=；1(ln )x x '= ； 1(log )log a a x e x '=， ()x x e e '= ； ()ln x x a a a '= 求导法则：法则1 [()()]()()u x v x u x v x ±'='±'．
法则2 [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '='+', [()]'()Cu x Cu x '= 法则3： ' 2 '' (0)u u v uv v v v -??=≠ ??? 复合函数的导数：设函数()u x ?=在点x 处有导数()x u x ?'='，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导 数()u y f u '='，则复合函数(())y f x ?=在点x 处也有导数，且x u x u y y '''?= 或(())()()x f x f u x ??'='?' 2.求直线斜率的方法（高中范围内三种） (1) tan k α=（α为倾斜角）； (2) 1212 ()() f x f x k x x -= -，两点1122(,()),(,())x f x x f x ； (3)0()k f x '= （在0x x =处的切线的斜率）； 3.求切线的方程的步骤：（三步走） （1）求函数()f x 的导函数()f x '； （2）0()k f x '= （在0x x =处的切线的斜率）； （3）点斜式求切线方程00()()y f x k x x -=-； 4.用导数求函数的单调性： （1）求函数()f x 的导函数()f x '； （2）()0f x '>，求单调递增区间； （3）()0f x '<，求单调递减区间； （4）()0f x '=，是极值点。 考点一 函数的在区间上的最值 【例题1】：求曲线29623-+-=x x x y 在)5,2(上的最值 。 【答案】：最大值为18，最小值为-2. 【解析】:∵根据题意09123'2=+-=x x y ，∴3,121==x x ,由函数的单调性，当11=x ，2=y ， 取得极大值；当32=x ，2-=y ，取得极小值；当5=x ，18=y 。所以最大值为18，最小值为-2.
导数中恒成立问题(最值问题)
导数中恒成立问题（最值问题） 恒成立问题是高考函数题中的重点问题，也是高中数学非常重要的一个模块，不管是小题，还是大题，常常以压轴题的形式出现。 知识储备（我个人喜欢将参数放左边，函数放右边） 先来简单的（也是最本质的）如分离变量后，()a f x ≥恒成立，则有max ()a f x ≥ ()a f x ≤恒成立，则有min ()a f x ≤ （若是存在性问题，那么最大变最小，最小变最大） 1.对于单变量的恒成立问题 如：化简后我们分析得到，对[],x a b ?∈，()0f x ≥恒成立，那么只需min ()0f x ≥ [],x a b ?∈，使得()0f x ≥，那么只需max ()0f x ≥ 2.对于双变量的恒成立问题 如：化简后我们分析得到，对[]12,,x x a b ?∈，12()()f x g x ≥，那么只需min max ()()f x g x ≥ 如：化简后我们分析得到，对[]1,x a b ?∈，[]2,x c d ?∈使12()()f x g x ≥，那么只需 min min ()()f x g x ≥ 如：化简后我们分析得到，[]1,x a b ?∈，[]2,x c d ∈使12()()f x g x ≥，那么只需max min ()()f x g x ≥ 还有一些情况了，这里不一一列举，总之一句话（双变量的存在性与恒成立问题，都是先处理一个变量，再处理另一个变量） 3.对于带绝对值的恒成立问题，我们往往先根据函数的单调性，去掉绝对值，再转变成恒成立问题（201 4.03苏锡常镇一模那题特别典型） 今天呢，我会花很多时间来讲解一道二次函数，因为二次函数是最本质的，（甚至我提出这样一个观点，所有导数的题目95%归根结底就是带参数二次函数在已知定义域上根的讨论，3%是 ax b +与3ax b +这种形式根的讨论，2%是观察法得到零点，零点通常是1 1,,e e 之类） ，所以如果我们真正弄清楚了二次函数，那么对于千变万化的导数题，我们还会畏惧吗。 那么我们先从一道练习题说起 一．二次函数型（通常方法是讨论对称轴，根据图像求最值） 例题1.已知()f x =R ，求a 的取值范围 思考：① 引入定义域（非R ） ②参数在二次项，就需考虑是否为0 ③引入高次（3次，4次，1 x ，ln x ，x e 等等） ④引入2a ，3a 等项（导致不能分离变量）
导数之恒成立问题
应用导数研究函数的恒成立与存在性问题 例已知函数()()()21,ln 12 f x x x g x x a =+=+-. （1）若存在[]0,2x ∈，使得()()f x g x =，求实数a 的取值范围； （2）若存在[]0,2x ∈，使得()()f x g x >，求实数a 的取值范围； （3）若对任意[]0,2x ∈，恒有()()f x g x >，求实数a 的取值范围； （4）若对任意[]12,0,2x x ∈，恒有()()12f x g x >，求实数a 的取值范围； （5）若对任意[]20,2x ∈，存在[]10,2x ∈，使得()()12f x g x >，求实数a 的取值范围； （6）若对任意[]20,2x ∈，存在[]10,2x ∈，使得()()12f x g x =，求实数a 的取值范围； （7）若存在[]12,0,2x x ∈，使得()()12f x g x >，求实数a 的取值范围； （8）若存在[]12,0,2x x ∈，使得()()12f x g x =，求实数a 的取值范围；
(1)恒成立问题 ①. ①x①D,均有f(x)>A恒成立,则f(x)min>A； ①. ①x①D,均有f(x)﹤A恒成立,则f(x)ma xg(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) >0,① F(x)min >0； ①. ①x①D,均有f(x)﹤g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) <0,① F(x) ma x <0； (2)存在性问题 ①. ①x0①D,使得f(x0)>A成立,则f(x) ma x >A； ①. ①x0①D,使得f(x0)﹤A成立,则f(x) min g(x0)成立,设F(x)= f(x)- g(x),① F(x) ma x >0； ①. ①x0①D,使得f(x0) g(x2)成立,则f(x)min > g(x)ma x； ① ①x1①D, ①x2①E, 使得f(x1) >g(x2)成立,则f(x) ma x > g(x) min； ① ①x1①D, ①x2①E, 使得f(x1) >g(x2)成立,则f(x)m in > g(x)m in； ① ①x1①D, ①x2①E, 使得f(x1) >g(x2)成立,则f(x)max > g(x)max.
利用导数解决恒成立能成立问题备课讲稿
利用导数解决恒成立能成立问题
利用导数解决恒成立能成立问题 一利用导数解决恒成立问题不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法） (1)恒成立问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < 1．若在x∈[1，+∞）上恒成立，则a 的取值范围是 ______ ． 2．若不等式x 4﹣4x 3＞2﹣a 对任意实数x 都成立，则实数a 的取值范围 _________ ． 3．设a ＞0，函数，若对任意的x 1，x 2∈[1，e]，都有f （x 1）≥g（x 2）成立，则a 的取值范围为 _________ ． 4．若不等式|ax 3 ﹣lnx|≥1对任意x∈（0，1]都成立，则实数a 取值范围是 _________ ．
15．设函数f（x）的定义域为D，令M={k|f（x）≤k恒成立，x∈D}，N={k|f（x）≥k恒成立，x∈D}，已知 ，其中x∈[0，2]，若4∈M，2∈N，则a 的范围是_________ ． 6．f（x）=ax3﹣3x（a＞0）对于x∈[0，1]总有f（x）≥﹣1成立，则a的范围为_________ ． 7．三次函数f（x）=x3﹣3bx+3b在[1，2]内恒为正值，则b的取值范围是_________ ． 8．不等式x3﹣3x2+2﹣a＜0在区间x∈[﹣1，1]上恒成立，则实数a的取值范围是__ ． 9．当x∈（0，+∞）时，函数f（x）=e x的图象始终在直线y=kx+1的上方，则实数k的取值范围是_________ ．10．设函数f（x）=ax3﹣3x+1（x∈R），若对于任意的 x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0成立，则实数a的值为 _________ ．
导数证明不等式的问题(练习答案)
“导数证明不等式问题”练习题答案 1.设L 为曲线C:ln x y x =在点(1,0)处的切线. (I)求L 的方程; (II)证明:除切点(1,0)之外,曲线C 在直线L 的下方. 解: (I)设ln ()x f x x =,则21ln ()x f x x -'=.所以(1)1f '=.所以L 的方程为1y x =-. (II)令()1()g x x f x =--,则除切点之外,曲线C 在直线l 的下方等价于()0 g x >(0,1)x x >≠. ()g x 满足(1)0g =,且221ln ()1()x x g x f x x -+''=-=. 当01x <<时,210x -<,ln 0x <,所以()0g x '<,故()g x 单调递减; 当1x >时,210x ->,ln 0x >,所以()0g x '>,故()g x 单调递增. 所以,()(1)0g x g >=(0,1x x >≠). 所以除切点之外,曲线C 在直线L 的下方. 又解:()0g x >即ln 10x x x -->变形为2ln 0x x x -->,记2()ln h x x x x =--,则2121(21)(1)()21x x x x h x x x x x --+-'=--==, 所以当01x <<时,()0h x '<,()h x 在(0,1)上单调递减; 当1x >时,()0h x '>,()h x 在(1,+∞)上单调递增. 所以()(1)0h x h >=.)
2.Ⅰ)讨论函数的单调性，并证明当时，； (Ⅱ)证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域． 解⑴证明：()2e 2 x x f x x -=+ ()()()22224e e 222x x x x f x x x x ??-' ?=+= ?+++?? ∵当x ∈()()22,-∞--+∞，时，()0f x '> ∴()f x 在()()22,-∞--+∞，和上单调递增 ∴0x >时， ()2e 0=12x x f x ->-+， ∴()2e 20x x x -++> ⑵ ()()()24e 2e x x a x x ax a g x x ----'= () 4e 2e 2x x x x ax a x -++= ()322e 2x x x a x x -??+?+ ?+??= [)01a ∈， 由(1)知，当0x >时，()2e 2x x f x x -= ?+的值域为()1-+∞，，只有一解． 使得2e 2 t t a t -?=-+，(]02t ∈， 当(0,)x t ∈时()0g x '<，()g x 单调减；当(,)x t ∈+∞时()0g x '>，()g x 单调增 ()()()222e 1e e 1e 22 t t t t t t a t t h a t t t -++?-++===+ 记()e 2t k t t =+，在(]0,2t ∈时，()()() 2e 102t t k t t +'=>+，∴()k t 单调递增 ∴()()21e 24h a k t ??=∈ ??? ，． 3.设函数． x x 2f (x)x 2 -=+e 0x >(2)20x x e x -++>[0,1)a ∈2x =(0)x e ax a g x x -->（）()g x ()h a ()h a ()1x f x e -=-
利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题
利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题 1．设函数f (x )＝(1＋x －x 2)e x (e ＝2.718 28…是自然对数的底数)． (1)讨论f (x )的单调性； (2)当x ≥0时，f (x )≤ax ＋1＋2x 2恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝(2－x －x 2)e x ＝－(x ＋2)(x －1)e x . 当x <－2或x >1时，f ′(x )<0；当－20. 所以f (x )在(－∞，－2)，(1，＋∞)上单调递减，在(－2,1)上单调递增． (2)设F (x )＝f (x )－(ax ＋1＋2x 2)，F (0)＝0， F ′(x )＝(2－x －x 2)e x －4x －a ，F ′(0)＝2－a ， 当a ≥2时，F ′(x )＝(2－x －x 2)e x －4x －a ≤－(x ＋2)·(x －1)e x －4x －2≤－(x ＋2)(x －1)e x －x －2＝－(x ＋2)·[(x －1)e x ＋1]， 设h (x )＝(x －1)e x ＋1，h ′(x )＝x e x ≥0，所以h (x )在[0，＋∞)上单调递增，h (x )＝(x －1)e x ＋1≥h (0)＝0， 即F ′(x )≤0在[0，＋∞)上恒成立，F (x )在[0，＋∞)上单调递减，F (x )≤F (0)＝0，所以f (x )≤ax ＋1＋2x 2在[0，＋∞)上恒成立． 当a <2时，F ′(0)＝2－a >0，而函数F ′(x )的图象在(0，＋∞)上连续且x →＋∞，F ′(x )逐渐趋近负无穷，必存在正实数x 0使得F ′(x 0)＝0且在(0，x 0)上F ′(x )>0，所以F (x )在(0，x 0)上单调递增，此时F (x )>F (0)＝0，f (x )>ax ＋1＋2x 2有解，不满足题意． 综上，a 的取值范围是[2，＋∞)． 2．设函数f (x )＝2ln x －mx 2＋1. (1)讨论函数f (x )的单调性； (2)当f (x )有极值时，若存在x 0，使得f (x 0)>m －1成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝2x －2mx ＝－2(mx 2－1)x ， 当m ≤0时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当m >0时，令f ′(x )>0，得0 m m ， ∴f (x )在????0，m m 上单调递增，在??? ?m m ，＋∞上单调递减． (2)由(1)知，当f (x )有极值时，m >0，且f (x )在????0，m m 上单调递增，在????m m ，＋∞上单调递减．
导数中含参数问题与恒成立问题的解题技巧
函数、导数中含参数问题与恒成立问题的解题技巧与方法 含参数问题及恒成立问题方法小结： 1、分类讨论思想 2、判别法 3、分离参数法 4、构造新函数法 一、分离讨论思想： 例题1： 讨论下列函数单调性： 1、()x f =();1,0,≠>-a a a a x 2、()x f =)0,11(1 2≠<<--b x x bx 二、判别法 例2：已知不等式04)2(2)2(2 <--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，求参数a 的取值范围． 解：要使04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，则只须满足： （1）???<-+-<-0)2(16)2(4022a a a 或 （2）?? ???<-=-=-040)2(202a a 解（1）得???<<-<2 22a a ，解（2）a ＝２ ∴参数a 的取值范围是－２＜a ≤２． 练习1. 已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。 三、分离法参数： 分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.即： （1） 对任意x 都成立()min x f m ≤ （2）对任意x 都成立。 例3．已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(高考素材复习素材：一题多解 专题三 利用导数证明不等式问题
一题多解专题三：利用导数证明不等式问题 1.构造函数证明不等式的方法 (1)对于(或可化为)左右两边结构相同的不等式,构造函数f(x),使原不等式成为形如 f(a)>f(b)的形式. (2)对形如f(x)>g(x),构造函数F(x)= f(x)-g(x). (3)对于(或可化为)A x x f ≥),(21的不等式,可选1x (或2x )为主元,构造函数),(2x x f (或 ),(1x x f ). 2.利用导数证明不等式的基本步骤 (1)作差或变形. (2)构造新的函数h(x). (3)对h(x)求导. (4)利用)(x h '判断h(x)的单调性或最值. (5)结论. 例：设b a R b a b ax x x x f ,,,(1)1ln()(∈++++ +=为常数），曲线)(x f y =与直线 x y 2 3 = 在(0，0)点相切. (1)求b a ,的值. (2)证明：当20<x 时，12 12111)1(2+< +?+=++高考数学压轴题：导数与不等式恒成立
高考数学压轴题：导数与不等式恒成立 不等式恒成立问题一直是高考命题的热点，把函数问题、导数问题和不等式恒成立问题交汇命制压轴题成为一个新的热点命题方向．由不等式恒成立确定参数范围问题，常见处理方法有：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥可)或()a f x ≤恒成立 （()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x =图象在()y g x = 上方即可)；③ 最值法：讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数.在诸多方法中，构造函数并利用导数研究函数的单调性、最值等，是必须要考虑的解题门径.本专题举例说明《用好导数，“三招”破解不等式恒成立问题》. 类型一 构造函数求最值 【例1】已知函数()ln x f x ae x x =-，其中a R ∈，e 是自然对数的底数. （1）若()f x 是()0,∞+上的增函数，求实数a 的取值范围； （2）若2 2 a e > ，证明：()0f x >. 【分析】（1）由()f x 是()0,∞+上的增函数等价于()0f x '≥恒成立，得1ln x x a e +≥ ，求()()1ln 0x x g x x e += >的最大值，即可得到本题答案； （2）由()e 0ln 0x a f x x x >?->，证明当22a e ≥时，()()e ln 0x a F x x x x =->的最小 值大于0，即可得到本题答案. 【解析】（1）()()1ln x f x ae x '=-+，()f x 是()0,∞+上的增函数等价于()0f x '≥恒成立. 令()0f x '≥，得1ln x x a e +≥，令()()1ln 0x x g x x e +=>.以下只需求()g x 的最大值. 求导得()11ln x g x e x x -??'=-- ??? ，令()11ln h x x x =--，()2110h x x x '=--<， ()h x 是()0,∞+上的减函数，又()10h =，故1是()h x 的唯一零点， 当()0,1x ∈，()0h x >，()0g x '>，()g x 递增； 当()1,x ∈+∞，()0h x <，()0g x '<，()g x 递减；
