小波分析讲稿08f(ch0-3)
第0章 预备知识
§1．函数逼近的概念
设f(x)，[,]x a b ∈是一个函数,我们常用另一个函数p(x)来近似代替它 e.g
35721sin (1)
3!5!7!(21)!n n
x x x x x x n +≈-+-++-+ 01
()(cos sin )2n
k k k a f x a kx b kx =≈++∑
p(x)通常取在某个线性空间中：1{,}n span ??Φ=
11()()()n n p x C x C x ??=+
§2．关于空间的一些预备知识
线性空间V →线性赋范空间K →线性内积空间H 投影元：*
*1n
k k
k S c ?
==
∑ (最佳平方逼近)
特征 ：*
f S -⊥Φ
定义1 设K 为线性赋范空间，f K ∈，1,,n s s 为 K 中一列元素。如果
lim 0n
k
n f s →∞
-=，则称n s 在K 中收敛于f
记做
||||
()n s f n ???→→+∞
同一列n s 在不同的K 中，其收敛性可能不同
例：1,[0,]12()2,[,]20,[,1]n nx x n s x nx x n n x n ?
∈??
?
=-∈??
?∈??
21222[0,1]
2
()
203n
n L s x n x dx n
==
→? 而 2
[0,1]
()
1n C s x ≡
定义2（Shauder 基）设1{}n n x ∞
=是线性赋范空间K 中的一列元素，若x k ?∈，存在唯一的数列1{}
n n c ∞
=使得
1
k
N
n n n c x x =??→∑
，则称 1{}n n x ∞=是K 的一个 Shauder 基。
记做1
n n
n x c x
∞
==
∑
例如 2
212{(,,,),}n i
l a a a a
=<+∞∑
1(0,0,1,0,),{}n n n e e ∞== 为2l 的一个Shauder 基
定义3 线性赋范空间中的级数 1
n n
n x c x
∞
==∑称为无条件收敛的。若将级数的项任意重
排后所得级数
()()
1
n n n c x σ
σ∞
=∑仍收敛于同一x ，σ是自然数集的任一置换
Banach 空间中的Shauder 基{}n x ，如果对i i
i
f c x ?=
∑无条件收敛的，
则称为无条件基。 定义4（Riesz 基）Banach 空间中的Shauder 基{}n x ，如果存在常数A 、B ，0A B <≤<+∞ 使得 22
2(||)||||
(||)i
i i
i A c c x B c ≤≤∑∑∑ 则称{}n x 为Riesz 基。
例：2{}
i nx n e
π+∞
=-∞是
2[0,1]L 的 Riesz 基
在Hilbert 空间中，无条件基与Riesz 基等价。
正交基、Parseval 等式、投影元的最佳逼近性、标准正交基
§3 Forier 级数
复的线性内积空间
设V 为复数域上的线性空间，内积（可能是复数）应满足什么条件？
(,)(,)x y y x = ==== (,)(,)x y y x = (,)(,)(,)x y z x z y z αβαβ+=+ 保持
(,)0,""0x x x ≥=?= 保持
性质：
(,)(,)(,)x x z x y x z αβαβ+=+ 2
(,)(,)(,)x y x x y y ≤
内积（常用）
1212:(,)n n n x y x y x y x y =++C
f(x )实变量复值函数,2
2[,]()b
a
f L a b f x dx ∈?<+∞?
(,)()()R
f g f x g x dx =?
或1
(,)()()N
j
j
j f g f x g x ==
∑
2()[,]f x L ππ∈-
01
()~(cos sin )2k k k a f x a kx b kx ∞
=++∑ （L 2 收敛）
其中，1
()cos k a f x kxdx π
ππ
-
=
?，1
()sin k
b
f x kxdx π
ππ
-
=
?
若2()f x C π∈，f(x)满足Dini-Lipchitz 条件（例如1
f C ∈）
01
()(cos sin )2k k k a f x a kx b kx ∞
==++∑ （2C π收敛）
Fourier 级数有时取复数形式 如果()f x 是实变量复值函数
()ikx
k f x C e
+∞
-∞
=∑，1
()2ikx k C f x e dx π
π
π
--=
?
由于cos sin ikx
e
kx i kx =+
当f 为实函数时
111()()(cos sin ),02222
ikx
k k k i
C f x e
dx f x kx i kx dx a b k π
π
π
π
π
π
--
-
=
=
-=
-≥??当 k k C C －＝，当k <0
在复形式中涉及频率为k 的两项:
1221
2
2
()(cos sin )
()(cos sin )
cos sin ikx ikx
k k i
k k i k k k k c e c e a b kx i kx a b kx i kx a kx b kx
--+=-+++-=+
当()f x ∈R ，实和复的Fourier 级数可互化。 有时复的Fourier 级数更便于应用。 Fourier 级数也可写成
0())2k k a f x kx ?∞
==++
k 为频率，
k ?为初相位。许多函数用Fourier 级数能得到相当好的结果。
对于某些特殊情况，试看下面两个例子：
（1）1,[,0)()0,01,(0,]x f x x x ππ-∈-??
==??∈?
4
11
()(sin sin 3sin 5)35
f x x x x π=
+++ （2）0,[,0)
()sin 2,[0,]
x f x x x ππ∈-?=?
∈?
2
0141()sin 2cos(21)24(21)k f x x k x k π∞==++-+∑
上两例中f （x ）仅包含低频（和直流）成分，但由于突变的时间段上的不均匀性，f 的
Fourier 级数中附加了许多高频成分。
Fourier 级数表现f(x) 在[0,2]π上的整体性质。 同时系数{}j C 称为频谱具有一定的物理意义
{}n C 称为离散振幅谱； 2
{}n C 称为离散功率谱；
{arg }n C 称为离散相位谱。
f(x)=sgn(x)
Gibbs 现象
设函数()f x 定义在(,)ππ-上，0(,)x ππ∈-是f(x)的第一类间断点，在x 0处f(x )有跃度h 设00(0)(0)f x f x +>-，()n S x 是f(x) 的Fourier 级数的n 阶部分和，则
0lim ()(0)9%n n x x S x f x h +→∞
→=++
§4. 离散Fourier 级数
在实际问题中常有这样的情况：2()f x C π∈ 由在离散点上的值 ()j j f x f =
(j =0,1,…,N-1) 给出，假设等分[0,2πN 等分，N ＝2m +1,
011((),(),,())N N F f x f x f x -=
221
j j x m π
=
+, (j =0,1,…,2m )
??
?<<≤≤-=π
πt t t t f 0)2sin(00)(
定义离散内积：
20
(,)()()m
j j j f g f x g x ==∑ （I ）
可证对任何 0,k l m ≤≤，成立：
20
(sin ,sin )sin *sin m
j j j lx kx lx kx ==∑＝0
021
02
l k or l k m l k ≠==??
?+=≠?? 20(cos ,cos )cos *cos m
j j j lx kx lx kx ==∑＝02102210
l k m l k m l k ≠??+?
=≠??+=≠?? (cos ,sin )0,lx kx l k =?
1
{1,cos ,sin }m k kx kx = 按离散内积(I) 组成正交系。 注：由于任一次数不高于m 的三角多项式在任一长度为2π的半开半闭区间上至多有2m 个零点，离散内积(I)在m T 中满足正性，是内积，但在更大的空间2C π中不满足正性，是拟内积。
因此，任意函数2()f x C π∈在()n n m ≤T 中的最佳逼近为：
01
()(cos sin )2n
n k k k a S x a kx b kx ==++∑
其中：
202022cos (0,1,,)
212122sin (1,,)2121
m k j j m k j j jk a f k n m m jk b f k n m m ππ====++==++∑∑
f(x)=|cos (x)|
取m =6 N=13,
f(x) 的Fourier 级数部分和为
))6cos(7
51)4cos(531)2cos(31121(4)(6x x x x S ?+?-?+=
π ≈ 0.6366 +0+ 0.4244cos(2x)+ 0 -0.0849 cos(4x)+ 0+ 0.0364cos(6x) f(x) 的DFT 级数部分和为 )(*6x S =0.6382-0.0023cos(x)+0.4212cos(2x)+ 0.0076cos(3x)-0.0815 cos(4x)
-0.0159cos(5x)+ 0.0326 cos(6x)
系数的误差向量为
（-0.0016 0.0023 0.0032 -0.0076 -0.0034 0.0159 0.0037）
由于在DFT 的内积定义下，频率高于m 的函数cos (kx),k>m 与)(*
6x S 中出现的基函数不正交，高频部分在其上有投影。 出现“频率混叠”现象。
§5. 广义Fourier 级数
设01{,,,,}n g g g 为2()L A 中的标准正交系，A 为有限或无穷的区间。 则对2()()f x L A ∈ 可形式地展开：
()()k k k f x c g x ∞
=∑
称为f(x)的 广义Fourier 级数
广义Fourier 级数的理论是调和分析的重要组成部分，在应用上适当选取{}i g ，可以使展开式更有效，实际上，小波展开就是一种广义Fourier 级数。
关于广义Fourier 级数的收敛性（即正交系的完备性、完全性）以及正交系的选取，展开技巧等。可参看泛函分析、特殊函数论，以及计算方法等教材和专著。
§6 快速傅立叶变换（FFT ）
1 三角函数插值或有限傅立叶变换
设函数f(x)在区间0x π≤< 上的N 个分点2/(0,1,,1)l N l N π=- 上的值(2/)l f f l N π=（一般是复数）为已知。现在用已知的以为周期的周期函数
exp()cos()sin(),0,1,,1,ijx ijx e jx i jx j N i ≡=+=-=
的线性组合
10
()exp(),N j j P x c ijx -==∑ （1）
作f(x)在这个区间上的三角函数插值，也就是要求（10.1）中的系数 j c （一般是复数）使在点2/(0,1,,1)l N l N π=- 上有
1
()exp(),N j j f x c ijx -==∑
也就是要求j c 满足
1
(2/)exp(2/),
0,1,, 1.
N l j j f f l N c ij N l N ππ-====-∑ （2）
这在理论上容易办到。因为对每个
j ， 函数 exp()ijx 在
0,2/,,2(1)/x N N N ππ=- 上的值组成一个N 维向量
(1,exp(2/),,exp(2(1)/),ij N ij N N ππ-
而j=0,1,…,N-1 时的N 个这种向量具有下列正交性：当k,j=0,1,…,N-1 时,
1
0{exp(2/)}{exp(2/}0,,N l ij l N ik l N k j ππ-=?-=≠∑ （3） 10
{exp(2/)}{exp(2/},,N l ij l N ik l N N k j ππ-=?-==∑ (4)
（4）是显然的，至于（3），把它的左边记做A ，则
1
exp([]2/)N l A i j k l N π-==-∑
是一个等比级数，由于0<|j-k| 1{1exp[()2/)}{1exp([()2/])}N A i j k l N i j k k l N ππ-=--?-- 又因为 exp([()2/])exp[()2]1N i j k k l N i j k ππ-=-= 所以A ＝0，即（3）式成立。 有了（3）和（4）我们就容易从（2）这组线性方程解出系数j c 了：用 e x p (2/),01i k l N k N π-≤≤-，乘（10.2）中各式两端，再对l 从0到N-1求和，解 出k c ，就得到 1 1exp(2/),0,1,, 1.N j l l c f ij l N j N N π-== -=-∑ (5) （5）和（2）一起是{}l f 及{}j c 这两组数据之间的一对互逆的变换关系，并列在 一起，有 1 1 1exp(2/),0,1,,1; exp(2/),0,1,, 1. N j l l N l j j c f ij l N j N N f c ij l N l N ππ-=-== -=-==-∑∑ 由 {}l f 求{}j c 叫做f(x)的离散傅立叶变换，或者说{}j c 是{}l f 的离散傅立叶变换。由 {}l f 求{}j c 则称为反变换。注意这组公式并不对称。j c 与l f 之间还有Parsevel 等式 1 1 2 20 1 ||||N N j l j j c f N --=== ∑ ∑ (6) 不论是按（5）式求j c ， 还是按（2）式求l f ，运算都很简单，只是一些复数乘法 和复数加法。但是由{}l f 算一个j c 要作N 个乘法和N －1 个加法，求出全部的 就要做 2N 个乘法和N （N －1）个加法和N 个除法。当N 很大时，做起来就很费时间。直到上 世纪60年代提出了目前的快速算法，离散傅立叶变换才得到了广泛应用。所有快速算法的思想都是一个，即尽量减少乘法。比如在算N 个j c 的公式（5）中，表面上有2 N 个含exp(2/)ij l N π- 的项，而这2N 个项中实际上只有N 个是不同的，即exp(2/),0,1,,1ij l N j N π-=- .把j c 中的各项先按exp(2/)ij l N π-归类， 然后把同类项中的l f 先加起来再和exp(2/)ij l N π-相乘，就可以减少许多操作。特别当2k N = 时，乘法次数可以减少到 21 (log )2 N N ，比如当102N =，2610N ≈而321 (log )5*102 N N ≈ 计算量少了近200倍，这就节约了计算j c 的机器时间。 注：① exp(),0,1,,1,ijx j N =- 不构成1N -T 的一组基 ② 如果1 ()exp()N j j P x c ijx -== ∑中的系数由（5）式确定，则()P x 既是如本节所 述的三角插值多项式，又是如上节所述的离散内积意义下的最佳平方逼近多项式。 2 快速傅立叶变换 以下设 2k N =，k 是正整数，令exp(2/)i N ωπ=-，则1N ω= 。记 1l l a f N = （5）式就简化为 1 , 0,1,,1,N jl j l l c a j N ω-===-∑ （5’） 或简记成 00112211,N N N c a c a c F a c a --????????????????=???????????????? 其中N F 是N ×N 矩阵，它的第j 行，第l 列元素为 jl ω，j,l=0,1,…,N-1. 现在分奇数j 和偶数j 来合并j c 中的同类项。 对于偶数12,j j = 1111112 1 1 111 22()22220 ()() , N N N j l N j l j l j l l N l l l l c a a a ω ω ω---++===== +∑∑∑ 但112 1()2 () ()1j N j N ωω== ，所以上式最后一项是 112 1 1220 (), N j l N l l a ω-+=∑ 于是 1112 1 12 221 1 ()(), 0,1,..., 1.2N j l j l N l l c a a j N ω-+== +=-∑ (7) 和（5）比较，由于2 1exp(2/),i N ωπ=- ， 就知道这组偶数编号的j c ，即022,,.,N c c c -正好是1112 2 2 01111(),(),...,()N N N N a a a a a a -+-+++ 这 1 2 N 个数据的离散傅立叶变换： 1212 12 12001 1241 222211,N N N N N N N a a c a a c c F a a c a a ++---+????????+?????? ??=+?????? ?????????? +?? 对于奇数121,j j =+， 11112 11112 12(1)210 1 201 1220 1 12 20 ()(){()}(), N j k j k k N j k k k l N N l j l l l N l l N j l l l N l l c a a a a a a ωωωω ω ωωω-++=-=-++=-+==== += -∑∑∑∑ 所 以 奇 数 编 号 的 j c ， 即 13,, ..., N c c c - 也正好是 21112 2 2 1 01111(),(),...,()N N N N N a a a a a a ωω--+---- 这 1 2 N 个数据的离散傅立叶变换： 12 1212121200111132251221111()()().()N N N N N N N N a a c a a c a a c F c a a ωωωω++----?? -??????-?? ???? -??=?????????? ??????-???? 可见为了完成N 个数据的离散傅立叶变换，只要完成两个1 2 N 个数据的离散傅立叶变 换即可。当然为了给两个离散傅立叶变换提供数据，还要有些运算量。现在我们来分析一下，设2k N = ，假定通过这种逐次分奇偶的算法需要 k P 个复数乘法和k A 个复数加法，又从N 个数据的离散傅立叶变换转换成两个1 2 N 个数据的离散傅立叶变换时，准备数据还要2k N =个加法和 11 22 k N -= 个乘法，所以 1101022,022, k k k k k k P P P A A A ---=+==+= 由此推出 1221 2log ,2 2log . k k k k P k N N A k N N -=?= =?= 10 另外在作快速傅立叶变换时，要用到,0,1,..., 1.2 l l N ω=- 但 exp(2/)cos(2/)sin(2/),l i l N l N i l N ωπππ=-=- 简记 cos(2/),sin(2/),l l l N c l N s ππ== 求l c 和l s 时，不必都用标准子程序。可以只用标准子程序求出 1cos(2/),sin(2/),l c N s l N ππ== 其余则利用三角公式 cos(1)cos cos()sin sin(),sin(1)cos sin()sin cos(), l x x lx x lx l x x lx x lx +=-+=+ 可以节省机时。总之算l l l c i s ω=+ 的公式如下 001 11110111,0,cos(2/),sin(2/),,,11,2,..., 2.2 l l l l l c s c N s N c c c s s s c s s c l N ππ+==??==???=-=+? ?=-?? （8） 第1章 Fourier 变换 §1. Fourier 变换（FT ） 从[],ππ-上的Fourier 级数： 01 ()(cos sin )2k k k a f x a kx b kx ∞ =++∑ （1） 如果2(),l f x C l π+ ∈∈ 则01()(cos sin )2k k k a k k f x a x b x l l ∞=++∑ （2） 若1l >形如（2）的FS 可以在更大区间上表示任意函数，从另一个角度看 cos ,sin k k x x l l ?? ? ?? ?在 上有更丰富的频谱，当l →∞时，由数学分析知FS Fourier →积分，类似于复的FS ，把Fourier 积分放在复数域中就得到了Fourier 变换FT 。 Fourier 变换的定义 设12()()() f x L L ∈ ()()i t FT f f t e dt ω+∞ --∞ =? 称为()f x 的Fourier 变换，()FT f 也记作?()f ω 反演公式：1 1??()()()2i t FT f f t f e d ωωωπ +∞ --∞ ==? ω相当于频率参数，?()f ω认为是频域上的函数，在()f t 中，如果把变量t 看成时间参 数，成为时域上的函数。 与FT 的系数同样 ?()f ω——连续频谱 ?()f ω——连续振幅谱 2?()f ω——连续功率谱（功率密度），2 ?()f ωω? 为[.]ωωω+?成分的功率 ?arg ()f ω——相位谱 Fourier 变换的性质 （1）[][][]1212()*()()()FT f t f t FT f t FT f t =? （2）[]1?()()FT f at f a a ω = （3）[]?()()FT f t f ω-=- （4）[]00?()()i t FT f t t f e ωω±±= （5）()?()()()n n n d f t FT i f dt ωω??=???? （6）1 ()()()()n n n d G F it g t d ωω-?? =-???? （7）[][][]1212()()()*()FT f t f t FT f t FT f t ?= Parseval 等式 1? ?(,)(,)2f g f g π = 证： 1?()()() ()21?()()21??()()2i t i t f t g t dt g t f e d f d g t e dt f g d ωωωω π ωωπωωωπ -== =? ????? 令g f =则有 2 2 1?2f f π = ?()f ω反映了()f t 在整个实轴上的性状没有时间分辨率 几个特殊函数的FT 1()0 t rect t t εεε ?≤?=? >?? 1[()]i t i t FT rect t e dt e i ωωεε ε ε εω --==---? sin 2:2() sic εω ε εωεεω== 注意?(),()f t f ω都是实的。 1(2())()FT sic rect t εεεω-= 2()2()()() i t i t sic e dt rect t sic t e dt rect ωεωεεεωππ εωε ∞ +-∞∞ --∞ ==?? 利用性质（2） 1 (())(()) ()() FT sic t FT sic t rect rect εεε πεωπω=== 其余的如山形函数，δ函数等的FT 参见相关教材 §2 窗口Fourier 变换（WFT ） 引入窗函数()g t 定义窗口Fourier 变换()WFT (,)()()i t f G f t g t e dt ωωττ+∞ --∞ =-? 对于()0g t τ-=的t ，对WFT 不起作用，故()g t 有“窗口”性状，上式相当于在t τ=，附近开了一个窗，只看()f t 在窗口部分的性状。 例如[],()()()g t t rect t εεεχ-== 意义直观，但由于不连续，增加了附加的高频成分。 改进：supp()[,],g g C δδ=-∈ 或要求g 速降。 22 4 ..()t a a e g g t - = 需要引入窗口函数的中心与宽度 中心： 2 *2 1()g t t g t dt g ∞ -∞ = ? 一般凑成* * ()0 g g t t t ττ-== 宽度1 22*21()()g g t t g t dt g ∞-∞???=-? ???? 反演公式，若1g = 1 ()(,)()2i f f t d G g t e d ωτωωτττπ +∞ +∞ -∞ -∞ = -? ? (,)f G ωτ包含()f t 的全部信息 (,)()()i t f G f t g t e dt ωωττ-=-? 从频域上看，我们同时有： (,)()()2i iu f e G f u g u e du ωτ τωτωπ -Λ Λ = -? 证明：据定义： ()'()'()1(,)()()21()()21()(')'21()()2iut it f i u t t t i u t i u i iu G f u e du g t e dt f u g t e dtdu f u g t e e dt du e f u g u e du ω ωτωωτωττωττπτππ ωπΛ-Λ-=-Λ--ΛΛ -??=-???? =-==-?????? 大致来说： (,)f G ωτ是反映的是f(t) 在时域**[,]g g g g t t ττ+-?++?和频域** [,]g g g g t t ωωΛΛΛΛ+-?++? 上的信息，相当于在时－频域上开了一个面积为 4g g Λ??的窗口。 Heisenberg 不确定性原理： 定理：设窗口函数 2222()(,),()(,),()(,),()(,) g t L tg t L g L g L ωωωΛ Λ ∈-∞+∞∈-∞+∞∈-∞+∞∈-∞+∞ 则 21 ()4 g g Λ??≥ 证明 不妨设 **?0g g t t == 22 222 ?2 2?|()||()|()?||||||||g g t g t dt g d g g ωωω∞ ∞ -∞ -∞ ??= ? ? 2224|()||'()|/||||t g t dt g t dt g ∞ ∞-∞ -∞ =?? 241|()'()||||| tg t g t dt g ∞-∞ ≥ ? 22 12422 1241(())||||11(())||||4d t g t dt g dt g t dt g ∞-∞ ∞-∞===?? 2 4()t a g t -= 当 则 21 ()4 g g Λ??≥ 中取等号 称为Gabor 变换 将Fourier 变换离散化，成为Fourier 级数,{}ikt k Z e -∈成为2[,]L a b 的一组基。而对窗 口Fourier 变换，如果离散式,()()ikt m k g t e g t m -=-, ,k m Z ∈,构成2[]L ∞∞－，＋的 一组基，则tg(t) 或()g ωωΛ 必有一个2(,)L ?-∞+∞.从而不能离散化。 科技文献检索作业 卷 试 料 小波分析及其应用 测控技术1103 雷创新 小波分析及其应用 1.小波分析的概念和特点 1.1小波理论的发展概况 20世纪80年代逐渐发展和兴起的小波分析(wavelctanalysis)是20世纪 数学领域中研究的重要杰出成果之一。小波分析理论作为数学界中一种比较成熟的理论基础，应用到了各种领域的研究当中，推动了小波分析在各工程应用中的发展。它作为一种新的现代数字信号处理算法，汲取了现代分析学中诸如样条分析、傅立叶分析、数值分析和泛函分析等众数学多分支的精华部分，替代了工程界中一直应用的傅立叶变换，它是一种纯频域分析方法，不能在时频同时具有局部化特性。而小波分析中的多尺度分析思想，犹如一台变焦照相机，可以由粗及精逐步观察信号，在局部时频分析中具有很强的灵活性，因此有“数学显微镜”的美称。它能自动随着频率增加而调节成窄的“时窗”和宽的“频窗”，又随着频率降低而调节成宽的“时窗”和窄的“频窗”以适应实际分析需要。另外，小波变换在经过适当离散后可以够成标准正交基或正交系，这些在理论和应用上都具有十分重要的意义，因此，小波分析在各个领域得到了高度的重视并取得了许多重要的成果。 小波变换作为一种数学理论和现代数字信号处埋方法在科学技术界引起了越来越多专家学者的关注和重视。在数学家看来，基于小波变换的小波分析技术是当今数值分析、泛函分析、调和分析等半个多世纪以来发展最完美的结晶，是正在发展中的新的数学分支。在工程领域，特别是在信号处理、图像处理、机器视觉、模糊识别、语音识别、流体力学、量子物理、地震勘测、电磁学、CT成像、机械故障诊断与监控等领域，它被认为是近年来在工具及方法上的重大突破。然而，小波分析虽然在众多领域中已经取得了一定的成果，但是，有专家预言小波分析理论的真正高潮并没有到来。首先，小波分析尚需进一步完善，除一维小波分析理论比较成熟以外，向量小波和多维小波则需要进行更加深入的研究与讨论;其次，针对不同情况选择不同的小波基函数，实现的效果是有差别性的这一问题，对最优小波基函数的选取方法有待进一步研究。在今后数年中，小波理论将成为科技工作者经常使用的又一锐利数学工具，极大地促进科技进步及各个领域工程应用的新发展。 小波分析的概念最早是在1974年由法国地质物理学家 J.Morlet提出的，并通过物理直观和信号处理的实际经验建立了反 2005年研究生《小波理论及应用》复习题 1． 利用正交小波基建立的采样定理适合于：紧支集且有奇性（函数本身或其导数不连续）的函数（频谱无限的函数）。Shannon 采样定理适合于频谱有限的信号。 2． 信号的突变点在小波变换域常对于小波变换系数模极值点或过零点。并且信号奇异性大小同小波变换的极值随尺度的变化规律相对立。只有在适当尺度下各突变点引起的小波变化才能避免交迭干扰，可以用于信号的去噪、奇异性检测、图象也缘提取、数据压缩等。 3． 信号在一点的李氏指数表征了该点的奇异性大小，α越大，该点的光滑性越小，α越小，该点的奇异性越大。光滑点（可导）时，它的1≥α；如果是脉冲函数，1-=α；白噪声时0≤α。 4． 做出三级尺度下正交小波包变换的二进数图，小波包分解过程？说明小波基与小波包基的区别？ 5． 最优小波包基的概念：给定一个序列的代价函数，然后在小波包基中寻找使代价函数最小的基――最优基。 6． 双通道多采样率滤波器组的传递函数为： ()()()()()()()()()()()()()z X z G z G z H z H z X z G z G z H z H z Y z Y z Y -??????-++??????+=+=∧∧∧∧212121请根据此式给出理想重建条件： 为了消除映象()z X -引起的混迭：()()()()0=-+-∧ ∧z G z G z H z H 为了使()z Y 成为()z X 的延迟，要求：()()()()k CZ z G z G z H z H -∧∧=+ （C,K 为任一常数） 7． 正交镜像对称滤波器()()n h n g ,的()jw e G 与()jw e H 以2π=w 为轴左右对称。如果知道QMF 的()n h ，能否确定()()()n h n g n g ∧ ∧,,？ ()()()n h n g n 1-= ，()()()n g n h n 1--=∧ ， ()()()n h n g n 1-=∧ 8． 试列出几种常用的连续的小波基函数 Morlet 小波，Marr 小波，Difference of Gaussian （DOG ），紧支集样条小波 9． 试简述海森堡测不准原理，说明应用意义？ 10． 从连续小波变换到离散小波变换到离散小波框架－双正交小波变换－正交变换、紧支集正交小波变换，其最大的特点是追求变换系数的信息冗余小，含有的信息量越集中。 11． 解释紧支集、双正交、正交小波、紧支集正交小波、光滑性、奇异性。 12． 已知共轭正交滤波器组（CQF ）()n h 请列出()()()n g n h n g ∧ ∧,,。 ()()() ()()()()()()???????-=--=-=---=∧∧n h n N g n g n N h n h n N h n g n n 11 13． 共轭正交滤波器()()n g n h ,的()jw e G 与()jw e H 的关系与QMF 情况 小波分析及其在通信中的应用 专业：电子信息工程 姓名：张天雷 学号：123408148 河南城建学院 2011年05月29日 小波分析及其在通信中的应用 摘要：小波分析是傅里叶分析的重大突破，是当今许多领域研究的热点。从小波分析的发展历程出发，介绍了小波在现代通信中的一些应用，并指出了未来的一些研究方向。 关键词：小波变换；傅里叶变换；小波应用；通信 小波(Wavelet)这一术语，顾名思义，“小波”就是小的波形。所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。小波分波是自1986年以来由于Meyer、Mallat和Daubechies等的奠基工作而迅速发展起来的一门新兴学科，它是傅立叶分析划时代的发展结果。与Fourier 变换相比，小波变换是时间(空间)频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier 变换的困难问题， 小波分析的目的是“既要看到森林(信号的概貌) ，又要看到树木(信号的细节) |”。因此，它被誉为“学显微镜”。 小波分析已经在图像处理、语音识别，声学，信号处理，神经生理学，磁性谐振成像，地震测量，机械故障诊断，生物医学，医疗卫生，以及一些纯数学应用如解决一些微分方程式等领域取得一系列重要应用。小波变换理论在通信中的应用研究在国际上日益受到重视。小波函数提供的一系列正交基非常适合通信系统中的信号波形设计，扩频特征波形设计，多载波传输系统的正交子信道划分等。 小波变换技术在通信系统中的信源编码、信道编码、调制、均衡、干扰抑制和多址等方面具有广阔的应用前景。 一、小波分析在通信系统中的研究动态 如何在各种信道环境下实现有效可靠的信息传输一直是通信领域关注的课 第六章小波变换的几个典型应用 6.1 小波变换与信号处理 小波变换作为信号处理的一种手段，逐渐被越来越多领域的理论工作者和工程技术人员所重视和应用，并在许多应用中取得了显著的效果。同传统的处理方法相比，小波变换取得了质的飞跃，在信号处理方面具有更大的优势。比如小波变换可以用于电力负载信号的分析与处理，用于语音信号的分析、变换和综合，还可以检测噪声中的未知瞬态信号。本部分将举例说明。 6.1.1 小波变换在信号分析中的应用 [例6-1] 以含躁的三角波与正弦波的组合信号为例具体说如何利用小波分析来分析信号。已知信号的表达式为 应用db5小波对该信号进行7层分解。xiaobo0601.m 图6-1含躁的三角波与正弦波混合信号波形 分析： （1）在图6－2中，逼近信号a7是一个三角波。 （2）在图6－3中细节信号d1和d2是与噪声相关的，而d3（特别是d4）与正弦信号相关。 图6-2 小波分解后各层逼近信号 图6-3 小波分解后各层细节信号 6.1.2 小波变换在信号降躁和压缩中的应用 一、信号降躁 1．工程中，有用信号一般是一些比较平稳的信号，噪声通常表现为高频信号。2．消躁处理的方法：首先对信号进行小波分解，由于噪声信号多包含在具有较高频率的细节中，我们可以利用门限、阈值等形式对分解所得的小波系数进行处理，然后对信号进行小波重构即可达到对信号的消躁目的。 小波分析进行消躁处理的3种方法： （1）默认阈值消躁处理。该方法利用ddencmp生成信号的默认阈值，然后利用wdencmp函数进行消躁处理。 （2）给定阈值消躁处理。在实际的消躁处理过程中，阈值往往可通过经验公式获得，且这种阈值比默认阈值的可信度高。在进行阈值量化处理时可利用函数wthresh。 （3）强制消躁处理。该方法时将小波分解结构中的高频系数全部置为0，即滤掉所有高频部分，然后对信号进行小波重构。方法简单，消躁后信号比较平滑，但易丢失信号中的有用成分。 小波阈值去噪方法是目前应用最为广泛的小波去噪方法之一。 3．信号降噪的准则： 1．光滑性：在大部分情况下，降噪后的信号应该至少和原信号具有同等的光滑性。 小波分析复习题 1、简述傅里叶变换、短时傅里叶变换和以及小波变换之间的异同。 答：三者之间的异同见表 2、小波变换堪称“数学显微镜”，为什么？ 答：这主要因为小波变换具有以下特点： 1）具有多分辨率，也叫多尺度的特点，可以由粗及精地逐步观察信号； 2）也可以看成用基本频率特性为)(ωψ的带通滤波器在不同尺度a 下对信号作滤波； 如果)(t ?的傅里叶变换是)(ωψ，则)(a t ?的傅里叶变换为)(||a a ω ψ，因此这组滤波 器具有品质因数恒定，即相对带宽（带宽与中心频率之比）恒定的特点。a 越大相当于频率越低。 3）适当的选择基本小波，使)(t ?在时域上位有限支撑，)(ωψ在频域上也比较集中，便可以使WT 在时、频两域都具有表征信号局部特征能力，因此有利于检测信号的瞬态或奇异点。 4）如)(t x 的CWT 是),(τa WT x ，则)(λt x 的CWT 是),( λ τ λλa WT x ；0>λ 此定理表明：当信号)(t x 作某一倍数伸缩时，其小波变换将在τ,a 两轴上作同一比例的 伸缩，但是不发生失真变形。 基于上述特性，小波变换被誉为分析信号的数学显微镜。 3、在小波变换的应用过程中，小波函数的选取是其应用成功与否的关键所在，请列举一些选择原则。 答：选择原则列举如下：（也即需满足的一些条件和特性） 1）容许条件 当?∞ +∞-∞<=ωω ωψ?d c 2 ) (时才能由小波变换),(τa WT x 反演原函数)(t x ，?c 便是对 )(t ?提出的容许条件，若∞→?c ，)(t x 不存在，由容许条件可以推论出：能用作基本小 波)(t ?的函数至少必须满足0)(0==ωωψ，也就是说)(ωψ必须具有带通性质，且基本小波 )(t ?必须是正负交替的振荡波形，使得其平均值为零。 2）能量的比例性 小波变换幅度平方的积分和信号的能量成正比。 3）正规性条件 为了在频域上有较好局域性，要求),(τa WT x 随a 的减小而迅速减小。这就要求)(t ?的 前n 阶原点矩为0，且n 值越大越好。也就是要求? =0)(dt t t p ?，n p ~1:，且n 值越大越好， 此要求的相应频域表示是：)(ωψ在0=ω处有高阶零点，且阶次越高越好（一阶零点就是容许条件），即)()(01 ωψω ωψ+=n ，0)(00≠=ωωψ，n 越大越好。 4）重建核和重建核方程 重建核方程说明小波变换的冗余性，即在τ-a 半平面上各点小波变换的值是相关的。 重建核方程：τττττ?? ?∞ +∞ ∞-=0 00200),,,(),(),(a a K a WT a da a WT x x ； 重建核：><== ?)(),(1)()(1),,,(0000* 00t t c dt t t c a a K a a a a ττ? ττ??????ττ 4、连续小波变换的计算机快速算法较常用的有基于调频Z 变换和基于梅林变换两种，请用 框图分别简述之，并说明分别适合于什么情况下应用。 答： 1）基于调频Z 变换 ),(2a j a n j e A e W ππ--== 运算说明： a ．原始数据及初始化：原始数据是)(k ?（1~0-=N k ）和a 值，初始化计算包括 a j e A π-=和a n j e W π2-=。 --- 1)(2N k r )2(am N π 12~2--N N 对应于：1~0-=N r 现代数字信号处理作业 小波分析及其应用 电研111 梁帅 小波分析及其应用 1.小波分析的概念和特点 1.1小波理论的发展概况 20世纪80年代逐渐发展和兴起的小波分析(wavelctanalysis)是20世纪数学领域中研究的重要杰出成果之一。小波分析理论作为数学界中一种比较成熟的理论基础，应用到了各种领域的研究当中，推动了小波分析在各工程应用中的发展。它作为一种新的现代数字信号处理算法，汲取了现代分析学中诸如样条分析、傅立叶分析、数值分析和泛函分析等众数学多分支的精华部分，替代了工程界中一直应用的傅立叶变换，它是一种纯频域分析方法，不能在时频同时具有局部化特性。而小波分析中的多尺度分析思想，犹如一台变焦照相机，可以由粗及精逐步观察信号，在局部时频分析中具有很强的灵活性，因此有“数学显微镜”的美称。它能自动随着频率增加而调节成窄的“时窗”和宽的“频窗”，又随着频率降低而调节成宽的“时窗”和窄的“频窗”以适应实际分析需要。另外，小波变换在经过适当离散后可以够成标准正交基或正交系，这些在理论和应用上都具有十分重要的意义，因此，小波分析在各个领域得到了高度的重视并取得了许多重要的成果。 小波变换作为一种数学理论和现代数字信号处埋方法在科学技术界引起了越来越多专家学者的关注和重视。在数学家看来，基于小波变换的小波分析技术是当今数值分析、泛函分析、调和分析等半个多世纪以来发展最完美的结晶，是正在发展中的新的数学分支。在工程领域，特别是在信号处理、图像处理、机器视觉、模糊识别、语音识别、流体力学、量子物理、地震勘测、电磁学、CT成像、机械故障诊断与监控等领域，它被认为是近年来在工具及方法上的重大突破。然而，小波分析虽然在众多领域中已经取得了一定的成果，但是，有专家预言小波分析理论的真正高潮并没有到来。首先，小波分析尚需进一步完善，除一维小波分析理论比较成熟以外，向量小波和多维小波则需要进行更加深入的研究与讨论;其次，针对不同情况选择不同的小波基函数，实现的效果是有差别性的这一问题，对最优小波基函数的选取方法有待进一步研究。在今后数年中，小波理论将成为科技工作者经常使用的又一锐利数学工具，极大地促进科技进步及各个领域工程应用的新发展。 小波分析的概念最早是在1974年由法国地质物理学家J.Morlet提出的，并通过物理直观和信号处理的实际经验建立了反演公示，但当时该理论未能得到数学家的认可。1986年法国数学家YMcyer偶尔构造出一个真正的小波基，并与 《水文小波分析原理及其应用》考试试题 课程编号：7.637 学分：3.0 任课教师：刘东考试形式：开卷 一、写出下列专业术语的英文表达（每小题1分，共10分） （1）小波分析: wavelet analysis； （2）小波变换：wavelet transformation； （3）小波函数：wavelet function； （4）小波消噪：Wavelet denoising； （5）小波方差：Wavelet variance ； （6）连续小波变换：Continuous wavelet transform； （7）离散小波变换：Discrete wavelet transform ； （8）小波人工神经网络模型：Wavelet artificial neural network model； （9）小波随机耦合模型：Wavelet stochastic coupling model； （10）快速小波变换算法：Fast wavelet transform algorithm。 二、论述学习“水文小波分析原理及其应用”课程的目的与意义。（10分）答：水文学是研究地球上水分分布、循环、运动等变化规律及水－环境相互作用的一门科学，属于地球科学的一个分支。水文时间序列在各种因素影响下具有确定性成分、随机成分）。水文学的一个重要研究途径就是利用现有分析技术对水文时间序列进行描述，探讨水文系统的演变规律。 小波变换克服了Fourier变换的不足，能够反映出水文时间序列在时频域上的总体特征以及时频局部化信息，被誉为“数学显微镜”。利用小波分析的多分辨率功能，可以充分挖掘水文时间序列所包含的信息，展现水文时间序列的精细结构，从而使我们更好地掌握水文时间序列的多时间尺度变化特征及突变特征。 时间序列的小波分析 时间序列（Time Series ）是地学研究中经常遇到的问题。在时间序列研究中，时域和频域是常用的两种基本形式。其中，时域分析具有时间定位能力，但无法得到关于时间序列变化的更多信息；频域分析（如Fourier 变换）虽具有准确的频率定位功能，但仅适合平稳时间序列分析。然而，地学中许多现象（如河川径流、地震波、暴雨、洪水等）随时间的变化往往受到多种因素的综合影响，大都属于非平稳序列，它们不但具有趋势性、周期性等特征，还存在随机性、突变性以及“多时间尺度”结构，具有多层次演变规律。对于这类非平稳时间序列的研究，通常需要某一频段对应的时间信息，或某一时段的频域信息。显然，时域分析和频域分析对此均无能为力。 20世纪80年代初，由Morlet 提出的一种具有时-频多分辨功能的小波分析（Wavelet Analysis ）为更好的研究时间序列问题提供了可能，它能清晰的揭示出隐藏在时间序列中的多种变化周期，充分反映系统在不同时间尺度中的变化趋势，并能对系统未来发展趋势进行定性估计。 目前，小波分析理论已在信号处理、图像压缩、模式识别、数值分析和大气科学等众多的非线性科学领域内得到了广泛的应。在时间序列研究中，小波分析主要用于时间序列的消噪和滤波，信息量系数和分形维数的计算，突变点的监测和周期成分的识别以及多时间尺度的分析等。 一、小波分析基本原理 1. 小波函数 小波分析的基本思想是用一簇小波函数系来表示或逼近某一信号或函数。因此，小波函数是小波分析的关键，它是指具有震荡性、能够迅速衰减到零的一类函数，即小波函数)R (L )t (2 ∈ψ且满足： ? +∞ ∞ -=0dt )t (ψ （1） 式中，)t (ψ为基小波函数，它可通过尺度的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系： )a b t ( a )t (2 /1b ,a -=-ψψ 其中， 0a R,b a,≠∈ （2） 式中，)t (b ,a ψ为子小波；a 为尺度因子，反映小波的周期长度；b 为平移因子，反应时间上的平移。 需要说明的是，选择合适的基小波函数是进行小波分析的前提。在实际应用研究中，应针对具体情况选择所需的基小波函数；同一信号或时间序列，若选择不同的基小波函数，所得的结果往往会有所差异，有时甚至差异很大。目前，主要是通过对比不同小波分析处理信号时所得的结果与理论结果的误差来判定基小波函数的好坏，并由此选定该类研究所需的基小波函数。 2. 小波变换 若)t (b ,a ψ是由（2）式给出的子小波，对于给定的能量有限信号)R (L )t (f 2 ∈，其连续小波变换（Continue Wavelet Transform ，简写为CWT ）为： dt )a b t ( f(t)a )b ,a (W R 2 /1-f ?-= （3） 式中，)b ,a (W f 为小波变换系数；f(t)为一个信号或平方可积函数；a 为伸缩尺度；b 平移参数；) a b x (-ψ为)a b x (-ψ的复共轭函数。 地学中观测到的时间序列数据大多是离散的，设函数)t k (f ?，（k=1,2,…,N; t ? 小波变换及应用 一． 为什么研究小波变换 傅立叶变换（Fourier Transform ，缩写为FT ）由下列公式定义： 正变换公式 ?()()i t f f t e dt ωω∞ --∞ =?? （1） 逆变换公式 ? ∞ ∞ -?= dt e f t f t i ωωπ )(?21 )( （2） 分析： 1．对于确定信号和平稳随机过程，傅立叶变换把时间域与频率域联系起来，许多在时域内难以看清的问题，在频域中往往表现得非常清楚。 2．变换积分核t i e ω±的幅值在任何情况下均为1，即1=±t i e ω，因此，频 谱)(?ωf 的任一频率点值是由时间过程)(t f 在整个时间域),(∞-∞上的贡献决定的；反之，过程)(t f 在某一时刻的状态也是由)(?ωf 在整个频率域),(∞-∞上的贡献决定的。)(t f 与)(?ωf 彼此之间是整体刻画，不能够反映各自在局部区域上的特征，因此不能用于局部分析。特别是傅立叶变换的积分作用平滑了非平稳过程的突变成分。要知道所分析的信号在突变时刻的频率成分，傅立叶变换是无能为力的。 3．实际中存在许多信号具有局部时间范围（特别是突变时刻）内的信号特征（一般是频率成分），例如，在音乐和语音信号中，人们所关心的是什么时刻奏什么音符，发出什么样的音节；图像信号中的细节信息，如边缘特征。 4．为了对非平稳信号作较好的分析，可以对信号在时域上加一个窗函数 )(τ-t g ，使其对信号)(t f 进行乘积运算以实现在τ附近的开窗，再对加窗的信 号进行傅立叶分析，这就是短时傅立叶变换（Short Time Fourier Transform, 缩写为STFT ），或者称为加窗傅立叶变换（Windowed Fourier Transform ）。STFT 定义如下： (,)()()i t f S f t g t e dt ωωττ∞ --∞ =-? （3） 姓名：学号： 课程名称：小波理论及应用 实验名称：上机实践作业 实验序号：第一次实验日期：2014.05.12 学院及专业名称： 同组人：独立完成 实验成绩：总成绩： 教师评语： 指导教师签字： 年月日 实验报告一 一、 实验目的 1、 运用傅里叶变换知识对常用的基本函数做基本变换。 2、 加深对因果滤波器的理解，并会判断因果滤波器的类型。 3、 运用卷积公式对基本信号做滤波处理并作出分析，以加深理解 4、 熟悉Matlab 中相关函数的用法 二、 实验原理 1 ．运用傅里叶正、反变换的基本公式： ( )?()() ()(),1 1?()(),22ωωωωωωωωπ π ∞∞---∞ -∞ ∞ --∞ ==== =?? ? i x i t i t i t i t f f x e dx f t e dt f t e f t f e d f t e （2-1） 及其性质，对所要处理信号做相应的傅里叶变换和逆变换。 2．运用卷积的定义式：1212()()()()+∞ -∞ *=-?f t f t f f t d τττ （2-2） 对所求信号做滤波处理。 三、 实验步骤与内容 实验题目： Butterworth 滤波器，其冲击响应函数为 ,0 ()0, 0若若α-?≥=? 2011-2012 学年第一学期 2011级硕士研究生考试试卷 课程名称：小波变换理论及应用任课教师：考试时间：分钟 考核类型：A（）闭卷考试（80%）+平时成绩（20%）； B（）闭卷考试（50%）+ 课程论文（50%）； C（√）课程论文或课程设计（70%）+平时成绩（30%）。 一、以图示的方式详细说明连续小波变换（CWT）的运算过程，分析小波变换的内涵；并阐述如何从多分辨率（MRA）的角度构造正交小波基。（20分） 二、综述小波变换理论与工程应用方面的研究进展，不少于3000字。（25分） 三、运用MATLAB中的小波函数和小波工具箱，分别对taobao.wav语音信号在加噪之后的taobao_noise.wav信号进行降噪处理，要求列出程序、降噪结果及降噪的理论依据。（25分） 四、平时成绩。（30分） （一）连续小波变换（CWT ）的运算过程及内涵 将平方可积空间中任意函数f （t ）在小波基下展开，称这种展开为函数f （t ）的连续小波变换（Continue Wavelet Transform ，简记CWT ）其表达式为 t a b t t f a b a f W d )(*)(||1),(? ∞+∞--=ψψ （ 1.1） 其中，a ∈R 且a ≠0。式（1.19）定义了连续小波变换，a 为尺度因子，表示与频率相关的伸 缩，b 为时间平移因子。其中)(| |1)(,a b t a t b a -=ψψ为窗口函数也是小波母函数。 从式（1.1）可以得出，连续小波变换计算分以下5个步骤进行。 ① 选定一个小波，并与处在分析时段部分的信号相比较。 ② 计算该时刻的连续小波变换系数C 。如图1.5所示，C 表示了该小波与处在分析时段内的信号波形相似程度。C 愈大，表示两者的波形相似程度愈高。小波变换系数依赖于所选择的小波。因此，为了检测某些特定波形的信号，应该选择波形相近的小波进行分析。 图1.5 计算小波变换系数示意图 ③ 如图1.6所示，调整参数b ，调整信号的分析时间段，向右平移小波，重复①～②步骤，直到分析时段已经覆盖了信号的整个支撑区间。 ④ 调整参数a ，尺度伸缩，重复①～③步骤。 ⑤ 重复①～④步骤，计算完所有的尺度的连续小波变换系数，如图1.7所示。 图1.6 不同分析时段下的信号小波变换系数计算 图1.7 不同尺度下的信号小波变换系数计算 C =0.2247 小波分析理论简介 （一） 傅立叶变换伟大的历史贡献及其局限性 1 Fourier 变换 1807年，由当年随拿破仑远征埃及的法国数学、物理学家傅立叶（Jean Baptistle Joseph Fourier ,1786-1830),提出任意一个周期为T (=π2)的函数 )(t f ，都可以用三角级数表示： )(t f = ∑∞ -∞=k ikt k e C = 20 a + ∑∞=1cos k k kt a + ∑∞ =1 sin k k kt b (1) k C = π 21 ? -π 20 )(dt e t f ikt = * ikt e f , (2) k k k C C a -+= )(k k k C C i b --= (3) 对于离散的时程 )(t f ，即 N 个离散的测点值 m f ，=m 0,1，2，……,N-1, T 为测量时间： )(t f =2 0a + )sin cos (12 1∑-=+N k k k k k t b t a ωω+t a N N 2 2cos 21 ω=∑-=1 0N k t i k k e C ω （4） 其中 ∑-== 1 02cos 2 N m m k N km x N a π ，=k 0，1，2，…,2N (5) ∑-== 1 2sin 2N m m k N km x N b π , =k 1,2,…, 2N -1 (6) ∑-=-= 1 )/2(1N m N km i m k e x N C π ，=k 0，1，2，…,N-1 (7) t N k k ?=π ω2 ，N T t =? (8) 当T ∞→ 时，化为傅立叶积分（即 Fourier 变换）： ? ∞ ∞ --= dt e t f f t i ωω)()( =t i e f ω, （9） ωωπ ωd e f t f t i )(21 )(? ∞ ∞ -= (10) 现代数学讲座 小波变换及其应用 李世雄 (安徽大学数学系 合肥 230039) 科学技术的迅速发展使人类进入了信息时代。在信息社会中人们在各种领域中都会涉及各种信号(语音,音乐,图像,金融数据,……)的分析、加工、识别、传输和存储等问题。长期以来,傅里叶变换一直是处理这方面问题最重要的工具,并且已经发展了一套内容非常丰富并在许多实际问题中行之有效的方法。但是,用傅里叶变换分析处理信号的方法也存在着一定的局限性与弱点,傅里叶变换提供了信号在频率域上的详细特征,但却把时间域上的特征完全丢失了。小波变换是80年代后期发展起来的新数学分支,它是傅里叶变换的发展与扩充,在一定程度上克服了傅里叶变换的弱点与局限性。本文从信号分析与处理的角度来介绍小波变换的基本理论与应用,使具有微积分基础的读者通过本文能对这一新的数学分支有一初步了解。小波变换在函数论、微分方程、数值计算等方面也有着重要的应用,有兴趣的读者可参看[1][4]。 (一)从傅里叶变换谈起 数学中经常用变换这一技巧将问题由繁难化为简易,初等数学中用对数将较繁难的乘除法化为简易的加减法就是很典型的一个例子。而傅里叶变换(简称FT )则是利用积分将一个函数f (t )(-∞ 小波分析的应用及其MATLAB程序的实现摘要：在简单介绍小波分析的发展的基础上，对傅立叶变换和小波变换比较分析，介绍了小波分析在实际生活中的应用，重点阐述了MA的应用研究现存的几个TLAB小波分析信号处理的方法．分析了小波分析在故障诊断中问题，并对解决这些问题和未来的发展进行了探讨。 关键词：小波分析；信号处理；MATLAB 1.引言 故障诊断中的首要问题就是对观测信号的故障特征提取,即对观测信号进行信号处理，从中获取反映故障信息的特征。由于故障诊断中所遇到的信号绝大多数都是非平稳信号，而特别适用于非平稳信号处理的工具就是小波分析，所以小波分析在故障诊断中的应用越来越受到人们的青睬。小波变换的基本思想类似于傅立叶变换，小波分析优于博立叶之处在于它能够实现时域和频域的局部分析，即通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析，从而可以聚焦到信号的任意细节。因此，小波变换被誉为分析信号的微镜。现在，小波分析技术在信号处理、图像处理、语音分析、模识别、量子物理、生物医学工程、计算机视觉、故障诊断及众多非线性科学领域都有广泛的应用。 2、从傅立叶变换到小波变换 小波分析属于时频分析的一种，传统的信号分析是建立在傅立叶变换的基础上的，由于傅立叶分析使用的是一种全局的变换，要么完全在时域，要么完全在时域，要么完全在频域，因此无法表述信号的时频局域性质，而这种性质恰恰是非平稳信号最根本和最关键的性质。为了分析和处理非平稳信号，人们对傅立叶分析进行了推广乃至根本性的革命，提出并发展了一系列新的信号分析理论：短时傅立叶变换、Gabor变换、时频分析、小波变换、分数阶傅立叶变换、线调频小波变换、循环统计量理论和调幅-调频信号分析等。其中，短时傅立叶变换和小波变换也是应传统的傅立叶变换不能够满足信号处理的要求而产生的。短时傅立叶变换分析的基本思想是：假定非平稳信号在分析窗函数g（t）的一个短时间间隔内是平稳（伪平稳）的，并移动分析窗函数，使) g t f在不同的有限 ( t ) (τ - 时间宽度内是平稳信号，从而计算出各个不同时刻的功率谱。但从本质上讲，短 《小波分析及其应用》（孙延奎，2005）第5章 可分离二维小波变换算法实现的问题与讨论 孙延奎 摘要：总结分析可分离二维小波变换算法实现的细节，澄清一些概念与问题，纠正例5-2中“转置”的错误，回答读者的问题。 教材中三个方向小波的定义： 12 3(,)()() (,)()()(,)()()x y x y x y x y x y x y ψφψψψφψψψ?=?=??=? ,11,22,33 ,,,,,,,,,,,,(,)j j j j k m j k m k m j k m k m j k m k m k m k m g x y d d d ψψψ=++∑∑∑ （5.5） 经简单计算可得， 1 ,1,,,11,,,,22 ,,,,33 ,,,,,,,j k m j k m j k m j k m j k m j k m j k m j k m c f d f d f d f ?ψψ ψ++?=??=??=??= ?? 我们称序列 {},1 ,2,3,,,j j j j c d d d 为1j c +的（一级）二维小波变换。下面讨论二维小波变换 的快速算法。 设一维多分辨分析 {}j V 的两尺度方程和小波方程为： ( )() ( )() 22k k k k t h t k t g t k φφψφ=-=- 其中， {} k h 为实滤波器，()11k k k g h -=-。则类似一维正交多分辨分析的推导，由 1,11,22,33 1,1,,,,,,,,,,,,,,,(,)j j j j j k m j k m k m j k m k m j k m k m j k m k m k m k m k m f x y c d d d φψψψ+++=+++∑∑∑∑ 摘要 摘要 小波分析是一门正在迅速发展的新兴学科，目前，它在实际中得到了广泛的应用。研究小波的新理论、新方法以及新应用具有重要的理论意义和实用价值。 本文在简述了小波发展历史和小波的基本理论知识后，对以小波为工具进行数字图像处理进行了有益的探索。最后详细介绍了基于阈值的小波分析的图像去噪算法及其在信号处理中的应用。 关键字：小波分析研究现状应用图像去噪阈值 ABSTRACT ABSTRACT Wavelet analysis is a rapidly developing and novel subject. Nowadays，it has been widely used in practical applications. To study the new theory，methods and applications of wavelet is of great theoretical significance and practical value. After a brief description of the history of wavelet development and the basic theoretical knowledge of wavelet，this paper makes valid probe towards digital image processing using wavelet. Finally，this paper analysis and study of the classical thresholding denoising methods and the new scopes of wavelet applications. key word: Wavelet Analysis , Research Status , Application , Signal Denoising, Thresholding 第八章 小波分析及应用 8.1 引言 把函数分解成一系列简单基函数的表示，无论是在理论上，还是实际应用中都有重要意义。 1822年法国数学家傅里叶(J. Fourier 1768-1830)发表的研究热传导理论的“热的力学分析”，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数理论的基础[1]。傅里叶级数理论研究的是把函数在三角函数系下的展开，使得对信号和系统的研究归结为对简单的三角函数的研究。傅里叶级数与傅里叶变换共同组成了平常所说的傅里叶分析[2]。傅里叶级数用于分析周期性的函数或分布，理论分析时经常假定周期是π2，定义如式(8.1-1)、(8.1-2) ()()π2,02 L x f ∈?，()∑∞ -∞ == k ikx k e c x f (8.1-1) 其中 ()dx e x f c ikx k -?=π π20 21 (8.1-2) 然而，被分析函数的性质并不能完整地由傅里叶系数来刻划，这里有一个例子来说明[3]：从任一个平方可和的函数)(x f 出发，为了得到一个连续函数)(x g ，只需或者增大f(x)的傅里叶系数的模，或者保持它不变并适当地改变系数的位相。因此，不可能仅根据傅里叶系数大小的阶就预知函数的性质（如大小、正则性）。 傅里叶变换的定义如式(8.1-3)、(8.1-4) ()()dx e x f F x j ωω? ∞∞ -= (8.1-3) ()()ωωπ ωd e F x f x j -∞∞-?= 21 (8.1-4) 通过引入广义函数或分布的概念，可获得奇异函数（如冲击函数）的傅里叶变换的存在。对于时域的常量函数，在频域将表现为冲击函数，表明具有很好的频域局部化性质。由式(8.1-3)可知，为了得到()ωF ，必须有关于f(x)的过去和未来的所有知识，而且f(x)在时域局部值的变化会扩散到整个频域，也就是()ωF 的任意有限区域的信息都不足以确定任意小区域的f(x)。在时域，哈尔(Haar)基是一组具有最好的时域分辨能力的正交基，它在时域上是完全局部化的，但在频域的局部化却很不好，这是由于哈尔系的两个缺点：缺乏正则性与缺乏振动性。研究者们希望寻找关于空间变量（或时间变量）与频域变量都同时好的希尔伯特(Hilbert)基，R. Balian 认为：“在通讯理论中，人们对于在完全给定的时间内，把一个振动信号表示成由其中每一个都拥有足够确定的位置与有一个频率的小波的叠加这件事感兴趣。事实上，有用的信息常常同时被发射信号的频率与信号的时间结构（如音乐）所传递。当把一个信号表达成时间的函数时，其中的频谱表现并不好；相反地，信号的傅里分析却显示不了信号每一分量发射信号的瞬时与持续时 小波分析及其应用Wavelet Analysis and It’s Applications 同济大学计算机系 宣国荣 2003年6月10日星期二 研究生讲座：小波分析及其应用 1、小波的特点和发展 2、小波分析在一维信号处理中的应用 3 、小波分析在图象分析中的应用 图象特征抽取 图象压缩 数据隐藏和图象水印 1、小波的特点和发展 “小波分析”是分析原始信号各种变化的特性，进一步用于数据压缩、噪声去除、特征选择等。 例如歌唱信号：是高音还是低音，发声时间长短、起伏、旋律等。从平稳的波形发现突变的尖峰。小波分析是利用多种“小波基函数”对“原始信号”进行分解。 小波的时间和频率特性 时间A时间B 运用小波基，可以提取信号中的“指定时间”和“指定频率”的变化。 ?时间：提取信号中“指定时间”（时间A或时间B）的变化。顾名思义，小波在某时间发生的小的波动。?频率：提取信号中时间A的比较慢速变化，称较低频率成分；而提取信号中时间B的比较快速变化，称较 高频率成分。 小波的成就 小波分析是纯数学、应用数学和工程技术的完美结合。从数学来说是大半个世 纪“调和分析”的结晶（包括傅里叶 分析、函数空间等）。 小波变换是20世纪最辉煌科学成就之一。 在计算机应用、信号处理、图象分析、 非线性科学、地球科学和应用技术等 已有重大突破，预示着小波分析进一 步热潮的到来。 多分辨度分析（MRA）?1988年Mallat 提出的多分辨度分析理论，统一了几个不相关的领域：包括 语音识别中的镜向滤波，图象处理中 的金字塔方法，地震分析中短时波形 处理等。 ?当在某一个分辨度检测不到的现象，在另一个分辨度却很容易观察处理。 例如： 小波分析理论简介 小波分析理论简介 刘玉民 （一） 傅立叶变换伟大的历史贡献及其局限性 1 Fourier 变换 1807年，由当年随拿破仑远征埃及的法国数学、物理学家傅立叶（Jean Baptistle Joseph Fourier ,1786-1830),提出任意一个周期为T (=π2)的函数)(t f ，都可以用三角级数表示： ) (t f = ∑∞ -∞ =k ikt k e C = 2 0a + ∑∞ =1 cos k k kt a + ∑∞ =1 sin k k kt b (1) k C = π 21?-π 20 )(dt e t f ikt = * ikt e f , (2) k k k C C a -+= ) (k k k C C i b --= (3) 对于离散的时程 )(t f ，即 N 个离散的测点值 m f ，=m 0,1，2，……,N-1, T 为测量时间： ) (t f = 2 0a +) sin cos (12 1 ∑-=+N k k k k k t b t a ωω+ t a N N 2 2 cos 21 ω= ∑-=10 N k t i k k e C ω （4） 其中 ∑-== 1 2cos 2 N m m k N km x N a π ，=k 0，1，2，…,2 N (5) ∑-== 1 2sin 2N m m k N km x N b π , =k 1,2,…, 2 N -1 (6) ∑-=-= 1 )/2(1N m N km i m k e x N C π ，=k 0，1，2，…,N-1 (7) t N k k ?=π ω2 ，N T t =? (8) 当T ∞→ 时，化为傅立叶积分（即 Fourier 变换）： ?∞∞ --= dt e t f f t i ωω)()() = t i e f ω, （9） ω ωπ ωd e f t f t i )(21)(? ∞ ∞ -= ) (10) 傅立叶变换的理论是人类数学发展史上的一个里程碑，从1807 年开始，直到1966年(1807年傅立叶提出任意一个周期函数都可以表示为傅立叶级数的结论是有误的，直到1966年才证明了2L 可积的周期函数才能表示为傅立叶级数)，整整用了一个半世纪多，才发展成熟。她在各个领域产生了深刻的影响，得到了广泛的应用，推动了人类文明的发展。其原因是，傅立叶理论不仅仅在数学上有很大的理论价值，更重要的是傅立叶变换或傅立叶积分得到的频谱信息具有物理意义。所以说，傅立叶理论是万古流芳的。 数学上的插值方法。 除傅立叶级数外，还有拉格朗日插值，有限元插值，勒让德多项式插值即高斯积分使用的插值方法。 遗憾的是，这种理论具有一定的局限性： （1） 傅立叶变换的三种形式中的傅立叶系数都是常数，不随时间 t 变化，因而只能处理频谱成分不变的平稳信号，相反的，在处理非平稳信号时会【免费下载】小波分析及其应用
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