专升本《高等数学》试题和答案
安徽省2012年普通高等学校专升本招生考试
高等数学
注意事项：
1．试卷共8页，请用签字笔答题，答案按要求写在指定的位置。 2．答题前将密封线内的项目填写完整。
一、选择题（下列每小题的选项中，只有一项是符合题意的，请将表示该选项的字母填在题后的括号内。共10小题，每小题3分，共30分）
1.若函数???
??>+≤=0,sin 0,3)(x a x
x x e x f x 在0=x 在处连续，则=a （ C ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
解：由)0()00()00(f f f =-=+得231=?=+a a ,故选C.
2.当0→x 时，与函数2
)(x x f =是等价无穷小的是（ A ） A. )1ln(2
x + B. x sin C.
x tan D. x cos 1-
解：由11ln(lim 1ln()(lim )
22
0)20=+=+→→x x x x f x x ,故选A.
3.设)(x f y =可导，则'-)]([x e f =（ D ）
A. )(x
e
f -' B. )(x e f -'- C. )(x x e f e --' D. )(x x e f e --'-
解：)()()()]([x x x x x e f e e e f e f -----'-='?'=',故选D.
4.设
x 1是)(x f
的一个原函数，则?=dx x f x )(3
（ B ） A.
C x +2
2
1 B. C x +-221 C. C x +331 D. C x x +ln 414
解：因x 1是)(x f
的一个原函数,所以211)(x x x f -='
???
??=,所以
C x xdx dx x f x +-=-=??23
2
1)(
故选B. 5.下列级数中收敛的是（ C ）
A. ∑∞
=-1
374n n
n n B. ∑
∞
=-1
2
31
n n C.
∑∞
=13
2
n n
n D. ∑∞
=1
21sin
n n
解：因121
)1(lim 212
2)1(lim 33313
<=+=+∞→+∞→n n n n n n n n ,所以∑∞=132n n n 收敛,
故选C.
6.交换?
???+=
10
2121
1
21),(),(y y
y
dx y x f dy dx y x f dy I 的积分次序，则下列各项正确的
是（ B ） A. ??
1
22
),(x
x dy y x f dx B.
??
10
22
),(x x dy y x f dy C.
?
?2
1
22
),(x x dy y x f dx D.
?
?
2
1
22
),(x x dy y x f dx
解：由题意画出积分区域如图:故选B.
7.设向量21,αα是非齐次线性方程组AX =b 的两个解，则下列向量中仍为该方程组解的是（ D ） A.
21αα+ B. 21αα- C. 212αα+ D. 212αα-
解：因,2)(2121b b b A A A =+=+=+αααα同理得
,0)(21=-ααA ,3)2(21b A =+αα,)2(21b A =-αα
故选D.
8.已知向量)2,5,4,0(),0,,0,2(),1,1,2,1(321--==-=αααk 线性相关,则=k （ D ）
A. -2
B. 2
C. -3
D. 3
解:????? ??+--+--→????? ??---+--→????? ?
?---=????? ??03002240112125402240112
12540002112132
1k k k k ααα 由于123,,ααα线性相关,所以123(,,)2r ααα≤,因此3=k
9.设B A ,为事件，且,2.0)(,4.0)(,6.0)(===AB P B P A P 则=)(B A P （ A ） A.0.2 B. 0. 4 C. 0.6
D. 0.8
解:
2.0)]()()([1)(1)()(=-+-=+-=+=AB P B P A P B A P B A P B A P 10.有两个口袋,甲袋中有3个白球和1个黑球,乙袋中有1个白球和3个黑球.现从甲袋中任取一个球放入乙袋，再从乙袋中任取一个球,则取出白球的概率是（ B ） A.
163 B. 207 C. 41 D. 2
1 解: 由全概率公式得20
7
51415243=
?+?=
p
二、填空题(本题共10小题，每小题3分，共30分，把答案填在题中横线上。)
11．设函数2161
31arcsin
x
x y --
-=，则函数的定义域为)4,2[-. 解：424
442016,131
12<≤-????<<-≤≤-?>-≤-≤
-x x x x x .
12．设曲线22-+=x x y 在点M 处的切线斜率为3,则点M 的坐标是)0,1(. 解：12+='x y ，由1312=?=+='x x y ，从而0=y ，故填)0,1(.
13．设函数x x y arctan =，则=
''y 2
2)
1(2
x +. 解：2
1arctan x x x y ++=',2222222)1(2
)1(2111x x x x x y +=
+-+++=''. 14
．
=+?dx x
x 2012)1(ln C x ++2013)1(ln 2013
.
解：
C x x d x dx x x ++=++=+??
2013
)1(ln )1(ln )1(ln )1(ln 20132012
2012.
15．=?∞++-dx xe x 01= e . 解：
e dx xe e dx xe x x ==?
?
+∞-∞++-0
1.
16．幂级数∑∞
=-15
)2(n n n
n x 的收敛域为)7,3[-.
解：由152215lim 5)2(15)2(lim )()(lim 11
1<-=-+=-+-=∞→++∞→+∞→x x n n n
x n x x u x u n n n n n n n
n n . 得73<<-x 级数收敛,
当3-=x 时,级数为∑∞
=-1)1(n n n 收敛; 当7=x 时,级数为∑∞
=1
1
n n 发散;
故收敛域为)7,3[-.
17．设A 是n 阶矩阵，E 是n 阶单位矩阵，且，032=--E A A 则=--1
)2(E A E A +.
解：
)()2())(2(031
2
E A E A E E A E A E A A +=-?=+-?
=---
18．设????
?
?
?-=10010
111
0A ，记1-A 表示A 的逆矩阵, *
A 表示A 的伴随矩阵,则 =-*1)(A ???
?
?
??----100101110.
19．设型随机变量),8,1(~N X 且),()(c X P c X P ≥=<则c = 1.
解：由正态分布的对称性得1==μ
c .
20．设型随机变量X 在区间]4,2[上服从均匀分布,则方差=
)(X D 3
1.
解：直接由均匀分布得3
1
12)24()(2=-=X D .
三、计算题：本大题共8小题，其中第21-27题每题7分，第28题11分，共60分。
21．计算极限x x
x x 20tan sin lim
-→.
解：原式= 20sin lim x
x
x x -→ =x
x
x 2cos 1lim
0-→
=2
sin lim 0x
x →=0.
22．求由方程xy y x =确定的隐函数的导数dx
dy
. 解：两边取对数得y x y x ln ln ln +=, 两边求导得y y
x y y x y '+='+
11ln , 从而
)
1()
ln 1(--=
x x y x y dx dy . 23．计算定积分
?
-22
2
2
1
1dx x x
解：令t x sec =,则,tan sec tdt t dx =当2=x 时, 4
π
=
t ;当2=x 时, 3
π
=
t .
所以原式= ?3
4
2
tan sec tan sec π
πdt t t t
t = ?34
cos π
πtdt = =|34
sin π
πt =
)23(2
1
-.
24．求微分方程02=--'x e y y 的通解.
解：原方程可整理为x
e y y =-'2
这是一阶线性微分方程,其中x
e x Q x P =-=)(,2)(. 所以原方程的通解为
??
????+??
=?-C dx e x Q e y dx x P dx x P )()()( )(22C dx e e e dx
x dx
+??
=?-.
)(2C dx e e x x +
=?-)(2C e e x x +-=-
x x Ce e 2+-=
25．计算二重积分
??D
yd x
σ2
,其中D 是由直线222===xy x y x 和、所围成的区
域.
解：区域D 如图阴影部分所示.
故
??
D
yd x σ2
??=x
x
y y x x 22221
d d
?=
212222d 21|y y x x
x
?-=
214)d 44(2
1x x |215
)252(x x -=5
210=.
26．设矩阵?????
??---=320031
10
1
A ，,231????
? ??=B 且满足X B A B AX +=+2
,求矩阵X .
解：由X B A B AX +=+2可得B E A E A B E A X E A ))(()()(2+-=-=-
因024
2
041
1
00
||≠-=---=-E A ,所以E A -可逆,
因此B E A X )(+=????? ???????
?
?---=23122
0021
102????
? ??-=250
27．设行列式13
21
312132113211
)(++++=
x x x x x D ,求)(x D 在0=x 处的导数.
解：1
3273127321732171
321
3
12132113211
)(+++++++=++++=
x x x x x x x x x x x x D
2
1
1
10111001000
1)
7(1
3
2
1
3121321
13211
)
7(--+=++++=x x x x x x x x
)23)(7()2)(1)(7(22+-+=--+=x x x x x x x x .
故)32)(7()23)(72()(22-+++-+='x x x x x x x D . 从而14)0(='D
.
28．已知离散型随机变量X 的密度函数为?????
????≥<≤<≤<=.2,1,21,
21,10,,0,
0)(x
x x a x x F 且数学期望
3
4
)(=
X E . 求: (1) a 的值; (2) X 的分布列；(3)方差D (X )．
解：(1) 由分布函数的性质知,随机变量X 的可能取值为0、1、2，且
21)2(,21)1(,)0(==-=
===X P a X P a X P 因3
4
23212)21(10)(=-=?+-?+?=a a a X E
所以61
=a .
(2) 由（1）即得
(3) 3
223160)(2
222=?+?+?=X E ,
四、证明题与应用题：本大题共3小题，每小题10分，共30分。 29．设)(2y
x f xy u =，其中)(t f 可微，u y
z
y x z x
3:=??+??证明. 证明：因为
y
y x f xy y x f y x u 1
)()(22?'+=?? ),()(2
y
x f xy y x
f y '+=
???
? ??-?'+=??22)()(2y x y x f xy y x xyf y u )()(22y
x f x y x xyf '-=,
故)()(2)()(2222y
x
f y x y x f xy y x f y x y x f xy y u y x u x
'-+'+=??+??
)(32
y
x f xy =u 3=. ????(9分)
30．设D 是由曲线e x x y ==,ln 及x 轴所围成的的平面区域
求: (1) 平面区域D 的面积S
; (2) D 绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积V ． 解:区域D 如图阴影部分所示。曲线x y ln =与x 轴及 e x =的交点坐标分别为)1,(),0,1(e （1）平面区域D 的面积
1)ln (d ln |1
1
=-==?e
e
x x x x x S .
（2）D 绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积V
).
1(2
2
d d )(121
22
1
22
1
22
|
+=
-
==-=-??=??e e
e y e e y
e e V y y y π
π
πππππ
31．证明不等式：当e b a >>时，
)71828.2(ln ln ≈< a a b a b . 证明: 设),(,ln )(+∞∈=e x x x x f ,则),(,0ln 1)(+∞∈>+='e x x x f , 所以),(ln )(+∞∈=e x x x x f 在上单调递增,从而当当e b a >>时,有 )()(b f a f >,即b b a a ln ln >,即 b a a b