高中导数大题专题复习
高中导数大题专题复习
一、导数的基本应用
（一）研究含参数的函数的单调性、极值和最值
基本思路：定义域 →→ 疑似极值点 →→ 单调区间 →→ 极值 →→ 最值 基本方法： 一般通法：利用导函数研究法
特殊方法：（1）二次函数分析法；（2）单调性定义法
【例题】（2008北京理18/22）已知函数2
2()(1)x b
f x x -=-，求导函数()f x '，并确定()f x 的
单调区间．
本组题旨在强化对导函数零点进行分类讨论的意识、能力和技巧 【例题】（2009北京文18/22）设函数3
()3(0)f x x ax b a =-+≠. （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值点.
【例题】（2009天津理20/22）已知函数2
2
()(23)(),x
f x x ax a a e x R =+-+∈其中a R ∈. （II ）当2
3
a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值.
【例题】（2008福建文21/22）已知函数3
2
()2f x x mx nx =++-的图象过点(1,6)--，且函数()()6g x f x x '=+的图象关于y 轴对称.（Ⅰ）求m n 、的值及函数()y f x =的单调区间；（Ⅱ）若0a >，求函数()y f x =在区间(1,1)a a -+内的极值.
【例题】（2009安徽文21/21）已知函数2
()1ln f x x a x x
=-+-，a ＞0， (I)讨论()f x 的单调性;
(II)设a=3，求()f x 在区间[1，2
e ]上值域.其中e=2.71828…是自然对数的底数.
（二）利用函数的单调性、极值、最值，求参数取值范围
基本思路：定义域 →→ 单调区间、极值、最值 →→ 不等关系式 →→ 参数取值范围 基本工具：导数、含参不等式解法、均值定理等
【例题】（2008湖北文17/21）已知函数3
2
2
()1f x x mx m x =+-+（m 为常数，且m >0）有极大值．．．．9．
． （Ⅰ）求m 的值；
（Ⅱ）若斜率为5-的直线是曲线()y f x =的切线，求此直线方程．
【例题】（2009四川文20/22）已知函数3
2()22f x x bx cx =++-的图象在与x 轴交点处的切线方程是510y x =-.
（I ）求函数()f x 的解析式； （II ）设函数1
()()3
g x f x mx =+
，若．()g x 的极值存在．．．．．，求实数m 的取值范围以及函数()g x 取得极值时对应的自变量x 的值.
★【例题】（2008全国Ⅱ文21/22） 设a ∈R ，函数2
33)(x ax x f -=． （Ⅰ）若2=x 是函数)(x f y =的极值点，求a 的值；
（Ⅱ）若函数()()()[02]g x f x f x x '=+∈，，，在0=x 处取得最大值，求a 的取值范围．
★【例题】（2009陕西理20/22）已知函数1()ln(1),01x
f x ax x x
-=++≥+，其中0a > （Ⅱ）求()f x 的单调区间；
（Ⅲ）若()f x 的最小值为1，求a 的取值范围.
（三）导数的几何意义
（2008海南宁夏文21/22）设函数()b
f x ax x
=-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --=.
（Ⅰ）求()y f x =的解析式；
（Ⅱ）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值.
二、导数应用的变式与转化 （一）函数的零点存在与分布问题
问题设置：根据函数零点或方程实数根的个数求参数取值范围 基本方法： 通性通法：函数最值控制法
特殊方法：（1）二次函数判别式法；（2）零点存在性定理
二次函数
（1） 本组题旨在加深对二次函数零点存在性与分布问题的认识； （2） 本题旨在提升对函数与方程关系问题的认识水平； （3） 研究二次函数零点分布问题时，除了判别式法以外，应补充极值（最值）控制法，为
三次函数零点分布研究做方法上的铺垫.
【例题】（2009广东文21/21）已知二次函数)(x g y =的导函数的图像与直线2y x =平行，且)(x g y =在x =－1处取得最小值m －1(m 0≠).设函数x
x g x f )
()(=
（1）若曲线)(x f y =上的点P 到点Q(0,2)的距离的最小值为2,求m 的值； （2）)(R k k ∈如何取值时,函数kx x f y -=)(存在零点．．．．,并求出零点.
【例题】（2009重庆文19/21）已知2
()f x x bx c =++为偶函数，曲线()y f x =过点(2,5)，
()()()g x x a f x =+．（Ⅰ）求曲线()y g x =有斜率为．．．．0．的切线．．．
，求实数a 的取值范围；
【例题】(07广东文21/21)已知a 是实数，函数()a x ax x f --+=3222
，如果函数()x f y =在．
区间．．[]1,1-上有零点．．．．，求a 的取值范围.
【例题】（2009浙江文21/22）已知函数32
()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R ． （I ）若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求,a b 的值； （II ）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调．．．，求a 的取值范围．
三次函数
（1） 本组题旨在加深对二次函数零点存在性与分布问题的认识； （2） 本题旨在提升对函数与方程关系问题的认识水平；
（3） 本组题旨在加深对二次函数、三次函数零点分布问题的认识，进而深化对导数方法、
极值、最值的理解.
【例题】（2009陕西文20/22）已知函数3
()31,0f x x ax a =--≠ （I ）求()f x 的单调区间；
（II ）若()f x 在1x =-处取得极值，直线y=m 与()y f x =的图象有三个不同的交点．．．．．．．．．．
， 求m 的取值范围.
【例题】（2007全国II 理22/22）已知函数3
()f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；（2）设0a >，若过点()a b ，可作曲线．．．．()y f x =的三条切线．．．．．，证明：()a b f a -<<
（二）不等式恒成立与存在解问题
问题设置：当不等关系在某个区间范围内恒成立或存在解为条件，求参数的取值范围 基本思路：转化为函数最值与参数之间的不等关系问题 基本方法： 通性通法：变量分离法、变量转换、最值控制法
特殊方法：二次函数判别式法、二次函数根的分布研究
【例题】（2009江西文17/22）设函数3
2
9()62
f x x x x a =-
+-． （1）对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值
【例题】（2008安徽文20/22）设函数32
3()(1)1,32
a f x x x a x a =
-+++其中为实数. （Ⅰ）略；（Ⅱ）若'
2
()1f x x x a >--+对任意(0,)a ∈+∞都成立，求实数x 的取值范围.
【例题】（2008山东文21/22）设函数21
32()x f x x e
ax bx -=++，已知2x =-和1x =为()
f x 的极值点．
（Ⅱ）讨论()f x 的单调性； （Ⅲ）设32
2()3
g x x x =-，试比较()f x 与()g x 的大小．
（2007湖北理20/21）已知定义在正实数集上的函数2
1()22
f x x ax =
+，2()3ln g x a x b =+，其中0a >．设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，且在该点处的
切线相同．
（三）“零点存在与分布问题”与“恒成立、存在解问题”之间的关系
（1） 研究对象的本质相同，因此解题方向一致：函数的极值或最值控制是解决这两类问题
的通性通法，针对特殊类型的函数，如二次函数，又都可以用相应的函数性质进行研究； （2） 研究对象的载体不同，因此解题方法不同：前者是函数与其所对应的方程之间关系的
问题，后者是函数与其所对应的不等式之间关系的问题；
（3）原型问题是根本，转化命题是关键：二者都可以进一步衍生出其他形式的问题，因此
往往需要先将题目所涉及的问题转化为原型问题，然后利用通性通法加以解决，在转化过程中应注意命题的等价性.
【例题】（2009天津文21/22）设函数0),(,)1(3
1)(223
>∈-++-=m R x x m x x x f 其中 （Ⅰ）略；（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；
（Ⅲ）已知函数)(x f 有三个互不相同的零点0，21,x x ，且21x x <.若对任意的],[21x x x ∈，
)1()(f x f >恒成立，求m 的取值范围.
四、其它形式的问题
【例题】（2008陕西文22/22）设函数3222
()1,()21,f x x ax a x g x ax x =+-+=-+其中实数
0a ≠．
（Ⅰ）若0a >，求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）当函数()y f x =与()y g x =的图象只有一个公共点且()g x 存在最小值时，记()g x
的最小值为()h a ，求()h a 的值域；
（Ⅲ）若()f x 与()g x 在区间(,2)a a +内均为增函数，求a 的取值范围．
【例题】（2008湖南文21/21）已知函数43219
()42
f x x x x cx =+-+有三个极值点. （I ）证明：275c -<<；
（II ）若存在实数c ，使函数)(x f 在区间[],2a a +上单调递减，求a 的取值范围.
（2008辽宁文22/22）设函数322
()31()f x ax bx a x a b =+-+∈R ，在1x x =，2x x =处
取得极值，且122x x -=．
（Ⅰ）若1a =，求b 的值，并求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若0a >，求b 的取值范围．
高三数学培优补差辅导专题讲座-集合、函数与导数单元易错题分析与练习p
集合与函数、导数部分易错题分析 1．进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解. 2．你会用补集的思想解决有关问题吗？ 3．求不等式（方程）的解集，或求定义域（值域）时，你按要求写成集合的形式了吗？ [问题]:{}1|2-=x y x 、{ }1|2-=x y y 、{}1|),(2-=x y y x 的区别是什么？ 4．绝对值不等式的解法及其几何意义是什么？ 5．解一元一次不等式（组）的基本步骤是什么？ [问题]:如何解不等式：()0122>--b x a ？ 6．三个二次（哪三个二次？）的关系及应用掌握了吗？如何利用二次函数求最值？注意到对二次项系数及对 称轴进行讨论了吗？ 7．简单命题与复合命题有什么区别？四种命题之间的相互关系是什么？如何判断充分与必要条件？ [问题]：请举例说明“否命题”与“命题的否定形式”的区别. 什么是映射、什么是一一映射？ [问题]：已知：A={1，2，3}，B={1，2，3}，那么可以作 个A 到B 上的映射，那么可以作 个 A 到 B 上的一一映射. 9．函数的表示方法有哪一些？如何判断函数的单调性、周期性、奇偶性？单调性、周期性、奇偶性在函数的 图象上如何反应？什么样的函数有反函数？如何求反函数？互为反函数的图象间有什么关系？求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，你注明函数的定义域了吗？ [问题]：已知函数()[],9,1,2log 3∈+=x x x f 求函数()[]() 22x f x f y +=的单调递增区间.（你处理函数问题是是否将定义域放在首位） [问题]：已知函数()()的函数x g y x x x f =-+=,132图象与()11+=-x f y 的图象关于直线()的值对称，求11g x y =. 10、如何正确表示分数指数幂？指数、对数的运算性质是什么？ 11、你熟练地掌握了指数函数和对数函数的图象与性质吗? [问题]：已知函数()[)+∞∈=,3log x x x f a 在上，恒有()1>x f ，则实数的a 取值范围是： 。 12．你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗？（定义法、导数法） 13．如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小；②解抽象函数不等式；③求参数的范围（恒 成立问题）.这几种基本应用你掌握了吗？ [问题]：写出函数)0()(>+=m x m x x f 的图象及单调区间.],[d c x ∈时,求函数的最值.这种求函数的最值的方法与利用均值不等式求函数的最值的联系是什么？ [问题]：证明“函数)(x f 的图象关于直线a x =对称”与证明“函数)(x f 与函数)(x g 的图象关于直线a x =对称”有什么不同吗？ 例题讲解 1、忽略φ的存在： 例题1、已知A ={x|121m x m +≤≤-}，B ={x|25x -≤≤}，若A ?B ，求实数m 的取值范围． 【错解】A ?B ?? ?≤-+≤-?5 1212m m ，解得：33≤≤m － 【分析】忽略A =φ的情况.
导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案
导数及其应用 【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。 2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。 【知识梳理】 一、导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们 就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。 即f （x 0）=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明：
（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导， 或说无导数。 （2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）； （2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 二、导数的几何意义 函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。 三、几种常见函数的导数 ①0;C '= ②() 1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a ' =; ⑦ ()1ln x x '= ; ⑧()1 l g log a a o x e x '=. 四、两个函数的和、差、积的求导法则 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： ( .)' ''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数， 即： .)('''uv v u uv += 若C 为常数,则' ''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu = 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： ? ?? ??v u ‘=2' 'v uv v u -（v ≠0）。 形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|x = y ＇|u ·u ＇|x 五、导数应用 1、单调区间： 一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，
导数中的易错题
第20练 导数中的易错题 一、选择题 1．如果f ′(x )是二次函数，且f ′(x )的图象开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y ＝f (x )上任意一点的切线的倾斜角α的取值范围是( ) A ．(0，π 3] B ．[π3，π 2) C ．(π2，2π 3 ] D ．[π 3 ，π) 2．(优质试题·福建福州三中月考)已知点A (1,2)在函数f (x )＝ax 3 的图象上，则过点A 的曲线C ： y ＝f (x )的切线方程是( ) A ．6x －y －4＝0 B ．x －4y ＋7＝0 C ．6x －y －4＝0或x －4y ＋7＝0 D ．6x －y －4＝0或3x －2y ＋1＝0 3．(优质试题·兰州诊断)在直角坐标系xOy 中，设P 是曲线C ：xy ＝1(x >0)上任意一点，l 是曲线C 在点P 处的切线，且l 交坐标轴于A ，B 两点，则以下结论正确的是( ) A ．△OAB 的面积为定值2 B ．△OAB 的面积有最小值3 C ．△OAB 的面积有最大值4 D ．△OAB 的面积的取值范围是[3,4] 4．若函数f (x )＝2x 2 －ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．[1，3 2) C ．[1,2) D ．[3 2 ，2) 5．若函数y ＝x 3 －3ax ＋a 在(1,2)内有极小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．1 2009年高考数学专题复习函数、导数部分错题精选 一、选择题： 1、已知函数()x f y =，[]b a x ,∈，那么集合()()[]{}(){} 2,,,,=∈=x y x b a x x f y y x 中元素的个数为（ ） A. 1 B. 0 C. 1或0 D. 1或2 2、已知函数()x f 的定义域为[0，1]，值域为[1，2]，则函数()2+x f 的定义域和值域分别是（ ） A. [0，1] ，[1，2] B. [2，3] ，[3，4] C. [-2，-1] ，[1，2] D. [-1，2] ，[3，4] 3、已知0＜a ＜1，b ＜-1，则函数b a y x +=的图象必定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4、将函数()x x f 2=的图象向左平移一个单位得到图象1C ，再将1C 向上平移一个单位得图象 2C ，作出2C 关于直线x y =对称的图象3C ，则3C 对应的函数的解析式为（ ） A. ()11log 2+-=x y B. ()11log 2--=x y C. ()11log 2++=x y D. ()11log 2-+=x y 5、已知函数()()x x f a -=2log 1在其定义域上单调递减，则函数()() 2 1log x x g a -=的单调 减区间是（ ） A. (]0,∞- B. ()0,1- C. [)+∞,0 D. [)1,0 6、函数x x x y sin cos -=在下面的哪个区间上是增函数（ ） A. ??? ??23,2ππ B. ()ππ2, C. ?? ? ??25,23ππ D. ()ππ3,2 函数与导数 经典题与易错题 一、选择题与填空题 1．（山东大学教授自编题）设定义在（0,1）上的四个函数： 1234()2,()ln ,()21,()sin 2x f x f x x f x x f x x π===-=，其中满足性质： “12(0,1),[0,1]x x λ∈对区间中任意的和任意都有[]1212(1)()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≥+-恒成立” 的有 132234(A)(),()(B)()(C)(),()(D)()f x f x f x f x f x f x 错点分析：不会使用特殊值法，不会判断函数的凹凸性。 2.设() f x = 则 f (－12)＋f (－11)+ f (－10)++ f (0)++ f (11)+ f (12)+ f (13)的值为（ ） A B . C D 错点分析：想不到使用倒序相加法求和 3.若函数y =)1(log 2 +-ax x a 有最小值，则a 的取值范围是 ( ) A.0 导数易错题 1、已知]2,2[,(62)(23-+-=在为常数） m m x x x f 上有最大值为3，那么此函数在[－2，2]上的最小值为 －37 2、若函数a x x x f --=3)(3的最小值为恒成立，则上时，当m n n x f m x -≤≤∈)(]3,0[ 20 3、方程内根的个数为在)2,0(076223=+-x x （改为方程实根的个数为0109623=-+-x x x ） 1个 4、若函数的取值范围为有三个单调区间，则b bx x y +-=33 4 b >0 5、设点P 是曲线3 233+-=x x y 上的任一点，P 点处的切线倾斜角为α，则角α的取值范围为 ),[),0[322πππ? 6、已知)0()1(2)(//2f xf x x f ，则+=等于 －4 7、若函数m m m x x x f 则上的最小值为在区间,2]2,1[3)(223-+-=的值为 ； 22- 8、若直线ax x x y x y +-==233是曲线的切线，则 =a ；1或 413 9、函数),3(431 )(23+∞--=在ax x x f 上是增函数，则实数a 的取值范围为 ； 23≤ a 10、设曲线11 x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a = -2 11、若21()ln(2)2 f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是(,1]-∞- 12、已知函数32 ()1f x x ax x =+++，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）设函数()f x 在区间2133??-- ??? ， 内是减函数，求a 的取值范围． 解：（1）32()1f x x ax x =+++求导：2()321f x x ax '=++ 当23a ≤时，0?≤，()0f x '≥，()f x 在R 上递增 当2 3a >，()0f x '=求得两根为3a x -±= 导数经典易错题解析 导数经典易错题解析 1.（2010安徽卷理）已知函数()f x 在R 上满足 2()2(2)88 f x f x x x =--+-，则曲线 () y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是 ( ) A.21y x =- B.y x = C.32y x =- D.23 y x =-+答案 A 解析 由2 ()2(2)88 f x f x x x =--+-得几何 2(2)2()(2)8(2)8 f x f x x x -=--+--， 即2 2()(2)44 f x f x x x --=+-，∴2 ()f x x =∴/ ()2f x x =，∴切 线方程12(1)y x -=-，即210x y --=选A 2（2010江西卷文）若存在过点(1,0)的直线与曲线 3 y x =和2 15 94 y ax x =+ -都相切，则a 等于 ( ) A ．1-或25-64 B ．1-或214 C ．7 4- 或25 -64 D ．74 -或7 答案 A 解析 设过(1,0)的直线与3 y x =相切于点30 (,)x x ， 所以切线方程为 3 2 3()y x x x x -=- 即2 3 032y x x x =-，又(1,0)在切线上，则0 x =或0 32 x =- ， 当0 x =时，由0y =与2 15 94y ax x =+ -相切可得25 64a =-， 当0 32 x =- 时，由2727 44 y x =- 与2 15 94 y ax x =+ -相切可得 1 a =-，所以选A . 3（2008年福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象 可能是 （ ） 答案 D 4（2007年福建理11文）已知对任意实数x ，有 ()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x > 时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时 （ ） A ．()0()0f x g x ''>>， B ．()0()0f x g x ''><， C ． ()0()0f x g x ''<>， D ． ()0()0f x g x ''<<， 答案 B .5（2007年海南理10）曲线12 e x y =在点2 (4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积 为 （ ） A ． 29e 2 Ｂ．2 4e Ｃ．2 2e Ｄ．2 e 答案 D 6.（2007年江苏9）已知二次函数 2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有 ()0f x ≥，则 (1) '(0) f f 的最小值为 （ ） 高中导数经典知识点及 例题讲解 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN § 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题 自学引导 1.通过实例分析，了解平均变化率的实际意义． 2．会求给定函数在某个区间上的平均变化率. 课前热身 1.函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为Δy Δx ＝________. 2．平均变化率另一种表示形式：设Δx ＝x －x 0，则Δy Δx ＝________，表示函数 y ＝f (x )从x 0到x 的平均变化率. 1.f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1 答 案 2. f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx 名师讲解 1.如何理解Δx ，Δy 的含义 Δx 表示自变量x 的改变量，即Δx ＝x 2－x 1；Δy 表示函数值的改变量，即Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． 2．求平均变化率的步骤 求函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]内的平均变化率． (1)先计算函数的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)计算自变量的增量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f x 2－f x 1 x 2－x 1 . 对平均变化率的认识 函数的平均变化率可以表现出函数在某段区间上的变化趋势，且区间长度越小，表现得越精确．如函数y ＝sin x 在区间[0，π]上的平均变化率为0，而在 [0，π2]上的平均变化率为sin π 2－sin0 π2－0 ＝2π. 在平均变化率的意义中，f (x 2)－f (x 1)的值可正、可负，也可以为零．但Δx ＝x 2－x 1≠0. 导数经典易错题集锦 一、填空题 1、在平面直角坐标系xOy 中，设A 是曲线)0(1:31a ax y C 与曲线25 :222y x C 的一个公共点。 若1C 在A 处的切线与2C 在A 处的切线互相垂直，则实数 a 的值是__________(白皮P140) 2、设)(),(x g x f 分别为定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x 时，0)()()()(x g x f x g x f 且0)3(g ，则不等式0) ()(x g x f 的解集是______________ (白皮P140) 3、已知二次函数c bx ax x f 2)(的导函数)(x f 满足0)0(f ，若对任意实数x ，有0)(x f ， 则)0() 1(f f 的最小值为__________(白皮P144) 4、已知定义在R 上的函数).3()(2ax x x f 若函数]2,0[),()((x x f x f x g 在0x 处取得最大值，则实数a 的取值范围为_______________(白皮P146) 5、（13湖北）已知函数f(x)=x(ln x ax)有两个极值点，则实数a 的取值范围是__________.（白皮P147）6、已知函数2() cos f x x x ，,22x ，则满足0()()3f x f 的0x 的取值范围为．周周练二十一（A ） 7、已知函数 2()x f x e x x ，若对于任意12,[1,1]x x ，12|()()|f x f x k 恒成立，则k 的取值范围为．周周练二十一（A ） 二、解答题 1、设函数2)1() (ax e x x f x （1）若21 a ，求)(x f 的单调区间（2）若当0x 时，0)(x f ，求a 的取值范围(白皮P142) 导数中的易错题 一、选择题 1．如果f ′(x )是二次函数，且f ′(x )的图象开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y ＝f (x )上任意一点的切线的倾斜角α的取值范围是( ) A ．(0，π 3] B ．[π3，π 2) C ．(π2，2π 3 ] D ．[π 3 ，π) 2．(优质试题·福建福州三中月考)已知点A (1,2)在函数f (x )＝ax 3的图象上，则过点A 的曲线C ： y ＝f (x )的切线方程是( ) A ．6x －y －4＝0 B ．x －4y ＋7＝0 C ．6x －y －4＝0或x －4y ＋7＝0 D ．6x －y －4＝0或3x －2y ＋1＝0 3．(优质试题·兰州诊断)在直角坐标系xOy 中，设P 是曲线C ：xy ＝1(x >0)上任意一点，l 是曲线C 在点P 处的切线，且l 交坐标轴于 A ， B 两点，则以下结论正确的是( ) A ．△OA B 的面积为定值2 B ．△OAB 的面积有最小值3 C ．△OAB 的面积有最大值4 D ．△OAB 的面积的取值范围是[3,4] 4．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．[1，3 2) C ．[1,2) D ．[3 2 ，2) 5．若函数y ＝x 3－3ax ＋a 在(1,2)内有极小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．14或a <1 6．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋2 (a >0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,2] B ．(0,2) C ．[3，2) D ．(3，2) 7．如果函数f (x )＝13x 3 －x 满足：对于任意的x 1，x 2∈[0,2]，都有|f (x 1) －f (x 2)|≤a 2恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．[－ 63，63 ] 1.函数 的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 2．设 ，则使成立的必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 3．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )>0，且f (3)＝0，则不等式的解集是( ) A. (－3,0)∪(3，＋∞) B. (－3,0)∪(0,3) C. (－∞，－3)∪(3，＋∞) D. (－∞，－3)∪(0,3) 4．设函数f(x)=(x-1)x(x+1),则满足0a ? f′(x)dx=0的实数a=____. 5．已知函数f(x)=sinx-cosx,且()()2f x f x '=,其中()()f x f x '是的导函数，则 221s i n c o s s i n 2 x x x +-=（ ）A. 195- B. 195 C. 113 D. 113- 6.已知函数 ，则__________. 7. ＝____. 8．点分别为双曲线的焦点、实轴端点、虚轴端点，且为直角三角形，则双曲线的离心率为__________． 9．已知过点A (1,m )恰能作曲线f (x )=x 3-3x 的两条切线,则m 的值是_____. 10．设函数f (x )＝x 3－4x ＋a ，0＜a ＜2．若f (x )的三个零点为x 1，x 2，x 3，且x 1＜x 2＜x 3，则 A. x 1＞－1 B. x 2＜0 C. x 2＞0 D. x 3＞2 11.方程的实根个数是（ ）A.3 B.2 C.1 D.0 12.)(x f 是定义在R 上的奇函数，0)2(=f ,当0>x 时，有 恒成立，则不等式的解集是（ ） A. (-2,0) ∪(2,+∞) B . (-2,0) ∪(0,2)C. (-∞,-2)∪(2,+∞) D . (-∞,-2)∪(0,2) 2()()0xf x f x x '-<2 ()0x f x > 导数题型总结(解析版) 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系（2）端点处和顶点是最值所在其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）；例1：设函数在区间D上的导数为，在区间D上的导数为，若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，（1）若在区间上为“凸函数”，求m 的取值范围；（2）若对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数”，求的最大值、解:由函数得（1）在区间上为“凸函数”，则在区间[0,3]上恒成立解法一：从二次函数的区间最 值入手：等价于解法二：分离变量法：∵ 当时, 恒成立, 当时, 恒成立等价于的最大值（）恒成立，而（）是增函数，则(2)∵当时在区间上都为“凸函数” 则等价于当时恒成立变更主元法 再等价于在恒成立（视为关于m的一次函数最值问题）-22 例2：设函数（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对任意的不等式恒成立，求a的取值范围、（二次函数区间最值的例子）解：（Ⅰ）3aaa3a令得的单调递增区间为（a,3a）令得的单调递减区间为（－，a）和（3a，+）∴当x=a时，极小值= 当 x=3a时，极大值=b、（Ⅱ）由||≤a，得：对任意的恒成立①则等价于这个二次函数的对称轴（放缩法）即定义域在对称轴的右边，这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。上是增函数、（9分）∴于是，对任意，不等式①恒成立，等价于又∴点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系第三种：构造函数求最值题型特征：恒成立恒成立；从而转化为第一、二种题型例3；已知函数图象上一点处的切线斜率为，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当时，求的值域；（Ⅲ）当时，不等式恒成立，求实数t的取值范围。解：（Ⅰ）∴，解得（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减又∴的值域是（Ⅲ）令思路1：要使恒成立，只需，即分离变量思路2：二次函数区间最值 二、参数问题题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法1：转化为在给定区间上恒成立，回归基础题型解 培优导数专题 1、（本大题满分12分） 设函数f （x ）= .cos 2sin x x + （Ⅰ）求f （x ）的单调区间； （Ⅱ）如果对任何,0≥x 都有f （x ）ax ≤，求a 的取值范围. 2．（本小题满分12分） 已知.)2()(,02 x e ax x x f a -=≥函数 （Ⅰ）当x 为何值时，f (x )取得最小值？证明你的结论； （Ⅱ）设)(x f 在[－1，1]上是单调函数，求a 的取值范围. 3、已知函数2 1()ln (1)(0).2 f x x ax a x a R a =-+-∈≠且 （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）记函数()y F x =的图象为曲线C ．设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是曲线C 上的不同两点． 如果在曲线C 上存在点M （x 0，y 0），使得：①12 02 x x x += ；②曲线C 在点M 处的切线平行于直线AB ，则称函数F （x ）夺在“中值相依切线”， 试问：函数f （x ）是否存在“中值相依切线”，请说明理由． 4、对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点。如果函数 2()(,*)x a f x b c N bx c +=∈-有且仅有两个不动点0、2，且1(2)2 f -<-。 （1）试求函数()f x 的单调区间； （2）已知各项均为负的数列{}n a 满足1)1 ( 4=n n a f s ，求证：1111ln n n n a n a ++-<<-； （3）设1 n n b a =- ，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：201120101ln 2011T T -<<。 5、（12分）设函数f （x ） ＝ x 2＋bln （x ＋1）, （1）若对定义域的任意x ，都有f （x ）≥f （1）成立，求实数b 的值； （2）若函数f （x ）在定义域上是单调函数，求实数b 的取值范围； （3）若b ＝－1，证明对任意的正整数n ，不等式3331 1 ......31211)1(n k f n k ++++∑ = 都成立； 6、（12分）已知函数)()(R x kx e x f x ∈-= （1）若e k =，试确定函数)(x f 的单调区间； （2）若0>k 且对任意R x ∈，0|)(|>x f 恒成立，试确定实数k 的取值范围； （3）设函数)()()(x f x f x F -+=，求证：)()2()()2()1(2 1 *+∈+>?N n e n F F F n n 导数典型例题讲解 Prepared on 22 November 2020 资料一 ：导数.知识点 1．导数的概念 例1．已知曲线y =3x 上的一点P (0, 0)，求过点P 的切线方程· 解析：如图，按切线的定义，当x →0时，割线PQ 的极限位置是y 轴（此时斜率不存在），因此过P 点的切线方程是x =0. 例2．求曲线y ＝x 2在点(2，4)处的切线方程· 解析：∵ y =x 2, ∴ ?y =(x 0＋?x )2－x 02＝2x 0?x ＋(?x )2 =4?x ＋(?x )2 ∴ k ＝00 lim lim(4)4x x y x x ?→?→?=+?=?. ∴ 曲线y ＝x 2在点(2，4)处切线方程为y －4＝4(x －2)即4x －y －4＝0. 例3．物体的运动方程是 S ＝1＋t ＋t 2，其中 S 的单位是米，t 的单位是秒，求物体在t ＝5秒时的瞬时速度及物体在一段时间[5，5＋?t ]内相应的平均速度． 解析：∵ S =1+t +t 2, ∴ ?S =1+(t +?t )+(t +?t )2－(1+t +t 2)=2t ·?t +?t +(?t )2, ∴ 21S t t t ?=++??, 即()21v t t t =++?, ∴ (5)11v t =?+, 即在[5，5＋?t ]的一段时间内平均速度为(?t ＋11)米／秒 ∴ v (t )=S ’＝00 lim lim(21)21t t S t t t t ?→?→?=++?=+? 即v (5)＝2×5＋1＝11. ∴ 物体在t ＝5秒时的瞬时速度是11米／秒． 例4．利用导数的定义求函数y = x 在x =1处的导数。 § 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题 自学引导 1.通过实例分析，了解平均变化率的实际意义． 2．会求给定函数在某个区间上的平均变化率. 课前热身 1.函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为 Δy Δx ＝________. 2．平均变化率另一种表示形式：设Δx ＝x －x 0，则Δy Δx ＝________，表示函 数y ＝f (x )从x 0到x 的平均变化率. 1.f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1 答 案 2. f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx 名师讲解 1.如何理解Δx ，Δy 的含义 Δx 表示自变量x 的改变量，即Δx ＝x 2－x 1；Δy 表示函数值的改变量，即Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． 2．求平均变化率的步骤 求函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]内的平均变化率． (1)先计算函数的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)计算自变量的增量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f x 2－f x 1 x 2－x 1 . 对平均变化率的认识 函数的平均变化率可以表现出函数在某段区间上的变化趋势，且区间长度越小，表现得越精确．如函数y ＝sin x 在区间[0，π]上的平均变化率为0，而在 [0，π2]上的平均变化率为sin π 2－sin0 π2 －0＝2 π . 在平均变化率的意义中，f (x 2)－f (x 1)的值可正、可负，也可以为零．但Δx ＝x 2－x 1≠0. 典例剖析 题型一求函数的平均变化率 例1 一物体做直线运动，其路程与时间t的关系是S＝3t－t2. (1)求此物体的初速度； (2)求t＝0到t＝1的平均速度． 分析t＝0时的速度即为初速度，求平均速度先求路程的改变量ΔS＝S(1) －S(0)，再求时间改变量Δt＝1－0＝1.求商ΔS Δt 就可以得到平均速度． 解(1)由于v＝S t ＝ 3t－t2 t ＝3－t. ∴当t＝0时，v0＝3，即为初速度．(2)ΔS＝S(1)－S(0)＝3×1－12－0＝2 Δt＝1－0＝1 ∴v＝ΔS Δt ＝ 2 1 ＝2. ∴从t＝0到t＝1的平均速度为2. 误区警示本题1不要认为t＝0时，S＝0.所以初速度是零. 变式训练1 已知函数f(x)＝－x2＋x的图像上一点(－1，－2)及邻近一点 (－1＋Δx，－2＋Δy)，则Δy Δx ＝( ) A．3 B．3Δx－(Δx)2 C．3－(Δx)2D．3－Δx 解析Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1) ＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－(－2) ＝－(Δx)2＋3Δx. ∴Δy Δx ＝ －Δx2＋3Δx Δx ＝－Δx＋3 答案D 题型二平均变化率的快慢比较 例2 求正弦函数y＝sin x在0到π 6 之间及 π 3 到 π 2 之间的平均变化率．并比 较大小． 分析用平均变化率的定义求出两个区间上的平均变化率，再比较大小． 解设y＝sin x在0到π 6 之间的变化率为k1，则 导数 经典易错题集锦 一、填空题 1、在平面直角坐标系xOy 中，设A 是曲线)0(1:31>+=a ax y C 与曲线2 5:222=+y x C 的一个公共点。若1C 在A 处的切线与2C 在A 处的切线互相垂直，则实数a 的值是__________(白皮P140) 2、设)(),(x g x f 分别为定义在R 上的奇函数和偶函数，当0 导数经典例题精讲 导数知识点 导数是一种特殊的极限 几个常用极限：（1）1 lim 0n n →∞=，lim 0n n a →∞=（||1a <）；（2）00lim x x x x →=，0011lim x x x x →= . 两个重要的极限 ：（1）0sin lim 1x x x →=；（2）1lim 1x x e x →∞?? += ??? (e=2.718281845…). 函数极限的四则运算法则：若0 lim ()x x f x a →=，0 lim ()x x g x b →=，则 (1)()()0 lim x x f x g x a b →±=±????；(2)()()0 lim x x f x g x a b →?=?????;(3)()()()0 lim 0x x f x a b g x b →=≠. 数列极限的四则运算法则：若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞ ==，则(1)()lim n n n a b a b →∞±=±；(2)()lim n n n a b a b →∞ ?=?(3)()lim 0n n n a a b b b →∞=≠(4)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞?=?=?( c 是常数) )(x f 在0x 处的导数（或变化率或微商） 000000()()()lim lim x x x x f x x f x y f x y x x =?→?→+?-?''===??. .瞬时速度：00()() ()lim lim t t s s t t s t s t t t υ?→?→?+?-'===??. 瞬时加速度：00()() ()lim lim t t v v t t v t a v t t t ?→?→?+?-'===??. )(x f 在),(b a 的导数：()dy df f x y dx dx ''== =00()() lim lim x x y f x x f x x x ?→?→?+?-==??. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 几种常见函数的导数 (1) 0='C （C 为常数）.(2) '1()()n n x nx n Q -=∈.(3) x x cos )(sin ='.x x sin )(cos -=' (4) x x 1 )(ln = '；e a x x a log 1)(log ='. (5) x x e e =')(; a a a x x ln )(='. 导数的运算法则 （1）' ' ' ()u v u v ±=±.（2）' ' ' ()uv u v uv =+.（3）'' '2 ()(0)u u v uv v v v -=≠. 复合函数的求导法则 设函数()u x ?=在点x 处有导数''()x u x ?=，函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数 ''()u y f u =，则复合函数(())y f x ?=在点x 处有导数，且''' x u x y y u =?，或写作'''(())()()x f x f u x ??=. 【例题解析】 考点1 导数的概念 对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 例1． ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 ． [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力. 导数解答题题型分类 题型一：最常见的关于函数的单调区间；极值；最值；不等式恒成立； 经验1此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令f'(x) 0得到几个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知； 经验2:不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种：第一种：变更主元 (即关于某字母的一次函数)；题型特征(已知谁的范围就把谁作为主元)；第二种：分离变量求最值(请同学们参考例5)；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值；题型特征(f(x) g(x)恒成立h(x) f(x) g(x) 0恒成立)；参考例4; 例1.已知函数f (x) 1x3bx22x a，x 2是f (x)的一个极值点. (I)求f(x)的单调递增区间； (U)若当x [1, 3]时，f(x) a2 2恒成立，求a的取值范围. 3 例2.设f(x)2x2 ,g(x) ax 5 2a(a 0)。x 1 (1) 求f(x)在x [0,1]上的值域； (2) 若对于任意x i [0,1]，总存在x o [0,1],使得g(x o) f(x i)成立，求a的取值范围 例3.已知函数f(x) x3 ax2图象上一点P(1,b)的切线斜率为3， 3 t 6 2 g(x) x3 x2 (t 1)x 3 (t 0) 2 (I)求a,b的值；(U)当x [ 1,4]时，求f (x)的值域； (川)当x [1,4]时，不等式f(x) g(x)恒成立，求实数t的取值范围 —11. (I)求函数f (x)的解析式； (U)若t ［ 1,1］时，f (x ) tx 0恒成立，求实数x 的取值范围. x 3 2 10 例5.已知函数f(x)务图象上斜率为3的两条切线间的距离为 仝巴，函数 a 5 (、-、3bx 2 g(x) f(x) — 3. a (1) 若函数g(x)在x 1处有极值，求g(x)的解析式； (2) 若函数g(x)在区间［1,1］上为增函数，且b 2 mb 4 g(x)在区间［1,1］上都成立，求实数 m 的取值范围. 题型二：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数与 x 轴即方程根的个数问题； 经验1:已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种： 第一种：转化为恒成立问题即f '(x) 0或f '(x) 0在给定区间上恒成立，然后转为不等式恒成立 问题；用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(看是否在 0的同侧)，如果是同侧则不必分类 讨论；若在0的两侧，则必须分类讨论，要注意两边同处以一个负数时不等号的方向要改变！有 时分离变量解不出来，则必须用另外的方法； 第二种：利用子区间(即子集思想)；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的 增或减区间的子集；参考08年高考题； 第三种方法：利用二次方程根的分布，着重考虑端点函数值与0的关系和对称轴相对区间的位置； 可参考第二次市统考试卷； 特别说明：做题时一定要看清楚“在(a,b )上是减函数”与“函数的单调减区间是(a,b ) ”，要 弄清楚两句话的区别； 经验2:函数与x 轴即方程根的个数问题解题步骤 第一步：画出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势 “是 先增后减再增”还是“先减后增再减”； 第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式 (组)；主要看极大值和极小值与0的关系； 第三步：解不等式(组)即可； 例6?已知函数f (x) 1 x 3 (k 1) X , g(x) 1 kx ，且f (x)在区间(2,)上为增函数. 3 2 3 (1) 求实数k 的取值范围； 例4.已知定义在R 上的函数f(x) 3 2 、, ax 2ax b( a 0)在区间 2,1上的最大值是5,最小值是函数及导数易错题精选
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