北京市海淀区高三数学上学期期中试题 理 新人教B版
数学(理科) 2013.11
本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项。
1.已知集合{1,1,2}A =-，{|10}B x x =+≥，则A B =( A )
A. {1,1,2}-
B. {1,2}
C. {1,2}-
D.{2}
2.下列函数中，值域为(0,)+∞的函数是( C )
A. ()f x =
B. ()ln f x x =
C. ()2x
f x = D.()tan f x x =
3. 在ABC ?中，若tan 2A =-，则cos A =( B )
B.
D. 4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,0),(0,1),(1,2),(,0)O A B C m -，若//OB AC ，则实数m 的值为( C )
A. 2-
B. 12-
C. 12
D. 2
5.若a ∈R ，则“2a a >”是“1a >”的（B ）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
6. 已知数列{}n a 的通项公式2(313)n
n a n =-，则数列的前n 项和n S 的最小值是（B ）
A. 3S
B. 4S
C. 5S
D. 6S
7.已知0a >，函数2πsin ,[1,0),()21,[0,),
x x f x ax ax x ?
∈-?=??++∈+∞?若11()32f t ->-，则实数t 的取值范围为
（D ） A. 2
[,0)3
- B.[1,0)- C.[2,3) D. (0,)+∞
8.已知函数sin cos ()sin cos x x
f x x x
+=
，在下列给出结论中：
①π是()f x 的一个周期；
②()f x 的图象关于直线x 4
π
=
对称；
③()f x 在(,0)2
π-上单调递减. 其中，正确结论的个数为（C ） A. 0个
B.1个
C. 2个
D. 3个
二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。 9.1
0(21)d x x +=?___________.2
10. 已知数列{}n a 为等比数列，若13245,10a a a a +=+=，则公比q =____________.2
11. 已知23log 5,23,log 2b
a c ===，则,,a
b
c 的大小关系为____________.
a b c >>
12.函数π
()2sin()(0,||)2f x x =+><ω?ω?的图象如图所示，则
ω=______________，?=__________.2π3,π6
13.已知ABC ?是正三角形，若AC AB λ=-a 与向量AC 的夹角大于90，则实数λ的取值范围是__________.2λ>
14.定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：①当[1,3)x ∈时，()1|2|f x x =--；②(3)3()f x f x =.设关于x 的函数()()F x f x a =-的零点从小到大依次为12,,,,
n x x x .若1a =，则
123x x x ++=；若(1,3)a ∈，则122n x x x ++
+=________________.
答案：14；6(31)n -
三、解答题: 本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程。 15.（本小题满分13分）
在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,60A =,32,b c
=ABC S ?. （Ⅰ）求b 的值； （Ⅱ）求sin B 的值. 解：（Ⅰ）由60A =
和ABC S ?可得133
sin602bc =---------------------------2
分
所以
6bc =，
--------------------------------------3分
又32,b c = 所
以
2,3b c ==.
------------------------------------5分 （Ⅱ）因为2,3b c ==,60A =,
由
余
弦
定
理
2222cos a b c bc A
=+-可得
------------------------------------7分
2222367
a =+-=，即a =.
------------------------------------9分
由正弦定理
sin sin a b
A B
=
可得------------------------------------11分
2
sin sin60
B =，------------------------------------12分
所以sin B =
.------------------------------------13分 16. （本小题满分14分）
已知函数2π()2cos (2)14
f x x x =-++. （I ）求()f x 的最小正周期；
（II ）求()f x 在区间ππ[,]64
-上的取值范围.
解：（I ）π()cos(4)2
f x x x =-+------------------------------------2分
sin 4x x =+------------------------------------4分
π
2sin(4)3
x =+------------------------------------6分
()f x 最小正周期为π
T 2=，------------------------------------8分
（II ）因为ππ
64x -≤≤，所以ππ4π4333
x -≤+≤-----------------------------------10
分
所以π
sin(4)13
x ≤+≤-----------------------------------12分
所以π
2sin(4)23
x +≤， -----------------------------------13分
所
以
()f x 取值范围为[.
------------------------------------14分
17.（本小题满分13分）
如图，已知点(11,0)A ，直线(111)x t t =-<<
与函数y =的图象交于点P ，与x
轴交于点H ，记APH ?的面积为()f t . （I ）求函数()f t 的解析式； （II ）求函数()f t 的最大值. 解
：
（
I
）
由
已
知
11,AH t PH =-
-------------------------------------1分
所以APH ?
的面积为1()(111112
f t t t =--<<. ---------------------4分 （II ）解法
1. 1'()(11)2f t t =?-
=
分
由
'()0
f t =得3t =，
-------------------------------------8分 函数()f t 与'()f t 在定义域上的情况下表：
----------------------------------
-12分 所
以
当
3t =时，函数
()
f t 取得最大值8.
------------------------------------13分 解法2.由1()(111112f t t t =-=-<< 设
2()(11)(1),111
g t t t t =-+-<<，
-------------------------------------6分
则2
'()2(11)(1)(11)(11)(1122)3(3)(11)g t t t t t t t t t =--+
+-=--++=--.-------7分
函数()g t 与
'()g t 在定义域上的情况下表：
-----------------------------------
-11分 所
以
当
3t =时，函数
()
g t 取得最大值，
-----------------------------------12分 所
以
当
3t =时，函数
()
f t 取得最大值
8=.------------------------------------13分
18.（本小题满分13分）
已知数列{}n a 满足：①20a >；②对于任意正整数,p q 都有2p q p q a a +?=成立.
（I ）求1a 的值；
（II ）求数列{}n a 的通项公式；
（III ）若2
(1)n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和.
解：（I ）由②可得2112a a ?=，3
122a a ?= -------------------------------2
分
由
①
可
得
12
a =.
-------------------------------3分
（II ）由②可得112n n a a +?=， ------------------------------6
分
所
以
数
列
{}
n a 的通项公式
2n
n a =.
------------------------------7分
（III ）由（II ）可得21(1)421n n n n b a +=+=++，
易得1{4},{2}n n +分别为公比是4和2的等比数列，------------------------------8分
由等比数列求和公式可得124(14)4(12)1(416)214123
n n n n n S n n ++--=++=-++--.--13分
19.（本小题满分14分）
已知函数2()2(1)2ln (0)f x x a x a x a =-++>.
（I ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （II ）求()f x 的单调区间；
（III ）若()0f x ≤在区间[1,e]上恒成立，求实数a 的取值范围. 解：（I ）因为1a =，2()42ln f x x x x =-+,
所
以
2242
'()(0)
x x f x x x
-+=>,
------------------------------1分
(1)3f =-，'(1)0
f =,
------------------------------3分
所以切线方
程
为
3y =-.
------------------------------4分
(II ）222(1)22(1)()'()(0)
x a x a x x a f x x x x
-++--==>,
----------------------------5分
由
'()0f x =得
12,1
x a x ==,
------------------------------6分
当01a <<时，在(0,)x a ∈或(1,)x ∈+∞时'()0f x >，在(,1)x a ∈时'()0f x <,
所以()f x 的单调增区间是(0,)a 和(1,)+∞，单调减区间是(,1)a ； ---------------7分
当1a =时，在(0,)x ∈+∞时'()0f x ≥，所以()f x 的单调增区间是(0,)+∞；-----8分 当1a >时，在(0,1)x ∈或(,)x a ∈+∞时'()0f x >，在(1,)x a ∈时'()0f x <.
所以()f x 的单调增区间是(0,1)和(,)a +∞，单调减区间是(1,)a . ---------------10分 (III ）由（II ）可知()f x 在区间[1,e]上只可能有极小值点，
所以()f x 在区间[1,e]上的最大值在区间的端点处取到，-------------------------12分
即有(1)12(1)0f a =-+≤且2(e)e 2(1)e 20f a a =-++≤,
解得2e 2e 2e 2
a -≥-. ---------------------14分
20.（本小题满分13分）
已知数列{}n a 的首项1,a a =其中*a ∈N ，*
1*,3,,31,3,.
n n
n n
n a a l l a a a l l +?=∈?=??+≠∈?N N 令集合
*{|,}n A x x a n ==∈N .
（I ）若4a 是数列{}n a 中首次为1的项，请写出所有这样数列的前三项； （II ）求证：{1,2,3}A ?；
（III ）当2014a ≤时，求集合A 中元素个数()Card A 的最大值. 解：（I ）27,9,3；8,9,3；6,2,3.
--------------------------------------3分
（II ）若k a 被3除余1，则由已知可得11k k a a +=+,2312,(2)3
k k k k a a a a ++=+=+；
若k a 被3除余2,则由已知可得11k k a a +=+,21(1)3
k k a a +=+,31
(1)13
k k a a +≤++；
若k a 被3除余0，则由已知可得113k k a a +=,31
23
k k a a +≤+；
所以31
23
k k a a +≤+，
所以312
(2)(3)33
k k k k k a a a a a +-≥-+=-
所以，对于数列{}n a 中的任意一项k a ，“若3k a >，则3k k a a +>”. 因为*k a ∈N ，所以31k k a a +-≥.
所以数列{}n a 中必存在某一项3m a ≤（否则会与上述结论矛盾！）
若3m a =,则121,2m m a a ++==；若2m a =,则123,1m m a a ++==,若1m a =,则
122,3m m a a ++==,
由
递
推
关
系
易
得
{1,2,3}A ?.
---------------------------------------8分 （III ）集合A 中元素个数()Card A 的最大值为21.
由已知递推关系可推得数列{}n a 满足：
当{1,2,3}m a ∈时，总有3n n a a +=成立，其中,1,2,n m m m =++.
下面考虑当12014a a =≤时，数列{}n a 中大于3的各项： 按逆序排列各项，构成的数列记为{}n b ，由（I ）可得16b =或9， 由（II ）的证明过程可知数列{}n b 的项满足：
3n n b b +>，且当n b 是3的倍数时，若使3n n b b +-最小，需使2112n n n b b b ++=-=-，
所以，满足3n n b b +-最小的数列{}n b 中，34b =或7，且33332k k b b +=-，
所以33(1)13(1)k k b b +-=-，所以数列3{1}k b -是首项为41-或71-的公比为3的等比数列，
所以131(41)3k k b --=-?或131(71)3k k b --=-?，即331k k b =+或3231k k b =?+， 因为67320143<<，所以，当2014a ≤时，k 的最大值是6，
所以118a b =，所以集合A 重元素个数()Card A 的最大值为21.---------------13分