第13课时 锐角三角函数与解直角三角形的应用
考点梳理·达标检测
江苏13市2019年中考真题
命题点1 锐角三角函数
1.(2019年淮安中考第16题3分)如图,在矩形ABCD 中,AB =3,BC =2,H 是AB 的中点,将△CBH 沿CH 折叠,点B 落在矩形内点P 处,连接AP ,则tan ∠HAP = .
【解析】解:如图,连接PB ,交CH 于E ,由折叠可得,CH 垂直平分BP ,BH =PH ,
又∵H 为AB 的中点,
∴AH =BH ,
∴AH =PH =BH ,
∴∠HAP =∠HPA ,∠HBP =∠HPB ,
又∵∠HAP+∠HPA+∠HBP+∠HPB =180°,
∴∠APB =90°,
∴∠APB =∠HEB =90°,
∴AP ∥HE ,
∴∠BAP =∠BHE ,
又∵Rt △BCH 中,tan ∠BHC =BC BH =43,
∴tan ∠HAP =43,故答案为:43.
2.(2019年常州中考第17题2分)如图,半径为的⊙O 与边长为8的等边三角形ABC 的两边AB 、BC 都相切,连接OC ,则tan ∠OCB= .
【解析】解:连接OB ,作OD ⊥BC 于D ,
∵⊙O 与等边三角形ABC 的两边AB 、BC 都相切,∴∠OBC =∠OBA =12∠ABC =30°,
∴tan ∠OBC =OD DB ,∴BD =
OD tan30°=√3√33=3,∴CD =BC ﹣BD =8﹣3=5, ∴tan ∠OCB =OD CD =√35,故答案为:√3
5.
3.(2019年盐城中考第15题3分)如图,在△ABC 中,BC =√6+√2,∠C =45°,
AB =√2AC ,则AC 的长为 .
【解析】解:过点A 作AD ⊥BC ,垂足为点D ,如图所示.
设AC=x ,则AB=√2x .在Rt △ACD 中,AD=AC ?sinC=√22x ,CD=AC ?cosC= √2
2x ;
在Rt △ABD 中,AB=√2x ,AD=√22x , ∴BD=√ AB 2?AD 2 =√62.
∴BC=BD+CD=√62x+ √22x= √6+√2 , ∴x=2,故答案为:2. 命题点2 解直角三角形的实际应用
1.(2019年苏州中考第8题3分)如图,小亮为了测量校园里教学楼AB 的高度,将测角仪CD 竖直放置在与教学楼水平距离为18√3m 的地面上,若测角仪的高度为1.5m ,测得教学楼的顶部A 处的仰角为30°,则教学楼的高度是( )
A .55.5m
B .54m
C .19.5m
D .18m
【解析】解:过D 作DE ⊥AB ,
∵在D 处测得教学楼的顶部A 的仰角为30°, ∴∠ADE=30°,
∵BC=DE=18√3m,∴AE=DE ?tan30°=18m,∴AB=AE+BE=AE+CD=18+1.5=19.5m,故选C .
2.(2019年徐州中考第16题3分)如图,无人机于空中A 处测得某建筑顶部B 处的仰角为45°,测得该建筑底部C 处的俯角为17°.若无人机的飞行高度AD 为62m ,则该建筑的高度BC 为 m .(参考数据:sin17°≈0.29,cos17°≈0.96,tan17°≈0.31)
【解析】解:作AE ⊥BC 于E ,则四边形ADCE 为矩形,
∴EC =AD =62,在Rt △AEC 中,tan ∠EAC =EC AE ,则AE =EC
tan ∠EAC ≈620.31=200,
在Rt△AEB中,∠BAE=45°,∴BE=AE=200,∴BC=200+62=262(m),
则该建筑的高度BC为262m,故答案为:262.
3.(2019年连云港中考第24题10分)如图,海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向,距离为25海里.在某时刻,哨所A与哨所B同时发现一走私船,其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上,位于哨所B南偏东37°的方向上.
(1)求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离;
(2)若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜,并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截.求缉私艇的速度为多少时,恰好在D处成功拦截.(结果保留根号)(参考数据:sin37°=cos53°≈,cos37 =sin53°≈去,tan37°≈2,tan76°≈)
【解析】解:(1)在△ABC中,∠ACB=180°?∠B?∠BAC=180°?37°?53°=90°.
在Rt△ABC中,sinB= AC
AB
,∴AC=AB?sin37°=25× 3 5 =15(海里).
答:观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里;
(2)过点C作CM⊥AB于点M,由题意易知,D、C、M在一条直线上.
在Rt△AMC中,CM=AC?sin∠CAM=15× 4
5=12, AM=AC?cos∠CAM=15× 3
5
=9.
在Rt△AMD中,tan∠DAM= DM
AM
,
∴DM=AM?tan76°=9×4=36,
∴AD= √AM2+DM2 =√92+362=9√17,CD=DM?CM=36?12=24.
设缉私艇的速度为x海里/小时,则有24
16
= 9√17x ,解得x=6√17.经检验,x=6√17是原方程的解.答:当缉私艇的速度为x=6√17海里/小时时,恰好在D处成功拦截.
4.(2019年南京中考第24题8分)如图,山顶有一塔AB,塔高33m.计划在塔的正下方沿直线CD开通穿山隧道EF.从与E点相距80m的C处测得A、B的仰角分别为27°、22°,从与F点相距50m的D处测得A 的仰角为45°.求隧道EF的长度.
(参考数据:tan22°≈0.40,tan27°≈0.51.)
【解析】解:延长AB交CD于H,则AH⊥CD,
在Rt△AHD中,∠D=45°,
∴AH=DH,
,
在Rt△AHC中,tan∠ACH=AH
CH
∴AH=CH?tan∠ACH≈0.51CH,
,
在Rt△BHC中,tan∠BCH=BH
CH
∴BH=CH?tan∠BCH≈0.4CH,
由题意得,0.51CH﹣0.4CH=33,解得,CH=300,
∴EH=CH﹣CE=220,BH=120,∴AH=AB+BH=153,
∴DH=AH=153,∴HF=DH﹣DF=103,
∴EF=EH+FH=323,
答:隧道EF的长度为323m.
5.(2019年泰州中考第21题10分)某体育看台侧面的示意图如图所示,观众区AC的坡度i为1:2,顶端C离水平地面AB的高度为10m,从顶棚的D处看E处的仰角α=18°30′,竖直的立杆上C、D两点间的距离为4m,E处到观众区底端A处的水平距离AF为3m.求:
(1)观众区的水平宽度AB;
(2)顶棚的E处离地面的高度EF.(sin18°30′≈0.32,tanl8°30′≈0.33,结果精确到0.1m)
【解析】解:(1)∵观众区AC的坡度i为1:2,顶端C离水平地面AB的高度为10m,
∴AB=2BC=20(m),
答:观众区的水平宽度AB为20m;
(2)作CM⊥EF于M,DN⊥EF于N,则四边形MFBC、MCDN为矩形,
∴MF=BC=10,MN=CD=4,DN=MC=BF=23,
,则EN=DN?tan∠EDN≈7.59,
在Rt△END中,tan∠EDN=EN
DN
∴EF=EN+MN+MF=7.59+4+10≈21.6(m),
答:顶棚的E处离地面的高度EF约为21.6m.
6.(2019年宿迁中考第25题10分)宿迁市政府为了方便市民绿色出行,推出了共享单车服务.图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图,图②是其示意图,其中AB、CD都与地面l平行,车轮半径为32cm,∠BCD=64°,BC=60cm,坐垫E与点B的距离BE为15cm.
(1)求坐垫E到地面的距离;
(2)根据经验,当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时,坐骑比较舒适.小明的腿长约为80cm,现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E',求EE′的长.
(结果精确到0.1cm,参考数据:sin64°≈0.90,cos64°≈0.44,tan64°≈2.05)
【解析】解:(1)如图1,过点E 作EM ⊥CD 于点M ,
由题意知∠BCM =64°、EC =BC+BE =60+15=75cm ,
∴EM =ECsin ∠BCM =75sin64°≈67.5(cm ),
则单车车座E 到地面的高度为67.5+32≈99.5(cm );
(2)如图2所示,过点E ′作E ′H ⊥CD 于点H ,
由题意知E ′H =80×0.8=64,
则E ′C =E ′H
sin64°=64
sin64°≈71,1,∴EE ′=CE ﹣CE ′=75﹣71.1=3.9(cm ).
7.(2019年镇江中考第24题6分)在三角形纸片ABC (如图1)中,∠BAC =78°, AC =10.小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形(如图2).
(1)∠ABC = 30 °;
(2)求正五边形GHMNC 的边GC 的长.
参考值:sin78°≈0.98,cos78°=0.21,tan78°≈4.7.
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知:如图,在四边形 ABCD 中, AB ∥CD , ∠ACB =90°, AB=10cm , BC=8cm , OD 垂直平分 A C .点 P 从点 B 出发,沿 BA 方向匀速运动,速度为 1cm/s ;同时,点 Q 从点 D 出发,沿 DC 方向匀速运动,速度为 1cm/s ;当一个点停止运动,另一个点也停止运动.过点 P 作 PE ⊥AB ,交 BC 于点 E ,过点 Q 作 QF ∥AC ,分别交 AD , OD 于点 F , G .连接 OP ,EG .设运动时间为 t ( s )(0<t <5) ,解答下列问题: (1)当 t 为何值时,点 E 在 BAC 的平分线上? (2)设四边形 PEGO 的面积为 S(cm 2) ,求 S 与 t 的函数关系式; (3)在运动过程中,是否存在某一时刻 t ,使四边形 PEGO 的面积最大?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由; (4)连接 OE , OQ ,在运动过程中,是否存在某一时刻 t ,使 OE ⊥OQ ?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)4s t =;(2)PEGO S 四边形2 31568 8 t t =-+ + ,(05)t <<;(3)5 2t =时, PEGO S 四边形取得最大值;(4)16 5 t = 时,OE OQ ⊥. 【解析】 【分析】 (1)当点E 在∠BAC 的平分线上时,因为EP ⊥AB ,EC ⊥AC ,可得PE=EC ,由此构建方程即可解决问题. (2)根据S 四边形OPEG =S △OEG +S △OPE =S △OEG +(S △OPC +S △PCE -S △OEC )构建函数关系式即可. (3)利用二次函数的性质解决问题即可. (4)证明∠EOC=∠QOG ,可得tan ∠EOC=tan ∠QOG ,推出EC GQ OC OG =,由此构建方程即可解决问题. 【详解】 (1)在Rt △ABC 中,∵∠ACB=90°,AB=10cm ,BC=8cm , ∴22108-=6(cm ), ∵OD 垂直平分线段AC , ∴OC=OA=3(cm ),∠DOC=90°, ∵CD ∥AB ,
2018年中考数学专题复习 第一章 数与式 第一讲 实数 【基础知识回顾】 一、实数的分类: 1、按实数的定义分类: 实数 有限小数或无限循环数 2、按实数的正负分类: 实数 【名师提醒:1、正确理解实数的分类。如: 2 π 是 数,不是 数, 7 22 是 数,不是 数。2、0既不是 数,也不是 数,但它是自然数】 二、实数的基本概念和性质 1、数轴:规定了 、 、 的直线叫做数轴, 和数轴上的点是一一对应的,数轴的作用 有 、 、 等。 2、相反数:只有 不同的两个数叫做互为相反数,a 的相反数是 ,0的相反数是 ,a 、b 互为相反数? 3、倒数:实数a 的倒数是 , 没有倒数,a 、b 互为倒数? 4、绝对值:在数轴上表示一个数的点离开 的距离叫做这个数的绝对值。 a = 因为绝对值表示的是距离,所以一个数的绝对值是 数,我们学过的非负数有三个: 、 、 。 【名师提醒:a+b 的相反数是 ,a-b 的相反数是 ,0是唯一一个没有倒数的数,相反数等于本身的数是 ,倒数等于本身的数是 ,绝对值等于本身的数是 】 三、科学记数法、近似数和有效数字。 1、科学记数法:把一个较大或较小的数写成 的形式叫做科学记数法。其中a 的取值范围是 。 2、近似数和有效数字: 一般的,将一个数四舍五入后的到的数称为这个数的近似数,这时,从 数字起到近似数的最后一位 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 正无理数 无理数 负分数 零 正整数 整数 有理数 无限不循环小数 ? ? ????正数正无理数零 负有理数负数 (a >0) (a <0) 0 (a=0)
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.图1是一种折叠式晾衣架.晾衣时,该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示,两支脚OC=OD=10分米,展开角∠COD=60°,晾衣臂OA=OB=10分米,晾衣臂支架HG =FE=6分米,且HO=FO=4分米.当∠AOC=90°时,点A离地面的距离AM为_______分米;当OB从水平状态旋转到OB′(在CO延长线上)时,点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处,则B′E′﹣BE为_________分米. 【答案】553 【解析】 【分析】 如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J.解直角三角形求出MQ,AQ即可求出AM,再分别求出BE,B′E′即可. 【详解】 解:如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J. ∵AM⊥CD, ∴∠QMP=∠MPO=∠OQM=90°, ∴四边形OQMP是矩形, ∴QM=OP, ∵OC=OD=10,∠COD=60°, ∴△COD是等边三角形, ∵OP⊥CD, ∠COD=30°, ∴∠COP=1 2 ∴QM=OP=OC?cos30°=3 ∵∠AOC=∠QOP=90°, ∴∠AOQ=∠COP=30°, ∴AQ=1 OA=5(分米), 2 ∴AM=AQ+MQ=5+3 ∵OB∥CD, ∴∠BOD=∠ODC=60°
在Rt△OFK中,KO=OF?cos60°=2(分米),FK=OF?sin60°=23(分米), 在Rt△PKE中,EK=22 -=26(分米), EF FK ∴BE=10?2?26=(8?26)(分米), 在Rt△OFJ中,OJ=OF?cos60°=2(分米),FJ=23(分米), 在Rt△FJE′中,E′J=22 -(2)=26, 63 ∴B′E′=10?(26?2)=12?26, ∴B′E′?BE=4. 故答案为:5+53,4. 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型. 2.在△ABC中,AB=BC,点O是AC的中点,点P是AC上的一个动点(点P不与点A,O,C重合).过点A,点C作直线BP的垂线,垂足分别为点E和点F,连接OE,OF.(1)如图1,请直接写出线段OE与OF的数量关系; (2)如图2,当∠ABC=90°时,请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系,并说明理由 (3)若|CF﹣AE|=2,EF=23,当△POF为等腰三角形时,请直接写出线段OP的长. 【答案】(1)OF =OE;(2)OF⊥EK,OF=OE,理由见解析;(3)OP62 23 . 【解析】 【分析】(1)如图1中,延长EO交CF于K,证明△AOE≌△COK,从而可得OE=OK,再
整式 一、专练选择题 1.下列运算中,正确的是() A.x3+x3=x6 B.x3·x9=x27 C.(x2)3=x5 D.x x2=x-1 2.计算结果正确的是() A. B. C. D. 3.下列各式能用平方差公式计算的是() A. B. C. D. 4.计算(a-3)2的结果是() A. a2+9 B. a2+6a+9 C. a2-6a+9 D. a2-9 5.如图,4块完全相同的长方形围成一个正方形. 图中阴影部分的面积可以用不同的代数式进行表示,由此能验证的等式是() A. B. C. D. 6.下列四个式子: ①4x2y5÷ xy=xy4;②16a6b4c÷8a3b2=2a2b2c;③9x8y2÷3x2y=3x6y;④(12m3+8m2-4m)÷(-2m)=-6m2+4m-2.其中正确的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 7.下列等式成立的是() A. 2﹣1=﹣2 B. (a2) 3=a5 C. a6÷a3=a2 D. ﹣2(x﹣1)=﹣2x+2 8.计算(x+1)(x+2)的结果为() A. x2+2 B. x2+3x+2 C. x2+3x+3 D. x2+2x+2 9.若3×9m×27m=321,则m的值是( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10.下列各式中,结果为x3-2x2y+xy2的是( ) A.x(x+y)(x-y) B.x(x2+2xy+y2) C.x(x+y)2 D.x(x-y)2 11.一个长方体的长、宽、高分别为5x-3,4x和2x,则它的体积等于( ) A.(5x-3)·4x·2x=20x3-12x2 B.·4x·2x=4x2 C.(5x-3)·4x·2x=40x3-24x2 D.(5x-3)·4x=20x2-12x 12.下面是小林做的4道作业题:(1)2ab+3ab=5ab;(2)2ab﹣3ab=﹣ab;(3)2ab﹣3ab=6ab;(4)2ab÷3ab= .做对一题得2分,则他共得到() A. 2分 B. 4分 C. 6 分 D. 8分二、专项练习填空题 13.计算:=________. 14.计算: =________ 15.已知,,则的值是________ 16.如果(x+1)(x+m)的乘积中不含x的一次项,则m的值为________ 17.若x2﹣mx﹣15=(x+3)(x+n),则n m的值为________.
锐角三角函数 1.把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A ′B ′C ′,那么锐角A ,A ′的余弦值的关系为( ) A .cosA=cosA ′ B .cosA=3cosA ′ C .3cosA=cosA ′ D .不能确定 2.如图1,已知P 是射线OB 上的任意一点,PM ⊥OA 于M ,且PM :OM=3:4,则cos α的值等于( ) A .34 B .43 C .45 D .35 图1 图2 图3 图4 图5 3.在△ABC 中,∠C=90°,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别是a ,b ,c ,则下列各项中正确的是( ) A .a=c ·sin B B .a=c ·cosB C .a=c ·tanB D .以上均不正确 4.在Rt △ABC 中,∠C=90°,cosA=23 ,则tanB 等于( ) A .35 B .3 C .25 D .2 5.在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=5,AB=13,则sinA=______,cosA=______,?tanA=_______. 6.如图2,在△ABC 中,∠C=90°,BC :AC=1:2,则sinA=_______,cosA=______,tanB=______. 7.如图3,在Rt △ABC 中,∠C=90°,b=20,,则∠B 的度数为_______. 8.如图4,在△CDE 中,∠E=90°,DE=6,CD=10,求∠D 的三个三角函数值. 9.已知:α是锐角,tan α=724 ,则sin α=_____,cos α=_______. 10.在Rt △ABC 中,两边的长分别为3和4,求最小角的正弦值为 10.如图5,角α的顶点在直角坐标系的原点,一边在x 轴上,?另一边经过点P (2,,求角α的三个三角函数值. 12.如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,BD ⊥AC 于D ,∠CBD=α,AB=3,?BC=4,?求sin α,cos α,tan α的值. 解直角三角形 一、填空题 1. 已知cosA=2 3,且∠B=900-∠A ,则sinB=__________.
1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB = 90°,点D、点E、点F分别是AC,AB,BC边的中点,连接DE、EF,得到四边形EDCF,它的面积记作S;点D1、点E1、点F1分别是EF,EB,FB边的中点,连接D1E1、E1F1,得到四 边形E1D1F F 1,它的面积记作S 1,照此规律作下去,则Sn = . 2.如图,在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中,作内接正方形A1B1C1D1;在等腰直角三角形OA1B1中,作内接正方形A2B2C2D2;在等腰直角三角形OA2B2中,作内接正方形A3B3C3D3;……;依次作下去,则第n个正方形A n B n C n D n 的边长是( )(A)(B)(C)(D) 3.如图,在直线l1⊥x轴于点(1,0),直线l2⊥x轴于点(2,0),直线l3⊥x轴于点 (n,0)……直线l n⊥x轴于点(n,0).函数y=x的图象与直线l1,l2,l3,……l n 分别交于点B1,B2,B3,……B n。如果△OA1B1的面积记为S1,四边形A1A2B2B1的 面积记作S2,四边形A2A3B3B2的面积记作S3,……四边形A n-1A n B n B n-1的面积记作 S n,那么S2011=_______________________。 5.如图,点A1、A2、A3、…在平面直角坐标系x轴上,点B1、B2、 B3、…在直线y= 3 3 x+1上,△OA1B1、△A1B2A2、△A2B3A3…均 为等边三角形,则A2014的横坐标 . 1 3 1 - n n 3 1 1 3 1 + n2 3 1 + n 1 x y O 1 3 4 5 2 2 3 5 4 y=x A2 A3 B3 B2 B1 S1 S2 S3 A1 y=2x (第3题) 1/ 2
如有帮助欢迎下载支持 锐角三角函数专题 共100分 命题人:王震宇 张洪林 一、选择题(30分) 1、如果∠A 是锐角,且A cos A sin =,那么∠A=_______。 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 2. CD 是Rt △ABC 斜边上的高,AC=4,BC=3,则cos ∠BCD=________。 A. 5 3 B. 4 3 C. 3 4 D. 5 4 3、如果130sin sin 22=?+α,那么锐角α的度数是________。 A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 4、已知Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=2,BC=3,那么下列各式中,正确的是________。 A. 32B sin = B. 32B cos = C. 3 2 B tan = 5、在Rt △AB C 中,如果各边长度都扩大2倍,那么锐角A 的正切值( ) A. 没有变化 B. 扩大2倍 C.缩小2倍 D. 不能确定 6、 在△ABC 中,∠C =90°,AC =BC ,则sin A 的值等于( ) A. 2 1 B. 22 C. 2 3 D. 1 7、已知α为锐角,下列结论 ①1cos sin =+αα ②如果?>45α,那么ααcos sin > ③如果2 1 cos > α,那么?<60α ④ααsin 1)1(sin 2-=- 正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8、 △ABC 中,∠C =90°,53 sin = A ,则BC ∶AC 等于( ) A. 3∶4 B. 4∶3 C. 3∶5 D. 4∶5: 9、 如果α是锐角,且5 4 sin = α,那么)90cos(α-?=( ) A. 54 B. 43 C. 53 D. 5 1. 10、如右图,CD 是平面镜,光线从A 点出发经过CD 上点E 反射后照射到B 点,若入射角为α(入射角等于反射角),AC ⊥CD ,BD ⊥CD ,垂足分别为C 、D ,且AC =3,BD =6,CD =11,则tan α的值为( )
压轴题 1、已知,在平行四边形OABC 中,OA=5,AB=4,∠OCA=90°,动点P 从O 点出发沿射线OA 方向以每秒2个单位的速度移动,同时动点Q 从A 点出发沿射线AB 方向以每秒1个单位的速度移动.设移动的时间为t 秒. (1)求直线AC 的解析式; (2)试求出当t 为何值时,△OAC 与△PAQ 相似; (3)若⊙P 的半径为 58,⊙Q 的半径为2 3 ;当⊙P 与对角线AC 相切时,判断⊙Q 与直线AC 、BC 的位置关系,并求出Q 点坐标。 解:(1)42033 y x =- + (2)①当0≤t≤2.5时,P 在OA 上,若∠OAQ=90°时, 故此时△OAC 与△PAQ 不可能相似. 当t>2.5时,①若∠APQ=90°,则△APQ ∽△OCA , ∵t>2.5,∴ 符合条件. ②若∠AQP=90°,则△APQ ∽△∠OAC , ∵t>2.5,∴ 符合条件.
综上可知,当时,△OAC 与△APQ 相似. (3)⊙Q 与直线AC 、BC 均相切,Q 点坐标为( 10 9 ,5 31) 。 2、如图,以矩形OABC 的顶点O 为原点,OA 所在的直线为x 轴,OC 所在的直线为y 轴,建立平面直角坐标系.已知OA =3,OC =2,点E 是AB 的中点,在OA 上取一点D ,将△BDA 沿BD 翻折,使点A 落在BC 边上的点F 处. (1)直接写出点E 、F 的坐标; (2)设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴...于点P ,且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形,求该抛物线的解析式; (3)在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ,使得四边形MNFE 的周长最小?如果存在,求出周长的最小值;如果不存在,请说明理由. 解:(1)(31)E ,;(12)F ,. (2)在Rt EBF △中,90B ∠=, 2222125EF EB BF ∴=+=+=. 设点P 的坐标为(0)n ,,其中0n >, 顶点(1 2)F ,, ∴设抛物线解析式为2 (1)2(0)y a x a =-+≠. ①如图①,当EF PF =时,22 EF PF =,2 2 1(2)5n ∴+-=. 解得10n =(舍去);24n =.(04)P ∴,.24(01)2a ∴=-+.解得2a =. ∴抛物线的解析式为22(1)2y x =-+ (第2题)
2018年中考数学专题训练试卷及答案
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