二次函数知识点总结及典型题目
一.定义:
一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数的图象是抛物线,所以也叫抛物线y=ax2+bx+c ;抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界,一半图象上坡,另一半图象下坡;其中c 叫二次函数在y 轴上的截距, 即二次函数图象必过(0,c )点.
二.二次函数2ax y =的性质
(1)抛物线2ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. (2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系.
①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点;
②当0 (3)顶点是坐标原点,对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =)(0≠a . y=ax2 (a ≠0)可以经过 补0看做二次函数的一般式,顶点式和双根式,即: y=ax2+0x+0, y=a(x-0)2+0, y=a(x-0)(x-0). 例题精析: 1. 二次函数的概念,二次函数y =ax 2 (a ≠0)的图象性质 二次函数的一般式为y =ax 2+bx +c(a ≠0)。强调a ≠0.而常数b 、c 可以为0,当b ,c 同时为0时,抛物线为y =ax 2(a ≠0)。此时,抛物线顶点为(0,0),对称轴是y 轴,即直线x =0。 例:已知函数4 m m 2x )2m (y -++=是关于x 的二次函数,求: (1)满足条件的m 值; (2)m 为何值时,抛物线有最低点?求出这个最低点.这时当x 为何值时,y 随x 的增大而增大? (3)m 为何值时,函数有最大值?最大值是什么?这时当x 为何值时,y 随x 的增大而减小? 解: (1)使4 m m 2x )2m (y -++=是关于x 的二次函数,则m 2+m -4=2,且m +2≠0,即: m 2+m -4=2,m +2≠0,解得;m =2或m =-3,m ≠-2 (2)抛物线有最低点的条件是它开口向上,即m +2>0, (3)函数有最大值的条件是抛物线开口向下,即m +2<0。 练习:已知函数m m 2x )1m (y ++=是二次函数,其图象开口方向向下,则m =_____,顶点为_____,当 x_____0时,y 随x 的增大而增大,当x_____0时,y 随x 的增大而减小。 2、用配方法求抛物线的顶点,对称轴;抛物线的画法,平移规律 抛物线的一般式与顶点式的互化关系:y=ax2+bx+c———→y=a(x+b 2a) 2+ 4ac-b2 4a 平移规律如下图: 练习:(1)抛物线y=x2+bx+c的图象向左平移2个单位。再向上平移3个单位,得抛物线y=x2-2x+1,求:b与c的值。 (2)通过配方,求抛物线y=1 2x 2-4x+5的开口方向、对称轴及顶点坐标,再画出图象。 3.知识点串联,综合应用。 例:如图,已知直线AB经过x轴上的点A(2,0),且与抛物线y=ax2相交于 B、C两点,已知B点坐标为(1,1)。 (1)求直线和抛物线的解析式; (2)如果D为抛物线上一点,使得△AOD与△OBC的面积相等,求D点坐标。 点评:(1)直线AB过点A(2,0),B(1,1),代入解析式y=kx+b,可确定k、b,抛物线y=ax2过点B(1,1),代人可确定a。 求得:直线解析式为y=-x+2,抛物线解析式为y=x2。 (2)由y=-x+2与y=x2,先求抛物线与直线的另一个交点C的坐标为(-2,4),S△OBC=S△ABC-S△OAB=3。 ∵S△AOD=S△OBC,且OA=2 ∴D的纵坐标为3 又∵D在抛物线y=x2上, ∴x2=3,即x=± 3 ∴D(-3,3)或(3,3) 练习:函数y=ax2(a≠0)与直线y=2x-3交于点A(1,b),求: (1)a和b的值; (2)求抛物线y=ax2的顶点和对称轴; (3)x取何值时,二次函数y=ax2中的y随x的增大而增大, (4)求抛物线与直线y=-2两交点及抛物线的顶点所构成的三角形面积。 课堂作业 一、填空。 1.若二次函数y=(m+1)x2+m2-2m-3的图象经过原点,则m=______。 2.函数y=3x2与直线y=kx+3的交点为(2,b),则k=______,b=______。 3.抛物线y =-13(x -1)2+2可以由抛物线y =-1 3x 2向______方向平移______个单位,再向______方向平 移______个单位得到。 4.用配方法把y =-12x 2+x -5 2化为y =a(x -h)2+k 的形式为y =__________________,其开口方向______, 对称轴为______,顶点坐标为______。 二、选择。 1.函数y =(m -n)x 2+mx +n 是二次函数的条件是( ) A .m 、n 是常数,且m ≠0 B .m 、n 是常数,且m ≠n C. m 、n 是常数,且n ≠0 D. m 、n 可以为任意实数 2.直线y =mx +1与抛物线y =2x 2-8x +k +8相交于点(3,4),则m 、k 值为( ) A .???m =1k =3 B .???m =-1 k =2 C. ???m =1k =2 D. ???m =2 k =1 3.下列图象中,当ab >0时,函数y =ax 2与y =ax +b 的图象是( ) 三、解答题 1.函数 (1)当a 取什么值时,它为二次函数。 (2)当a 取什么值时,它为一次函数。 3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线. 4.二次函数c bx ax y ++=2 用配方法可化成:()k h x a y +-=2 的形式,其中a b a c k a b h 4422 -=-=,. 5.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:①2 ax y =;②k ax y +=2 ;③()2 h x a y -=;④ ()k h x a y +-=2 ;⑤c bx ax y ++=2. 6.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点. ①a 的符号决定抛物线的开口方向:当0>a 时,开口向上;当0 a 相等,抛物线的开口大小、形状相同. ②平行于y 轴(或重合)的直线记作h x =.特别地,y 轴记作直线0=x . 7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数a 相同,那么抛物线的开口方向、开口 大小完全相同,只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法 (1)公式法:a b ac a b x a c bx ax y 44222 2 -+ ??? ? ? +=++=,∴顶点是),(a b ac a b 4422--,对称轴是直线a b x 2- =. (2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2 的形式,得到顶点为(h ,k ), 对称轴是直线h x =. (3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线 是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2中,c b a ,,的作用 (1)a 决定开口方向及开口大小,这与2ax y =中的a 完全一样. (2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线 a b x 2- =,故:①0=b 时,对称轴为y 轴;②0>a b (即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧;③ 0 b (即a 、b 异号)时,对称轴在y 轴右侧. (3)c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置. 当0=x 时,c y =,∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点(0,c ): ①0=c ,抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴;③0 b . 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下: 二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象及几个重要点的公式: 二次函数y=ax2+bx+c (a ≠0)中,a 、b 、c 与Δ的符号与图象的关系: (1) a >0 <=> 抛物线开口向上; a <0 <=> 抛物线开口向下; (2) c >0 <=> 抛物线从原点上方通过; c=0 <=> 抛物线从原点通过; c <0 <=> 抛物线从原点下方通过; (3) a, b 异号 <=> 对称轴在y 轴的右侧; a, b 同号 <=> 对称轴在y 轴的左侧; b=0 <=> 对称轴是y 轴; (4) Δ>0 <=> 抛物线与x 轴有两个交点; Δ=0 <=> 抛物线与x 轴有一个交点(即相切); Δ<0 <=> 抛物线与x 轴无交点. 11.用待定系数法求二次函数的解析式 (1)一般式:c bx ax y ++=2 .已知图像上三点或三对x 、y 的值,通常选择一般式. (2)顶点式:()k h x a y +-=2 .已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式. (3)交点式:已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ,通常选用交点式:()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点 (1)y 轴与抛物线c bx ax y ++=2 得交点为(0, c ). (2)与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2 有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2). (3)抛物线与x 轴的交点 二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ,是对应一元二次方程 02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别 式判定: ①有两个交点?0>??抛物线与x 轴相交; ②有一个交点(顶点在x 轴上)?0=??抛物线与x 轴相切; ③没有交点?0?抛物线与x 轴相离. (4)平行于x 轴的直线与抛物线的交点 同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵 坐标为k ,则横坐标是k c bx ax =++2 的两个实数根. (5)一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点,由方程 组 c bx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定:①方程组有两组不同的解时?l 与G 有两个交点; ②方 程组只有一组解时?l 与G 只有一个交点;③方程组无解时?l 与G 没有交点. (6)抛物线与x 轴两交点之间的距离:若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021,,,x B x A , 由于1x 、2x 是方程02 =++c bx ax 的两个根,故 a c x x a b x x = ?-=+2121,() () a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ?=-=-?? ? ??-=--= -= -=44422 212 212 2121 例题精析 1、用待定系数法确定二次函数解析式. 例:根据下列条件,求出二次函数的解析式。 (1)抛物线y =ax 2+bx +c 经过点(0,1),(1,3),(-1,1)三点。 (2)抛物线顶点P(-1,-8),且过点A(0,-6)。 (3)已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象过(3,0),(2,-3)两点,并且以x =1为对称轴。 (4)已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象经过一次函数y =-3/2x +3的图象与x 轴、y 轴的交点;且过(1,1),求这个二次函数解析式,并把它化为y =a(x -h)2+k 的形式。 提示:二次函数解析式常用的有三种形式: (1)一般式:y =ax 2+bx +c (a ≠0) (2)顶点式:y =a(x -h)2+k (a ≠0) (3)两根式:y =a(x -x 1)(x -x 2) (a ≠0) 当已知抛物线上任意三点时,通常设为一般式y=ax2+bx+c形式。 当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时,通常设为顶点式y=a(x-h)2+k形式。 当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时,通常设为两根式y=a(x-x1)(x-x2) 2、知识点串联,综合应用 例:如图,抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1,0),且经 过直线y=x-3与坐标轴的两个交点B、C。 (1)求抛物线的解析式; (2)求抛物线的顶点坐标, (3)若点M在第四象限内的抛物线上,且OM⊥BC,垂 足为D,求点M的坐标。 提示:(1)求抛物线解析式,只要求出A、B,C三点坐标即可,设y=x2-2x-3。 (2)抛物线的顶点可用配方法求出,顶点为(1,-4)。 (3)由|0B|=|OC|=3 又OM⊥BC。 所以,OM平分∠BOC 设M(x,-x)代入y=x2-2x-3 解得x=1±13 2 因为M在第四象限:∴M(1+13 2, 1-13 2) (此题为二次函数与一次函数的交叉问题,涉及到了用待定系数法求函数 解析式,用配方法求抛物线的顶点坐标;等腰三角形三线合一等性质应用,求M点坐标 时应考虑M点所在象限的符号特征,抓住点M在抛物线上,从而可求M的求标。) 练习;已知二次函数y=2x2-(m+1)x+m-1。 (1)求证不论m为何值,函数图象与x轴总有交点,并指出m为何值时,只有一个交点。 (2)当m为何值时,函数图象过原点,并指出此时函数图象与x轴的另一个交点。 (3)若函数图象的顶点在第四象限,求m的取值范围。 课堂作业 一、填空。 1. 如果一条抛物线的形状与y=-1 3x 2+2的形状相同,且顶点坐标是(4,-2),则它的解析式是_____。 2.开口向上的抛物线y=a(x+2)(x-8)与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,若∠ACB=90°,则a =_____。 3.已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,且过(3,0),则a+b+c=______。 二、选择。 1.如图(1),二次函数y=ax2+bx+c图象如图所示,则下列结论成立的是( ) A.a>0,bc>0 B. a<0,bc<0 C. a>O,bc<O D. a<0,bc>0 2.已知二次函数y=ax2+bx+c图象如图(2)所示,那么函数解析式为( ) A.y=-x2+2x+3 B. y=x2-2x-3 C.y=-x2-2x+3 D. y=-x2-2x-3 3.若二次函数y=ax2+c,当x取x1、x2(x1≠x2)时,函数值相等,则当x取x1+x2时,函数值为( ) A.a+c B. a-c C.-c D. c 4.已知二次函数y=ax2+bx+c图象如图(3)所示,下列结论中:①abc>0,②b=2a;③a+b+c<0,④a -b+c>0,正确的个数是( ) A.4个B.3个 C. 2个D.1个 三、解答题。 已知抛物线y=x2-(2m-1)x+m2-m-2。 (1)证明抛物线与x轴有两个不相同的交点, (2)分别求出抛物线与x轴交点A、B的横坐标x A、x B,以及与y轴的交点的纵坐标yc(用含m的代数式表示) (3)设△ABC的面积为6,且A、B两点在y轴的同侧,求抛物线的解析式。 3.二次函数实际应用 (1).何时获得最大利润问题。 例1:重庆市某区地理环境偏僻,严重制约经济发展,丰富的花木产品只能在本地销售,区政府对该 花木产品每投资x万元,所获利润为P=-1 50(x-30) 2+10万元,为了响应我国西部大开发的宏伟决策,区政府 在制定经济发展的10年规划时,拟开发此花木产品,而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元,若开发该产品,在前5年中,必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路,且5年修通,公路修通后,花木产品除在本地销售外,还可运往外地销售,运往外地销售的花木产品,每投资x万元可获利润Q= -49 50(50-x)2+ 194 5(50-x)+308万元。 (1)若不进行开发,求10年所获利润最大值是多少? (2)若按此规划开发,求10年所获利润的最大值是多少? (3)根据(1)、(2)计算的结果,请你用一句话谈谈你的想法。 提示:(1) 若不开发此产品,按原来的投资方式,由P=-1 50(x-30) 2+10知道,只需从50万元专款中拿 出30万元投资,每年即可获最大利润10万元,则10年的最大利润为M1=10310=100万元。 (2) 若对该产品开发,在前5年中,当x=25时,每年最大利润是: P=-1 50(25-30) 2+10=9.5(万元) 则前5年的最大利润为M2=9.535=47.5万元设后5年中x万元就是用于本地销售的投资。 人教版小学数学知识点归纳 第一章数和数的运算 一概念 (一)整数 1、整数的意义自然数和0都是整数。 2 、自然数 我们在数物体的时候,用来表示物体个数的1,2,3……叫做自然数。 一个物体也没有,用0表示。0也是自然数。 3、计数单位 一(个)、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。 每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。 4 、数位 计数单位按照一定的顺序排列起来,它们所占的位置叫做数位。 5、数的整除 整数a除以整数b(b ≠ 0),除得的商是整数而没有余数,我们就说a能被b整除,或者说b能整除a 。例如15÷3=5,所以15能被3整除,3能整除15。 如果数a能被数b(b ≠ 0)整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a的因数。倍数和约数是相互依存的。 一个数的因数的个数是有限的,其中最小的因数是1,最大的因数是它本身。 一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身,没有最大的倍数。 个位上是0、2、4、6、8的数,都能被2整除,例如:202、480、304,都能被2整除。。个位上是0或5的数,都能被5整除,例如:5、30、405都能被5整除。。 一个数的各位上的数的和能被3整除,这个数就能被3整除,例如:12、108、204都能被3整除。 能被2整除的数叫做偶数,不能被2整除的数叫做奇数。0也是偶数。自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。 一个数,如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫做质数,100以内的质数有:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53 、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 一个数,如果除了1和它本身还有别的因数,这样的数叫做合数,例如 4、6、8、9、12都是合数。 1不是质数也不是合数,自然数除了1外,不是质数就是合数。如果把自然数按其因数的个数的不同分类,可分为质数、合数和1。 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数,叫做这个合数的质因数,例如15=3×5,3和5 叫做15的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。例如把28分解质因数 28=2×2×7 几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数。其中最大的一个,叫做这几个数的最大公因数,例如12的约数有1、2、3、4、6、12;18的约数有1、2、3、6、9、18。其中,1、2、3、6是12和1 8的公因数,6是它们的最大公因数。 公约数只有1的两个数,叫做互质数,成互质关系的两个数,有下列几种情况: 1和任何自然数互质。相邻的两个自然数互质。两个不同的质数互质。 当合数不是质数的倍数时,这个合数和这个质数互质。 二次函数知识点总结及中考题型,易错题总结 (一)二次函数知识点总结 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数, 叫做二次函数。这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。 3. ()2y a x h =-的性质: 左加右减。 4. ()2y a x h k =-+的性质: 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ()2y a x h k =-+,确定其顶点坐标 ()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位, c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位, c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 四、二次函数()2y a x h k =-+与 2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2y a x h k =-+与 2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即 22424b ac b y a x a a -??=++ ???,其中2424b ac b h k a a -=-=,. 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2 ()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c ,、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为 2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???,. 当2b x a <-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当 2b x a =-时,y 有最小值2 44ac b a -. 2. 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???,.当2b x a <-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a =-时, y 有最大值2 44ac b a -. 二次函数专项复习经典试题集锦(含答案) 一、选择题: 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是( ) A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线2-=x D. 直线2=x 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图,则点 ),(a c b M 在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数c bx ax y ++=2,且0+-c b a ,则一定有( ) A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式 是532+-=x x y ,则有( ) A. 3=b ,7=c B. 9-=b ,15-=c C. 3=b ,3=c D. 9-=b ,21=c 5. 下面所示各图是在同一直角坐标系,二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象,有且只有一个是正确的,正确的是( ) B D 6. 抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线( ) A. 2-=x B. 2=x C. 1-=x D. 1=x 7. 二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是( ) A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 8. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,若 c b a M ++=24c b a N +-=,b a P -=4,则( ) A. 0>M ,0>N ,0>P B. 0 x 时,求使y ≥2的x 的取值围. 二次函数知识点总结 二次函数知识点: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c , ,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项 系数0a ≠,而b c , 可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c , ,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: 结论:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 总结: 2. 2 =+的性质: y ax c 结论:上加下减。 总结: 3. ()2 =-的性质: y a x h 结论:左加右减。 总结: 4. ()2 =-+的性质: y a x h k 总结: 1. 平移步骤: ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法 如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 请将2245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。请将2y ax bx c =++配成 ()2 y a x h k =-+。 总结: 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者 通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?,其中2424b ac b h k a a -=-= ,. 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式 2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧, 左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c , 关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 【二次函数的定义】 (考点:二次函数的二次项系数不为0,且二次函数的表达式必须为整式) 1、下列函数中,是二次函数的是 . ①y=x2-4x+1;②y=2x2;③y=2x2+4x;④y=-3x; ⑤y=-2x-1;⑥y=mx2+nx+p;⑦y =(4,x) ;⑧y=-5x。 2、在一定条件下,若物体运动的路程s(米)与时间t(秒)的关系式为s=5t2+2t,则t=4 秒时,该物体所经过的路程为。 3、若函数y=(m2+2m-7)x2+4x+5是关于x的二次函数,则m的取值范围为。 4、若函数y=(m-2)x m -2+5x+1是关于x的二次函数,则m的值为。 6、已知函数y=(m-1)x m2 +1+5x-3是二次函数,求m的值。 【二次函数的对称轴、顶点、最值】 (技法:如果解析式为顶点式y=a(x-h)2+k,则最值为k; 如果解析式为一般式y=ax2+bx+c,则最值为4ac-b2 4a 1.抛物线y=2x2+4x+m2-m经过坐标原点,则m的值为。 2.抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为(1,3),则b=,c= . 3.抛物线y=x2+3x的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.若抛物线y=ax2-6x经过点(2,0),则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) B. 5.若直线y=ax+b不经过二、四象限,则抛物线y=ax2+bx+c( ) A.开口向上,对称轴是y轴 B.开口向下,对称轴是y轴 C.开口向下,对称轴平行于y轴 D.开口向上,对称轴平行于y轴 6.已知抛物线y=x2+(m-1)x-1 4 的顶点的横坐标是2,则m的值是_ . 7.抛物线y=x2+2x-3的对称轴是。 8.若二次函数y=3x2+mx-3的对称轴是直线x=1,则m=。 9.当n=______,m=______时,函数y=(m+n)x n+(m-n)x的图象是抛物线,且其顶点在原点,此抛物线的开口________. 初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题: 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线,则m = . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ,与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点(-1,2),则它的解析式是 , 当x 时,y 随x 的增大而增大. 4.抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到. 5.抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 . 6.抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点,则=m . 7.抛物线m x x y +-=2 ,若其顶点在x 轴上,则=m . 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x =-2,且开口方向与形状与抛物线 相同,又过原点,那么a = ,b = ,c = . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示,则对称轴是 ,当函数值0y <时, 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A (-2,4)和 B (8,2),如上右图所示,则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题: 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A .2 1xy x += B . 2 20x y +-= C . 2 2y ax -=- D .2 2 10x y -+= 2 2 3x y -= 12.在同一坐标系中,作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象,它们共同特点是 ( ) A . 都是关于x 轴对称,抛物线开口向上 B .都是关于y 轴对称,抛物线开口向下 B . 都是关于原点对称,顶点都是原点 D .都是关于y 轴对称,顶点都是原点 13.抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点,则m 为( ) A .0 B .1 C .-1 D .±1 14.把二次函数122 --=x x y 配方成为( ) A .2 )1(-=x y B . 2)1(2--=x y C .1)1(2 ++=x y D .2)1(2 -+=x y 15.已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点,则m 的范围是( ) A . 1- 二次函数知识点归纳 一、二次函数概念 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: o o 结论:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 总结: 2. 2y ax c =+的性质: 结论:上加下减。 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值0. 总结: 3. ()2 y a x h =-的性质: 结论:左加右减。 总结: 4. ()2 y a x h k =-+的性质: 总结: a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值c . 0a < 向下 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值c . a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而增大;x h <时,y 随x 的增大而减小;x h =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而减小;x h <时,y 随x 的增大而增大;x h =时,y 有最大值0. a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 小学数学超详细知识归纳总结(打印版) 基本概念 第一章数和数的运算 一、概念 (一)整数 1、整数的意义 自然数和0都是整数。 2、自然数 我们在数物体的时候,用来表示物体个数的1,2,3……叫做自然数。 一个物体也没有,用0表示。0也是自然数。 3、计数单位 一(个)、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。其中“一”是计数的基本单位。 10个1是10,10个10是100……每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。 4、数位 计数单位按照一定的顺序排列起来,它们所占的位置叫做数位。 5、整数的读法:从高位到低位,一级一级地读。读亿级、万级时,先按照个级的读法去读,再在后面加一个“亿”或“万”字。每一级末尾的0都不读出来,其它数位连续有几个0都只读一个零。 6、整数的写法:从高位到低位,一级一级地写,哪一个数位上一个单位也没有,就在那个数位上写0。 7、一个较大的多位数,为了读写方便,常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数。有时还可以根据需要,省略这个数某一位后面的数,写成近似数。 ⑴准确数:在实际生活中,为了计数的简便,可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。改写后的数是原数的准确数。例如把1254300000 改写成以万做单位的数是125430 万;改写成以亿做单位的数12.543 亿。 ⑵近似数:根据实际需要,我们还可以把一个较大的数,省略某一位后面的尾数,用一个近似数来表示。例如:1302490015 省略亿后面的尾数是13 亿。⑶四舍五入法:求近似数,看尾数最高位上的数是几,比5小就舍去,是5或大于5舍去尾数向前一位进1。这种求近似数的方法就叫做四舍五入法。 1 中考二次函数综合压轴题型归类 一、常考点汇总 1、两点间的距离公式:()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标:线段AB 的中点C 的坐标为:?? ? ??++22B A B A y y x x , 直线11b x k y +=(01≠k )与22b x k y +=(02≠k )的位置关系: (1)两直线平行?21k k =且21b b ≠ (2)两直线相交?21k k ≠ (3)两直线重合?21k k =且21b b = (4)两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题,解题步骤如下: ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围; ② 解方程,求出方程的根;(两种形式:分式、二次根式) ③ 分析求解:若是分式,分母是分子的因数;若是二次根式,被开方式是完全平方式。 例:关于x 的一元二次方程()0122 2 =-m x m x ++有两个整数根,5<m 且m 为整数,求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。(方法同上) 例:若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点,且m 为正整数,试确定 此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题,可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下: 已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=(m 为实数),求证:无论m 为何值,方程总有一个固定的根。 解:当0=m 时,1=x ; 当0≠m 时,()032 ≥-=?m ,()m m x 213?±-= ,m x 3 21-=、12=x ; 综上所述:无论m 为何值,方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题,举例如下: 已知抛物线22 -+-=m mx x y (m 是常数),求证:不论m 为何值,该抛物线总经过一个固定的点,并求出固定点的坐标。 解:把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ; ∴ ???=-=+-0 1 02 2x x y ,解得:???=-=1 1 x y ; ∴ 抛物线总经过一个固定的点(1,-1)。 (题目要求等价于:关于m 的方程()x m x y -=+-122 不论m 为何值,方程恒成立) 二次函数经典例题及答案 1.已知抛物线的顶点为P (- 4,—2),与x轴交于A B两点,与y轴交于点C,其中B点坐标为(1 , 0)。 (1) 求这条抛物线的函数关系式; (2) 若抛物线的对称轴交x轴于点D,则在线段AC上是否存在这样的点Q,使得△ ADQ 1 2 9 . 135 y=2 x +4x - 2;存在点Q (-1 , -4 ) , Q (2^5-9,-%'5 ) , Q (--^, -4) ?析 一2 25 试题分析:(1)根据顶点坐标把抛物线设为顶点式形式y=a ( x+4) - 2,然后把点B的坐 标代入解析式求出a的值,即可得解; (2)先根据顶点坐标求出点D 的坐标,再根据抛物线解析式求出点A、C的坐标,从而得 到OA OC AD的长度,根据勾股定理列式求出AC的长度,然后根据锐角三角形函数求出/ OAC勺正弦值与余弦值,再分① AD=QD时,过Q作QE1丄x轴于点E,根据等腰三角形三线合一的性质求出AQ,再利用/ OAC勺正弦求出QE的长度,根据/ OAC勺余弦求出AE的长度,然后求出OE,从而得到点Q的坐标;②AD=AQ时,过Q作QE2丄x轴于点E>,利用/ OAC勺正弦求出QE2的长度,根据/ OAC勺余弦求出AE的长度,然后求出OE,从而得到点Q的坐标;③AQ=DQ时,过Q作QE3丄x轴于点已,根据等腰三角形三线合一的性质求出AE 的长度,然后求出OE,再由相似三角形对应边成比例列式求出QE3的长度,从而得到点Q 的坐标. 试题解析:(1 )???抛物线顶点坐标为( 25 -4 , - 2), ???设抛物线解析式为 2 25 y=a (x+4) - 2 为等腰三角形?若存在,请求出符合条件的点人教版小学数学知识点总结(完整版)
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