新人教A版高中数学【必修3】 2.3变量间的相关关系课时作业练习含答案解析
§2.3 变量间的相关关系
课时目标 1.理解两个变量的相关关系的概念.2.会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系.3.会求回归直线方程．
1．相关关系：与函数关系不同，相关关系是一种__________性关系．
2．从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为________，点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为________．
3．如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，称两个变量之间具有____________，这条直线叫__________．
4．回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^
，其中
?????
b ^＝
∑i ＝1n
－x －
y ∑i ＝1
n
－
x ＝
∑i ＝1n
xiyi －n x y
∑i ＝1
n
x2
i －n x 2，
a ^＝ .
b ^是回归方程的斜率，a ^
是截距．
5．通过求Q ＝∑i ＝1
n
(yi －bxi －a)2的最小值而得出回归直线的方法，即求出的回归直线使样本数据中的点到
它的距离的平方和最小，由于平方又叫二乘方，所以这种使“偏差平方和最小”的方法叫做______________．
一、选择题
1．下列两个变量之间的关系，哪个不是函数关系？( ) A ．匀速行驶车辆的行驶距离与时间 B ．圆半径与圆的面积
C ．正n 边形的边数与内角度数之和
D ．人的年龄与身高
2．下列有关线性回归的说法，不正确的是( )
A ．变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系
B ．在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图
C ．回归直线方程最能代表观测值x 、y 之间的关系
D ．任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线方程
3．工人月工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归直线方程为y ^
＝60＋90x ，下列判断正确的是( ) A ．劳动生产率为1千元时，工资为50元 B ．劳动生产率提高1千元时，工资提高150元 C ．劳动生产率提高1千元时，工资约提高90元 D ．劳动生产率为1千元时，工资90元
4．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是( ) A.y ^ ＝－10x ＋200 B.y ^
＝10x ＋200 C.y ^ ＝－10x －200 D.y ^
＝10x －200
5．给出两组数据x 、y 的对应值如下表，若已知x 、y 是线性相关的，且回归直线方程：y ＝a ^ ＋b ^
x ，经计算知：b ^ ＝－1.4，则a ^
为( )
A. 17.4 B ．－1.74 C ．0.6 D ．－0.6 6．回归直线方程表示的直线y ^ ＝a ^ ＋b ^
x 必经过点( ) A ．(0,0) B ．(x ，0) C ．(x ，y ) D ．(0，y )
二、填空题
7．若对某个地区人均工资x 与该地区人均消费y 进行调查统计得y 与x 具有相关关系，且回归直线方程y ^
＝0.7x ＋2.1(单位：千元)，若该地区人均消费水平为10.5，则估计该地区人均消费额占人均工资收入的百分比约为________．
8．设有一个回归方程y ^
＝3－2.5x ，当变量x 增加一个单位时，变量y________个单位．
9．期中考试后，某校高三(9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y 对总成绩x 的回归直线方程为y ^
＝6＋0.4x.由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大约相差______分． 三、解答题
10．下表是某旅游区游客数量与平均气温的对比表：
若已知游客数量与平均气温是线性相关的，求回归方程．
11．5个学生的数学和物理成绩(单位：分)如下表：
画出散点图，判断它们是否具有相关关系，若相关，求出回归方程．
能力提升
12．在研究硝酸钠的可溶性程度时，观测它在不同温度的水中的溶解度，得观测结果如下：
则由此得到回归直线的斜率约为________．
13．20世纪初的一项关于16艘轮船的研究显示，轮船的吨位从192～3 246吨，船员的数目从5～32人，对船员人数关于轮船的吨位数的回归分析得：船员人数＝9.5＋0.006 2×轮船吨位．
(1)假设两轮船吨位相差1 000吨，船员人数平均相差多少？
(2)对于最小的轮船估计的船员人数是多少？对于最大的轮船估计的船员人数是多少？
1．由最小二乘法得
?
????
b ^ ＝∑n i ＝1 －x i －y ∑n
i ＝1 －x ＝∑n
i ＝1xiyi －n x y ∑n
i ＝
1x2i －n x 2a ^ ＝y －b ^
x
其中：b ^ 是回归方程的斜率，a ^
是截距． 2．回归方程的求解过程 计算x ，y ，∑n i ＝1x2i ，∑n
i ＝1xiyi
计算b ^ ＝∑n
i ＝1xiyi －n x y ∑n i ＝1x2i －n x 2，a ^ ＝y －b ^ x
?
y ^ ＝b ^ x ＋a ^
3．在回归方程y ^
＝bx ＋a 中，当回归系数b>0时，说明两个变量呈正相关关系，它的意义是：当x 每增加一个单位时y 就增加b 个单位；当b<0时，说明两个变量呈负相关关系，它的意义是：当x 每增加一个单位时，y 就减少b 个单位． 答案：
§2.3 变量间的相关关系 知识梳理
1．非确定 2.正相关 负相关 3.线性相关关系 回归直线 4.y －b ^
x 5.最小二乘法 作业设计
1．D [人的年龄与身高具有相关关系．]
2．D [只有所有的数据点都分布在一条直线附近时，才能得到具有代表意义的回归直线．]
3．C [因工人月工资与劳动生产率变化的回归直线方程为y ^ ＝60＋90x ，当x 由a 提高到a ＋1时，y ^ 2－y ^
1＝60＋90(a ＋1)－60－90a ＝90.] 4．A [∵y 与x 负相关，∴排除B 、D ， 又∵C 项中x>0时y ^
<0不合题意，∴C 错．] 5．A [x ＝1
5(4＋5＋6＋7＋8)＝6， y ＝1
5(12＋10＋9＋8＋6)＝9.
a ^ ＝y －
b ^
x ＝9＋1.4×6＝9＋8.4＝17.4.] 6．C [由a ^ ＝y －b ^ x 得y ＝b ^ x ＋a ^
， 即点(x ，y )适合方程y ^ ＝a ^ ＋b ^
x ．] 7．87.5%
解析 设该地区人均工资收入为y ， 则y ＝0.7x ＋2.1， 当y ＝10.5时，x ＝10.5－2.1
0.7＝12.
10.5
12×100%＝87.5%. 8．减少2.5
解析 y ^ ′＝3－2.5(x ＋1)＝3－2.5x －2.5＝y ^
－2.5， 因此，y 的值平均减少2.5个单位． 9．20
解析 令两人的总成绩分别为x1，x2. 则对应的数学成绩估计为 y ^ ＝6＋0.4x1，y ^
2＝6＋0.4x2，
所以|y ^ 1－y ^
2|＝|0.4(x1－x2)|＝0.4×50＝20.
10．解 x ＝706＝353，y ＝2306＝1153，∑6i ＝1x2i ＝1＋16＋100＋169＋324＋676＝1 286，∑6
i ＝1xiyi ＝－20＋96＋340＋13×38＋18×50＋26×64＝3 474.
b ^ ＝∑6i ＝1xiyi －6x y
∑6i ＝1x2i －6x 2＝3 474－6×353×11531 286－353≈1.68，
a ^ ＝y －
b ^
x ≈18.73，
即所求的回归方程为y ^
＝1.68x ＋18.73.
11．解 以x 轴表示数学成绩，y 轴表示物理成绩，可得到相应的散点图如图所示：
由散点图可知，两者之间具有相关关系，且为线性相关． 列表，计算
设所求回归方程为y ^ ＝b ^ x ＋a ^
，则由上表可得
b ^ ＝∑5
i ＝1xiyi －5x y ∑5i ＝1x2i －5x 2＝90250＝0.36，a ^ ＝y －b ^ x ＝40.8.
∴所求回归方程为y ^
＝0.36x ＋40.8. 12．0.880 9
解析 x ＝30，y ＝93.6，∑5
i ＝1x2i ＝7 900， ∑5i ＝1xiyi ＝17 035， 所以回归直线的斜率
b ^＝∑5
i ＝1xiyi －5x y ∑5i ＝
1x2i －5x 2＝17 035－5×30×93.67 900－4 500
≈0.880 9.
13．解 (1)由y ^ ＝9.5＋0.006 2x 可知，当x1与x2相差1 000吨时，船员平均人数相差y ^ 1－y ^ 2＝(9.5＋0.006 2x1)－(9.5＋0.006 2x2)＝0.006 2×1000≈6(人)．
(2)当取最小吨位192时，预计船员人数为y ^
＝9.5＋0.006 2×192≈10(人)． 当取最大吨位3 246时，预计船员人数为y ^
＝9.5＋0.006 2×3 246≈29(人)．