三角函数解三角形综合

1.已知函数f（x）=sin（ωx）﹣2sin2+m（ω＞0）的最小正周期为3π，当x∈[0，π]时，函数f（x）的最小值为0．

（1）求函数f（x）的表达式；

（2）在△ABC中，若f（C）=1，且2sin2B=cosB+cos（A﹣C），求sinA的值．

解：（Ⅰ）．

依题意：函数．

所以．

，

所以f（x）的最小值为m．依题意，m=0．

．

（Ⅱ）∵，∴

．．

在Rt△ABC中，∵，

∴．

∵0＜sinA＜1，∴．

2.已知函数（其中ω＞0），若f（x）的一条对称轴离最近的对称中心的距离为．

（I）求y=f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）在△ABC中角A、B、C的对边分别是a，b，c满足（2b﹣a）cosC=c?cosA，则f（B）恰是f（x）的最大值，试判断△ABC的形状．

【解答】解：（Ⅰ）∵

，

=，

∵f（x）的对称轴离最近的对称中心的距离为，

∴T=π，∴，∴ω=1，∴．

∵得：，

∴函数f（x）单调增区间为；

（Ⅱ）∵（2b﹣a）cosC=c?cosA，由正弦定理，

得（2sinB﹣sinA）cosC=sinC?cosA2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C），

∵sin（A+C）=sin（π﹣B）=sinB＞0，2sinBcosC=sinB，

∴sinB（2cosC﹣1）=0，∴，∵0＜C＜π，∴，∴，

∴．∴，

根据正弦函数的图象可以看出，f（B）无最小值，有最大值y max=1，

此时，即，∴，∴△ABC为等边三角形．

3.已知函数f（x）=sinωx+cos（ωx+）+cos（ωx﹣）﹣1（ω＞0），x∈R，且函数的最小正周期为π：

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若f（B）=0，?=，且a+c=4，试求b的值．

【解答】解：（1）f（x）=sinωx+cos（ωx+）+cos（ωx﹣）﹣1

==．

∵T=，∴ω=2．

则f（x）=2sin（2x）﹣1；

（2）由f（B）==0，得．

∴或，k∈Z．

∵B是三角形内角，∴B=．

而=ac?cosB=，∴ac=3．

又a+c=4，∴a2+c2=（a+c）2﹣2ac=16﹣2×3=10．∴b2=a2+c2﹣2ac?cosB=7．则b=．

4.已知函数．

（1）求f（x）单调递增区间；

（2）△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c满足，求f（A）的取值范围．

【解答】解：（1）f（x）=﹣+sin2x=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，得到﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，

则f（x）的增区间为[﹣+kπ， +kπ]（k∈Z）；

（2）由余弦定理得：cosA=，即b2+c2﹣a2=2bccosA，

代入已知不等式得：2bccosA＞bc，即cosA＞，

∵A为△ABC内角，∴0＜A＜，

∵f（A）=sin（2A﹣），且﹣＜2A﹣＜，∴﹣＜f（A）＜，

则f（A）的范围为（﹣，）．

5.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A为锐角，且

bsinAcosC+csinAcosB=a．

（1）求角A的大小；

（2）设函数f（x）=tanAsinωxcosωx﹣cos2ωx（ω＞0），其图象上相邻两条对称轴间的距离为，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）图象，求函数g（x）在区间[﹣，]上值域．

解：（1）∵bsinAcosC+csinAcosB=a，

∴由正弦定理可得：sinBsinAcosC+sinCsinAcosB=sinA，

∵A为锐角，sinA≠0，

∴sinBcosC+sinCcosB=，可得：sin（B+C）=sinA=，∴A=．

（2）∵A=，可得：tanA=，

∴f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx=sin2ωx﹣cos2ωx=sin（2ωx﹣），

∵其图象上相邻两条对称轴间的距离为，可得：T=2×=，解得：ω=1，

∴f（x）=sin（2x﹣），

∴将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，得到图象对应的函数解析式为y=g（x）=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+），

∵x∈[﹣，]，可得：2x+∈[，]，

∴g（x）=sin（2x+）∈[，1]．

6.已知向量，向量，函数

．

（Ⅰ）求f（x）单调递减区间；

（Ⅱ）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，，c=4，且f（A）恰是f（x）在上的最大值，求A，b，和△ABC的面积S．

解：（Ⅰ）∵

=+1+sin2x+

=sin2x﹣cos2x+2

=sin（2x﹣）+2，…

∴，

所以：f（x）的单调递减区间为：．…

（Ⅱ）由（1）知：，

∵时，，

由正弦函数图象可知，当时f（x）取得最大值3，…（7分）

∴，…（8分）

由余弦定理，a 2=b 2+c 2

﹣2bccosA ，得：，

∴b=2，…（10分） ∴

．…（12分）

7.已知函数()cos sin 6f x x x π?

?=++ ??

?.

（Ⅰ）作出()f x 在一个周期内的图象；

（Ⅱ） a b c ，，分别是ABC △中角 A B C ，，的对边，若()3

3 1a f A b ===，，，求ABC △的面积.

x

()f x

利用“五点法”列表如下： 3

x π

+

0 2

π π 32π 2π x

3π

-

6

π 23

π 76

π 53

π y

0 1

0 1- 0

……………………………………………………4分 画出()f x 在5 3

3π

π??-????，上的图象，如图所示：

（Ⅱ）由（Ⅰ）()3sin 3f A A π?

?=+= ??

?，在ABC △中，0A π<<，所以3A π=.

由正弦定理可知

sin sin a b

A B =

，即31sin sin 3

B π=，所以1sin 2B =，………………9分 又203B π<<

，∴6B π=，∴2

C π

=，∴1133122S ab ==??=.

因此ABC △的面积是

3

.…………………………12分 8.已知函数f （x ）=（m+2cos 2x ）?cos （2x+θ）为奇函数，且f （）=0，其中m ∈R ，

θ∈（0，π）

（Ⅰ）求函数f （x ）的图象的对称中心和单调递增区间 （Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且f （+

）=﹣，c=1，

ab=2

，求△ABC 的周长．

【解答】解：（Ⅰ）f （

）=﹣（m+1）sin θ=0，

∵θ∈（0，π）．∴sin θ≠0，∴m+1=0，即m=﹣1，

∵f （x ）为奇函数，∴f （0）=（m+2）cos θ=0，∴cos θ=0，θ=． 故f （x ）=（﹣1+2cos 2x ）cos （2x+）=cos2x?（﹣sin2x ）=﹣

sin4x ，

由4x=k π，k ∈Z 得：x=

k π，k ∈Z ，

故函数f （x ）的图象的对称中心坐标为：（k π，0），k ∈Z ，

由4x ∈[+2k π，

+2k π]，k ∈Z 得：x ∈[

+

k π，

+

k

π]，k ∈Z ，

即函数f （x ）的单调递增区间为[+k π，

+k π]，k ∈Z ，

（Ⅱ）∵f （+

）=﹣

sin （2C+

）﹣

，C 为三角形内角，

故C=

，

∴c2=a2+b2﹣2abcosC==，

∵c=1，ab=2，∴a+b=2+，∴a+b+c=3+，即△ABC的周长为3+．9.已知向量=（sin，1），=（cos，cos2），记f（x）=?．（Ⅰ）若f（x）=1，求cos（x+）的值；

（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求f（2A）的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）向量=（sin，1），=（cos，cos2），记f（x）=?=sin cos+cos2=sin+cos+=sin

（）+，

因为f（x）=1，所以sin（）=，

所以cos（x+）=1﹣2sin2（）=，

（Ⅱ）因为（2a﹣c）cosB=bcosC，由正弦定理得（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC

所以2sinAcosB﹣sinCcosB=sinBcosC

所以2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，sinA≠0，

所以cosB=，又0＜B＜，所以B=，

则A+C=，即A=﹣C，又0＜C＜，

则＜A＜，得＜A+＜，

所以＜sin（A+）≤1，又f（2A）=sin（A+），

所以f（2A）的取值范围（]．

10.已知向量，函数f（x）=．

（1）求函数f（x）的最小正周期及在上的值域；

（2）在△ABC中，若f（A）=4，b=4，△ABC的面积为，求a的值．

【解答】解：（1）向量

，

函数f（x）==2+sin2x+2cos2x=3+sin2x+cos2x

=3+2sin（2x+），

可得函数f（x）的最小正周期为=π，

x∈，即有2x+∈（﹣，]，

可得sin（2x+）∈（﹣，1]，则在上的值域为（2，5]；

（2）在△ABC中，若f（A）=4，b=4，△ABC的面积为，

可得3+2sin（2A+）=4，即sin（2A+）=，

由0＜A＜π，可得＜2A+＜，

可得2A+=，即A=，

由=bcsinA=?4c?sin=c，

解得c=1，则a2=b2+c2﹣2bccosA=16+1﹣8×=13，即a=．

11.已知函数f（x）=2sin（x+）?cosx．

（1）若0≤x≤，求函数f（x）的值域；

（2）设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A为锐角且f（A）=，b=2，c=3，求cos（A﹣B）的值．

【解答】解：（1）f（x）=2sin（x+）?cosx

=（sinx+cosx）?cosx

=sinxcosx+cos2x

=sin2x+cos2x+

=sin（2x+）+；…

由得，，

∴，…

∴，

即函数f（x）的值域为；…

（2）由，

得，

又由，∴，

∴，解得；…

在△ABC中，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA=7，

解得；…

由正弦定理，得，…∵b＜a，∴B＜A，∴，

∴cos（A﹣B）=cosAcosB+sinAsinB

=．…

12..已知向量（x∈R），设函数f（x）=

﹣1．

（1）求函数f（x）的单调增区间；

（2已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，若f（A）=2，B=，边AB=3，求边BC．【解答】解：由已知得到函数f（x）=﹣1=2cos2x+2sinxcosx﹣1

=cos2x+sin2x=2cos（2x﹣）；

所以（1）函数f（x）的单调增区间是（2x﹣）∈[2kπ﹣π，2kπ]，即x

∈[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；

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（2）已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，f（A）=2，则2cos（2A﹣）=2，所以A=，又B=，边AB=3，

所以由正弦定理得，即，解得

BC=．

13.23

()sin sin 2f x x x =+

. （1）求函数()f x 的单调递减区间；

（2）在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()12

A f =，ABC ?的面积为33，求a 的最小值.

试题解析:（1）1131()cos 2sin 2sin(2)22262

f x x x x π=-+=-+， 令3222262k x k π

π

πππ+

≤-

≤+

，解得536

k x k ππ

ππ+≤≤+，k Z ∈，

∴()f x 的单调递减区间为5[,]36

k k ππ

ππ++（k Z ∈）.

14.已知f （x ）=?，其中=（2cosx ，﹣sin2x ），=（cosx ，1），x ∈R ．

（1）求f （x ）的单调递减区间；

（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f （A ）=﹣1，a=，且向量=

【解答】解：（1）由题意知

．3分

∵y=cosx 在a 2上单调递减，∴令，得

∴f （x ）的单调递减区间，6分

（2）∵，∴

，又

，∴，即

，8分

∵

，由余弦定理得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=（b+c ）2﹣3bc=7.10分

因为向量

与

共线，所以2sinB=3sinC ，由正弦定理得2b=3c ．

∴b=3，c=2.12 分．

15.已知函数f（x）=2sin（x+）?cosx．

（1）若0≤x≤，求函数f（x）的值域；

（2）设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A为锐角且f（A）=，b=2，c=3，求cos（A﹣B）的值．

【解答】解：（1）f（x）=2sin（x+）?cosx

=（sinx+cosx）?cosx

=sinxcosx+cos2x

=sin2x+cos2x+

=sin（2x+）+；…

由得，，

∴，…

∴，

即函数f（x）的值域为；…

（2）由，

得，

又由，∴，

∴，解得；…

在△ABC中，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA=7，

解得；…

由正弦定理，得，…

∵b＜a，∴B＜A，∴，

∴cos（A﹣B）=cosAcosB+sinAsinB

=．…

16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（x）=2sin（x﹣A）cosx+sin（B+C）（x∈R），函数f（x）的图象关于点（，0）对称．

（Ⅰ）当x∈（0，）时，求f（x）的值域；

（Ⅱ）若a=7且sinB+sinC=，求△ABC的面积．

【解答】解：（Ⅰ）f（x）=2sin（x﹣A）cosx+sin（B+C）

=2（sinxcosA﹣cosxsinA）cosx+sinA

=2sinxcosxcosA﹣2cos2xsinA+sinA

=sin2xcosA﹣cos2xsinA=sin（2x﹣A），

由于函数f（x）的图象关于点（，0）对称，则f（）=0，

即有sin（﹣A）=0，由0＜A＜π，则A=，

则f（x）=sin（2x﹣），

由于x∈（0，），则2x﹣∈（﹣，），

即有﹣＜sin（2x﹣）≤1．

则值域为（﹣，1]；

（Ⅱ）由正弦定理可得===，

则sinB=b，sinC=c，

sinB+sinC=（b+c）=，

即b+c=13，

由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，

即49=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc，

即有bc=40，

则△ABC的面积为S=bcsinA=×40×=10．

17.已知函数f（x）=2sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3．

（1）当x∈[0，]时，求f（x）的值域；

（2）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=，

=2+2cos（A+C），求f（B）的值．

【解答】解：（1）∵f（x）=2sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3

=sin2x﹣3﹣+3

=sin2x﹣cos2x+1=2sin（2x+）+1，

∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，

∴sin（2x+）∈[，1]，

∴f（x）=2sin（2x+）+1∈[0，3]；

（2）∵=2+2cos（A+C），

∴sin（2A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），

∴sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），

∴﹣sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA，即sinC=2sinA，

由正弦定理可得c=2a，又由=可得b=a，

由余弦定理可得

cosA===，

∴A=30°，由正弦定理可得sinC=2sinA=1，C=90°，

由三角形的内角和可得B=60°，

∴f（B）=f（60°）=2

18.设函数f（x）=cos（2x﹣）+2cos2x．

（1）求f（x）的最大值，并写出使f（x）取得最大值时x的集合；

（2）求f（x）的单调递增区间；

（3）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（B+C）=，b+c=2，求a的最小值．

【解答】解：（1）由三角函数公式化简可得

f（x）=cos（2x﹣）+2cos2x=cos2xcos+sin2xsin+2cos2x

=﹣cos2x﹣sin2x+1+cos2x=cos2x﹣sin2x+1

=cos（2x+）+1，

当2x+=2kπ即x=kπ﹣（k∈Z）时，f（x）取得最大值2，

此时x的集合为{x|x=kπ﹣，k∈Z}；

（2）由2kπ+π≤2x+≤2kπ+2π可解得kπ+≤x≤kπ+，

∴f（x）的单调递增区间为[得kπ+，kπ+]，k∈Z；

（3）由（2）可得f（B+C）=cos（2B+2C+）+1=，

∴cos（2B+2C+）=，由角的范围可得2B+2C+=，变形可得B+C=，A=，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=4﹣3bc≥4﹣3（）2=1 当且仅当b=c=1时取等号，故a的最小值为1

19.已知函数，x∈R．

（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期；

（2）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别a ，b ，c ，且c=3，f （C ）=0，若sin （A+C ）=2sinA ，求a ，b 的值． 【解答】解：（1）…．（3分）

∵

，∴，∴f （x ）的最大值为0，

最小正周期是…（6分）

（2）由

，可得

∵0＜C ＜π，∴0＜2C ＜2π，∴ ∴

，∴

∵sin （A+C ）=2sinA ，∴由正弦定理得①…（9分） 由余弦定理得∵c=3∴9=a 2

+b 2

﹣ab ②

由①②解得，

…（12分）

20..已知向量(

)

()3sin 22,cos ,1,2cos m x x n x =

+=，设函数()f x m n =?.

（1）求()f x 在0,

4π??

????

上的最值； （2）在ABC ?中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若()4,1f A b ==，ABC ?的面积为

3

，求a 的值.

()()min max 4,5f x f x ∴==；

（2）

()12sin 234,sin 2662f A A A ππ???

?=++=∴+= ? ?????

1352,2666

663A A A π

ππ

πππ??

+

∈∴+=∴= ?

??

13

sin 22

ABC S bc A ?=

=2c ∴= 2222cos 33a b c bc A a ∴=+-=∴=.

21.已知函数f （x ）=

sin 2

x+sin2x ．

（1）求函数f （x ）的单调递减区间；

（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f （）=，△ABC 的面积为3，

求a 的最小值．

【解答】解：（1）∵f （x ）=sin 2

x+sin2x=

+sin2x=sin （2x ﹣）

+

，

∴2k π+

≤2x ﹣

≤2k π+

，k ∈Z ，解得：k π+

≤x ≤k π+，k ∈Z ，

∴函数f （x ）的单调递减区间为：[k π+，k π+]，k ∈Z ．

（2）∵f （）=

，即：

sin （2×﹣

）+

=，化简可得：sin （A ﹣

）=，

又∵A ∈（0，π），可得：A ﹣∈（﹣

，

），

∴A ﹣

=

，解得：A=

， ∵S △ABC =bcsinA=bc=3，解得：bc=12，

∴a=

=≥

=2

．（当且仅当b=c 时等号成立）．

故a 的最小值为2

．

22.已知函数f （x ）=2sinxcosx+2

，x ∈R ．

（1）求函数f （x ）的最小正周期和单调递增区间； （2）在锐角三角形ABC 中，若f （A ）=1，，求△ABC 的面积．

【解答】解：（1）f （x ）=2sinxcosx+

=sin2x+

=2sin（2x+），

∴函数f（x）的最小正周期为π，

由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，（k∈Z），

得，

∴函数f（x）的单调增区间是[k，k]（k∈Z），

（2）由已知，f（A）=2sin（2A+）=1，

∴sin（2A+）=，

∵0＜A＜，∴，

∴2A+=，从而A=，

又∵=，

∴，

∴△ABC的面积S===．

23.已知向量=（sinx，﹣1），向量=（cosx，﹣），函数f（x）=（+）?．

（1）求f（x）的最小正周期T；

（2）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a=2，c=4，且f（A）恰是f（x）在[0，]上的最大值，求A和b．

【解答】解：（1）∵向量=（sinx，﹣1），向量=（cosx，﹣），

∴f（x）=（+）

?=sin2x+1+sinxcosx+=+1+sin2x+=sin2x﹣cos2x+2=sin（2x﹣）+2，∵ω=2，

∴函数f（x）的最小正周期T==π；

（2）由（1）知：f（x）=sin（2x﹣）+2，

∵x ∈[0，]，∴﹣≤2x ﹣≤，

∴当2x ﹣

=

时，f （x ）取得最大值3，此时x=

，∴由f （A ）=3得：A=

，

由余弦定理，得a 2

=b 2

+c 2

﹣2bccosA ，∴12=b 2

+16﹣4b ，即（b ﹣2）2

=0，∴b=2． 24.在ABC ?中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且满足C

B

c b a cos cos 2=

-. （1）求角C 的大小；

（2）设函数23sin sin 2cos cos sin 2)(2

-+=C x C x x x f ，求函数)(x f 在区间]2

,0[π上的值域.

25.已知函数2

()2sin cos cos sin sin (0)2

f x x x x ?

??π=+-<<在x π=处取最小值.

（1）求?的值；

（2）在ABC ?中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，已知1,()2

a b f A ===

角C .

试题分析：（1）利用三角恒等变换公式化简函数解析式得()sin()f x x ?=+，由在x π=处

取最小值及0?π<<查求得2

π

?=

；（2）由()2f A =

可得6

A π

=，再由正弦定理求出sin B ，从而求出角B 的值，即可求角C .

（2）因为()f A =，所以cos A =A 为ABC ?的内角，所以6A π

=.

又因为1,a b ==

sin sin a b

A B

=

，

也就是sin 1sin 22

b A B a =

==， 因为b a >，所以4B π

=

或34

B π

=

.

当4B π=时，76412C ππππ=--=；

当34B π=时，36412

C ππππ=--=.

26.已知函数2()2sin (0)2

x

f x x ωωω=->的最小正周期为3π.

（1）求函数()f x 在区间3[,]4

π

π-

上的最大值和最小值；

（2）已知,,a b c 分别为锐角三角形ABC 中角,,A B C 的对边，且满足2,()1b f A ==，

2sin b A =，求ABC ?的面积.

答案及解析：

26.(1)min ()1f x =，max ()1f x =；.试题分析：(1)利用三角恒等变换相关公式化简函数解析式得()2sin()16

f x x π

ω=+

-，由周期为3π，可求ω的值，由三角函

数性质可求函数的最值.(2)由32sin a b A =及正弦定理可求得3

sin B =，从而是求出解B 的值，由()31f A =-可求出角4

A π

=及角51246

C πππ

=

=+，由正弦定理求出边a ，即可求三角形面积. 27.已知函数

．

（Ⅰ）求函数f （x ）的单调递增区间；

（Ⅱ）在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知

，a=2，

，求△ABC 的面积．

【解答】解：（Ⅰ）

=sin2xcos +cos2xsin +cos2x =

sin2x+

cos2x=（

sin2x+

cos2x ）=

sin （2x+）．

令 2k π﹣≤2x+≤2k π+

，k ∈z ，求得 k π﹣

≤x ≤k π+

，

函数f （x ）的单调递增区间为[k π﹣，k π+

]，k ∈z ． （Ⅱ）由已知

，可得 sin （2A+

）=， 因为A 为△ABC 内角，由题意知0＜A ＜π，所以＜2A+

＜

，

因此，2A+=

，解得A=． 由正弦定理，得b=

，…

由A=，由B=，可得 sinC=

，… ∴S=

ab?sinC=

=

．

28.已知函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜，x ∈R ），且函数f （x ）

的最大值为2，最小正周期为，并且函数f （x ）的图象过点（

，0）．

（1）求函数f （x ）解析式；

（2）设△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且f （）=2，c=，求a+2b

的取值范围．

三角函数解三角形综合

1.已知函数f（x）=sin（ωx）﹣2sin2+m（ω＞0）的最小正周期为3π，当x∈[0，π]时，函数f（x）的最小值为0． （1）求函数f（x）的表达式； （2）在△ABC中，若f（C）=1，且2sin2B=cosB+cos（A﹣C），求sinA的值． 解：（Ⅰ）． 依题意：函数． 所以． ， 所以f（x）的最小值为m．依题意，m=0． ． （Ⅱ）∵，∴ ．． 在Rt△ABC中，∵， ∴． ∵0＜sinA＜1，∴． 2.已知函数（其中ω＞0），若f（x）的一条对称轴离最近的对称中心的距离为． （I）求y=f（x）的单调递增区间； （Ⅱ）在△ABC中角A、B、C的对边分别是a，b，c满足（2b﹣a）cosC=c?cosA，则f（B）恰是f（x）的最大值，试判断△ABC的形状． 【解答】解：（Ⅰ）∵ ， =， ∵f（x）的对称轴离最近的对称中心的距离为，

∴T=π，∴，∴ω=1，∴． ∵得：， ∴函数f（x）单调增区间为； （Ⅱ）∵（2b﹣a）cosC=c?cosA，由正弦定理， 得（2sinB﹣sinA）cosC=sinC?cosA2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）， ∵sin（A+C）=sin（π﹣B）=sinB＞0，2sinBcosC=sinB， ∴sinB（2cosC﹣1）=0，∴，∵0＜C＜π，∴，∴， ∴．∴， 根据正弦函数的图象可以看出，f（B）无最小值，有最大值y max=1， 此时，即，∴，∴△ABC为等边三角形． 3.已知函数f（x）=sinωx+cos（ωx+）+cos（ωx﹣）﹣1（ω＞0），x∈R，且函数的最小正周期为π： （1）求函数f（x）的解析式； （2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若f（B）=0，?=，且a+c=4，试求b的值． 【解答】解：（1）f（x）=sinωx+cos（ωx+）+cos（ωx﹣）﹣1 ==． ∵T=，∴ω=2． 则f（x）=2sin（2x）﹣1； （2）由f（B）==0，得． ∴或，k∈Z． ∵B是三角形内角，∴B=． 而=ac?cosB=，∴ac=3．

高考数学压轴专题2020-2021备战高考《三角函数与解三角形》技巧及练习题附答案

【高中数学】数学《三角函数与解三角形》复习资料 一、选择题 1．函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++? ?=++<< ?+++-? ?的最小值为 （ ） A B C D 【答案】B 【解析】 【分析】 利用二倍角公式化简函数()f x ，求导数，利用导数求函数的最小值即可. 【详解】 2 2222sin 2sin cos 2cos 2sin cos 1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++-+++= ++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x x x x x x x x x x x ???? ++ ? ?????=+= +=???? ++ ? ? ???? ， 则()21tan 0sin 32f x x x x π? ?= +<< ?? ?， 322222 21sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x ' ' ' --+????=+=-+= ? ????? . 令()cos 0,1t x =∈，() 32 61g t t t =--+为减函数，且102g ??= ??? ， 所以当03 x π <<时， ()1 1,02 t g t <<<，从而()'0f x <； 当 3 2 x π π << 时，()1 0,02 t g t << >，从而()'0f x >. 故( )min 33f x f π??== ??? . 故选：A 【点睛】 本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题. 2．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足，222b c a bc +-=，

三角函数与解三角形知识点总结

1. 任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异 于原点），它与原点的距离 是0r =>，那么sin ,cos y x r r αα== ， ()tan ,0y x x α=≠ 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 2.三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） ＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ － sin α cos α tan α 3. 同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系：2 222 1 sin cos 1,1tan cos αααα +=+= （2）商数关系：sin tan cos α αα = （用于切化弦） ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换

4.三角函数的诱导公式 诱导公式（把角写成 απ ±2 k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） Ⅰ）?????=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ）?????-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ） ?? ???=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ）?????-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ）???????=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ）??? ????-=+=+α απααπsin )2cos(cos )2sin( 5.特殊角的三角函数值

高中数学三角函数、解三角形知识点

三角函数、解三角形 1.弧长公式：r l α= 扇形面积公式：22 121r lr S α== 2.同角三角函数的基本关系式： 平方关系：1cos sin 2 2 =+αα 商数关系：sin tan cos α αα = 3.三角函数的诱导公式: 诱导公式（把角写成απ ±2 k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） 公式一()()()?????=?+=?+=?+απααπααπαtan 2tan cos 2cos sin 2sin k k k 公式二()()()?????=+=+=+ααπααπααπtan tan cos -cos -sin sin 公式三()()()?? ? ??=-=-=-ααααααtan -tan cos cos -sin sin 公式四()()()?????=-=-=-ααπααπααπtan -tan cos -cos sin sin 公式五???????=??? ??-=??? ??-ααπααπsin 2cos cos 2sin 公式六???????=??? ??+=?? ? ??+ααπααπsin -2 cos cos 2sin 4.两角和与差的正弦、余弦、正切公式： βαβαβαcos sin cos sin )sin(+=+ βαβαβαcos sin cos sin )sin(-=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+= + β αβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 5.二倍角公式: a a a cos sin 22sin = 1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=a a a a a a a a 2tan 1tan 22tan -= 6.辅助角公式: sin cos a b αα+ )α?+( 其中sin tan b a ???= = = ). 比如： x x y cos 3sin += ) cos ) 3(13sin ) 3(11( )3(12 2 2 2 22x x ++ ++= )cos 23sin 21(2x x += )3 sin cos 3cos (sin 2ππx x +=)3sin(2π+=x 7.正弦定理： 2sin sin sin a b c R C ===A B (R 为△ABC 外接圆的半径） 8.余弦定理：2 2 2 2cos a b c bc =+-A ，2 2 2 2cos b a c ac =+-B ，2 2 2 2cos c a b ab C =+- 推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222 cos 2a b c C ab +-=．

三角函数-解三角形的综合应用

学思堂教育个性化教程教案 数学科教学设计 学生姓名教师姓名刘梦凯班主任日期时间段年级课时教学内容 教学目标 重点 难点 教学过程 命题点二解三角形 难度：高、中、低命题指数：☆☆☆☆☆ 1.(2015·安徽高考)在△ABC中，AB＝6，∠A＝75°，∠B＝45°，则 AC＝________. 2．(2015·广东高考改编)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b， c.若a＝2，c＝2 3，c os A＝ 3 2 且b＜c，则b＝________. 3．(2015·北京高考)在△ABC中，a＝3，b＝6，∠A＝ 2π 3 ，则∠B＝ ________. 4．(2015·福建高考)若△ABC中，A C＝3，A＝45°，C＝75°，则 BC＝________. 5．(2015·全国卷Ⅰ)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边， sin2B＝2sin A sin C. (1)若a＝b，求cos B；[来源:学科网ZXXK] (2)设B＝90°，且a＝2，求△ABC的面积． 教 学 效 果 分 析

教学过程 6．(2015·山东高考)△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知cos B＝ 3 3 ，sin(A＋B)＝ 6 9 ，ac＝23，求sin A和c的值． 7．(2015·全国卷Ⅱ)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝ 2DC. (1)求 sin B sin C ； (2)若∠BAC＝60°，求∠B. 8．(2015·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b， c，已知tan ? ? ?? ? π 4 ＋A＝2. (1)求 sin 2A sin 2A＋cos2A 的值； (2)若B＝ π 4 ，a＝3，求△ABC的面积．[来源:学科 教 学 效 果 分 析

高考数学压轴专题专题备战高考《三角函数与解三角形》难题汇编及答案解析

数学《三角函数与解三角形》复习知识要点(1) 一、选择题 1．已知sin α，sin()10 αβ-=-，,αβ均为锐角，则β=（ ） A ． 512 π B ． 3 π C ． 4 π D ． 6 π 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意，可得22 π π αβ- <-< ，利用三角函数的基本关系式，分别求得 cos ,cos()ααβ-的值，利用sin[(]sin )ααββ=--，化简运算，即可求解. 【详解】 由题意，可得α，β均为锐角，∴－2π <α－β<2 π. 又sin(α－β)，∴cos(α－β). 又sin α＝ 5，∴cos α＝5 ， ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝5×10 －5×10??- ? ??? ＝2.∴β＝4π. 【点睛】 本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中熟记三角函数的基本关系式和三角恒等变换的公式，合理构造sin[(]sin )ααββ=--，及化简与运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．将函数()()sin 0,π2f x x ?ω?ω? ?=+>< ?? ?的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象关 于y 轴对称，且1π2f ω?? =- ??? ，则当ω取最小值时，函数()f x 的解析式为（ ） A ．()sin 26f x x π? ? =+ ?? ? B ．()sin 2π6f x x ? ?=- ??? C ．()sin 4π6f x x ? ?=+ ?? ? D ．()sin 4π6f x x ? ?=- ?? ? 【答案】C 【解析】

三角函数与解三角形-专题复习

专题一 三角函数与解三角形 一、任意角、弧度制及任意角的三角函数 1、弧度制的定义与公式： 定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 弧度记作rad. 公式 角的弧度数公式 r =α 角度与弧度的换算 ①rad 180 1π=? ② 弧长公式 扇形面积公式 2、任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义 第一定义：设是任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，则 第二定义：设 是任意角，它的终边上的任意一点 P(x,y)，则 . 考点1 三角函数定义的应用 例1 .已知角α的终边在直线043=+y x 上，则=++αααtan 4cos 5sin 5 . 变式：（1）已知角α的终边过点)30sin 6,8(? --m P ，且5 4 cos - =α，则m 的值为 . （2）在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________． （3）4tan 3cos 2sin 的值（ ） A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在 考点2 扇形弧长、面积公式的应用 例 2.已知扇形的半径为10cm,圆心角为? 120，则扇形的弧长为 面积为 . 变式：已知在半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10，则弦AB 所对的圆心角α的大小 为 ，α所在的扇形弧长 为 ，弧所在的弓形的面积S 为 .

二、同角三角函数的基本关系及诱导公式 1、1cos sin 2 2=+αα α αcos tan = 2、三角函数的诱导公式 例1.已知α是三角形的内角，且.5 cos sin =+αα (1)求αtan 的值； (2)把α α22sin cos 1 +用αtan 表示出来，并求其值. 变式：1、已知α是三角函数的内角，且3 1 tan -=α，求ααcos sin +的值. 2、已知.34tan -=α（1）求α αααcos 2sin 5cos 4sin +-的值；（2）求αααcos sin 2sin 2 +的值. 3.若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝________.

三角函数与解三角形

课程标题三角函数与解三角形 求三角函数得定义域实质就就就是解三角不等式(组)、一般可用三角函数得图象或三角函数线确定三角不等式得解、列三角不等式,既要考虑分式得分母不能为零；偶次方根被开方数大于等于零;对数得真数大于零及底数大于零且不等于1，又要考虑三角函数本身得定义域; 求三角函数得值域得常用方法:１、化为求得值域; ，引入辅助角,化为求解方法同类型。 ２、化为关于(或)得二次函数式; ,设，化为二次函数在上得最值求之; 周期问题一般将函数式化为(其中为三角函数，)、 ) ②y=taｎx图象得对称中心(，0) （二)主要方法: 1、函数得单调增区间可由 解出,单调减区间可由解出; 周期 2、函数得单调减区间可由 解出,单调增区间呢。(自己导出）周期 ３、函数得单调增区间可由 解出。(无增区间，重点掌握) 周期 课堂练习: 1.已知函数得定义域为，值域为，求常数得值 (化为求得值域)、 2、函数得单调递减区间就就是 ３、函数得单调增区间为 2、函数,、 (Ⅰ）求函数得最小正周期;(Ⅱ)求函数在区间上得最小值与最大值、(化为求得值域)、 3、函数得一个单调增区间就就是 ???? 4、若函数,则就就是 最小正周期为得奇函数最小正周期为得奇函数 最小正周期为得偶函数最小正周期为得偶函数 5、函数得最大值 6、当函数得最大值为时,求得值、

7、函数得最大值就就是 8、已知函数,、 (1)求得最大值与最小值;(2)f(x）得最小正周期。 (3)若不等式在上恒成立,求实数得取值范围、 解三角形 正弦定理:, 余弦定理: 推论:正余弦定理得边角互换功能 ① ,， ②，， ③== ④ (4)面积公式:S=ab*siｎC=bc＊siｎA＝cａ＊sinB 课堂练习: １、在中，角得对边分别为,已知,则（ ) Ａ、1 ?Ｂ.2 Ｃ、???D、 2、在△ABＣ中，AB=3，BＣ=，AC=4,则边AＣ上得高为( ) Ａ、Ｂ、 C、Ｄ、 ３、在ΔＡＢC中,已知a=,b=,Ｂ=45°,求角A,角C得大小及边ｃ得长度。 4、得内角A、B、C得对边分别为a、ｂ、c,若a、b、c成等比数列，且,则（) A、 B、 C、D、 【填空题】 5、在中,分别就就是、、所对得边。若,，,则___＿＿___＿_ 6、在锐角△ABＣ中,边长a=1,b=2,则边长c得取值范围就就是_＿____＿、 7、已知锐角得面积为,,则角得大小为( ) ?Ａ、75°?Ｂ、60° ?C、４5°Ｄ、30° 8、在△中，若，则等于、 9、在中,已知，则得大小为 ( ) ??? 【解答题】 １0、在中,分别就就是三个内角得对边、若,,求得面积、 11、如图,就就是等边三角形，就就是等腰直角三角形,∠=，交于,、 ?（1)求∠得得值; （2)求、 12、在中,角A、B、Ｃ所对得边分别为ａ,ｂ,ｃ,且满足

必修四三角函数与解三角形综合测试题(基础含答案)

必修四三角函数与解三角形综合测试题 （本试卷满分150分，考试时间120分） 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.若点P 在3 2π的终边上，且OP=2，则点P 的坐标（ ） A ．)3,1( B ．)1,3(- C ．)3,1(-- D ．)3,1(- 2.已知=-=-ααααcos sin ,4 5cos sin 则（ ） A ．47 B ．169- C ．329- D ．32 9 3.下列函数中，最小正周期为 2 π的是（ ） A ．)32sin(π-=x y B ．)32tan(π-=x y C ．)62cos(π+=x y D ．)6 4tan(π+=x y 4.等于则)2cos(),,0(,31cos θππθθ+∈=（ ） A ．924- B ．924 C ．9 7- D ．97 5．函数y ＝sin （π4 －2x )的单调增区间是 （ ） A.［kπ－3π8 ，kπ＋π8 ］(k ∈Z ) B.［kπ＋π8 ，kπ＋5π8 ］(k ∈Z ) C.［kπ－π8 ，kπ＋3π8 ］(k ∈Z ) D.［kπ＋3π8 ，kπ＋7π8 ］(k ∈Z ) 6.将函数x y 4sin =的图象向左平移12 π个单位，得到)4sin(?+=x y 的图象，则?等于( ) A ．12π- B ．3π- C ．3 π D ．12π 7.οοοο50tan 70tan 350tan 70tan -+的值等于( ) A ．3 B ．33 C ．33- D ．3- 8．在△ABC 中，sinA ＞sinB 是A ＞B 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 9.ABC ?中，π= A ，BC ＝3，则ABC ?的周长为（ ）

(新高考地区使用)专题01 三角函数与解三角形

三角函数与解三角形专项练习 1．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2c A b a =-． （1）求角C ； （2）若D 是边BC 的中点，11cos 14 B =，21AD =，求AB C 的面积S ． 2．如图，四边形OACB 中，,,a b c 为ABC ?的内角,,A B C 的对边，且满足sin sin tan 2cos cos A B C B C =--+ （1）证明：2b c a +=；

（2）若22OA OB ==，且b c =，设()0AOB θθπ∠=<<，当θ变化时，求四边形OACB 面积的最大值. 3．一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O 和一个矩形ABCD 构成，1AB =米，如图所示．小球从A 点出发以8v 的速度沿半圆O 轨道滚到某点E 处后，以3v 的速度沿与点E 切线垂直的方向弹射到落袋区BC 内，落点记为F ．记AOE θ∠=， （1）用θ表示小球从A 到F 所用的时间()f θ； （2）当小球从A 到F 所用的时间最短时，求cos θ的值． 4．在ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边.在①(2)cos cos a c B b C -=；①3=2ABC BA BC S →→?△；①sin sin 33B B π? ?++= ??? 这三个条件中任选一个，作出解答.

（1）求角B 的值； （2）若ABC 为锐角三角形，且1b =，求ABC 的面积的取值范围. 5．已知ABC 的面积为 （Ⅰ）b 和c 的值； （Ⅱ）sin()A B -的值. 条件①:6a =,1cos 3 =- C ；条件②:A C =,7cos 9B =-.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 6．在ABC 中，7cos 8 A =，3c =，且b c ≠，再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求： （1）b 的值；

三角函数与解三角形(师)

三角函数与解三角形 一、 y=Asin （ωx+φ）函数的图像与性质重难点突破 二、经验分享 【知识点1 用五点法作函数y=Asin （ωx+φ）的图象】 用“五点法”作sin()y A x ω?=+的简图，主要是通过变量代换，设z x ω?=+，由z 取3 0,,,,222 π πππ来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象. 【知识点2 由y=sinx 得图象通过变换得到y=Asin （ωx+φ）的图象】 1.振幅变换： sin y A x x R =∈，(A>0且A≠1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短 (0≠，且的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短()1ω>或伸长()01ω<<到原来的1 ω 倍(纵坐标不变).若0ω<则可用诱导公式将符号“提出”再作图.ω决定了函数的周期. 3.相位变换： 函数()sin y x x R ?=+∈，(其中0?≠)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当?＞0时)或向右(当?＜0时)平行移动?个单位长度而得到.(用平移法注意讲清方向：“左加右减”). 一般地，函数()sin()0,0y A x A x R ω?ω=+>>∈，的图象可以看作是用下面的方法得到的： (1) 先把y=sinx 的图象上所有的点向左(?>0)或右(?<0)平行移动?个单位； (2) 再把所得各点的横坐标缩短()1ω>或伸长()01ω<<到原来的 1 ω 倍(纵坐标不变)； (3) 再把所得各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0

最新解三角形知识点归纳(附三角函数公式)

高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b，则90C <；③若2 2 2 a b c +<，则90C >． 11、三角形的四心： 垂心——三角形的三边上的高相交于一点 重心——三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1） 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等） 内心——三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等） 12同角的三角函数之间的关系 （１）平方关系：ｓｉｎ2α＋ｃｏｓ2α＝１ （２）倒数关系：ｔａｎα·ｃｏｔα＝１ （３）商的关系：α α ααααsin cos cot ,cos sin tan ==

高考真题：三角函数及解三角形综合

三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换 6.（2019浙江18）设函数()sin ,f x x x =∈R . （1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124 y f x f x ππ =+ ++ 的值域. 解析（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有 sin()sin()x x θθ+=-+， 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+， 故2sin cos 0x θ=， 所以cos 0θ=． 又[0,2π)θ∈，因此π2θ= 或3π2 ． （2）2 2 22ππππsin sin 124124y f x f x x x ? ???????????=+++=+++ ? ? ? ???????????? ????? ππ1cos 21cos 213621cos 2sin 222222x x x x ??? ?-+-+ ? ? ??????=+=-- ? ??? π123x ? ?=+ ?? ?． 因此，函数的值域是[1- +． 27．（2018江苏）已知,αβ为锐角，4 tan 3 α= ，cos()5αβ+=-． (1)求cos2α的值； (2)求tan()αβ-的值． 【解析】(1)因为4tan 3α= ，sin tan cos ααα=，所以4 sin cos 3 αα=． 因为22sin cos 1αα+=，所以29 cos 25 α= ，

因此，27cos22cos 125 αα=-=- ． (2)因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈． 又因为cos()αβ+=，所以sin()αβ+=， 因此tan()2αβ+=-． 因为4tan 3α=，所以22tan 24 tan 21tan 7 ααα==--， 因此，tan 2tan()2 tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+． 28．（2018浙江）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过 点3 4(,)55 P --． (1)求sin()απ+的值； (2)若角β满足5 sin()13 αβ+= ，求cos β的值． 【解析】(1)由角α的终边过点34(,)55P --得4 sin 5α=-， 所以4 sin()sin 5απα+=-=． (2)由角α的终边过点34(,)55P --得3 cos 5 α=-， 由5sin()13αβ+=得12 cos()13 αβ+=±． 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++， 所以56cos 65β=-或16 cos 65 β=-． 29．（2017浙江）已知函数22 ()sin cos cos f x x x x x =--()x ∈R ． （Ⅰ）求2( )3 f π 的值； （Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间． 【解析】（Ⅰ）由2sin 32π=，21 cos 32 π=-，

高中数学专题练习-三角函数及解三角形

高中数学专题练习-三角函数及解三角形 1．【高考全国Ⅰ卷理数】函数f(x)=在的图像大致为 A．B． C．D． 【答案】D 【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，排除A．又，排除B，C，故选D． 【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案． 2．【高考全国Ⅰ卷理数】关于函数有下述四个结论: ①f(x)是偶函数②f(x)在区间（，）单调递增 ③f(x)在有4个零点④f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A．①②④B．②④ C．①④D．①③ 【答案】C 【解析】为偶函数，故①正确．当时，，它在区间单调递减，故②错误． 当时，，它有两个零点:；当时，

，它有一个零点:，故在有个零点:，故③错误．当时，；当时， ，又为偶函数，的最大值为，故④正确．综上所述，①④正确，故选C． 【名师点睛】本题也可画出函数的图象（如下图），由图象可得①④正确． 3．【高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是A．f(x)=|cos2x| B．f(x)=|sin2x| C．f(x)=cos|x| D．f(x)=sin|x| 【答案】A 【解析】作出因为的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D； 因为，周期为，排除C； 作出图象如图2，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递增，A正确； 作出的图象如图3，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递减，排除B，故选A． 图1

图2 图3 【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养，画出各函数图象，即可作出选择．本题也可利用二级结论:①函数的周期是函数周期的一半； ②不是周期函数. 4．【高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，)，2sin2α=cos2α+1，则sinα= A． B． C．D． 【答案】B 【解析】，， ，又，，又，，故选B． 【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案． 5．【高考全国Ⅲ卷理数】设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论: ①在（）有且仅有3个极大值点 ②在（）有且仅有2个极小值点

三角函数及解三角形知识点总结

1. 任意角的三角函数的定义： 设〉是任意一个角，p （x, y ）是〉的终 边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是「“x 2r 2.o , 位置无关。 2. 三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） + L i + —— L + _ - + ------ ■ —— + - ■ sin ： cos ： tan ： 3. 同角三角函数的基本关系式: 4. 三角函数的诱导公式 k 二.一 诱导公式（把角写成2 …形式，利用口诀：奇变偶不变，符 （2）商数关 系： tan-E 屮一、 cos 。（用于切化弦） （1）平方关 系: 2 2 2 sin 工 cos ■■ -1,1 tan : 1 cos 2: ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“ 1”的代换 si …y,cos 」 那么 r 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点

5. 特殊角的三角函数值 度 0s 30c A 45“ A 60“ 90 120c A 135“ 150s 180c 270° 360 弧 31 JI JI 2n 3兀 5兀 JI 3兀 2兀 度 6 4 3 2 3 4 6 2 si n 。 0 1 竝 迈 1 旦 1 0 1 2 2 2 2 2 2 cosa 亦 1 1 念 力 1 2 _1 1 2 2 2 2 2 号看象限） sin （2k .亠 x ） = sin x cos （2k ■亠 x ） = cosx ［）tan （2k ，亠 x ）二 tanx sin （ -x ） - - sin x cos （-x ） =cosx H ）tan （-x ） - - tanx m ） |sin （，亠 x ） = -sin x cos （m ） = - cosx tan （二 x ） IV ） Sin （兀 _x ） =sin x cos （兀—x ） = —cosx tan （兀一 sin （— -〉）= cos ..z sin （二：）=cos ： V ） -?） = sin :

高中数学解题思维提升专题05三角函数与解三角形大题部分训练手册

专题05 三角函数与解三角形大题部分 【训练目标】 1、掌握三角函数的定义,角的推广及三角函数的符号判断； 2、熟记同角三角函数的基本关系,诱导公式,两角和差公式,二倍角公式,降幂公式,辅助角公式,并能熟练的进行恒等变形； 3、掌握正弦函数和余弦函数的图像与性质,并能正确的迁移到正弦型函数和余弦型函数； 4、掌握三角函数的图像变换的规律,并能根据图像求函数解析式； 5、熟记正弦定理,余弦定理及三角形的面积公式； 6、能熟练,灵活的使用正弦定理与余弦定理来解三角形。 【温馨小提示】 此类问题在高考中属于必考题,难度中等,要想拿下,只能有一条路,多做多总结,熟能生巧。 【名校试题荟萃】 1、（浙江省诸暨中学2019届高三期中考试题文） 已知函数. （1）.求 )(x f 的最小正周期和单调递增区间； （2）.当 时,求函数)(x f 的最小值和最大值 【答案】（1）π, （2） 【解析】 （1） ,π=T , 单调递增区间为； （2） ∴当 时, ,∴ . 当时, ,∴ . 2、（河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试数学文）试卷）已知 中,角 所对的边分别是 ,

且,其中是的面积,. （1）求的值； （2）若,求的值. 【答案】 （1）；（2）. （2）,所以,得①, 由（1）得,所以. 在中,由正弦定理,得,即②, 联立①②,解得,,则,所以. 3、（湖北省武汉市部分市级示范高中2019届高三十月联考文科数学试题）已知函数f（x）=sin（ωx+）- b（ω>0,0<<π的图象的两相邻对称轴之间的距离,若将f（x）的图象先向右平移个单位,再向上平移个单位,所得图象对应的函数为奇函数． （1）求f（x）的解析式并写出单增区间； （2）当x∈,f（x）+m-2<0恒成立,求m取值范围． 【答案】 （1）,单调递增区间为； （2）．

高考专题; 三角函数、解三角形综合问题

题型练3大题专项(一) 三角函数、解三角形综合问题 1.(优质试题浙江,18)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P. (1)求sin(α+π)的值; (2)若角β满足sin(α+β)=,求cos β的值. 2.(优质试题北京,理15)在△ABC中,a=7,b=8,cos B=-. (1)求A; (2)求AC边上的高. 3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为. (1)求sin B sin C; (2)若6cos B cos C=1,a=3,求△ABC的周长. 4.已知函数f(x)=4tan x sin cos. (1)求f(x)的定义域与最小正周期;

(2)讨论f(x)在区间上的单调性. 5.已知函数f(x)=a cos2a sin ωx-a(ω>0,a>0)在一个周期内的图象如图所示,其中点A为图象上的最高点,点B,C为图象与x轴的两个相邻交点,且△ABC是边长为4的正三角形. (1)求ω与a的值; (2)若f(x0)=,且x0∈,求f(x0+1)的值. 6.在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sin x,cos x),x∈. (1)若m⊥n,求tan x的值; (2)若m与n的夹角为,求x的值.

题型练3大题专项(一) 三角函数、解三角形综合问题 1.解(1)由角α的终边过点P, 得sin α=-,所以sin(α+π)=-sin α= (2)由角α的终边过点P,得cos α=-, 由sin(α+β)=,得cos(α+β)=± 由β=(α+β)-α,得cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α,所以cos β=-或cos β= 2.解(1)在△ABC中,∵cos B=-,∴B, ∴sin B= 由正弦定理,得, ∴sin A= ∵B,∴A,∴A= (2)在△ABC中,sin C=sin(A+B)=sin A cos B+sin B cos A= 如图所示,在△ABC中,过点B作BD⊥AC于点D. ∵sin C=,∴h=BC·sin C=7, ∴AC边上的高为 3.解(1)由题设得ac sin B=,即c sin B= 由正弦定理得sin C sin B= 故sin B sin C= (2)由题设及(1)得cos B cos C-sin B sin C=-, 即cos(B+C)=- 所以B+C=,故A= 由题设得bc sin A=,即bc=8. 由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c= 故△ABC的周长为3+

专题四 三角函数与解三角形第十二讲 解三角形答案

专题四 三角函数与解三角形 第十二讲 解三角形 答案部分 1．A 【解析】因为2 13 cos 2cos 121255 =-=?-=-C C ，所以由余弦定理， 得222 32cos 251251()325 =+-?=+-???-=AB AC BC AC BC C ， 所以=AB A ． 2．C 【解析】根据题意及三角形的面积公式知222 1sin 24 a b c ab C +-=， 所以222sin cos 2a b c C C ab +-= =，所以在ABC ?中，4 C π =．故选C ． 3．A 【解析】由sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+， 得sin 2sin cos sin cos sin B B C A C B +=+， 即2sin cos sin cos B C A C =，所以2sin sin B A =，即2b a =，选A ． 4．A 【解析】由余弦定理得213931AC AC AC =++?=,选A. 5．C 【解析】设△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，由题意可得 1sin 342a c π== ，则2 a c =．在△ABC 中，由余弦定理可得 222222295 322 b a c c c c c =+-= +-= ，则b =． 由余弦定理，可得22 22 2 2 59cos 2c c c b c a A bc +-+-===C ． 6．B 【解析】 11 sin 22 AB BC B ??= ，∴sin 2B =，所以45B =或135B =． 当45B = 时，1AC = =， 此时1,AB AC BC ===90A =与“钝角三角形”矛盾； 当135B = 时，AC = =．

解三角形与三角函数专题

三角函数与解三角形 1.已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在区间??????0，2π3上的最小值. 2.(2019·济南调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2). (1)求cos A 的值； (2)求sin(2B －A )的值. 3.已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x ＋23sin x cos x (x ∈R ). (1)求f (x )的最小正周期； (2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝2，c ＝5，cos B ＝1 7，求△ABC 中线AD 的长.

4.(2018·湘中名校联考)已知函数f (x )＝cos x (cos x ＋3sin x ). (1)求f (x )的最小值； (2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若f (C )＝1，S △ABC ＝334，c ＝7，求△ABC 的周长. 5.已知△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos 2B ，2cos 2B 2－1)，B 为锐角且m ∥n . (1)求角B 的大小； (2)如果b ＝2，求S △ABC 的最大值. 6.(2019·信阳二模)已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且满足(a ＋b ＋c )(sin B ＋sin C －sin A )＝b sin C . (1)求角A 的大小； (2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值.