指数对数函数函数的奇偶性函数的单调性
一对一授课教案
学员姓名：年级：所授科目：
上课时间：年月日时分至时分共小时老师签名学生签名
教学主题指数对数函数、函数的奇偶性、函数的单调性
上次作业检查
本次上课表现
本次作业
一、指数与对数函数：
1、指数的运算法则：
（1）
r s r s
a a a+
=；（2）()s r rs
a a
=；（3）()r r r
ab a b
=；
（4）
m
n m
n
a a
=；（5）
m
n
n m
a
a
-
=（6）
,
||,
n n
a n
a
a n
?
=?
?
奇
偶
2.指数函数的图像与性质：
指数函数0
3、对数函数的运算法则 （1） 互化：N b N a
a b
log =?=
（2） 恒等：
N a
N
a =log
（3）换底：
a
b
b c c a log log log =
推论1 a
b b a log 1
log =
推论2 log log log a b a b c c ?=
（4）N M MN a a a log log log += log log log a
a a M
M N N
=- （5）M n M a n
a log log ?= 推论3
log log m n a a n
b b
m
=
)0(≠m
4、对数函数的图像与性质 表达式
x y a =
定义域 R 值 域
(0,)+∞
过定点 (0,1)
对数函数 0
注：1log =a a ；01log =a ；1ln =e ；01ln =；110lg =；01lg =
1.设1,0
()2,0
x
x x f x x ?-≥?=?
14 C ．12 D ．3
2
2.设2
lg ,(lg ),lg ,a e b e c e ===则
（A ）a b c >> （B ）a c b >> （C ）c a b >> （D ）c b a >>
3.已知函数1222,1
()log (1),1
x x f x x x -?-≤=?-+>? ，且()3f a =-，则(6)f a -=
图 象
表达式 log a y x =
定义域 (0,)+∞ 值 域 R
过定点 (1，0)
单调性 单调递减
单调递增
（A ）74-
（B ）54- （C ）34- （D ）14-
4.设函数21
1log (2),1,()2,1
x x x f x x -+-
≥?则2(2)(log 12)f f -+=
（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12 5.设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )．
A ．c ＞b ＞a
B ．b ＞c ＞a
C ．a ＞c ＞b
D ．a ＞b ＞c 6.设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( )．
A ．a ＞c ＞b
B ．b ＞c ＞a
C ．c ＞b ＞a
D ．c ＞a ＞b
7.已知ln x π=，5log 2y =，1
2
z e
-=，则（ ）
（A ）x y z << （B ）z x y << （C ）z y x << （D ）y z x << 8.已知?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，则 （ ） A ．?Skip Record If...? B ．?Skip Record If...? C ．?Skip Record If...? D ．?Skip Record If...?
9.设22222
log 3log 3,log 9log 3,log
3,a b c =+=-=则,,a b c 的大小关系( )
A ．a b c =<
B ．a b c =>
C ．a b c <<
D ．a b c >> 10.若log m 9 （A ）m>n>1 （B ）n>m>1 （C ）0 1 (2lg 225lg 。 12. 3 2-，1 2 3，2log 5三个数中最大数的是 ． 二、函数的奇偶性 （1）、奇函数：1、定义域关于原点对称 2、f (x )+f (－x )=0 3、图像关于原点对称 （2）、常见的奇函数： 1、kx y = 2、x k y = 3、)(为奇数n kx y n = 4、x y sin = 5、x y tan = 6、x x a a y --= （3）、偶函数：1、定义域关于原点对称 2、f (x )=f (－x ) 3、图像关于y 轴对称 （4）、常见的偶函数： 1、)(为偶数n kx y n = 2、x y cos = 3、x x a a y -+= 4、x y ln = 5、一般为偶次幂、含有绝对值的函数（具体情况看题目） （5）、奇偶函数的运算 奇+奇=奇 奇X 奇=偶 偶+偶=偶 偶X 偶=偶 奇+偶=非奇非偶函数 奇X 偶=奇 （6）、练习 1.下列函数中为偶函数的是（ ） A ．2sin y x x = B ．2cos y x x = C ．ln y x = D ．2x y -= 2.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 A ．x e x y += B ．x x y 1+= C ．x x y 2 12+= D ．21x y += 3.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A ．2sin y x x =+ B ．2 cos y x x =- C ．1 22 x x y =+ D ．sin 2y x x =+ 4.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) （A ）y=lnx （B ）2 1y x =+ （C ）y=sinx （D ）y=cosx 5.下列函数为奇函数的是( ) A ．y x =B ．sin y x = C ．cos y x = D ．x x y e e -=- 6.下列函数为奇函数的是( ) A ．y x = B ．x y e = C ．cos y x = D ．x x y e e -=- 7.设函数2 1 ()ln(1||)1f x x x =+- +,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A ．1,13?? ??? B ．()1,1,3??-∞+∞ ? ?? C ．11,33??- ??? D ．11,,33???? -∞-+∞ ? ????? 8.设()sin f x x x =-，则()f x =（ ） A ．既是奇函数又是减函数 B ．既是奇函数又是增函数 C ．是有零点的减函数 D ．是没有零点的奇函数 9.设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是（ ） A.奇函数，且在(0,1)上是增函数 B. 奇函数，且在(0,1)上是减函数 C. 偶函数，且在(0,1)上是增函数 D. 偶函数，且在(0,1)上是减函数 10.若函数f (x )＝xln (x 2a x +为偶函数，则a ＝ 11. 已知f (x )是定义在R 上的奇函数,且当0x <时, ()2x f x =,则4(lo g 9)f 的值为 12.已知函数2 ()(1)g x f x x =-+是定义在R 上的奇函数，且2)0(-=f ， 则=-)2(f . 三、函数的单调性 （1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1 （3）设复合函数y = f [g(x )]，其中u =g(x ) , A 是y = f [g(x )]定义域的某个区间，B 是映射g : x →u =g(x ) 的象集：①若u =g(x ) 在 A 上是增（或减）函数，y = f (u )在B 上也是增（或减）函数，则函数y = f [g(x )]在A 上是增函数； ②若u =g(x )在A 上是增（或减）函数，而y = f (u )在B 上是减（或增）函数，则函数y = f [g(x )] 在A 上是减函数。 （4）判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f (x )在给定的区间D 上的单调性的一般步骤： ○ 1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1 2 作差f (x 1)－f (x 2)； ○ 3 变形（通常是因式分解和配方）； ○ 4 定号（即判断差f (x 1)－f (x 2)的正负）； ○ 5 下结论（即指出函数f (x )在给定的区间D 上的单调性）。 （5）简单性质 ①奇函数在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③在公共定义域内： 增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。 （6）．最值（1）定义： 最大值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。那么，称M 是函数y =f (x )的最大值。 最小值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。那么，称M 是函数y =f (x )的最大值。 （2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法： ○ 1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值； ○ 2 利用图象求函数的最大（小）值； ○ 3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： 1．证明函数上的单调性. 证明：在(0，+∞)上任取x 1、x 2(x 1≠x 2)， 令△x=x 2-x 1>0 则 ∵x 1>0，x 2>0，∴ ∴上式<0，∴△y=f(x 2)-f(x 1)<0 ∴上递减. (2)y=x 2-3|x|+2 1、如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是 A B O x y -1 2 2C A ．{}|10x x -<≤ B ．{}|11x x -≤≤ C ．{}|11x x -<≤ D ．{} |12x x -<≤ 答案：一、1-5 CBACD 6-10 DDBBD 11. -1 二、1-5 BAADD 6-9 DABA 10. a=1 11. -1/3 12. 0 四、命题 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句. 2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论. 3、原命题：“若p ，则q ” 逆命题： “若q ，则p ” 否命题：“若p ?，则q ?” 逆否命题：“若q ?，则p ?” 4、四种命题的真假性之间的关系： （1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； （2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 5、若p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ?，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）． 利用集合间的包含关系： 例如：若B A ?，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件； 6、逻辑联结词：⑴且(and ) ：命题形式p q ∧；⑵或（or ）：命题形式p q ∨； ⑶非（not ）：命题形式p ?. p q p q ∧ p q ∨ p ? 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“?”表示； 全称命题p ：)(,x p M x ∈?； 全称命题p 的否定?p ：)(,x p M x ?∈?。 ⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“?”表示； 特称命题p ：)(,x p M x ∈?； 特称命题p 的否定?p ：)(,x p M x ?∈?； （2015全国1卷)(3)设命题P ：?n ∈N ，2 n >2n ，则?P 为 (A)?n ∈N ，2n >2n (B )? n ∈N ，2n ≤2n (C )?n ∈N ，2n ≤2n (D )? n ∈N ，2n ＝2n (2014全国1卷)9.不等式组1 24 x y x y +≥?? -≤?的解集记为D .下面四个命题：其中真命题是（ ）. 1p ：(,),22x y D x y ?∈+≥-， 2p ：(,),22x y D x y ?∈+≥, 3P ：(,),23x y D x y ?∈+≤， 4p ：(,),21x y D x y ?∈+≤-. A .2p ，3P B .1p ，2p C .1p ，4p D .1p ，3P 5．(2013课标全国Ⅰ，文5)已知命题p ：?x ∈R,2x ＜3x ；命题q ：?x ∈R ，x 3 ＝1－x 2 ，则下列命题中为真命题的是( )． A ．p ∧q B ．?p ∧q C ．p ∧?q D ．?p ∧?q (3)函数)(x f 在0x x =处导数存在，若p:0)(0' =x f ,q:0x x =是)(x f 的极值点，则 (A)p 是q 的充分必要条件 (B)p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 (C)p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 (D) p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 （2016广州1模）（11）已知下列四个命题： 1p ：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l α⊥； 2p ：若()22x x f x -=-，则x ?∈R ，()()f x f x -=-； 3p ：若()11 f x x x =++，则()00,x ?∈+∞，()01f x =； 4p ：在△ABC 中，若A B >，则sin sin A B >． 其中真命题的个数是 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 7．已知命题p ：函数2 3x y a +=+（0a >且1a ≠）的图象恒过(－2,4)点；命题q ：已知 平面α∥平面β，则直线m ∥α是直线m ∥β的充要条件. 则下列命题为真命题的是 A ．p q ∧ B. p q ?∧? C. p q ∧? D. p q ?∧ 答案：CBBCB B C 1.2- >-x 成立的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件 2.在AB C ?中,“ 30>A ”是“2 1 sin > A ”的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件 3.“至多有一个”的否定是（ ） A.至少有一个 B.至少有两个 C.恰有两个 D.一个也没有 5.“1 2 m = ”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件 6．一次函数n x n m y 1 +-=的图象同时经过第一、三、四象限的必要但不充分条件是（ ） A ．m>1,n<－1 B ．mn<0 C ．m>0,n<0 D ．m<0,n<0 7．有下述说法：①a>b>0是a 2 >b 2 的充要条件. ②a>b>0是b a 1 1<的充要条件. ③a>b>0是 a 3 >b 3 的充要条件. 则其中正确的说法有 （ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 8、 设命题甲:0122 >++ax ax 的解集是实数集R;命题乙:10<”是24x >“的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 10、"tan 1"α=是""4 πα=的 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件（ C ）充要条件 （ D ）既不充分也不必要条件 11、命题：“若12 A.若12≥x ，则11-≤≥x x ，或 B.若11<<-x ，则12 C.若11-<>x x ，或，则12>x D.若11-≤≥x x ，或，则12 ≥x 12、已知条件:12p x +>，条件2 :56q x x ->，则p ?是q ?的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 13、有下列四个命题： ①“若0x y += , 则,x y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若1q ≤ ,则2 20x x q ++=有实根”的逆否命题； ④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题； 其中真命题为（ ） A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．③④ 14.设x ∈R ，则“x>1 2 ”是“2x 2+x-1>0”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 15.设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 16.“|x-1|<2成立”是“x(x-3)<0成立”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 <4的必要不充分条件是( ) ≤x ≤2 1.（15北京）设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α?．“m β∥”是“αβ∥”的A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 2.（15年安徽文科）设p ：x<3，q ：-1 （A ）充分必要条件（B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件（D ）既不充分也不必要条件 3.（15年陕西）“sin cos αα=”是“cos20α=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4.（15年天津）设x R ∈ ，则“21x -< ”是“2 20x x +-> ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 7.(15年浙江理科) 5.（15年湖南 ）设A,B 是两个集合，则”A B A =”是“A B ?”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9.若“[0,],tan 4 x x m π ?∈≤”是真命题，则实数m 的最小值为 . B C AAC. 解析：“[0,],tan 4 x x m π?∈≤”是真命题，则tan 14 m π≥=，于是实数m 的最小值为1. 对数函数及其性质 【学习目标】 1.理解对数函数的概念，体会对数函数是一类很重要的函数模型； 2.探索对数函数的单调性与特殊点，掌握对数函数的性质，会进行同底对数和不同底对数大小的比较； 3．了解反函数的概念，知道指数函数x y a =与对数函数log a y x =互为反函数()0,1a a >≠． 【要点梳理】 要点一、对数函数的概念 1．函数y=log a x(a>0，a≠1)叫做对数函数.其中x 是自变量，函数的定义域是()0,+∞，值域为R ． 2．判断一个函数是对数函数是形如log (0,1)a y x a a =>≠且的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1； （2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量x ． 要点诠释： （1）只有形如y=log a x(a>0，a≠1)的函数才叫做对数函数，像log (1),2log ,log 3a a a y x y x y x =+==+等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数． （2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论． 要点二、对数函数的图象与性质 a ＞1 0＜a ＜1 图象 性 质 定义域：（0，+∞） 值域：R 过定点（1，0），即x=1时，y=0 在（0，+∞）上增函 数 在（0，+∞）上是减函数 当0＜x＜1时，y＜0， 当x≥1时，y≥0 当0＜x＜1时，y＞0， 当x≥1时，y≤0 要点诠释： 关于对数式log a N的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考. 以1为分界点，当a，N同侧时，log a N>0；当a，N异侧时，log a N<0. 要点三、底数对对数函数图象的影响 1．底数制约着图象的升降． 如图 要点诠释： 由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略． 2．底数变化与图象变化的规律 一对一授课教案 学员姓名：年级：所授科目： 上课时间：年月日时分至时分共小时老师签名学生签名 教学主题指数对数函数、函数的奇偶性、函数的单调性 上次作业检查 本次上课表现 本次作业 一、指数与对数函数： 1、指数的运算法则： （1） r s r s a a a+ =；（2）()s r rs a a =；（3）()r r r ab a b =； （4） m n m n a a =；（5） m n n m a a - =（6） , ||, n n a n a a n ? =? ? 奇 偶 2.指数函数的图像与性质： 指数函数0 3、对数函数的运算法则 （1） 互化：N b N a a b log =?= （2） 恒等： N a N a =log （3）换底： a b b c c a log log log = 推论1 a b b a log 1 log = 推论2 log log log a b a b c c ?= （4）N M MN a a a log log log += log log log a a a M M N N =- （5）M n M a n a log log ?= 推论3 log log m n a a n b b m = )0(≠m 4、对数函数的图像与性质 表达式 x y a = 定义域 R 值 域 (0,)+∞ 过定点 (0,1) 对数函数 0 注：1log =a a ；01log =a ；1ln =e ；01ln =；110lg =；01lg = 1.设1,0 ()2,0 x x x f x x ?-≥?=? > （B ）a c b >> （C ）c a b >> （D ）c b a >> 3.已知函数1222,1 ()log (1),1 x x f x x x -?-≤=?-+>? ，且()3f a =-，则(6)f a -= 图 象 表达式 log a y x = 定义域 (0,)+∞ 值 域 R 过定点 (1，0) 单调性 单调递减 单调递增 对数函数知识点 1．对数函数的概念 形如 y log a x( a 0且 a 1) 的函数叫做对数函数 . 说明：（ 1）一个函数为对数函数的条件是： ①系数为 1； ②底数为大于 0 且不等于 1 的正常数； ③自变量为真数 . 对数型函数的定义域： 特别应注意的是：真数大于零、底数大于零且不等于 1。 2 、 由 对 数 的 定 义 容 易 知 道 对 数 函 数 y log a x (a 0, a 1) 是指数函数 y a x (a 0, a 1) 的反函数。 反函数及其性质 ①互为反函数的两个函数的图象关于直线 y x 对称。 ②若函数 y f ( x) 上有一点 (a, b ) ，则 (b, a) 必在其反函数图象上， 反之若 (b, a) 在反函 数图象上，则 ( a, b) 必在原函数图象上。 ③利用反函数的性质，由指数函数 y a x (a 0, a 1) 的定义域 x R ，值域 y 0 ， 容易得到对数函数 y log a x(a 0, a 1) 的定义域为 x 0 ，值域为 R ，利用上节学过的 对数概念，也可得出这一点。 3、．对数函数的图象和性质 定义 y log a x (a 0且 a 1) 底数 a 1 0 a 1 图象 定义域 (0, ) 值域 R 单调性 增函数 减函数 共点性 图象过点 (1,0) ，即 log a 1 函数值x (0,1) y ( ,0); x [1, ) x (0,1) y (0, ); x [1, ) 特征 y [0, ) y ( ,0] 对称性 函数 y log a x 与 y log 1 x 的图象关于 x 轴对称 a 4．对数函数与指数函数的比较 名称 指数函数 对数函数 一般形式 y a x (a 0, a 1) y log a x (a 0, a 1) 高中数学例题：对数函数的单调性及其应用 利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念. 例2. 比较下列各组数中的两个值大小： (1)33log 3.6,log 8.9； (2)0.20.2log 1.9,log 3.5； (3)2log 5与7log 5； (4) 3log 5与6log 4． (5)log 4.2,log 4.8a a （01a a >≠且）． 【思路点拨】利用函数的单调性比较函数值大小。 【答案】(1)< ；(2) <；(3) >；(4) >；(5) 略． 【解析】由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成. (1)解法1：画出对数函数3log y x =的图象，横坐标为3.6的点在横坐标为8.9的点的下方，所以，33log 3.6log 8.9<； 解法2：由函数3log y x =在R +上是单调增函数，且3.6<8.9，所以 33log 3.6log 8.9<； (2)与第(1)小题类似，0.2log y x =在R +上是单调减函数，且1.9<3.5，所以0.20.2log 1.9log 3.5>； (3)函数2log y x =和7log y x =的图象如图所示．当1x >时， 2log y x =的图象在7log y x =的图象上方，这里5x =，27log 5log 5∴>． (4) 3366log 5log 31log 6log 4,>==> 36log 5log 4∴> (5) 注：底数是常数，但要分类讨论a 的范围，再由函数单调性判断大小. 解法1：当1a >时，log a y x =在(0，+∞)上是增函数，且5.1<5.9，所以，log 4.2log 4.8a a < 当01a <<时，y=log a x 在(0，+∞)上是减函数，且4.2<4.8，所以， log 4.2log 4.8a a > 解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小， 令1log 4.2a b =，则1 b a =4.2，令2log 4.8a b =，则2 4.8b a =， 当1a >时，x y a =在R 上是增函数，且4.2<4.8， 所以，b 1b 2，即a a log 4.2>log 4.8. 【总结升华】比较两个对数值的大小的基本方法是： （1）比较同底的两个对数值的大小，常利用对数函数的单调性． （2）比较同真数的两个对数值的大小，常有两种方法：①先利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小；②利用对数函数图象的互相位置关系比较大小． （3）若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小． 对数函数 例1求下列函数的定义域 （1）y=log2（x2-4x-5）; （2）y=log x+1（16-4x） （3）y= ． 解：（1）令x2-4x-5＞0，得（x-5）（x+1）＞0， 故定义域为｛x｜x＜-1，或x＞5｝． （2）令得 故所求定义域为｛x｜-1＜x＜0，或0＜x＜2｝． （3）令，得 故所求定义域为 ｛x｜x＜-1- ，或-1- ＜x＜-3,或x≥2｝． 说明求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑，真数大于零．底数大于零不等于1，若处在分母的位置，还要考虑不能使分母为零． 例2求下列函数的单调区间． （1）y=log2（x-4）；（2）y=log0．5x2． 解：（1）定义域是（4，+∞），设t=x-4,当x＞4时，t随x的增大而增大，而y=log2t，y又随t的增大而增大， ∴（4，+∞）是y=log2（x-4）的递增区间． （2）定义域｛x｜x∈R，且x≠0｝，设t=x2，则y=log0．5t 当x＞0时，t随x的增大而增大，y随t的增大而减小， ∴（0，+∞）是y=log0．5x2的递减区间． 当x＜0时，t随x的增大而减小，y随t的增大而减小， ∴（-∞，0）是y=log0．5x2的递增区间． 例3比较大小： （1）log0．71．3和log0．71．8． （2）（lg n）1．7和（lgn）2（n＞1）． （3）log23和log53． （4）log35和log64． 解：（1）对数函数y=log0．7x在（0，+∞）内是减函数．因为1．3＜1．8，所以 log0．71．3＞log0．71．8． （2）把lgn看作指数函数的底，本题归为比较两个指数函数的函数值的大小，故需对底数lgn讨论． 若1＞lgn＞0，即1＜n＜10时，y=（lgn）x在R上是减函数，所以（lgn）1．2＞（lgn）2； 若lgn＞1，即n＞10时，y=（lgn）2在R上是增函数，所以（lgn）1．7＞（lgn）2．（3）函数y=log2x和y=log5x当x＞1时，y=log2x的图像在y=log5x图像上方．这里x=3，所以log23＞log53． （4）log35和log64的底数和真数都不相同，须找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性即可求解． 因为log35＞log33=1=log66＞log64，所以log35＞log64． 评析要注意正确利用对数函数的性质，尤其是第（3）小题，可直接利用例2中的说明得到结论． 例4已知函数f（x）=log a（a-a x）（a＞1）， （1）求f（x）的定义域、值域． （2）判断并证明其单调性． （3）解不等式f-1（x2-2）＞f（x）． 解：（1）要使函数有意义，必须满足a-a x＞0，即a x 对数函数的单调性及其性质 一、相关内容 1、当0 2、选择题 1) 若(0,1)x ∈，则下列结论正确的是（ ） A ．122lg x x x >> B ．122lg x x x >> C ．122lg x x x >> D ．1 2lg 2x x x >> 2) 若b a ,是任意实数,且b a >，则（ ） A 22b a > B 1-b a D b a ??? ??0 B ．a 1－a >1 C ．log a (1－a )<0 D ．(1－a )2>a 2 6) 设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( ) A.10 B ．10 C ．20 D ．100 7) 已知log 12b 复合型对数函数的单调性及应用 1. 下列各函数中，在（0，2）上为增函数的是 A. 12 log (1)y x =+ B. 22 log 1y x =- C. 31log y x = D. 213 log (45)y x x =-+ 2. 已知函数2(1)()log (21)a f x x -=+在1,02??- ??? 内恒有()0f x >，则a 的取值范围是 A. 1a > B. 01a << C. 11a a <->或 D. -21 12a a <<-<<，或 3. 函数lg y x = A. 在区间（-∞，0）上先增后减 B. 在区间（-∞，0）上先减后增 C. 在区间（0，+∞）上单调递增 D. 在区间（0，+∞）上单调递减 4. 函数2 12log (32)y x x =-+的递增区间是 A. (-∞,1) B. (2,+∞) C. 3(,)2-∞ D. 3(,)2 +∞ 5. 已知函数log (2)a y ax =-[0，1]上是减函数，则a 的取值范围是 A. 01a << B. 1a > C. 12a << D. 12a <≤ 6. 已知函数()y f x =满足()()f x f x -=-，当(0,)x ∈+∞时，()l g f x x =，则当 (,0)x ∈-∞时，(f x ） 的解析式为 A. ()lg f x x =- B. ()lg()f x x =- C. ()lg()f x x =-- D. 1()lg()2f x x = - 7. 已知函数2()log (1)a y f x x x ==+ +，则()f x 与()f x -的关系为 A. ()()f x f x -=- B. ()()f x f x -= C. ()()f x f x -=，且()()f x f x -=- D. ()()f x f x -±与都不相等 8. 若定义在区间（-1，0）内的函数2()log (1)a f x x =+满足()0f x >，则a 的取值范围是 A. 10,2? ? ??? B. 10,2 ?????? C. 1,2??+∞ ??? D. ()0,+∞ 二 填空题 9. 函数33()2 x x f x --=的反函数的递增区间为________. 对数函数知识点 1．对数函数的概念 形如)10(log ≠>=a a x y a 且的函数叫做对数函数. 说明：（1）一个函数为对数函数的条件是： ①系数为1； ②底数为大于0且不等于1的正常数； ③自变量为真数. 对数型函数的定义域： 特别应注意的是：真数大于零、底数大于零且不等于1。 2、由对数的定义容易知道对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 是指数函数)1,0(≠>=a a a y x 的反函数。 反函数及其性质 ①互为反函数的两个函数的图象关于直线x y =对称。 ②若函数)(x f y =上有一点),(b a ，则),(a b 必在其反函数图象上，反之若),(a b 在反函数图象上，则),(b a 必在原函数图象上。 ③利用反函数的性质，由指数函数)1,0(≠>=a a a y x 的定义域R ∈x ，值域0>y ，容易得到对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 的定义域为0>x ，值域为R ，利用上节学过的对数概念，也可得出这一点。 4 要 牢 记 x x x x y y y y )10 1 (,10,)21(,2====的反函 数 x y x y x y x y 10 12 12log ,lg ,log ,log ====的图象，并由此归纳出表中结论。 5、比较大小 比较对数的大小，一般遵循以下几条原则： ①如果两对数的底数相同，则由对数函数的单调性（底数1>a 为增；10<≠>a a a a ）. 当121>>a a 时，曲线1y 比2y 的图象（在第一象限内）上升得慢，即当>x 1时，21y y <；当10< 一对一授课教案 学员姓名： 年级： 所授科目： 上课时间： 年 月 日 时 分至 时 分共 小时 一、指数与对数函数： 1、指数的运算法则： （1）r s r s a a a +=； （2 ）() s r rs a a =； （3）()r r r ab a b =； （4）m n a =； （5）m n a - = （6） ,||,a n a n ?=?? 奇偶 2.指数函数的图像与性质： 3、对数函数的运算法则 （1） 互化：N b N a a b log =?= （2） 恒等： N a N a =log （3）换底： a b b c c a log log log = 推论1 a b b a log 1 log = 推论2 log log log a b a b c c ?= （4）N M MN a a a log log log += log log log a a a M M N N =- （5）M n M a n a log log ?= 推论3 log log m n a a n b b m = )0(≠m 4、对数函数的图像与性质 注： 1log =a a ；01log =a ；1ln =e ；01ln =；110lg =；01lg = 1. 设10 ()2,0 x x f x x ?≥?=?> （B ）a c b >> （C ）c a b >> （D ）c b a >> 3.已知函数12 22,1 ()log (1),1x x f x x x -?-≤=?-+>? ，且()3f a =-，则(6)f a -= （A ）74- （B ）54- （C ）34- （D ）14- 4.设函数21 1log (2),1,()2,1 x x x f x x -+-> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．b a c >> 9. 设2222log 3log log 9log a b c =+=-=则,,a b c 的大小关系( ) 对数函数单调性练习 、填空题 1. 已知函数y=loga (3-ax )在［0 , 2)上是关于x的减函数，则实数a的取值范围为 _______________ 2 . . 2. 函数f(x)=log2 (x -ax-4 )在区间［2，4］上是增函数，则实数a的范围是____________ 3. 已知函数y=log2 ( x2-ax-a )定义域为R,则实数a的取值范围是____________ 4. 已知函数f (x) =loga ( ax2-x+3 )在［2，4］上是增函数，则实数a的取值范围是 5. 已知函数f (a) =loga (x2-ax+3 ( a> 0, a* 1))满足：对实数a,3，当av^w a/2 时，总有f (a) -f (3)> 0，则实数a的取值范围是____________________ 二、选择题 6. 已知函数f (x) =log (2a-i) (x2-1 )在区间(2, +8)上是减函数，则a的取值范围是( ) 7. 若函数f(x)=log3(x 2-2ax+5)在区间(-8, 1］内单调递减，则a的取值范围是( ) A. ［1 , +8) B .(1, +8) C. ［1 , 3) D. ［1 , 3］ 8. 已知函数f (x) =log 2 (x2-ax+3a )在区间［2 , +8)上递增，则实数a的取值范围是( ) 9. 函数f (x) =log 3 (x2-ax-1 )在区间(1, 2) 上是增函数，则实数a的范围是( ) 三、解答题 10. 已知函数f (x) =log 3x (1)若函数f (x2-2ax+3 )在区间［2 , +8)上单调递增，求正实数a的取值范围；(2)若关于x的方程f (ax)?f (ax2) =f (3)的解都在区间(0, 1)内，求实数a的范围. 11. 已知a> 1,函数f (x) =loga (x2-ax+2 )在x€ ［2 , +8)时的值恒为正. (1)a的取值范围； (2)记(1)中a的取值范围为集合A,函数g (x) =log2 (tx 2+2x-2 )的定义域为集合B.若A n B* ?, 求实数t的取值范围. 对数函数单调性练习答案 一填空题 1. 已知函数y=loga (3-ax )在［0 , 2)上是关于x的减函数，则实数a的取值范围为 _________________ 对数运算和对数函数 对数的定义 ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数。③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>。 常用对数与自然对数 常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． 对数函数及其性质 类型一、对数公式的应用 1计算下列对数 =-3log 6log 22 =?3 1log 12 log 2 22 2 =+2lg 5lg =61000lg =+64log 128log 22 =?)24(log 432 =++)2log 2)(log 3log 3(log 9384 =++3log 23log 2242 =?16log 27log 32 =+-2log 90log 5log 333 =++c b a 842log log log =+++200 199lg 43lg 32lg =++32log 8log 8log 842 =+25.0log 10log 255 =-64log 325log 225 =)))65536(log (log (log log 2222 2 解对数的值： 18lg 7lg 37lg 214lg -+- 0 =-+-1)21 (2lg 225lg -1 1 3 341log 2log 8?? -? ??? 的值0 提示：对数公式的运算 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 （1）加法：log log log ()a a a M N MN += （2）减法：log log log a a a M M N N -= （3）数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ （4）log a N a N = （5）log log (0,)b n a a n M M b n R b =≠∈ （6）换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a = >≠且 （7）1log log =?a b b a （8）a b b a log 1log = 类型二、求下列函数的定义域问题 1函数)13lg(13)(2 ++-= x x x x f 的定义域是)1,31 (- 2设()x x x f -+=22lg ，则?? ? ??+??? ??x f x f 22的定义域为 ()()4,11,4 -- 3 函数()f x =的定义域为（ ]1,0()0,1( - ） 提示：（1）分式函数，分母不为0，如0,1 ≠= x x y 。 ●高考明方向 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用． 2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点． 3.知道对数函数是一类重要的函数模型． x互为反函数4.了解指数函数y＝a x与对数函数y＝log a (a>0，且a≠1)． ★备考知考情 通过对近几年高考试题的统计分析可以看出，本节容在高考中属于必考容，且占有重要的分量，主要以选择题的形式命题，也有填空题和解答题．主要考查对数运算、换底公式等．及对数函数的图象和性质．对数函数与幂、指数函数 结合考查，利用单调性比较大小、解不等式是高考的热点. 一、知识梳理《名师一号》P27 注意： 知识点一对数及对数的运算性质 1.对数的概念 一般地，对于指数式a b＝N，我们把“以a为底N的对 数b”记作log a N，即b＝log a N(a>0，且a≠1)．其中，数a 叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”． 注意：(补充)关注定义---指对互化的依据 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①log a (MN)＝log a M＋log a N； ②log a M N ＝log a M－log a N； ③log a M n ＝nlog a M(n ∈R)； ④log a m M n ＝n m log a M. (2)对数的性质 ①a logaN ＝N ；②log a a N ＝N (a>0，且a≠1)． (3)对数的重要公式 ①换底公式：log b N ＝ log a N log a b (a ，b 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝1log b a ，推广log a b·log b c·log c d ＝log a d. 注意：(补充)特殊结论:log 10, log 1a a a == 知识点二 对数函数的图象与性质 1.对数函数的图象与性质（注意定义域!） 2.2.2对数函数及其性质（一） 教学目标 （一）教学知识点 1．对数函数的概念； 2．对数函数的图象与性质． （二）能力训练要求 1．理解对数函数的概念； 2．掌握对数函数的图象、性质； 3．培养学生数形结合的意识． （三）德育渗透目标 1．认识事物之间的普遍联系与相互转化； 2．用联系的观点看问题； 3．了解对数函数在生产生活中的简单应用． 教学重点 对数函数的图象、性质． 教学难点 对数函数的图象与指数函数的关系． 3、我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个 数y是分裂次数x的函数，这个函数可以用指数函数y=x2表示． 现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞，那么，分裂次数x就是要得到的细胞个数y的函数．根据对数的 定义，这个函数可以写成对数的形式就是y x 2log =. 如果用x 表示自变量，y 表示函数，这个函数就是x y 2log =. 引出新课--对数函数． 二、新授内容： 1．对数函数的定义： 函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数，定义域为),0(+∞，值域为),(+∞-∞． 例1． 求下列函数的定义域： （1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）)9(log 2x y a -=． 分析：此题主要利用对数函数x y a log =的定义域（0，+∞）求解． 解：（1）由2 x >0得0≠x ,∴函数2log x y a =的定义域是{}0|≠x x ； （2）由04>-x 得4 2.2对数函数 2.2.1对数与对数运算 （1）对数的定义 ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式 log 10a =，log 1a a =，log b a a b =． （3）常用对数与自然对数 常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N -= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N = ⑤log log (0,)b n a a n M M b n R b = ≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a = >≠且 2.2.2对数函数及其性质 (6)反函数的概念 设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ?=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ?=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ?=表示x 是y 的函数，函数()x y ?=叫做函数()y f x =的反函数，记作 1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=． （7）反函数的求法 ①确定反函数的定义域，即原函数的值域； 对数函数的图象及性质例题解析 题型一 判断对数函数 【例1】函数f (x )＝(a 2 －a ＋1)log (a ＋1)x 是对数函数，则实数a ＝__________． 解析：由a 2 －a ＋1＝1，解得a ＝0,1． 又a ＋1＞0，且a ＋1≠1，∴a ＝1． 【例1－1】下列函数中是对数函数的为__________． （1）y ＝log a ＞0，且a ≠1)；(2)y ＝log 2x ＋2；(3)y ＝8log 2(x ＋1)； (4)y ＝log x 6(x ＞0，且x ≠1)；(5)y ＝log 6x ． 解析： 题型二 【例2】如图所示的曲线是对数函数y ＝log a x 的图象．已知a ，43，35，1 10 中取值，则相应曲线C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次为( ) A ， 43，35，110 B 43，110，35 C ．43，35，110 D ．43110，35 解析：由底数对对数函数图象的影响这一性质可知，C 4的底数＜C 3的底数＜C 2的底数＜C 1的 底数．故相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4， 43，35，1 10 ．答案：A 点技巧 作直线y ＝1，它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数，由此判断各底数的大小． 题型三 对数型函数的定义域的求解 (1)对数函数的定义域为(0，＋∞)． (2)在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1． 若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义． (3)求函数的定义域应满足以下原则： ①分式中分母不等于零； ②偶次根式中被开方数大于或等于零； ③指数为零的幂的底数不等于零； ④对数的底数大于零且不等于1； ⑤对数的真数大于零，如果在一个函数中数条并存，求交集． 对数函数单调性练习题 一、填空题 1.已知函数y=loga在[0，2）上是关于x的减函数，则实数a的取值范围为 2.函数f =log2在区间[2，4]上是增函数，则实数a的范围是 3.已知函数y=log2定义域为R，则实数a的取值范围是 4.已知函数f=loga在[2，4]上是增函数，则实数a的取值范围是 5.已知函数f=loga）满足：对实数α，β，当α＜β≤a/时，总有f-f＞0，则实数a的取值范围是 二、选择题 6.已知函数f=log在区间上是减函数，则a的取值范围是 7.若函数f=log3在区间 A．[1，+∞） B． C．[1，3） D．[1，3] 8.已知函数f=log2在区间[2，+∞）上递增，则实数a 的取值范围是 9.函数f=log3在区间上是增函数，则实数a的范围是 三、解答题 10.已知函数f=log3x若函数f在区间[2，+∞）上单 调递增，求正实数a的取值范 围；若关于x的方程f?f=f的解都在区间内，求实数a 的范围． 11.已知a＞1，函数f=loga在x∈[2，+∞）时的值恒为正． a的取值范围； 记中a的取值范围为集合A，函数g=log2的定义域为集合B．若A∩B≠?，求实数t的取值范围． 122222 对数函数单调性练习答案 一填空题 1.已知函数y=loga在[0，2）上是关于x的减函数，则实数a的取值范围为 解：∵a＞0且a≠1，∴t=3-ax为减函数．依题意a＞1，又t=3-ax在[0，2）上应有t＞0， ∴3-2a＞0．∴a＜3/．故1＜a＜3/． 2. 函数f=log2在区间[2，4]上是增函数，则实数a 的范围是 解：∵函数f=log2在区间[2，4]上是增函数∴y=x2-ax-4在区间[2，4]上是增函数，且y＞0恒成立∴ a /≤2-2a-4＞0 解得：a＜0 3.已知函数y=log2定义域为R，则实数a的取值范围 《对数函数单调性的习题课》教学设计 牡丹江一中数学组 王玉刚 教学目标：会用对数函数的单调性解决问题，培养学生数形结合的能力;培养学生大胆尝试、 团结合作的精神和严谨的态度，以及喜欢数学的兴趣与情感，帮助学生树立学好数学的自信心。 教学重点：对数函数单调性的应用 教学难点：底数a 对对数函数的影响 （Ⅰ）设置情景 复习回顾 师：前面我们学习了对数函数的单调性，请同学们回忆一下对数函数的单调性是如何描述的？ 生1：当1>a 时，对数函数x y a log =在),0(+∞内是增函数； 当10<><<....)(1log 1log log ,11,10则下列各式中成立的是，，若且已知 师：给大家一分钟的讨论时间，然后告诉我结果。 生2：首先观察p n m 、、三个式子，可以判断出01,0,0<-=> >>ab b a ，所以a b 1> ，因此p m <，答案应为B 。 全体同学异口同声说：好！ 师：回答得非常好！那我们看，比较大小的实质就是“求同”，利用对数函数的单调性来比较。 我们来看第二题 问题2：（幻灯片2） 的单调区间 求函数)54(log 22.0++-=x x y 生3：这是一个复合函数，首先要求定义域，我们可令542++-=x x u ，则u y 2.0log =在 ),0(+∞内是减函数，现在我们来求函数542++-=x x u 的单调区间，易得u 在)2,1(-是增函数，u 在)5,2(是减函数，所以，函数)54(log 22.0++-=x x y 在]2,1(-是减函数，在 )5,2[是增函数。 师：看来大家对于求复合函数的单调区间问题掌握的很好，应该注意的问题也注意到了。提 对数函数的单调性、奇偶性的运用 张军丽 一、对数函数的单调性及其应用 利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念. 1. 比较下列各组数中的两个值大小： (1)log23.4，log28.5 (2)log0.31.8，log0.32.7 (3)log a5.1，log a5.9(a>0且a≠1) 思路点拨：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成. (1)解法1：画出对数函数y=log2x的图象，横坐标为3.4的点在横坐标为8.5的点的下方，所以，log23.4 解法1：当a>1时，y=log a x在(0，+∞)上是增函数，且5.1<5.9，所以，log a5.1知识讲解对数函数及其性质提高
指数对数函数函数的奇偶性函数的单调性
对数函数知识点
高中数学例题：对数函数的单调性及其应用
对数函数-典型例题
对数函数的单调性及其应用
复合型对数函数的单调性及应用
对数函数知识点
指数对数函数函数的奇偶性函数的单调性
对数函数单调性练习及答案
对数公式及对数函数的总结
对数与对数函数_知识点与题型归纳
对数函数及其性质
对数函数及其运算
对数函数图象及其性质知识点及例题解析
对数函数单调性练习题
对数函数单调性的习题课
对数函数的单调性、奇偶性的运用