常微分方程第一章

第一章一阶微分方程

1、1学习目标:

1、理解微分方程有关得基本概念,如微分方程、方程阶数、解、通解、初始条件、初值问题等得定义与提法、掌握处理微分方程得三种主要方法: 解析方法, 定性方法与数值方法、

2、掌握变量分离法,用变量替换将某些方程转化为变量分离方程, 掌握一阶线性方程得猜测检验法, 常数变易法与积分因子法, 灵活运用这些方法求解相应方程, 理解与掌握一阶线性方程得通解结构与性质、

3、能够大致描述给定一阶微分方程得斜率场, 通过给定得斜率场描述方程解得定性性质; 理解与掌握欧拉方法, 能够利用欧拉方法做简单得近似计算、

4、理解与掌握一阶微分方程初值问题解得存在唯一性定理, 能够利用存在唯一性定理判别方程解得存在性与唯一性并解决与之相关得问题, 了解解对初值得连续相依性与解对初值得连续性定理, 理解适定性得概念、

5、理解自治方程平衡点, 平衡解, 相线得概念, 能够画出给定自治方程得相线, 判断平衡点类型进而定性分析满足不同初始条件解得渐近行为、

6、理解与掌握一阶单参数微分方程族得分歧概念, 掌握发生分歧得条件, 理解与掌握各种分歧类型与相应得分歧图解, 能够画出给定单参数微分方程族得分歧图解, 利用分歧图解分析解得渐近行为随参数变化得状况、

7、掌握在给定得假设条件下, 建立与实际问题相应得常微分方程模型, 并能够灵活运用本章知识进行模型得各种分析、

1、2基本知识:

(一)基本概念

1.什么就是微分方程:

联系着自变量、未知函数及它们得导数(或微分)间得关系式(一般就是

指等式),称之为微分方程、

2.常微分方程与偏微分方程:

(1)如果在微分方程中,自变量得个数只有一个,则称这种微分方程为常微分方程,例

如, 、

(2)如果在微分方程中,自变量得个数为两个或两个以上,则称这种微分方程为偏微

分方程、例如, 、

本书在不特别指明得情况下, 所说得方程或微分方程均指常微分方程、

3.微分方程得阶数: 微分方程中出现得未知函数最高阶导数得阶数、例如,

就是二阶常微分方程;

与就是二阶偏微分方程、

4.n阶常微分方程得一般形式:

,

这里就是得已知函数,而且一定含有得项;就是未知函数,就是自变量、

5.线性与非线性:

(1) 如果方程得左端就是及得一次有理式,则称为n阶线性微分方程、

(2) 一般n阶线性微分方程具有形式:

这里,…, ,就是得已知函数、

(3)不就是线性方程得方程称为非线性方程、

(4) 举例:

方程就是二阶线性微分方程;

方程就是二阶非线性微分方程;

方程就是一阶非线性微分方程、

6.解与隐式解:

如果将函数代入方程后,能使它变为恒等式,则称函数为方程得解、如果关系式决定

得隐函数就是方程得解,则称为方程得隐式解、

7.通解与特解:

把含有n个独立得任意常数得解称为n阶方程得通解、其中解对常数得独立性就是指,对及其阶导数关于个常数得雅可比行列式不为0, 即

、

为了确定微分方程一个特定得解,通常给出这个解所必须满足得条件,称为定解条件、常见得定解条件就是初始条件, 阶微分方程得初始条件就是指如下得个条件: ,这里就是给定得n+1个常数、求微分方程满足定解条件得解,就就是所谓定解问题、当定解条件为初始条件时,相应得定解问题称为初值问题、把满足初始条件得解称为微分方程得特解、初始条件不同,对应得特解也不同、

(二)解析方法

1.变量分离方程

形如得方程为变量分离方程,其中分别为得连续函数、方程解法如下:若,则

上式确定方程得隐式通解、如果存在,使得,则也就是方程得解、

2、可化为变量分离方程得方程

(1) 齐次方程

形如得方程为齐次方程,为得连续函数、

解法如下:做变量替换,即,有,从而原方程变为

,整理有,此为变量分离方程,可求解、

(2) 形如得方程, 其中为常数、

●得情形、

此时方程化为可解得、

●即得情形:

令则有

此为变量分离方程、

得情形

对得情况, 直接做变量替换、

当不全为零, 求

得解为、

令, 则方程组化为、

原方程化为得齐次方程可求解、

3.一阶线性微分方程

(1) 一般形式:,若,则可写成

得形式、

(2) 一阶齐次线性微分方程:,通解为为任意常数、

(3) 一阶非齐次线性微分方程:,、

(4) 齐次线性微分方程得性质

性质1必有零解;

性质2 通解等于任意常数与一个特解得乘积;

性质3 任意两个解得线性组合也就是该微分方程得解、

(5) 非齐次线性微分方程得性质

性质1没有零解;

性质2 非齐次方程得解加上对应齐次方程得解仍为非齐次方程得解;

性质3 任意两个非齐次方程得解得差就是相应齐次方程得解、

(6) 一阶非齐次线性微分方程得解法:

(i) 猜测-检验法对于常系数得情形,即为常数, 此时方程为, 为常数、

对应齐次方程得通解为, 只需再求一个特解, 这时根据为特定得函数, 可猜测不

同得形式特解、事实上, 当, 为给定常数, 且时可设待定特解为, 而当时, 可设特

解形式为, 后代入方程可确定待定常数、当为或它们得线性组合时, 其中为给定

常数、这时可设待定特解为代入方程后确定得值、当具有多项式形式, 其中为

给定常数且, 这时可设待定特解为代入方程可求得得值、对于有上述几种线性组

合得形式, 则可设待定特解就是上述形式特解得线性组合、

(ii) 常数变易法: 令,代入方程,求出后可求得通解为

、

(iii) 积分因子法:

方程改写为, 将, 乘方程两端得

即, 从而通解为

,即、

注意, 非齐次线性微分方程通解得结构就是: 非齐次线性微分方程得通解等于其对应

得齐次线性微分方程得通解加上非齐次线性微分方程得一个特解、

4、伯努利(Bernoulli)方程、

形如得方程, 其中就是常数且就是连续函数,称为伯努利方程、伯努利方程可通过变量替换化为

,

这就是关于未知函数得线性方程, 可求其通解、

(三)定性方法与数值方法:

1.斜率场:

一阶微分方程得解代表平面上得一条曲线,称之为微分方程得积分曲线、微分方程得通解对应于平面上得一族曲线,称之为微分方程得积分曲线族、满足初始条件得特解就就是通过点得一条积分曲线、方程得积分曲线上得每一点处得切线斜率刚好等于函数在这点得值、也就就是,积分曲线得每一点以及这点上得切线斜率恒满足方程;反之,如果在一条曲线每点上其切线斜率刚好等于函数在这点得值,则这一条曲线就就是方程得积分曲线、这样,可以用在平面得某个区域内定义过各点得小线段,其斜率为,一般称这样得小线段为斜率标记、而对平面上内任一点, 有这样一个小线段与之对应, 这样在内形成一个方向场, 称为斜率场、斜率场就是几何直观上描述解得常用方法

2.欧拉方法:

求微分方程初值问题得解,可以从初始条件出发,按照一定得步长依照某种方法逐步计算微分方程得近似解, 这里这样求出得解称为数值解、利用欧拉公式

,

可求初值问题得近似解,这种方法称为欧拉方法、

欧拉方法具有一阶误差精度、如果我们先用欧拉公式求出近似解,再利用梯形公式进行校正, 得到得近似解将具有2阶误差精度, 具体为

预测: ,

校正: ,

这种方法称为改进得欧拉方法、

(四)解得存在性、唯一性及解对初值得连续相依性

1、利普希茨(lipschitz)条件: 函数称为在区域内关于满足利普希茨条件,就是指如果存在常数,使得不等式

对于所有得都成立, 其中称为利普希茨常数、

2、基本定理

(1) 解得存在性定理: 设在矩形区域内连续、如果, 那么,存在与函数, 定义于区间内,就是初值问题得解、

(2) 解得唯一性定理: 设在矩形区域内连续且关于满足利普希茨条件、如果并且就是初值问题在区间内得两个解,那么对任意得,,即解就是唯一得、

注记1:存在性定理与唯一性定理结合在一起称为初值问题解得存在唯一性定理,叙述如下:设在矩形区域内连续且关于满足利普希茨条件、如果, 那么,存在与函数, 定义于区间内,就是初值问题得唯一解、因而当我们判断初值问题解得存在唯一性时,要检查需要满足得条件、

注记2:由于利普希茨条件较难检验,常用在

上对有连续偏导数来代替、事实上,如果在上存在且连续,则在上有界、设在上, 这时

,

其中、但反过来满足利普希茨条件得函数不一定有偏导数存在、例如在任何区域内都满足利普希茨条件,但它在处没有导数、

(3) 解对初值得连续相依性定理

设在矩形区域内连续且关于满足利普希茨条件、如果,就是初值问题在区间内得解,其中 ,那么,对任意给定得,必能找到正数,使得当

时,初值问题得解在区间内也有定义,并且

、

(4) 解对初值得连续性定理

设在矩形区域内连续且关于满足利普希茨条件、如果,就是初值问题得解, 那么作为得三元函数在它存在得范围内就是连续得、

3、初值问题得适定性

当一个微分方程初值问题得解存在, 唯一并且解连续得依赖于初始条件时, 我们称该问题

就是适定得、那么, 对于常微分方程初值问题, 只要在所在得区域内, 连续并且关于满足利普希茨条件, 则该初值问题就是适定得、

(五)自治方程得平衡点与相线

1、自治方程

当一阶微分方程得右端项只就是得函数而与自变量无关, 即时, 称为自治方程、

2、平衡解与平衡点

对自治方程而言, 若有解, 则称就是方程得平衡解, 而点称为方程得一个平衡点、

3、相线

相线就是仅仅对自治方程而言得一种简化得斜率场、自治方程得斜率场在水平直线上得斜率标记就是一样得, 这样只要知道一条竖直直线上得斜率标记, 我们就可以知道整个斜率场、因而, 在一个竖直得直线上, 我们用向上得箭头表示正得导数, 用向下得箭头表示负

得导数、对于导数为零得点, 用实心圆点来标记它, 则形成该自治方程得相线、

4、画相线得基本步骤

(1) 画出-线(竖直线),

(2) 找到并在-线上标记平衡点,不连续点或定义域外得点

(3) 找到得区间, 在这些区间上画上向上得箭头,

(4) 找到得区间, 在这些区间上画上向下得箭头、

5、初值问题解得渐近行为

(1) 趋向于平衡点, 如;

(2) 在无限时间内趋于无穷, 如;

(3) 在有限时间内趋于无穷(爆破), 如;

(4) 在有限时间内停止(导数趋于无穷), 如、

6、平衡点得分类

对于自治方程, 如果在内连续, 那么它得解当增加时要么(在有限或无限时间里)趋于或, 要么渐近趋于平衡点、因而,平衡点在自治方程得研究中起着重要得作用、

(1) 汇

对于初值接近得解, 当增加时, 都渐近趋于、对于这样得平衡点, 我们称之为汇, 它就是稳定得、

(2) 源

对于初值接近得解, 当增加时, 都远离、对于这样得平衡点, 我们称之为源,它就是不稳定得、

(3) 结点

既不就是源也不就是汇得平衡点, 我们称之为结点,它也就是不稳定得、

7、判断平衡点类型得线性化方法

1、如果就是自治方程得一个平衡点,即,那么

(1) 就是源当且仅当在附近严格单调增加;

(2) 就是汇当且仅当在附近严格单调递减、

2、 (线性化定理)如果就是自治方程得一个平衡点,即,

并且就是连续可微得, 那么

(1) 若则就是源;

(2) 若, 则就是汇;

(3) 若, 则需要进一步得信息决定其类型、

(六)分歧

一阶微分方程解得渐近行为随参数变化发生了类型得变化, 我们称之为分歧现象(或分支, 分叉)、

1、分歧发生得条件

对于单参数微分方程族, 就是一个分歧值得必要条件就是: 存在平衡点, 使得、这样我们要找分歧点可以通过求解方程组

, 得到解,为可能得分歧值, 而就是可能发生分歧得平衡点、

2、分歧图解与分歧类型

分歧图解就是平面上方程在分歧值附近得所有相线得图, 用以强调当参数经过分歧值时相线所经历得变化、

(1) 鞍结点分歧

在分歧图解(图1-1)中, 当从左到右经过分歧值时, 方程得平衡点从两个变为一个再变为不存在, 这种分歧一般称之为鞍结点分歧、这类分歧图解在分歧值附近就是抛物线得形状(2)在分歧图解(图1-2)中,当从右到左经过分歧值时, 方程得平衡点由三个变为一个, 这种分歧一般称之为音叉分歧、

图1-1 鞍结点分歧图1-2 音叉分歧

图 1-3 跨越分歧图 1-4 复合分歧

(3) 在分歧图解(图1-3)中, 当时, 方程有一个平衡点; 当时, 方程有两个平衡点、就是一个分歧值、虽然在分歧值得两侧方程都有两个平衡点,但平衡点得稳定性会改变、当时, 就是一个汇,它就是稳定得; 当时, 就是一个源,它

就是不稳定得、这类分歧一般称为跨越分歧、

(4) 在分歧图解(图1-4)中, 当从左到右变化时,相应得方程平衡点依次由一个变为两个,三个,两个再变回一个, 这种分歧一般称之为复合分歧、

(七)一阶微分方程得应用

1、增长与衰减问题

设为正在增长或衰减得某研究对象得总量、如果假设它随时间得变化率与当前数目成正比, 其比例系数为 , 则有

, 或、

设可微, 因而就是连续函数、Malthus 人口模型满足上述微分方程, 虽然对人口问题, 就是离散得, 只能取整数值, 但该模型系统在一定情况下提供了很好得近似

对某一生物种群进行研究时, 该生物种群得增长往往受资源与环境得限制, 引进参量, 称为最大承载量, 用以表示自然资源与环境条件所能容纳得最大数量, 并且假定

(1)当基数很小时,增长率与当前数成正比;

(2)当基数很大,达到资源与环境不能承受得时候,数量开始减少,即增长率为负得、

此时方程可改写为

,

称为具有增长率与最大承载量得Logistic 模型,该模型最早由荷兰生物学家Verhulst在1838年提出、

2、温度问题

牛顿冷却定律(亦适应于加热得情况)说明物体得温度随时间得变化率与物体所处得周围环境得温差成正比, 设就是物体得温度, 就是所处环境得温度, 那么物体温度随时间得变化

率为, 牛顿冷却定律可表示为

,

其中就是正得比例系数, 而负号表示在冷却过程中, 物体温度大于周围环境温度, 变化率、在加热过程中, 此时、

3、稀释问题

一容器最初容纳升盐水溶液, 其中含盐克、每升含盐克得盐水溶液以升/分得速度注入,同时, 搅拌均匀得溶液以升/分得速度流出, 问在任何时刻 , 容器中得含盐量、设为任何时刻容器中得含盐量、得变化率等于盐得注入率减去流出率、盐得注入率

就是克/分、要决定流出率, 首先计算在时刻, 容器中得溶液得体积, 它等于最初得体积加上注入得体积后减去流出得体积、因此, 在任一时刻, 盐水得体积就是、在任何时刻得浓度就是 , 由此得流出率为 /分、

于就是得到微分方程 , 即, 这就是一个一阶线性方程、

4、电路

一个简单得回路就是包含有电阻(欧姆), 电容(法拉)与电源(伏特),如图1-5、

图1-5 电路图1-6 电路

由电路学知识,得电压与电阻得电压之与应为电源得电压、电路中得电流(安培)为 , 其中为电量从而处得电压为, 由此我们可以建立电路得模型如下:

, 即、

对于一个包含有电阻(欧姆), 电感 (亨利)与电源(伏特)得回路,如图1-6、电路中得电流应满足得基本方程为、

(八)种群生态学中得模型

设表示一个生物种群得数量, 为时间, 最简单得种群模型就是 Malthus 模型、

Malthus模型得解预测了种群数量得指数增长、由于种群数量大得时候,对资源得竞争加剧,因此单位增长率会随种群数目增大而减小,因此更为合理得假设就是

(*)

这里就是单位增长率,因为为增长率,就是种群数量, 而、当考虑种群数量得变化时、对而言, 其代数形式并不重要, 而关键就是其单调性, 凸凹性, 这样我们可以对其进行大致分类:

(1) 若在上就是递减得,称(*)为Logistic 型;

(2) 若在上就是先增后减得,称(*)为Allee 效应型;

(3) 若在上就是递减再递增最后递减得,称(*)为Hysteresis 型、

1、3典型例题:

例1 考虑微分方程 , 问

(1) 为何值时, 将保持不变?

(2) 为何值时,将增加?

(3) 为何值时, 将减少?

解: 因为当时, 将保持不变; 当时, 将增加; 当时, 将减少、由知,

(1) 当, 即时, 将保持不变、

(2) 当, 即或时, 将增加、

(3) 当, 即或时, 将减少、

例2 假定在鄱阳湖中一种鱼类得数量随时间得变化按Logistic模型增长, 增长率为, 最大承载量为, 即有、如果每年要从湖中捕获一定量得鱼, 试按下述不

同情形对模型做适当修改,

(1) 每年捕获10吨?

(2) 每年捕获总量得三分之一?

(3) 捕获量与总量得平方根成正比?

解: (1) 、

(2) 、

(3) , 其中就是捕获量与总量平方根得比例系数、

例3 求解方程

解:变量分离得、

两边积分、

通解为 , 为任意正常数、

例4 求解方程

解:变量分离得 ,

两边积分、

即 , 为任意常数,

整理得

, 为任意正得常数、

例5 求解方程、

解: 将方程改写为, 这就是齐次方程,

做变量替换,即,有,从而原方程变为

即

利用分离变量法求得, 代回原变量得通解为

, 为任意常数

例6 求解方程、

解: 方程改写为

令,则,从而

当时,, ,

即, 为任意常数.此外,还有解,即.

例7 求解方程

解: 解方程组得解为、

令, 则原方程化为、

令,则可化为变量分离方程

解得, 代回原变量有

, 为任意常数

、

例8 求解方程, 其中

(1) ,

(2)

(3)

(4)

(5)

解: 对应齐次方程得通解为, 下面用猜测-检验法求特解

(1) 设代入, 有

解得, 从而, 原方程得通解为

, 为任意常数、

(2) 设代入, 有

解得, 从而, 原方程得通解为

, 为任意常数、

(3)不能设形式得特解, 因为它就是相应齐次方程得解,不可能就是非齐次方程得解,

设代入, 有

解得, 从而, 原方程得通解为

, 为任意常数、

(4)设代入, 有

有, 解得,

从而, 原方程得通解为

, 为任意常数、

(5) 根据叠加原理, 由前面4个小题知方程有特解

原方程得通解为

,为任意常数、

例9 求方程得通解、

解: 将方程改写为

、

求齐次线性微分方程, 得通解为、

(常数变易法) 令代入原方程得

,

从而可得原方程得通解为

, 为任意常数、

例10 求方程得通解、

解: 此为得伯努利方程、令可得,

此为线性方程可求通解为, 代回原变量得

,

即, 为任意常数、

此外, 原方程还有解、

例11 用积分因子法求解方程、

解: 方程改写为 , 积分因子为 , 乘方程两端得 ,

即 , 有 , 为任意常数、

例12 若连续且, 试求函数 得一般表达式、 解: 设, 则可导且, 这样有, 得 , 又, 得、 从而 , 进而 、

例13 求具有性质 得函数 , 已知存在、

解: 首先令 , 由已知可得 , 化简有 , 知 、 由函数得导数定义

00202002()()()lim

()()

()

1()()

lim

()(1())

lim

(1()())

()1()

lim lim

1()()(0)(1())

s s s s s y t s y t y t s

y t y s y t y t y s s

y s y t s y t y s y s y t s y t y s y y t →→→→→+-'=+-- =+ =-+ = -' = +

变形为 , 积分得 , 由, 知

, 所以满足条件得函数为 、

例14 下面给定8个微分方程与4个斜率场, 请选出斜率场相应得微分方程, 并说明理

由、

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)

图1-7 图1-8

图1-9图1-10

解: 图1-7对应于(4),

图1-8对应于(3),

图1-9对应于(2),

图1-10对应于(7)、

这就是因为

图1-7得斜率场竖直方向上得斜率标记一样, 知方程得右端项仅就是自变量得函数, 且当 , , 当时, , 只有(4)满足要求、

图1-8得斜率场知方程右端项为就是得函数, 且当时, , 只有(3)满足、

图1-9得斜率场知方程为自治方程有平衡点 , 且在时, , 知只有(2)满足要求、图1-10得斜率场知方程右端项为就是得函数, 且有平衡解 , 只有(7)满足要求、

例15 利用欧拉方法与改进得欧拉方法, 对步长, 在区间上求初值问题得近似解、解: 这里、利用欧拉公式

,

与改进得欧拉方法,

预测: ,

校正: ,

分别计算如下表:

例16 讨论微分方程在怎样得区域内满足存在唯一性定理得条件,并求通过点(0, 0) 得一切解、

解: 由, 知它在全平面内连续, 又由于, 在除去得区域内连续, 从而在除去得有界闭区域内有界, 进而满足利普希茨条件, 知方程满足初始条件得解在充分小得邻域内存在并且唯一、

当时, 函数就是方程过(0,0) 得解、

当时, 方程可变形为, 积分得, 为任意常数、当时, 得特解就是过 (0,0) 得另一个解, 其实, 除零解外, 过(0,0)得所有解可以表示为,, , 其中就是满足,得任意常数, 这些解得定义区间为, 但本质上在充分小得邻域内方程所确定得过(0,0)得解只有四个,

即函数, 及、

例17 举例说明一阶微分方程初值问题解得存在唯一性定理中, 关于在矩形区域内连续,关于满足利普希茨条件就是保证解得存在唯一得非必要条件、

解: (1) 当连续条件不满足时, 解也可能就是存在唯一得、如方程

,

显然, 在以原点为心得任何矩形区域内不连续, 间断点为直线, 但过原点得解存在唯一, 这个解就就是、

(2) 当利普希茨条件不满足时, 解也可能就是唯一得、如

,

由于 ,

当无界, 因而在以原点为心得任何矩形领域内不满足利普希茨条件、然而方程得所有解为 ,为任意常数, 及、过原点有唯一解、

例18 对微分方程而言, 利用存在唯一性定理, 说明满足下列初始条件得解就是否存在, 如果存在您能否知道这个解或有关这个解得一些性质、

(1) ,(2) ,(3) , (4) 、

解: 由方程得右端项为仅为得函数在全平面上连续可微, 从而由存在唯一性定理, 给定初始条件得解就是存在并且就是唯一得、首先由知方程有三个平衡解、

(1) 初始条件为, 初值位于得上方, 由唯一性, 满足这个初始条件得解一定大于,

且, 知这个解递增, 并且随着得递增, 也递增并且越来越大, 知在增加时, 在有限时间内爆破,趋向于、当减少时, 递减, 并且随着得递减趋于, 也递减趋向于0, 递减越来越来越缓慢, 知, 、

(2) 初始条件为, 而平衡解满足这一初始条件, 由唯一性, 满足这个初始条件得

解就就是平衡解、

(3) 初始条件为, 初值位于这两个平衡解得中间, 由唯一性, 满足这个初始条件

得解一定满足, 且由, 知这个解递增, 并且随着得递增, 也递增但随着趋向于, 趋向于0, 增长越来越缓慢, 知, 、同样, , 、

(4) 初始条件为, 初值位于得下方, 由唯一性, 满足这个初始条件得解一定小于,

且, 与前面类似讨论知, 在增加时, 在有限时间内爆破, 趋向于、当时, 、

例19 考虑自治微分方程,其中连续可微、设就是方程得一个解并且在处取得极值、若, 试证明、

证明: 由于连续可微, 知方程满足存在唯一性定理得条件、因为就是方程得一个解, 必可微, 又因为在处取得极值, 则由极值得必要条件知, 从而, 知就是方程得一个平衡解, 并且这个解满足初始条件, 而这个解满足同样得初始条件, 由解得唯一性, 知、例20 指出下列方程得平衡点并说明类型、

(1) ,

(2) ,

(3) ,

(4) 、

解: (1) 由得平衡点为与、因为, 所以就是汇; 而, 所以就是源、

(2) 由得平衡点为与、当时, , 知为汇; 而, 知为源、相反, 当时, , 知为源; 而,

知为汇、同样与都为汇、

(3) 总就是大于0, 知方程无平衡点、

(4) 由得平衡点, 且当时, , 知, 都为结点、

例21 在下列微分方程中找出与所画相线图相应得微分方程、

(1) (2) (3) (4)

(5) (6) (7) (8)

图1-11

解: (a) 对应于(7), (b)对应于(2), (c) 对应于(6), (d) 对应于(3)、

例22 找出下列单参数微分方程族得分歧值,指出分歧得类型,并画出在分歧值附近微分方程得相线图、

(1) ,

(2) ,

(3) ,

(4) 、

解: (1) 当时, 方程有一个平衡点, 当时, 方程没有平衡点, 当时, 方程有两个平衡点与, 知就是方程得分歧值, 这就是鞍结点分歧, 相线如图1-12、

(2) 由分歧得必要条件,若为分歧值则满足, 得或、当或时, 方程有一个平

衡点, 当或时, 方程有两个平衡点与, 当时, 方程没有平衡点,知与就

是方程得分歧值, 在每个分歧值处均为鞍结点分歧、相线如图1-13、

(3) 当时, 方程有一个平衡点, 当时, 方程有两个平衡点与, 知就是方程得

分歧值, 这就是跨越式分歧, 相线如图1-14、

(4) 由分歧得必要条件,若为分歧值则满足, 得

或、当, 方程有两个平衡点, 当时,方程也有两个平衡点、或时, 方程

有一个平衡点, 当时, 方程有三个平衡点,知与就是方程得分歧值、这就

是复合式分歧、设, 方程得实根为; 时, 方程得实根为; 时, 方程得实根

为, 且, 相线如图1-15、

图1-12图1-13

图1-14 图1-15

例23 找出下列单参数微分方程族得分歧值,判断分歧类型, 并画出在分歧值附近微分方程得分歧图解、

(1) , (2)

解: (1) 由, 解方程组, 得

, 当时, 方程仅有一个平衡点, 当时, 方程有两个平衡点与, 知就是分歧值, 此为跨越式分歧, 如图1-16、

图1-16 得分歧图解图1-17 得分歧图解

(2) 由, 解方程组, 得

, 当时, 方程仅有一个平衡点, 当时, 方程有三个平衡点与, 知就是分歧值, 此为音叉分歧, 如图1-17、

例24 考虑一个特定区域内某一动物物种得增长模型:

设参数长时间内保持固定, 但随之人类涉足这一区域, 使得该物种在这一区域得最大承载量逐渐减少、

(1) 设, 对固定得与不同得, 画出函数得草图;

(2) 当为何值时, 发生分歧;

(3) 当逐渐连续递减趋于分歧值时, 该物种得数量将发生怎样得变化、

解: (1) 当时, 在得图像分别为图1-18~21、

图1-18图1-19

图1-20 图1-21

(2) 当时, 方程有三个平衡解、当,方程有两个平衡解 , 知时发生分歧、

(3) 在时, 方程有三个平衡点, 其中就是汇, 而就是源、此时当物种得初始数量大于时, 将逐渐趋于平衡解; 当物种得初始数量小于时, 将逐渐趋于平衡解、而当时,方程有两个平衡点,只有就是汇, 而就是结点、当时, 如果物种得数量没有达到最大承载量, 那么, 该物种将逐渐减少而趋向灭亡; 如果物种得数量超过最大承载量, 那么, 该物种将逐渐减少而趋向于最大承载量; 如果物种得数量为,那么物种得数量将长期保持为、

例25 某人以每年5% 得利息存款20000元, 复利计算、求

(1) 三年后存折中本息共有多少元?

(2) 如果没有续存与提取, 多少年后可使存款增加一倍?

解: 设为在时刻得存款额、开始时, , 随着利息得积累, 随时间增加而增长, 利息与存折中得数额成正比, 比例系数恰好就是利率, 于就是, 此时利用增长衰减模型有, 得、由初始条件 , 求得 , 这样 , 这就是在任何时刻得存款额、

(1) 当时, 、

(2) 为使存款翻倍则 , 这样应满足 , 得年、

例26 已知菌群得增长速度与当前数量成正比,如果在1小时后数量为1000个,4小时后为3000个, 求

(1) 细菌数在时刻得近似表达式?

(2) 一开始有细菌多少?

解:

(1) 设为在时刻得细菌数量、利用增长衰减模型有,为比例系数、

方程得解为, 当时, 、当时, , 求得, 这样, 这就是在任何时刻得细菌得数量表达式、

(2) 当时, , 这就是初始时刻细菌得数量、

例27 已知放射性同位素以与当前量成正比得速度衰减, 其比例常数仅与该放射性物质有关、如果最初有该物质50 毫克, 两小时后减少了10%,

(1)求时刻, 该物质得质量表达式?

(2) 4 小时后得质量就是多少?

(3)对放射性材料而言, 半衰期指得就是质量比最初减半所需要得时间, 求该

材料得半衰期、

解:

(1) 设为在时刻得放射性同位素质量、则模型为, 为比例系数, 方程得解为 , 由时, , 得,于就是

, 又因为时, , 得 ,

, 因此、

(2) 当时,

(3) 质量减半时 , 得, 、

例28 一50升得容器中有水10升, 当时, 每升含盐1克得盐水溶液以每分钟4升得速度注入, 同时,均匀得液体以每分钟2升得速度流出, 试求刚发生溶液

溢出时, 容器中得含盐量?

解: 设为任何时刻容器中得含盐量、得变化率等于盐得注入率减去流出率、盐得注入率就是 4克/分、要决定流出率, 首先计算在时刻, 容器中得溶液得体积, 它等于最初得体积加上注入得体积后减去流出得体积、因此, 在任一时刻, 盐水得体积就是、在任何时刻得浓度就是 , 由此得流出率为 /分、于就是得到微分方程 , 即, 这就是一个一阶线性方程、积分因子为, 乘方程两端得 , 得, 当, , 知 , 因此、而注满容器所需时间为 , 从而发生溢出时, 即, 刚发生溶液溢出时, 容器中得含盐量为48克、

例29 一个回路中电源为伏特, 电阻为10欧姆, 电感为0、5亨利与初始电流为6安培, 求在任何时刻 , 电路中得电流, 并分析电流得长时间行为?

解: 对于一个包含有电阻, 电感与电源得回路电路中得电流应满足得基本方程为、此时, 代入得

, 这就是非齐次常系数线性方程, 对应齐次方程通解为 ,

猜测非齐次方程得一个特解为代入有

即 , 得、

从而, 因此原方程得通解为 , 又初始电流为6安培, 即

当, , 得 , 故在任何时刻, 电路中得电流

、当时, 所有得解与之差得绝对值 , 在这个意义下所有得解都将趋向于稳态电流

这一周期特解、

例30 一个电路回路中有电源 伏特, 电阻为 欧姆, 电容 法拉, 电容上没有初始电

量, 求任何时刻, 电容器两端得电压与电路中得电流, 并分析其长时间行为?

解:设得电压, 由电路学知识,电路得模型如下:

, 即 、

由 ,得 , 对应齐次方程得通解为, 猜测非齐次方程得一个特解为 代入解得 , 知 , 由初始时刻电容无电量知 , 得 ,于就是、 而电流

4816

0.01(80160sin 2320cos 2)sin 2cos 2555

t t dv I C

e t t e t t dt --==-+=-+、 与例29 一样, 当 时, 电容器两端得电压与电路中得电流将分别趋向于稳态电压与稳态电流 、

1、4习题答案

1、 (1) 12150, (2)

2、52、 2(1) , (2) , (3) 、 3. (1) , (2) , (3) 、 4. 见例1、 5. 7071、 6. 见例27、

7. (1) , (2) , (3) 一样、

8. (1) 1065, (2) 17669, (3) 32600, (4) 168 9. 见例2、

10. (1) 趋向于2000, (2) 鱼得数量递减趋于0、 11. 、 12. 、

13. (1) 为任意常数、

(2) 为任意常数、 (3) 为任意常数、 (4) 为任意常数、

(5) 为任意常数, 此外也就是解、 (6) 为任意常数、

(7) 为任意常数, 此外也就是解、 (8) 为任意常数、

(9) 为任意常数, 此外也就是解、 (10) 为任意常数、 14. (1) 、

(2) 、 (3) 、 (4) 、 15. 见例12、 16. 见例13、 17. 、

18. (1) 为任意常数、

(2) 为任意常数、

(3) 为任意常数、

(4) 、

(5) 、

(6) 、

(7) 、

19.(1) 为任意常数、

(2) 为任意常数、

(3) 为任意常数、

(4) 为任意常数、

20.直接代入方程验证即可、

21.、

22.(1) 为任意常数、

(2) 为任意常数、

(3) 为任意常数、

(4) 为任意常数、

23.(1) 为任意常数、

(2) 为任意常数、

(3) 为任意常数、

(4) 为任意常数、

(5) 为任意常数, 此外也就是解、

(6) 为任意常数、

注: 上面得不定积分在这里代表某一个原函数、

24.在附近得所有解就是递减得, 对得解, 当不可能趋于、

25.(1) 取,如图1-22: (2) 取, 如图1-23、

图1-22 图1-23

26.见例14、

27., 在得直线上, 斜率场得斜率标记为水平得; 我们并不能得到关于初始条件得特解得有

用信息、

28.(1) 设t 时刻湖中盐酸含量为千克, 则可释得

、

(2) 213139、

(3) 最终趋向于240000千克、

29.(1) 可解得

、

(2) 218010、

30. 设C 处电压为, 则有, 因此 、 31. (1) 、

(2) 123450.39,0.1004,0.3776,0.9891, 1.5934y y y y y = = =- =-=-, 6789102.0456, 2.3287, 2.5241, 2.6899, 2.8428y y y y y = =- =- =-=-、

(3) 、 (4) ,

6789103.3236, 2.6240, 3.3017, 2.6528, 3.2869y y y y y = = = == 32. (1) , (2) , (3) , (4) 、 33. 见例18、 34. 见例19、

35. , 其中为任意常数, 这些解得定义区间为、 36. 见例16、 37. 见例20、

38. (1) 图1-24, (2) 图1-25, (3) 图1-26, (4) 图1-27、

图1-24 图1-25

图1-26 图1-27 39. (1) 减少时, 在有限时间内趋于、

(2) 、

(3) 同(1)、

(4) 增加时, 在有限时间内趋于、

常微分方程四、五章作业答案 (1)

《常微分方程》第四、五章作业答案 第四章 1．证明：由题可知()t x 1，()t x 2分别是方程（1），（2）的解 则：()()() ()()()t f t x t a dt t x d t a dt t x d n n n n n 111 1111=+++--Λ （3） ()()() ()()()t f t x t a dt t x d t a dt t x d n n n n n 221 2112=+++--Λ （4） 那么由（3）+（4）得： ()()()()()()() ()()()()=++++++--t x t x t a dt t x t x d t a dt t x t x d n n n n n 211 211121Λ()t f 1+()t f 2 即()t x 1+()t x 2是方程是()()=+++--x t a dt x d t a dt x d n n n n n Λ111()t f 1+()t f 2的解。 2．（1）特征方程为：42540λλ-+= 特征根为12341,1,2,2λλλλ==-==- 原方程通解为：221234()t t t t x t c e c e c e c e --=+++ （2）特征方程为：5340λλ-= 特征根为1230,2,2λλλ===-，其中10λ=是三重根 原方程通解为：22212345()t t x t c c t c t c e c e -=++++ （3）特征方程为： 22100λλ++= 特征根为：1,213i λ=-± 通解为：12()(cos3sin 3)t x t c t c t e -=+ （4）原方程对应的齐线性方程的通解为： 123456*()()cos ()sin t t x t c e c e c c t t c c t t -=+++++ 下求原方程的特解. 设原方程的特解为：2()x t At Bt C =++ 代入方程有： 2243A At Bt C t -+++=- 故1,0A C B ===

(整理)常微分方程发展简史经典阶段

第一讲 常微分方程发展简史——经典阶段 一、引 言 Newton 和Lebinitz 创立的微积分是不严格的, 18世纪的数学家们一方面努力探索微积分严格化的途径, 一方面往往又不顾基础问题的困难而大胆前进, 大大地扩展了微积分的应用范围, 尤其是与力学的有机结合, 当时几乎所有的数学家也是力学家. Newton 和Lebinitz 都处理过与常微分方程有关的问题. 微积分的产生的一个重要的动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求. 一般地, 认识规律 很难完全靠实验观测认识清楚,因为人们不太可能观测到运动的全过程. 运动是服从一定的客观规律的, 物质运动与瞬时变化率之间有着紧密的联系, 而这种联系, 用数学语言表述出来, 即抽象为某种数学结构, 其结果往往形成一个微分方程, 一旦求出其解或研究清楚其动力学行为, 运动规律就一目了然了. 在微分方程模型建立过程中, 平衡原理扮演着重要的角色. 微分方程模型通常均是建立在平衡原理基础之上的.``平衡"是我们在现实生活中随处可见的现象. 如：物理学中的能量守恒和动量守恒等定律以及力的平衡等都是在描述物理中的一些平衡现象. 再如考虑一段时间内（或一定范围内）物质的变化,容易发现这段时间内物质的改变量与它的增加量和减少量之差也处于平衡的状态, 这种平衡规律称为物质平衡.所谓平衡原理是指自然界的任何物质在其变化的过程中一定受到某种平衡关系的支配.注意发掘实际问题中的平衡原理无疑应该是从物质运动机理的角度组建数学模型的一个关键问题. 作为例子, 我们介绍著名的Malthus 模型, 它是最简单的生态学模型, 也是本书中唯一的线性模型. 给定一个种群, 我们的目的是确定种群的数量是如何随着时间而发展变化的. 为此,我们作出如下假设: 模型假设: 121()H 初始种群规模已知00()x t x =，种群数量非常大,世代互相重叠,因此种群的数量可以看作是连续变化的； 221()H 种群在空间分布均匀,没有迁入和迁出 (或迁入和迁出平衡)； 321()H 种群的出生率和死亡率为常数,即不区分种群个体的大小、年龄、性别等. 421()H 环境资源是无限的. 确定变量和参数: 为了把问题转化为数学问题, 我们首先确定建模中需要考虑的变量和参数: t: 自变量， x(t): t 时刻的种群密度, b: 瞬时出生率, d: 瞬时死亡率. 模型的建立与求解: 考查时间段[,]t t t +? (不失一般性, 设0t ?>), 由物质平衡原理,在此时间段内种群的数量满足: t t ?+时刻种群数量 – t 时刻种群数量 = t ?内新出生个体数 – t ?内死亡个体数,

常微分方程第一章

第一章一阶微分方程 1、1学习目标: 1、理解微分方程有关得基本概念,如微分方程、方程阶数、解、通解、初始条件、初值问题等得定义与提法、掌握处理微分方程得三种主要方法: 解析方法, 定性方法与数值方法、 2、掌握变量分离法,用变量替换将某些方程转化为变量分离方程, 掌握一阶线性方程得猜测检验法, 常数变易法与积分因子法, 灵活运用这些方法求解相应方程, 理解与掌握一阶线性方程得通解结构与性质、 3、能够大致描述给定一阶微分方程得斜率场, 通过给定得斜率场描述方程解得定性性质; 理解与掌握欧拉方法, 能够利用欧拉方法做简单得近似计算、 4、理解与掌握一阶微分方程初值问题解得存在唯一性定理, 能够利用存在唯一性定理判别方程解得存在性与唯一性并解决与之相关得问题, 了解解对初值得连续相依性与解对初值得连续性定理, 理解适定性得概念、 5、理解自治方程平衡点, 平衡解, 相线得概念, 能够画出给定自治方程得相线, 判断平衡点类型进而定性分析满足不同初始条件解得渐近行为、 6、理解与掌握一阶单参数微分方程族得分歧概念, 掌握发生分歧得条件, 理解与掌握各种分歧类型与相应得分歧图解, 能够画出给定单参数微分方程族得分歧图解, 利用分歧图解分析解得渐近行为随参数变化得状况、 7、掌握在给定得假设条件下, 建立与实际问题相应得常微分方程模型, 并能够灵活运用本章知识进行模型得各种分析、 1、2基本知识: (一)基本概念 1.什么就是微分方程: 联系着自变量、未知函数及它们得导数(或微分)间得关系式(一般就是 指等式),称之为微分方程、 2.常微分方程与偏微分方程: (1)如果在微分方程中,自变量得个数只有一个,则称这种微分方程为常微分方程,例 如, 、 (2)如果在微分方程中,自变量得个数为两个或两个以上,则称这种微分方程为偏微 分方程、例如, 、 本书在不特别指明得情况下, 所说得方程或微分方程均指常微分方程、 3.微分方程得阶数: 微分方程中出现得未知函数最高阶导数得阶数、例如, 就是二阶常微分方程; 与就是二阶偏微分方程、 4.n阶常微分方程得一般形式: , 这里就是得已知函数,而且一定含有得项;就是未知函数,就是自变量、 5.线性与非线性: (1) 如果方程得左端就是及得一次有理式,则称为n阶线性微分方程、

常微分方程第四章考试卷

常微分方程第四章测试试卷(3) 班级 姓名 学号 得分 一、 填空（20分） 1．——————称为n 阶齐线性微分方程。 2．1x )(t 非零为二阶齐线性方程''x 1a +)(t 2'a x +x t )(≡0的解，这里 ()t a 1 和()t a 2于区间[]b a ,上连续，则()t x 2 是方程解的冲要条件是― ——————。 ３．常系数非齐线性方程中，若()()t m m m m e b t b t b t b t f λ++++=--1110 ， 其中λ与i b 为实常数，那么方程有形如————的特解。 ４．在n 阶常系数齐线性方程中，n a a a ,2,1 为常数，则它的特征方程为——————。 ５．若方程()()022=++y x q dx dy x p dx y d 中满足————条件，则方程有形 如∑∞ ==0 n n n x a y 的特解。 ６．微分方程03'2'''4=++y y xy 的阶数为——。 ７．设()01≠t x 是二阶齐线性方程()()0'''21=++x t a x t a x 的一个解,则方程的通解可表为________ ８．解线性方程的常用方法有____、_____、_____、_____ ９．若())2,1,0(n i t x i =为齐线性方程的n 个线性无关解，则这一齐线性方程的通解可表为__________. １０.若()),,2,1(n i t x i =为齐线性方程的一个基本解组,()t x 为非齐线性方程的一个特解,则非齐线性方程的所有解可表___.

二． 计算（30分） １． 求通解y y y 2'1''2 += ２． 求特解x x e xe y y y -=+-'2''，()()11'1==y y ３． 设二阶非齐线性方程的三个特解为 x x y x x y x y cos ,sin ,321+=+== 求其通解 ４． 求解方程()()o y x y x xy =+++-2'12'' ()0≠x ５． 求方程2233'4'''''x xy y x y x =-+的通解 ６． 求方程0'''=--y xy y 的解、 三．设可导函数()x φ满足()()1sin 2cos 0+=+?x tdt t x x x φφ，求()x φ 四．证明题（20分） 1.若函数()()()t x t x t x n ,,,21 为n 阶齐线性方程的n 个线性相关解，则它们的伏朗斯基行列式()0=t w 2．试证n 阶非齐线性方程存在且最多存在n+1个线性无关解。

高等数学第七章微分方程试题及复习资料

第七章 常微分方程 一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式： ()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy 通解() ()? ?+=C dx x P y Q dy （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加） （2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解()()()() C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程 ?? ? ??=x y f dx dy 令 u x y =， 则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x dx u u f du +=+=-?? ||ln 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 ()0=+y x P dx dy 它也是变量可分离方程， 通解()?-=dx x P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程 ()()x Q y x P dx dy =+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()?-=dx x P e x C y 代入方程求出()x C 则得 ()()()[] ?+=??-C dx e x Q e y dx x P dx x P 3．伯努利方程 ()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx dy 令α -=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dx dz αα-=-+11 再按照一阶线性 非齐次方程求解。 4．方程： ()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dy dx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。

常微分方程基本概念习题附解答

§1.2 常微分方程基本概念习题及解答 1．dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=| )1(|ln 1+x c 3．dx dy =y x xy y 32 1++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31x x + y y 21+dy=3 1x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c

另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： dx dy =-y x y x +- 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 211 u - du=sgnx x 1dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32 +=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2e x 3

常微分方程第4章习题答案

习 题 4—1 1．求解下列微分方程 1） 22242x px p y ++= )(dx dy p = 解 利用微分法得 0)1)( 2(=++dx dp p x 当 10dp dx +=时，得p x c =-+ 从而可得原方程的以P 为参数的参数形式通解 22 242y p px x p x c ?=++?=-+? 或消参数P ，得通解 )2(2 122x cx c y -+= 当 20x p +=时，则消去P ，得特解 2x y -= 2）2()y pxlnx xp =+； ??? ? ?=dx dy p 解 利用微分法得 (2)0dp lnx xp x p dx ??++= ??? 当0=+p dx dp x 时，得 c px = 从而可得原方程以p 为参数的参数形式通解： 2 ()y pxln xp px c ?=+?=? 或消p 得通解 2y Clnx C =+ 当20lnx xp +=时，消去p 得特解 21()4 y lnx =- 3）() 21p p x y ++= ??? ??=cx dy p 解 利用微分法，得 x dx p p p - =+++22 11 两边积分得 () c x P P P =+++2211

由此得原方程以P 为参数形式的通解： 21(p p x y ++= ，() .11222c x p p p =+++ 或消去P 得通解 222)(C C X y =-+ 1． 用参数法求解下列微分方程 1）45222=?? ? ??+dx dy y 解 将方程化为 2215 42=??? ??+dx dy y 令2sin y t = 2cos 5 dy t dx = 由此可推出 1 515(2sin )22cos 2 cos 5dx dy d t dt t t ===从而得 c t x +=25 因此方程的通解为 52x t c = + ，2sin y t = 消去参数t ，得通解 22sin ()5 y x C =- 对于方程除了上述通解，还有2±=y ， 0=dx dy ，显然 2=y 和2-=y 是方程的两个解。 2）223()1dy x dx -= 解：令u x csc =， u dx dy cot 31-= 又令tan 2 u t = 则t t u x 21sin 12+==

常微分方程教学设计

常微分方程教学设计 第一讲基本概念定义1如果在一个(或者一组m(有限个))方程中，未知的(unknown)量是一个(或一组m有限个))函数，并且在方程中含有未知函数只关于某一个自变量(independentvariable)的导数或微分，则称这方程为常微分方程(ordinarydifferentialequation)(或者常微分方程组(ODE’s)),简称常微分方程(组)为微分方程(DE)(组(DE’s))或方程(组).(提示)常微分方程之例:若x是自变量t的未知函数，其他的量都是已知的，则下列方程(一阶线性齐次方程)(正规形式)，(一阶线性非齐次方程)(正规形式)，(二阶线性齐次方程)，(二阶线性非齐次方程)，(Riccati 方程)(一阶非线性方程)都是常微分方程，微分方程中可以不出现未知函数x本身，但必须实质上含有未知函数x的导数．注意，在本教程中不讨论延迟(retarded)常微分方程：常微分方程组之例:记vector)，是自变量t的函数，用个变量为m维列矢量(column，其中，，简记的已知函数，(以后都这样表示，不要误解为矢量x的是常微分方程组．函数)，则矢量(vector)方程n阶微分方程可以通过变换组:定义2微分方程中实质上含有的未知函数x的最高阶导数的阶数称为这微分方程关于x的阶.微分方程组中各个未知函数的最高阶导数的阶数之和称为微分方程组的阶(计算阶数时把未知函数本身认为是未知函数的零阶导数)．(提示)方程组的

阶:例中的方程组是n阶方程组.注意：但是如果我们把例2中的方程组看成是一个矢量x的方程，而且其中关于x的每个分量的阶都是一阶的，因此也可称它(关于x是一阶的)．n 阶微分方程的一般形式为：，其中函数F在其变量的某一区域(domain)中有定义，并且一定含有未知函数x对自变量t 的n阶导数.定义3假设有在区间I上有直到n阶的连续导数的函数：以是由隐式或参数形式决定的)在区间I上满足恒等式，(可我们就说该函数是在区间I上方程的解(solution)．称区间I是解的定义区间．微分方程的解根据函数的形式可分为显式(explicit)解，隐式(implicit)解和参数形式解.(提示)n阶微分方程的解可由对方程逐次进行n 次积分得到：，其中是的n次累次积分．为n个任意独立的实常数，2例:一阶方程义区间是：当时为的通解可以写成；当时为，其中c是非零实常数．定．严格而言不能写成的形式，因为后者的定义域不是一个区间．但是可以写成在不同区间上的两个通解：，和和．如果把这些解写成形式．则称为隐式解，这种隐式解也称为方程的积分．定义4微分方程的解，或隐式解在t-x平面上的几何图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线(integralcurve).如果在积分曲线上函数积分(integral)定义5已就最高阶导数解出的微分方程等于常数，则也称为微分方程的一个常微分方程之例:若x 是自变量t的未知函数，其他的量都是已知的，则下列方程

常微分方程解

第四章常微分方程数值解 [课时安排]6学时 [教学课型]理论课 [教学目的和要求] 了解常微分方程初值问题数值解法的一些基本概念，如单步法和多步法，显式和隐式，方法的阶数，整体截断误差和局部截断误差的区别和关系等；掌握一阶常微分方程初值问题的一些常用的数值计算方法，例如欧拉（Euler）方法、改进的欧拉方法、龙贝－库塔（Runge-Kutta）方法、阿达姆斯（Adams）方法等，要注意各方法的特点及有关的理论分析；掌握构造常微分方程数值解的数值积分的构造方法和泰勒展开的构造方法的基本思想，并能具体应用它们导出一些常用的数值计算公式及评估截断误差；熟练掌握龙格－库塔（Ｒ－Ｋ）方法的基本思想，公式的推导，Ｒ－Ｋ公式中系数的确定，特别是能应用“标准四阶Ｒ－Ｋ公式”解题；掌握数值方法的收敛性和稳定性的概念，并能确定给定方法的绝对稳定性区域。 [教学重点与难点] 重点：欧拉方法，改进的欧拉方法，龙贝－库塔方法。 难点：R—K方法，预估-校正公式。 [教学内容与过程] 4.1 引言 本章讨论常微分方程初值问题 (4.1.1) 的数值解法，这也是科学与工程计算经常遇到的问题，由于只有很特殊的方程能用解析方法求解，而用计算机求解常微分方程的初值问题都要采用数值方法.通常我们假定(4.1.1)中 f(x,y)对y满足Lipschitz条件，即存在常数L＞0，使对，有 (4.1.2) 则初值问题(4.1.1)的解存在唯一. 假定(4.1.1)的精确解为，求它的数值解就是要在区间上的一组离散点 上求的近似.通常取 ，h称为步长，求(4.1.1)的数值解是按节点的顺序逐步

推进求得.首先，要对方程做离散逼近，求出数值解的公式，再研究公式的局部截断误差，计算稳定性以及数值解的收敛性与整体误差等问题. 4.2 简单的单步法及基本概念 4.2.1 Euler法、后退Euler法与梯形法 求初值问题(4.1.1)的一种最简单方法是将节点的导数用差商 代替，于是(4.1.1)的方程可近似写成 (4.2.1) 从出发，由(4.2.1)求得再将 代入(4.2.1)右端，得到的近似，一般写成 (4.2.2) 称为解初值问题的Euler法. Euler法的几何意义如图4-1所示.初值问题(4.1.1)的解曲线y=y(x)过点，从出发，以为斜率作一段直线，与直线交点于，显然有 ，再从出发，以为斜率作直线推进到上一点，其余类推，这样得到解曲线的一条近似曲线，它就是折线.

常微分方程第四章考试卷1

常微分方程第四章测验试卷（1） 班级 姓名 学号 得分 一、 填空（30分） 1、如果),...,2,1)((n i t x i =为齐线性方程的n 个线性无关解，则这 一齐线性方程的所有解可表为————————————————。 2、形如————————————————的方程称为欧拉 方程。 3、如果),...,2,1)((n i t x i =为齐线性方程的一个基本解组，)(t x i 为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为————————————。 4、设0)(1≠t x 是二阶齐线性方程021=+'+''x a x a x 的一个解，则方程的通解可表为—————————————————————。 5、微分方程t x x 3 sin 1 = +''的基本解组为——————————。 6、函数组t t t e e e 2,,-的伏朗基行列式为—————————。 7、若),...,2,1)((n i t x i =b t a ≤≤上线性相关，则伏朗基行列式满足——————。 8、解线性方程的常用方法有————、————、————、————。 9、n 阶齐线性方程的线性无关解的最大个数为————。 二、 计算（50分） 1、 求32254+=-'+''-'''t x x x x 的通解。 2、 求方程0)()(32='+'-''x x x x

3已知。的解，试求方程的通解是0sin 2=+'+''= x x x t t x t 4、求方程t t x x t x t ln 22=+'-''的通解。 5、的解。求方程1)0()0()0()0(,2)4(='''=''='==+x x x x e x x t 三、 证明题（20分） 1、 ),...,2,1)((n i t x i =是齐次线性方程组的n 个解，则有：当 )()......,(1t x t x n 在[a,b]上线性无关时，伏朗斯基行列式w(t)≠0, t ],[b a ∈. 2、若()(1,2)i x t i =是非齐次线性方程43sin x x x x ''''''++=的2个解，则 有：当12lim ()()n x t x t →∞ -存在。

第三章一阶线性微分方程组第一讲一阶微分方程组及解的存在唯一性定理

第一讲 一阶微分方程组及解的存在惟一性定理（2课时） 一、 目的与要求: 了解高阶微分方程与一阶微分方程组的等价关系, 理解用向量和矩阵来研 究一阶微分方程组的作用, 了解微分方程组解的存在唯一性定理. 二、重点：一阶微分方程组的向量和矩阵表示及解的存在唯一性定理. 三、难点：向量和矩阵列的收敛性的定义, 二者的范数定义及其相关性质. 四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程： 1 课题引入 在前两章里，我们研究了含有一个未知函数的常微分方程的解法及其解的性质.但是，在很多实际和理论问题中，还要求我们去求解含有多个未知函数的微分方程组，或者研究它们的解的性质. 例如，已知在空间运动的质点(,,)P x y z 的速度与时间t 及该点的坐标的关系为(,,)x y z v v v v

123(,,,)(,,,)(,,,)x y z v f t x y z v f t x y z v f t x y z =?? =??=? 且质点在时刻0t 经过点000(,,)x y z ，求该质点的运动轨迹。 因为,x y dx dy v v dt dt ==和z dz v dt =, 所以这个问题其实就是求 一阶微分方程组 123(,,,) (,,,)(,,,)x f t x y z y f t x y z z f t x y z =?? =??=? 的满足初始条件 00(),x t x = 00(),y t y = 00()z t z = 的解(),(),()x t y t z t . 另外，在n 阶微分方程 （1.12） () (1) (,,, ,)n n y f x y y y -'= 中,令 (1) 121,, ,n n y y y y y y --'''===就可 以把它化成等价的一阶微分方程组

《常微分方程》课程大纲

《常微分方程》课程大纲 一、课程简介 课程名称：常微分方程学时/学分：3/54 先修课程：数学分析，高等代数,空间解析几何，或线性代数（行列式，矩阵与线性方程组，线性空间F n，欧氏空间R n，特征值与矩阵的对角化）, 高等数学（多元微积分，无穷级数）。 面向对象：本科二年级或以上学生 教学目标：围绕基本概念与基本理论、具体求解和实际应用三条主线开展教学活动，通过该课程的教学，希望学生正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和主要方法，具有一定的解题能力和处理相关应用问题的思维方式，如定性分析解的性态和定量近似求解等思想，并希望学生初步了解常微分方程的近代发展，为学习动力系统学科的近代内容和后续课程打下基础。 二、教学内容和要求 常微分方程的教学内容分为七部分，对不同的内容提出不同的教学要求。(数字表示供参考的相应的学时数，第一个数为课堂教学时数，第二个数为习题课时数) 第一章基本概念（2，0） （一）本章教学目的与要求： 要求学生正确掌握微分方程，通解，线性与非线性，积分曲线，线素场（方

向场），定解问题等基本概念。本章教学重点解释常微分方程解的几何意义。 （二）教学内容： 1．由实际问题：质点运动即距离与时间关系（牛顿第二运动定律），放射性元素衰变过程，人口总数发展趋势估计等，通过建立数学模型，导出微分方程。 2．基本概念（常微分方程，偏微分方程，阶，线性，非线性，解，定解问题，特解，通解等）。 3．一阶微分方程组的几何定义，线素场（方向场），积分曲线。 4．常微分方程所讨论的基本问题。 第二章初等积分法（4，2） （一）本章教学目的与要求： 要求学生熟练掌握分离变量法，常数变易法，初等变换法，积分因子法等初等解法。 本章教学重点对经典的几类方程介绍基本解法，勾通初等积分法与微积分学基本定理的关系。并通过习题课进行初步解题训练，提高解题技巧。 （二）教学内容： １. 恰当方程（积分因子法）; ２. 分离变量法 ３. 一阶线性微分方程（常数变易法） ４. 初等变换法（齐次方程，伯努利方程，黎卡提方程）

常微分方程第1章教案

第一章 绪论 定义：指含有未知量的等式. 代数方程：2210x x -+ = 1=，3121x x x --=+ 超越方程：sin cos 1x x +=，221x e x x =+- 以上都是一元方程，一般形式可以写成()0F x = 二元方程2210x y +-=的一般形式可以写成(,)0F x y =，同理三元方程22210 x y z ++-=等等 根据对未知量施加的运算不同进行方程的分类，高等数学的运算主要是微分和积分运算 一、引例 例1：已知一曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任一点(,)M x y 处的切线的斜率为2x ，求这曲线的方程. 解：设所求曲线的方程为()y f x =，由题意 1d 2(1)d 2(2)x y x x y =?=???=? 由（1）得2d y x x =?，即2y x C =+ （3） 把条件“1x =时，2y =，”代入上式（3）得221 C =+，1C ∴= 把1C =代入式（3），得所求曲线方程：21y x =+ 例2：列车在平直道路上以20m/s （相当于72km/h ）的速度行驶，当制动时列车获得加速度20.4m /s -.问开始制动后需要多长时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？ 解：设列车在开始制动后t s 时行驶了s m.根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数()s s t =应满足关系式 00 220d 0.4(4) d d 20(5)d 0*t t t s t s v t s ===?=-???==???=??（） 把式（4）两端积分一次，得1d 0.4d s v t C t = =-+ （6）

【免费下载】常微分方程教程丁同仁李承治第二版第四章 奇解

第四章 奇解习题4-11．求解下列微分方程：（通解）特解）（特解）解：221222)(222222222 2)(2101.(42202..0)1)(2(0)2()2(2222);(,242).1(C Cx y x x C x y C x p b x x x x y x p x p a x p x p x p x x p p p x px y p x px p y x C x dx dp dx dp dx dp dx dp dx dp dx dp p dx dy ++-=?++-+=?+-=?-=?=+-=+-=?-=?=+=++?=+++?+++=++= =++=+-224ln 4ln 2ln 22ln 2ln 2ln 222ln )(ln 0x .)]([ln 2ln 02ln ..0))(2(ln 22)1(ln ln );(,)(ln ).2(222C x C y x x x y p p x b y x x x y p xp x xp x a p x xp x p x xp x p x x p p xp x px y x C x C x C dx dp x x x x x x x x x dx dp dx dp dx dp dx dy +=?+=?=?=+-=+-=?-+-=?-=?-=?=+=++?++++==+=（特解）解：dy dq q y q y y dy dq q y dy dx p y p p y q y q y q x q y x y p y xp 3222222cos 2)sin (cos 222cos 12cos 123sec tan ,tan ,,tan .cos tan 22).3(-++=+===+=+=-令解：y y y y x q q y b y C x y C q y q y q a y y q y q y q y y q y y y y t y y y y y q y C dy dq dy dq q y dy dq dy dq q y dy dq dy dq q y q y y dy dq 32323232sin 2cos 231313322323232 2sin sin sin tan 0tan .sin cos tan 0tan .0 )(tan tan (0)tan ()tan (tan 0tan tan 23212cos sin cos sin cos sin cos 3cos 21cos cos cos sin cos 2=+=+=?=?=?=-+=?=?-=?=+=-+?=+-+?=-++?-（通解） 2．用参数法求解下列微分方程：、接口不严等问题，合电气设备进行调试工作案。高中资料试卷保护装置调

第七章微分方程

第七章 微分方程 教学目的： 1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。 2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。 3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。 4． 会用降阶法解下列微分方程： ()()n y f x =， (,)y f x y '''+和(,)y f y y '''= 5． 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。 6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。 7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。 8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。 9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。 教学重点： 1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法 2、可降阶的高阶微分方程() ()n y f x =， (,)y f x y '''+和(,)y f y y '''= 3、二阶常系数齐次线性微分方程； 4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程； 教学难点： 1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程； 2、线性微分方程解的性质及解的结构定理； 3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。 4、欧拉方程 §12. 1 微分方程的基本概念 函数是客观事物的部联系在数量方面的反映, 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究. 因此如何寻找出所需要的函数关系, 在实践中具有重要意义. 在许多问题中, 往往不能直接找出所需要的函数关系, 但是根据问题所提供的情况, 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式. 这样的关系就是所谓微分方程. 微分方程建立以后, 对它进行研究, 找出未知函数来, 这就是解微分方程. 例1 一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M (x , y )处的切线的斜率为2x , 求这曲线的方程. 解 设所求曲线的方程为y =y (x ). 根据导数的几何意义, 可知未知函数y =y (x )应满足关系式(称为微分方程) x dx dy 2=. (1) 此外, 未知函数y =y (x )还应满足下列条件: x =1时, y =2, 简记为y |x =1=2. (2) 把(1)式两端积分, 得(称为微分方程的通解) ?=xdx y 2, 即y =x 2 +C , (3)

第一讲§1.1微分方程与解(2课时)

第一讲 §1.1 微分方程与解（2课时） 一、目的要求：了解微分方程与相关学科的密切关系；掌握微分方程的有关基本概念。 二、重点： 1． 通过讲授微分方程的一些具体应用实例（如利用相关的物理、化学、生物、工程等有关规律建立反映实际问题的模型），使学生认识到学习本课程的生要性。 2． 基本概念：常（偏）微分方程、阶、解（显式和隐式）、通解（显式和隐式）、特解、积分曲线、定解条件、Cauchy 问题等。 三、难点：分析模型；通解的定义。 四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法。 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 六、教学过程： 1.课题导入： 什么是微分方程？它是怎样产生的？这是首先要回答的问题. 300多年前，由牛顿(Newton,1642-1727)和莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)所创立的微积分 学，是人类科学史上划时代的重大发现，而微积分的产生和发展，又与求解微分方程问题密切相关. 这是因为，微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求.一般地，运动规律很难全靠实验观测认识清楚，因为人们不太可能观察到运动的全过程. 然而，运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之间，通常在运动过程中按照某种己知定律存在着联系，我们容易捕捉到这种联系，而这种联系，用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程. 一旦求出这个方程的解，其运动规律将一目了然. 在初等数学中，曾经学习过代数方程，例如： ⑴3210x x -+=； 1=； ⑶3121x x x --=+ 中，对未知数x 所施加的是代数运算，因此它们都是代数方程。 还学习过三角方程、指数方程、对数方程等，例如： ⑴sin cos 1x x += ⑵2 21x e x x =+- ⑶1ln x x += 中，出现了未知量x 的超越函数，因此它们都是超越方程。并用它们解决了一些有趣的应用问题，使我们初步体会到方程论（主要是设未知量、列方程和求解方程的方法）对于解决实际问题的重要性。 在高等代数中，又学习过高次代数方程，n 元线性代数方程组。这些方程（组）有一个共同特点，就是作为未知而要求的是一个或几个特定的值（称为方程的根或解）。 但在高等数学中，常常需要研究的是另外一类性质上完全不同的方程。在这类方程中，作为未知而要去求的已经不再是一个或几个特定的值，而是一个函数。这类方程称为函数方程。例如：

§1常微分方程的基本概念

第十三章 常微分方程简介 本章介绍微分方程的有关概念及某些简单微分方程的解法。 微分方程是包含未知函数及其导数的方程。由微分方程能够求出未知函数的解析表达式，从而掌握所研究的客观现象的变化规律和发展趋势。因此，掌握这方面的知识，用之分析解决问题是非常重要的。 由于在大多数情况下，微分方程很难求出初等解（即解的形式是初等函数）。那么，就需要研究解的存在理论，借助计算机求出微分方程的数值解。 本章的内容，仅仅包含常微分方程的一些最初步的知识，特殊的一阶和部分二阶微分方程的初等解法；最后一节讨论微分方程的简单应用。 §1 常微分方程的基本概念 像过去我们研究其他许多问题一样，首先通过具体实际例子来引入微分方程的概念。 两个实例 例1.1 设某一平面曲线上任意一点),(y x 处的切线斜率等于该点处横坐标x 的2倍，且曲线通过点)2,1(，求该曲线的方程。 解 平面上的曲线可由一元函数来表示 设所求的曲线方程为)(x f y =，根据导数的几何意义，由题意得 x dx dy 2=（这是一个含未知函数)(x f y =的导数的方程）。 另外，由题意，曲线通过点)2,1(，所以，所求函数)(x f y =还满足2|1==x y 。 从而得到 12 (1.1)|2(1.2) x dy x dx y =ì??=?í??=??，。 为了解出)(x f y =，我们只要将的两端积分，得 ?+=+==C x C x xdx y 22 2 22， 我们说 C x y +=2对于任意常数C 都满足方程。 再由条件，将2|1==x y 代入C x y +=2，即

C +=2121=?C 。 故所求曲线的方程为12+=x y 。 再看一个例子： 例1.2 设质点以匀加速度a 作直线运动，且0=t 时0,0v v s ==。求质点运 动的位移与时间t 的关系。 解 这是一个物理上的运动问题。 设质点运动的位移与时间的关系为 )(t s s =。 则由二阶导数的物理意义，知a t d s d =22，这是一个含有二阶导数的方程。 再由题意000 |0 |t t s v v ==ì=??í ?=??，因此，)(t S S =应满足问题 22 000 (1.3)|0|(1.4)t t d s a dt s v v ==ì??=?í??==???，，。 要解这个问题，我们可以将两边连续积分两次，即 1C at dt ds +=， ??++=21C dt C tdt a s ，即 2122 C t C t a s ++=， 其中21,C C 为任意常数。 由条件，因为0|0==t s ，代入，得02=C ； 再由00|v v t ==，代入，得01v C =。 故得 t v t a s 02 2 += 为所求。 下面我们将通过分析这两个具体的例子，给出微分方程的一些基本概念。 微分方程的基本概念 总结所给出的两个具体的例子，我们看到： (1) 例的)1(式和例 的)1(式都是含有未知函数的导数的等式（例1含一阶导数，例2含二阶导数）； (2) 通过积分可以解出满足这等式的函数；

常微分方程第一章初等积分法

第一章 初等积分法 方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的，在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等.这些方程都是要把研究的问题中的已知量和未知量之间的关系找出来，列出包含一个未知量或几个未知量的一个或者多个方程式，然后求取方程（组）的解.这里，方程（组）的解为常数. 然而在实际生活中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题.比如：求物体在一定条件下运动的规律（比如某物体做匀速直线运动，速度为5，求其位移变化的规律）；求满足一定条件（比如在某曲线任意点处的斜率为该点横坐标的2倍）的曲线的方程等等. 物体运动规律、曲线方程在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数.也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求出一个或者几个未知的函数. 在数学上，解决上述问题也需要建立方程，不过建立的是含有未知函数自变量、未知函数及未知函数的导数的方程（比如上述两个问题建立的方程为： 5=dt ds ，x dx dy 2=） ，这类方程就叫做微分方程. 本章主要介绍微分方程的基本概念及几类简单的微分方程的解法. 1.1 微分方程的基本概念 300多年前，由牛顿(Newton,1642-1727)和莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)所创立的微积分学，是人类科学史上划时代的重大发现.而微积分的产生和发展，又与求解微分方程问题密切相关.这是因为：微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求.一般地，运动规律很难全靠实验观测认识清楚，因为人们不太可能观察到运动的全过程.然而，运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之间，通常在运动过程中按照某种己知定律存在着联系，我们容易捕捉到这种联系.而这种联系，用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程.一

常微分方程考研讲义第四章 高阶微分方程

第四章高阶微分方程 [教学目标] 1. 理解高阶线性微分方程的一般理论，n阶齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与 结构，熟练掌握n阶常系数齐次线性微分方程的待定指数函数解法。 2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法，理解n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换法。 3.熟练欧拉方程与高阶方程的降阶法和幂级数解法。 4.掌握高阶方程的应用。 [教学重难点]重点是线性微分方程解的性质与结构，高阶方程的各种解法。难点是待 定系数法求特解。 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 16学时 [教学内容]线性微分方程的一般理论，齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，非齐次线性微分方程的常数变量易法；常系数线性方程与欧拉方程的解法，非齐线性 方程的比较系数法与拉氏变换法；高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。[考核目标] 1.理解高阶线性微分方程的一般理论，能够求解高阶常系数线性微分方程。 2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法。 3.n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换法。 4.熟练高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。 §4.1线性微分方程的一般理论 4.1.1引言 讨论n阶线性微分方程

1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= （4.1） 其中()(1,2,,)i a t i n = 及()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数 如果()0f t ≡，则方程（4.1）变为： 1111()() ()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （4.2） 称它为n 阶齐线性微分方程，而称一般的方程（4.1）为n 阶非齐线性微分方程，并且通常把方程（4.2）叫对应于方程（4.1）的齐线性方程。 定理1 如果()(1,2,,)i a t i n = 及()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数，则对于任一 []0,t a b ∈ (1)(1) 000 ,,,n x x x - ，方程（4.1）存在唯一解()x t ?=，定义于区间a t b ≤≤上，且满足初始条件： 1(1)(1)0000001 ()()(),,,n n n d t d t t x x x dt dt ???---=== （4.3） 从这个定理可以看出，初始条件唯一地确定了方程（4.1）的解，而且这个解在所有()(1,2,,)i a t i n = 及()f t 连续的整个区间a t b ≤≤上有定义。 4.1.2 齐线性方程的解的性质与结构 讨论齐线性方程 1111()() ()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （4.2） 定理2（叠加原理）如果12(),(),,()k x t x t x t 是方程（4.2）的k 个解，则它们的线性组合1122()()()k k c x t c x t c x t +++ 也是（4.2）的解，这里12,,,k c c c 是任意常数。 特别地，当k n =时，即方程（4.2）有解 1122()()()n n x c x t c x t c x t =+++ （4.4） 它含有n 个任意常数。在什么条件下，表达式（4.4）能够成为n 阶齐线性方程（4.2）的通解？为了讨论的需要，引进函数线性相关与线性无关及伏朗斯基()Wronsky 行列式等概念。 设12(),(),,()k x t x t x t 是定义在区间a t b ≤≤上的函数，如果存在不全为零的常数 12,,,k c c c ，使得恒等式 1122()()()0k k c x t c x t c x t +++≡