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高中数学第二章第10课时等比数列的概念和通项公式训练苏教版必修5

第10课时等比数列的概念和通

项公式

【分层训练】

1.下列各组数能组成等比数列的是（）

A. 111

,,369

B. lg3,lg9,lg 27

C. 6,8,10

D. 3,33,9- 2.等比数列{}n a 中，32a =，864a =，那

么它的公比q =（）

A. 4

B. 2

C. 52

D. 1

3. 考察下列数列，①a 1 =1，a n +1 =a n + 21，b 1 =2，b n +1 =b n ·2. ②a n +1 =a n ，b n +1 =2b n . ③

a n +1 =a n +n ，

b 1 =1，b n +1 =(b n )2 ，则{a n }是等差数列且{b n }是等比数列的有（）

A ．1组

B ．2组

C ．3组

D ．0组 4. 等差数列{a n }中，a n -m = A ，a n +m =B .等比

数列{b n }中，b n -m = A ，b n +m =B .则有（） A ．a n =A + B ，b n =A ·B

B ．a n =2B A +，b n =AB

C ．a n =2

A +，b n =±AB

D ．a 2n =A + B ，b 2n =AB 5.等比数列中，首项为98，末项为1

，公比为

，则项数n 等于 . 6.在等比数列中，n a >0，且21n n n a a a ++=+，则该数列的公比q 等

于 .

7.在等比数列{}n a 中，n a >0，()n N +∈且

3698a a a =，则222426log log log a a a ++

28210log log a a ++= .

8.若{}n a 是等比数列，下列数列中是等比数列的所有代号为是 . ① {}2

a ② {}2n

③ 1n a ????

④{}

lg n a 【拓展延伸】

9．某地现有耕地１0000公顷，规划10年后

粮食单产比现在增加22％，人均粮食占有量比现在提高10％．如果人口年增长率为1％，

那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷

（精确到１公顷）？

（注：粮食单产＝总产量/耕地面积，人均粮食占有量＝总产量/总人口数）

10．如图，正方形ABCD 的边长为3a cm ，分

别作边AB ，BC ，CD ，DA 上的三等分点Ａ1，Ｂ1，Ｃ1，Ｄ1，得正方形Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1，再分

别取边Ａ1Ｂ1，Ｂ1Ｃ1，Ｃ1Ｄ1，Ｄ1Ａ1上的三

等分点Ａ2，Ｂ2，Ｃ2，Ｄ2，得正方形Ａ2Ｂ2

Ｃ2Ｄ2，如此继续下去，得正方形Ａ3Ｂ3Ｃ3

Ｄ3…… （１）求边Ａ1Ｂ1，Ａ2Ｂ2，Ａ3Ｂ3的长；

（２）求正方形Ａn Ｂn Ｃn Ｄn 的边长．

学生质疑

教师释疑

高一数列通项公式常见求法

数列通项公式的常见求法一、公式法高中重点学了等差数列和等比数列，当题中已知数列是等差或等比数列，在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项，只需求得首项及公差公比。 1、等差数列公式例1、已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10，求数列{a n }的通项公式。解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得 11 0,21210,a d a d +=??+=-? 解得11,1.a d =??=-? 故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =- 2、等比数列公式例2、设{}n a 是公比为正数的等比数列，12a =，324a a =+，求{}n a 的通项公式。解：设q 为等比数列{}n a 的公比，则由21322,4224a a a q q ==+=+得，即220q q --=，解得21q q ==-或（舍去），因此 2.q = 所以{}n a 的通项为1*222().n n n a n N -=?=∈ 3、通用公式若已知数列的前n 项和n S 的表达式，求数列{}n a 的通项n a 可用公式 ?? ?≥-==-2 1 1n S S n S a n n n n 求解。一般先求出11S a =，若计算出的n a 中当n=1适合时可以合并为一个关系式，若不适合则分段表达通项公式。例3、已知数列}{n a 的前n 项和12 -=n S n ，求}{n a 的通项公式。解：011==s a ，当2≥n 时 12]1)1[()1(221-=----=-=-n n n s s a n n n 由于1a 不适合于此等式。 ∴?? ?≥-==) 2(12)1(0 n n n a n

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为首项、ak为已知的第k项， an≠0)5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)；当q≠1时， Sn=Sn=三、高中数学中有关等差、等比数列的结论1、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍为等差数列。2、等差数列{an}中，若m+n=p+q，则 3、等比数列{an}中，若 m+n=p+q，则4、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-

S3m、……仍为等比数列。5、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。6、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列{an bn}、、仍为等比数列。7、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。8、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。9、三个数成等差数列的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法： a-3d,a-d,,a+d,a+3d10、三个数成等比数列的设法：a/q,a,aq；四个

数列.版块三.等比数列-等比数列的通项公式与求和.学生版

【例1】在等比数列{}n a 中，22a =，5128a =，则它的公比q =_______，前n 项和n S =_______．【例2】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且53655-=S S ，则4=a ．【例3】设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若 63 3S S =，则96=S S （） A ．2 B ． 7 3 C ．83 D ．3 【例4】设{}n a 是公比为q 的等比数列，1>q ，令1(12)=+=L n n b a n ，，，若数列{}n b 有连续四项在集合{}5323193782--，，，，中，则6=q ．【例5】等比数列{}n a 的首项11a =-，前n 项和为n S ，公比1q ≠，若 105S S ＝31 32 ，则105a a 等于．【例6】等比数列{}n a 中，1512a =，公比1 2 q =-，用n ∏表示它前n 项的积：12...n n a a a ∏=，则1∏，2∏，…，n ∏中最大的是_______．【例7】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1 (1)()3 N n n S a n *=-∈． ⑴求1a ，2a ，3a 的值； ⑵求n a 的通项公式及10S ．典例分析等比数列的通项公式与求和

【例8】在等比数列{}n a 中，12327a a a ??=，2430a a += 试求：⑴1a 和公比q ；⑵前6项的和6S . 【例9】在等比数列{}n a 中，已知对任意正整数n ，有21n n S =-，则22212 n a a a +++=L ________．【例10】求和：2(1)(2)(),(0)n a a a n a -+-++-≠L ．【例11】在等比数列{}n a 中，423a = ，35209a a +=．若数列{}n a 的公比大于1，且3log 2 n n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【例12】在各项均为正数的等比数列{}n b 中，若783b b ?=，则3132log log b b ++……314log b +等于（） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【例13】等比数列}{n a 中，已知对任意自然数n ，=+?+++n a a a a 32121n -，则222 12n a a a ++???+=( ) A ．()221n - B ．()1213n - C ．41n - D ．()1 413 n -

高中数学数列通项公式的求法(方法总结)

（1）主题：求数列通项n a 的常用方法总结一、形如：特殊情况：当n+11,n n A B C A a a A =*+*+≠，常用累加法。 (n n a a +-,z 构建等比数列()1y n z *++z ；的通项公式，进而求得n a 。二、形n a a * ；

三、形 ()x f x =）情形1：1n n A B a a +=*+型。设λ是不动点方程的根，得数列 {}n a λ-是以公比为A 的等比数列。情形2：1*n n n A B C D a a a +*+=+型。设1λ和2λ 是不动点方程 *A x B x C x D *+=+的两个根；（1）当12λλ≠时，数列n 12n a a λλ??-?? ??-????是以12 A C A C λλ -*-*为公比的等比数列；（2）当12 =λλλ =时，数列1n a λ???? ??-???? 是以2*C A D +为公差的等差数列。【推导过程：递推式为a n+1= d ca b aa n n ++（c ≠0,a,b,c,d 为常数）型的数列 a n+1－λ= d ca b aa n n ++－λ= d ca c a d b a c a n n +--+ -) )((λλλ，令λ＝－λ λc a d b --，可得λ＝d c b a ++λλ ……（1）。（1）是a n+1=d ca b aa n n ++中的a n ，a n+1都换成λ后的不动点方程。 ○ 1当方程（1）有两个不同根λ１，λ２时，有 a n+1－λ１＝ d ca a c a n n +--))((11λλ，a n+1－λ２＝d ca a c a n n +--) )((22λλ ∴ 2111λλ--++n n a a ＝21λλc a c a --?21λλ--n n a a ，令b n =21λλ--n n a a 有b n ＋１＝ 2 1 λλc a c a --?b n ○ 2当方程（1）出现重根同为λ时，由a n+1－λ＝ d ca a c a n n +--))((λλ得λ-+11n a ＝))((λλ--+n n a c a d ca ＝λ c a c -＋))((λλλ--+n a c a c d （ “分离常数”）。设c n =λ-n a 1 得c n ＋１＝ λ λc a c d -+?c n ＋ λ c a c -】

高中数学必修五数列知识点

一、知识纲要 (1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列． (2)等差、等比数列的定义． (3)等差、等比数列的通项公式． (4)等差中项、等比中项． (5)等差、等比数列的前n 项和公式及其推导方法．二、方法总结 1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想． 2．等差、等比数列中，1a 、n a 、n 、)(q d 、n S “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法． 3．求等比数列的前n 项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想． 4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等．三、知识内容： 1.数列数列的通项公式：?? ?≥-===-)2() 1(111n S S n S a a n n n 数列的前n 项和：n n a a a a S ++++= 321 1、数列：按照一定顺序排列着的一列数． 2、数列的项：数列中的每一个数． 3、有穷数列：项数有限的数列． 4、无穷数列：项数无限的数列． 5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列． 6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列． 7、常数列：各项相等的数列． 8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 9、数列的通项公式：表示数列 {}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式． 10、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式．例1.已知数列{}n a 的前n 项和为n n S n -=2 2,求数列{}n a 的通项公式. 当1=n 时，111==S a ,当2n ≥时，34)1()1(222 2-=-+---=n n n n n a n ,经检验 1=n 时 11=a 也适合34-=n a n ,∴34-=n a n ()n N +∈ 2.等差数列等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。等差数列的判定方法: （1）定义法：对于数列 {}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列。（2）等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。等差数列的通项公式：如果等差数列 {}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为d n a a n )1(1-+=。说明：该公式整理后是关于n 的一次函数。等差数列的前n 项和：①2)(1n n a a n S += ②d n n na S n 2 ) 1(1-+ = 说明：对于公式②整理后是关于n 的没有常数项的二次函数。等差中项：如果a ， A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。即：2 b a A += 或b a A +=2 说明：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。等差数列的性质：（1）等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有 d m n a a m n )(-+=

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一、数列基本公式： 1、一般数列的通项a n 与前n项和S n 的关系：a n = 2、等差数列的通项公式：a n =a 1 +(n-1)d a n =a k +(n-k)d (其中a 1 为首项、 a k 为已知的第k项) 当d≠0时，a n 是关于n的一次式；当d=0时，a n 是一个常数。 3、等差数列的前n项和公式：S n =S n = S n = 当d≠0时，S n 是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a 1 ≠0）， S n =n a 1 是关于n的正比例式。 4、等比数列的通项公式：a n =a 1 q n-1a n =a k q n-k (其中a 1为首项、a k 为已知的第k项，a n ≠0) 5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，S n =n a 1 (是关于n的正比例式)；当q≠1时，S n =S n =

三、高中中有关等差、等比数列的结论 1、等差数列{a n }的任意连续m项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m -S 3m 、……仍为等差数列。 2、等差数列{a n }中，若m+n=p+q，则 3、等比数列{a n }中，若m+n=p+q，则 4、等比数列{a n }的任意连续m项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m -S 3m 、……仍为等比数列。 5、两个等差数列{a n }与{b n }的和差的数列{a n+ b n }、{a n -b n }仍为等差数列。 6、两个等比数列{a n }与{b n }的积、商、倒数组成的数列 {a n b n }、、仍为等比数列。 7、等差数列{a n }的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。 8、等比数列{a n }的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。 9、三个数成等差数列的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3 d 10、三个数成等比数列的设法：a/q,a,a q；四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,a q,a q3(为什么？)

数学必修5公式

一、解三角形1.正弦定理 2sin sin sin a b c R A B C = = = 2.三角形面积公式 111sin sin sin 2 2 2 A B C S bc A ac B ab C = == 3.余弦定理2222cos a b c bc A =+- 222cos 2b c a A bc +-= 4.韦达定理1212b x x a c x x a ? +=-?????=?? 二、数列1.等差数列A P 定义：()12n n a a d n n N d -+-=≥∈，，是常数通项公式：()()()111n m a a n d a n m d pn q p d q a d =+-=+-=+==-，等差中项：2 a b A a A b A P += ?，，成性质：若m n p q +=+，则()m n p q a a a a m n p q N ++=+∈，，，若{}n a 为A P ，则123456789a a a a a a a a a ++++++，，，…仍成A P 前n 项和：() ()12 1112 2 22n n n a a n n d d d S na An Bn A B a +-??= =+ =+==- ?? ?，性质：当项数为2n 时，S S nd -=偶奇22n n n n n S S S AP d n d --'=23，，成， 2.等比数列G P 定义： () 1 20n n a q n n N q a +-=≥∈≠，，通项公式： 1 1 10n n m n m n m a a a q a q c q c q ---??=?=?=?=≠ ??? 等比中项：)0g a b a g b GP =≠?，，，成性质：若m n p q +=+，则()m n p q a a a a m n p q N +=∈，，，21122n n n n a a a a a -+-+=?=? 2 1726354a a a a a a a ?=?=?=前n 项和：()11111111 n n n a q a a q q S q q na q ?--?=≠=?--? =?，，性质：当项数为2n 时， S q S =偶奇；2n n n n n n S S S G P q q --'=23，，成，三、不等式1.性质a b b a >?>?>， a b a c b c >?+>+0a b c ac bc >>?>，0a b c ac bc >>?+>+， a b c d a c b d >-，00a b c d ac bd >>>>?>，01n n a b a b n N n +>>?>∈>，， 01a b n N n +>>? > ∈>， 2.均值不等式如果a b R + ∈，，则 2 a b +≥，当且仅当 a b =时，等式成立如果a b R +∈，，则222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等式成立