两角差的余弦公式教案
两角差的余弦公式教案
海南省三亚市第一中学数学组陈艳
一教材分析和目标：
本节课选自人教版.必修四.第三章第一节,是学习了第一章三角函数和第二章平面向量后的内容,其的中心任务是通过以知的向量和三角恒等变换知识,探索建立两角差的余弦公式，通过简单运用，使学生初步理解公式的结构.功能及其运用，同时本节内容也是第三章其他十个公式的推导基础。
1. 知识与技能
(1)掌握两角差的余弦公式,并能用之解决简单的问题。
(2)通过对公式的推导,对学生渗透探究思想、类比思想以及分类讨论思想。
2. 过程与方法目标：
通过对公式的推导提高学生研究问题、分析问题、解决问题能力；体会公式探求中从特殊到一般的数学思想，同时渗透如上所说的多种数学思想。
3. 情感与态度目标：
通过公式的推导与简单应用，激发学生求知欲，鼓励学生大胆尝试，敢于探索、创新的学习品质。
二教学重点、难点：
重点：通过探索得到两角差的余弦公式，公式的灵活应用。
难点：两角差的余弦公式探索与证明。
教法：问题诱思法，探究法，演练结合法。
学法：自主探究法
三教学流程：
一用熟悉的知识引出课题
二
明确
探索
的目
标和
途径
三
组织
学生
自主
探索
证明
四
通过例
题练习
加强对
公式的
理解
六
布置
作业
五
小
结
四教具:多媒体(幻灯片加几何画板课件演示)
五教学情景设计:
1.我们先看两个问题：
（1） cos( π—β)＝?
（2） cos( 2π—β)＝?
大家根据诱导公式很快得出了答案，大家接着思考一个问题，当特殊角π和2π被一般角α取代，
（3） cos( α－β )＝?
2.大家猜想了多种可能，其中有同学猜想
cos(α－β)＝cosα－cosβ
cos(α－β)＝sinα－sinβ
cos(α－β)＝sinα－cosβ
cos(α－β)＝cosα－sinβ
那么这些结论是否成立？
3.我们一起来用计算器验证。(几何画板课件)
在这里我们做与单位圆相交的两个角α，β，现在我们来一起模拟计算下大家猜想的几组结论。首先任意取一组α，β角，模拟计算出 cos(α－β) cosα－cosβsinα- sinβ cosα－sinβ由结果推翻假设（反证法），
那么cos(α－β)到底等于什么呢？现在我们来借助计算机的强大计算功能，由cos(α－β)的结果模拟可能的答案。
4.计算机模拟结论
cos(α–β)＝cosαcos β+ sinαsinβ（黑板板书）。
变换不同的α，β角度，结论仍保持不变。
同学们观察分析该结论的构成，右边与向量夹角的坐标表示一致.
5．证明过程如下：
假设OA与OB的夹角为θ，OA＝（cosα，sinα），OB＝（cosβ，sinβ）
由向量数量积的概念，有OA·OB＝|OA|·|OB|cosθ＝cosθ
由向量数量积的坐标表示有OA·OB＝cosαcos β+ sinαsinβ
于是有 cosθ＝cosαcos β+ sinαsinβ
分类讨论如下：
（1）α－β在[0，π]时，θ＝α－β
（2）α－β在[π，2π]时两向量夹角θ＝2π-（α－β）
此时 cos[2π-（α－β）]＝cos（α－β）
（3）α－β在全体实数范围都可以由诱导公式转换到[0，2π]
综合三种情况，cos(α－β)＝cosαcos β+ sinαsinβ。得证
经过大家的猜想，计算，证明，我们得出两角差的余弦公式，有些同学开始产生疑问，我们最开始的两个诱导公式是否出现了错误，都是两角差的余弦，结论似乎不一致，现在我们一起来探讨，揭开谜底。
6．例一: 用两角差的余弦公式证明问题
（1）cos (π—β)＝－cos β （2）cos (2π—β)＝cos β 证明（1） cos(π—β)
＝ cos π·cosβ＋sin π·sin β ＝－1·cosβ +0·sinβ ＝－cos β
左边=右边 所以cos(π—β)＝－cos β得证
证明（2） cos(2π—β)
＝ cos2π·cos β + sin 2π·sinβ ＝1·cosβ + 0·sinβ ＝cos β
左边=右边 所以cos(2π—β)＝cos β得证
前面我们都是用抽象的角度,现用具体角度. 7．例二: 用两角差余弦公式求cos15°.
解法一:cos15° ＝cos(45°—30°)
＝cos45°·cos30°+sin45°·sin30°
＝
12+ 解法二: cos15°= cos(60°—45°)
= cos60°·cos45°＋sin60°·sin45°＝
4
（分成17°-2°是否可行?） 8．练习：
证明: cos(α＋β)= cos α·cos β－sin α·sinβ
思考 : 能否参考两角差的余弦公式进行推导? 我们的新课改提倡“减负”，从数学的角度，减负就是---“加正”，所以 α＋β=α- (- β） 证明:∵ cos (α＋β) = cos [α－(- β）]
=cosα·cos( -β) +sin α·sin(-β)
= cosα·cosβ－sinα·sin β
∴cos(α＋β)=cosα·cosβ－sinα·sinβ
9．对比两角和与差的余弦公式:
cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsinβ
cos(α＋β)=cosαcosβ－sinαsinβ
余余异号正正
10．化简求值：
（1） cos105°cos15°＋sin105°sin15°=cos90°=0
（2）cos(θ+20°)cos(θ－40°)＋sin(θ+20°)sin(θ－40°)=cos60°=1 2
（3）cos35°cos10°－sin35°sin10°=cos45°
11．回顾反思：
（1）提出问题：由两个熟悉的诱导公式入手，从特殊到一般，提出问题。
（2）探究问题
假设猜想——反证否定——计算机模拟猜想——证明——肯定结论——
灵活应用——公式对照记忆。
12．下节课需要解决的内容，通过已经证明的两角和余弦的思路，思考两角和差的正弦。13．作业布置：
课本131页第一题和第五题。
14.板书设计
的夹角为θ，
α，sin β，sin 由向量数量积的概念，有
OA
|
OB
|cos θ积cos β左边＝
教学设计附表: