函数的基本概念梳理以及题型.doc
⑴函数的定义
①传统定义：在某一个变化的过程中，有两个变量兀和y,如果对于在某一个范围内的任意一个x
的值，都有唯一的值y与之对应，则称y是兀的函数。
②现代定义：设A、B是两个非空数集，如杲按照某个确定的对应关系/,使对于集合A
屮任意一个数尢，在集合B屮都有唯一一个数/(x)和它对应，那么就称A T B为从集合A到集合B 中的一个函数，记作J =/(X)(XG A)其中兀叫做自变量，兀的取值集合A叫做函数的定义域；与兀的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{/(X)\XE A}叫做函数的值域。
⑵函数的理解：
①A、B都是非空数集(也就是限定了范围)，因此定义域(或值域)为空集的函数不存在
②若y = f(x)是从集合A到集合B的函数，则应紧扣它的“任意性”和“唯一性”，即
“任意性”一一对于A中的任意一个数X；“唯一性”一一在集合B中的都有唯一的确定的数/(兀)和它对应(还应该注意它的方向性、确定性)
③在现代定义域中B不一定是，函数的值域，如函数y = x2+l可以称为实数集到实数集的函数。
④对应关系、定义域、值域是函数的三要素，缺一不可。英中对应关系是核心，定义域是根本，当
定义域和对应关系已经确定，则值域也就确定了。
探究：若y = f(x)是从A到B的函数，则集合A、B分别是函数的定义域与值域么？
A定是值域，B可以是也可以不是，若函数y = f(x)的值域为C,则C是B的非空子集
⑶函数符号/(兀)的含义：/(兀)表示一个整体，一个函数。而记号“厂可以看做是对“兀” 施加的某种法则(或运算)，女U/(x) = x2-2x4-3 o当x = 2吋，课看做是对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去它与2的积，再加上3；当x是某个代数式(或某一个函数符号)时，则左右两边的x都有同一个代数式(或函数符号)代替，如/(X)=(2X-1)2-2(2X-1)+3, /(g(x)) = [gS)]2—2[gS)] + 3等等，/(a)与/(x) 的区别就在于前者是函数值，是常数；而后者是因变量，是变量。
例题：
某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出100件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高1 元其销售量就减少10件，则每天的销售利润是销售单价的函数吗？若是求它的定义域和对应法则若不是，则说明理由。
点评：要判断两个变量是否有函数关系，只要看他们是否具备以下两点：①看定义域与对应 法则是否给出；②看根据给出的对应法则，自变量X 在定义域中任収一个值，是否都能确定 唯一的函数值y 。 例题
判断下列关系式能否确定y 是x 的函数。
点评：判断一个式子能否确定y 是x 的隊|数，关键看使式子有意义的x 的值是否可以确定唯 一的y 值与之对应，x 不存在或y 值不唯一均不能确定函数y 是x 的函数。
例题：
若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“李生函 数函数解析式为y = 2/ + l,值域为｛3, 1, 9｝的李生函数共有（）个。
A 、9
B 、8
C 、12 例2,（1）给出下列各组函数：
① f （X ）二 J （兀-I ），,g （X ）=X-l ； _______________ I --------------- / Y 2 _ 1 J 兀2 _ 1
?f(X)= (VX -I)2 ,g(X)= y](X-l)2 ；④ f(X)二彳：+ ] ,g(X)二 ?
哪几组的两个函数为相同的函数？它们的序号为 ______________ 区间及其表示：
区间是数轴上某一线段或者射线或者直线上的点所对应的实数的取值集合的又一种符号语 言，即用端点所对应的数、“*8”（正无穷大）、“-8”（负无穷大）、方括号（包含端点）、 小圆括号（不含端点）等符号来表示。
注意：区间实质上是一类特殊数集（部分实数组成的集合）的符号表示，因此我们在解题时 必须把它与集合同等对待。
例题：将下面的集合用区间表示出来：
{x x< 1} = __________________ {兀 兀n5} = _________________ [x 2 映射 ⑴映射 设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应关系/,对于集合A 中的任意一个元素，在集合B 中都有唯一的元素与之对应，那么这样的对应（包括集合A 、B,以及集合A 到集合B 的对 应关系/）叫做集合A 到集合B 的映射，记作 注意：映射的概念可以概括为“取元任意性，成象唯一性”，即 ① 映射的三要素：原彖、象、对应关系 ② A 中元素不可剩，B 中元素可剩 ③ 多对一行，一对多不行 ① \fx + Jy +1 = 1 l （x 是有理数） 0（兀是无理数） D 、4 ②f(X)二 _1 ,g(x)=丿兀 + 1 ■ Vx -1 ; ④映射具有方向性：f:A^B与/:B T A—般是不同的映射⑵映射与函数的关系 ①联系：映射的概念是在函数的现代定义(集合语言定义的)的基础上引申、拓展的；函数是一个特 殊的映射，因此反过来，要善于用映射的语言來叙述函数的问题。 ②区别：函数是非空数集A到非空数集B的映射；而对于映射而言，A和B不一定是数集。 例题： 例下列对应是不是从A到B的映射？ (1)A=Q, B=Q+, f： x— I x I . (2)A = B = N： f:x- I x-2 I . (3)A= {xWN I x22}, B= {yez I yMO}, f:x->y = x2-2x+l. (4)A= {x I xG(0, +8)}, B= {y I yWR}, f:x~*y= ±. 解：(1)中，当x=0e A吋，lxl=OGB,即A中的元素0在B中没有象，故(1)不是映射. (2)中,当x=2WA时,I x-2 I =0^B,与⑴类似,(2)也不是映射. (3)中，因为y = (x?l)G(),所以对任意x,总有y$0；又当x^N时，x、2x+l必为整数, 即yW乙所以当xWA时，x2-2x+ieB,且对A中每一个元素x,在B屮都有唯一的y与之对应，故(3)是映射. (4)中，任一个x都有两个y与之对应，故不是映射. 评析判断某对应是否为映射，严格按照映射定义中所要求的条件进行判断.本题中的对应关系都能用解析式来表示，如y = \+—等，是否所有映射的对应关系都能用解析式来表示呢？不一定， 如映射 A = {某校高二(2)班学生}, B = {正实数}, /:学生T年龄.其对应关系就无法用一个解析式来表示。 例若A= {(x,y) I xE乙I x 丨V2, yWN, x+y<3}, B= {0, 1, 2},从A 到B 的对应关系f(x,y)~x+y,说明f是A到B的映射，并画111对应图，指出2的原象是什么？ 解：满足条件的集合A中的元素共有六个，用列举法表示为{(-1, 2), (-1, 3), (-1, 1), (0, 1), (0, 2), (1, 1)}.对应图为下图. ???集合A屮的每一元素，集合B屮都有唯一的元素与它对应，所以f能构成一个映射.2 的原象为(?1, 3), (0, 2), (1, 1). 例已知集合A= {1,2,3,a}, B= {4,7,b4,b2+3b},其中a^N*, b^N*.若x^A, y^B, 映射f:A-*B使B 中元素y = 3x+l和A中元素x对应.求a和b的值. 分析利用原象与象的关系，建立关于a和b的方程组. 解：TA中元素x对应B中元素y=3x+l, ???A中元素1的象是4, 2的象是7, 3的象是10. Z.b4=10,或b2+3b=10. 又beN\ /.b2+3b-10=0,解之，得b二2. Ta的象是b4=16, ???3a+l = 16,解之，得a二5. 评析正确理解映射的概念，合理处理字母问题是求解本题之关键.如果将题设屮的集合B换成{4,7,13,b4,b2+3b},那么请问a的值是多少？ 巩固练习： 1.已知映射f： A-B,其中A二B二R,对应法则为.f:xTy = x2+2x + 3.若实数keB, 在集合A中不存在原象，则k的取值范围是( ) A、(一8, 0) B、［2, +8) C、(—8, 2) D、(3, +2 点评：对形成映射的集合A、B,抓住映射概念内涵屮“取元任意性，成象唯一性”，B屮可以存在没有原彖的元素，但A中元素必然都有原象且唯一。 例判断下列映射是不是从A到B的一一映射，并说明理由. (1)A= {矩形}, B = R,对应法则f为矩形到它的面积的对应. (2)A = R, B = R,对应法则 f :x—y = kx+b (kHO)? 1+ x (3)A= {x I xWR,且xHl}, B = R,对应法则f:x~y=l-兀. (4)A = R, B= {ylyMO},对应法则f:x->y = x2? 分析一一映射是一种特殊的映射?特殊在哪里? 函数定义域的求法 ⑴当函数是解析式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合。具体地讲，就是考虑 ①分母不为零，②偶次根式，被开方数$0,零次幕底数H0,以及后面遇到的所有有意义的限制条件都是考虑的对象。 ⑵当函数是实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义。 ⑶求函数的定义域，一般是转化为解不等式或解不等式组的问题，但要注意逻辑连接词的运用；注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示(这是与初中的不同之处) 例题： 求下列函数的定义域 5/27+1 y = yjx- l - A/X+1/ (x)=, = yj—x" — 2x + 3 注意：⑴有函数解析式对意义来求定义域吋，不能对英解析式变形，如上列。⑵注意定义域的逆向问题 例题：函数y =』2-6kx + 9的定义域是R,则k的取值范围是() A. kWO 或kMl Bk$l C.OWkWl D.OVkWl 点评：此题意思是在实数域内恒成立的问题，也就是说对于任意的自变量函数解析式都有意义。 ⑶当已知函数/(X)的定义域时，要求/(g(Q)的定义域，则一方面g(x)本身要有意义， 另一方面g (兀)只能在/(兀)地定义域内取值才有意义。 例题：已知函数/⑴ 的定义域为[0,3],求/(依+1)的定义域。 已知函数/(x)的定义域为[0,3],求g(兀)= /(依) + /(#)的定义域。 如何确定象与原象 (1)对于一个从集合A到集合B的映射而言，A屮的每一个元素x,在f的作用下，在B屮都对应着唯一的元素y,则y称为彖，而x叫原象。 ⑵对于给出原象要求象的问题，只需要将原象代入对应关系中，即可求出彖。 ⑶对于给出象要求象的问题，可以先假设原象，再代入对应关系中得到象，而它是给定的象是同一个元素，从而通过解方程(组)求出原象，也可以根据对应关系，由彖逆推出原彖。例题：已知M=｛自然数｝, P = ｛正奇数｝,映射f：d(dwM)T/7 = 2a — l(bwP),则在映射 /下，M中的元素11对应着P中的元素__________________ ；P中的元素11对应着M中的元素 同类变形：已知(s)在映射/的作用下的象是(兀+”巧)，⑴求(3,5)的彖；(2) (2,-9)的原象。 复合函数 ⑴复合函数的概念：如果函数『= /?("的定义域为A,函数t = g(x)的定义域为D,值域为C,则当CcA 吋，称函数y = f(g(x))为/与g在D上的复合函数，其中/叫做中间变量，/ = g(x)叫做内函数，y = f (/)叫做外函数。 求复合函数的解析式，常用的途径有两种： ①是由内向外求②是由外向内求 O Y 例题：已知函数f(x)=^求/(/(兀))。 x I 2 同类变形：已知/(x) =3X-6Z , g(x)=丄(兀2+5),若g(/(x)) = x2 +3x4-7 ,求° 的 值。 ⑵复合函数的定义域 ①由外函数的定义域②由内函数的值域③由内函数的定义域三方面共同决定。 注意：函数.f (兀)与/@(兀))中的“X”的含义是不同的，它是用同一字母来表示两个不 同的函数的自变量，因此它们的収值范围不一定相同，但它们之间又有联系，即当“兀”与 “g(x)”取相同值时，它们所对应的函数值相等。 例如：若函数y = /(x + l)的定义域为[2,3],则函数/(2x+l)的定义域是 ________________________ 点评：函数/(x+1), /(x), /(2x + l)中的“牙”并非同一个量，当/(兀)的定义域是[1,2] 时，函数/(x+1)与/(2x+l)分别是屮间变量兀+ 1和2x + l 的函数，/(2x + l)的定义 域由屮间变量(2x+l)w[l,2]求的。 同类变形：已知函数/(兀)的定义域为[0,4],求函数/(x 2 )的定义域; 己知函数/(兀3)的定义域为[l,+oo),求函数/ -的定义域。 \ 2 > 作业： 1 ?基础达标 1)已知P = {x|0 的一个是（） AT 1 …、 2 A. / :x —> y = —x B ? 兀 Ty = —x 2 3 2) 在映射B 中，下列判断正确的是() A. A 中的元素a 的象可能不止一个 B. A 中的两个元素坷和冬的象必定不同 C. B 屮的元素b 的原象可能不止一个 D. B 中的两个不同元素勺和$的原象可能相同 3) 下列各组函数中，表示同一个函数的是() A. /(x) = |x|,g(r) = V7 B . /(x) = 7?,g(x) = (坂『 C. /(%) = ———,g(x) = x + l D . /(x)=厶-1 ? Jx + l,g (X)=厶2 -1 x-l x + 2(x<-l) 4) 函数/(兀)=?兀2(_1 <兀<2),若/(兀) = 3,则兀的值为() 2x(% > 2) ￡ 3 A. 1 B . ±V3 C. -J D . V3 C. f:x^y = -x ? 3 D- 5）函数丁的定义域是（） X 1 C. (-3J)u(l,3) D ?卜3,l)u(l,3] 3 3 3 3 A. 0 4 4 2?能力提升： (1 、 7)若函数/(兀)的定义域为[-2,5],求/ - + 3的定义域。 匕丿 8）已知函数/（x-3）的定义域为[-3J],求/（兀）的定义域。 A. [―3,3] B ?(?3,3) 6) 函数/(x) = fcc + 8 J kx 2 + 4kx + 3 的定义域为R ，则实数k 的取值范围是（ 知识点 最新考纲 函数及其表示 了解函数、映射的概念． 了解函数的定义域、值域及三种表示法(解析法、图象法和列表法)． 了解简单的分段函数，会用分段函数解决简单的问题. 函数的基本性 质 理解函数的单调性、奇偶性，会判断函数的单调性、奇偶性． 理解函数的最大(小)值的含义，会求简单函数的最大(小)值. 指数函数 了解指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算． 理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用. 对数函数 理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式． 理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用. 幂函数 了解幂函数的概念． 掌握幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1 x ，y ＝x 1 2的图象和性质. 函数与方程 了解函数零点的概念，掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法. 函数模型及其 应用 了解指数函数、对数函数以及幂函数的变化特征． 能将一些简单的实际问题转化为相应的函数问题，并给予解决. 1．函数与映射的概念 函数 映射 两集合 A 、B 设A ，B 是两个非空的数集 设A ，B 是两个非空的集合 对应关系 f ：A →B 如果按照某种确定的对应关系f ， 使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应 如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应 名称 称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数 称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射 记法 y ＝f (x )(x ∈A ) 对应f ：A →B 是一个映射 (1)函数的定义域、值域 在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集． (2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系． (3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． (4)函数的表示法 表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 3．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． [疑误辨析] 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 最多有2个交点．( ) (2)函数f (x )＝x 2－2x 与g (t )＝t 2－2t 是同一函数．( ) (3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( ) (4)若A ＝R ，B ＝{x |x ＞0}，f ：x →y ＝|x |，则对应关系f 是从A 到B 的映射．( ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( ) (6)分段函数的定义域等于各段定义域的并集，值域等于各段值域的并集．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√ [教材衍化] 1．(必修1P18例2改编)下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( ) A ．y ＝(x ＋1)2 B ．y ＝3 x 3＋1 C ．y ＝x 2 x ＋1 D ．y ＝x 2＋1 解析：选B.对于A ，函数y ＝( x ＋1)2的定义域为{x |x ≥－1}，与函数y ＝x ＋1的定义 域不同，不是相等函数；对于B ，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C ，函数y 第 1 页 共 1 页 函数的基本概念 一、知识归纳： 1、映射： 2、函数的定义： 3、函数的三要素： 4、函数的表示： 二、题型归纳： 1、有关映射概念的考察； 2、求函数的定义域； 3、求函数的解析式： 4、求函数的值域。 三、练习： 1、设B A f →:是集合A 到集合B 的映射，则下列命题正确的是（ ） A 、A 中的每一个元素在B 中必有象 B 、B 中的每一个元素在A 中必有原象 C 、B 中的每一个元素在A 中的原象是唯一的 D 、A 中的不同元素的象不同 3、已知A={1、2、3、 4、5}，对应法则f ：1)3(2 +-→x x ，设B 为A 中元素在f 作用下的象集，则B ＝ 。 4、设函数f(x)＝132 +-x x ，则f(a)－f(－a)= 。 5、设（x ,y ）在映射f 下的象是（x ＋y ,x －y ），则象（1，2）的原象是 （ ） A ．（3，1） B ．)21,23 (- C ．（－1，3） D ．)2 3,21(- 6、已知函数 =???>+-≤+=)]25([,) 1(3)1(1)(f f x x x x x f 则 . 7、函数y ＝f(x)的图像与直线x ＝4的交点个数为 （ ） （A ）至多一个（B ）至少一个（C ）必有一个（4）一个、两个或无穷多个 8、由函数1)(2++= mx mx x f 的定义域是一切实数，则m 的取值范围是 （ ） A ．（0，4] B ．[0，1] C ．[0，4] D ．[4，+∞) 9、下列各组中，函数f (x )和g(x )的图象相同的是 （ ） A ．f (x )=x ，g(x )=(x )2 B ．f (x )=1，g(x )=x 0 C ．f (x )=|x |，g(x )=2 x D ．f (x )=|x |，g(x )=? ??-∞∈-+∞∈)0,(,) ,0(,x x x x 10、函数y =1122---x x 的定义域为 （ ） A ．{x |－1≤x ≤1} B ．{x |x ≤－1或x ≥1} C ．{x |0≤x ≤1} D ．{－1，1} 3、已知函数f (x )的定义域为［0，1］，则f (x 2)的定义域为 （ ） A ．(－1，0) B ．[－1，1] C ．(0，1) D ．［0，1］ 6、已知y=f(x)的定义域为R ，f(x+2)=－f(x)，f(1)=10，则f(9)的值为（ ） A ．10 B ．－1 C ．0 D ．不确定 7、设f (x －1)=3x －1，则f (x )=__ _______. 8、已知函数f ( 2x + 1 )的定义域为（0，1），则f ( x ) 的定义域为 。 9、函数)1(-x f 的定义域是[0，2]，则)2(+x f 的定义域是 。 11、已知f ( x ) = 2 21x x +，那么f ( 1 ) + f ( 2) + f (2 1) + f ( 3 ) + f( 31 ) + f ( 4 ) + f ( 4 1 ) = 。 13、 14、 ). ()1(x f x x x f ，求已知函数满足+=+的解析式。，求已知函数)(1 2)1(2 x f x x x f += 第04讲函数的概念 一、考情分析 1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域； 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用； 3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 二、知识梳理 1.函数的概念 设A，B是两个非空数集，如果按照确定的法则f，对A中的任意数x，都有唯一确定的数y与它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2.函数的定义域、值域 (1)函数y＝f(x)自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域；所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域. (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，则这两个函数为相等函数. 3.函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 4.分段函数 (1)在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数. (2)分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集. [微点提醒] 1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点. 2.分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论. 三、经典例题 考点一求函数的定义域 【例1-2】函数y＝1－x2＋log2(tan x－1)的定义域为________； 【解析】 (1)要使函数y ＝1－x 2＋log 2(tan x －1)有意义，则1－x 2≥0，tan x －1>0，且x ≠k π＋π 2(k ∈Z ). ∴－1≤x ≤1且π4＋k π 函数的定义及表示 知识讲解 一、函数 1.函数的概念 概念：设集合A 是一个非空数集，对A 中的任意的数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数．记作()y f x =，x A ?其中x 叫做自变量．自变量取值的范围（数集A ）叫做这个函数的定义域．如果自变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作()y f a =，所有函数值构成的集合{()}y y f x x A =?，叫做这个函数的值域． 2.函数的三要素：定义域，值域，对应法则 3.函数的表示法 1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式； 2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； 3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系． 4.求函数定义域注意事项 1）分式的分母不应为零； 2）零的零次幂没有意义； 3）开偶次方根的被开方数大于或者等于零； 4）对数式的真数大于零； 5）()=tan f x x 的定义域为{|}2 x x k k Z π π ??，； 6）复合函数求定义域要保证复合过程有意义，最后求它们的交集． 5.分段函数 定义：若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数． 6.复合函数 定义：若()y f u =，()u g x =，(),x a b ∈，(),u m n ∈，那么[()]y f x =称为复合函数，u 称 为中间变量，它的取值范围是()g x 的值域． 注意：函数的定义域必须写成集合或区间的形式． 二、映射 定义：设A B ， 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x 在B 中有一个且仅有一个元素y 与x 对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射，这时称y 是x 在映射f 的作用下的象，记作()f x ，于是 ()y f x = x 称为y 的原象，映射f 也可记为： :f A B ? ()x f x ? 其中A 叫做映射f 的定义域（函数定义域的推广）．由所有象()f x 构成的集合叫做映射f 的值域．通常记作()f A ． 映射三要素：集合A B 、以及对应法则，三者缺一不可；:f A B ?，集合A 中每一个元素 在集合B 中都有唯一的元素与之对应，从A 到B 的对应关系为一对一或多对一，绝对不可以一对多，但也许B 中有多余元素． 三、函数求解析式 1.换元法 2.方程组法 四、函数求值域 1.直接法（分析观察法） 2.函数单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值 域． 3.配方法：二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解，但在转化的过程中 要注意等价性，特别是不能改变定义域．对于形如2y ax bx c =++(0)a 1或2()[()]()F x a f x bf x c =++(0)a 1类的函数的值域问题，均可使用配方法． 4.分离常数法：当分式中分子分母都函数由参数时．可以采用分离常数法． 第二章函数概念与基本初等函数I 一. 课标要求： 函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，强调结合实际问题，从而发展学生对变量数学的认识。教材把指数函数，对数函数，幂函数当作三种重要的函数模型来学习，强调通过实例和图象的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系，体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体函数模型解决一些实际问题. 1．会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义；了解函数构成 的三要素，了解映射的概念；体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；会求一些简单函数的定义域和值域， 2. 了解函数的一些基本表示法（列表法、图象法、分析法），并能在实际情境中，恰当地进行选择；会用描点法画一些简单函数的图象. 3．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 4. 结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形. 5. 学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法. 6.理解有理数指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. 7.了解指数函数模型的实际背景.理解指数函数的概念和意义，掌握f(x)=a x的符号、意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）. 8.理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握f(x)=log a x符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型，能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）. 9．知道指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数（a＞0, a≠1），初步了解反函数的概念和f- -1(x)的意义. 10．通过实例，了解幂函数的概念，结合五种具体函数 1 312 ,,, y x y x y x y x - ====的 图象，了解它们的变化情况 11．通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型. 12. 通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例. 二. 编写意图与教学建议 1．教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念，符合学生的认识规律，同时有利于培养学生的抽象概括的能力，增强学生应用数学的意识，教学中要高度重视数学概念的背景教学. 2．.教材对函数的三要素着重从函数的实质上要求理解，而对定义域、值域的繁难计算，特别是人为的过于技巧化的训练不做提倡，要准确把握这方面的要求，防止拨高教学. 3. 函数的表示是本章的主要内容之一，教材重视采用不同的表示法（列表法、图象法、分析法），目的是丰富学生对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念. 在教学中，既要充分发挥图象的直观作用，又要适当地引导学生从代数的角度研究图象，使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法. 第一章 函数 1.1 函数的概念及其基本性质（4课时） 教学要求：理解集合、区间、邻域及映射的概念，理解函数的概念，掌握函数的表示方法，了解函数的基本性质，理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念，掌握基本初等函数的性质及图形，会建立简单应用问题中的函数关系式。 教学重点难点：重点是理解集合、映射及函数的概念；难点是理解反函数及隐函数的概念。 教学过程： 一、集合及其运算 1、集合概念 (1) 什么是集合? 所谓集合是指具有某种特定性质的事物的总体，组成这个集合的事物称为该集合的元素. (2) 集合的表示法 a 列举法：就是把集合的元素一一列举出来表示.由元素n a a a ,,21组成的集合A,可表示成 A={n a a a ,,21} b 描述法：若集合M 是由具有某种性质P 的元素x 的全体所组成,就可表示成 }|{P x x M 具有性质= (3) 集合元素的三大特性：确定性、互异性、无序性. (4) 元素与集合,集合与集合之间的关系：属于、包含、子集、真子集、空集. ２、集合的运算 (1) 并集 {| }A B x x A x B ?=∈∈或；(2) 交集 {| } A B x x A x B ?=∈∈且 (3) 差集 \{| }A B x x A x B =∈?但 (4) 全集与补集(或余集) 全集用I 表示，称A I \为A 的补集记作C A . 即 \{| }C A I A x x I x A ==∈?但 集合的并、交、补满足下列法则： (1) 交换律：A B B A ?=?，A B B A ?=? (2) 结合律：)()(C B A C B A ??=??，)()(C B A C B A ??=?? (3) 分配律：)()()(C B C A C B A ???=??， )()()(C B C A C B A ???=?? (4) 对偶律：C C C B A B A ?=?)(，C C C B A B A ?=?)( （5）幂等律：A A A ?=A A A ?=；（6）吸收律：A A ?Φ=A A ?Φ= 两个集合的直积或笛卡儿乘积 {(,)| }A B x y x A y B ?=∈∈ 且 二、区间与邻域 1、映射与领域 区间：开区间 ),(b a 、闭区间 ],[b a 、半开半闭区间],(b a ，),[b a 、有限,无限区间. 邻域：)(a U 或}|{),(δδδ+<<-=a x a x a U a ：邻域的中心,δ：邻域的半径 去心邻域： }||0|{),(δδ<-<=a x x a U 左δ邻域),(a a δ-、右δ邻域),(δ-a a . 2、映射概念 定义 设,A B 是两个非空集合，如果存在一个法则f ，使得对A 中的每一个元素x .按法则f ,在B 中有唯一确定的元素y 与之对应，则称f 为从A 到B 的映射，记作 f B →：A 或,f y x A →∈：x| 其中，并y 称为元素x 的像，记作)(x f ，即 )(x f y =,而x 称为元素y 的一个原像。 映射f 的定义域：f D A =，映射f 的值域：(){()|}f R f A f x x A ==∈ 题一：定义集合{1,2,…,n }到{1,2,…,n }上的函数f ：k →i k ，k =1,2,…,n .记作：121,2,,,,,n n i i i ?? ??? . 设121,2,,,,,n n f i i i ??= ??? ，12 1,2,,,,,n n g j j j ??= ??? (这里的j 1，j 2，…，j n n j j j ,,,21 也是1,2,…,n 这n 个整数的一个排列).定义g f 12 1,2,,,,,n n i i i ??= ??? 121,2,,,,,n n j j j ?? ??? ，其中)]([)(k g f k g f = ，k =1,2,…,n ..则? ?? ? ?????? ??4,5,1,2,35,4,3,2,13,1,2,4,55,4,3,2,1= 题二：在加工爆米花的过程中，爆开且不糊的粒数占加工总数的比率称为可食用率p .它的大小主要取决于加工时间t (单位：分钟). 做了三次实验，数据记录如图所示.已知图中三个点都在函数p =－0.2t 2+bt +c 上，则由此得到的理论最佳加工时间为 分钟. 题三：3,10 ()((5)),10x x f x f f x x -≥?=?+ 第4讲 函数及其表示 基础梳理 1．函数的基本概念 (1)函数的定义：设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作：y ＝f (x )，x ∈A . (2)函数的定义域、值域 在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做定义域，与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫值域．值域是集合B 的子集． (3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系． (4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等；这是判断两函数相等的依据． 2．函数的三种表示方法 表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法． 3．映射的概念 一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射． 两个防范 (1)解决函数问题，必须树立优先考虑函数的定义域的良好习惯． (2)用换元法解题时，应注意换元后变量的范围． 考向一 相等函数的判断 【例1】下列函数中哪个与函数)0(≥=x x y 是同一个函数（ ） A y =( x )2 B y=x x 2 C 33x y = D y=2x 【例2】x x y 2 =与???-∞∈-+∞∈=). 0,(,);,0(,)(t t t t x f 是相同的函数吗? 考向二 求函数的定义域 高中阶段所有基本初等函数求定义域应注意： （1）分式函数中分母不为0； （2）开偶次方时，被开方数大于等于0； （3）对数函数的真数大于0（如果底数含自变量，则底数大于0且不为1）； （4）0次幂的底数不为0。 《函数》整体学习指导 函数的概念和基本性质（单调性、奇偶性） 解读：该部分学习意在通过对函数基本概念的理解（函数的概 念）、巩固（分段函数）和加深（映射的概念）（教材中先函数后映 射遵循概念发展的历史过程）；基本性质的学习（为什要只重点研 究函数的这几个性质？水浒传里有108将，但是只对武松、鲁智深、 林冲等十几个人着力刻画，这是文学家的方法，也是数学家的方法。函数（Function）本部分学习的目的是通过学习形成函数研究的一般方法和套路。 基本初等函数（指数、对数、幂函数） 解读：该部分学习是在形成函数研究的一般方法之后对方法的 有力尝试，在尝试中不断加深对函数研究一般方法的认识和理解。 数学内部发展（函数的零点、二分法求方程近似解） （数学发展的两条主线都涉及了） 社会现实需要（解决社会与生活中的实际问题） 第一节：函数概念的起源及其历史演变 我们要参观的景点：（The scenery we’ll visit） 1. 函数的概念是什么？（What？） 2. 为什么要建立函数的概念？（Why ?） 3. 函数的概念是如何建立的？函数概念的建立经历了怎样的历史演变过程？（How？） 景点一：函数的概念是什么？函数的概念是如何建立的？ 函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一，纵观300年来函数概念的发展，众多数学家从集合、代数、对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想，从而推动了整个数学的发展。 案例1：圆的面积S与圆半径r的关系； 案例2：锐角α与锐角β互余，α与β的关系； 案例3：气体的质量一定时，它的体积V与它的密度ρ之间的关系； 【思考1】上述的每一个问题在变化过程中，谁是常量，谁是变量？都涉及几个变量？【思考2】两个变量之间的关系是通过什么来刻画的？ 【思考3】综合思考1和思考2的解答，总结上述例子变量间关系的共同特点？【早期函数概念】 十七世纪伽俐略在《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关 系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念。 1718年约翰·贝努利对函数概念进行了明确定义：由任一变量和常数的任一形式所构 成的量（是历史上第一个正式发表的明确的函数定义），贝努利把变量x和常量按任何方 式构成的量叫“x的函数”。 欧拉在《无穷分析引论》（1748）中给出的函数定义是：“一个变量的函数是由该变量和一些数或常量以任何方式组成的解析式。” 【总结】十七和十八世纪的数学家对函数问题的认识上有着共同的思考：函数就是解析式 第1讲 函数概念及函数特性 讲授内容 一、函数概念 （1）函数定义 定义1 给定两个实数集D 和M ，若有对应法则f ，使对D 内每一个数x ，都有唯一的一个数M y ∈与它相对应，则称f 是定义在数集D 上的函数，记作 M D f →:， .y x (1) 数集D 称为函数f 的定义域，x 所对应的数y ，称为f 在点x 的函数值，常记为)(x f ． )}(),(|{)(M D x x f y y D f ?∈==称为函数f 的值域． (1)中第一式“M D →”表示按法则f 建立数集D 到M 的函数关系；第二式“y x ”表示这两个数集中元素之间的对应关系，也可记为“)(x f x ”．习惯上，我们称此函数关系中的x 为自变量，y 为因变量． （2）函数的表示法 函数的表示法主要有三种，即解析法(或称公式法)、列表法和图象法．有些函数在其定义域的不同部分用 不同的公式表达，这类函数通常称为分段函数．例如，函数?? ? ??<-=>=0,10,00,1sgn x x x x 是分段函数，称为符号函数. 又如函数||)(x x f =也可用如下的分段函数形式来表示：x x x f sgn )(= . 有些函数难以用解析法、列表法或图象法来表示，只能用语言来描述．如定义在R 上的狄利克雷 )(Dirichlet 函数： ?? ?=为无理数 当为有理数当x x x D ,0,,1)( 定义在[)1,0上的黎曼)(Riemann 函数：()?? ???=∈= =+内的无理数和当为既约真分数当1,01,0 ,0),,,( ,1 )(x q p N q p q p x q x R （3）函数的四则运算 给定两个函数f ，1D x ∈和2D x ∈，记21D D D =，并设φ≠D ．我们定义f 与g 在D 上的和、差、积运算如下：,),()()(D x x g x f x F ∈+=,),()()(D x x g x f x G ∈-=D x x g x f x H ∈=),()()(. 若在D 中剔除使0)(=x g 的x 值，即令,},0)(|{21* φ≠∈≠=D x x g x D D 可在*D 上定义f 与g 的商的运算如下：.,) ()()(* D x x g x f x L ∈= 注：若,21φ==D D D ，则f 与g 不能进行四则运算．例如41)()(2 2 -+-=+x x x g x f （4）复合函数 设有两函E x x g u D u u f y ∈=∈=),(,),(，记E D x g x E })(|{*∈=．若,* φ≠E 则对每一个 * E x ∈，可通过函数g 对应D 内唯一的一个值u ，而u 又通过函数f 对应唯一的一个值y ．这就确定了一个 定义在* E 上的函数，它以x 为自变量，y 为因变量，记作 * * ))(()),((E x x g f y E x x g f y ∈=∈=，或 称为函数f 和g 的复合函数．并称f 为外函数，g 为内函数，u 为中间变量．函数f 和g 的复合运算也可简单地写作g f ． 例1 函数),0[,)(+∞=∈= =D u u u f y 与函数R E x x x g u =∈-==,1)(2 的复合函数为 ,1))((1))((22 x x g f x x g f y -=-= = 或 其定义域E E ?-=]1,1[* . 复合函数也可由多个函数相继复合而成．例如，由三个函数= =u u y ,sin v 与2 1x v -=(它们的定义 第五讲 函数的基本概念与性质 函数是中学数学中的一条主线，也是数学中的一个重要概念．它使我们从研究常量发展到研究变量之间的关系，这是对事物认识的一大飞跃，而且对于函数及其图像的研究，使我们把数与形结合起来了．学习函数，不仅要掌握基本的概念，而且要把解析式、图像和性质有机地结合起来，在解题中自觉地运用数形结合的思想方法，从图像和性质对函数进行深入的研究． 1．求函数值和函数表达式 对于函数y=f(x)，若任取x=a(a为一常数)，则可求出所对应的y值f(a)，此时y的值就称为当x=a时的函数值．我们经常会遇到求函数值与确定函数表达式的问题． 例1 已知f(x-1)=19x2＋55x-44，求f(x)． 解法1 令y=x-1，则x=y+1，代入原式有 f(y)=19(y＋1)2＋55(y＋1)-44 ＝19y2＋93y＋30， 所以 f(x)=19x2+93x＋30． 解法2 f(x-1)=19(x-1)2＋93(x-1)+30，所以f(x)=19x2＋93x＋30． 可． 例3 已知函数f(x)=ax5-bx3＋x＋5，其中a，b为常数．若f(5)=7，求f(-5)． 解 由题设 f(-x)=-ax5＋bx3-x＋5 =-(ax5-bx3＋x＋5)+10 =-f(x)+10， 所以 f(-5)=-f(5)＋10=3． 例4 函数f(x)的定义域是全体实数，并且对任意实数x ，y ，有f(x+y)=f(xy)．若f(19)=99，求f(1999)． 解 设f(0)=k ，令y=0代入已知条件得 f(x)=f(x+0)=f(x ·0)=f(0)=k ， 即对任意实数x ，恒有f(x)=k ．所以 f(x)=f(19)=99， 所以f(1999)=99． 2．建立函数关系式 例5 直线l1过点A(0，2)，B(2，0)，直线l 2：y=mx ＋b 过点C(1，0)，且把△AOB 分成两部分，其中靠近原点的那部分是一个三角形，如图3－1．设此三角形的面积为S ，求S 关于m 的函数解析式，并画出图像． 解 因为l 2过点C(1，0)，所以m ＋b=0，即b=-m ． 设l 2与y 轴交于点D ，则点D 的坐标为(0，-m)，且0＜-m ≤2(这是因为点D 在线段OA 上，且不能与O 点重合)，即-2≤m ＜0． 故S 的函数解析式为 例6 已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12．从它的一个顶点作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边 18. 2多元函数的基本概念 一、. 多元函数概念 例１ 圆柱体的体积V 和它的底半径r 、高h 之间具有关系 V =πr 2h . 这里, 当r 、h 在集合{(r , h ) | r >0, h >0}内取定一对值(r , h )时, V 对应的值就随之确定. 例2 一定量的理想气体的压强p 、体积V 和绝对温度T 之间具有关系 RT P V =, 其中R 为常数. 这里, 当V 、T 在集合{(V ,T ) | V >0, T >0}内取定一对值(V , T )时, p 的对应值就随之确定. 例3 设R 是电阻R 1、R 2并联后的总电阻, 由电学知道, 它们之间具有关系 2 121R R R R R +=. 这里, 当R 1、R 2在集合{( R 1, R 2) | R 1>0, R 2>0}内取定一对值( R 1 , R 2)时, R 的对应值就随之确定. 定义1 设D 是R 2的一个非空子集, 称映射f : D →R 为定义在D 上的二元函数, 通常记为 z =f (x , y ), (x , y )∈D (或z =f (P ), P ∈D ) 其中点集D 称为该函数的定义域, x , y 称为自变量, z 称为因变量. 上述定义中, 与自变量x 、y 的一对值(x , y )相对应的因变量z 的值, 也称为f 在点(x , y )处的函数值, 记作f (x , y ), 即z =f (x , y ). 值域: f (D )={z | z =f (x , y ), (x , y )∈D }. 函数的其它符号: z =z (x , y ), z =g (x , y )等. 类似地可定义三元函数u =f (x , y , z ), (x , y , z )∈D 以及三元以上的函数. 一般地, 把定义1中的平面点集D 换成n 维空间R n 内的点集D , 映射f : D →R 就称为定义在D 上的n 元函数, 通常记为 u =f (x 1, x 2, ? ? ? , x n ), (x 1, x 2, ? ? ? , x n )∈D , 或简记为 u =f (x ), x =(x 1, x 2, ? ? ? , x n )∈D , 也可记为 u =f (P ), P (x 1, x 2, ? ? ? , x n )∈D . 关于函数定义域的约定: 在一般地讨论用算式表达的多元函数u =f (x )时, 就以使这个算式有意义的变元x 的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域. 因而 人教版高中数学必修一《函数的概念第一课时》说课稿 各位评委：大家好！ 我说课的内容是人教版必修一函数的概念。我将从背景分析、教学目标设计、教法与学法选择、教学过程设计、板书设计以及教学评价设计六个方面来汇报我对这节课的教学设计。 一、背景分析 1．教材分析 函数是数学中最重要的概念之一，且贯穿在中学数学的始终，只有对概念作到深刻理解，才能正确灵活地加以应用。本课中学生对函数概念理解的程度会直接影响数学其它知识的学习，结合教学大纲与学生的认知水平，函数的第一课应以函数概念的理解为中心进行教学。 2．学情分析 从生源状态分析：学生的基础较差，我校是县内一所普通中学，录取分数线是全县最低的，因此学生整体的数学素养是较低的。 从学生知识层面看：学生在初中初步探讨了函数的相关知识，通过高一“集合”的学习，对集合思想的认识也日渐提高，为重新定义函数提供了知识保证。 从学生能力层面看：通过以前的学习，学生已有一定的分析、推理和概括能力，初步具备了学习函数概念的基本能力。 基于教材情况和我校学生的状态，本节课选择“低起点、低坡度、多重复，快反馈”的教学原则。 二、教学目标分析 【教学目标】 知识与技能：让学生理解构成函数的三要素、函数概念的本质、抽象的函数符号 ) (x f 的意义。 过程与方法：在教师设置的问题引导下，学生通过自主学习、小组合作交流，反馈精讲、当堂训练，经历函数概念的形成过程，渗透归纳推理的数学思 想，发展学生的抽象思维能力。 情感态度价值观：在学习过程中，学会数学表达和交流，体验获得成功的乐趣，建立自信心。 [设计意图]：教学目标的设计，要简洁明了，具有较强的可操作性，容易检测目标的达成度，同时也要体现出新课标下对素质教育的要求。 【教学难重点】 重点：理解函数的概念； 难点：理解函数符号y = f (x)的含义。 [重难点确立的依据]：函数的概念抽象性都比较强，要求学生的理性认识的能力也比较高，对于刚刚升入高中不久的学生来说不易理解。而且由于函数在高考中可以以低、中、高挡题出现，所以近年来高考有一种“函数热”的趋势，所以本节的重点难点必然落在和函数的概念及函数符号的理解与运用上。 从多个角度创设多个问题情境，组织学生围绕重点自主思考，让学生自主、合作探索,体会函数概念的本质从而突破难点。 三、教法与学法选择 采用我校“20+20”教学模式，即是学生自主的时间不少于20分钟，教师讲评时间不超过20分钟，充分尊重学生的主体地位，让学生在教师设置的问题的引导下、通过自主学习、小组合作交流等环节自主构建知识体系，自主发展数学思维，教师采用问题教学法、探究教学法、交流讨论法等多种学习方法，充分调动学生的积极性。 四、教学过程设计 (一)过程设计 为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，我把教学过程设计为五个阶段： 学生： 科目： 第 阶段第 次课 教师： 课 题 函数的基本概念与定义域 教学目标 1.了解函数的的基本概念，并能熟练的应用 2.理解函数的三种表示方法，了解分段函数，并能够简单的应用 3.会求函数的定义域 重点、难点 函数的定义的理解；求简单函数的定义域 考点及考试要求 1.了解函数的概念； 2.理解函数的三种表示方法； 3.了解简单的分段函数 教学内容 知识框架 知识点一、区间的概念 设b a R b a <∈且,, 定义 名称 符号 数轴表示 }|{b x a x ≤≤ 闭区间 ],[b a }|{b x a x << 开区间 ),(b a }|{b x a x <≤ 前闭后开区间 ),[b a }|{b x a x ≤< 前开后闭区间 ],(b a 区间是集合的有一种形式.对于区间的理解应注意： （1）区间的左端点必修小于右端点，有时我们将b -a 成为区间的长度，对于只有一个元素的集合我们仍然用集合来表示，如{}a ； （2）注意开区间),(b a 与点),(b a 在具体情景中的区别.若表示点),(b a 的集合应为{}),(b a ； （3）用数轴来表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别； （4）对于一个不等式的解集，我们既可以用集合形式来表示，也可用区间形式来表示； （5）要注意区间表示实数集的几条原则，数集是连续的，左小，右大，开或闭不能混淆. 例1.把下列数集用区间表示： （1）}1|{-≥x x ；（2）}0|{ 例5.高为h ，底面半径为R 的圆柱形容器内，以单位时间内体积为a 的速度灌水.试求水面高 y 用时间t 表示的函数式，并求其定义域. 例6.已知函数3 2 3 41 ++-=ax ax ax y 的定义域为R ，求实数a 的取值范围. 例7.设}20|{},20|{≤≤=≤≤=y y N x x M ，下图中的四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有（ ） 知识点四、抽象函数的定义域【拓展】 （1）函数)(x f 的定义域是指x 的取值范围； （2）函数))((x g f 的定义域是指x 的取值范围，而不是)(x g 的取值范围； （3）已知))((x g f 的定义域为B ，求)(x f 的定义域，其实质是已知))((x g f 中x 的取值范围为B ，求出)(x g 的范围（值域），此范围就是)(x f 的定义域. 例8.已知函数)(x f 的定义域为]9,0[，求)12(+x f 的定义域. 第1讲函数及其表示 【2013年高考会这样考】 1．主要考查函数的定义域、值域、解析式的求法． 2．考查分段函数的简单应用． 3．由于函数的基础性强，渗透面广，所以会与其他知识结合考查． 【复习指导】 正确理解函数的概念是学好函数的关键，函数的概念比较抽象，应通过适量练习弥补理解的缺陷，纠正理解上的错误．本讲复习还应掌握：(1)求函数的定义域的方法；(2)求函数解析式的基本方法；(3)分段函数及其应用． 基础梳理 1．函数的基本概念 (1)函数的定义：设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A. (2)函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫自变量，x的取值范围A叫做定义域，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫值域．值域是集合B的子集． (3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系． (4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等； 这是判断两函数相等的依据． 2．函数的三种表示方法 表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法． 3．映射的概念 一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射． 一个方法 求复合函数y ＝f (t )，t ＝q (x )的定义域的方法： ①若y ＝f (t )的定义域为(a ，b )，则解不等式得a ＜q (x )＜b 即可求出y ＝f (q (x ))的定义域；②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )的值域即为f (t )的定义域． 两个防范 (1)解决函数问题，必须优先考虑函数的定义域． (2)用换元法解题时，应注意换元前后的等价性． 三个要素 函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．值域是由函数的定义域和对应关系所确定的．两个函数的定义域和对应关系完全一致时，则认为两个函数相等．函数是特殊的映射，映射f ：A →B 的三要素是两个集合A 、B 和对应关系f . 双基自测 1．(人教A 版教材习题改编)函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为( )． A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．[1，＋∞) 解析 ∵3x ＋1＞1， ∴f (x )＝log 2(3x ＋1)＞log 21＝0. 答案 A 2．(2011·江西)若f (x )＝ 1 log 1 2(2x ＋1) ，则f (x )的定义域为( )． A.? ???? －12，0 B.? ????－12，0 C.? ?? ??－12，＋∞ D ．(0，＋∞) 解析 由log 1 2(2x ＋1)＞0，即0＜2x ＋1＜1， 解得－1 2＜x ＜0. 答案 A 3．下列各对函数中，表示同一函数的是( )． A ．f (x )＝lg x 2，g (x )＝2lg x B ．f (x )＝lg x ＋1 x －1 ，g (x )＝lg(x ＋1)－lg(x －1)1 第1讲 函数及其表示
函数的基本概念练习
第04讲-函数的概念(讲义版)
1函数的定义及表示 - 中等 - 讲义
函数概念及其基本性质
1.1 函数的概念及其基本性质
函数的基本概念及表示法
高中数学必修一 第1讲函数及其表示
函数概念的产生及其历史演变
第1讲函数概念及特性2009
第五讲 函数的基本概念与性质
18.2多元函数的基本概念教案
人教版高中数学必修一《函数的概念第一课时》说课稿
函数的基本概念与定义域
函数与基本初等函数Ⅰ第1讲函数及其表示