根与系数的关系
判别式与根与系数的关系
内容分析
1.一元二次方程的根的判别式
一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式△＝b 2-4ac
当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当△＝0时，方程有两个相等的实数根，
当△＜0时，方程没有实数根．
2.一元二次方程的根与系数的关系
(1)如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个根是x 1，x 2，那么a
b x x -=+2
1，a c x x =21 (2)如果方程x 2+px+q=0的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=-P ，x 1x 2=q
x 1x 2=q
〖考查重点与常见题型〗
1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况，有关试题出现在选择题或填空题中，如：关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中，如果a<0，那么梗的情况是（ ）
（A）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根（C）没有实数根（D）不能确定
2.利用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值，有关问题在中考试题中出现的频率非常高，多为选择题或填空题，如：设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根，则x12＋x22的值是（）
（A）15 （B）12 （C）6 （D）3
3．在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题。在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题，考查了考生分析问题、解决问题的能力。
考查题型
1．关于x的方程ax2－2x＋1＝0中，如果a<0，那么根的情况是（）
（A）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根（C）没有实数根（D）不能确定
2．设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根，则x12＋x22的值是（）（A）15 （B）12 （C）6 （D）3
3．下列方程中，有两个相等的实数根的是（）
（A） 2y2+5=6y（B）x2+5=2 5 x（C） 3 x2－ 2 x+2=0（D）3x2－2 6 x+1=0
4．以方程x2＋2x－3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（）
（A）y2+5y－6=0 （B）y2+5y＋6=0 （C）y2－5y＋6=0 （D）y2－5y－6=0
5．如果x1，x2是两个不相等实数，且满足x12－2x1＝1，x22－2x2＝1，
那么x 1·x 2等于（ ）（A ）2 （B ）－2 （C ）1 （D ）－1
6．如果一元二次方程x 2＋4x ＋k 2＝0有两个相等的实数根，那么k ＝
7．如果关于x 的方程2x 2－(4k+1)x ＋2 k 2－1＝0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是
8．已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ，（x 1－x 2）2＝
9．若关于x 的方程(m 2－2)x 2－(m －2)x ＋1＝0的两个根互为倒数，则m ＝
考点训练：
1、不解方程，判别下列方程根的情况：
（1）x 2－x=5 (2)9x 2－6 2 +2=0 (3)x 2－x+2=0
2、当m= 时，方程x 2+mx+4=0有两个相等的实数根； 当m= 时，方程mx 2+4x+1=0有两个不相等的实数根；
3、已知关于x 的方程10x 2
－(m+3)x+m －7=0，若有一个根为0，则m= ，这时方程的另一个根是 ；若两根之和为－35 ，则m= ，这时方程的两个根为 .
4、求证：方程(m 2+1)x 2－2mx+(m 2+4)=0没有实数根。
5、设x 1,x 2是方程2x 2+4x －3=0的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：
(1) (x 1+1)(x 2+1) (2)x 2x 1 + x 1x 2
（3）x 12+ x 1x 2+2 x 1
解题指导
1、如果x 2－2(m+1)x+m 2
+5是一个完全平方式，则m= ;
2、方程2x(mx －4)=x 2－6没有实数根，则最小的整数m= ;
3、已知方程2(x －1)(x －3m)=x(m －4)两根的和与两根的积相等，则m= ;
4、设关于x 的方程x 2－6x+k=0的两根是m 和n ，且3m+2n=20，则k 值为 ;
5、设方程4x 2－7x+3=0的两根为x 1,x 2，不解方程，求下列各式的值:
(1) x 12+x 22 (2)x 1－x 2 （3）ｘ1 ＋ｘ2 （4）x 1x 22＋12
x 1 6.实数ｓ、ｔ分别满足方程19ｓ2＋99ｓ＋1＝0和且19＋99ｔ＋ｔ2＝0求代数式ｓｔ＋4ｓ＋1ｔ 的值。
7.已知a 是实数，且方程x 2+2ax+1=0有两个不相等的实根，试判别方程x 2
+2ax+1－12 (a 2x 2－a 2－1)=0有无实根？
8. 实数K 在什么范围取值时，方程ｋｘ2
＋2（ｋ－1）ｘ－（K －1）＝0有实数正根？
独立训练
1、已知方程x 2－3x+1=0的两个根为α,β，则α+β= , αβ= ;
2、如果关于x 的方程x 2－4x+m=0与x 2－x －2m=0有一个根相同，则m 的值为 ;
3、已知方程2x 2－3x+k=0的两根之差为212
，则k= ; 4、若方程x 2+(a 2－2)x －3=0的两根是1和－3，则a= ;
5、方程4x 2－2(a-b)x －ab=0的根的判别式的值是 ;
6、若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为 ;
7、已知p<0,q<0，则一元二次方程x 2+px+q=0的根的情况是 ;
8、设x 1,x 2是方程2x 2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值：
(1)x 12x 2+x 1x 22 (2) 1x 1 －1x 2 10．m 取什么值时，方程2x 2－(4m+1)x+2m 2－1=0
（1）有两个不相等的实数根，（2）有两个相等的实数根，（3）没有实数根；11．设方程x2+px+q=0两根之比为1:2，根的判别式Δ=1，求p,q的值。