电磁学习题解答
1.2.2 两个同号点电荷所带电荷量之和为Q 。在两者距离一定的前提下,它们带电荷量各为多少时相互作用力最大?
解答:
设一个点电荷的电荷量为1q q =,另一个点电荷的电荷量为
2()q Q q =-,两者距离为r ,则由库仑定律求得两个点电荷之间的作用力为
2
0()
4q Q q F r πε-=
令力F 对电荷量q 的一队导数为零,即
20()04dF Q q q
dq r
πε--== 得
122
Q
q q ==
即取 122
Q
q q ==
时力F 为极值,而 22
2
02
204Q q d F dq r
πε==
<
故当122
Q
q q ==
时,F 取最大值。 1.2.3 两个相距为L 的点电荷所带电荷量分别为2q 和q ,将第三个点电荷放在何处时,它所受的合力为零?
解答:
要求第三个电荷Q 所受的合力为零,只可能放在两个电荷的连线中间,设它与电荷q 的距离为了x ,如图1.2.3所示。电荷Q 所受的两个电场力方向相反,但大小相等,即
22
00204()4qQ qQ
L x x
πεπε-=- 得 22
20x Lx L +-=
舍去0x <的解,得
1)x L =- 1.3.8解答:
A
E 3
x
∞
(c)
(b)
(a)
(1)先求竖直无限长段带电线在O 点产生的场强1E ?
,由习题1.3.7
(2)可知 104x E R
η
πε=
仿习题1.3.7解答过程,得
12
223/2
1223/20sin ()0()4y y dl
ldl
dE k
k
r R l ldl E k R l R
ηηαη
ηπε==-+∞=-=-
+?
故 10??()4E i j R
ηπε=
-v
同理,水平无限长段带电线在O 点产生的场强
20??()4E i j R
ηπε=
-+v 对于圆弧段带电线在O 点产生的场强3E ?
,参看图1.3.8(b ),得
32
30cos cos /2cos 04x x dl
d dE k
k
R
R
k E d R R
ηηα
αα
πηηααπε====?
同理得 304y E R
η
πε=
故 30??()4E i j R
ηπε=
+v
解得
12330??()4E E E E E i j R
ηπε=++==
+v v v v v (2)利用(1)中的结论,参看习题1.3.8图(b ),A -∞的带电直线在O 点的场强为
=
0??()4A E i j R
ηπε--v
B -∞的带电直线在O 点产生的场强为
0??()4B E i j R
ηπε=
-+v 根据对称性,圆弧带电线在O 点产生的场强仅有x 分量,即
0/2???cos /22AB ABx k E E i d i i R R
πηηααππε===-?v v 故带电线在O 点产生的总场强为
第五章 静 电 场 5 -9 若电荷Q 均匀地分布在长为L 的细棒上.求证:(1) 在棒的延长线,且离棒中心为r 处的电场强度为 2 204π1L r Q εE -= (2) 在棒的垂直平分线上,离棒为r 处的电场强度为 2204π21L r r Q εE += 若棒为无限长(即L →∞),试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较. 分析 这是计算连续分布电荷的电场强度.此时棒的长度不能忽略,因而不能将棒当作点电荷处理.但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上.如图所示,在长直线上任意取一线元d x ,其电荷为d q =Q d x /L ,它在点P 的电场强度为 r r q εe E 2 0d π41d '= 整个带电体在点P 的电场强度 ?=E E d 接着针对具体问题来处理这个矢量积分. (1) 若点P 在棒的延长线上,带电棒上各电荷元在点P 的电场强度方向相同, ?=L E i E d (2) 若点P 在棒的垂直平分线上,如图(A )所示,则电场强度E 沿x 轴方向的分量因对称性叠加为零,因此,点P 的电场强度就是 ??==L y E αE j j E d sin d
证 (1) 延长线上一点P 的电场强度?'=L r πεE 202, 利用几何关系 r ′=r -x 统一积分变量,则 ()220 022 204π12/12/1π4d π41L r Q εL r L r L εQ x r L x Q εE L/-L/P -=??????+--=-=? 电场强度的方向沿x 轴. (2) 根据以上分析,中垂线上一点P 的电场强度E 的方向沿y 轴,大小为 E r εq αE L d π4d sin 2 ? '= 利用几何关系 sin α=r /r ′,2 2 x r r +=' 统一积分变量,则 () 2 2 03 /2222 2041π2d π41L r r εQ r x L x rQ εE L/-L/+= +=? 当棒长L →∞时,若棒单位长度所带电荷λ为常量,则P 点电场强度 r ελL r L Q r εE l 02 20π2 /41/π21lim = +=∞ → 此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同[图(B )].这说明只要满足r 2/L 2 <<1,带电长直细棒可视为无限长带电直线. 5 -14 设匀强电场的电场强度E 与半径为R 的半球面的对称轴平行,试计算通过此半球面的电场强度通量. 分析 方法1:由电场强度通量的定义,对半球面S 求积分,即? ?=S S d s E Φ 方法2:作半径为R 的平面S ′与半球面S 一起可构成闭合曲面,由于闭合面内无电荷,由高斯定理
第五章 静 电 场 5 -9若电荷Q 均匀地分布在长为L 的细棒上.求证:(1)在棒的延长线,且离棒中心为r 处的电场强度为 2 204π1L r Q εE -= (2)在棒的垂直平分线上,离棒为r 处的电场强度为 2 204π21L r r Q εE += 若棒为无限长(即L →∞),试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较. 分析这是计算连续分布电荷的电场强度.此时棒的长度不能忽略,因而不能将棒当作点电荷处理.但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上.如图所示,在长直线上任意取一线元d x ,其电荷为d q =Q d x /L ,它在点P 的电场强度为 r r q εe E 20d π41d '= 整个带电体在点P 的电场强度 ?=E E d 接着针对具体问题来处理这个矢量积分. (1)若点P 在棒的延长线上,带电棒上各电荷元在点P 的电场强度方向相同, ?=L E i E d (2)若点P 在棒的垂直平分线上,如图(A )所示,则电场强度E 沿x 轴方向的分量因对称性叠加为零,因此,点P 的电场强度就是 ??==L y E αE j j E d sin d
证 (1)延长线上一点P 的电场强度?'=L r πεE 202, 利用几何关系 r ′=r -x 统一积分变量,则 ()220 022 204π12/12/1π4d π41L r Q εL r L r L εQ x r L x Q εE L/-L/P -=??????+--=-=? 电场强度的方向沿x 轴. (2)根据以上分析,中垂线上一点P 的电场强度E 的方向沿y 轴,大小为 E r εq αE L d π4d sin 2 ? '= 利用几何关系 sin α=r /r ′,2 2 x r r +='统一积分变量,则 () 2 2 03 /2222 2041π2d π41L r r εQ r x L x rQ εE L/-L/+= +=? 当棒长L →∞时,若棒单位长度所带电荷λ为常量,则P 点电场强度 r ελL r L Q r εE l 02 20π2 /41/π21lim = +=∞ → 此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同[图(B )].这说明只要满足r 2/L 2<<1,带电长直细棒可视为无限长带电直线. 5 -14设匀强电场的电场强度E 与半径为R 的半球面的对称轴平行,试计算通过此半球面的电场强度通量. 分析方法1:由电场强度通量的定义,对半球面S 求积分,即? ?=S S d s E Φ 方法2:作半径为R 的平面S ′与半球面S 一起可构成闭合曲面,由于闭合面内无电荷,由高斯定理
1. 直角坐标系中点电荷电量为Q ,坐标为()c b a ,,,写出Q 所产生的电场在空间任一点的电场强度。 解:画出坐标系及空间任一点()z y x P ,,,则该点相对于点电荷的位矢为 ()c z b y a x r ---=,,? ,由点电荷Q 产生的电场在P 点处的场强分量 为 ()()()[] 2 3 2 2204c z b y a x a x Q E x -+-+--?=πε ()()() []2 3 2 2 2 04c z b y a x b y Q E y -+-+--? = πε () ()() [] 2 3 2 2 2 4c z b y a x c z Q E z -+-+--? = πε 该场强的方向沿r ? 方向:()()()k c z j b y i a x r )))?-+-+-=。 在求解给定具体坐标的特殊问题时,往往用分量形式直接计算更直观更方便,还不易出错。矢量形式固然很标准化很简洁(尤其是涉及到带有散度和旋度的微分方程),但一般只用于做基本证明和推导的过程,因为矢量方程与所取的任一坐标无关。 2. 一电偶极子的电偶极矩为l q P ? ?=,P 点到偶极子中心的距离为r , r ?与l ? 的夹角为θ,在l r >>时,求P 点的电场强度E ?在P O r ρ?=方 向的分量r E 和垂直于r ? 方向的分量θE 。 解:在极坐标系下,设点()θ,r P 相对于q +和q -的位矢分别为+r ?,-r ?,它们与r ?的夹角分别为α和β,由点电荷的场强公式有
2041 ++?=r q E πε,2041- -?=r q E πε, -++=E E E ? ?? 在极坐标下,E ? 可以分解为: βαcos cos -+-=E E E r , βαθsin sin -++=E E E 其中,+-=r l r θαcos 2cos ,-+=r l r θβcos 2cos , +=r l θ αsin 2sin , -=r l θβsin 2sin 又因为l r >>,在此近似下有 2r r r ≈?-+,r r r 2≈+-+,θcos l r r ≈-+-, 带入以上各式,化简得 3 0cos 241 r P E r θπε?=,30sin 41r P E θ πεθ?=。 此种方法的关键在于灵活运用各坐标分量间的几何与近似关系。对于电偶极子的问题,联系电势一节的内容,我们可以做一些归纳,下面我们从最常用的直角坐标系出发,来推导电偶极子在空间任一点的电势及场强公式。 以偶极子两电荷连线中点为原点,以偶极矩方向为x 轴方向取直角坐标系中任一点()z y x P ,,,由点电荷的电势叠加可得: ()???? ? ? ? ?????? ? ++??? ??+-+ ++??? ??-?=+=-+222 2 220 2241z y l x q z y l x q U U P U πε
高中物理电磁学练习题 一、在每小题给出的四个选项中,有的小题只有一个选项正确,有的小题有多个选 项正确. 1 ?如图3-1所示,有一金属箔验电器,起初金属箔闭合,当带正电的棒靠近 验电器上部的金属板时,金属箔张开.在这个状态下,用手指接触验电器的金属板,金属箔闭合,问当手指从金属板上离开,然后使棒也远离验电器,金属箔的状态如何变化?从图3-1的①?④四个选项中选取一个正确的答案. [ ] 图3-1 A.图① E.图② C.图③ D.图④ 2.下列关于静电场的说法中正确的是[ ] A.在点电荷形成的电场中没有场强相等的两点,但有电势相等的两点 E.正电荷只在电场力作用下,一定从高电势向低电势运动 C.场强为零处,电势不一定为零;电势为零处,场强不一定为零 D.初速为零的正电荷在电场力作用下不一定沿电场线运动 3 .在静电场中,带电量大小为q的带电粒子(不计重力),仅在电场力的作用下,先后飞过相距为d的a、b两点,动能增加了ΔE,则 [ ] A.a点的电势一定高于b点的电势 E.带电粒子的电势能一定减少 C.电场强度一定等于ΔE∕dq D.a、b两点间的电势差大小一定等于ΔE∕q 4. 将原来相距较近的两个带同种电荷的小球同时由静止释放(小球放在光 滑绝缘的水平面上),它们仅在相互间库仑力作用下运动的过程中[ ] A.它们的相互作用力不断减少 E.它们的加速度之比不断减小 C.它们的动量之和不断增加 D.它们的动能之和不断增加 5. 如图3-2所示,两个正、负点电荷,在库仑力作用下,它们以两者连线上 的某点为圆心做匀速圆周运动,以下说法正确的是[ ]
图3-2 A.它们所需要的向心力不相等 E.它们做圆周运动的角速度相等 C.它们的线速度与其质量成反比 D.它们的运动半径与电荷量成反比 6 ?如图3-3所示,水平固定的小圆盘A,带电量为Q,电势为零,从盘心处O由静止释放一质量为m,带电量为+q的小球,由于电场的作用,小球竖直上升的高度可达盘中心竖直线上的C点,Oc = h ,又知道过竖直线上的b点时,小球速度最大,由此可知在Q所形成的电场中,可以确定的物理量是[ ] A.b点场强 B.c点场强 C.b点电势 D.c点电势 7. 如图3-4所示,带电体Q固定,带电体P的带电量为q,质量为m, 与绝缘的水平桌面间的动摩擦因数为μ,将P在A点由静止放开,贝U在Q的排斥下运动到B点停下,A、B相距为s,下列说法正确的是[ ] Q尸 宀鱼舖. ... R A H 图3-4 A.将P从B点由静止拉到A点,水平拉力最少做功2μmgs B.将P从B点由静止拉到A点,水平拉力做功μmgs C.P从A点运动到B点,电势能增加μmgs D.P从A点运动到B点,电势能减少μmgs 8. 如图3-5所示,悬线下挂着一个带正电的小球,它的质量为m、电量为q, 整个装置处于水平向右的匀强电场中,电场强度为E. [ ] 图3-5 A.小球平衡时,悬线与竖直方向夹角的正切为Eq/mg B.若剪断悬线,则小球做曲线运动 C.若剪断悬线,则小球做匀速运动
第五章静电场 5-9若电荷Q均匀地分布在长为L的细棒上.求证:(1)在棒的延长线,且离棒中心为r处的电场强度为 E 1 πε04r Q 2 2 L (2)在棒的垂直平分线上,离棒为r处的电场强度为 E 1 Q 2 2 πε 0r4r 2 L 若棒为无限长(即L→∞),试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较. 分析这是计算连续分布电荷的电场强度.此时棒的长度不能忽略,因而不能将棒当作点电 荷处理.但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上.如图所示,在长直线上任意取一线元dx,其电荷为dq=Qdx/L,它在点P的电场强度为 d E 1 4 πε dq 2 r e r 整个带电体在点P的电场强度 E d E 接着针对具体问题来处理这个矢量积分. (1)若点P在棒的延长线上,带电棒上各电荷元在点P的电场强度方向相同,
E dE i L (2)若点P在棒的垂直平分线上,如图(A)所示,则电场强度E沿x轴方向的分量因对称性叠加为零,因此,点P的电场强度就是 E dE y j sinαdE j L
证(1)延长线上一点P 的电场强度 E dq L 2πεr 0 2 ,利用几何关系r ′=r -x 统一积分变量, 则 1QdxQ111QL/2 E P 电场强度的方向 222 -L/2 40LrxLrL /2rL /2π4rL πεπεε 4 00 沿x 轴. (2)根据以上分析,中垂线上一点P 的电场强度E 的方向沿y 轴,大小为 E L s indq α dE 2 4r πε 0 利用几何关系sin α=r/r ′, 2x 2 rr 统一积分变量,则 E L/ -L/ 2 2 1 rQdx Q 2/3 2 422r πxr π εεr 0L4 1 2 2 L 当棒长L →∞时,若棒单位长度所带电荷λ为常量,则P 点电场强度 E lim l 1 2 πr ε 0 1 Q / 4r L 2 / 2 L λ 2πεr 此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同[图(B )].这说明只要满足r 2 /L 2 <<1, 带电长直细棒可视为无限长带电直线. 5-14设匀强电场的电场强度E 与半径为R 的半球面的对称轴平行,试计算通过此半球面 的电场强度通量.
第五章静电场 5 -9若电荷Q均匀地分布在长为L的细棒上.求证:(1)在棒的延长线,且离棒中心为r处的电场强度为 2 2 4 π 1 L r Q ε E - = (2)在棒的垂直平分线上,离棒为r处的电场强度为 2 2 04 π2 1 L r r Q ε E + = 若棒为无限长(即L→∞),试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较. 分析这是计算连续分布电荷的电场强度.此时棒的长度不能忽略,因而不能将棒当作点电荷处理.但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上.如图所示,在长直线上任意取一线元d x,其电荷为d q=Q d x/L,它在点P的电场强度为 r r q ε e E 2 d π4 1 d ' = 整个带电体在点P的电场强度 ?=E E d 接着针对具体问题来处理这个矢量积分. (1)若点P在棒的延长线上,带电棒上各电荷元在点P的电场强度方向相同, ?=L E i E d (2)若点P 在棒的垂直平分线上,如图(A)所示,则电场强度E沿x轴方向的分量因对称性叠加为零,因此,点P的电场强度就是 ??= = L y E α E j j E d sin d
证 (1)延长线上一点P 的电场强度?'=L r πεE 202,利用几何关系 r ′=r -x 统一积分变 量,则 ()220 022 204π12/12/1π4d π41L r Q εL r L r L εQ x r L x Q εE L/-L/P -=??????+--=-=? 电场强度的方向沿x 轴. (2)根据以上分析,中垂线上一点P 的电场强度E 的方向沿y 轴,大小为 E r εq αE L d π4d sin 2 ? '= 利用几何关系 sin α=r /r ′,2 2 x r r +='统一积分变量,则 () 2 2 03 /2222 2041π2d π41L r r εQ r x L x rQ εE L/-L/+= +=? 当棒长L →∞时,若棒单位长度所带电荷λ为常量,则P 点电场强度 r ελL r L Q r εE l 02 20π2 /41/π21lim = +=∞ → 此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同[图(B )].这说明只要满足r 2/L 2<<1,带电长直细棒可视为无限长带电直线. 5 -14设匀强电场的电场强度E 与半径为R 的半球面的对称轴平行,试计算通过此半球面的电场强度通量. 分析方法1:由电场强度通量的定义,对半球面S 求积分,即? ?=S S d s E Φ 方法2:作半径为R 的平面S ′与半球面S 一起可构成闭合曲面,由于闭合面内无电荷,由高斯定理
§1.1 静电的基本现象和基本规律 思考题: 1、给你两个金属球,装在可以搬动的绝缘支架上,试指出使这两个球带等量异号电荷的方向。你可以用丝绸摩擦过的玻璃棒,但不使它和两球接触。你所用的方法是否要求两球大小相等? 答:先使两球接地使它们不带电,再绝缘后让两球接触,将用丝绸摩擦后带正电的玻璃棒靠近金属球一侧时,由于静电感应,靠近玻璃棒的球感应负电荷,较远的球感应等量的正电荷。然后两球分开,再移去玻璃棒,两金属球分别带等量异号电荷。本方法不要求两球大小相等。因为它们本来不带电,根据电荷守恒定律,由于静电感应而带电时,无论两球大小是否相等,其总电荷仍应为零,故所带电量必定等量异号。 2、带电棒吸引干燥软木屑,木屑接触到棒以后,往往又剧烈地跳离此棒。试解释之。答:在带电棒的非均匀电场中,木屑中的电偶极子极化出现束缚电荷,故受带电棒吸引。但接触棒后往往带上同种电荷而相互排斥。 3、用手握铜棒与丝绸摩擦,铜棒不能带电。戴上橡皮手套,握着铜棒和丝绸摩擦,铜棒就会带电。为什么两种情况有不同结果? 答:人体是导体。当手直接握铜棒时,摩擦过程中产生的电荷通过人体流入大地,不能保持电荷。戴上橡皮手套,铜棒与人手绝缘,电荷不会流走,所以铜棒带电。 思考题: 1、在地球表面上通常有一竖直方向的电场,电子在此电场中受到一个向上的力,电场强度的方向朝上还是朝下? 答:电子受力方向与电场强度方向相反,因此电场强度方向朝下。 2、在一个带正电的大导体附近P点放置一个试探点电荷q0(q0>0),实际测得它受力F。若考虑到电荷量q0不是足够小的,则F/ q0比P点的场强E大还是小?若大导体带负电,情况如何? 答:q0不是足够小时,会影响大导体球上电荷的分布。由于静电感应,大导体球上的正电荷受到排斥而远离P点,而F/q0是导体球上电荷重新分布后测得的P点场强,因此比P点原来的场强小。若大导体球带负电,情况相反,负电荷受吸引而靠近P点,P点场强增大。思考题: 1、一般地说,电力线代表点电荷在电场中运动的轨迹吗?为什么? 答:一般情况下,电力线不代表点电荷在电场中运动的轨迹。因为电力线一般是曲线,若电荷沿电力线作曲线运动,应有法向力存在;但电力线上各点场强只沿切线方向,运动电荷必定偏离弯曲的电力线。仅当电力线是直线,且不考虑重力影响时,初速度为零的点电荷才能沿着电力线运动。若考虑重力影响时,静止的点电荷只能沿竖直方向电力线运动。 2、空间里的电力线为什么不相交? 答:电力线上任一点的切线方向即为该点场强方向。如果空间某点有几条电力线相交,过交点对每条电力线都可作一条切线,则交点处的场强方向不唯一,这与电场中任一点场强有确定方向相矛盾。 3、一个点电荷q放在球形高斯面的中心处,试问在下列情况下,穿过这高斯面的电通量是否改变? (1)如果第二个点电荷放在高斯球面外附近; (2)如果第二个点电荷放在高斯球面内; (3)如果将原来的点电荷移离了高斯球面的球心,但仍在高斯球面内。 答:由于穿过高斯面的电通量仅与其内电量的代数和有关,与面内电荷的分布及面外电荷无关,所以
电磁学第二版 习题解答 电磁学第二版 习题解答1 第一章1 第二章15 第三章23 第四章32 第五章35 第六章42 第七章48 第一章 1.2.2两个同号点电荷所带电荷量之和为Q 。在两者距离一定的前提下,它们带电荷量各为多少时相互作用力最大? 解答: 设一个点电荷的电荷量为1q q =,另一个点电荷的电荷量为 2()q Q q =-,两者距离为r ,则由库仑定律求得两个点电荷之间的作用力为 2 0() 4q Q q F r πε-= 令力F 对电荷量q 的一队导数为零,即 2 0()04dF Q q q dq r πε--== 得 122 Q q q == 即取122 Q q q ==时力F 为极值,而
22 2 02 204Q q d F dq r πε== < 故当122 Q q q ==时,F 取最大值。 1.2.3两个相距为L 的点电荷所带电荷量分别为2q 和q ,将第三个点电荷放在何处时,它所受的合力为零? 解答: 要求第三个电荷Q 所受的合力为零,只可能放在两个电荷的连线中间,设它与电荷q 的距离为了x ,如图1.2.3所示。电荷Q 所受的两个电场力方向相反,但大小相等,即 22 00204()4qQ qQ L x x πεπε-=- 得22 20x Lx L +-= 舍去0x < 的解,得1)x L =- 1.3.8解答: A E 3 x ∞ (c) (b) (a) (1)先求竖直无限长段带电线在O 点产生的场强1E ,由习题1.3.7
(2)可知104x E R η πε= 仿习题1.3.7解答过程,得 12 223/2 1223/20sin ()0()4y y dl ldl dE k k r R l ldl E k R l R ηηαη ηπε==-+∞=-=- +? 故10??()4E i j R ηπε= - 同理,水平无限长段带电线在O 点产生的场强 20??()4E i j R ηπε= -+ 对于圆弧段带电线在O 点产生的场强3E ,参看图1.3.8(b ),得 32 30cos cos /2cos 04x x dl d dE k k R R k E d R R ηηα αα πηηααπε====? 同理得304y E R η πε= 故30??()4E i j R ηπε= + 解得 12330??()4E E E E E i j R ηπε=++== + (2)利用(1)中的结论,参看习题1.3.8图(b ),A -∞的带电直线在O 点的场强为 =0??()4A E i j R ηπε--
习题五(第二章 静电场中的导体和电介质) 1、在带电量为Q 的金属球壳内部,放入一个带电量为q 的带电体,则金属球壳 内表面所带的电量为 q ,外表面所带电量为 q +Q 。 2、带电量Q 的导体A 置于外半径为R 的导体 球壳B 内,则球壳外离球心r 处的电场强度大小 204/r Q E πε=,球壳的电势R Q V 04/πε=。 3、导体静电平衡的必要条件是导体内部场强为零。 4、两个带电不等的金属球,直径相等,但一个是空心,一个是实心的。现使它们互相接触,则这两个金属球上的电荷( B )。 (A)不变化 (B)平均分配 (C)空心球电量多 (D)实心球电量多 5、半径分别R 和r 的两个球导体(R >r)相距很远,今用细导线把它们连接起来,使两导体带电,电势为U 0,则两球表面的电荷面密度之比σR /σr 为 ( B ) (A) R/r (B) r/R (C) R 2/r 2 (D) 1 6、有一电荷q 及金属导体A ,且A 处在静电平衡状态,则( C ) (A)导体内E=0,q 不在导体内产生场强; (B)导体内E ≠0,q 在导体内产生场强; (C)导体内E=0,q 在导体内产生场强; (D)导体内E ≠0,q 不在导体内产生场强。 7、如图所示,一内半径为a ,外半径为b 的金属球壳,带有电量Q , 在球壳空腔内距离球心为r 处有一点电荷q ,设无限远 处为电势零点。试求: (1)球壳外表面上的电荷; (2)球心O 点处由球壳内表面上电荷产生的电势; (3)球心O 点处的总电势。 解: (1) 设球壳内、外表面电荷分别为q 1 , q 2,以O 为球心作一半径为R (a 第五章 静 电 场 5 -9 若电荷Q 均匀地分布在长为L 的细棒上.求证:(1) 在棒的延长线,且离棒中心为r 处的电场强度为 2 204π1L r Q εE -= (2) 在棒的垂直平分线上,离棒为r 处的电场强度为 2204π21L r r Q εE += 若棒为无限长(即L →∞),试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较. 分析 这是计算连续分布电荷的电场强度.此时棒的长度不能忽略,因而不能将棒当作点电荷处理.但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上.如图所示,在长直线上任意取一线元d x ,其电荷为d q =Q d x /L ,它在点P 的电场强度为 r r q εe E 2 0d π41d '= 整个带电体在点P 的电场强度 ?=E E d 接着针对具体问题来处理这个矢量积分. (1) 若点P 在棒的延长线上,带电棒上各电荷元在点P 的电场强度方向相同, ?=L E i E d (2) 若点P 在棒的垂直平分线上,如图(A )所示,则电场强度E 沿x 轴方向的分量因对称性叠加为零,因此,点P 的电场强度就是 ??==L y E αE j j E d sin d 证 (1) 延长线上一点P 的电场强度?'=L r πεE 202, 利用几何关系 r ′=r -x 统一积分变量,则 ()220 022 204π12/12/1π4d π41L r Q εL r L r L εQ x r L x Q εE L/-L/P -=??????+--=-=? 电场强度的方向沿x 轴. (2) 根据以上分析,中垂线上一点P 的电场强度E 的方向沿y 轴,大小为 E r εq αE L d π4d sin 2 ? '= 利用几何关系 sin α=r /r ′,2 2 x r r +=' 统一积分变量,则 () 2 2 03 /2222 2041π2d π41L r r εQ r x L x rQ εE L/-L/+= +=? 当棒长L →∞时,若棒单位长度所带电荷λ为常量,则P 点电场强度 r ελL r L Q r εE l 02 20π2 /41/π21lim = +=∞ → 此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同[图(B )].这说明只要满足r 2/L 2 <<1,带电长直细棒可视为无限长带电直线. 5 -14 设匀强电场的电场强度E 与半径为R 的半球面的对称轴平行,试计算通过此半球面的电场强度通量. 分析 方法1:由电场强度通量的定义,对半球面S 求积分,即? ?=S S d s E Φ 方法2:作半径为R 的平面S ′与半球面S 一起可构成闭合曲面,由于闭合面内无电荷,由高斯定理 电磁学 第二版 习题解答 电磁学 第二版 习题解答 ............................... 错误!未定义书签。 第一章 ................................................. 错误!未定义书签。 第二章 ................................................. 错误!未定义书签。 第三章 ................................................. 错误!未定义书签。 第四章 ................................................. 错误!未定义书签。 第五章 ................................................. 错误!未定义书签。 第六章 ................................................. 错误!未定义书签。 第七章 ..................................................... 错误!未定义书签。 第一章 1.2.2 两个同号点电荷所带电荷量之和为Q 。在两者距离一定的前提下,它们带电荷量各为多少时相互作用力最大 解答: 设一个点电荷的电荷量为1q q =,另一个点电荷的电荷量为 2()q Q q =-,两者距离为r ,则由库仑定律求得两个点电荷之间的作用力为 2 0() 4q Q q F r πε-= 令力F 对电荷量q 的一队导数为零,即 20()04dF Q q q dq r πε--== 得 122 Q q q == 电磁学课后部分习题答案解析 1.2.2 两个同号点电荷所带电荷量之和为Q.在两者距离一定的前提下,他们带电荷量各为多少时相互作用力最大? 解答:设一个点电荷的电荷量为1q q =,另一个点电荷的电荷量为 ()2q Q q =-,两者距离为r,则由库仑定律求得两个电电荷之间的作用力为 ()2 04q Q q F r πε-= 令力F 对电荷量q 的一阶导数为零,即 ()2 004Q q q dF dq r πε--= = 得 122 Q q q == 即取 122 Q q q == 时力F 为极值,而 22 2 2 02 204Q q d F dq r πε= =- < 故当 122 Q q q == 时,F 取最大值 1.2.6 两个电荷量相等的同性点电荷相距为2a ,在两者连线的中垂面上置一试探点电荷0q , 求0q 受力最大的点的轨迹. 解答: 如图(a)所示,设有两个电荷量为q 的点电荷 ,坐标分别为(-a ,0,0)和(a ,0,0),试探点电荷0q 置于二者连线的中垂面Oyz 上坐标为(0,y,z). r y j z k =+ 为原点O 至试探点电荷0q 的失径, 距离为r = ,如图(b)所 示. 根据对称性, 所受合力的方向与失径r 平行或反平行.其大小为 () 003 2 2 2 2 2 2sin 2q q q qr F k k r a r a α==++ 求上式的级值,去F 对r 的一阶导数并令其为零,的方程 ()2 2 2 30r r a -++= 求得 2 r = 求二阶导数并带入2 r =,得 () 2 7 2 2 2 2 022 120r d F a kqq r a r dr -=-+< 说明此时F 取极大值 因此,0q 受力最大的点的轨迹是在中垂面上的圆心坐标为(0,0,0) 半径为 2 的圆. 1.3.6 附图中均匀带电圆环的半径为R,总电荷量为q (1)求数轴线上离环心O 为x 处的场强E (2) 轴线上何处场强最大?其值是多少? (3)大致画出E-x 曲线. 解答:设圆环的带电线密度为 2q R η π=电磁学课后习题答案
电磁学_第二版__习题答案
电磁学课后部分习题答案解析