初三数学竞赛试题(含答案)
2009年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题
参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共5小题,每小题7分,满分35分)
(1)已知(),则的值为(B).
(A)(B)(C)(D)
【解】,.
又,∴.故选(B).
(2)若关于的方程的一个根大于且小于,另一个根大于2且小于3,则m的取值范围是(C).
(A)(B)(C)(D)
【解】根据题意,由根的判别式,得.设,由已知,画出该二次函数的大致图象,观察图象,
当时,有,即;
当时,有,即;
当时,有,即;
当时,有,即.
综上,.故选(C).
(3)某段公路由上坡、平坡、下坡三个等长的路段组成,已知一辆汽车在三个路段上行驶的平均速度分别为,,,则此辆汽车在这段公路上行驶的平均速度为(D).
(A)(B)(C)(D)
【解】设这段公路长为3s,则三个不同路段的长度均为s,
此辆汽车在各路段上行驶
的时间分别为(),则此辆汽车在这段公路上行驶的平均速
度为
.故选(D).
(4)已知边长为1的正方形ABCD,E为CD边的中点,动点P在正方形ABCD边上沿运动,设点P经过的路程为,△的面积为,则关于的函数的图象大致为(A).
【解】由已知,在边长为1的正方形ABCD中,
如图①,当点P在AB边上运动时,(),∴;
如图②,当点P在BC边上运动时,
,即(),有,
∴
=;
如图③,当点P在线段CE上运动时,
,有(),
∴.
故选(A).
(5)已知矩形ABCD中,AB=72,AD=56,若将AB边72等分,过每个分点分别作AD的平行线;将AD边56等分,过每个分点分别作AB的平行线,则这些平行线把整个矩形分成了边长为1的72×56个小正方形.于是,被对角线AC从内部穿过的小正方形(小正方形内部至少有AC上的两个点)共有(D).(A)130个(B)129个(C)121个(D)120个【解】根据题意,建立平面直角坐标系,使得,则.
因为AC与水平线(含AB与DC)、竖直线(含AD与BC)中的每
一条都相交,
所以有57+73=130个交点(含重合的交点).
由表示直线AC的正比例函数为,于是重合的交点坐标为(,)(0,1,2,…,8).即有9个重合的交点.
因此共有个彼此不同的交点,它们将对角线AC分成120段,每段仅穿过1个小正方形,于是AC共穿过120个小正方形.故
选(D).
二、填空题(本大题共5小题,每小题7分,满分35分) (6)将一枚骰子掷两次,若第一次出现的点数为,第二次出现的点数为,则由,所确定的点在双曲线上的概率等于.
【解】
123456
1(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)
2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)
3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)
4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)
5(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)
6(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)
其中点(1,6),(6,1),(2,3),(3,2)在双曲线
上,因此所求的概率等于.
(7)计算(的整数)的值等于100.
【解】根号内的被开方数可化为
所以.
(8)若是质数,且整除,则的末位数字是2.
【解】当时,,,5能整除10;
当是奇质数时,为偶数,为奇数,而偶数不能整除奇数,此
时不满足“整除”的条件.
综上,.于是.
由的末位数字是6,所以的末位数字是2.
(9)如图,四边形ABCD中,,
,若,则的长为
2.
【解】如图,过点A作与BC的延长线交于点E,
则.
∵在△中,由,,得.
∴.
∵,∴,又,
∴.
又在△ACD中,,∴.
∴△ACE≌△CAD.有.
而在Rt△ABE中,∵,∴,∴.
(10)如图所示,在圆环的10个空格内分别填入1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这10个数字,将所有相邻两
个格子(具有公共边)内的两数之差的绝对值相加,
若使这个和最大,则此最大值为50.
【解】设相邻格子内的两数为,,且,则,共有10个差,要使这10个差的和最大,其中10个被减数应当尽量大,10个减数应当尽量小,而每个数仅与两个数相邻,所以,将10,9,8,7,6各当作两次被减数,5,4,3,2,1各当作两次减数,可满足条件,所以要求的最大值为
.
如图,是满足条件的一种填数字的方法.
三、解答题(本大题共4小题,每小题满分20分,共80分)
(11)(本小题满分20分)
已知,,,求的值.
【解】∵,∴,①
同理,②
.③……………………………10分
由①+②-③,得,解得.
由①+③-②,得,解得.
由②+③-①,得,解得.
所以,.……………………………20分
(12)(本小题满分20分)
从一个等边三角形(如图①)开始,把它的各边分成相等的三段,再在各边中间一段上向外画出一个小等边三角形,形成六角星图形(如图②);然后在六角星各边上,用同样的方法向外画出更小的等边三角形,形成一个有18个尖角的图形(如图③);如果在其各边上,再用同样的方法向外画出更小的等边三角形(如图④),继续下去,图形的轮廓就能形成分支越来越多的曲线,这就是瑞典数学家科赫将雪花理
想化得到的科赫雪花曲线.
如果设原等边三角形边长为a,不妨把每一次的作图变化过程叫做“生长”,例如,第1次生长后,得图②,每个小等边三角形的边长为,所形成的图形的周长为.
请填写下表:(用含的代数式表示)
第1次
生长后第2次
生长后第3次
生长后….第n次
生长后
每个小等边
三角形的边长
……
所形成的
图形的周长
……
【解】
第1次
生长后第2次
生长后第3次
生长后….第n次
生长后
每个小等边
三角形的边长
……
所形成的
图形的周长
……
(13)(本小题满分20分)
已知,为正整数,关于的方程有正整数解,求,的值.
【解】设方程的两个根为,,则
由,,,均为正整数,不妨设≥≥1,≥≥1,
于是,.
即.……………………………10分
当时,,有.
只有=3,=2,此时;
当时,,
只有=2,=2,此时,;
当时,有=1,,
得,.
所以,或或……………………………20分
(14)(本小题满分20分)
已知点是锐角△内的一个点,且使最小,试确定点的位置,
并证明你的结论.
【解】
如图,分别以为边向外作正△,正△,
连接交于点,则点即为所求.……………………………5分
证明如下:
易证△≌△.
有.
∴.
∵与为对顶角,
∴.……………………………………10分
在上可截取,连接,有△为正三角形.
易证△≌△.可得.
∴为定值.…………………………15分
在△内任取一点(不同于点),
连接,,.
将△以点为旋转中心逆时针旋转,
与重合,得△.
有△≌△.
可得.
连接,则△为正三角形,有.
∴.
由于折线.
∴点到三个顶点,,的距离之和最
短.…………………………20分
(若以为边向外作正△,可得)2018年普通高等学校招生全国统一
考试
理科综合能力测试
1.下列关于人体中蛋白质功能的叙述,错误的是
A.浆细胞产生的抗体可结合相应的病毒抗原
B.肌细胞中的某些蛋白质参与肌肉收缩的过程
C.蛋白质结合Mg2+形成的血红蛋白参与O2运输
D.细胞核中某些蛋白质是染色体的重要组成成分
2.下列有关物质跨膜运输的叙述,正确的是
A.巨噬细胞摄入病原体的过程属于协助扩散
B.固醇类激素进入靶细胞的过程属于主动运输
C.神经细胞受到刺激时产生的Na+内流属于被动运输
D.护肤品中的甘油进入皮肤细胞的过程属于主动运输
3.下列有关人体内激素的叙述,正确的是
A.运动时,肾上腺素水平升高,可使心率加快,说明激素是高能化合物
B.饥饿时,胰高血糖素水平升高,促进糖原分解,说明激素具有酶的催化活性
C.进食后,胰岛素水平升高,其既可加速糖原合成,也可作为细胞的结构组分
D.青春期,性激素水平升高,随体液到达靶细胞,与受体结合可促进机体发育
4.有些作物的种子入库前需要经过风干处理,与风干前相比,下列说法错误的是
A.风干种子中有机物的消耗减慢
B.风干种子上微生物不易生长繁殖
C.风干种子中细胞呼吸作用的强度高
D.风干种子中结合水与自由水的比值大
5.下列关于病毒的叙述,错误的是
A.从烟草花叶病毒中可以提取到RNA
B.T2噬菌体可感染肺炎双球菌导致其裂解
C.HIV可引起人的获得性免疫缺陷综合征
D.阻断病毒的传播可降低其所致疾病的发病率
6.在致癌因子的作用下,正常动物细胞可转变为癌细胞。有关癌细胞特点的叙述错误的是
A.细胞中可能发生单一基因突变,细胞间黏着性增加
B.细胞中可能发生多个基因突变,细胞的形态发生变化
C.细胞中的染色体可能受到损伤,细胞的增殖失去控制
D.细胞中遗传物质可能受到损伤,细胞表面的糖蛋白减少