练习六 c bx ax y ++=2的图象和性质
参考答案6:1、x=-2;2、上、(3,7);3、略;4、2)1(2+-x ;5、5)1(2
12+--=x y ;6、(-2,0)(8,0);7、大、81
;8、C ;9、A ;10、(1)1)2(2
12--=x y 、上、x=2、(2,
-1),(2)3
10)34(32+
--=x y 、下、34=x 、(310,34),(3)3)2(412---=x y 、下、x=2、(2,-3);11、有、y=6;12、(2,0)(-3,0)(0,6);13、y=-2x 、否;14、定价为3000元时,可获最大利润125000元
练习七 c bx ax y ++=2的性质
参考答案7:1、1162+-=x x y ;2、(-4,-4);3、1;4、-3;5、>、<、>、>;6、二;
7、②③;8、-7;9、C ;10、D ;11、B ;12、C ;13、B ;14、4422
++-=x x y ;15、a ac b 42- 练习八 二次函数解析式
参考答案8:1、
31-、3
2、1;2、1082++=x x y ;
3、1422+-=x x y ;
4、(1)522-+=x x y 、(2)3422---=x x y 、(3)41525452--=x x y 、(4)2
53212+-=x x y ;5、9194942+-=x x y ;6、142-+-=x x y ;7、(1)25482582582++-=x x y 、5;8、322++-=x x y 、y=-x-1或y=5x+5
练习九 二次函数与方程和不等式
参考答案9:1、4
7-≥k 且0≠k ;2、一;3、C ;4、D ;5、C ;6、C ;7、2,1;8、31,3,121≤≤-=-=x x x ;9、(1)x x y 22-=、x<0或x>2;10、y=-x+1,
322+--=x x y ,x<-2或x>1;11、
(1)略,(2)m=2,(3)(1,0)或(0,1) 练习十 二次函数解决实际问题
参考答案10:1、①2月份每千克3.5元 ②7月份每千克0.5克 ③7月份的售价最低 ④2~7月份售价下跌;2、y =x 2+x ;3、成绩10米,出手高度
35米;4、23)1(232+--=x S ,当x =1时,透光面积最大为2
3m 2;5、(1)y =(40-x) (20+2x)=-2x 2+60x +800,(2)1200=-2x 2+60x +800,x 1=20,x 2=10 ∵要扩大销售 ∴x 取20元,(3)y =-2 (x 2-30x)+800=-2 (x -15)2+1250 ∴当每件降价15元时,盈利最大为1250元;6、(1)设y =a (x -5)2+4,0=a (-5)2+4,a =-
254,∴y =-254 (x -5)2+4,(2)当x =6时,y =-254+4=3.4(m);7、(1)225
1x y -=,(2)h d -=410,(3)当水深超过2.76m 时;8、)64(6412≤≤-+-=x x y ,x =3,m y 75.34
96=-=,m 2.325.35.075.3≈=-,货车限高为3.2m.
中考数学中二次函数压轴题分类总结
中考数学中二次函数压 轴题分类总结 Company number:【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
二次函数的压轴题分类复习 一、抛物线关于三角形面积问题 例题 二次函数k m x y ++=2)(的图象,其顶点坐标为M(1,4-). (1)求出图象与x 轴的交点A ,B 的坐标; (2)在二次函数的图象上是否存在点P ,使MAB PAB S S ??=4 5 ,若存在,求出P 点的坐标;若不存在,请说明理由; (3)将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象,请你结合这个新的图象回答:当直线)1(<+=b b x y 与此图象有两个公共点时,b 的取值范围. 练习: 1. 如图.平面直角坐标系xOy 中,点A 的坐标为(-2,2),点B 的坐标为(6,6),抛物线经过A 、O 、B 三点,线段AB 交y 轴与点E . (1)求点E 的坐标; (2)求抛物线的函数解析式; (3)点F 为线段OB 上的一个动点(不与O 、B 重合),直线EF 与抛物线交与M 、N 两点(点N 在y 轴右侧),连结ON 、BN ,当点F 在线段OB 上运动时,求?BON 的面积的最大值,并求 出此时点N 的坐标; 2. 如图,已知抛物线42 12++-=x x y 交x 轴的正半轴于点A ,交y 轴于点B . (1)求A 、B 两点的坐标,并求直线AB 的解析式; (2)设),(y x P (0>x )是直线x y =上的一点,Q 是OP 的中点(O 是原点),以PQ 为对角线作 正方形PEQF .若正方形PEQF 与直线AB 有公共点,求x 的取值范围; (3)在(2)的条件下,记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ,求S 关于x 的函数解析式,并探究S 的最大值. y x O B N A M E F B y
二次函数压轴题题型归纳
一、二次函数常考点汇总 1、两点间的距离公式:()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标:线段AB 的中点C 的坐标为:??? ??++22 B A B A y y x x , 直线11b x k y +=(01≠k )与22b x k y +=(02≠k )的位置关系: (1)两直线平行?21k k =且21b b ≠ (2)两直线相交?21k k ≠ (3)两直线重合?21k k =且21b b = (4)两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题,解题步骤如下: ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围; ② 解方程,求出方程的根;(两种形式:分式、二次根式) ③ 分析求解:若是分式,分母是分子的因数;若是二次根式,被开方式是完全平方式。 例:关于x 的一元二次方程()0122 2 =-m x m x ++有两个整数根,5<m 且m 为整数,求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。(方法同上) 例:若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点,且m 为正整数,试确定 此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题,可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下: 已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=(m 为实数),求证:无论m 为何值,方程总有一个固定的根。 解:当0=m 时,1=x ; 当0≠m 时,()032 ≥-=?m ,()m m x 213?±-= ,m x 3 21-=、12=x ; 综上所述:无论m 为何值,方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题,举例如下: 已知抛物线22 -+-=m mx x y (m 是常数),求证:不论m 为何值,该抛物线总经过一个固定的点,并求出固定点的坐标。 解:把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ; ∴ ???=-=+-0 1 02 2x x y ,解得:???=-=1 1 x y ;∴ 抛物线总经过一个固定的点(1,-1)。 (题目要求等价于:关于m 的方程()x m x y -=+-122 不论m 为何值,方程恒成立) 小结.. :关于x 的方程b ax =有无数解????==0 b a
含参数二次函数分类讨论的方法
二次函数求最值参数分类讨论的方法 分类讨论是数学中重要的思想方法和解题策略,它是根据研究对象的本质属性的相同点和不同点,将对象分为不同种类然后逐类解决问题. 一般地,对于二次函数y=a (x -m )2+n ,x ∈[t ,s ]求最值的问题;解决此类问题的基本思路为:根据对称轴相对定义域区间的位置,利用分类讨论思想方法。为做到分类时不重不漏,可画对称轴相对于定义域区间的简图分类。 ①表示对称轴在区间[t ,s ]的左侧,②表示对称轴在区间[t ,s ]内且靠近区间的左端点,③表示对称轴在区间内且靠近区间的右端点,④表示对称轴在区间[t ,s ]的右侧。然后,再根据口诀“开口向上,近则小、远则大”;“开口向下,近则大、远则小”即可快速求出最值。 含参数的二次函数求最值的问题大致分为三种题型,无论哪种题型都围绕着对称轴与定义域区间的位置关系进行分类讨论 题型一:“动轴定区间”型的二次函数最值 例1、求函数2()23f x x ax =-+在[0,4]x ∈上的最值。 分析:先配方,再根据对称轴相对于区间的位置讨论,然后根据口诀写出最值。 解:222()23()3f x x ax x a a =-+=-+- ∴此函数图像开口向上,对称轴x=a ①、当a <0时,0距对称轴x=a 最近,4距对称轴x=a 最远, ∴x=0时,min y =3,x=4时,max y =19-8a ②、当0≤a<2时,a 距对称轴x=a 最近,4距对称轴x=a 最远, ∴x=a 时,min y =3-a2,x=4时,max y =19-8a ③、当2≤a <4时,a 距对称轴x=a 最近,0距对称轴x=a 最远, ∴x=a 时,min y =3-a2,x=0时,max y =3 ④、当4≤a 时,4距对称轴x=a 最近,0距对称轴x=a 最远, ∴x=4时,min y =19-8a ,x=0时,max y =3 例2、已知函数2()(21)3f x ax a x =+--在区间3 [,2]2 -上最大值为1,求实数a 的值 分析:取a=0,a ≠0,分别化为一次函数与二次函数,根据一次函数、二次函数的性质分类讨论.
初三二次函数基础分类练习题(含答案)
二次函数基础分类练习题 练习一 二次函数 1、 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动,通过仪器观察得到小球滚动的距离s (米)与时间t (秒)的数据 如下表: 时间t (秒) 1 2 3 4 … 距离s (米) 2 8 18 32 … 写出用t 表示s 的函数关系式. 2、 下列函数:① 23y x ;② 21y x x x ;③ 224y x x x ;④ 2 1 y x x ; ⑤ 1y x x ,其中是二次函数的是 ,其中a ,b ,c 3、当m 时,函数2 235y m x x (m 为常数)是关于x 的二次函数 4、当____m 时,函数2 2 21 m m y m m x 是关于x 的二次函数 5、当____m 时,函数2 56 4m m y m x +3x 是关于x 的二次函数 6、若点 A ( 2, m ) 在函数 12 -=x y 的图像上,则 A 点的坐标是____. 7、在圆的面积公式 S =πr 2 中,s 与 r 的关系是( ) A 、一次函数关系 B 、正比例函数关系 C 、反比例函数关系 D 、二次函数关系 8、正方形铁片边长为15cm ,在四个角上各剪去一个边长为x (cm )的小正方形,用余下的部分做成一个无盖的盒子. (1)求盒子的表面积S (cm 2)与小正方形边长x (cm )之间的函数关系式; (2)当小正方形边长为3cm 时,求盒子的表面积. 9、如图,矩形的长是 4cm ,宽是 3cm ,如果将长和宽都增加 x cm , 那么面积增加 ycm 2, ① 求 y 与 x 之间的函数关系式. ② 求当边长增加多少时,面积增加 8cm 2 . 10、已知二次函数),0(2 ≠+=a c ax y 当x=1时,y= -1;当x=2时,y=2,求该函数解析式. 11、富根老伯想利用一边长为a 米的旧墙及可以围成24米长的旧木料,建造猪舍三间,如图,它们的平面图是一排大小相等的长方形.
二次函数与几何综合压轴题题型归纳88728
学生: 科目: 数 学 教师: 刘美玲 一、二次函数和特殊多边形形状 二、二次函数和特殊多边形面积 三、函数动点引起的最值问题 四、常考点汇总 1、两点间的距离公式:()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标:线段AB 的中点C 的坐标为:?? ? ??++22B A B A y y x x , 直线11b x k y +=(01≠k )与22b x k y +=(02≠k )的位置关系: (1)两直线平行?21k k =且21b b ≠ (2)两直线相交?21k k ≠ (3)两直线重合?21k k =且21b b = (4)两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题,解题步骤如下: ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围; ② 解方程,求出方程的根;(两种形式:分式、二次根式) ③ 分析求解:若是分式,分母是分子的因数;若是二次根式,被开方式是完全平方式。 例:关于x 的一元二次方程()0122 2 =-m x m x ++有两个整数根,5<m 且m 为整数,求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。(方法同上) 例:若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点,且m 为正整数,试确定此 抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题,可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下:
已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=(m 为实数),求证:无论m 为何值,方程总有一个固定的根。 解:当0=m 时,1=x ; 当0≠m 时,()032 ≥-=?m ,()m m x 213?±-= ,m x 3 21-=、12=x ; 综上所述:无论m 为何值,方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题,举例如下: 已知抛物线22 -+-=m mx x y (m 是常数),求证:不论m 为何值,该抛物线总经过一个固定的点,并求出固定点的坐标。 解:把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ; ∴ ???=-=+-0 1 02 2x x y ,解得:???=-=1 1 x y ; ∴ 抛物线总经过一个固定的点(1,-1)。 (题目要求等价于:关于m 的方程()x m x y -=+-122 不论m 为何值,方程恒成立) 小结.. :关于x 的方程b ax =有无数解? ?? ?==0 b a 7、路径最值问题(待定的点所在的直线就是对称轴) (1)如图,直线1l 、2l ,点A 在2l 上,分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ,使得MN AM +之和最小。 (2)如图,直线1l 、2l 相交,两个固定点A 、B ,分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ,使得 AN MN BM ++之和最小。 (3)如图,B A 、是直线l 同旁的两个定点,线段a ,在直线l 上确定两点E 、F (E 在F 的左侧 ),使得四边形AEFB 的周长最小。 8、在平面直角坐标系中求面积的方法:直接用公式、割补法 三角形的面积求解常用方法:如右图,S △PAB =1/2 ·PM ·△x=1/2 ·AN ·△y 9、函数的交点问题:二次函数(c bx ax y ++=2 )与一次函数(h kx y +=) (1)解方程组???h kx y c bx ax y +=++= 2可求出两个图象交点的坐标。 (2)解方程组???h kx y c bx ax y +=++= 2,即()02 =-+-+h c x k b ax ,通过?可判断两个图象的交点 的个数 有两个交点 ? 0>?
高中数学二次函数分类讨论经典例题
例1(1)关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两个实根,且一个大于1,一个小于1,求m 的取值范围; (2)关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根都在)4,0[内,求m 的取值范围; ⑶关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根在[]3,1外,求m 的取值范围 (4)关于x 的方程0142)3(22=++++m x m mx 有两实根,且一个大于4,一个小于4,求m 的取值范围. 例3已知函数3)12()(2--+=x a ax x f 在区间]2,2 3[-上的最大值为1,求实数a 的值。
解(1)令142)3(2)(2++++=m x m x x f ,∵对应抛物线开口向上,∴方程有两个实根,且一个大于1,一个小于1等价于0)1(?吗?),即.4 21-++++≥+????? ?????≥+-+<+-<≥≥m m m m m m m m m m f f (3)令142)3(2)(2++++=m x m x x f ,原命题等价于 ???<<0)3(0)1(f f 即? ??<++++<++++0142)3(690142)3(21m m m m 得.421-0)4(0g m 或,0 )4(0???>)(恒成立,求实数a 的取 值范围。 解:(1)0)()(恒成立?.)]([min a x f >又当]1,1[-∈x 时, 5)1()]([min -=-=f x f ,所以).5,(--∞∈a 【评注】“有解”与“恒成立”是很容易搞混的两个概念。一般地,对于“有解”与“恒成立”,有下列常用结论:(1)a x f >)(恒成立?a x f >min )]([;(2)a x f <)(恒成立?a x f )(有解?a x f >max )]([;(4)a x f <)(有解?.)]([min a x f < 分析:这是一个逆向最值问题,若从求最值入手,首先应搞清二次项系数a 是否为零,如果)(,0x f a ≠的最大值与二次函数系数a 的正负有关,也与对称轴
九年级数学二次函数 基础分类练习题(含答案)
二次函数 基础分类练习题 练习一 二次函数 1、一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动,通过仪器观察得到小球滚动的距离s (米)与时间t (秒)的数 据如下表: 时间t (秒)1234…距离s (米) 2 8 18 32 … 写出用t 表示s 的函数关系式. 2、下列函数:① ;② ;③ ;④ ; y = ()21y x x x =-+()224y x x x =+-2 1 y x x = +⑤ ,其中是二次函数的是 ,其中 , , ()1y x x =-a =b =c =3、当 时,函数(为常数)是关于的二次函数 m ()2 235y m x x =-+-m x 4、当时,函数是关于的二次函数 ____m =()2 221m m y m m x --= +x 5、当时,函数+3x 是关于的二次函数 ____m =()256 4m m y m x -+=-x 6、若点 A ( 2, ) 在函数 的图像上,则 A 点的坐标是____. m 12 -=x y 7、在圆的面积公式 S =πr 2 中,s 与 r 的关系是( ) A 、一次函数关系 B 、正比例函数关系 C 、反比例函数关系 D 、二次函数关系 8、正方形铁片边长为15cm ,在四个角上各剪去一个边长为x (cm )的小正方形,用余下的部分做成一个无盖的盒子. (1)求盒子的表面积S (cm 2)与小正方形边长x (cm )之间的函数关系式; (2)当小正方形边长为3cm 时,求盒子的表面积. 9、如图,矩形的长是 4cm ,宽是 3cm ,如果将长和宽都增加 x cm ,那么面积增加 ycm 2, ① 求 y 与 x 之间的函数关系式.② 求当边长增加多少时,面积增加 8cm 2. 10、已知二次函数当x=1时,y= -1;当x=2时,y=2,求该函数解析式. ),0(2 ≠+=a c ax y 11、富根老伯想利用一边长为a 米的旧墙及可以围成24米长的旧木料,建造猪舍三间,如图,它们的平面图是一排大小相等的长方形. (1)如果设猪舍的宽AB 为x 米,则猪舍的总面积S (米2)与x 有怎样的函数关 系? (2)请你帮富根老伯计算一下,如果猪舍的总面积为32米2,应该如何安排猪舍的长BC 和宽AB 的长度?旧 墙的长度是否会对猪舍的长度有影响?怎样影响?
中考复习:二次函数题型分类总结
【二次函数的定义】 (考点:二次函数的二次项系数不为0,且二次函数的表达式必须为整式) 1、下列函数中,是二次函数的是 . ①y=x2-4x+1;②y=2x2;③y=2x2+4x;④y=-3x; ⑤y=-2x-1;⑥y=mx2+nx+p;⑦y =(4,x) ;⑧y=-5x。 2、在一定条件下,若物体运动的路程s(米)与时间t(秒)的关系式为s=5t2+2t,则t=4 秒时,该物体所经过的路程为。 3、若函数y=(m2+2m-7)x2+4x+5是关于x的二次函数,则m的取值范围为。 4、若函数y=(m-2)x m -2+5x+1是关于x的二次函数,则m的值为。 6、已知函数y=(m-1)x m2 +1+5x-3是二次函数,求m的值。 【二次函数的对称轴、顶点、最值】 (技法:如果解析式为顶点式y=a(x-h)2+k,则最值为k; 如果解析式为一般式y=ax2+bx+c,则最值为4ac-b2 4a 1.抛物线y=2x2+4x+m2-m经过坐标原点,则m的值为。 2.抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为(1,3),则b=,c= . 3.抛物线y=x2+3x的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.若抛物线y=ax2-6x经过点(2,0),则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) B. 5.若直线y=ax+b不经过二、四象限,则抛物线y=ax2+bx+c( ) A.开口向上,对称轴是y轴 B.开口向下,对称轴是y轴 C.开口向下,对称轴平行于y轴 D.开口向上,对称轴平行于y轴 6.已知抛物线y=x2+(m-1)x-1 4 的顶点的横坐标是2,则m的值是_ . 7.抛物线y=x2+2x-3的对称轴是。 8.若二次函数y=3x2+mx-3的对称轴是直线x=1,则m=。 9.当n=______,m=______时,函数y=(m+n)x n+(m-n)x的图象是抛物线,且其顶点在原点,此抛物线的开口________.
(完整版)二次函数综合题分类讨论带答案.doc
二次函数综合题分类讨论 一、直角三角形分类讨论: 1 1、已知点 A(1 ,0),B( -5,0),在直线y 2 x 2 上存在点C,使得 ABC 为直角三角形, 这样的 C 点你能找到个 2、如图 1,已知抛物线C1:y a x 2 2 5 的顶点为 P,与 x 轴相较于 A 、 B 两点(点 A 在点 B 的左边),点 B 的横坐标是 1.( 1)求 P 点坐标及a的值;( 2)如图 1,抛物线 C2与抛物线 C1关于 x 轴对称,将抛物线C2向右平移,平移后得到抛物线C3, C,3的顶点为 M ,当点 P、 M 关于点 B 成中心对称时,求C,3的解析式;( 3)如图 2,点 Q 是 x 轴正半轴上一点,将抛物线C1绕点 Q 旋转180 后得到抛物线 C,4,抛物线 C,4的顶点为 N,与 x 轴相交于 E、 F 两点(点 E 在点 F 的左边),当以点 P、 N、 F 为顶点的三角形 是直角三角形时,求点Q 的坐标。(2013 汇编 P56+P147)
3、如图,矩形 A’BC’O’是矩形 OABC( 边 OA 在 x 轴正半轴上,边 OC 在 y 轴正半轴上 )绕 B 点逆时针旋转得到的. O’点在 x 轴的正半轴上, B 点的坐标为 (1,3). (1)如果二次函数 y= ax2+ bx+c(a≠0)的图象经过 O、O’两点且图象顶点 M 的纵坐标为 —1.求这个二次函数的解析式; ? (2) 在 (1)中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点P,使得POM 为直角三角形 若存在,请求出P 点的坐标和POM 的面积;若不存在,请说明理由; (3)求边 C’O’所在直线的解析式.
初三__二次函数基础分类练习题(含答案)解析
1 二次函数练习题 练习一 二次函数 1、 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动,通过仪器观察得到小球滚动的距离s (米)与时间t (秒)的数据如 下表: 时间t (秒) 1 2 3 4 … 距离s (米) 2 8 18 32 … 写出用t 表示s 的函数关系式: 2、 下列函数:① 23y x ;② 21y x x x ;③ 224y x x x ;④ 2 1y x x ; ⑤ 1y x x ,其中是二次函数的是 ,其中a ,b ,c 3、当m 时,函数2 235y m x x (m 为常数)是关于x 的二次函数 4、当____m 时,函数22 21 m m y m m x 是关于x 的二次函数 5、当____m 时,函数256 4m m y m x +3x 是关于x 的二次函数 6、若点 A ( 2, m ) 在函数 12-=x y 的图像上,则 A 点的坐标是____. 7、在圆的面积公式 S =πr 2 中,s 与 r 的关系是( ) A 、一次函数关系 B 、正比例函数关系 C 、反比例函数关系 D 、二次函数关系 8、正方形铁片边长为15cm ,在四个角上各剪去一个边长为x (cm )的小正方形,用余下的部分做成一个无盖的盒子. (1)求盒子的表面积S (cm 2)与小正方形边长x (cm )之间的函数关系式; (2)当小正方形边长为3cm 时,求盒子的表面积. 9、如图,矩形的长是 4cm ,宽是 3cm ,如果将长和宽都增加 x cm , 那么面积增加 ycm 2, ① 求 y 与 x 之间的函数关系式. ② 求当边长增加多少时,面积增加 8cm 2. 10、已知二次函数),0(2 ≠+=a c ax y 当x=1时,y= -1;当x=2时,y=2,求该函数解析式. 11、富根老伯想利用一边长为a 米的旧墙及可以围成24米长的旧木料,建造猪舍三间,如图,它们的平面图是一排大小相等的长方形. (1) 如果设猪舍的宽AB 为x 米,则猪舍的总面积S (米2)与x 有怎样的函数关系? (2) 请你帮富根老伯计算一下,如果猪舍的总面积为32米2,应该如何安排猪舍的长BC 和宽AB 的长度?旧墙的 长度是否会对猪舍的长度有影响?怎样影响?
二次函数中考试题分类汇编
二次函数中考试题分类汇编 一、选择题 1、已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示,有下列5个结论:① 0>abc ;② c a b +<;③ 024>++c b a ;④ b c 32<;⑤ )(b am m b a +>+,(1≠m 的实数)其中正确的结 论有( )B A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2、如图是二次函数y =ax 2+bx +c 图象的一部分,图象过点A (-3,0),对称轴为x =-1.给出四个结论:①b 2>4ac ;②2a +b =0;③a -b +c =0;④5a <b .其中正确结论是( ).B (A )②④ (B )①④ (C )②③ (D )①③ 3、二次函数221y x x =-+与x 轴的交点个数是( )B A .0 B .1 C .2 D .3 4、在同一坐标系中一次函数y ax b =+和二次函数 2y ax bx =+的图象可能为( )A 5、已知二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象开口向上,并经过点(-1,2),(1,0) . 下列结论正确的是( )D A. 当x >0时,函数值y 随x 的增大而增大 B. 当x >0时,函数值y 随x 的增大而减小 C. 存在一个负数x 0,使得当x x 0 时,函数值y 随x 的增大而增大 D. 存在一个正数x 0,使得当x x 0 时,函数值y 随x 的增大而增大 6、已知二次函数y =x 2-x+a (a >0),当自变量x 取m 时,其相应的函数值小于0, 那么下列结论中正确的是( )B O x y O x y O x y O x y
中考数学二次函数压轴题题型归纳
中考二次函数综合压轴题型归类 一、常考点汇总 1、两点间的距离公式:()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标:线段AB 的中点C 的坐标为:?? ? ??++22B A B A y y x x , 直线11b x k y +=(01≠k )与22b x k y +=(02≠k )的位置关系: (1)两直线平行?21k k =且21b b ≠ (2)两直线相交?21k k ≠ (3)两直线重合?21k k =且21b b = (4)两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题,解题步骤如下: ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围; ② 解方程,求出方程的根;(两种形式:分式、二次根式) ③ 分析求解:若是分式,分母是分子的因数;若是二次根式,被开方式是完全平方式。 例:关于x 的一元二次方程()0122 2 =-m x m x ++有两个整数根,5<m 且m 为整数,求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。(方法同上) 例:若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点,且m 为正整数,试确定 此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题,可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下: 已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=(m 为实数),求证:无论m 为何值,方程总有一个固定的根。 解:当0=m 时,1=x ; 当0≠m 时,()032 ≥-=?m ,()m m x 213?±-= ,m x 3 21-=、12=x ; 综上所述:无论m 为何值,方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题,举例如下: 已知抛物线22 -+-=m mx x y (m 是常数),求证:不论m 为何值,该抛物线总经过一个固定的点,并求出固定点的坐标。 解:把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ;
二次函数(专题)教学设计
二次函数(专题) ——线段问题 【教学目标】 一、知识技能 1.会用坐标表示线段长度; 2.能解决与抛物线有关的线段问题. 二、数学思考 1.通过用点的坐标表示线段的长度,体现数形结合的思想; 2.体会分类讨论的思想方法. 三、问题解决 1.引导学生归纳出解决与抛物线有关的线段问题的方法; 2.通过小组讨论发现问题,解决问题,体会在解决问题过程中小组合作的重要性. 四、情感态度 在解决问题的过程中,培养学生独立思考、敢于发表自己见解的学习习惯.在合作交流的过程中使学生体验成功的喜悦,增强学好数学的信心. 【教学重点】 1.用坐标表示线段长; 2.解决与抛物线有关的线段问题. 【教学难点】用坐标表示线段长. 【教学方法】探究归纳法、讲练结合法、小组合作法. 【教学准备】多媒体课件、学案等. 【教学过程】 一、知识回顾
1.已知(,) ,(,)A B --5212,则AB = ; 2.已知(,) ,(,-)C D --1512,则CD = . 一 般地,若 ()(),,, A x y B x y 1122,则当 y y =12时,AB x x =-12; 当x x =12时,AB y y =-12. 【设计意图】 在平面直角坐标系中,若已知点的坐标,可以用坐标求线段的长度.通过观察两点与坐标轴的关系,强调平行于x 轴(或在x 轴上)或者y 轴(或在y 轴上)这一重要前提条件.由两道具体问题的计算推广到一般情况,得出结论,体现了数学由特殊到一般的思想. 二、典例精讲 (一)知识准备 例 如图,抛物线y x bx c =- ++2 14 的图象过点(,)A 40,(,)B --44; (1)求抛物线和直线AB 的解析式; 学生在学案上独立完成,老师在大屏幕上展示解题过程,学生对改、订正. 【设计意图】 复习用待定系数法求函数解析式的过程,加强学生对坐标与解析式关系的 理解,加深对直线和抛物线图形的认识,为下一环节做准备.通过课件展示,规 范学生的解题过程. (二)问题解决 (2)若点D 是线段AB 上的一动点(不与、A B 重合),过点D 作y 轴的平行线,与抛物线交于点E ,与x 轴交于点C ,设点D 的横坐标为.m
中考数学二次函数分类汇编试题
中考数学二次函数分类汇编试题含答案 一、选择题 1、(2007天津市)已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示,有下列5个结论:① 0>abc ;② c a b +<;③ 024>++c b a ;④ b c 32<;⑤ )(b am m b a +>+,(1≠m 的实数)其中正确的结论有( ) B A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2、(2007南充)如图是二次函数y =ax 2+bx +c 图象的一部分,图象过点A (-3,0),对称轴为x =-1.给出四个结论:①b 2>4ac ;②2a +b =0;③a -b +c =0;④5a <b .其中正确结论是( ).B (A )②④ (B )①④ (C )②③ (D )①③ 3、(2007广州市)二次函数221y x x =-+与x 轴的交点个数是( )B A .0 B .1 C .2 D .3 4、(2007云南双柏县)在同一坐标系中一次函数y ax b =+和二次函数 2y ax bx =+的图象可能为( )A 5、(2007四川资阳)已知二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象开口向上,并经过点(-1,2),(1,0) . 下 列结论正确的是( )D A. 当x >0时,函数值y 随x 的增大而增大 B. 当x >0时,函数值y 随x 的增大而减小 C. 存在一个负数x 0,使得当x x 0时,函数值y 随x 的增大而增大 D. 存在一个正数x 0,使得当x x 0时,函数值y 随x 的增大而增大 6、(2007山东日照)已知二次函数y =x 2-x+a (a >0),当自变量x 取m 时,其相应的函数值小于0,那么 下列结论中正确的是( )B (A) m -1的函数值小于0 (B) m -1的函数值大于0 (C) m -1的函数值等于0 (D) m -1的函数值与0的大小关系不确定 二、填空题 1、(2007湖北孝感)二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图8所示, 且P =| a -b +c |+| 2a +b |,Q =| a +b +c |+| 2a -b |, 则P 、Q 的大小关系为 . P二次函数各种题型汇总
二次函数各种题型汇总一、利用函数的对称性解题 (一)用对称比较大小 例1、已知二次函数y=x2-3x-4,若x 2-3/2>3/2-x 1 >0,比较y 1 与y 2 的大小 解:抛物线的对称轴为x=3/2,且3/2-x 1>0,x 2 -3/2>0,所以x 1 在对称轴的左侧,x 2 在对称 轴的右侧, 由已知条件x 2-3/2>3/2-x 1 >0,得:x2到对称轴的距离大于x 1 到对称轴的距离,所以y 2 > y 1 (二)用对称求解析式 例1、已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(-1,4),与x轴两交点间的距离为6,求此抛物线的解析式。 解:因为顶点坐标为(-1,4),所以对称轴为x=-1,又因为抛物线与x轴两交点的距离为6,所以两交点的横坐标分别为: x 1=-1-3=-4,x 2 =-1+3=2 则两交点的坐标为(-4,0)、(2,0); 设抛物线的解析式为顶点式:ya(x+1)+4,把(2,0)代入得a=-4/9。 所以抛物线的解析式为y=-4/9(x+1)2+4 (三)用对称性解题 例1:关于x的方程x2+px+1=0(p>0)的两根之差为1,则p等于() A. 2 B. 4 C. 3 D. 5 解:设方程x2+px+1=0(p>0)的两根为x1、x2,则抛物线y=x2+px+1与x轴两交点的坐标为(x1,0),(x2,0)。因为抛物线的对称轴为x=-p/2,所以x1=-p/2-1/2,x2=-p/2+1/2,因为x1x2=1。所以(-p/2-1/2)(-p/2+1/2=1,p2=5 因为p>0,所以p=5例2、如图,已知抛物线y=x2 +bx+c的对称轴为x=2,点A,B均在抛物线上,且AB与x轴平行,其中点A的坐标为(0,3),则点B的坐标为() A.(2,3) B.(3,2) C.(3,3) D.(4,3)
二次函数七大综合专题
二次函数七大综合专题 二次函数与三角形的综合题
函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 ① 求相似三角形的第三个顶点时,先要分析已知三角形的边.和角.的特点,进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 ②或利用已知三角形中对应角,在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。 ③若两个三角形的各边均未给出,则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度,之后利用相似来列方程求解。 如图,已知抛物线与交于A(-1,0)、E(3,0)两点,与轴交于点B(0,3)。 (1) 求抛物线的解析式; (2) 设抛物线顶点为D ,求四边形AEDB 的面积; (3) △AOB 与△DBE 是否相似?如果相似,请给以证明;如果不相似,请说明理由。 (2016?益阳第21题) 如图,顶点为A 的抛物线经过坐标原点O ,与x 轴交于点B . (1)求抛物线对应的二次函数的表达式; (2)过B 作OA 的平行线交y 轴于点C ,交抛物线于点D ,求证:△OCD ≌△OAB ; (3)在x 轴上找一点P ,使得△PCD 的周长最小,求出P 点的坐标. x y
考点:考查二次函数,三角形的全等、三角形的相似。 解析:(1 )∵抛物线顶点为A , 设抛物线对应的二次函数的表达式为2(1y a x =+, 将原点坐标(0,0)代入表达式,得1 3a =-. ∴抛物线对应的二次函数的表达式为:213y x =-+ . (2)将0y = 代入213y x =-+ 中,得B 点坐标为:, 设直线OA 对应的一次函数的表达式为y kx =, 将A 代入表达式y kx = 中,得k = , ∴直线OA 对应的一次函数的表达式为y x =. ∵BD ∥AO ,设直线BD 对应的一次函数的表达式为y b =+, 将 B 代入y b = +中,得2b =- , ∴直线BD 对应的一次函数的表达式为2y x =-. 由2213y x y x ?= -????=-?? 得交点D 的坐标为(3)-, 将0x = 代入2y =-中,得C 点的坐标为(0,2)-, 由勾股定理,得:OA =2=OC ,AB =2=CD , OB OD ==. 在△OAB 与△OCD 中,OA OC AB CD OB OD =?? =??=? , ∴△OAB ≌△OCD . (3)点C 关于x 轴的对称点C '的坐标为(0,2),则C D '与x 轴的交点即为点P ,它使得△PCD 的周长最小. 过点D 作DQ ⊥y ,垂足为Q ,则PO ∥DQ .∴C PO '?∽C DQ '?. ∴ PO C O DQ C Q '=', 25 = ,∴PO =, ∴ 点P 的坐标为(. 二次函数与平行四边形的综合题 7
九年级二次函数题型总结
. : .: 增大而减小随在对称轴右侧,增大而增大;随在对称轴左侧,开口向下增大而增大随在对称轴右侧,增大而减小;随在对称轴左侧,开口向上x y x y x y x y 一、二次函数的定义 1.下列函数中属于一次函数的是( ),属于反比例函数的是( ),属于二次函数的是( ) A .y =x(x +1) B .xy =1 C .y =2x 2 -2(x +1) 2 D .132 +=x y 2.当m 时,函数y =(m -2)x 2 +4x -5(m 是常数)是二次函数. 3.若1 222 )3(---=m m x m m y 是二次函数,则m = . 4.若函数y =3x 2 的图象与直线y=kx +3的交点为(2,b),则k= ,b = . 5.已知二次函数y =―4x 2-2mx+m 2与反比例函数24 m y x +=的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是―2,则m 的值是 . 二、二次函数的图象与性质 ) (44)()(22),() 44,2)(2 2 2 2 y x a b a c y k y h x a b x h x a b x k h a b a c a b a a k h x a y c bx ax y 代入求或将值小最大值小最大时,最值:当时, 最值:当对称轴:对称轴:顶点顶点(开口方向开口方向公式-===-==- =--↓↓+-=→----++= 1.对于抛物线y =ax 2,下列说法中正确的是( ) A .a 越大,抛物线开口越大 B .a 越小,抛物线开口越大 C .|a |越大,抛物线开口越大 D .|a |越小,抛物线开口越大 2.下列说法中错误的是( ) A .在函数y =-x 2中,当x =0时,y 有最大值0 B .在函数y =2x 2 中,当x >0时,y 随x 的增大而增大 C .抛物线y =2x 2,y =-x 2,22 1x y -=中,抛物线y =2x 2的开口最小,抛物线 y =-x 2的开口最大 D .不论a 是正数还是负数,抛物线y =ax 2的顶点都是坐标原点 3.二次函数 y=2(x -3)2+5的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为( ) A .开口向下,对称轴x=-3,顶点坐标为(3,5) B .开口向上,对称轴x =3,顶点坐标为(3,5) C .开口向上,对称轴x=-3,顶点坐标为(-3,5) D .开口向下,对称轴x=-3,顶点坐标为(-3,-5) 4.已知抛物线的解析式为y=(x -2)2+1,则抛物线的顶点坐标是 ( ) A .(-2,1) B .(2,1) C .(2,-1) D .(1,2) 5.已知二次函数y =x 2-4x +5的顶点坐标为( ) A .(-2,-1) B .(2,1) C .(2,-1) D .(-2,1) 6.抛物线y=x 2+2x-1的对称轴是 ,当x 时,y 随x 的增大而增大;当x 时,y 随x 的增大而减小. 7.抛物线c bx x y ++=23的顶点坐标为)0,3 2 (,则b= ,c= . 8.函数y =x 2―2x -l 的最小值是 ;函数y =-x 2+4x 的最大值是 . 9.已知抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上,则a = . 配方
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二次函数题型分类总结 题型1、二次函数的定义 (考点:二次函数的二次项系数不为0,且二次函数的表达式必须为整式) 1、下列函数中,是二次函数的是 . ①y=x 2-4x+1; ②y=2x 2; ③y=2x 2 +4x ; ④y=-3x ; ⑤y=-2x -1; ⑥y=mx 2 +nx+p ; ⑦y =(4,x) ; ⑧y=-5x 。 2、在一定条件下,若物体运动的路程s (米)与时间t (秒)的关系式为s=5t 2 +2t ,则t =4秒时,该物体所经过的路程为 。 3、若函数y=(m 2+2m -7)x 2 +4x+5是关于x 的二次函数,则m 的取值范围为 。 4、若函数y=(m -2)x m -2 +5x+1是关于x 的二次函数,则m 的值为 。 5、已知函数y=(m -1)x 21 m +5x -3是二次函数,求m 的值。 题型2、二次函数的对称轴、顶点、最值 (技法:如果解析式为顶点式y=a(x -h)2 +k ,则最值为k ;如果解析式为一般式y=ax 2+bx+c 则最值为4ac-b 2 4a 1.抛物线y=2x 2+4x+m 2-m 经过坐标原点,则m 的值为 。 2.抛物y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为(1,3),则b = ,c = . 3.抛物线y =x 2 +3x 的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.若抛物线y =ax 2 -6x 经过点(2,0),则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) 5.若直线y =ax +b 不经过二、四象限,则抛物线y =ax 2 +bx +c( ) A.开口向上,对称轴是y 轴 B.开口向下,对称轴是y 轴 C.开口向下,对称轴平行于y 轴 D.开口向上,对称轴平行于y 轴 6.已知抛物线y =x 2 +(m -1)x -14 的顶点的横坐标是2,则m 的值是_ . 7.抛物线y=x 2+2x -3的对称轴是 。 8.若二次函数y=3x 2+mx -3的对称轴是直线x =1,则m = 。 9.当n =______,m =______时,函数y =(m +n)x n +(m -n)x 的图象是抛物线,且其顶点在原点,此抛物线的开口_______. 10.已知二次函数y=x 2 -2ax+2a+3,当a= 时,该函数y 的最小值为0. 11.已知二次函数y=mx 2+(m -1)x+m -1有最小值为0,则m = ______ 。 12.已知二次函数y=x 2-4x+m -3的最小值为3,则m = 。 题型3、函数y=ax 2+bx+c 的图象和性质 1.抛物线y=x 2 +4x+9的对称轴是 。 2.抛物线y=2x 2 -12x+25的开口方向是 ,顶点坐标是 。 3.试写出一个开口方向向上,对称轴为直线x =-2,且与y 轴的交点坐标为(0,3)的抛物线的解析式 。 4.通过配方,写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标: (1)y=12 x 2-2x+1 ; (2)y=-3x 2 +8x -2; (3)y=-14 x 2+x -4 5.把抛物线y=x 2+bx+c 的图象向右平移3个单位,在向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x 2 -3x+5,试求b 、c 的值。 6.把抛物线y=-2x 2 +4x+1沿坐标轴先向左平移2个单位,再向上平移3个单位,问所得的抛物线有没有最大值,若有,求出该最大值;若没有,说明理由。 7.某商场以每台2500元进口一批彩电。如每台售价定为2700元,可卖出400台,以每100元为一个价格单位,若将每台提高一个单位价格,则会少卖出50台,那么每台定价为多少元即可获得最大利润?最大利润是多少元? 题型4、函数y=a(x -h)2的图象与性质 1.填表: