2019届浙江省宁波市镇海中学高三下学期高考适应性考试数学试题解析
绝密★启用前
2019届浙江省宁波市镇海中学高三下学期高考适应性考试数
学试题
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题
1．已知集合3{|0}2
x
A x Z x -=∈≥+，
B ＝{y ∈N |y ＝x ﹣1，x ∈A }，则A ∪B ＝（ ） A ．{﹣1，0，1，2，3} B ．{﹣1，0，1，2}
C ．{0，1，2}
D ．{x ﹣1≤x ≤2}
答案：A
解出集合A 和B 即可求得两个集合的并集. 解析：
∵集合3{|
0}2
x
A x Z x -=∈≥=+{x ∈Z |﹣2＜x ≤3}＝{﹣1，0，1，2，3}，
B ＝{y ∈N |y ＝x ﹣1，x ∈A }＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，
∴A ∪B ＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}． 故选：A ． 点评：
此题考查求集合的并集，关键在于准确求解不等式，根据描述法表示的集合，准确写出集合中的元素. 2．
“是函数()()1f x ax x =-在区间
内单调递增”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案：C
()()21f x ax x ax x =-=-，令20,ax x -=解得1210,x x a
==
当0a ≤，()f x 的图像如下图
当0a >，()f x 的图像如下图
由上两图可知，是充要条件
【考点定位】考查充分条件和必要条件的概念，以及函数图像的画法. 3．若2m
＞2n
＞1，则（ ） A ．
11m n
＞ B ．πm ﹣n
＞1
C ．ln （m ﹣n ）＞0
D ．
112
2
log m log n ＞
答案：B
根据指数函数的单调性，结合特殊值进行辨析. 解析：
若2m ＞2n ＞1＝20，∴m ＞n ＞0，∴πm ﹣n ＞π0＝1，故B 正确； 而当m 12=
，n 1
4
=时，检验可得，A 、C 、D 都不正确， 故选：B ． 点评：
此题考查根据指数幂的大小关系判断参数的大小，根据参数的大小判定指数幂或对数的大小关系，需要熟练掌握指数函数和对数函数的性质，结合特值法得出选项.
4．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，
,l α?,l β?则 （ ）
A ．α∥β且l ∥α
B ．α⊥β且l ⊥β
C ．α与β相交，且交线垂直于l
D ．α与β相交，且交线平行于l
答案：D
解析：试题分析：由m ⊥平面α，直线l 满足l m ⊥，且l α?，所以//l α，又n ⊥平面β，,l n l β⊥?，所以l β//，由直线,m n 为异面直线，且m ⊥平面,n α⊥平面β，则α与β相交，否则，若//αβ则推出//m n ，与,m n 异面矛盾，所以,αβ相交，且交线平行于l ，故选D ．
【考点】平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论．
5．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
答案：C
试题分析：通过对以下四个四棱锥的三视图对照可知，只有选项C 是符合要求的.
【考点】三视图
6．已知x，y满足不等式
2
24
x
y
x y t
x y
≥
?
?≥
?
?
+≤
?
?+≤
?
，且目标函数z＝9x+6y最大值的变化范围[20，
22]，则t的取值范围（）
A．[2，4] B．[4，6] C．[5，8] D．[6，7] 答案：B
作出可行域，对t进行分类讨论分析目标函数的最大值，即可求解.
解析：
画出不等式组
24
x
y
x y
≥
?
?
≥
?
?+=
?
所表示的可行域如图△AOB
当t≤2时，可行域即为如图中的△OAM，此时目标函数z＝9x+6y在A（2，0）取得最大值Z＝18不符合题意
t＞2时可知目标函数Z＝9x+6y在
2
24
x y t
x y
+=
?
?
+=
?
的交点（
824
33
t t
--
，）处取得最大值，
此时Z＝t+16
由题意可得，20≤t+16≤22解可得4≤t≤6
故选：B．
点评：
此题考查线性规划，根据可行域结合目标函数的最大值的取值范围求参数的取值范围，涉及分类讨论思想，关键在于熟练掌握截距型目标函数的最大值最优解的处理办法.
7．已知,a r b r 是平面内互不相等的两个非零向量,且1
,a a b =-r r r 与b r 的夹角为150o ,则
b r
的取值范围是（ ）
A ．
B ．[1,3]
C ．
D ．[3,2]
答案：C
试题分析：如下图所示，,,AB a AD b ==u u u r u u u r r r 则AC DB a b ==-u u u r u u u r r r ，因为a b -r r 与b r 的夹
角为150o ，即150DAB ∠=?，所以30ADB ∠=?，设DBA θ∠=，则0150θ<
在三角形ABD 中，由正弦定理得
sin 30sin b a θ
=
?
r r
，所以sin 2sin sin 30a b θθ=
?=?
r r
，
所以02b <≤r
，故选C ．
【考点】1．向量加减法的几何意义；2．正弦定理；3．正弦函数性质．
8．设双曲线22
221x y a b
-=（a>0,b>0）的右焦点为F ，右顶点为A,过F 作AF 的垂线与双
曲线交于B,C 两点，过B,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D ．若D 到直线BC 的距离小于
22a a b + （ ）
A ．(1,0)(0,1)-U
B ．(,1)(1,)-∞-+∞U
C ．(2,0)2)-U
D ．(,2)2,)-∞+∞U 答案：A 解析：
由题意,
根据双曲线的对称性知D 在x 轴上，设,0)D
x （，则由 BD AB ⊥得：
，
因为D 到直线BC 的距离小于22a a b ++，所以
，
即01b a
<<，所以双曲线渐近线斜率1,0)(0,1)b
k a =±∈-?（，故选A ．
9．已知符号函数sgnx 10
0010x x x ??
==??-?
，＞，，＜f （x ）是定义在R 上的减函数，g （x ）＝f （x ）﹣
f （ax ）（a ＞1），则（ ）
A ．sgn [g （x ）]＝sgn x
B ．sgn [g （x ）]＝﹣sgnx
C ．sgn [g （x ）]＝sgn [f （x ）]
D ．sgn [g （x ）]＝﹣sgn [f （x ）]
答案：A
根据符号函数的解析式，结合f （x ）的单调性分析即可得解. 解析：
根据题意，g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ），而f （x ）是R 上的减函数，
当x ＞0时，x ＜ax ，则有f （x ）＞f （ax ），则g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ）＞0，此时sgn [g （ x ）]＝1，
当x ＝0时，x ＝ax ，则有f （x ）＝f （ax ），则g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ）＝0，此时sgn [g （ x ）]＝0，
当x ＜0时，x ＞ax ，则有f （x ）＜f （ax ），则g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ）＜0，此时sgn [g （ x ）]＝﹣1，
综合有：sgn [g （ x ）]＝sgn （x ）； 故选：A ． 点评：
此题考查函数新定义问题，涉及函数单调性辨析，关键在于读懂定义，根据自变量的取值范围分类讨论.
10．已知函数()2x f x x x ln a ??
=- ???
，关于x 的方程f （x ）＝a 存在四个不同实数根，
则实数a 的取值范围是（ ） A ．（0，1）∪（1，e ）
B ．10e ?
? ???
，
C ．11e ?? ???
，
D ．（0，1）
答案：D
原问题转化为22
1x x a a -=有四个不同的实根，换元处理令
t =，对g （t
）
21lnt t t ?
=--??
进行零点个数讨论.
解析：
由题意，a ＞0，令
t =
， 则f （x ）＝a ?2x x x ln a a ??-= ???
?22
1x x a a -
=
?2
21t =
?210lnt t t ?
-=??
． 记g （t
）2
1lnt t t ?=-??
．
当t ＜0时，g （t ）＝2ln （﹣t
）t 1t
-）单调递减，且g （﹣1）＝0， 又g （1）＝0，∴只需g （t ）＝0在（0，+∞）上有两个不等于1的不等根．
则2
10lnt t t ?-=??
2
21
tlnt
t =-， 记h （t ）221
tlnt
t =
-（t ＞0且t ≠1）， 则h ′（t ）()()
(
)
22
2222222
12122141(1)(1)
t t lnt lnt t t lnt t t t ??
-+- ?+--+??==--．
令φ（t ）2211t lnt t -=-+，则φ′（t ）()()
2222
2222
21211(1)(1)(1)
t t t t t t t t t +---=-=-++＜0．
∵φ（1）＝0，∴φ（t ）221
1
t lnt t -=-+在（0，1）大于0，在（1，+∞）上小于0．
∴h ′（t ）在（0，1）上大于0，在（1，+∞）上小于0， 则h （t ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减． 由211222
112
t t tlnt lnt lim
lim t →→+==-
1，即a ＜1．
∴实数a 的取值范围是（0，1）． 故选：D ． 点评：
此题考查方程的根与函数零点问题，关键在于等价转化，将问题转化为通过导函数讨论函数单调性解决问题.
二、填空题 11．已知复数z 1a i
i
+=
-是纯虚数，则实数a ＝_____，|z |＝_____． 答案：1 1
根据复数运算法则计算复数z 11
22
a a i -+=+，根据复数的概念和模长公式计算得解. 解析： 复数z ()()()()()()11111
111222
a i i a a i a i a a i i i i ++-+++-+=
===+--+， ∵复数z 是纯虚数，∴1
02
102
a a -?=???+?≠??，解得a ＝1，
∴z ＝i ，∴|z |＝1， 故答案为：1，1． 点评：
此题考查复数的概念和模长计算，根据复数是纯虚数建立方程求解，计算模长，关键在于熟练掌握复数的运算法则.
12．已知在△ABC 中，AB =u u u r
（2sin 32°，2cos 32°），BC =u u u r （cos 77°，﹣cos 13°），
则AB u u u r ?BC =u u u
r _____，△ABC 的面积为_____．
答案：
2
①根据向量数量积的坐标表示结合两角差的正弦公式的逆用即可得解；②结合①求出
2BA BC cos ABC AB BC
?∠==u u u r u u u r u u u r u u u r ，根据面积公式即可得解.
解析：
①2327723213AB BC sin cos cos cos ?=???-???=u u u r u u u r
2（sin 32°?cos 77°﹣cos 32°?
sin 77°）()23277245sin sin =?-?=-?=
②21AB BC ==u u u r u u u r ，，2BA BC cos ABC AB BC
?∠==u u u r u u u r
u u u r u u u r ，
∴2
sin ABC ∠=
，
∴112122ABC S AB BC sin ABC =
?∠=??=
V u u u r u u u r ．
故答案为： 点评：
此题考查平面向量与三角函数解三角形综合应用，涉及平面向量数量积的坐标表示，三角恒等变换，根据三角形面积公式求解三角形面积，综合性强.
13．已知多项式(x ＋1)3(x ＋2)2＝x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5，则a 4＝________，a 5＝________． 答案：16 4
只需令x ＝0，易得a 5，再由(x ＋1)3(x ＋2)2＝(x ＋1)5＋2(x ＋1)4＋(x ＋1)3，可得a 4＝4
5C ＋23
4C ＋2
3C . 解析：
令x ＝0，得a 5＝(0＋1)3(0＋2)2＝4，
而(x ＋1)3(x ＋2)2＝(x ＋1)3[(x ＋1)2＋2(x ＋1)＋1]＝(x ＋1)5＋2(x ＋1)4＋(x ＋1)3； 则a 4＝4
5C ＋23
4C ＋2
3C ＝5＋8＋3＝16. 故答案为：16,4. 点评：
本题主要考查了多项式展开中的特定项的求解，可以用赋值法也可以用二项展开的通项公式求解，属于中档题.
14．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则D （ξ1）＝_____，E （ξ1）﹣E （ξ2）＝_____． 答案：2 0.2
分别求出随机变量ξ1和ξ2的分布列，根据期望和方差公式计算得解. 解析：
设a ，b ∈{1，2，3，4，5}，则p （ξ1＝a ）1
=
，其ξ1分布列为：
E （ξ1）1
5=
?（1+2+3+4+5）＝3． D （ξ1）1
5
=?[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]＝2．
ξ2＝1.4|a ﹣b |的可能取值分别为：1.4，2.8，4.2，5.6， P （ξ2＝1.4）25425
=
=e，P （ξ2＝2.8）253310==e，P （ξ2
＝4.2）2522
10==
e，P （ξ2＝5.6）
2511
10
==e，可得分布列．
E （ξ2）＝1.425?
+2.8310?+4.22
10
?+5.6110?=2.8．
∴E （ξ1）﹣E （ξ2）＝0.2． 故答案为：2，0.2． 点评：
此题考查随机变量及其分布，关键在于准确求出随机变量取值的概率，根据公式准确计
算期望和方差.
15．已知二面角α﹣l ﹣β为60°，在其内部取点A ，在半平面α，β内分别取点B ，C ．若点A 到棱l 的距离为1，则△ABC 的周长的最小值为_____． 答案：3
作A 关于平面α和β的对称点M ，N ，交α和β与D ，E ，连接MN ，AM ，AN ，DE ，根据对称性三角形ADC 的周长为AB +AC +BC ＝MB +BC +CN ，当四点共线时长度最短，结合对称性和余弦定理求解. 解析：
作A 关于平面α和β的对称点M ，N ，交α和β与D ，E ， 连接MN ，AM ，AN ，DE ，
根据对称性三角形ABC 的周长为AB +AC +BC ＝MB +BC +CN ，
当M ，B ，C ，N 共线时，周长最小为MN 设平面ADE 交l 于，O ，连接OD ，OE ， 显然OD ⊥l ，OE ⊥l ，
∠DOE ＝60°，∠MOA+∠AON ＝240°,OA ＝1， ∠MON ＝120°，且OM ＝ON ＝OA ＝1，根据余弦定理， 故MN 2
＝1+1﹣2×1×1×cos 120°＝3， 故MN 3=． 故答案为：3．
点评：
此题考查求空间三角形边长的最值，关键在于根据几何性质找出对称关系，结合解三角形知识求解. 16．已知x ，y ＞0，且281
1x y
+=，则x +y 的最小值为_____． 答案：6
处理变形x +y ＝x （281x y +）+y 8x y x y
=++结合均值不等式求解最值. 解析：
x ，y ＞0，且
281
1x y
+=，
则x +y ＝x （
281x y +）+y 8x y x y
=++≥=6， 当且仅当
8x
y x y
==时取等号，此时x ＝4，y ＝2，取得最小值6． 故答案为：6 点评：
此题考查利用均值不等式求解最值，关键在于熟练掌握均值不等式的适用条件，注意考虑等号成立的条件.
17．在正奇数非减数列{}1,3,3,3,5,5,5,5,5,???中，每个正奇数k 出现k 次.已知存在整
数b 、c 、d ，对所有的整数n 满足n a b d =+，其中[]
x 表示不超过x 的最
大整数.则b c d ++等于______. 答案：2 解析：
将已知数列分组为（1）()(),3,3,3,5,5,5,5,5,???，() 21,21,,21k k k --???-， 共21k -个组.
设n a 在第k 组，21n a k =-，
则有135231135211k n k +++???+-+≤<+++???+-+， 即()2
2111k n k -+≤<+.
注意到0k >1k <≤
.
所以，11k ?==+?.
因此，21n a =+.
故()2112b c d ++=+-+=.
三、解答题
18．已知△ABC 三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且3sin 2A +3sin 2B ＝
4sinAsinB +3sin 2
C ． （1）求cosC 的值；
（2）若a ＝3，c =
ABC 的面积．
答案：（1）
23；（2． （1）利用正弦定理对已知代数式化简，根据余弦定理求解余弦值； （2）根据余弦定理求出b ＝1或b ＝3，结合面积公式求解. 解析：
（1）已知等式3sin 2
A +3sin 2
B ＝4sinAsinB +3sin 2
C ，利用正弦定理化简得：3a 2
+3b 2
﹣3c 2
＝4ab ，即a 2+b 2﹣c 24
3
=
ab ， ∴cosC 2222
23
a b c ab +-==；
（2）把a ＝3，c =3a 2+3b 2﹣3c 2
＝4ab 得：b ＝1或b ＝3，
∵cosC 2
3
=
，C 为三角形内角，
∴sinC ==
，
∴S △ABC 12=
absinC 12=?3×b =
b ，
则△ABC ． 点评：
此题考查利用正余弦定理求解三角形，关键在于熟练掌握正弦定理进行边角互化，利用余弦定理求解边长，根据面积公式求解面积. 19．如图，在AOB V 中，已知2
AOB π
∠=
，6
∠=
BAO π
，4AB =，D 为线段AB 的
中点，AOC △是由AOB V 绕直线AO 旋转而成，记二面角B AO C --的大小为θ.
（1
）当平面COD ⊥平面AOB 时，求θ的值； （2）当23
π
θ=
时，求二面角--B OD C 的余弦值. 答案：(1) 2
πθ=
;(2)55
-
. (1)平面COD ⊥平面AOB ,建立坐标系，根据法向量互相垂直求得;(2)求两个平面的法向量的夹角. 解析：
(1) 如图，以O 为原点，在平面OBC 内垂直于OB 的直线为x 轴,,OB OA 所在的直线分别为y 轴,z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，则
(0,0,23),(0,2,0),3),(2sin ,2cos ,0)A B D C θθ
，设1(,,)n x y z =u r 为平面COD 的一个法向量,由1100n OD n OC ??=???=??u r u u u r u r u u u r 得sin cos 030x y y z θθ+=???+=?
?
,取sin z θ=,则1(3cos ,3sin ,sin )n θθθ=-r
因为平面AOB 的一个法向量为2(1,0,0)n =u u r 由平面COD ⊥平面AOB ，得120n n ?=u r u u r
所
30θ=即2
πθ=
.
(2) 设二面角--B OD C 的大小为α，当2,3
π
θ=
平面COD
的一个法向量为12223,,sin )=(-,333222n πππ=-
r
12
12
cos 5n n n n α?==
=-r r r r ‖, 综上,二面角--B OD C
的余弦值为5
-. 点评：
本题考查用空间向量求平面间的夹角, 平面与平面垂直的判定,二面角的平面角及求法,难度一般.
20．已知数列{a n }的各项均为正，S n 为数列{a n }的前n 项和，a n 2+2a n ＝4S n +3． （1）求{a n }的通项公式；
（2）设b n 3n
n
a =
，求数列{b n }的前n 项和． 答案：（1）a n ＝2n +1；（2）22
3
n n +-．
（1）根据题意求出首项，再由（a n +12
+2a n +1）﹣（a n 2
+2a n ）＝4a n +1，求得该数列为等差数列即可求得通项公式；
（2）利用错位相减法进行数列求和. 解析：
（1）∵a n 2+2a n ＝4S n +3，
∴a 12+2a 1＝4S 1+3，即2
11230a a --=，
解得：a 1＝3或a 1＝﹣1（舍）， 又∵a n +12
+2a n +1＝4S n +1+3，
∴（a n +12
+2a n +1）﹣（a n 2
+2a n ）＝4a n +1， 整理得：（a n +1﹣a n ）（a n +1+a n ）＝2（a n +1+a n ）， 又∵数列{a n }的各项均为正， ∴a n +1﹣a n ＝2，
∴数列{a n }是首项为3、公差为2的等差数列， ∴数列{a n }的通项公式a n ＝3+2（n ﹣1）＝2n +1； （2）由（1）可知b n 21
33
n n n a n +=
=，
记数列{b n }的前n 项和为T n ，则
T n ＝3?
13+5?213++L （2n +1）?13n ， 13T n ＝3?213+5?313?…+（2n ﹣1）?13
n +（2n +1）?113n +， 错位相减得：23T n ＝1+2（231133+?13n +L ）﹣（2n +1）?11
3
n +
＝1+221111121
331313n n n -+??- ?
+???--
142433
n n ++=
-， ∴T n 32=（1424
33n n ++-）＝223n n +-．
点评：
此题考查求等差数列的基本量，根据递推关系判定等差数列，根据错位相减进行数列求和，关键在于熟记方法准确计算.
21．已知抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0），焦点F 到准线的距离为3，抛物线E 上的两个动点A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），其中x 1≠x 2且x 1+x 2＝4．线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点 C ．
（1）求抛物线E 的方程； （2）求△ABC 面积的最大值． 答案：（1）y 2＝6x （2
）
3
． （1）根据抛物线定义，写出焦点坐标和准线方程，列方程即可得解；
（2）根据中点坐标表示出|AB |和点到直线的距离，得出面积，利用均值不等式求解最大值. 解析：
（1）抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0），焦点F （2
p
，0）到准线x 2p =-的距离为3，可得p
＝3，即有抛物线方程为y 2
＝6x ；
（2）设线段AB 的中点为M （x 0，y 0），则12
022
x x x +=
=， y 012
2
y y +=，k AB 21212221211206366
y y y y y y x x y y y --====-+-，
则线段AB 的垂直平分线方程为y ﹣y 00
3
y =-
（x ﹣2），① 可得x ＝5，y ＝0是①的一个解，所以AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点， 且点C （5，0），由①可得直线AB 的方程为y ﹣y 003y =（x ﹣2），即x 03
y
=（y ﹣y 0）+2 ②
代入y 2
＝6x 可得y 2
＝2y 0（y ﹣y 0）+12，即y 2
﹣2y 0y +2y 02
＝0 ③， 由题意y 1，y 2是方程③的两个实根，且y 1≠y 2，
所以△＝4y 02
﹣4（2y 02
﹣12）＝﹣4y 02
+48＞0，解得﹣
y 0＜
， |AB
|=
==
==
又C （5，0）到线段AB 的距离
h ＝|CM
|== 所以S △ABC 1
2
=
|AB |
h
=
=≤=，
当且仅当9+y 02＝24﹣2y 0
2，即y 0
A
，B
，
或A
，-
，B
所以
S △ABC ． 点评：
此题考查根据焦点和准线关系求抛物线方程，根据直线与抛物线位置关系求解三角形面积的最值，表示三角形的面积关系常涉及韦达定理整体代入，抛物线中需要考虑设点坐标的技巧，处理最值问题常用函数单调性求解或均值不等式求最值. 22．已知函数()(2)ln(1)()f x x x ax a R =++-∈
（Ⅰ）若1a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）若()0f x ≥在[
)0,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；
（Ⅲ）若数列{}n a 的前n 项和2
31n S n n =+-，4
n n
b a =
，求证：数列{}n b 的前n 项和ln(1)(2)n T n n <++.
答案：(Ⅰ)0x y -=；(Ⅱ)(,2]-∞；(Ⅲ)证明见解析.
试题分析：()1将1a =，求出切线方程()2求导后讨论当2a ≤时和2a >时的单调性证明，求出实数a 的取值范围()3先求出n a 、n b 的通项公式，利用当0x >时，
()()2ln 12x x x ++>得()2ln 12
x
x x +>
+，下面证明：()()ln 12n T n n <++ 解析：（Ⅰ）因为1a =，所以()()()2ln 1f x x x x =++-，
()()002ln100f =+?-=，切点为()0,0.
由()()2ln 111x f x x x +=++
-+'，所以()()02
0ln 011101
f '+=++-=+，所以曲线()y f x =在()0,0处的切线方程为()010y x -=-，即0x y -=
（Ⅱ）由()()2
ln 11
x f x x a x +=++-+'，令()()[)()0,g x f x x ∈'=+∞， 则()()()
22
110111x g x x x x =
-=≥+++'（当且仅当0x =取等号）.故()f x '在[)0,+∞上为增函数.
①当2a ≤时，()()00f x f ''≥≥,故()f x 在[
)0,+∞上为增函数， 所以()()00f x f ≥=恒成立，故2a ≤符合题意；
②当2a >时，由于()020f a ='-<，()
1
110a
a f e e
-=+
>'，根据零点存在定理， 必存在()
0,1a
t e ∈-，使得()0f t '=，由于()f x '在[
)0,+∞上为增函数，
故当()0,x t ∈时，()0f t '<,故()f x 在()0,x t ∈上为减函数，
所以当()0,x t ∈时，()()00f x f <=,故()0f x ≥在[
)0,+∞上不恒成立，所以2a >不符合题意.综上所述，实数a 的取值范围为(]
,2-∞
（III ）证明：由2
4
,13,1331,.22,22,2
1
n n n n n S n n a b n n n n ?=?=??=+-?=?=?
?+≥??≥?+? 由（Ⅱ）知当0x >时，()()2ln 12x x x ++>，故当0x >时，()2ln 12
x
x x +>
+， 故2
222ln 1212n n n n
?
??+>= ?+??+，故1122ln 11n
n k k k k ==??+> ?+??∑∑.下面证明：
()()ln 12n T n n <++
因为
1
222222ln 1ln 1ln 1ln 1ln 1ln 11231n
k k n n =????????????
+=++++++???++++ ? ? ? ? ? ?-????????????∑
()()()()12456
12ln 3ln ln 12ln223412n n n n n n n n ++++??=?????????==++- ?
-??
而，4222321311
n T n =
+++???++++ 1222222224111111213122131233n
n n k T T k
n n ==+++???+=+++???+=+-=-++++++++∑
所以，()()1
ln 12ln23n n n T ++->-，即：()()1
ln 12ln23
n n n n T T ++>-
+> 点睛：本题考查了利用导数的几何意义求出参数及证明不等式成立，借助第二问的证明过程，利用导数的单调性证明数列的不等式，在求解的过程中还要求出数列的和，计算较为复杂，本题属于难题．