初中数学竞赛《圆》

2、（05）已知点I 是锐角三角形ABC 的内心，A1，B1，C1分别是点I 关于边BC ，CA ，AB 的对称点。若点B 在△A1B1C1的外接圆上，则∠ABC 等于

（ ）

A 、30°

B 、45°

C 、60°

D 、90°

3．（06）正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，

交AC 于点Q ．若QP=QO ，则

QA

QC

的值为（ ） （A ）132-（B ）32 （C ）23+（D ）23+

5（07）已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，

AC 分别相交于点D ，E ．若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，

则⊙O 一定经过△ABC 的（ ）．

（A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心

10．已知线段AB 的中点为C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在线段AB 的延长线上取点D ，使得BD ＝AC ；再以点D 为圆心，

DA 的长为半径作圆，与⊙A 分别相交于F ，G 两点，连接FG 交AB

于点H ，则AH AB

的值为 ．

8、△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心l 作DE ∥BC ，分别与AB 、AC 相交于点D ，E ，则DE 的长为 。

9、已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且AB ＝a ＜1，

以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的

（第3题图）

A

B

C

D

O

Q P

B 1

I

C 1

A 1

B

C

（第8题） C

E

I A

D

B

一点，且DB ＝AB ＝a ，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（ ）。

A 、52a

B 、1

C 、3

2

D 、a

1（04）．D 是△ABC 的边AB 上的一点，使得AB =3AD ，P 是△ABC 外接圆上一点，

使得ACB ADP ∠=∠，求PD

PB

的值.

4．（06）如图，点P 为⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ．过点A 作

PB 的平行线，交⊙O 于点C ．连结PC ，交⊙O 于点E ；连结AE ，并延长AE 交PB 于点K ．求

证：PE ·AC=CE ·KB ．

6．已知AB 为半圆O 的直径，点P 为直径AB 上的任意一点．以点A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，⊙A 与半圆O 相交于点C ；以点

（第4题）

A

B

O

P

E

K

B为圆心，BP为半径作⊙B，⊙B与半圆O相交于点D，且线段CD的中点为M．求证：MP分别与⊙A和⊙B相切．

7．如图，点E，F分别在四边形ABCD的边AD，BC的延长线上，且

满足DE AD

CF BC

=．若CD，FE的延长线相交于点G，△DEG的

外接圆与△CFG的外接圆的另一个交点为点P，连接PA，PB，PC，PD．求证：

（1）AD PD BC PC

=；

（2）△PAB∽△PDC．

11（10）．如图，△ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE和CF分别是△ABD

和△ACD 的外接圆直径，连接EF . 求证： tan EF

PAD BC

∠=．

12（11）、如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点。

初中数学竞赛《圆》历届考题

1（04）．D 是△ABC 的边AB 上的一点，使得AB =3AD ，P 是△ABC 外接圆上一点，

使得ACB ADP ∠=∠，求PD PB

的值.

解：连结AP ，则ADP ACB APB ∠=∠=∠，

所以，△APB ∽△ADP ， …………………………（5分） ∴AD AP AP AB =， 所以223AD AD AB AP =?=，

∴AD AP 3=， …………………………（10分） 所以

3==AD

AP

PD PB . …………………………（15分）

2、（05）已知点I 是锐角三角形ABC 的内心，A1，B1，C1分别是 点I 关于边BC ，CA ，AB 的对称点。若点B 在△A1B1C1的外接 圆上，则∠ABC 等于（ ）

A 、30°

B 、45°

C 、60°

D 、90° 答：C

解：因为IA1＝IB1＝IC1＝2r （r 为△ABC 的内切圆半径），所以

点I 同时是△A1B1C1的外接圆的圆心，设IA1与BC 的交点为D ，则IB ＝IA1＝2ID ，

所以∠IBD ＝30°，同理，∠IBA ＝30°，于是，∠ABC ＝60°

3．（06）正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，交AC 于点Q ．若QP=QO ，则

QA

QC

的值为（ ） （A ）132-（B ）32 （C ）23+（D ）23+

答：D ．

解：如图，设⊙O 的半径为r ，QO=m ，则QP=m ，QC=r ＋m ，

QA=r －m ．在⊙O 中，根据相交弦定理，得QA ·QC=QP ·QD ．

即 (r －m )(r ＋m )=m ·QD ，所以 QD=m

m r 22-．连结DO ，由勾股定理，得QD 2=DO 2＋QO 2

，

即222

22m r m m r +=???

? ??-，解得r m 33=所以， 231313+=-+=-+=m r m r QA QC A 1

B

C

D A

B 1

C 1 I （第3题图）

A

B

C

D

O Q P

4．（06）如图，点P 为⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ．过点A 作

PB 的平行线，交⊙O 于点C ．连结PC ，交⊙O 于点E ；连结AE ，并延长AE 交PB 于点K ．求

证：PE ·AC=CE ·KB ．

证明：因为AC ∥PB ，所以∠KPE=∠ACE ．又PA 是⊙O 的切线， 所以∠KAP=∠ACE ，故∠KPE=∠KAP ，于是

△KPE ∽△KAP ， 所以

KP

KE

KA KP =

， 即 KA KE KP ?=2． 由切割线定理得 KA KE KB ?=2

所以 KB KP =． …………………………10分

因为AC ∥PB ，△KPE ∽△ACE ，于是

AC KP CE PE = 故 AC

KB

CE PE =

， 即 PE ·AC=CE ·KB ． ………………………………15分

5（07）已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相交于点D ，E ．若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经过△ABC 的（ ）．

（A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心 答：（B ）．

解： 如图，连接BE ，因为△ABC 为锐角三角形，所以BAC ∠，

ABE ∠均为锐角．又因为⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，

且DE 为两圆的公共弦，所以BAC ABE ∠=∠． 于是，2BEC BAC ABE BAC ∠=∠+∠=∠．

若△ABC 的外心为1O ，则12BO C BAC ∠=∠，所以，⊙O 一定过△ABC 的外心．故选（B ）．

6．已知AB 为半圆O 的直径，点P 为直径AB 上的任意一点．以点

A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，⊙A 与半圆O 相交于点C ；以点

B 为

圆心，BP 为半径作⊙B ，⊙B 与半圆O 相交于点D ，且线段CD 的中点为M ．求证：MP 分别与⊙A 和⊙B 相切．

证明：如图，连接AC ，AD ，BC ，BD ，并且分别过点C ，D 作AB 的垂线，垂足分别为,E F ，

（第4题）

A

B

C

O

P

E

K

（第3题答案图）

（第13A 题答案图）

则CE ∥DF ．因为AB 是⊙O 的直径，所以90ACB ADB ∠=∠=?．在Rt △ABC 和Rt △ABD 中，由射影定理得2

2

PA AC AE AB ==?，22PB BD BF AB ==?． ……………5分

两式相减可得()22PA PB AB AE BF -=-，

又 ()22()()PA PB PA PB PA PB AB PA PB -=+-=-， 于是有 AE BF PA PB -=-，即PA AE PB BF -=-，

所以PE PF =，也就是说，点P 是线段EF 的中点．因此，MP 是直角梯形CDFE 的中位线，于是有MP AB ⊥，从而可得MP 分别与⊙A 和⊙B 相切．

7．如图，点E ，F 分别在四边形ABCD 的边AD ，BC 的延长线上，且满足

DE AD

CF BC

=

．若CD ，FE 的延长线相交于点G ，△DEG 的外接圆与△CFG 的外接圆的另一个交点为点P ，连

接PA ，PB ，PC ，PD ．求证：

（1）

AD PD

BC PC

=

； （2）△PAB ∽△PDC ．

证明：（1）连接PE ，PF ，PG ，因为PDG PEG ∠=∠， 所以PDC PEF ∠=∠．

又因为PCG PFG ∠=∠，所以△PDC ∽△PEF ，

于是有

,PD PE

CPD FPE PC PF

=∠=∠，从而△PDE ∽△PCF ，所以PD DE PC CF =．又已知DE AD CF BC =，所以，AD PD BC PC

=． ………………10分 （2）由于PDA PGE PCB ∠=∠=∠，结合（1）知，△PDA ∽△PCB ，从而有,PA PD

PB PC

= DPA CPB ∠=∠，所以APB DPC ∠=∠，因此△PAB ∽△PDC ． ………………15分

8、△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心l 作DE ∥BC ，分别

与AB 、AC 相交于点D ，E ，则DE 的长为 163

。 解：如图，设△ABC 的三边长为,,a b c ， 内切圆l 的半径为r ，BC 边上的高为a h ，则

11()22

a ABC ah S a

b

c r ?==++，所以a r a h a b c =++，

A C

D

E

I

r

h a

（第8题）

因为△ADE ∽△ABC ，所以它们对应线段成比例，因此

,a a h r DE

h BC

-= 所以DE ＝()

(1)(1)a a a h r r a a b c a a a h h a b c a b c

-+?=-=-=++++ 故 DE ＝

8(79)16

8796

?+=++。

9、已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且AB ＝a ＜1，以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB ＝AB ＝a ，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（ B ）。

A 、

52a B 、1 C 、3

2

D 、a 解：如图，连接O

E ，OA ，OB ，设∠D ＝a ，则 ∠ECA ＝120°－a ＝∠EAC

又因为∠ABO ＝11

(601802)12022

ABD a a ∠=?+?-=?-

所以 △ACE ≌△ABO ，于是AE ＝OA ＝1

10．已知线段AB 的中点为C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在线段AB 的延长线上取点D ，使得BD ＝AC ；再以点D 为圆心，DA 的长为半径作圆，与⊙A

分别相交于F ，G 两点，连接FG 交AB 于点H ，则AH

AB

的值为 ．

解：如图，延长AD 与⊙D 交于点E ，连接AF ，EF ．由题设知13AC AD =

，1

3

AB AE =，

在△FHA 和△EFA 中，90EFA FHA ∠=∠=?，FAH EAF ∠=∠ 所

以

Rt

△

FHA ∽Rt △EFA ，

AH AF AF AE =.而AF AB =，所以AH AB 1

3

=.

11（10）．如图，△ABC 为等腰三角形，AP 是底边BC 上的高，点D 是线段PC 上的一点，BE

A B

C

O D

E

（第9题）

（第10题）

和CF 分别是△ABD 和△ACD 的外接圆直径，连接EF . 求证： tan EF

PAD BC

∠=． 证明：如图，连接ED ，FD . 因为BE 和CF 都是直

径，所以

ED ⊥BC ， FD ⊥BC ，

因此D ，E ，F 三点共线. …………（5分） 连接AE ，AF ，则

AEF ABC ACB AFD ∠=∠=∠=∠，

所以，△ABC ∽△AEF . …………（10分）

作AH ⊥EF ，垂足为H ，则AH =PD . 由△ABC ∽△AEF 可得

EF AH

BC AP =

， 从而 EF PD

BC AP

=

， 所以 tan PD EF

PAD AP BC ∠==

. …………（20分）

12（11）、如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点。 证明：如图，延长AP 交⊙2O 于点Q

连结AH ，BD ，QC ，QH

∵AB 为直径 ∴∠ADB ＝∠BDQ ＝900 ∴BQ 为⊙2O 的直径 于是CQ ⊥BC ，BH ⊥HQ

∵点H 为△ABC 的垂心 ∴AH ⊥BC ，BH ⊥AC ∴AH ∥CQ ，AC ∥HQ ，四边形ACHQ 为平行四边形 则点P 为CH 的中点。

（第11题）

A

B

1O H

2O

P

D Q