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小学奥数平面几何五大定律

教学目标：

1．熟练掌握五大面积模型

2. 掌握五大面积模型的各种变形知识点拨

一、等积模型

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图12::S S a b =

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD

BCD S S =△△；

反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、鸟头定理

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．

如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△

B A

图⑴ 图⑵

三、蝴蝶定理

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=?②()()1243::AO OC S S S S =++

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： ①22

13::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =；

③S 的对应份数为()2

a b +．

四、相似模型

(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型

S 2S 1D

C B

A S 4

S 3

S 2

S 1O D

A A

D O

S 3

S 2S 1

S 4

F E A

B C

F G

①

AD AE DE AF

AB AC BC AG

===

； ②2

:ADE ABC S S AF AG =△△：．

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；

⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．

相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．五、燕尾定理

在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ??=．上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ?和ACO ?的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着

广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.

典型例题

【例 1】如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =1.5，CF =2．长方形EFGH 的面积为．

【解析】连接DE ，DF ，则长方形EFGH 的面积是三角形DEF 面积的二倍．

三角形DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，

66 1.562262 4.54216.5DEF S =?-?÷-?÷-?÷=△,所以长方形EFGH 面积为33．

【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？

【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四

边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．

证明：连接AG ．(我们通过ABG △把这两个长方形和正方形联系在一起)．

∵在正方形ABCD 中，G 1

AB S AB AB =

??△边上的高， _

_ F

_ A _

_ F

_ G

_ A _ B

_ G

_ C _ E _ F _ D

_ A _ B

_ G

_ C _ E

_ F _ D O F E

D C B

∴1

ABG ABCD S S =

W △(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半) 同理，1

ABG EFGB S S =

△． ∴正方形ABCD 与长方形EFGB 面积相等．长方形的宽8810 6.4=?÷=(厘米)．

【例 2】长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积

是多少？

【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如下图：

可得：1

EHB AHB S S ??=、12FHB CHB S S ??=、12DHG DHC S S ??=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ???=++=

即11

()361822

EHB

BHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ??????++=++=?=；

而EHB BHF DHG EBF S S S S S ????++=+阴影，11111

()()36 4.522228

EBF S BE BF AB BC ?=

??=????=?=．所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S ?=-=-=阴影解法二：特殊点法．找H 的特殊点，把H 点与D 点重合，

那么图形就可变成右图：

E (H )

这样阴影部分的面积就是DEF ?的面积，根据鸟头定理，则有：

1111111

3636363613.52222222

ABCD AED BEF CFD

S S S S S ???=---=-??-???-??=阴影．

【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分

别与P 点连接,求阴影部分面积．

【解析】（法1）特殊点法．由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P 点与A 点重合，则阴影部

分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和1

，所以阴影部分的面

积为211

6()1546

?+=平方厘米．

（法2）连接PA 、PC ．

由于PAD ?与PBC ?的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和

等于正方形ABCD 面积的14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的1

6，

所以阴影部分的面积为211

6()1546

?+=平方厘米．

【例 3】如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积

为．

【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和，以及三角形AOE

和DOG 的面积之和，进而求出四边形EFGO 的面积．

由于长方形ABCD 的面积为158120?=，所以三角形BOC 的面积为1

120304

?=，所以三角形AOE 和

DOG 的面积之和为3

12070204

?-=；

又三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为111203024??

?-= ???

，所以四边形EFGO 的面积为

302010-=．

另解：从整体上来看，四边形EFGO 的面积=三角形AFC 面积+三角形BFD 面积-白色部分的面积，而三角形AFC 面积+三角形BFD 面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1207050-=，所以四边形的面积为605010-=．

【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是36，E 是AD 的三等分点，2AE ED =，则阴影部分的面积为．

【解析】如图，连接OE ．

根据蝴蝶定理，1

:::1:12

COE CDE CAE CDE

ON ND S S S S ????===，所以12OEN OED S S ??=； 1

:::1:42

BOE BAE BDE BAE OM MA S S S S ????===，所以15OEM

OEA S S ??=．又11

334OED

ABCD S S ?=?=矩形，26OEA OED S S ??==，所以阴影部分面积为：1136 2.725

?+?=．

【例 4】已知ABC 为等边三角形，面积为400，D 、E 、F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，

求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC

)

【解析】因为D 、E 、F 分别为三边的中点，所以DE 、DF 、EF 是三角形ABC 的中位线，也就与对应的边平

行，根据面积比例模型，三角形ABN 和三角形AMC 的面积都等于三角形ABC 的一半，即为200．

根据图形的容斥关系，有ABC

ABN AMC AMHN S S S S S ???-=+-丙，

即400 200200AMHN S S -=+-丙，所以AMHN S S =丙

．

又ADF AMHN S S S S S ?+=++乙甲阴影，所以1

143400434

ADF S S S S S ?=++-=-

?=乙甲丙阴影．

【例 5】如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，

右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是．

E D

C B

C D

E F

【解析】连接AF ，BD ．

根据题意可知，571527CF =++=；715628DG =++=；

所以，15

27BE CBF F

S S ??=

，1227BE CBF C S S ??=，2128

AEG ADG S S ??=，728AED ADG S S ??=，于是：2115

652827

ADG CBF

S S ??+=；712382827ADG CBF S S ??+=；可得40ADG S ?=．故三角形ADG 的面积是40．

【例 6】如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘

米，求ABC △的面积．

【解析】连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE

S S AD AB ===??△△，

::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===??△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =??△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．

【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三

角形ABC 的面积是多少？

A A

B C

【解析】连接BE ．

∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S =V V 又∵5AB AD =

∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷V V V ，∴1515ABC ADE S S ==V V ．

【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积

是甲部分面积的几倍？

乙

甲

E D

A B

甲

乙

【解析】连接AD ．

∵3BE =，6AE =

∴3AB BE =，3ABD BDE S S =V V 又∵4BD DC ==，

∴2ABC ABD S S =V V ，∴6ABC BDE S S =V V ，5S S =乙甲．

【例 7】如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，

:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．

B A

【解析】连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===??△△

[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=?+?△△，

所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =??+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要

的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比

【例 8】如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面

积是2，求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．

B C

D E

B C

D E

【解析】连接AC 、BD ．根据共角定理

∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，

∴111133

ABC FBE S AB BC S BE BF ??===??△△．又1ABC S =△，所以3FBE S =△．

同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．

所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．

所以213618

ABCD EFGH S S ==．

【例 9】如图所示的四边形的面积等于多少？

【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.

我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：

把三角形OAB 绕顶点O 逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB 将旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.

因此，原来四边形的面积为1212144?=.(也可以用勾股定理)

【例 10】如图所示，ABC ?中，90ABC ∠=?，3AB =，5BC =，以AC 为一边向ABC ?外作正方形ACDE ，

中心为O ，求OBC ?的面积．

【解析】如图，将OAB ?沿着O 点顺时针旋转90?，到达OCF ?的位置．

由于90ABC ∠=?，90AOC ∠=?，所以180OAB OCB ∠+∠=?．而OCF OAB ∠=∠，所以180OCF OCB ∠+∠=?，那么B 、C 、F 三点在一条直线上．

由于OB OF =，90BOF AOC ∠=∠=?，所以BOF ?是等腰直角三角形，且斜边BF 为538+=，所以它

的面积为21

8164

?=．

根据面积比例模型，OBC ?的面积为5

16108

?=．

【例 11】如图，以正方形的边AB 为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，90AEB ∠=?，AC 、BD 交于O ．已

知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三角形OBE 的面积．

【解析】如图，连接DE ，以A 点为中心，将ADE ?顺时针旋转90?到ABF ?的位置．

那么90EAF EAB BAF EAB DAE ∠=∠+∠=∠+∠=?，而AEB ∠也是90?，所以四边形AFBE 是直角梯形，且3AF AE ==，

所以梯形AFBE 的面积为：

()1

353122

+??=(2cm )．

又因为ABE ?是直角三角形，根据勾股定理，222223534AB AE BE =+=+=，所以

172

ABD S AB ?=

=(2cm )．那么()17125BDE ABD ABE ADE ABD AFBE S S S S S S ?????=-+=-=-=(2cm )，所以1

2.52

OBE BDE S S ??=

=(2cm )．

【例 12】如下图，六边形ABCDEF 中，AB ED =，AF CD =，BC EF =，且有AB 平行于ED ，AF 平行于CD ，

BC 平行于EF ，对角线FD 垂直于BD ，已知24FD =厘米，18BD =厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？

【解析】如图，我们将BCD ?平移使得CD 与AF 重合，将DEF ?平移使得ED 与AB 重合，这样EF 、BC 都重

合到图中的AG 了．这样就组成了一个长方形BGFD ，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD 的面积为2418432?=平方厘米，所以六边形ABCDEF 的面积为432平方厘米．

【例 13】如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于

点F ．则四边形DFEC 的面积等于．

D C

3332

1F E D

C B

【解析】方法一：连接CF ，根据燕尾定理，

12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBF S AE

S EC

==△△, 设1BDF

S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标

所以551212

DCEF ABC S S =

=△ 方法二：连接DE ，由题目条件可得到11

ABD ABC S S =

=△△， 11212233

ADE ADC ABC S S S ==?=△△△，所以

11ABD ADE S BF FE S ==△△， 1111111

22323212

DEF DEB BEC ABC S S S S =?=??=???=△△△△，

而211323CDE ABC S S =??=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于512

．【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方

厘米

y B C

D E

E D C

B A

【解析】设1DEF S =△份，则根据燕尾定理其他面积如图所示55

1212

BCD S S =

=△阴影平方厘米.

【例 14】四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)．如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面

积的1

，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．

H G

A B

D O

【解析】在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知

条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =V V ，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题．

解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ??==，∴236OC =?=，∴:6:32:1OC OD ==．解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ．

∵13ABD BCD S S ??=，∴13

AH CG =，∴13AOD

DOC S S ??=， ∴1

AO CO =，∴236OC =?=，∴:6:32:1OC OD ==．

【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？

【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC

S ?=?V ，那么6BGC S =V ；

⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=．

【例 15】如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、

4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积．

F E

【解析】 ⑴根据题意可知，BCD △的面积为244616+++=，那么BCO △和CDO ?的面积都是1628÷=，所以

OCF △的面积为844-=；

⑵由于BCO △的面积为8，BOE △的面积为6，所以OCE △的面积为862-=，

根据蝴蝶定理，::2:41:2COE COF EG FG S S ??===，所以::1:2GCE GCF S S EG FG ??==，那么11221233

GCE

CEF S S ??=

=?=+．

【例 16】如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方

形ABCD 的面积．

D E

F G

D E

F G

【解析】连接AE ，FE ．

因为:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，所以311

1()53210DEF ABCD ABCD

S S S =??=V 长方形长方形．因为1

2AED ABCD S S =

V 长方形，11::5:1210

AG GF ==，所以510AGD GDF S S ==V V 平方厘米，所以12AFD

S =V 平方厘米．因为16

AFD ABCD S S =V 长方形，所以长方形ABCD 的面积是72平方厘米．

【例 17】如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．

【解析】因为M 是AD 边上的中点，所以:1:2AM BC =，根据梯形蝴蝶定理可以知道

22:::1:12:12:21:2:2:4AMG ABG MCG BCG S S S S =??=△△△△（）（），设1AGM S =△份，则123MCD S =+=△

份，所以正方形的面积为1224312++++=份，224S =+=阴影份，所以:1:3S S =阴影正方形，所以

1S =阴影平方厘米．

【巩固】在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF 的面积为1平方厘

米，那么正方形ABCD 面积是平方厘米．

A B

【解析】连接DE ，根据题意可知:1:2BE AD =，根据蝴蝶定理得

129S =+=梯形（）(平方厘米)，

3ECD S =△(平方厘米)，那么12ABCD S =W (平方厘米)．

【例 18】已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，三角形ODE 的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是

平方厘米．

【解析】连接AC ．

由于ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，所以:2:3CE AD =，

根据梯形蝴蝶定理，22

:::2:23:23:34:6:6:9COE AOC DOE AOD S S S S =??=V V V V ，所以6AOC S =V (平

方厘米)，9AOD S =V (平方厘米)，又6915ABC ACD S S ==+=V V (平方厘米)，阴影部分面积为61521+=(平方厘米)．

【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分

的面积是平方厘米．

【分析】连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S ??=．

根据蝴蝶定理，4936OCD OAE OCE OAD

S S S S ?????=?=?=，故2

36OCD S ?=，所以6OCD

S ?=(平方厘米)．

【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分

的面积是平方厘米．

【解析】连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S ??=．

根据蝴蝶定理，

2816

OCD OAE OCE OAD S S S S ?????=?=?=，故

216OCD S ?=，所以

4OCD S ?=(平方厘米)．

另解：在平行四边形ABED 中，()11

1681222

ADE ABED S S ?=

=?+=Y (平方厘米)，所以1284AOE ADE AOD S S S ???=-=-=(平方厘米)，

根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为8244?÷=(平方厘米)．

【例 19】如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余

下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．

2O A B C

2O A B

C D

【解析】连接DE 、CF ．四边形EDCF 为梯形，所以EOD FOC S S ?=V ，又根据蝴蝶定理，EOD FOC EOF COD S S S S ?????=?，

所以2816EOD FOC EOF COD S S S S ?????=?=?=，所以4EOD S ?=(平方厘米)，4812ECD S ?=+=(平方厘米)．那

么长方形ABCD 的面积为12224?=平方厘米，四边形OFBC 的面积为245289---=(平方厘米)．

【例 20】如图，ABC ?是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交于K 点．已知正方形DEFG 的

面积48，:1:3AK KB =，则BKD ?的面积是多少？

【解析】由于DEFG 是正方形，所以DA 与BC 平行，那么四边形ADBC 是梯形．在梯形ADBC 中，BDK ?和

ACK ?的面积是相等的．而:1:3AK KB =，所以ACK ?的面积是ABC ?面积的11

134

=+，那么BDK ?的

面积也是ABC ?面积的1

．

由于ABC ?是等腰直角三角形，如果过A 作BC 的垂线，M 为垂足，那么M 是BC 的中点，而且AM DE =，可见ABM ?和ACM ?的面积都等于正方形DEFG 面积的一半，所以ABC ?的面积与正方形DEFG 的面积相等，为48．

那么BDK ?的面积为1

48124

?=．

【例 21】下图中，四边形ABCD 都是边长为1的正方形，E 、F 、G 、H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中

点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数m

，那么，()m n +的值等

于．

【解析】左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都

比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积．如下图所示，在左图中连接EG ．设AG 与DE 的交点为M ．

左图中AEGD 为长方形，可知AMD ?的面积为长方形AEGD 面积的1

，所以三角形AMD 的面积为

21111248??=．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为11

1482

-?=．

如上图所示，在右图中连接AC 、EF ．设AF 、EC 的交点为N ．可知EF ∥AC 且2AC EF =．那么三角形BEF 的面积为三角形ABC 面积的

，所以三角形BEF 的面积为21111248??=，梯形AEFC 的面积为113

288

-=．

在梯形AEFC 中，由于:1:2EF AC =，根据梯形蝴蝶定理，其四部分的面积比为：

221:12:12:21:2:2:4??=，所以三角形EFN 的面积为311

8122424

+++，那么四边形BENF 的面积为1118246+=．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为111463

-?=．那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为11:3:223=，即3

m n =，

那么325m n +=+=．

【例 22】如图， ABC △中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD DF FB ==，

则::ADE

DEGF FGCB S S S =△四边形四边形．

F A D C

【解析】设1ADE S =△份，根据面积比等于相似比的平方，

所以22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，22::1:9ADE ABC S S AD AB ==△△，

因此4AFG S =△份，9ABC S =△份，

进而有3DEGF S =四边形份，5FGCB S =四边形份，所以::1:3:5ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形

【巩固】如图，DE 平行BC ，且2AD =，5AB =，4AE =，求AC 的长．

A E

D C

【解析】由金字塔模型得:::2:5AD AB AE AC DE BC ===，所以

42510AC =÷?=

【巩固】如图， ABC △中，DE ，FG ，MN ，PQ ，BC 互相平行，

E G

A D

AD DF FM MP PB ====，则

::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形．

【解析】设1ADE

S =△份，22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，因此4AFG S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，

同理有5FGNM S =四边形份，7MNQP S =四边形份，9PQCB S =四边形份．

所以有

::::1:3:5:7:9ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形

【例 23】如图，已知正方形ABCD 的边长为4，F 是BC 边的中点，E 是DC 边上的点，且:1:3DE EC =，AF

与BE 相交于点G ，求ABG S △

C B

M G

【解析】方法一：连接AE ，延长AF ，DC 两条线交于点M ，构造出两个沙漏，所以有::1:1AB CM BF FC ==，

因此4CM =，根据题意有3CE =，再根据另一个沙漏有::4:7GB GE AB EM ==，所以

4432(442)471111

ABG ABE S S =

=??÷=+△△．方法二：连接,AE EF ，分别求4224ABF S =?÷=△，4441232247AEF S =?-?÷-?÷-=△，根据蝴蝶定理::4:7ABF AEF S S BG GE ==△△，所以4432(442)471111

ABG ABE S S =

=??÷=+△△．

【例 24】如图所示，已知平行四边形ABCD 的面积是1，E 、F 是AB 、AD 的中点， BF 交EC 于M ，求BMG

?的面积．

F E D C

【解析】解法一：由题意可得，E 、F 是AB 、AD 的中点，得//EF BD ，而::1:2FD BC FH HC ==，

::1:2EB CD BG GD ==所以::2:3CH CF GH EF ==，并得G 、H 是BD 的三等分点，所以BG GH =，所以

::2:3BG EF BM MF ==，所以2

BM BF =，11112224

BFD

ABD ABCD S S S ??==?=Y ；又因为1

BG BD =，所以1212113535430BMG BFD

S S ??=??=??=．解法二：延长CE 交DA 于I ，如右图，

可得，::1:1AI BC AE EB ==，从而可以确定M 的点的位置，

::2:3BM MF BC IF ==，25BM BF =，1

BG BD =(鸟头定理)，

可得2121115353430

BMG BDF ABCD S S S ??=?=??=Y

【例 25】如图，ABCD为正方形，1cm

AM NB DE FC

====且2cm

MN=，请问四边形PQRS的面积为多少？

【解析】(法1)由//

AB CD，有

MP PC

MN DC

=，所以2

PC PM

=，又

MQ MB

QC EC

=，所以

MQ QC MC

==，所以

111

236

PQ MC MC MC

=-=，所以

SPQR

S占

AMCF

S的

，

所以

1(112)

SPQR

S=??++=2

(cm)．

(法2)如图，连结AE，则

448

ABE

=??=(2

cm)，

而

RB ER

AB EF

=，所以2

RB AB

EF EF

==，

2216

333

ABR ABE

S S

==?=(2

cm)．

而

343

MBQ ANS

S S

==???=(2

cm)，因为

MN MP

DC PC

=，

所以

MP MC

=，则

114

233

MNP

=???=(2

cm)，阴影部分面积等于

1642

333

ABR ANS MBQ MNP

S S S S

????

--+=--+=(2

cm)．

【例 26】如右图，三角形ABC中，:4:9

BD DC=，:4:3

CE EA=，求:

AF FB．

D C

【解析】根据燕尾定理得::4:912:27

AOB AOC

S S BD CD

===

△△

::3:412:16

AOB BOC

S S AE CE

===

△△

（都有AOB

△的面积要统一，所以找最小公倍数）

所以:27:16:

AOC BOC

S S AF FB

△△

【点评】本题关键是把AOB

△的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！

【巩固】如右图，三角形ABC中，:3:4

BD DC=，:5:6

AE CE=，求:

AF FB.

D C

【解析】根据燕尾定理得::3:415:20

AOB AOC

S S BD CD

===

△△

::5:615:18

AOB BOC

S S AE CE

===

△△

（都有AOB

△的面积要统一，所以找最小公倍数）

所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB ===△△

【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .

O F E

【解析】根据燕尾定理得::2:310:15AOB AOC S S BD CD ===△△

::5:410:8AOB BOC S S AE CE ===△△

（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:15:8:AOC BOC S S AF FB ==△△

【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能

掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！

【例 27】如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是1，则三角形ABE

的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．

I H

C B

I H

G F

【分析】连接AH 、BI 、CG ．

由于:3:2CE AE =，所以25AE AC =

，故22

ABE ABC S S ??==；根据燕尾定理，::2:3ACG ABG S S CD BD ??==，::3:2BCG ABG S S CE EA ??==，所以

::4:6:9ACG ABG BCG S S S ???=，则419ACG S ?=，9

BCG S ?=；

那么2248

551995

AGE AGC S S ??==?=；

同样分析可得9

ACH S ?=，则::4:9ACG ACH EG EH S S ??==，::4:19ACG ACB EG EB S S ??==，所以

::4:5:10EG GH HB =，同样分析可得::10:5:4AG GI ID =，

所以5521101055BIE BAE S S ??==?=，5511

1919519

GHI BIE S S ??==?=．

【巩固】如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形GHI 的面积是1，求三角形ABC

的面积．

H G F

【解析】连接BG ，AGC S △=6份

根据燕尾定理，::3:26:4AGC BGC S S AF FB ===△△，::3:29:6ABG AGC S S BD DC ===△△

得4BGC S =△(份)，9ABG S =△(份)，则19ABC S =△(份)，因此6

AGC ABC S S =△△,

同理连接AI 、CH 得619ABH ABC S S =△△,619BIC ABC S S =△△,所以196661

1919GHI ABC S S ---==

△△ 三角形GHI 的面积是1，所以三角形ABC 的面积是19

【巩固】如图，ABC ?中2BD DA =，2CE EB =，2AF FC =，那么ABC ?的面积是阴影三角形面积的倍．

【分析】如图，连接AI ．

根据燕尾定理，::2:1BCI ACI S S BD AD ??==，::1:2BCI ABI S S CF AF ??==，

所以，::1:2:4ACI BCI ABI S S S ???=，那么，22

1247

BCI ABC ABC S S S ???==++．

同理可知ACG ?和ABH ?的面积也都等于ABC ?面积的2

，所以阴影三角形的面积等于ABC ?面积的

1377

-?=，所以ABC ?的面积是阴影三角形面积的7倍．

【巩固】如图在ABC △中，1

DC EA FB DB EC FA ===,求

GHI ABC △的面积△的面积的值． I

G F

H G F

B A

【解析】连接BG ,设BGC S △=1份，根据燕尾定理::2:1AGC BGC S S AF FB ==△△,::2:1ABG AGC S S BD DC ==△△,得

2AGC S =△(份)，4ABG S =△(份),则7ABC S =△(份)，因此2

AGC ABC S S =△△,同理连接AI 、CH 得

27ABH ABC S S =△△,27BIC ABC S S =△△,所以72221

77GHI ABC S S ---==△△ 【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.

【例 28】如图，三角形ABC 的面积是1，BD DE EC ==，CF FG GA ==，三角形ABC 被分成9部分，请写出

这9部分的面积各是多少?

E D C

N M

F E

【解析】设BG 与AD 交于点P ，BG 与AE 交于点Q ，BF 与AD 交于点M ，BF 与AE 交于点N ．连接CP ，CQ ，

CM ，CN ．

根据燕尾定理，::1:2ABP CBP S S AG GC ==△△，::1:2ABP ACP S S BD CD ==△△，设1ABP S =△(份)，则

1225ABC S =++=△(份)，所以1

ABP S =△

同理可得，27ABQ S =△,12ABN S =△,而13ABG S =△，所以2137535APQ S =-=△，121

3721AQG S =-=△．

同理，335BPM S =△121BDM S =△,所以1239

273570PQMN S =--=

四边形，139********MNED S =--=四边形,1151321426NFCE S =--=四边形,1115

321642

GFNQ S =--=四边形

【巩固】如图，ABC ?的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC 边的三等分点，那么四边形

JKIH 的面积是多少？

K J

I H

C D E

F G

I H

A B

D E

【解析】连接CK 、CI 、CJ ．

根据燕尾定理，::1:2ACK ABK S S CD BD ??==，::1:2ABK CBK S S AG CG ??==，

所以::1:2:4ACK ABK CBK S S S ???=，那么111247ACK S ?==++，11

321

AGK ACK S S ??==．

类似分析可得2

AGI S ?=．

又::2:1ABJ CBJ S S AF CF ??==，::2:1ABJ ACJ S S BD CD ??==，可得1

ACJ S ?=．

那么，1117

42184

CGKJ S =-=．

根据对称性，可知四边形CEHJ 的面积也为17

，那么四边形JKIH 周围的图形的面积之和为

172161228415370CGKJ AGI ABE S S S ???++=?++=，所以四边形JKIH 的面积为619

17070

-=．

【例 29】右图，ABC △中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与

BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米？

N M G

A B

D E F

A B

D E

【解析】连接CM 、CN ．

根据燕尾定理，::1:1ABM CBM S S AG GC ==△△，::1:3ABM ACM S S BD CD ==△△，所以1

ABM ABC S S =△△；

再根据燕尾定理，::1:1ABN CBN S S AG GC ==△△，所以::4:3ABN FBN CBN FBN S S S S ==△△△△，所以

:4:3AN NF =，那么

1422437ANG AFC S S =?=+△△，所以2515177428FCGN AFC ABC ABC S S S S ??

=-=?= ???

△△△．

根据题意，有1

7.25

ABC

ABC S S -=△△，可得336ABC S =△(平方厘米)

【例 30】如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求阴影部分面

积

C B

【解析】三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！

令BI 与CD 的交点为M ，AF 与CD 的交点为N ，BI 与AF 的交点为P ,BI 与CE 的交点为Q ,连接AM 、BN 、CP

⑴求ADMI S 四边形：在ABC △中，根据燕尾定理，::1:2ABM CBM S S AI CI ==△△::1:2ACM CBM S S AD BD ==△△

设1ABM S =△(份)，则2CBM S =△(份),1ACM S =△(份),4ABC S =△(份),

所以14ABM ACM ABC S S S ==△△△，所以11312ADM ABM ABC S S S ==△△△,1

12AIM ABC S S =△△,

所以111

()12126

ABC ABC ADMI S S S =+=△△四边形,

同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是ABC △面积的1

⑵求DNPQE S 五边形：在ABC △中，根据燕尾定理

::1:2ABN ACN S S BF CF ==△△::1:2ACN BCN S S AD BD ==△△,

所以111133721ADN ABN ABC ABC S S S S ==?=△△△△,同理1

BEQ ABC S S =△△

在ABC △中，根据燕尾定理::1:2ABP ACP S S BF CF ==△△,::1:2ABP CBP S S AI CI ==△△

所以15ABP ABC S S =△△，所以11

11152121105ABP ADN BEP ABC ABC DNPQE S S S S S S ??=--=--=

???

△△△△△五边形同理另外两个五边形面积是ABC △面积的11105，所以11113

133610570

S =-?-?=

阴影

【例 31】如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求中心六边形

面积.

小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)整理版

任意四边形、梯形与相似模型卜亠\ 模型三蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）: D S1: S2 = S4: S3或者S S3 =S2 S4 ② AO : OC =[S S2 : S4 S3 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。【例1】（小数报竞赛活动试题）如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD被对角线AC BD分成四个部分，△ AOB面积为1平方千米，△ BOC面积为2平方千米，△ COD勺面积为3平方千米，公园由陆地面积是 6. 92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？【分析】根据蝴蝶定理求得S^AOD=3 1-'2=1.5平方千米，公园四边形ABCD的面积是12 3 45 = 7.5平方千米，所以人工湖的面积是7.5-6.92=0.58平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC的面积：⑵AG:GC= ? 【解析】⑴根据蝴蝶定理，S BGC 1=2 3，那么S BGC=6 ; ⑵根据蝴蝶定理，AG:G^ 1 2 : 3 6 =1:3 . （? ??）【例2】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点0（如图所示）。如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的

面积的 1 ，且AO =2 , DO =3，那么CO的长度是DO的长度的_____________ 倍。 3 【解析】在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件S A BD : S BCD =1:3，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH垂直BD于H , CG垂直BD于G，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。解法一：T AO ：OC = S ABD： S BDC =1 ： 3 , 二OC =2 3 =6 , ??? OC:OD =6:3 2:1 . 解法二：作AH _BD 于H , CG_BD 于G . ?- AH」CG , 3 1 ?- AO CO , 3 ?OC =2 3=6 , ?OC:OD =6:3 =2:1 ? 【例3】如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，A CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次是2、 4、4和6。求：⑴求A OCF的面积；⑵求A GCE的面积。【解析】⑴根据题意可知，△BCD的面积为2 4 4 ^16，那么△BCO和:CDO的面积都是16亠2=8 , 所以A OCF 的面积为8—4=4; ⑵由于△ BCO的面积为8, △BOE的面积为6,所以A OCE的面积为8-6=2 , 根据蝴蝶定理，EG:FG 二 Sg E：S.COF =2:4 =1:2，所以S.GCE：S.GCF = EG : FG =1:2 , 1 1 2 那么S GCE S CEF 2 ~~? 1+2 3 3 【例4】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？ S 'ABD S BCD 3审 S AOD =—S DOC 3

小学奥数之几何五大模型精编版

一、等积变换模型 ⑴等底等高的两个三角形面积相等；其它常见的面积相等的情况 ⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。如上图12::S S a b = ⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。 ⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半； ⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；五大模型 1S 2 S

二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ 图1 图2 三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=?②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) ①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2 a b +。

小学奥数-几何五大模型(鸟头模型)-精选.

模型二鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上如图 2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ E D C B A E D C B A 图⑴ 图⑵ 【例 1】如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =， 16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．三角形等高模型与鸟头模型

E D C B A E D C B A 【解析】连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===??△△， ::4:7(45):(75) ABE ABC S S AE AC ===??△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =??△△，设 8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？ E D C B A A B C D E 【解析】连接BE ． ∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S =V V 又∵5AB AD = ∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷V V V ，∴1515ABC ADE S S ==V V ．【巩固】如图，三角形被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =， 6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲 E D C B A A B C D E 甲乙【解析】连接AD ． ∵3BE =，6AE = ∴3AB BE =，3ABD BDE S S =V V 又∵4BD DC ==， ∴2ABC ABD S S =V V ，∴6ABC BDE S S =V V ，5S S =乙甲．

几何五大定理

第一大定理：共角定理（鸟头定理）即在两个三角形中，它们有一个角相等（互补），则它们就是共角三角形。它们的面积之比，就是对应角（相等角、互补角）两夹边的乘积之比。雪帆华数: 这个不建议记，符合这种的直接用，不符合这种的呢？还不如直接记推导的思路。
2013-5-20 22:15 回复
第二大定理：等积变换定理。 1、等底等高的两个三角形面积相等； 2、两个三角形（底）高相等，面积之比等于高（底）之比。 3、在一组平行线之间的等积变形。
如图所示，S△ACD=S△BCD；反之，如果 S△ACD=S△BCD，则可知直线 AB 平行于 C D。第三大定理：梯形蝴蝶定理。
这个为了竞赛，不得不记

对，竞赛的数学图形题都是这一类型的题。任意四边形中，同样也有蝴蝶定理。
2013-5-20 22:15 回复 2013-5-22 13:22 回复
上述的梯形蝴蝶定理，就是因为 AD‖EC 得来的。
如果知道鸟头定理是怎么推导的，这个简直就是小菜。
2013-5-20 22:16 回复
:是的，共角定理。
2013-5-21 12:22 回复
这个很好，尤其是由△ABC 和△ADC 的面积得出对角线的比，对于任意四边形都可以，可以当个定理来用了。
2013-5-21 19:17 回复
第四大定理：相似三角形定理。 1、相似三角形：形状相同,大小不相等的两个三角形相似； 2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。 3、相似三角形性质：1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边）的比等于相似比； ②相似三角形周长的比等于相似比；③相似三角形面积的比等于相似比的平方。相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都含有 BC 平行 DE 这样的一对平行线！

小学奥数-几何五大模型(鸟头模型).

模型二鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比. 如图在 △ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图(1)(或D在BA的延长线上，E在AC上如图2)，则ABC : ADE -(AB AC)： (AD AE) 厘米，求△ ABC的面积. 【解析】连接BE , S A ADE : S A ABE= AD ： AB =2 ：5 =(2 4): (5 4), S A ABE : S A ABC = AE : AC = 4 ： 7 = (4 5) : (7 5)，所以S^ADE: S^ ABC= (2 4) : (7 5),设S A ADE= 8 份，则S A ABC =35份，S A ADE =16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，△ ABC的面积是70平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比三角形等高模型与鸟头模型【例1】如图在△ ABC中, D,E分别是AB,AC上的点，且AD: AB =2:5 ,AE:AC =4:7 , S^ADE =16 平方图⑵

【巩固】如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的 3 倍，如果三角形么三角形ABC的面积是多少？ ?/ EC =3AE --S A BC = 3S ABE 又??? AB =5AD --S|_ADE = S_ABE 5 = S_ ABC 15 ,??? S ABC 如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，BD=DC=4 , BE=3 , AE=6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？ ?/ BE =3 , AE =6 --AB = 3BE , S ABD=3S BDE 又T BD =DC =4 , --S ABC =2S ABD，…S ABC - 6S BDE , 【例2】如图在△ ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB: AD =5: 2 , AE:EC=3:2 , S A ADE =12平方厘米，求△ ABC的面积. 【解析】连接BE , S A ADE : S A ABE= AD： AB =2:5 =(2 3): (5 3) S A ABE : S A ABC=AE： AC =3:(3 2)=(3 5): 1(3 2) 5】, 所以S A ADE : S A ABC - (3 2) : 5 (3 2^ - 6 : 25，设S A ADE = 6 份，贝V S A ABC = 25 份，S A ADE =12 平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，△ ABC的面积是50平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例3】如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF =2CF，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米.平行四边形的面积是多少平方厘米？ ADE的面积等于1，那 = 15S ADE =15 . 【巩固】【解析】连接AD . 【解析】

几何五大模型之二(鸟头定理)

三角形之鸟头模型共角定理（鸟头模型）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在△ABC 中，D,E 分别是AB,AC 上的点如图(或D 、E 分别在BA 、CA 延长线上)，则 AC AB AE AD AC AE AB AD S S ABC ADE ??=?=?? (夹角两边：大大小小??) 即，共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比例题讲解： 1、如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上。求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？ 2、如右图，已知在△ABC 中，BE=3AE ，CD=2AD ．若△ADE 的面积为1平方厘米．求三角形ABC 的面积． 3、如图在△ABC 中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且AB : AD = 5 : 2，AE :EC = 3: 2，平方厘米12=?ADE S ，求△ABC 的面积．

4、如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积． E D C B A 【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？ E D C B A A B C D E 【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲 E D C B A A B C D E 甲乙 5、如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =， :3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积． E D C B A E D C B A

六年级奥数专题几何五大模型鸟头模型

六年级奥数专题几何五大模型鸟头模型 The latest revision on November 22, 2020

几何五大模型——鸟头模型本讲要点一两点都在边上：鸟头定理：（现出“鸟头模型”。然后按一下出现一个鸟头，勾勒出鸟头的轮廓，出现如图的鸟头几何模型。最后真实的鸟头隐去，只留下几何模型。最后按一下，出公式。）二一点在边上，一点在边的延长线上：

例1 如图，AD=DB ，AE=EF=FC ，已知阴影部分面积为5平方厘米，△ABC的面积是平方厘米．例2 例2 （1）如图在△ABC中，D、E分别是AB，AC上的点，且AD:AB=2:5, AE:AC=4:7,△ABC的面积是16平方厘米，求△ABC的面积。（2）如图在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:AD=5:2，AE:EC=3:2,△ADE 的面积是12平方厘米，求△ABC的面积。例3 已知△DEF的面积为12平方厘米，BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,求△ABC的面积。例4 三角形ABC面积为1，AB边延长一倍到D，BC延长2倍到E，CA延长3倍到F，问三角形DEF的面积为多少例5 长方形ABCD面积为120，EF为AD上的三等分点，G、H、I为DC上的四等分点，阴影面积是多大

如图，过平行四边形ABCD 内的一点P 作边AD 、BC 的平行线EF 、GH ，若PBD ?的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米 1. 如下左图，在ABC △中，D 、E 分别是BC 、AB 的三等分点，且ABC △的面积是54，求 CDE △的面积。 2. 如图，长方形ABCD 的面积是1，M 是AD 边的中点，N 在AB 边上，且12AN BN =．那么，阴影部分的面积等于． 3. 如图以ABC △的三边分别向外做三个正方形ABIH 、ACFG 、BCED ,连接HG 、EF 、 ID ，又得到三个三角形，已知六边形DEFGHI 的面积是77平方厘米，三个正方形的面积分别是9、16、36平方厘米，则三角形ABC 的面积是多少 4. 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使 2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积。 5. 把四边形ABCD 的各边都延长2倍，得到一个新的四边形EFGH 。如果ABCD 的面积是5 平方厘米，则EFGH 的面积是多少家庭作业例6 A C E

小学奥数平面几何五大定律

小学奥数平面几何五大定律教学目标： 1．熟练掌握五大面积模型 2. 掌握五大面积模型的各种变形知识点拨一、等积模型 ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图12::S S a b = ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ E D C B A E D C B A 图⑴ 图⑵ 三、蝴蝶定理任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=?②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： ①22 13::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2 a b +．四、相似模型 (一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 b a S 2S 1D C B A S 4 S 3 S 2 S 1O D C B A A B C D O b a S 3 S 2S 1 S 4

小学奥数几何五大模型

几何五大模型一、五大模型简介（1）等积变换模型 1、等底等高的两个三角形面积相等； 2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图①所示， S[sub]1[/sub]：S[sub]2[/sub]=a:b； 3、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如图②所示，S[sub]1[/sub]：S[sub]2[/sub]=a:b； 4、在一组平行线之间的等积变形，如图③所示， S[sub]△ACD[/sub]=S[sub]△BCD[/sub]；反之，如果 S[sub]△ACD[/sub]=S[sub]△BCD[/sub]，则可知直线AB平行于CD。例、如图，三角形ABC的面积是24，D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，求三角形DEF的面积。

（2）鸟头（共角）定理模型 1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形； 2、共角三角形的面积之比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。如图下图三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点则有：S[sub]△ABC[/sub]：S[sub]△ADE[/sub]=（AB×AC）：（AD×AE）我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！

如图连接BE，根据等积变化模型知，S[sub]△ADE[/sub]： S[sub]△ABE[/sub]=AD：AB、S[sub]△ABE[/sub]： S[sub]△CBE[/sub]=AE：CE，所以S[sub]△ABE[/sub]： S[sub]△ABC[/sub]=S[sub]△ABE[/sub]：（S[sub]△ABE[/sub]+S[sub]△CBE[/sub]）=AE：AC ，因此S[sub]△ADE[/sub]：S[sub]△ABC[/su b]=（S[sub]△ADE[/sub]：S[sub]△ABE[/sub]）×（S[sub]△ABE[/sub]：S[sub]△ABC[/sub]）=（AD：AB）×（AE：AC）。例、如图在ΔABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB：AD=5:2，AE：EC=3:2， △ADE的面积为12平方厘米，求ΔABC的面积。

小学奥数几何篇五大模型——蝴蝶定理(附答案)

五大模型——蝴蝶模型例1. 四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，如果三角形ABD 1，且AO=2，DO=3，那么CO的长的面积等于三角形BCD的面积 3 度是DO的长度的倍

例2. 如图,平行四边形ABCD的对角线交与点O点，△CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次是2、4、4和6 求：（1）△OCF 的面积；（2）求△GCE的面积例3.如图，边长为1的正方形ABCD中，BE=3EC，CF=FD，求三角形AEG的面积。

例4. 如图，边长为1的正方形ABCD的边长为10厘米，E为AD 中点，F为CE中点，G为BF中点，求三角形BDG的面积

例5. 如下图，梯形ABCD的AB平行于CD，对角线AC，BD交于O，已知AOB于BOC的面积分别为25平方厘米于35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是平方厘米例6.梯形ABCD的对角线AC与BD交与点O，已知梯形上底为2， 2，求三角形AOD与且三角形ABO的面积等于三角形BOC面积的 3 三角形BOC的面积之比。例7. 如下图，一个长方形一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG的面积是11，三角形BCH的面积是23，求四边形EGFH 的面积。

例8. 右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是平方厘米例9. 如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知期中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为平方厘米例10. 如图，正六边形面积为6，那么阴影部分面积为多少？

蝴蝶模型习题 1、如图，长方形ABCD中，BE：EC=2：3，DF：FC=1:2，三角形DFC面积为2平方厘米，求长方形ABCD的面积. 2、梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC的面积是9cm2，问三角形AOD的面积是多少？ 3、如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4：5，四边形2的面积为36，则三角形1的面积为 4、如图，长方形ABCD中，阴影部分是直角三角形且面积为54，OD的长是16，OB的长是9，那么四边形OECD的面积是多少？ 5、如图，△ABC是等腰三角形，DEFG是正方形，线段AB与CD相较于K点，已知正方形DEFG的面积48，AK：KB=1:3，则△BKD的面积是多少？

小学奥数-几何五大模型

模型四相似三角形模型 (一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 ①AD AE DE AF AB AC BC AG ===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：。所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具。在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形。【例 1】如图，已知在平行四边形ABCD 中，16AB =，10AD =，4BE =，那么FC 的长度是多少？【解析】图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为AB 平行于CD ，所以::4:161:4BF FC BE CD ===，所以4 10814 FC =?=+．【例 2】如图，测量小玻璃管口径的量具ABC ，AB 的长为15厘米，AC 被分为60等份。如果小玻璃管口DE 正好对着量具上20等份处(DE 平行AB )，那么小玻璃管口径DE 是多大？【解析】有一个金字塔模型，所以::DE AB DC AC =，:1540:60DE =，所以10DE =厘米。【例 3】如图，DE 平行BC ，若:2:3AD DB =，那么:ADE ECB S S =△△________。【解析】根据金字塔模型:::2:(23)2:5AD AB AE AC DE BC ===+=， 22:2:54:25ADE ABC S S ==△△，任意四边形、梯形与相似模型

几何五大模型汇总

小学平面几何五大模型一、共角定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E分别是, AB AC上的点如图⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)，则:():() S S AB AC AD AE =?? △△ 证明：由三角形面积公式S=1/2*a*b*sinC可推导出若△ABC和△ADE中， ∠BAC=∠DAE 或∠BAC+∠DAE=180°，则 ADE ABC S S ? ? = AE AD AC AB ? ? 二、等积模型 ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如下图 12 :: S S a b = ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图 ACD BCD S S= △△ ；反之，如果 ACD BCD S S = △△ ，则可知直线AB平行于CD． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． b a S2 S1 D C B A

三、蝶形定理 1、任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=? ②()()1243::AO OC S S S S =++ 速记：上×下=左×右蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 2、梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)： ①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．四、相似模型 (一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 G F E A B C D A B C D E F G ①AD AE DE AF AB AC BC AG ===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； A B C D O b a S 3 S 2 S 1S 4 S 4 S 3 S 2 S 1O D C B A

小学奥数平面几何五大模型

小学奥数平面几何五大定律一、等积模型图(1) 图(2) 图(3) 图(4) ① 等底等高的两个三角形面积相等如图(1)：D 为BC 中点，则S△ABD=S△ACD 如图(4)：l1平行于l2，则S△ACD=S△BCD ② 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比如图(2)： S △ABDS △ACD=BDCD ③ 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比如图(3)：BC=EF ，则 S △ABCS △DEF=h1h2 ④ 夹在一组平行线之间的等积变形如图(4)：l1平行于l2 ，则 S△ABD=S△ACD 反之如果S△ABD=S△ACD，则可知直线l1平行于l2 ⑤ 等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形) ⑥ 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半 ⑦ 两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比二、共角定理(鸟头定理) 两个三角形中有一个角相等或互补(两个角之和＝180O ），这两个三角形叫做共角三角形． D B h A B D C h1 h2 l2 l2 B C h1 F E D h2 B C D h

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．共角互补角图(1) 图(2) 如图(1)：在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ABC 与△ADE 共∠A 如图(2)：D 在BA 的延长线上，E 在AC 上；∠BAC+∠BAC ＝180O (互补)，则: S △ABC :S △ADE =(AB ×AC):(AD ×AE)；或 S △ABCS △ADE=AB × ACAD × AE 三、相似模型数学上，相似指两个图形的形状完全相同，其中一个图形能通过放大、缩小、平移、旋转、镜像等方式变成另一个。相似比：是指两个相似图形的对应边的比值。相似符号：“∽” 相似三角形：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形相似三角形传递性：如果图A 相似于图B ，图B 相似于C ，则 A 相似C 即：图A ∽图B ，图B ∽图C ；则，图A ∽图B ∽图C a 顺时针旋转90度 a 翻转 a 缩小图(1) 图(2) 图(3) 图(4) c a d b A B C D E A D E F C B D E O B A

平面几何-五大定理及其证明

平面几何定理及其证明梅涅劳斯定理 1 .梅涅劳斯定理及其证明定理：一条直线与 ABC 的三边AB BC CA 所在直线分别交于点 D E 、F ,且D E 、F 均证明：如图，过点C 作AB 的平行线，交EF 于点G. 因为 CG // AB ，所以 CG CF --------------------- （ 1） AD FA 因为 CG // AB ，所以 EC （ 2） DB BE C F ，即得 A D C F EC FA DB EC FA 2.梅涅劳斯定理的逆定理及其证明定理：在 ABC 的边AB BC 上各有一点 D E ,在边 AC 的延长线上有一点 F ,若二、塞瓦定理 3 .塞瓦定理及其证明定理：在ABC 内一点P,该点与ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交 ABCE 边AB BC CA 于点D E 、F ,且D E 、F 三点均不是 ABC 不是ABC 的顶点，则有 AD BE CF 1 DB EC 由（1）宁（2） DB 可得兀 AD BE CF DB EC FA 1 ，那么，D E 、F 三点共线. 证明：设直线EF 交AB 于点D ，则据梅涅劳斯定理有 AD / BE CF 丽 EC FA 因为AD Bl CF DB EC FA 1，所以有誥段AB 上，所以点D 与D 重合.即得D 鴿.由于点D D 都在线 E 、F 三点共线. 证明：运用面积比可得 AD DB S ADP S BDP S ADC S BDC 根据等比定理有 S ADP S ADC S ADC S ADP S APC S S BDP BDC S BDC S BDP S

小学奥数几何五大模型(蝴蝶模型)

模型三蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系 (“蝴蝶定理”)：S 4S 3 S 2S 1O D C B A ①12 43::S S S S 或者1324S S S S ②124 3::AO OC S S S S 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。【例1】(小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△ AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是 6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ O D C B A 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S △平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵ :AG GC ？A B C D G 321 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ，那么6BGC S ；⑵根据蝴蝶定理，:12:361:3AG GC ．(？？？)任意四边形、梯形与相似模型

【例2】四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。如果三角形ABD 的面积等于三角形 BCD 的面积的1 3，且2AO ，3DO ，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。A B C D O H G A B C D O 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形” ，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件 :1:3ABD BCD S S ，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ，∴236OC ， ∴:6:32:1OC OD ．解法二：作AH BD 于H ，CG BD 于G ．∵1 3 ABD BCD S S ，∴1 3AH CG ，∴13AOD DOC S S ，∴13AO CO ，∴236OC ， ∴:6:32:1OC OD ．【例3】如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是 2、4、4和6。求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积。 O G F E D C B A ⑴根据题意可知，BCD △的面积为244616，那么BCO △和CDO 的面积都是162 8，所以OCF △的面积为844；⑵由于BCO △的面积为8，BOE △的面积为6，所以OCE △的面积为862，根据蝴蝶定理， ::2:41:2COE COF EG FG S S ，所以::1:2GCE GCF S S EG FG ，那么1 1 2 21233 GCE CEF S S ．【例4】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的

小学奥数之几何五大定理(五六年级使用)

小学奥数之几何五大定理 1：共高定理——这是最基本最重要最常用最简单的定理，要求熟练掌握，牢固记忆 2：鸟头定理——鸟头定理又叫共角定理，是由共高定理推出来的。 3：沙漏定理（相似里的平行线截线段） 4：蝴蝶定理——这个也是由共高定理推出来的 S 1×S 3=S 2×S 4。 5:燕尾定理 12S a S b =或者12::S S a b = （共高三角形面积比等于底的比。）如图在ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点则ADE ABC S AD AE AD AE S AB AC AB AC ???=?= ?。证明：连DC ，根据共高定理，则ADE ADC S AE S AC ??= ，ADC ABC S AD S AB ??= 所以 ADC ADE ADE ADC ABC ABC S S S AD AE AD AE S S S AB AC AB AC ????????==?= ?。 1423S S OD S S OB == 也可以用外项之积等于内项之积来写：1324S S S S ?=?。用文字叙述为：梯形的对角线将梯形分成四个三角形，腰上两个三角形面积的乘积等于上、下底两个三角形面积之乘积。由共高定理得，,,.BCF ABF ADF BCF DCF DCF S S S AF AF BC S CF S CF S DC ??????=== 所以， =,.BCF ABF ADF ABF BCF DCF ADF DCF S S S S AF BC S CF S S S DC ????????=== 这里的最后一行就是燕尾定理，整个过程是燕尾定理怎么用共高定理推出来。

小学奥数-几何五大模型

模型三蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=? ②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△ AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米【分析】根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =?÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC = 【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ?=?V ，那么6BGC S =V ； ⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． () 【例 2】四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的1 3 ，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。【解析】在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =V V ，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ??==， ∴236OC =?=， ∴:6:32:1OC OD ==．解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ． ∵1 3 ABD BCD S S ??=，任意四边形、梯形与相似模型

小学奥数-几何五大模型(等高模型)知识分享

小学奥数-几何五大模型(等高模型)

模型一三角形等高模型已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底?高2÷ 从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)；如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13 ，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如图 12::S S a b = b a S 2S 1 D C B A ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；三角形等高模型与鸟头模型

两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

【例 1】你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形。【解析】 ⑴ 如下图，D 、E 是BC 的三等分点，F 、G 分别是对应线段的中点，答案不唯一： C E D B A F C D B A G D B A ⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考： ⑸ ⑷⑶⑵⑴ ⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考：【例 2】如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上。 ⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？ ⑵ 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？【解析】因为三角形ABD 、三角形ABC 和三角形ADC 在分别以BD 、 BC 和DC 为底时，它们的高都是从A 点向BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。于是：三角形ABD 的面积12=?高26÷=?高三角形ABC 的面积124=+?（）高28÷=?高三角形ADC 的面积4=?高22÷=?高所以，三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的4 3 倍；三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的3倍。【例 3】如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是平方厘米。【解析】图中阴影部分的面积等于长方形ABCD 面积的一半，即4326?÷=(平方厘米)。 C D B A

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