科学归纳法

科学归纳法：

(1)指探求因果联系的穆勒五法；

(2)指一种从个别前提必然得出普遍结论的方法。前者可参阅穆勒五法。后者的内容如下：它是依据一类事物中某些个别具有或不具有某种属性并且已知该种属性与个别事物所属类的某必然属性有必然联系，从而得出该类具有或不具有该种属性的方法。它可表示为以下形式：

因为：S1—P

S2一P，

……，

Sn一P，

如果S，那末Q，

如果Q，那末P，

所以：S—P。

例如，得出金属受热体积必然增大就可用这种科学归纳法。

因为：铜受热体积增大，铁受热体积增大，如果金属受热，那么分子距离加大，如果金属分子距离加大，那么体积增大，所以，金属受热体积增大。

科学归纳法不仅适用于有限类，而且适用于无限类；不仅可以作为科学发现的方法，而且可以作为证明方法。它在科学认识过程中具有广泛的、重要的作用。

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(完整版)1数学归纳法习题(含答案)

1# 数学归纳法 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2011·怀化模拟)用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，在 第二步时，正确的证法是 ( ) A ．假设n ＝k (k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立 B ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋1命题成立 C ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立 D ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋2命题成立 2．(2011·鹤壁模拟)用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋12n －1 1)”时，由n ＝ k (k >1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是 ( ) A ．2k － 1 B ．2k －1 C ．2k D ．2k ＋1 3．(2011·巢湖联考)对于不等式n 2＋n 12，1＋12＋13>1,1＋12＋13＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2,1＋12＋13 ＋…＋131>52 ，…，由此猜测第n 个不等式为________(n ∈N *)． 8．(2011·东莞调研)已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)， (1,4)， (2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第60个数对是________．

解析数学归纳法思想

解析数学归纳法思想 嘉兴教育学院吴明华 从数学和思想的含义去理解，所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果．数学思想是人们对数学知识的本质认识，是对数学规律的理性认识（文①第1页）．数学思想广泛存在于数学的概念、方法和过程之中，具有奠基性、总结性和广泛性的特征．与数学方法相比，数学思想具有更高的概括抽象水平，因而更本质、更深刻．可以这么说，数学思想是数学方法的精神实质与理论基础，而数学方法则是实施有关数学思想的技术与操作程式． 数学归纳法是一种特殊的证明方法，它的基本形式是：对于一个与自然数（此处约定最小的自然数为1，即正整数）有关的命题，如果①当时命题成立；②假设当时命题成立，则当时命题也成立，那么命题对一切自然数n都成立． 在“中学数学核心概念、思想方法体系及其教学设计”课题第8次活动中，围绕两位教师的课堂展示，课题组对数学归纳法及其教学进行了广泛和深入的讨论，涉及到一些本质性的问题但尚未达成统一的认识．本文阐述笔者对数学归纳法所蕴涵的数学思想的一些认识，试图从本质上去理解数学归纳法． 1．数学归纳法中的归纳思想 对于一个与自然数有关的命题，数学归纳法将命题理解为一系列命题： ，，，…，即N}．然后由命题，，，…都成立去下结论“命题成立”，这就是笔者重点所指的数学归纳法中的归纳思想．所谓归纳，是指从特殊到一般，从局部到整体的推理．命题是一般的、整体的，而命题，，，…中的每一个都是特殊的、局部的，即使从所有命题，，

，…都成立去概括得出命题成立，其思想也是归纳的思想（完全归纳）．让我们想想，对于一个与自然数有关的命题，我们是否有过不用归纳法去处理的经历？譬如说，求证，我们曾经这样做过： 设，则， 所以，故． 我们的证明只是“就一般的自然数n而言”，也就是说，我们并没有逐个地去考察 ，，…命题是否成立，而只是把n当作“某个”（当然是任意一个）自然数直接去考察命题是否成立，这在数学上叫做“不失一般性”．其实，这样的例子在数学中比比皆是． 让我们从更一般的情形来阐述归纳思想．对于一个数学对象P，如果P可以分解为若干个种类，，，…，那么从研究，，，…入手，概括得到对象P的属性的思想，就是归纳的思想．这与分类讨论有点相似，但分类讨论常常是获得对象P在各种情况下的不同结果，而归纳则取向于获得，，，…的共性，以及由这些共性所反映的对象P的本质． 有几个问题是必须讲清楚的．首先，数学归纳法中的“归纳奠基”与“归纳递推” 工作，实际上是两个命题的证明，即证明①命题“”成立，②命题“若，则”成立，而这两个命题自身的证明常常用的是“演绎法”．其次，以“归纳递推”为大前提，以命题成立为小前提，得出命题成立，等等的推理过程也是演绎的．还有，若将自然数公理中的归纳公理（见本文后述）理解为大前提，将数学归纳法中的“归纳奠基”与“归纳递推”理解为小前提，那么得出命题成立的推理过程也是演绎的（文①第110页）．但这些都不妨碍数学归纳法在处理与自然数有关的命题时所体现出来的归纳思

各种数学归纳法

1.5 归纳法原理与反归纳法 数学归纳法是中学教学中经常使用的方法．中学教材中的数学归纳法是这样叙述的：如果一个命题与自然数有关，命题对n =1正确；若假设此命题对n －1正确，就能推出命题对n 也正确，则命题对所有自然数都正确．通俗的说法：命题对n =1正确，因而命题对n =2也正确，然后命题对n =3也正确，如此类推，命题对所有自然数都正确．对于中学生来说，这样形象地说明就足够了；但是毕竟自然数是无限的，因而上述描述是不够严格的，有了皮阿罗公理后，我们就能给出归纳法的严格证明． 定理1.19 如果某个命题Ｔ，它的叙述含有自然数，如果命题Ｔ对n =1是正确的，而且假定如果命题Ｔ对n 的正确性就能推出命题Ｔ对n +1也正确，则命题Ｔ对一切自然数都成立．（第一数学归纳法） 证明 设Ｍ是使所讨论的例题Ｔ正确的自然数集合，则 (1) M ∈1． 设M n ∈，则命题Ｔ对n 正确，这时命题对n n '=+1也正确，即 (2) M n ∈' 所以由归纳公理Ｄ，Ｍ含有所有自然数，即命题Ｔ对所有自然数都成立． 下面我们给出一个应用数学归纳法的命题． 例１ 求证 6 ) 12)(1(212 2 2 ++= +++n n n n 证明 (1)当n =1时，有 16 ) 112()11(112 =+?++?= 所以n =1，公式正确． (2)假设当k =n 时，公式正确，即 6 ) 12)(1(212 2 2 ++= +++n n n n 那么当k =n ＋１时，有 =+++++=+++++2 2222222)1()21()1(21n n n n =++++2 ) 1(6 ) 12)(1(n n n n =++++6 ) 1(6)12)(1(2 n n n n =++++6 )] 1(6)12()[1(n n n n =+++6 ) 672)(1(2 n n n =+++6) 32)(2)(1(n n n =+++++6 ) 1)1(2)(1)1)((1(n n n 所以公式对n +1也正确．

数学归纳法巧记高中数学公式大全

高中数学公式大全及巧记口诀 离2012年高考只剩63天了，因为高中数学在高考中占有较大的比分，很多同学在数学上失分很多，其主要原因是同学们对数学基础知识记忆和掌握不够到位。因此我们乐恩特教育网整理了高中数学公式大全及巧计口诀，以便同学们轻松掌握数学公式，在高考数学复习上达到事半功倍的效果！以下就是整理的高中数学公式大全及巧记口诀： 一、《集合与函数》 内容子交并补集，还有幂指对函数。性质奇偶与增减，观察图象最明显。 复合函数式出现，性质乘法法则辨，若要详细证明它，还须将那定义抓。 指数与对数函数，两者互为反函数。底数非１的正数，１两边增减变故。 函数定义域好求。分母不能等于０，偶次方根须非负，零和负数无对数； 正切函数角不直，余切函数角不平；其余函数实数集，多种情况求交集。 两个互为反函数，单调性质都相同；图象互为轴对称，Ｙ＝Ｘ是对称轴； 求解非常有规律，反解换元定义域；反函数的定义域，原来函数的值域。 幂函数性质易记，指数化既约分数；函数性质看指数，奇母奇子奇函数， 奇母偶子偶函数，偶母非奇偶函数；图象第一象限内，函数增减看正负。 二、《三角函数》 三角函数是函数，象限符号坐标注。函数图象单位圆，周期奇偶增减现。 同角关系很重要，化简证明都需要。正六边形顶点处，从上到下弦切割； 中心记上数字１，连结顶点三角形；向下三角平方和，倒数关系是对角， 顶点任意一函数，等于后面两根除。诱导公式就是好，负化正后大化小， 变成税角好查表，化简证明少不了。二的一半整数倍，奇数化余偶不变， 将其后者视锐角，符号原来函数判。两角和的余弦值，化为单角好求值， 余弦积减正弦积，换角变形众公式。和差化积须同名，互余角度变名称。 计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。 逆反原则作指导，升幂降次和差积。条件等式的证明，方程思想指路明。

数学归纳法、同一法、整体代换法

数学归纳法、同一法、整体代换法 一、函数方程思想 从而解决问题的一种思维方式，函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处置变量或未知数之间的关系。很重要的数学思想。 并研究这些量间的相互制约关系，1.函数思想：把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达进去。最后解决问题，这就是函数思想； 确立变量之间的函数关系是一关键步骤，2.应用函数思想解题。大体可分为下面两个步骤：1根据题意建立变量之间的函数关系式，把问题转化为相应的函数问题；2根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题；3方程思想：如何学好高中数学某变化过程中，往往需要根据一些要求，确定某些变量的值，这时经常列出这些变量的方程或（方程组）通过解方程（或方程组）求出它这就是方程思想； 之间相互渗透，3.函数与方程是两个有着密切联系的数学概念。很多方程的问题需要用函数的知识和方法解决，很多函数的问题也需要用方程的方法的支援，函数与方程之间的辩证关系，形成了函数方程思想。 二、数形结合思想 对于所研究的代数问题，数形结合是中学数学中四种重要思想方法之一。有时可研究其对应几何的性质使问题得以解决（以形助数）或者对于所研究的几何问题，可借助于对应图形的数量关系使问题得以解决（以数助形）这种解决问题的方法称之为数形结合。 发挥数的思路的规范性与严密性，1.数形结合与数形转化的目的为了发挥形的生动性和直观性。两者相辅相成，扬长避短。 宇宙间万事万物无不是数和形的和谐的统一。因此，2.恩格斯是这样来定义数学数学研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”这就是说：数形结合是数学实质特征。数学学习中突出数形结合思想正是充分掌握住了数学精髓和灵魂。 数量关系决定了几何图形的性质。 3.数形结合的实质是几何图形的性质反映了数量关系。形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事非。数形结合作为一种数学思想方法的应用大致分为两种情形：或借助于数的精确性来阐明形的某些属性,4.华罗庚先生曾指出：数缺性时少直观。或者借助于形的几何直观性来说明数之间的某种关系. 历年高考解答题都有关于这个方面的考查（即用代数方法研究几何问题）而以形为手段的数形结合在高考客观题中体现。 5.把数作为手段的数形结合主要体现在解析几何中。 6.要抓住以下几点数形结合的解题要领： 可直接从几何图形入手进行求解即可； 1对于研究距离、角或面积的问题。 可通过函数的图象求解（函数的零点，2对于研究函数、方程或不等式（最值）问题。顶点是关键点）作好知识的迁移与综合运用； 3对于以下类型的问题需要注意：可分别通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆x2+y2=1上的点及余弦定理进行转化达到解题目的 三、分类讨论的数学思想 当问题的对象不能进行统一研究时，分类讨论是一种重要的数学思想方法。就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答。 引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种： 1.有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决。 1涉及的数学概念是分类讨论的 2运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的 3求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性；

数学中的归纳法及应用

题目归纳法在数学中的应用与地位学生 学号 指导老师 年级 学院 系别 xx年xx月

目录 目录 (2) 摘要 (3) 引言 (4) 一、数学归纳法的历史由来 (4) 二、归纳法的特点 (4) 二基本步骤 (5) 三数学归纳法的常用方法举例 (6) 3.1求同法 (6) 3.2求异法 (6) 3.3求同求异并用法 (7) 3.4共变法 (7) 3.5剩余法 (7) 四、在高等数学中的归纳法运用举例 (8) 五、数学归纳法解决应用问题 (9) 5.1代数恒等式方面的问题 (9) 5.2几何方面的应用 (9) 5.3排列和组合上的应用 (10) 5.4对于不等式的证明上的应用 (11) 六、总结 (11) 参考文献 (12) 致谢 (13)

摘要 数学归纳法是中学数学中一种常用的证题方法，是从特殊的具体的认识推进到一般的抽象的认识的一种思维方式,它是科学发现的一种长用的有效的思维方式. 它的应用极其广泛．本文讨论了数学归纳法的步骤，它集归纳，猜想，证明于一体，体现了数学归纳法的证题思路．本文归纳总结了数学归纳法解决代数恒等式，几何，排列组合等方面的一些应用问题的方法，并对应用中常见的误区加以剖析，以及一些证法技巧介绍，有利于提高对数学归纳法的应用能力． 数学归纳法的具体应用时,有许多更为灵活的形式,这一点是宜于注意的. 不完全归纳法仅仅依据同一事实的几次重复作出结论,只是停留在对事物的表面现象的观察上,没有深入地分析产生现象的原因,只有对现象产生的原因有了了解,才会提高结论的可信程度. 人们在长期的科学实践过程中,总结出了确定因果关系的几种逻辑方法:求同法、求异法、求同求异并用法、共变法、剩余法. 归纳法在数学中运用十分广泛. 关键词：数学归纳法数学归纳法的特点步骤应用. Abstract Mathematical induction is a common evidence method in secondary school mathematics, it is have very broad application. In this paper, author reaserch into the step of the Mathematical induction , it includes summariz ,evidence and guess embody the idea of the evidence of mathematical induction. Also at here ,we summariz themethod of the mathematical induction application in solve algebra identities , geometric ,order and portfolio ,and so on .also analyze the common errors on application and into duct skill of the proof ,proof of skills introduced. It is help to increased the level of the Mathematical induction’s application．So-called mathematics inductive method is from the special concrete understanding propulsion to general of abstract of a kind of mode of thinking of[with] understanding, it is science discovers of a kind of long use of valid mode of thinking. The inductive method is in mathematics make use of very extensively. Key words：Mathematical induction; steps；Application.

本文主要对数学归纳法的教学进行较为完整的研究

本文主要对数学归纳法的教学进行较为完整的研究。 数学归纳法是一种证明与正整数有关的命题的极为有效的科学方法。了解数学归纳法的发现和发展的历史，明确数学归纳法与归纳法的区别与联系，是教师教授和学生掌握数学归纳法的基础。对数学归纳法逻辑基础即原理的准确理解，是教师进行数学归纳法教学的前提，也是学生能否掌握这种证明方法的关键。 数学归纳法的教学首先是一种程序性教学。为了让学生能够正确应用数学归纳法，还要进行形式化教学。在形式化现象下的本质规律的教学，即内涵教学，则是数学归纳法教学的内在精髓。数学归纳法通过有限的程序，完成了验证无限的结论，它的灵魂就是递归思想。 归纳法是发现问题的一种有效方法。在数学归纳法的教学过程中，恰到好处地进行数学归纳法的教学，既可帮助学生区分这两种方法，又可引领学生了解发现问题的途径，可谓一举两得。培养学生“观察一归纳一猜想一证明”的链条式思维模式，开发学生的创造性思维能力，将会对未来数学的发展起到推波助澜的作用。数学归纳法的应用是数学归纳法教学中很重要的一个环节。数学归纳法可以用来证明与正整数有关的恒等式、不等式、整除性问题和几何问题等。 本文针对数学归纳法应用过程中，学生常见错误出现的心理因素进行了问卷调查。在应用数学归纳法证题时，导致学生犯错误的主要原因是对数学归纳法的原理没有真正理解;另一个原因是数学归纳法应用中的思维定势。要克服学生使用数学归纳法的心理障碍，一个有效的方法就是要了解数学归纳法应用的局限性。能运用非数学归纳法证明另外一些与正整数有关的命题，也是学生学习和使用数学归纳法时所要克服的心理依赖和必经过程。 1. 2数学归纳法的研究现状 对“数学归纳法”的研究国内己有不少论文，这些论文在某些具体方面作出了详尽的论述。例如，赵龙山在《有关数学归纳法教学中的逻辑问题》一文中，对数学归纳法的逻辑基础问题进行了论述和研究，形象地引入“递推机”，从而加深了对数学归纳法本质的理解，有助于学生更好地、合逻辑地运用数学归纳法证题，也有助于学生克服对于数学归纳法的模糊甚至是错误认识。文中还指出了数学归纳法与归纳法、完全归纳法是完全不同的证题方法，只是没有对一三者的内在关系进行系统详细地阐述。罗增儒在《关于数学归纳法的逻辑基础》一文中指出:历史上数学归纳法曾被称为“逐次归纳法”、“完全归纳法”，后来被称为“数学归纳法”，既区别于逻辑上的“完全归纳法”，又比“逐次归纳法”更能表明它论证的可靠性。在此文中还引述了一些学者的观点，就数学归纳法的本质进行了表述。 刘世泽在《数学归纳法的另外两种形式》一文中，介绍了除数学归纳法第I型和第II 型以外的另两种形式:跳跃归纳法和二元有限归纳法;朱孝建在《数学归纳法的构造》一文中，给出了数学归纳法的一个一般性定理，由此可推导出数学归纳法的各种常见形式，还可根据具体问题的需要构造出其它数学归纳法的形式，进一步开拓了数学归纳法的应用范围，从而对数学归纳法的本质有了一个较为全面深入地了解;李淑文、孙德菊在《累积数学归纳法》一文中，比较了数学归纳法的第一种形式和第二种形式，并就第二种形式，即累积数学归纳法作了举例说明。以上三篇论文都是针对数学归纳法的形式或构造的论述。 邵光华所作的论文《对中学“数学归纳法”教材教法的几点思考》，主要针对教材教法中对数学归纳法内容的安排和教学，提出了值得思考的五个具体问题，并简单地说明了数学归纳法和归纳法的区别。文中提到了不完全归纳法，但未作深入论述。唐以荣在《中学数学综合题解题规律讲义》中指出:“早在五十年代的苏联的教学法书籍中，己明确指出数学归纳法是演绎法的特殊形式;八十年代的中国中学数学课本和教学法书籍却没有做到这一点不能不令人遗憾。”①即使是现在的中学教材也还是没有改进这些。 齐智华在《“数学猜测”的教学构想与实践》一文中，介绍了“数学猜测”的教学纲目，

数学归纳法几种常见方式及其应用中存在的问题论文

数学归纳法几种常见方式及其应用中存在的问题 摘要 在处理数学问题时，经常涉及与任意自然数有关的一些命题，这些命题实质上是由无限个n取具体整数时得到的无限个命题组成的，我们往往不能逐一验证，这时，数学归纳法就是我们最常应用的一个有效的推理方法，为什么我们能够相信数学归纳法的证明呢？因为数学归纳法实质上是一种演绎推理法，华罗庚老先生是这样解释数学归纳法原理的：“我们采用形式上的讲法，也就是：有一批编了号码的数学命题，我们能够证明第1号命题是正确的；如果我们能够证明在第K 号命题正确的时候，第K+1号命题也是正确的，那么，这一批命题就全部正确.”其实，数学归纳法的正确性在我们学到的自然数的公理系统已经得到说明，他是与皮亚诺公理等价的一个本原性命题. 关键字数学归纳法常见方式及问题无限有限 数学归纳法（Mathematical Induction，通常简称为MI）是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立。是用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式（不等式）成立和数列通项公式成立。 数学归纳法一般分为以下几种常见的方式： （一）第一数学归纳法： 一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n），有如下步骤 （1）证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况； （2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。 综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。 （二）第二数学归纳法： 对于某个与自然数有关的命题P(n）， （1）验证n=n0时P(n）成立； （2）假设n0≤n<=k时P(n）成立，并在此基础上，推出P(k+1）成立。 综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。 （三）倒推归纳法（反向归纳法）： （1）验证对于无穷多个自然数n命题P(n）成立， （2）假设P(k+1）（k≥n0）成立，并在此基础上，推出P(k）成立， 综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。 （四）螺旋式归纳法

【教学随笔】数学归纳法应用中的四个常见错误

数学归纳法应用中的四个常见错误 数学归纳法是证明与正整数有关的命题的一种常用方法。证明时，它的两个步骤：归纳奠基和归纳递推缺一不可。使用数学归纳法解决问题易出现的四类错误：（1）初始值确定的错误；（2）对项数估算的错误；（3）没有利用归纳递推；（4）关键步骤含糊不清。现举例如下： （1）初始值估计的错误。归纳奠基是归纳的基础，是数学归纳法的关键之处。通常是1，但不总是1。有些同学思维定势，认为是1，而不能具体问题具体分析。 例1.用数学归纳法证明“＞+1对于n＞的正整数n成立”时，第一步证明中的起始值应取（） A. 1 B. 2 C. 3 D.5 【答案】选D 例2.若f(n)= ,则n=1时f(n)是 A. 1 B. C. D.以上答案均不正确。 【答案】选C 点评：这也是一个常见的错误，解题的关键是因为分母是连续的，由最后一项既其前面的项组成。 （2）对项数估算的错误 用数学归纳法证明恒等式时，由n=k递推到n=k+1时，左端增加的项有时是一项有时不只是一项，有有时左端的第一个因式也可能变化。举例如下： 例3.用数学归纳法证明不等式＜n（n∈）过程中，由n=k递推到n=k+1时，不等式左端增加的项数是（） A. 1 B. -1 C. D. +1 解析;当n=k时，左端= 当n=k+1，左端= 括号内的部分是增加的式子，计算可知共项 点评：这类问题的特点是分母从1开始在正整数范围内递增，抓住这个关键，再通过n=k 和n=k+1左端进行对比，就不会发生错误了。 【答案】选C 例4.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)= ﹒1﹒3…(2n-1)(n∈N)时，从“n=k→n=k+1”两边同乘以一个代数式，它是（） 解析：当n=k时，= 当n=k+1时，= 通过对比可知，增加了两项（2k+1）（2k+2）减少了一项k+1。故答案选D。 点评：通过对比n=k和n=k+1时的变化确定增减项。因为每一项中都有n，项数会有增有减。（3）没有利用归纳递推 数学归纳法中的归纳奠基和归纳递推缺一不可，归纳奠基是递推的基础，归纳递推是递推的依据，二者是一个整体，不能割裂开来。就像多米诺骨牌游戏，第一块不到，后面的块肯定不到，中间的任意一块不到，游戏也不能继续，环环相扣。 例5.用数学归纳法证明的过程如下： ①当n=1时，左边=1，右边==1，等式成立。

数学归纳法

数学归纳法 摘 要：数学归纳法是一种非常重要的数学证明方法,典型的用于确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他形式在一个无穷数列是成立的.本文通过直接证法引入数学归纳法,并介绍了数学归纳法的两个基本步骤及原理.初等数论研究的是关于整数的问题,故应用数学归纳法证明初等数论中的有关的命题是重要的途径. 关键词：数学归纳法;初等数论;不定方程;整除;同余 1 引论 1.1 直接证法 众所周知,数学上的许多命题都与自然数有关.这里所指的n ,往往是指任意的一个自然数.因此,这样的一个命题实际上也就是一个整列命题.要证明这样一整列命题成立,当然可以有多种不同的方法. 其中常用的方法是置n 的任何具体值而不顾,而把它看成是一个任意的自然数,也就是说,假定它只是任何自然数都具备的共同性质,并且在这样的基础上进行推导、运算.如果我们在推导运算中没有遇到什么难以克服的困难,那么我们就有可能用这种方法来完成命题的证明了.这种方法就是习惯上所说的直接证法.如下例： 例1 已知）（2;,,2,1≥???=∈n n i R x i ,满足 121=+++n x x x ,021=+++n x x x . 证明 n n x x x n 2121221-≤+++ . 证 由条件121=+++n x x x 知1x ,2x , ,n x 不全为零; 由条件021=+++n x x x 知这n 个实数中既有正数也有负数.记

{}0:1≥=i x i A ,{}0:2<=i x i A . 则1A 和2A 都不是空集,它们互不相交,且1A ?2A ={1,2,3, ,n }. 若再记1S =∑∈1A i i x ,2S =∑∈2 A i i x , 就有 1S +2S =0,1S -2S =1. 因此知1S =-2S =2 1.采用所引入的符号,就有 ∑∑∈∈+=+++2 1221A i i A i i n i x i x n x x x . 由1A 和2A 的定义和性质知∑ ∈1A i i i x 是若干非负数之和,∑∈2A i i i x 是若干负数之和,因此就有 ∑∑∑∑∑∈∈∈∈=+≤+=2 22111A i i A i i A i i A i i n i i x n x i x i x i x =n S S 21+=n 2121-=n 2121-. 可见命题的结论是成立的. 在这个证明中,我们没有考虑n 究竟是几的问题,只是把精力花费在对命题条件的推敲和剖析上.这种证法就是直接证法． 1.2 数学归纳法 有时,我们也会碰到一些与n 有关的命题,对于它们很难从任意的n 入手,那么我们就只能另辟蹊径,也就是所谓的数学归纳法.如下例： 例2 证明对于每个不小于3的自然数n ,都可以找到一个正整数n a ,使它可以表示为自身的n 个互不相同的正约数之和． 分析 显然,我们很难对任意一个不小于3的自然数n ,直接去找到出相应的n a 来.面对这样的情形,较为稳妥的做法只能是先从3a ,4a , 找起.经过不多的几步探索,就可以发现,有 3216++=. 而且1,2,3恰好是6的3个互不相同的正约数,因此可将3a 取作6.在此基础上,又可发现有

数学归纳法原理(本科论文)

目录 中文摘要 英文摘要 1 引言 (1) 2 数学归纳法原理 (1) 2.1 良序原理 (1) 2.2 数学归纳法 (2) 2.3 第二数学归纳法 (3) 2.4 数学归纳法的有效性 (4) 3 数学归纳法应用举例 (4) 3.1 数学归纳法在解题和证明中的一些应用 (4) 3.2 数学归纳法在递归定义上的应用 (10) 3.3 数学归纳法在递归算法上的应用 (13) 参考文献 (17)

数学归纳法原理及其应用举例 摘要：数学归纳法原理是一种有效的证明方法.本文将介绍数学归纳法及其等价形式，并证明为什么它们是有效的.特别地，我们将用大量各种不同类型的例子来说明其应用。这些例子有的来自于集合论，数论，有的来自于计算机科学等. 关键词：良序原理，数学归纳法，第二数学归纳法，递归算法. Abstract: The principles of mathematical induction provide effective ways for valid arguments in mathematical proofs. This thesis will present these principles and their other equivalent forms, and will show why they work and particularly will show how they work by examples from diversified settings or areas of mathematics, e.g. set theory, number theory, computer algorithm, and so on. Key words:The well-ordering principle, the first principle of mathematical induction, the second principle of mathematical induction, recursive algorithm.

数学归纳法中常见的错误

数学归纳法中常见的错误 王晓华 数学归纳法是一种数学证明方法，典型地用于确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的，是高考测试内容之一。数学归纳法有其独特的固定步骤：1。证明当n 为某一个值时，结论是成立的。 2。假定n=k 时成立，证明n=k+1时，结论也是成立的。但是同学们在运用过程中常常犯错。下面我们就一些常见的错误简要分析。 一、逻辑性错误 例1：设n ∈N*，求证：2＋4＋6＋…＋2n ＝n 2＋n ＋1 证明：假设当n ＝k 时等式成立，即 2＋4＋6＋…＋2k ＝k 2＋k ＋1 那么，当n ＝k ＋1时，有 2＋4＋6＋…＋2k ＋2(k+1) ＝k 2＋k ＋1＋2(k+1) ＝(k+1)2＋(k+1)＋1 因此，对于任何n ∈N*，等式都成立。 在数学归纳法的运用过程中，很多同学会忘记了第一步，数学归纳法的第一步是递推的基础,有了此基础,在第二步中的假设才能成立,才不是真正意义上的纯粹假设. 第二步是递推的依据,当假设中的某些情况(n ≥n 0时n 取值较小的情况)成为事实后,依据第二步就可知当n 取下一个值时命题也成立,如此又增加了假设中变为命题成立的n 的取值,经不断地循环递推便得到对满足n ≥n 0的所有正整数命题都成立. 再看 例2：设n ∈N*，求证：2n >n 2. 证明（1）当n ＝1时，21>12，不等式显然成立， （2）假设当n ＝k 时不等式成立，即2k >k 2， 那么当n ＝k+1时有 2k ＋1＝2·2k >k 2＋k 2≥k 2＋2k ＋1＝(k+1)2 这就是说，当n ＝k+1时，不等式也成立。 根据(1)和(2)，可知对任何n ∈N*，不等式都成立。 在第一步中的初始值不一定从1取起,也不一定只取一个数(有时需取n=n 0,n 0+1等),证明应根据具体情况而定. 二、伪数学归纳法 如下证明对吗？ 例3：用数学归纳法证明：n n )21(12 121212132-=＋＋＋＋ 证明：(1)当n=1时，左边＝21，右边＝212111 =??? ??-，左边＝右边，等式成立。 (2) 设n ＝k 时，等式成立，即k k )21(12 121212132-=＋＋＋＋

数学归纳法习题

数学归纳法习题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

§ 数学归纳法 (时间：50分钟 满分：75分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2011·怀化模拟)用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，在 第二步时，正确的证法是 ( ) A ．假设n ＝k (k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立 B ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋1命题成立 C ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立 D ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋2命题成立 2．(2011·鹤壁模拟)用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋12n －1 1)”时，由n ＝ k (k >1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是 ( ) A ．2k － 1 B ．2k －1 C ．2k D ．2k ＋1 3．(2011·巢湖联考)对于不等式n 2＋n

数学归纳法和常见结论

数学归纳法 数学归纳法是用于证明与正整数n 有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法．在数学竞赛中占有很重要的地位． 1．数学归纳法的基本形式 （1）第一数学归纳法 设)(n P 是一个与正整数有关的命题，如果 ①当0n n =（N n ∈0）时，)(n P 成立； ②假设),(0N k n k k n ∈≥=成立，由此推得1+=k n 时，)(n P 也成立，那么，根据①②对一切正整数0n n ≥时，)(n P 成立． （2）第二数学归纳法 设)(n P 是一个与正整数有关的命题，如果 ①当0n n =（N n ∈0）时，)(n P 成立； ②假设),(0N k n k k n ∈≥≤成立，由此推得1+=k n 时，)(n P 也成立，那么，根据①②对一切正整数0n n ≥时，)(n P 成立． 例题分析 一等式 1. 试证：对一切大于等于1的自然数n 都有 2 sin 221 2sin cos 2cos cos 2 1 ααααα+=++++n n 2.用数学归纳法证明：1+a+a 2 +…+a n+1 =n+2 1-a 1-a (a ≠1)(n ∈N*).

3.请用数学归纳法证明：1+3+6+…+ n(n+1)2=n(n+1)(n+2) 6 (n ∈N*). 4.用数学归纳法证明：1(n 2 -1)+2(n 2 -22 )+…+n(n 2 -n 2 )=2n (n-1)(n+1) 4 (n ∈N*). 5用数学归纳法证明：1·2·3+2·3·4+…+n(n+1)(n+2)=n 4(n+1)·( n+2)·(n+3)(n ∈N*). 6.用数学归纳法证明：1·3+3·5+5·7+…+(2n-1)(2n+1)=21 n(4n +6n-1)(n N*)3 ∈. 7.用数学归纳法证明： 1111n ++++=(n N*)2446682n(2n+2)4(n+1) ???∈???。 8.用数学归纳法证明： 23n n 122n n+2 ++++=2-(n N*)22222 ???∈. 9.用数学归纳法证明： 22212n n(n+1) +++=(n N*)1335(2n-1)(2n+1)2(2n+1) ???∈?? 10.用数学归纳法证明：13 +23 +…+n 3 +3(15 +25 +…+n 5 )=33 n (n+1)2 (n ∈N*)。 11.用数学归纳法证明： 222222222 3572n+11 ++++=1-122334n (n+1)(n+1) ??? (n ∈N*). 12.用数学归纳法证明： 12 -22 +32 -42 +…+(-1)n-1n 2 =(-1)n-1 ·n(n+1) 2 (n ∈N*). 13.用数学归纳法证明： 1-2+4-8+…+(-1)n-12n-1 =(-1)n-1 · 2n 1 +33 (n ∈N*). 14.用数学归纳法证明： (1·22-2·32)+(3·42-4·52)+…+[(2n-1)(2n)2-2n(2n+1)2 ]=-n(n+1)(4n+3) (n ∈N*) 15.求证： 1+2+…+2n=n(2n+1) (n ∈N*) 16.求证： 1+2+…+(n-1)+n+(n-1)+…+1=n 2 (n ∈N*) 17.用数学归纳法证明： 1·n+2(n-1)+…+n ·1= n(n+1)(n+2) 6 (n ∈N*) 18.当n 为正偶数时，求证： (2)(2)21(1)(3)(1)(3)1 n n n n n n n n n n n --???++???+=-----??? .(n ∈N*). 17.用数学归纳法证明