高三数学月考试卷(附答案)
高三数学月考试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的. 1、 设集合{}{}{}5,2,3,2,1,5,4,3,2,1===B A U ，则()=?B C A U ( )
A ．{}2
B ．{}3,2
C ．{}3
D ．{}3,1 2、 函数)1(12<+=x y x 的反函数是 ( )
A ．()()3,1)1(log 2∈-=x x y
B ．()()3,1log 12∈+-=x x y
C ．(]()3,1)1(log 2∈-=x x y
D ．(]()3,1log 12∈+-=x x y 3、 如果)()(x f x f -=+π且)()(x f x f =-，则)(x f 可以是 ( )
A ．x 2sin
B ．x cos
C ．x sin
D ．x sin
4、βα、是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定平面α与β平行的是 ( )
A ．m,n 是α内的两条直线，且ββ//,//n m
B ．βα、都垂直于平面γ
C ．α内不共线三点到β的距离相等
D ．m,n 是两条异面直线,αββα//,//,,n m n m 且??
5、已知数列{}n a 的前n 项和(){}n n
n a a R a a S 则,0,1≠∈-= ( )
A ．一定是等差数列
B ．一定是等比数列
C ．或者是等差数列、或者是等比数列
D ．等差、等比数列都不是
6、已知实数a 满足21< 命题P ：函数)2(log ax y a -=在区间[0，1]上是减函数． 命题Q ：1|| C ．“┐P 且Q ”为真命题； D ．“┐P 或┐ Q ”为真命题 7、教师想从52个学生中抽取10名分析期中考试情况，一小孩在旁边随手拿了两个签，教 师没在意，在余下的50个签中抽了10名学生．则其中的李明被小孩拿去和被教师抽到 的概率分别为 ( ) A ． 11,265 B ．15,2626 C ．1 ,026 D ．11,255 8、某工厂8年来某种产品的总产量c 与时间t （年）的函数关系如右图，下列四种说法： ①前三年中产品增长的速度越来越快；②前三年中产品增长 的速度越来越慢；③第三年后，这种产品停止生产；④第三 年后，年产量保持不变，其中正确的说法是 ( ) ） A ．②和③ B ．①和④ C ．①和③ D ．②和④ 9、若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率e =( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ． 2 5 10、某商场宣传在“五一黄金周”期间对顾客购物实行一定的优惠，商场规定： ①如一次性购物不超过200元，不予以折扣； ②如一次性购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠； ③如一次性购物超过500元的，其中500元给予9折优惠，超过500元的部分给予八五折优惠． 某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款（ ） A ．608元 B ．574.1元 C ．582.6元 D ．456.8元 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上. 11、将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，有如下结论：①AC ⊥BD ； ②⊿ABC 是等边三角形； ③AB 与面BCD 成60°角； ④AB 与CD 成60°角。请你把正确的结论的序号都填上_______________ 12、函数)(x f 是奇函数，当0>x 时，x x x f sin )(2+=，当0 13、若椭圆13422=+y x 上一点P 到右焦点)0,1(F 的距离为2 5，则点P 到x 轴的距离为 14、已知向量b a ,212=-===+ 15、数列{}n a 是等差数列9418240309,, ()n n S S a n -===>，则n 的值为 16、若函数[] 2 23()(, )y x a x x a b =+++∈的图象关于直线1=x 对称，则b = 三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17、（本小题满分14分） 已知函数)0(x cos x cos x sin 3)x (f 2>ωω-ω?ω= 最小正周期2 T π = . （1） 求实数ω的值; （2） 若x 是AB C ?的最小内角, 求函数)x (f 的值域 18、（本小题满分14分） 一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a 成正比，与它的厚度 d 的平方成正比，与它的长度l 的平方成反比. （1）将此枕木翻转90°（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷变大吗？为什么？ （2）现有一根横断面为半圆（半圆的半径为R ）的木材，用它来截取成长方形的枕木， 其长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？ 19、（本小题满分14分） 三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是边长为4的正三角形，侧面AA 1C 1C 是菱形， PA ⊥BC ，点P 是A 1C 1的中点，∠C 1CA=60°. （1）求证：PA ⊥平面ABC ； （2）求直线CC 1与直线B 1P 所成角的正弦值； （3）求四棱锥P —AA 1B 1B 的体积. 20、（本小题满分14分） 在ABC ?中，已知),0(a A ，),0(a B -，AC 、BC 两边所在的直线分别与x 轴交于原点同侧的点M 、N ，且满足24a ON OM =?（a 为不等于零的常数）． （1）求点C 的轨迹方程； （2）如果存在直线:l )0(1≠-=k kx y ，使l 与点C 的轨迹相交于不同的P 、Q 两点， 且AQ AP =，求a 的取值范围． a d l A C A 1 C 1 B 1 B P 21、（本小题满分14分） 已知函数)10(22)(2 2 <<--+=x x x x x x f 的反函数为)(1x f - （1）已知数列{}n a 满足))((,1*1 11N n a f a a n n ∈==-+，求数列{}n a 的通项公式； （2）已知数列{}n b 满足21111 12 *,()()()n n n b b b f b n N -+==+?∈，求证：对一切2≥n 的正整数，都满足：21 21112211<++++++< n n b na b a b a . 参考答案 一、选择题 DADDC ABACC 二、填空题 11、①②④ 12、2sin )(x x x f -= 13、2 3 14、6 15、 15 16、6 三、解答题 17．解(1) 因为21)6x 2sin()x 2cos 1(21x 2sin 23)x (f -π-ω=ω+-ω= 所以,2 22T π =ωπ= 2=ω∴. (2) 因为x 是AB C ?的最小内角, 所以]3 ,0(x π ∈ 又21)6x 4sin()x (f -π-=, 所以]2 1 ,1[)x (f -∈ 18．解：．（1）解：安全负荷k l ad k y (221?=为正常数） 翻转22 2,90l da k y ?=?后 2121,0,y y a d a d y y <<<∴=时当 ，安全负荷变大.当 12,0y y d a <<<时，安全负荷变小. （2）如图，设截取的宽为a ，高为d ，则22222244,)2 (R d a R d a =+=+即.安全负荷 22(ad y k k l =?为正常数）∵枕木长度不变，∴2 u ad =最大时，安全负荷最大. )(24422422222d R d d R d a d u -=-== 令4 2 2 ()()g d d R d =- 523640()g d d R d '∴=-+=时R d 3 6=， 取R d R a 3 32222=-=时，u 最大， 即安全负荷最大. 19. 证明：（1）∵四边形AA 1C 1C 是菱形，∠C 1CA=60°，∴△AC 1A 1是正三角形，又P 是A 1C 1 的中点，∴PA ⊥A 1C 1，∴PA ⊥AC. 又PA ⊥BC ，AC ∩BC=C ∴PA ⊥平面ABC. （2）由（1），PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥平面 A 1B 1C 1，由△AC 1A 1是正三角形，∴PB 1⊥A 1C 1， ∴B 1P ⊥平面AA 1C 1C ，∴B 1P ⊥CC 1. ∴CC 1与B 1P 所成的角的正弦值为1. （3）PA S V V P B A B PA A B B AA P ???==?--1111113122832323 1 2=???= 20.解：（1）设点)0)(,(≠x y x C ，)0,(),0,(N M x N x M ． 当a y =时，x AC //轴，当a y -=时， x BC //轴，与题意不符，所以a y ±≠; 由A ．C ．M 三点共线有 x y a x a M --=--000，解得y a ax x M -=． 同理由B ．C ．N 三点共线，解得y a ax x N += ． 0>?N M x x ， 24a y a ax y a ax x x ON OM N M =+?-= ?=?∴， 化简得点C 的轨迹方程为)0(44222≠=+x a y x ． （2）设PQ 的中点为R ， ?? ?-==+1 , 44222kx y a y x 0448)41(222=-+-+?a kx x k ， 由0)44)(41(464222>-+-=?a k k ，222 410a k a ∴+->…① 2214142k k x x x R +=+= ，2 411 1k kx y R R +-=-=． PQ AR AQ AP ⊥?= ，即1-=?k k AR ， 14140411 22 -=?+- ++∴k k k k a ，0342=-+a ak ，即a a k 432-= ………② 0,02>∴≠k k ， ∴30<-a 3 1> ?a ． 当1=a 时，直线l 过点B ，而曲线C 不过点B ，所以直线l 与曲线C 只有一个公共点.故1=a 舍去;故a 的取值范围是33 1
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