《误差理论与测量平差基础》试卷A(答案)
《误差理论与测量平差基础》期末考试试题A(参考答案)
一、名词解释（每题2分，共10分）
1、偶然误差
——在相同的观测条件系作一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出偶然性。即从单个误差看，该误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律。这种误差称为偶然误差。
2、函数模型线性化
——在各种平差模型中，所列出的条件方程或观测方程，有的是线性形式，有的是非线性形式。在进行平差计算时，必须首先把非线性形式的函数方程按台劳公式展开，取至一次项，转换成线性方程。这一转换过程，称之为函数模型的线性化。 3、点位误差椭圆
——以点位差的极大值方向为横轴X 轴方向，以位差的极值F E 、分别为椭圆的长、短半轴，这样形成的一条椭圆曲线，即为点位误差椭圆。 4、协方差传播律
——用来阐述观测值的函数的中误差与观测值的中误差之间的运算规律的数学公式。如
0K KL Z +=，若观测向量的协方差阵为LL D ，则按协方差传播律，应有T LL ZZ K KD D =。
5、权
——表示各观测值方差之间比例关系的数字特征，220
i
i P σσ=。
二、判断正误（只判断）（每题1分，共10分）
参考答案：X √X √X X X √√X
三、选择题（每题3分，共15分）
参考答案：CCDCC
四．填空题（每空3分，共15分）
参考答案：1. 6个
2. 13个
3.1/n
4. 0.4
5. 0)
()
()
()
(432
00
2
0=''+?+?+-''+
-''-
W y S
X X x S
Y Y C AC
A C C AC
A C ρρ,其中
AB A
C A
C X X Y Y W αββ-++--=''4300arctan
五、问答题（每题4分，共12分）
1. 几何模型的必要元素与什么有关？必要元素数就是必要观测数吗？为什么？
答：⑴几何模型的必要元素与决定该模型的内在几何规律有关；（1分） ⑵必要元素数就是必要观测数；（1分）
⑶几何模型的内在规律决定了要确定该模型，所必须具备的几何要素，称为必要元素，必要元素的个数，称为必要元素数。实际工程中为了确定该几何模型，所必须观测的要素个数，称为必要观测数，
其类型是由必要元素所决定的，其数量，必须等于必要元素的个数。（2分）
2. 简述偶然误差的特性
答：⑴在一定条件下，误差绝对值有一定限值。或者说，超出一定限值的误差，其出现概率为零；（1分） ⑵绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；（1分）
⑶绝对值相等的正负误差出现的概率相同；（1分）
⑷偶然误差的数学期望为零，即0)(=?E 。（1分）
3. 在平差的函数模型中，n ，t ，r ，u ，s ，c 等字母代表什么量？它们之间有什么关系？ 答：n ——总观测数；t ——必要观测数；r ——多余观测数；u ——未知参数个数； s ——未知参数中具有函数约束的条件数；c ——般约束条件个数 （答对3个1分） 函数关系： r=n-t ，r+u=c+s （每个1分）
六．计算题(30分)
1. 解：（1）写成矩阵形式，有：
[]AL L L L F =??
??
?
?????=3213211（1分）
由方差的传播律，有：
[]363213000200013212
1
=??
??
?
???????????????==T LL F
A AD σ（2分）
（2）对3
2
123L L L F =
两边求全微分，得： ????
???
???????
??-=-+=32123213
1
3
23232
12311322333333dL dL dL L L L L L L L dL L L L dL L L dL L L dF （1分）
由方差的传播律，有：
43
2
2212322212
32
131
3223213
13
2
2
293)2(3333000200013331
L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L ++=??
??????
??????????-??????????????
??-=σ（2分） 2. 解：由题所给，有：
（1）由间接平差法方程公式：pl B X N T
bb =，可得
??
????=??????--=?
?????--??????--==--
211
2114682210x x pl B N X T bb （2分） 因此未知数的解为：x1=-1,x2=-2
（2）在间接平差数学模型中，有：
)(22
1032][0mm t n vv t n PV V m T =-=-=-=（2分）
（3）??
????==???????=
??
?
???--==--
5114192Q 511438182210Q ??2
0??1
??X X
X X bb
X X m D N （2分） []74.314143
434??2
==?=??
????=F X X F D σσ（2分）
3. 解：（1）条件平差法
由题所给，有：
n=6；t=P-1=4-1=3，r=n-t=6-3=3,因此条件方程个数为：3
列出条件方程为：（1分）
???
????=+-=++=++0???0???0???642541321h h h h h h h h h ，由i i i v h h +=?，带入观测值，得误差方程为： 12
34561110009100110900101016V V V V V V ??
????-????
??????+=??????
??????--???????????
?（1分）
（形式不唯一，只要跟条件方程对应即可）
协因数阵为Q=diag(1,1,1,1,1,1) 法方程系数阵
311131113T aa N AQA ??
??==-??
??-??
（1分）
法方程为：
0699311131113321=????
?
?????-+????????????????????--k k k （1分） （2）间接平差法
设521???h h h 、、为未知数参数3
21?,?,?X X X ，则可列出观测方程如下： （也可假设一个高程点高程为已知，设其他3个未知点高程为未知数，列对观测方程即可）
?????????
?
?++-==+-=+-===)
?
??(???)??(?)??(?
????321635
3
142
132
211X X X h X h X X h X X h X h X h （1分），对应误差方程为：???????????+---==---=+--==-=3????9??9????3216353142132211x x x v x v x x v x x v x v x v （1分）
误差方程系数矩阵B 及自由项l 分别为：
??
?
?
?????
???????????-------=111100101011010001B ，???????
?????????????-=309900l （1分）
权阵为P=diag(1,1,1,1,1,1)
由此，法方程为：?T
T B PBx B Pl ==>06123312132224321=??
??
?
?????-+????????????????????x x x （1分） 4. 解：⑴S
c
P =，由于以2km 观测高差的权为单位权
则： 22
1==>=c c
（1分）
所以每段观测的权为：
5.04
2
11===
S c P
625.02.3222===
S c P 12
233===S c P 769.06.2244===
S c P 588.04
.32
55===S c P 往返观测高差差值为：58
7
8
854321=-==-=-=d d d d d
则
[]0.185)5(588.0)8(769.0)7(1)8(625.0)8(5.022222233222211=?+-?+?+-?+?=++=d p d p d p pdd
)(3.410
185
2][0mm n pdd ±=±=±
=σ
（1分） ⑵由
i
i
p 20
2
σσ=
（1分）
可得：i
i p 10
σσ=
所以：4.5625.0/13.41
2
2=±==p σσ
（1分） ⑶各段观测高差平均值的中误差为：
2
i
σ 因此第二段观测高差平均值的中误差为：
8.32
4
.522==σ（1分）
⑷每公里观测高差中误差为S S ?=2
2,公里公里由σσσ 得：
)(0.32
3
.42
2
0mm ±=±
=±
=σσ公里（1分） 全长观测高差中误差为：)(7.112.150.3S mm ±=±==全公里全σσ（1分） ⑸全长高差平均值的中误差为：
)(3.82
7
.112
mm ±=±
==
全
全长平均σσ（1分） 七．证明题（8分）
1.证明：设未知量的平差值为X
?，由题所给，列出观测方程及误差方程分别为：
?????
?
?===X L X
L X L n
?
?......
????21
， ???????+-=+-=+-=X L v X L v X L v n n ?......??2211， ????
??
??????=1...11B ， ?????
???????=n L L L l ...21（1分）
由此有法方程系数证及常数项分别为：
[]∑==?????
????????????????
?
?
?==n
i i n T
bb
P P P P PB B N 12
1
1...11...
1......11=>∑=-=n
i i
bb P
N 1
11
（1分）
[]∑==?????
????????????????
?
?
?=n
i i i n n T
L P L L L P P P Pl B 1212
1......
1......11（1分） 由此，∑∑==-==n
i i
n
i i
i T bb
p
L
p Pl B N X 1
1
1)(?，得证。
2 证明：
设水准点P 位于距A 点距离为1S 的位置，平差后高程为X ，列出观测方程如下：
?????+-=-=B
A
H X h H X h 21??，误差方程：??
?+-=-=2211l x v l x v （1分）
得：[]T
B 11-=，附和线路权阵????
??
?????
?-=11
100
1
S S S P （1分）
，由此得法方程系数：
[]1
2111
11100
1
11SS S S S S S
PB B N T
bb
+-=??????-?????
?
?????
?--===>1211
S S S N bb +-=-…(1) （1分）
而1
-=bb xx N Q （1分）
xx xx Q 0σσ= ,所以当max σσ=xx 时，要求max Q Q xx =
(1)式中对1S 求自由极值，得当2
1S
S =
时，xx Q 取得最大值，得证（1分）