平面向量典型例题67629
平面向量经典例题：
1.
已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,0)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(1，－2)共线，则实数λ等于( ) A ．－2
B ．－13
C ．－1
D ．－23
[答案] C
[解析] λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)，∵λa ＋b 与c 共线，∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1. 2.
(文)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，
3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( )
A ．－1
B ．－ 3
C ．－3
D ．1
[答案] C [解析] a ＋2b ＝(
3，1)＋(0,2)＝(
3，3)， ∵a ＋2b 与c 垂直，∴(a ＋2b )·c ＝
3k ＋3
3＝0，∴k ＝－3.
(理)已知a ＝(1,2)，b ＝(3，－1)，且a ＋b 与a －λb 互相垂直，则实数λ的值为( ) A ．－
611
B ．－116
C.611
D.11
6
[答案] C
[解析] a ＋b ＝(4,1)，a －λb ＝(1－3λ，2＋λ)， ∵a ＋b 与a －λb 垂直，
∴(a ＋b )·(a －λb )＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，∴λ＝611
.
3.
设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则向量a 、b 间的夹角为( ) A ．150° B ．120° C ．60° D ．30°
[答案] B
[解析] 如图，在?ABCD 中，
∵|a |＝|b |＝|c |，c ＝a ＋b ，∴△ABD 为正三角形，∴∠BAD ＝60°，
∴〈a ，b 〉＝120°，故选B.
(理)向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝32
，a 与b 的夹角为60°，则|b |＝( )
A.1
2 B.1
3 C.1
4 D.15
[答案] A [解析] ∵|a －b |＝
3
2，∴|a |2＋|b |2－2a ·b ＝3
4，∵|a |＝1，〈a ，b 〉＝60°， 设|b |＝x ，则1＋x 2－x ＝34，∵x >0，∴x ＝1
2.
4.
若AB →·BC →＋AB →2
＝0，则△ABC 必定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形
[答案] B
[解析] AB →·BC →＋AB →2＝AB →·(BC →＋AB →)＝AB →·AC →＝0，∴AB →⊥AC →， ∴AB ⊥AC ，∴△ABC 为直角三角形． 5.
若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－2,4)，则用a ，b 表示c 为( ) A ．－a ＋3b B ．a －3b C ．3a －b D ．－3a ＋b [答案] B
[解析] 设c ＝λa ＋μb ，则(－2,4)＝(λ＋μ，λ－μ)，
∴??
?
λ＋μ＝－2λ－μ＝4
，∴??
?
λ＝1μ＝－3
，∴c ＝a －3b ，故选B.
在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →
＝a ，BD →＝b ，则AF →
等于( )
A.14a ＋12
b B.23a ＋1
3
b
C.12a ＋14b
D.13a ＋2
3
b [答案] B
[解析] ∵E 为OD 的中点，∴BE →＝3ED →， ∵DF ∥AB ，∴|AB ||DF |＝|EB |
|DE |
，
∴|DF |＝13|AB |，∴|CF |＝23|AB |＝2
3
|CD |，
∴AF →＝AC →＋CF →＝AC →＋23CD →＝a ＋23(OD →－OC →
)＝a ＋23(12b －12a )＝23a ＋13b .
6.
若△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →
的值为( ) A ．19 B ．14 C ．－18 D ．－19 [答案] D
[解析] 据已知得cos B ＝72＋52－622×7×5＝1935，故AB →·BC →＝|AB →|×|BC →|×(－cos B )＝7×5×? ????－1935＝－19.
7.
若向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．2 3
C ．3
2
D ．6
[答案] D
[解析] a ·b ＝4(x －1)＋2y ＝0，∴2x ＋y ＝2，∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y ＝6，等号在x ＝1
2
，y ＝1时成
立． 8.
若A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，若O 不在l 上，存在实数x 使得x 2OA →＋xOB →＋BC →
＝0，实数
x 为( )
A ．－1
B ．0 C.
－1＋52
D.1＋52
[答案] A
[解析] x 2OA →＋xOB →＋OC →－OB →＝0，∴x 2OA →＋(x －1)OB →＋OC →
＝0，由向量共线的充要条件及A 、B 、
C 共线知，1－x －x 2＝1，∴x ＝0或－1，当x ＝0时，BC →
＝0，与条件矛盾，∴x ＝－1.
9.
(文)已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →
)( ) A ．最大值为8 B ．最小值为2 C ．是定值6 D ．与P 的位置有关
[答案] C
[解析] 以BC 的中点O 为原点，直线BC 为x 轴建立如图坐标系，则B (－1,0)，C (1,0)，A (0，3)，AB
→＋AC →
＝(－1，－
3)＋(1，－
3)＝(0，－2
3)， 设P (x,0)，－1≤x ≤1，则AP →
＝(x ，－3)，
∴AP →·(AB →＋AC →)＝(x ，－
3)·(0，－2
3)＝6，故选C.
(理)在△ABC 中，D 为BC 边中点，若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|AD →
|的最小值是( )
A.12
B.32
C. 2
D.22
[答案] D
[解析] ∵∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1，∴|AB →|·|AC →
|·cos120°＝－1， ∴|AB →|·|AC →|＝2，∴|AB →|2＋|AC →|2≥2|AB →|·|AC →|＝4，∵D 为BC 边的中点，
∴AD →＝12(AB →＋AC →)，∴|AD →|2＝14(|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →)＝14(|AB →|2＋|AC →|2－2)≥14(4－2)＝12，
∴|AD →
|≥22
.
10. 如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD
分别交于E 、F 两点，且交其对角线于K ，其中AE →＝13
AB →，
AF →
＝12
AD →
，AK →＝λAC →
，则λ的值为( )
A.15
B.14
C.
13
D.12
[答案] A
[解析] 如图，取CD 的三等分点M 、N ，BC 的中点Q ，则EF ∥DG ∥BM ∥NQ ，易知AK →＝15AC →
，∴λ＝15
.
11. 已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋4b 与a －2b 共线，则m 的值为( )
A.1
2 B ．2 C ．－2 D ．－1
2
[答案] C
[解析] m a ＋4b ＝(2m －4,3m ＋8)，a －2b ＝(4，－1)， 由条件知(2m －4)·(－1)－(3m ＋8)×4＝0，∴m ＝－2，故选C.
12. 在△ABC 中，C ＝90°，且CA ＝CB ＝3，点M 满足BM →＝2MA →，则CM →·CB →等于( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6 [答案] B
[解析] CM →·CB →＝(CA →＋AM →)·CB →
＝(CA →＋13AB →)·CB →＝CA →·CB →＋13AB →·CB →
＝13|AB →|·|CB →|·cos45°＝1
3
×32×3×
22
＝3.
13. 在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，AB ＝3，BD ＝1，则AB →·AD →
＝________.
[答案]
152
[解析] 由条件知，|AB →|＝|AC →|＝|BC →|＝3，〈AB →，AC →
〉＝60°， 〈AB →，CB →〉＝60°，CD →＝23
CB →，
∴AB →·AD →＝AB →·(AC →＋CD →)＝AB →·AC →＋AB →·23CB →
＝3×3×cos60°＋23×3×3×cos60°＝152.
14. 已知向量a ＝(3,4)，b ＝(－2,1)，则a 在b 方向上的投影等于________．
[答案] －
25
5。[解析] a 在b 方向上的投影为
a ·
b |b |＝
－2
5
＝－
25
5
.
15. 已知向量a 与b 的夹角为2π
3
，且|a |＝1，|b |＝4，若(2a ＋λb )⊥a ，则实数λ＝________.
[答案] 1
[解析] ∵〈a ，b 〉＝
2π3
，|a |＝1，|b |＝4，∴a ·b ＝|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉＝1×4×cos
2π3
＝－2，∵(2a
＋λb )⊥a ，∴a ·(2a ＋λb )＝2|a |2＋λa ·b ＝2－2λ＝0，∴λ＝1. 16. 已知：|OA →|＝1，|OB →
|＝
3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝30°，设OC →＝mOA →＋nOB
→(m ，n ∈R ＋)，则m n
＝________.
[答案] 3
[解析] 设mOA →＝OF →，nOB →＝OE →，则OC →＝OF →＋OE →
，
∵∠AOC ＝30°，∴|OC →|·cos30°＝|OF →|＝m |OA →
|＝m ， |OC →|·sin30°＝|OE →|＝n |OB →|＝
3n ，
两式相除得：
m
3n ＝|OC →
|cos30°|OC →|sin30°＝1tan30°
＝3，∴m n
＝3.
17. (文)设i 、j 是平面直角坐标系(坐标原点为O )内分别与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，且OA
→
＝－2i ＋j ，OB →
＝4i ＋3j ，则△OAB 的面积等于________． [答案] 5
[解析] 由条件知，i 2＝1，j 2＝1，i ·j ＝0，∴OA →·OB →＝(－2i ＋j )·(4i ＋3j )＝－8＋3＝－5，又OA →·OB →
＝|OA →|·|OB →|·cos 〈OA →，OB →〉＝5
5cos 〈OA →，OB →
〉， ∴cos 〈OA →，OB →
〉＝－
55
，∴sin 〈OA →，OB →
〉＝
255， ∴S △OAB ＝12|OA →|·|OB →|·sin 〈OA →，OB →
〉＝12
×
5×5×
25
5＝5.
(理)三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，能得出三角形ABC 一定是锐角三角形的条件是________(只写序号)
①sin A ＋cos A ＝15 ②AB →·BC →
<0 ③b ＝3，c ＝3
3，B ＝30° ④tan A ＋tan B ＋tan C >0.
[答案] ④
[解析] 若A 为锐角，则sin A ＋cos A >1，∵sin A ＋cos A ＝15
，∴A 为钝角，∵AB →·BC →<0，∴BA →·BC →
>0，
∴∠B 为锐角，由∠B 为锐角得不出△ABC 为锐角三角形；由正弦定理
b sin B ＝
c
sin C 得，3sin30°＝33
sin C
，∴sin C
＝32
，∴C ＝60°或120°，∵c ·sin B ＝33
2，3<33
2<33，∴△ABC 有两解，故①②③都不能得出△ABC
为锐角三角形．
④由tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＋tan C ＝－tan C (1－tan A tan B )＋tan C ＝tan A tan B tan C >0，及A 、B 、C ∈(0，π)，A ＋B ＋C ＝π知A 、B 、C 均为锐角，
∴△ABC 为锐角三角形．
18. 已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )．
(1)若a ⊥b ，求x 的值． (2)若a ∥b ，求|a －b |. [解析] (1)若a ⊥b ，
则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x )＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0， 整理得x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.
(2)若a ∥b ，则有1×(－x )－x (2x ＋3)＝0，则x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2， 当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)， ∴|a －b |＝|(1,0)－(3,0)|＝|(－2,0)|＝
(－2)2＋02＝2，
当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)，