熊伟编《运筹学》习题十详细解答

习题十

10.1某产品每月用量为50件，每次生产准备成本为40元，存储费为10元/（月·件），求最优生产批量及生产周期。

【解】模型4。D=50，A=40，H=10

224050

20()10

/0.4()2210405025200()

AD Q H t Q D f HAD ??=

======???=件月元

则每隔0.4月生产一次，每次生产量为20件。

10.2某化工厂每年需要甘油100吨，订货的固定成本为100元，甘油单价为7800元/吨，每吨年保管费为32元，求：（1）最优订货批量；（2）年订货次数；（3）总成本。 【解】模型4。D=100，A=100，H=32，C=7800

22100100

25()32/4()

22321001007800100780800()

AD Q H n D Q f HAD CD ??=

=====+=???+?=件次元

则（1）最优订货批量为25件；（2）年订货4次；（3）总成本为780800元。

10.3工厂每月需要甲零件3000件，每件零件120元，月存储费率为1.5%，每批订货费为150元，求经济订货批量及订货周期。

【解】模型4。D=3000，A=150，H=120×0.015＝1.8，C=120

221503000

707()1.8

/0.24()22 1.815030001203000361272.79()

AD Q H t Q D f HAD CD ??=

=≈===+=???+?=件月元

则经济订货批量为707件，订货周期为0.24月。

10.4某公司预计年销售计算机2000台，每次订货费为500元，存储费为32元/（年·台），缺货费为100元/年·台。

试求：（1）提前期为零时的最优订货批量及最大缺货量；（2）提前期为10天时的订货点及最大存储量。

【解】模型3。D=2000，A=500，H=32，B=100, L=0.0274(年)

22500200032100

287()32100

AD H B Q H B +??+=

=≈台

22500200032

69()10032100AD H S B H B ??=

≈++＝台

1225002000100

218()3232100

AD B Q H H B ??=

=≈+台＋

R ＝LD －S ＝0.0274×2000－69＝55－69＝－14（件）

(1)最优订货批量为287台，最大缺货量为69台；(2)再订货点为－14台，最大存储量

为218台。

10.5将式（10.22）化为t 的函数f (t )，推导出最优解Q *及t *。 10.6求图10-1缺货周期内的生产时间t 2。 【解】因为

P

D

P B H B HAD P t t D P D t D P S －＝)(2)

)(()(32+=

--=

-

所以

221

()()

S HAD t P D B H B P P D =

=

-+- 10.7证明模型3的存储费小于模型4的存储费，并验证当题10.2的缺货费为100元时的情

形。

【证】由模型3：B H B H AD Q ＋2*

1=

,B

B

H HD A

t +=

2*

；存储费 21112222()()

2

AD B HQ H Dt Dt H H B

HDB AB

A H

B H B ADH ==

++≤

＋ 由模型4 ,2*AD

Q H

=

，存储费为 222

2

HQ H

AD

ADH

H

== 证毕。

题10.2中，D=100，A=100，H=32，C=7800，B=100时，允许缺货的存储费为

21122()()

32100100100100

263.75

2100(32100)32100

HDB AB HQ Dt A H B H B =++???=

=??++

不允许缺货的存储费为

10010032

400263.7522

ADH ??==> 10.8将式(10.15)表达为（Q ，S ）的函数，推导出最优订货量和订货周期。

10.9某产品月需要量为500件，若要订货，可以以每天50件的速率供应。存储费为5元/（月·件），订货手续费为100元，求最优订货批量及订货周期。 【解】模型2。D=500，P=30×50＝1500，H ＝5，A ＝100

221005001500

*173.21()5(1500500)

AD P Q H P D ???=

==-?-件

*173.21

*0.346(500

Q t D =

==月) 最优订货批量约为173件，约11天订货一次。

10.10某企业每月甲零件的生产量为800件，该零件月需求量为500件，每次准备成本50元，每件月存储费为10元，缺货费8元，求最优生产批量及生产周期。 【解】模型1。D=500，P=800，H ＝10，A ＝50，B ＝8

2250(108)800

*173.21108(800500)

AD H B P Q H B P D +??+?=

=-??-＝

*173.21

*0.346()500

Q t D ===月

最优订货批量约为173件，约11天订货一次。

10.11求模型1的缺货周期。

【解】缺货周期为t －t 3，由习题10.6

221

()()

S HAD t P D B H B P P D =

=

-+- 及32()D t t Pt -=，有

2

321()()21()()

Pt t t D P HAD D B H B P P D HAP DB H B P D -=

=+-=

+- 10.12将式(10.1)表达为（Q ，S ）的函数，推导出最优订货量和订货周期。

10.13证明：在模型4中，当Q *在14%范围内变化为Q 时，总成本约增加1%。 【证】由Q=(1+δ)Q *,δ＝±0.14及式(10.29)，则当δ1＝0.14及δ1＝－0.14时

2

1()(*)0.140.00891%(*)2(10.14)f Q f Q i f Q -===≈+

2

2()(*)(0.14)0.01141%(*)2(10.14)

f Q f Q i f Q --===≈-

证毕。

10.14在题2中，假定工厂考虑流动资金问题，决定宁可使总成本超过最小成本5%作存储策略，求此时的订货批量。

【解】引用例10.7的结果：i =0.05时δ1=0.37及δ2=－0.27，当δ1=0.37时，由题2的结果有

*(10.37) 1.372534.25()Q Q =+=?=件

当δ1=－0.27时

*(10.27)0.732518.25()Q Q =-=?=件

订货量约为34件或18件。

10.15 假定题1中的需求现在是200件，存储费和准备费不变，问现在的经济订货批量和订货周期各是原来的多少倍。

【解】200,50,4,4,42D D D D δδ''======

D=50，A=40，H=10

221

0.54

Q A

A t t D H D HD δ*=

==='

则现在的经济订货批量和订货周期各是原来的2倍和0.5倍。

10.16 证明：在模型3中，当订货费、存储费和缺货费同时增加δ倍时，经济订货批量不变。 【证】由式(10.18)知

2AD H B

Q Q H B

δδδδδ*+=

=

10.17 商店出售某商品，预计年销售量为5000件，商品的价格为k (t )=50t （单位：元）。每

次订货费为100元，每件商品年保管费为50元，求最优存储策略。

【解】D=5000，C (t )=50t ，A=100，H ＝50，C 0=50，由式（10.33）及（10.34）

2100200

*0.0165000(50250)750000

t ?=

==?+?

*5000*50000.01681.65Q t ==?= 订货周期约6天，订货量约为82件。

10.18 假定在题17中，商品单价函数为k (t )=50t －

1,求最优存储策略。 【解】由公式

H

D C A D Q HD D C A t )

(2*,)

(2*00+=

+=

得t ＝1.414，Q=5000，此时应一次订购一年的需要量。

10.19 商店拟定在第二、三季度采购一批空调。预计销售量的概率见表10.16。

表10.16

需求量x i

（百台） 0 1 2 3 4 5 概率 p i

0.01

0.15

0.25

0.30

0.20

0.09

已知每销售100台空调可获利润1000元，如果当年未售完，就要转到下一年度销售，每一百台的存储费为450元，问商店应采购多少台空调最佳。 【解】P －C ＝1000，H=450，B=0，C －S=0，

C o ＝C －S ＋H ＝450，C u =P －C ＋B ＝1000

1000

0.6891450

u u o C SL C C =

==+

3

0.010.150.250.30.71i

i p

==+++=∑

商店最佳订货量为300台。

10.20 由于电脑不但价格变化快而且更新快，某电脑商尽量缩短订货周期，计划10天订货一次。某周期内每台电脑可获得进价15％的利润，如果这期没有售完，则他只能按进价的90％出售并且可以售完。到了下一期电脑商发现一种新产品上市了，价格上涨了10％，他的利润率只有10％，，如果没有售完，则他可以按进价的95％出售并且可以售完。假设市场需求量的概率不变。问电脑商的订货量是否发生变化，为什么。 【解】（1）设初期价格为C ，C u =0.15C ，C O ＝0.1C ，则

10.6u

u o

C SL C C =

＝＋

（2）设单价为C ，C u =0.1×1.1C ，C O =0.05×1.1C ，则

20.666u

u o

C SL C C =

=＋

因为SL 2>SL 1,所以应增加订货量。

10.21鲜花商店准备在9月10日教师节到来之前比以往多订购一批鲜花，用来制作“园丁颂”的花篮。每只花篮的材料、保养及制作成本是60元，售价为120元/只。9月10日过后只能按20元/只出售。据历年经验，其销售量服从期望值为200、均方差为150的正态分布。该商店应准备制作多少花篮使利润最大，期望利润是多少。 【解】P ＝120，C ＝60，S=20，B ＝H ＝0

C o ＝C －S ＋H ＝40，C u =P －C ＋B ＝60

60

0.6100

u u o C SL C C =

==+

02000.6150Q F -??= ???

查正态分布表得到

200

0.25150

Q -=，则Q=150×0.25+200＝238（件）

。期望利润为6204.85元。

10.22 某涂料工厂每月需要某种化工原料的概率服从75吨至100吨之间的均匀分布，原料单价为4000元/吨，每批订货的固定成本为5000元，每月仓库存储一吨的保管费为60元，每吨缺货费为4300元，求缺货补充的（s ，Q ）存储策略。

【解】该题增加条件L=6天。C ＝4000，A=5000，H ＝60，B=4300，p=100，q ＝0；均匀分布（Uniform ）：a=75，b=100，L ＝0.2月，平均需求量（100+75）/2＝87.5。提前期内的平均需求量为87.5×0.2＝17.5，分布参数为100*0.2－75*0.2＝5。迭代过程见下表。

数据 订货量Q(i) 不缺货的概率F(s)

再订货点s(i) 安全存量SS(i)

H= 60 Q(1)= 120.7615 F(1)= 0.9807 s(1)= 4.90 SS(1)= -12.60 D=

87.5

Q(2)= 120.8096 F(2)= 0.9807 s(2)= 4.90 SS(2)= -12.60 A= 5000 Q(3)= 120.8096 F(3)= 0.9807 s(3)= 4.90 SS(3)= -12.60 B= 4300

Q(4)=

120.8096 F(4)=

0.9807 s(4)=

4.90

SS(4)= -12.60

q= 0Q(5)= 120.8096 F(5)= 0.9807 s(5)= 4.90 SS(5)= -12.60 a=5

q=0 时：Q*= 120.80965s*= 4.9037

公式：Q(1)= SQRT(2*C5*C4/C3)

Q(2)= SQRT((2*$C$5*$C$4+$C$4*$C$6*$C$8+$C$4*$C$6*J3^2/$C$8-2*$C$4*$C $6*J3)/$C$3)

F(1)= 1-$C$3*F3/($C$7*$C$3*F3+$C$6*$C$4)

s(1)= $C$8*H3

SS(1)= J3-17.5

Q*= S QRT(C5*C4*2/C3)*SQRT(C4*C6/(C4*C6-C3*C8))

s*= C8*(1-C3*F9/(C6*C4))

其余单元格用上一步迭代公式复制即可。

最优存储策略为：再订货点s＝5，订货量Q＝121。结果显示，安全存量为负数，一次订货量是一个月平均需求量的1.37倍，这是因为一次订购成本很大、持有成本较小引起的。10.23 若H=0.15，B=1，A=100，L=1/10（年）,在L这段时间内的需求量服从μ=1000，σ2=625的正态分布，年平均需要量D=10000件，求缺货补充的（s，Q）存储策略。

【解】迭代过程见下表。

数据订货量Q(i)不缺货的概率F(s)(s-μ)/σ(查表）H= 0.15Q(1)= 3651.4837 F(1)= 0.9452 1.6000

D= 10000Q(2)= 3638.1334 F(2)= 0.9454 1.6000

A= 100Q(3)= 3644.4866 F(3)= 0.9453 1.6000

B= 1Q(4)= 3643.2734 F(4)= 0.9454 1.6000

q= 0Q(5)= 3640.9071 F(5)= 0.9454 1.6000

μ=1000Q(6)= 3640.4113 F(6)= 0.9454 1.6000

σ=25

s(i) f((s-μ)/σ)G((s-μ)/σ)b(i) 安全存量SS(i)

s(1)= 1040.0000 0.0584 0.0548 -0.7299 SS(1)= 40.00

s(2)= 1040.0000 0.0720 0.0546 -0.3829 SS(2)= 40.00

s(3)= 1040.0000 0.0695 0.0547 -0.4492 SS(3)= 40.00

s(4)= 1040.0000 0.0643 0.0546 -0.5785 SS(4)= 40.00

s(5)= 1040.0000 0.0632 0.0546 -0.6055 SS(5)= 40.00

s(6)= 1040.0000 0.0632 0.0546 -0.6052 SS(6)= 40.00

公式：Q(1)= SQRT(2*C5*C4/C3)

Q(2)= SQRT((2*$C$4*($C$5+$C$6*N3)/$C$3))

F(1)= 1-$C$3*F3/($C$7*$C$3*F3+$C$6*$C$4)

s(1)= I3*$C$9+$C$8

G= 1-H3

b(1)= $C$9*L3+($C$8-K3)*M3

其余单元格用上一步迭代公式复制即可。

(s-μ)/σ、f((s-μ)/σ)查表得到

最优存储策略为：再订货点s＝1040，订货量Q＝3640。