中考数学压轴题专题
中考数学压轴题专题
一、函数与几何综合的压轴题
1.如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上；
(2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程.
(3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交于E ′点，
如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式.
[解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考）
方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴
,EO DO EO BO AB DB CD DB ''''
==
又∵DO ′+BO ′=DB ∴
1EO EO AB DC
''
+=
∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2
又∵DO EO DB AB ''=，∴2
316
EO DO DB AB ''=?=?=
∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ②
联立①②得02x y =??=-?
∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上
（2）设抛物线的方程y =ax 2
+bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3）
图①
图②
E （0，-2）三点，得方程组42632a b c a b c c -+=-??
++=-??=-?
解得a =-1,b =0,c =-2
∴抛物线方程y =-x 2
-2 （3）（本小题给出三种方法，供参考）
由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。
同（1）可得：
1E F E F
AB DC
''+= 得：E ′F =2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '?=
，∴1
3DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =1112
2223
DC DB DC DF DC DB ?-?=?
=1
3
DC DB ?=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式
方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()11
32322
BD E F k k '=
?=+?=+ ∴S =3+k 为所求函数解析式.
证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2
同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2
=1∶4 ∴()221
3992
AE C ABCD S S AB CD BD k '?=
=?+?=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式.
2.已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直径AC 为22的圆与y 轴交于A 、D 两点.
（1）求点A 的坐标；
（2）设过点A 的直线y ＝x ＋b 与x 轴交于点B.探究：直线AB 是否⊙M 的切线？并对你的结论加以证明；
（3）连接BC ，记△ABC 的外接圆面积为S 1、⊙M 面积为S 2，若
4
21h
S S =，抛物线 y ＝ax 2
＋bx ＋c 经过B 、M 两点，且它的顶点到x 轴的距离为h .求这条抛物线的解析式.
[解]（1）解：由已知AM ＝2，OM ＝1，
在Rt△AOM 中，AO ＝
122=-OM AM ，
∴点A 的坐标为A （0，1）
（2）证：∵直线y ＝x ＋b 过点A （0，1）∴1＝0＋b 即b ＝1 ∴y＝x ＋1 令y ＝0则x ＝－1 ∴B（—1，0），
AB ＝
2112222=+=+AO BO 在△ABM 中，AB ＝2，AM ＝2，BM ＝2
222224)2()2(BM AM AB ==+=+
∴△ABM 是直角三角形，∠BAM＝90° ∴直线AB 是⊙M 的切线
（3）解法一：由⑵得∠BAC＝90°，AB ＝2，AC ＝22， ∴BC＝
10)22()2(2222=+=+AC AB
∵∠BAC＝90° ∴△ABC 的外接圆的直径为BC ，
∴π
ππ2
5)210()2(221=?=?=BC S 而πππ2)222()2(
2
22=?=?=AC S
421h S S =Θ，5,4225
=∴=h h 即 ππ 设经过点B （—1，0）、M （1，0）的抛物线的解析式为：
y ＝a （＋1）（x －1），（a≠0）即y ＝ax 2
－a ，∴－a ＝±5，∴a＝±5
∴抛物线的解析式为y ＝5x 2－5或y ＝－5x 2
＋5 解法二：（接上） 求得∴h＝5
由已知所求抛物线经过点B （—1，0）、M （1、0），则抛物线的对称轴
是y 轴，由题意得抛物线的顶点坐标为（0，±5）
∴抛物线的解析式为y ＝a （x －0）2
±5
又B （－1,0）、M （1,0）在抛物线上，∴a±5＝0， a ＝±5
∴抛物线的解析式为 y ＝5x 2－5或y ＝－5x 2
＋5 解法三：（接上）求得∴h＝5
因为抛物线的方程为y ＝ax 2
＋bx ＋c （a≠0）
由已知得???
??-===?????==?????????
±=-=+-=++5
055c 0b 5544002c b a a a
b a
c c b a c b a 或 ＝－ 解得
∴抛物线的解析式为 y ＝5x 2
－5或y ＝－5x 2
＋5.
3.如图，在直角坐标系中，以点P （1，－1）为圆心，2为半径作圆，交x 轴于A 、B 两点，抛物线)0(2
>++=a c bx ax y 过点A 、B ，且顶点C 在⊙P 上. (1)求⊙P 上劣弧⌒
AB 的长；
(2)求抛物线的解析式；
(3)在抛物线上是否存在一点D ，使线段OC 与PD 互相平分？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由. [解] （1）如图，连结PB ，过P 作PM⊥x 轴，垂足为M.
在Rt△PMB 中，PB=2,PM=1,
∴∠MPB＝60°，∴∠APB＝120° ⌒
AB 的长＝
3
42180120π
π=
???? （2）在Rt△PMB 中，PB=2,PM=1,则MB ＝MA ＝3. 又OM=1，∴A（1－3，0），B （1＋3，0）， 由抛物线及圆的对称性得知点C 在直线PM 上，
则C(1，－3).
点A 、B 、C 在抛物线上，则
???
????++=-+-+-=++++=c b a c b a c b a 3)31()31(0)31()31(022 解之得?????-=-==2
21
c b a ∴抛物线解析式为222--=x x y
（3）假设存在点D ，使OC 与PD 互相平分，则四边形OPCD 为平行四边形，且PC∥OD .
又PC∥y 轴，∴点D 在y 轴上，∴OD＝2，即D （0，－2）.
又点D （0，－2）在抛物线222
--=x x y 上，故存在点D （0，－2）， 使线段OC 与PD 互相平分.
4.（2004湖北襄樊）如图，在平面直角坐标系内，Rt△ABC 的直角顶点C （0
）在y 轴的正半轴上，A 、B 是x 轴上是两点，且OA ∶OB ＝3∶1，以OA 、OB 为直径的圆分别交AC 于点E ，交BC 于点F .直线EF 交OC 于点Q . （1）求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；
（2）请猜想：直线EF 与两圆有怎样的位置关系？并证明你的猜想.
（3）在△AOC 中，设点M 是AC 边上的一个动点，过M 作MN∥AB 交OC 于点N .试问：在x 轴上是否存在点P ，使得△PMN 是一个以MN 为一直角边的等腰直角三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.
∴A(-3,0),B(1,0).
设抛物线的解析式为2.
y ax bx c
=++
则
930,
0,
a b c
a b c
c
?-+=
?
++=
?
?
=
?
解之，得
3
a
b
c
?
=-
?
?
?
=
?
?
?=
?
?
∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为2
y x
=+
(2)EF与⊙O1、⊙O2都相切.
证明：连结O1E、OE、OF.
∵∠ECF＝∠AEO＝∠BFO＝90°,
∴四边形EOFC为矩形.
∴QE＝QO.
∴∠1＝∠2.
∵∠3＝∠4,∠2+∠4＝90°，
∴EF与⊙O1相切.
同理：EF理⊙O2相切.
(3)作MP⊥OA于P，设MN＝a,由题意可得MP＝MN＝a.
∵MN∥OA,
∴△CMN∽△CAO.
∴.
MN CN
=
∴
3
a
=
解之，得
3
.
2
a=
此时，四边形OPMN是正方形.
∴MN OP
==
∴(P
考虑到四边形PMNO此时为正方形，
∴点P在原点时仍可满足△PNN是以MN为一直角边的等腰直角三角形.
故x轴上存在点P使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形且(P 或(0,0).
P
由方程组
y=ax 2—6ax +1
y=2
1
x +1 得：ax 2—（6a +
2
1
）x =0 5.如图，已知点A(0，1)、C(4，3)、E(
415，8
23
)，P 是以AC 为对角线的矩形ABCD 内部(不在各边上)的—个动点，点D 在y 轴，抛物线y ＝ax 2
+b x +1以P 为顶点． (1)说明点A 、C 、E 在一条条直线上；
(2)能否判断抛物线y ＝ax 2
+b x +1的开口方向?请说明理由；
(3)设抛物线y ＝ax 2
+b x +1与x 轴有交点F 、G(F 在G 的左侧)，△GAO 与△FAO 的面积差为3，且这条抛物线与线段AE 有两个不同的交点．这时能确定a 、b 的值吗?若能，请求出a 、b 的值；若不能，请确定a 、b 的取值范围． (本题图形仅供分析参考用)
[解] （1）由题意，A(0，1)、C(4，3)确定的解析式为：y=2
1
x 将点E 的坐标E(415，823)代入y=21x +1中，左边=8
23，右边=
21×415+1=8
23
， ∵左边=右边，∴点E 在直线y=
2
1
x +1上，即点A 、C 、E 在一条直线上. （2）解法一：由于动点P 在矩形ABCD 内部，∴点P 的纵坐标大于点A 的纵坐标，而点A 与点P 都在抛物线上，且P 为顶点，∴这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下 解法二：∵抛物线y=ax 2
+b x +c 的顶点P 的纵坐标为a
b a 442
—，且P 在矩形ABCD 内部，∴1
＜a b a 442—＜3，由1＜1—a b 42得—a
b 42＞0，∴a ＜0，∴抛物线的开口向下.
（3）连接GA 、FA ，∵S △GAO —S △FAO =3 ∴
21GO ·AO —2
1
FO ·AO=3 ∵OA=1，∴GO —FO=6. 设F （x 1,0）、G （x 2,0），则x 1、x 2为方程ax 2
+b x +c=0的两个根，且x 1＜x 2，又∵a ＜0，∴x 1·x 2=a
1
＜0，∴x 1＜0＜x 2，
∴GO= x 2，FO= —x 1，∴x 2—（—x 1）=6， 即x 2+x 1=6，∵x 2+x 1= —
a b ∴—a
b
=6， ∴b= —6a ,
∴抛物线解析式为：y=ax 2
—6ax +1, 其顶点P 的坐标为（3，1—9a ）, ∵顶点P 在矩形ABCD 内部， ∴1＜1—9a ＜3, ∴—9
2
＜a ＜0.
∴x =0或x =
a a 21
6
=6+a
21. 当x =0时，即抛物线与线段AE 交于点A ，而这条抛物线与线段AE 有两个不同的交点，则有：
0＜6+
a
21≤415，解得：—92
≤a ＜—121 综合得：—
92＜a ＜—121 ∵b= —6a ，∴21＜b ＜3
4
6.（2004湖南长沙）已知两点O(0，0)、B(0，2)，⊙A 过点B 且与x 轴分别相交于点O 、C ，
⊙A 被y 轴分成段两圆弧，其弧长之比为3∶1，直线l 与⊙A 切于点O ，抛物线的顶点在直线l 上运动.
（1）求⊙A 的半径；
（2）若抛物线经过O 、C 两点，求抛物线的解析式；
（3）过l 上一点P 的直线与⊙A 交于C 、E 两点，且PC ＝CE ，求点E 的坐标；
（4）若抛物线与x 轴分别相交于C 、F 两点，其顶点P 的横坐标为m ，求△PEC 的面积关于m 的函数解析式. [解] (1)由弧长之比为3∶1，可得∠BAO＝90o
再由AB ＝AO ＝r ，且OB ＝2，得r ＝ 2 (2)⊙A 的切线l 过原点，可设l 为y ＝kx
任取l 上一点(b ，kb )，由l 与y 轴夹角为45o可得： b ＝－kb 或b ＝kb ，得k ＝－1或k ＝1， ∴直线l 的解析式为y ＝－x 或y ＝x 又由r
C(2，0)或C(－2，0)
由此可设抛物线解析式为y ＝ax (x －2)或y ＝ax (x ＋2) 再把顶点坐标代入l 的解析式中得a ＝1
∴抛物线为y ＝x 2－2x 或y ＝x 2
＋2x ……6分
(3)当l 的解析式为y ＝－x 时，由P 在l 上，可设P(m ，－m)(m ＞0)
过P 作PP′⊥x 轴于P′，∴OP′＝|m|，PP′＝|－m|，∴OP＝2m 2
，
又由切割线定理可得：OP 2
＝PC·PE,且PC ＝CE ，得PC ＝PE ＝m ＝PP′7分 ∴C 与P′为同一点，即PE⊥x 轴于C ，∴m＝－2，E(－2，2)…8分 同理，当l 的解析式为y ＝x 时，m ＝－2，E(－2，2)
(4)若C(2，0)，此时l 为y ＝－x ，∵P 与点O 、点C 不重合，∴m≠0且m≠2， 当m ＜0时，FC ＝2(2－m)，高为|y p |即为－m ， ∴S＝
22(2)()
22
m m m m --=-
同理当0＜m ＜2时，S ＝－m 2
＋2m ；当m ＞2时，S ＝m 2
－2m ；
∴S＝22
2(02)2(02)m m m m m m m ?-<>?-+<
2(20)
2(20)
m m m m m m m ?+<->?---<
7.如图，直线4+=kx y 与函数)0,0(>>=m x x
y 的图像交于A 、B 两点，且与x 、y 轴分 别交于C 、D 两点．
（1）若COD ?的面积是AOB ?的面积的2倍，求k 与
m 之间的函数关系式； （2）在（1）的条件下，是否存在k 和m ，使得以AB 为直径的圆经过点)0,2(P ．若存在，求出k 和m 的值；若不存在，请说明理由． [解]（1）设),(11y x A ，),(22y x B (其中2121,y y x x ><)，
由AOB COD S S ??=2，得)(2BOD AOD COD S S S ???-= ∴
21·OC ·2=OD (21·OD ·-1y 21
·OD ·2y )，OC 又4=OC ，∴8)(221=-y y ，即84)(21221=-+y y y y ，
由x m
y =可得y m x =，代入4+=kx y 可得042=--km y y ∴421=+y y ，km y y -=?21， ∴8416=+km ，即m
k 2
-
=． 又方程①的判别式08416>=+=?km ，
∴所求的函数关系式为m
k 2-=)0(>m ． （2）假设存在k ,m ，使得以AB 为直径的圆经过点)0,2(P ．则BP AP ⊥，过A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ． ∵MAP ∠与BPN ∠都与APM ∠互余，∴MAP ∠ BPN ∠=．
∴Rt MAP ?∽Rt NPB ?，∴NB
MP
PN AM =
． ∴212122y x x y -=-，∴0)2)(2(2121=+--y y x x ， ∴0)2)(2(212
1=+--y y y m
y m ， 即0)(4)(222121212=+++-y y y y y y m m ②
由（1）知421=+y y ，221=?y y ，代入②得01282=+-m m ，
∴2=m 或6，又m k 2-=，∴???-==12k m 或??
??
?-==316k m ， ∴存在k ,m ，使得以AB 为直径的圆经过点)0,2(P ，且???-==12k m 或??
??
?-==316k m ． (l
x
8.已知抛物线2
(5)5(0)y mx m x m =--->与x 轴交于两点1(,0)A x 、
2(,0)B x 12()x x <，与y 轴交于点C ，且AB =6.
（1）求抛物线和直线BC 的解析式.
（2）在给定的直角坐标系中，画抛物线和直线BC . （3）若P e 过A 、B 、C 三点，求P e 的半径.
（4）抛物线上是否存在点M ，过点M 作MN x ⊥轴于点N ，使MBN ?被直线BC 分成面积
比为13:的两部分？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.
[解]（1）由题意得：12125,m x x x x m -+=
?2
21212520
()436,36,m x
x x x m
m -??+-=+
= ???
解得125
1,
.7
m m =
=-
经检验m
=1，∴抛物线的解析式为：2
y x =+或：由2
(5)50mx m x ---=得，1x =或x =
0,m Q >
5
16, 1.m m
-∴-
=∴= ∴抛物线的解析式为24 5.y x x =+-
由2
450x x +-=得125, 1.x x =-=
∴A （－5，0），B （1，0），C （0，－5）. 设直线BC 的解析式为,y kx b =+
则5,5,
0. 5.b b k b k =-=-??∴?
?
+==??
∴直线BC 的解析式为5 5.y x =- (2)图象自画.
（3）法一：在Rt AOC D 中，5,45.OA OC OAC ==∴∠=?Q
90BPC ∴∠=?.
又BC == ∴P e 的半径2
PB =
=
法二：
由题意，圆心P 在AB 的中垂线上，即在抛物线2
45y x x =+-的对称轴直线2x =-上，设
P （－2，－h ）（h ＞0），
连结PB 、PC ，则2
2
2
2
2
2
(12),(5)2PB h PC h =++=-+，
由22
PB PC =，即2
2
2
2
(12)(5)2h h ++=-+，解得h =2.
(2,2),P P ∴--∴e 的半径PB =法三：
延长CP 交P e 于点F .
CF Q 为P e 的直径，90.CAF COB ∴∠=∠=? 又,.ABC AFC ACF OCB ∠=∠∴D ~D
,.CF AC AC BC
CF BC OC OC
?∴
=∴=
又AC ==5,CO BC ===∞
CF ∴=
=
P ∴e
（4）设MN 交直线BC 于点E ，点M 的坐标为2
(,45),t t t +-则点E 的坐标为(,55).t t -
若13,MEB ENB S S =D D ::则13.ME EN =::
24
34,45(55).3
EN MN t t t ∴=∴+-=-::
解得11t =（不合题意舍去），25,3t =
540,.39M ??
∴ ???
若31,MEB ENB S S =D D ::则31.ME EN =::
214,454(55).EN MN t t t ∴=∴+-=-::
解得31t =（不合题意舍去），415,t =()15,280.M ∴
∴存在点M ，点M 的坐标为540,39??
???
或（15，280）.
9. 如图，⊙M 与x 轴交于A 、B 两点，其坐标分别为)03(，-A 、)01(，B ，直径CD ⊥x 轴于N ，直线CE 切⊙M 于点C ，直线FG 切⊙M 于点F ，交CE 于G ，已知点G 的横坐标为3.
(1) 若抛物线m x x y +--=22经过A 、B 、D 三点，求m 的值及点D 的坐标.
(2) 求直线DF 的解析式.
(3) 是否存在过点G 的直线，使它与（1）中抛物线的两个交点的横坐标之和等于4？若存在，请求出满足条件的直线的解析式；若不存在，请说明理由.
[解] (1) ∵抛物线过A 、B 两点，
∴1
1)3(-=?-m
，m =3.
∴抛物线为322+--=x x y . 又抛物线过点D ，由圆的对称性知点D 为抛物线的顶点.
∴D 点坐标为)41(，-.
(2) 由题意知：AB =4.
∵CD ⊥x 轴，∴NA =NB =2. ∴ON =1. 由相交弦定理得：NA ·NB =ND ·NC ， ∴NC ×4=2×2. ∴NC =1. ∴C 点坐标为)11(--，.
设直线DF 交CE 于P ，连结CF ，则∠CFP =90°. ∴∠2+∠3=∠1+∠4=90°. ∵GC 、GF 是切线， ∴GC =GF . ∴∠3=∠4. ∴∠1=∠2. ∴GF =GP . ∴GC =GP . 可得CP =8.
∴P 点坐标为)17(-，
设直线DF 的解析式为b kx y +=
则???-=+=+-174b k b k 解得???????=-=8
278
5b k
∴直线DF 的解析式为：8
27
85+-=x y
(3) 假设存在过点G 的直线为11b x k y +=， 则1311-=+b k ，∴1311--=k b .
由方程组???+--=--=3
2132
11x x y k x k y 得034)2(112=--++k x k x
（第27题图）
由题意得421=--k ，∴61-=k . 当61-=k 时，040<-=?， ∴方程无实数根，方程组无实数解. ∴满足条件的直线不存在.
10.已知二次函数2
12
y x bx c =
++的图象经过点A （－3，6）
，并与x 轴交于点B （－1，0）和点C ，顶点为P.
（1）求这个二次函数的解析式，并在下面的坐标系中画出该二次函数的图象； （2）设D 为线段OC 上的一点，满足∠DPC ＝∠BAC ，求点D 的坐标； （3）在x 轴上是否存在一点M ，使以M 为圆心的圆与AC 、PC 所在的直线及y 轴都相切？如果存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.
[解] （1）解：∵二次函数21
2
y x bx c =++的图象过点A （－3，6），B （－1，0）
得9
362102
b c b c ?-+=????-+=?? 解得132b c =-???=-??
∴这个二次函数的解析式为：21322
y x x =
-- 由解析式可求P （1，－2），C （3，0）
画出二次函数的图像
（2）解法一：易证：∠ACB ＝∠PCD＝45°
又已知：∠DPC ＝∠BAC ∴△DPC ∽△BAC
∴
DC PC
BC AC
=
易求4AC PC BC === ∴43DC =
∴45333OD =-= ∴5,03D ?? ???
解法二：过A 作AE ⊥x 轴，垂足为E.
设抛物线的对称轴交x 轴于F. 亦可证△AEB ∽△PFD 、
∴
PE EB
PF FD
=
. 易求：AE ＝6，EB ＝2，PF ＝2 ∴23FD =
∴25133OD =+= ∴5,03D ?? ???
（3）存在.
（1°）过M 作MH ⊥AC ，MG ⊥PC 垂足分别为H 、G ，设AC 交y 轴于S ，CP 的延长线交y 轴于T
∵△SCT 是等腰直角三角形，M 是△SCT 的内切圆圆心， ∴MG ＝MH ＝
OM
又∵MC
=且OM ＋
MC ＝OC
3,3
OM OM +==得 ∴()
3,0M
（2°）在
x 轴的负半轴上，存在一点M ′ 同理OM′＋OC ＝M′C，OM
OC ''+=
得
3OM '= ∴M ′()
3,0- 即在x 轴上存在满足条件的两个点.
11.在平面直角坐标系中，A （－1，0），B （3，0）.
（1）若抛物线过A ，B 两点，且与y 轴交于点（0，－3），求此抛物线的顶点坐标； （2）如图，小敏发现所有过A ，B 两点的抛物线如果与y 轴负半轴交于点C ，M 为抛物线的顶点，那么△ACM 与△ACB 的面积比不变，请你求出这个比值；
（3）若对称轴是AB 的中垂线l 的抛物线与x 轴交于点E ，F ，与y 轴交于点C ，过C 作CP∥x 轴交l 于点P ，M 为此抛物线的顶点.若四边形PEMF 是有一个内角为60°的菱形，求次抛物线的解析式. [解] （1）322--=x x y ，顶点坐标为（1，－4）.
（2）由题意，设y ＝a （x ＋1）（x －3），即y ＝ax 2
－2ax －3a ，
∴ A（－1，0），B （3，0），C （0，－3a ），M （1，－4a ）， ∴ S △ACB ＝
2
1
×4×a 3-＝6a ， 而a ＞0， ∴ S △ACB ＝6A 、 作MD⊥x 轴于D ，
又S △ACM ＝S △ACO ＋S OCMD －S △AMD ＝
21·1·3a＋21（3a ＋4a ）－2
1
·2·4a＝a ， ∴ S △ACM ：S △ACB ＝1：6.
（3）①当抛物线开口向上时，设y ＝a （x －1）2＋k ，即y ＝ax 2
－2ax ＋a ＋k ， 有菱形可知k a +＝k ，a ＋k ＞0，k ＜0， ∴ k＝2
a -
， ∴ y＝ax 2
－2ax ＋
2
a
， ∴ 2=EF . 记l 与x 轴交点为D ，
若∠PEM＝60°，则∠FEM＝30°，MD ＝DE·tan30°＝
6
6， ∴ k＝－
66，a ＝3
6， ∴ 抛物线的解析式为6
6
6326312+-=
x x y . 若∠PEM＝120°，则∠FEM＝60°，MD ＝DE·tan60°＝
2
6
， ∴ k＝－
2
6
，a ＝6， ∴ 抛物线的解析式为2
66262+
-=
x x y . ②当抛物线开口向下时，同理可得
666326312-+-
=x x y ，2
66262
-+-=x x y . 12.已知：O 是坐标原点，P （m ，n ）(m ＞0)是函数y ＝ k
x
(k ＞0)上的点，过点P 作直线PA⊥OP
于P ，直线PA 与x 轴的正半轴交于点A （a ，0）(a ＞m ). 设△OPA 的面积为s ，且s ＝1＋n 4
4
.
（1）当n ＝1时，求点A 的坐标；
（2）若OP ＝AP ，求k 的值；
(3 ) 设n 是小于20的整数，且k ≠n 4
2
，求OP 2
的最小值.
[解] 过点P 作PQ ⊥x 轴于Q ，则PQ ＝n ，OQ ＝m
(1) 当n ＝1时， s ＝5
4
∴ a ＝2s n ＝52
(2) 解1： ∵ OP ＝AP PA⊥O P ∴△OPA 是等腰直角三角形 ∴ m ＝n ＝a
2
∴ 1＋n 44＝1
2
·an
即n 4
－4n 2
＋4＝0
∴ k 2
－4k ＋4＝0 ∴ k ＝2
解2：∵ OP ＝AP PA⊥OP
∴△OPA 是等腰直角三角形 ∴ m ＝n
设△OPQ 的面积为s 1 则：s 1＝s
2
∴ 12·mn ＝12(1＋n 4
4
) 即：n 4
－4n 2
＋4＝0 ∴ k 2
－4k ＋4＝0 ∴ k ＝2
(3) 解1：∵ PA⊥OP， PQ ⊥OA
∴ △OPQ∽△O AP 设：△OPQ 的面积为s 1，则
s 1s ＝PO 2
AO 2
即：12
k 1＋n 44 ＝n 2
＋k 2
n 2
4 (1＋n 4
4
)2
n
2
化简得：2n 4＋2k 2－k n 4
－4k ＝0
（k －2）（2k －n 4
）＝0 ∴k ＝2或k ＝n 4
2
(舍去)
∴当n 是小于20的整数时，k ＝2.
∵ OP 2
＝n 2
＋m 2
＝n 2
＋k 2n
2
又m ＞0，k ＝2，
∴ n 是大于0且小于20的整数
当n ＝1时，OP 2
＝5
当n ＝2时，OP 2
＝5
当n ＝3时，OP 2＝32
＋432＝9＋49＝859
当n 是大于3且小于20的整数时，
即当n ＝4、5、6、…、19时，OP 2
得值分别是： 42＋442、52＋452、62＋462、…、192
＋4192
∵192＋4192＞182＋4182＞…＞32
＋432＞5
∴ OP 2
的最小值是5.
解2： ∵ OP 2
＝n 2
＋m 2
＝n 2
＋k 2
n
2
＝n 2
＋2
2
n
2
＝(n －2
n
)2 ＋4
当n ＝2n
时，即当n ＝2时，OP 2
最小；
又∵n 是整数，而当n ＝1时，OP 2＝5；n ＝2时，OP 2
＝5
∴ OP 2
的最小值是5.
解3：∵ PA⊥OP， PQ ⊥OA ∴ △OPQ∽△P AQ PQ QA ＝OQ
PQ
n
a －m ＝m n
化简得：2n 4
＋2k 2
－k n 4
－4k ＝0
（k －2）（2k －n 4
）＝0 ∴k ＝2或k ＝n 4
2(舍去)
解4：∵ PA⊥OP， PQ ⊥OA ∴ △OPQ∽△P AQ
s 1s －s 1＝OQ
2
PQ 2
化简得：2n 4＋2k 2－k n 4
－4k ＝0
（k －2）（2k －n 4
）＝0 ∴k ＝2或k ＝n 4
2
(舍去)
解5：∵ PA⊥O P ， PQ ⊥OA ∴ △OPQ∽△O AP ∴ OP OA ＝OQ OP
∴ OP 2
＝OQ ·OA
化简得：2n 4＋2k 2－k n 4
－4k ＝0
（k －2）（2k －n 4
）＝0 ∴k ＝2或k ＝n 4
2
(舍去)
13.如图，在直角坐标系中，O 是原点，A 、B 、C 三点的坐标分别为A （18，0），B （18，6），C （8，6），四边形OABC 是梯形，点P 、Q 同时从原点出发，分别坐匀速运动，其中点P 沿OA 向终点A 运动，速度为每秒1个单位，点Q 沿OC 、CB 向终点B 运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。
（1）求出直线OC 的解析式及经过O 、A 、C 三点的抛物线的解析式。
（2）试在⑴中的抛物线上找一点D ，使得以O 、A 、D 为顶点的三角形与△AOC 全等，请直接写出点D 的坐标。
（3）设从出发起，运动了t 秒。如果点Q 的速度为每秒2个单位，试写出点Q 的坐标，并写出此时t 的取值范围。
（4）设从出发起，运动了t 秒。当P 、Q 两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC 的周长的一半，这时，直线PQ 能否把梯形的面积也分
成相等的两部分，如有可能，请求出t 的值；
如不可能，请说明理由。
[解] （1）∵O 、C 两点的坐标分别为O ()0,0，
C ()6,8
设OC 的解析式为b kx y +=，将两点
坐标代入得： 43=
k ，0=b ，∴x y 4
3
= ∵A ，O 是x 轴上两点，故可设抛物线的解析式为()()180--=x x a y 再将C ()6,8代入得：40
3
-
=a ∴x x y 20
274032+-
= （2）D ()6,10
（3）当Q 在OC 上运动时，可设Q ??? ??m m 43,，依题意有：()2
2
2243t m m =??
? ??+
∴t m 58=
，∴Q ??
?
??t t 56,58，()50≤≤t
当Q 在CB 上时，Q 点所走过的路程为t 2，∵OC ＝10，∴CQ ＝102-t ∴Q 点的横坐标为228102-=+-t t ，∴Q ()6,22-t ，()105≤ （4）∵梯形OABC 的周长为44，当Q 点OC 上时，P 运动的路程为t ，则Q 运动的路程为()t -22 △OPQ 中，OP 边上的高为：()()5 3 2221,5 3 22?-= ?-?t t t OPQ S 梯形OABC 的面积＝()846101821=?+，依题意有：()2 1 84532221?=?-t t 整理得：0140222 =+-t t ∵△＝01404222 ()t t +--?1022621＝36≠84×2 1 ∴这样的t 值不存在 综上所述，不存在这样的t 值，使得P ，Q 两点同时平分梯形的周长和面积 14.已知：如图，抛物线m x x y +-= 3 32312与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，∠ACB＝90°， （1）求m 的值及抛物线顶点坐标； （2）过A 、B 、C 的三点的⊙M 交y 轴于另一点D ，连结DM 并延长交⊙M 于点E ，过E 点的⊙M 的切线分别交x 轴、y 轴于点F 、G ，求直线FG 的解析式； （3）在（2）条件下，设P 为?CBD 上的动点（P 不与C 、D 重合），连结PA 交y 轴于点H ， 问是否存在一个常数k ，始终满足AH·AP＝k ，如果存在，请写出求解过程；如果不存在， 请说明理由. [解] （1）由抛物线可知，点C 的坐标为（0，m ）， 且m ＜0. 设A （x 1，0），B （x 2，0）.则有x 1·x 2＝3m 又OC 是Rt△ABC 的斜边上的高，∴△AOC∽△COB ∴ OB OC OC OA = ∴ 2 1x m m x -=--，即x 1·x 2＝－m 2 ∴－m 2 ＝3m ，解得 m ＝0 或m ＝－3 而m ＜0，故只能取m ＝－3 这时，4)3(3 133323122--=--= x x x y 故抛物线的顶点坐标为（3，－4） （2）解法一：由已知可得：M （3，0），A （－3，0），B （33，0）， C （0,－3），D （0， 3） ∵抛物线的对称轴是x ＝3，也是⊙M 的对称轴，连结CE ∵DE 是⊙M 的直径， ∴∠DCE＝90°，∴直线x ＝3，垂直平分CE ， ∴E 点的坐标为（23，－3） ∵ 3 3 ==OD OM OC OA ，∠AOC＝∠DOM＝90°， ∴∠ACO＝∠MDO＝30°，∴AC∥DE ∵AC⊥CB，∴CB⊥DE 又FG⊥DE， ∴FG∥CB 由B （33，0）、C （0，－3）两点的坐标易求直线CB 的解析式为： y ＝ x 3 3 －3 可设直线FG 的解析式为y ＝ x 3 3 ＋n ，把（23，－3）代入求得n ＝－5 故直线FG 的解析式为y ＝ x 3 3 －5 解法二：令y ＝0，解 x x 3 32312-－3＝0得 x 1＝－3，x 2＝33 即A （－3，0），B （33，0） 根据圆的对称性，易知：：⊙M 半径为23， M （3，0） 在Rt△BOC 中，∠BOC＝90°，OB ＝33，，OC ＝3 ∴∠CBO＝30°，同理，∠ODM＝30°。 而∠BME＝∠DMO，∠DOM＝90°，∴DE⊥BC ∵DE⊥FG， ∴BC∥FG ∴∠EFM＝∠CBO＝30° 在Rt△EFM 中，∠MEF＝90°，ME ＝23，∠FEM＝30°， ∴MF＝43，∴OF＝OM ＋MF ＝53， ∴F 点的坐标为（53，0） 在Rt△OFG 中，OG ＝OF·tan30°＝53×3 3 ＝5 ∴G 点的坐标为（0，－5） ∴直线 FG 的解析式为y ＝ x 3 3 －5 （3）解法一： 存在常数k ＝12，满足AH·AP＝12 连结CP 由垂径定理可知? ? =AC AD ， ∴∠P＝∠ACH （或利用∠P＝∠ABC＝∠ACO） 又∵∠CAH＝∠PAC， ∴△ACH∽△APC ∴ AC AP AH AC = 即AC 2 ＝AH·AP 在Rt△AOC 中，AC 2＝AO 2＋OC 2＝（3）2＋32 ＝12 （或利用AC 2 ＝AO·AB＝3×43＝12 ∴AH·AP＝12 解法二： 存在常数k ＝12，满足AH·AP＝12 设AH ＝x ，AP ＝y 由相交弦定理得HD·HC＝AH·HP 即)()33)(33(2x y x x x -=-+-- 化简得：xy ＝12 即 AH·AP＝12 2020-2021备战中考数学压轴题专题初中数学旋转的经典综合题附详细答案 一、旋转 1．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN． （1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形； 猜想与发现： （2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论． 结论1：DM、MN的数量关系是； 结论2：DM、MN的位置关系是； 拓展与探究： （3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析. 【解析】 试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF，继而证明出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，从而证明出△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角相等即可得出结论；（3）成立，连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先证明出 MN∥AE，MN=AE，利用三角形全等证出AE=AF，而DM=AF，从而得到DM，MN数量相等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关系得到∠DMN=∠DGE=90°．从而得到DM、MN的位置关系是垂直. 试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，∵△CEF 是等腰直角三角形，∠C=90°，∴CE=CF，∴BC﹣CE=CD﹣CF，即BE=DF， ∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，DM、MN的位置关系是垂直；∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，∴AF=2DM，∵MN 是△AEF的中位线，∴AE=2MN，∵AE=AF，∴DM=MN；∵∠DMF=∠DAF+∠ADM， AM=MD，∵∠FMN=∠FAE，∠DAF=∠BAE，∴∠ADM=∠DAF=∠BAE， 专业资料整理分享 中考数学压轴题解题技巧 湖北竹溪城关中学明道银 解中考数学压轴题秘诀（一） 数学综合题关键是第24题和25题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。 （一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线； ③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。此类题基本在第24题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。 （二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是 列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现，满分14分，一般分三小题呈现。 在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。 解中考数学压轴题秘诀（二） 具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。 1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想： 中考数学压轴题题型解题思路技巧 数学综压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的，集中体现知识的综合性和方法的综合性，多数为函数型综合题和几何型综合题。 函数型综合题： 是给定直角坐标系和几何图形，先求函数的解析式，再进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。 几何型综合题： 是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式，求函数的自变量的取值范围，最后根据所求的函数关系进行探索研究。一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形，四边形是平行四边形、菱形、梯形等，或探索两个三角形满足什么条件相似等，或探究线段之间的数量、位置关系等，或探索面积之间满足一定关系时求x的值等，或直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求函数的自变量的取值范围主要是寻找图形的特殊位置（极端位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。 解中考压轴题思路： 中考压轴题大多是以坐标系为桥梁，运用数形结合思想，通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。关键是掌握几种常用的数学思想方法。 一是运用函数与方程思想。以直线或抛物线知识为载体，列（解）方程或方程组求其解析式、研究其性质。 二是运用分类讨论的思想。对问题的条件或结论的多变性进行考察和探究。 三是运用转化的数学的思想。由已知向未知，由复杂向简单的转换。中考压轴题它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。因此，可把压轴题分离为相对独立而又单一的知识或方法组块去思考和探究。 解中考压轴题技巧： 一是对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识。根据自己的情况考试的时候重心定位准确，防止“捡芝麻丢西瓜”。所以，在心中一定要给压轴题或几个“难点”一个时间上的限制，如果超过你设置的上限，必须要停止，回头认真检查前面的题，尽量要保证选择、填空万无一失，前面的解答题尽可能的检查一遍。 二是解数学压轴题做一问是一问。第一问对绝大多数同学来说，不是问题；如果第一小问不会解，切忌不可轻易放弃第二小问。过程会多少写多少，因为数学解答题是按步骤给分的，写上去的东西必须要规范，字迹要工整，布局要合理；过程会写多少写多少，但是不要说废话，计算中尽量回避非必求成分；尽量多用几何知识，少用代数计算，尽量用三角函数，少在直角三角形中使用相似三角形的性质。 2020年中考数学压轴题精选解析 中考压轴题分类专题三——抛物线中的等腰三角形 基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或 抛物线的对称轴上），若ABP ?为等腰三角形，求点P 坐标。 分两大类进行讨论： （1）AB 为底时（即PA PB =）：点P 在AB 的垂直平分线上。 利用中点公式求出AB 的中点M ； 利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出AB 的垂直平分线的斜率k ； 利用中点M 与斜率k 求出AB 的垂直平分线的解析式； 将AB 的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 （2）AB 为腰时，分两类讨论： ①以A ∠为顶角时（即AP AB =）：点P 在以A 为圆心以AB 为半径的圆上。 ②以B ∠为顶角时（即BP BA =）：点P 在以B 为圆心以 AB 为半径的圆上。 利用圆的一般方程列出A e (或B e )的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 中考压轴题分类专题四——抛物线中的直角三角形 基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或 抛物线的对称轴上），若ABP ?为直角三角形，求点P 坐标。 分两大类进行讨论： （1）AB 为斜边时（即PA PB ⊥）：点P 在以AB 为直径的圆周上。 利用中点公式求出AB 的中点M ； 利用圆的一般方程列出M e 的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 （2）AB 为直角边时，分两类讨论： ①以A ∠为直角时（即AP AB ⊥）： ②以B ∠为直角时（即BP BA ⊥）： 利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出PA （或PB ）的斜率 k ；进而求出PA （或PB ）的解析式； 将PA （或PB ）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 所需知识点： 一、 两点之间距离公式： 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ， 则由勾股定理可得：()()2 21221y y x x PQ -+-= 。 二、 圆的方程： 点()y ,x P 在⊙M 上，⊙M 中的圆心M 为()b ,a ，半径为R 。 则()()R b y a x PM =-+-= 22，得到方程☆：()()22 2 R b y a x =-+-。 ∴P 在☆的图象上，即☆为⊙M 的方程。 三、 中点公式： 四、 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为??? ??++22 2121y y ,x x 。 五、 任意两点的斜率公式： 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则直线PQ 的斜率： 2 12 1x x y y k PQ --= 。 中考压轴题分类专题五——抛物线中的四边形 基本题型：一、已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上， 或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为平行四边形，求点P 坐标。 分两大类进行讨论： （1）AB 为边时 （2）AB 为对角线时 二、已知AB ，抛物线()02 ≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对 称轴上），若四边形ABPQ 为距形，求点P 坐标。 在四边形ABPQ 为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论： （1）邻边互相垂直 （2）对角线相等 三、已知AB ，抛物线()02 ≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对 称轴上），若四边形ABPQ 为菱形，求点P 坐标。 在四边形ABPQ 为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论： （1）邻边相等 （2）对角线互相垂直 中考数学压轴题专题 一、函数与几何综合的压轴题 1.如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交于E ′点， 如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考） 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴ ,EO DO EO BO AB DB CD DB '''' == 又∵DO ′+BO ′=DB ∴ 1EO EO AB DC '' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵DO EO DB AB ''=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ② 联立①②得02x y =??=-? ∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上 （2）设抛物线的方程y =ax 2 +bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3） 图① 图② E （0，-2）三点，得方程组42632a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2 -2 （3）（本小题给出三种方法，供参考） 由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同（1）可得： 1E F E F AB DC ''+= 得：E ′F =2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '?= ，∴1 3DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =1112 2223 DC DB DC DF DC DB ?-?=? =1 3 DC DB ?=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式 方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()11 32322 BD E F k k '= ?=+?=+ ∴S =3+k 为所求函数解析式. 证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2 同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2 =1∶4 ∴()221 3992 AE C ABCD S S AB CD BD k '?= =?+?=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式. 2.已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直径AC 为22的圆与y 轴交于A 、D 两点. （1）求点A 的坐标； （2）设过点A 的直线y ＝x ＋b 与x 轴交于点B.探究：直线AB 是否⊙M 的切线？并对你的结论加以证明； （3）连接BC ，记△ABC 的外接圆面积为S 1、⊙M 面积为S 2，若 4 21h S S =，抛物线 y ＝ax 2 ＋bx ＋c 经过B 、M 两点，且它的顶点到x 轴的距离为h .求这条抛物线的解析式. [解]（1）解：由已知AM ＝2，OM ＝1， 在Rt△AOM 中，AO ＝ 122=-OM AM ， ∴点A 的坐标为A （0，1） （2）证：∵直线y ＝x ＋b 过点A （0，1）∴1＝0＋b 即b ＝1 ∴y＝x ＋1 令y ＝0则x ＝－1 ∴B（—1，0）， 中考数学压轴题解题技巧 时间：2021.03.02 创作：欧阳数 数学压轴题是初中数学中覆盖知识面最广，综合性最强的题型。综合近年来各地中考的实际情况，压轴题多以数学综合题的形式出现，常见题型有两类：函数型压轴题和几何形压轴题。压轴题考查知识点多，条件也相当隐晦，这就要求学生有较强的理解问题、分析问题、解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识和创新能力，当然，还必须具有强大的心理素质。 下面从知识角度和技术角度谈谈中考数学压轴题的解题技巧。 先以2009年河南中考数学压轴题为例： 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点. (1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线 的解析式； (2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E. ①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长? ②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值. 这是一道函数型压轴题。函数型压轴题主要有：几何与函数相结合型、坐标与几何、方程与函数相结合型。这些压轴题主要以函数为主线，涉及函数的图象、方程、点的坐标及线段长度、图形面积等问题。 先从知识角度来分析： （1）通过观察图象可以发现，直线AD和轴平行，直线AB和轴平行，因此，A点与D点的纵坐标相同，A点与B的横坐标相同，因此A的坐标为 2019中考数学压轴题解题指导及案例分析2019年中考数学压轴题专题 中考日渐临近，在数学总复习的最后阶段，如何有效应对“容易题”和“综合题”，提高复习的质量和效率呢?针对当前中考复习中普遍存在的倾向性问题，再提出一些看法和建议，供初三毕业班师生参考。 基础题要重理解 在数学考卷中，“容易题”占80%，一般分布在第一、二大题(除第18题)和第三大题第19～23题。在中考复习最后阶段，适当进行“容易题”的操练，对提高中考成绩是有益的。但绝不要陷入“多多益善，盲目傻练”的误区，而要精选一些针对自己薄弱环节的题目进行有目的地练习。 据笔者了解，不少学校在复习中存在忽视过程的倾向，解客观题，即使解其中较难的题时也都只要求写出结果，不要求写出过程，一些同学甚至错了也不去反思错在哪里，这样做，是非常有害的。笔者认为，即使是题解简单的填空题也应当注重理解，反思解题方法，掌握解题过程。解选择题也一样，不要只看选对还是选错，要反问自己选择的依据和理由是什么。 当然，我们要求注重理解，并不意味着不要记忆，记忆水平的考查在历年中考命题中均占有一定的比重。所以必要的记忆是必须的，如代数中重要的法则、公式、特殊角的三角比 的值以及几何中常见图形的定义、性质和常用的重要定理等都是应当记住的。 在复习的最后阶段，笔者建议同学们适当多做一些考查基础的“容易题”，这样做，虽然花的时间不多，但能及时发现知识缺陷，有利于查漏补缺，亡羊补牢。如果你能真正把这些“容易题”做对、做好，使得分率达到0.9甚至达到0.95以上，那么在中考中取得高分并非难事。 压轴题要重分析 中考要取得高分，攻克最后两道综合题是关键。很多年来，中考都是以函数和几何图形的综合作为压轴题的主要形式，用到三角形、四边形、和圆的有关知识。如果以为这是构造压轴题的唯一方式那就错了。方程式与图形的综合也是常见的综合方式。这类问题在外省市近年的中考试卷中也不乏其例。 动态几何问题又是一种新题型，在图形的变换过程中，探究图形中某些不变的因素，把操作、观察、探求、计算和证明融合在一起。在这类问题中，往往把锐角三角比作为几何计算的一种工具。它的重要作用有可能在压轴题中初露头角。总之，应对压轴题，决不能靠猜题、押题。 解压轴题，要注意分析它的逻辑结构，搞清楚它的各个小题之间的关系是“并列”的还是“递进”的，这一点非常重要。一般说来，如果综合题(1)、(2)、(3)小题是并列关系，它们分 24.（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分） 如图，已知抛物线2y x bx c =++经过()01A -， 、()43B -，两点. （1）求抛物线的解析式； （2 求tan ABO ∠的值； （3）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C ，点M 是抛物线上一点，直线MN 平行于y 轴交直线AB 于点N ，如果M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的坐标. 24.解：（1）将A （0，-1）、B （4，-3）分别代入2 y x bx c =++ 得1, 1643c b c =-?? ++=-? ， ………………………………………………………………（1分） 解，得9 ,12 b c =-=-…………………………………………………………………(1分) 所以抛物线的解析式为29 12 y x x =- -……………………………………………（1分） （2）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，过点A 作AH ⊥OB ，垂足为点H ………（1分） 在Rt AOH ?中，OA =1，4 sin sin ,5 AOH OBC ∠=∠=……………………………（1分） ∴4sin 5AH OA AOH =∠= g ，∴322,55 OH BH OB OH ==-=， ………………（1分） 在Rt ABH ?中，4222 tan 5511 AH ABO BH ∠==÷=………………………………（1分） (3)直线AB 的解析式为1 12y x =- -， ……………………………………………（1分） 设点M 的坐标为29(,1)2m m m --，点N 坐标为1 (,1)2 m m -- 那么MN =2 291 (1)(1)422 m m m m m - ----=-； …………………………（1分） ∵M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，∴MN =BC =3 解方程2 4m m -=3 得2m =± ……………………………………………（1分） 解方程2 43m m -+=得1m =或3m =； ………………………………………（1分） 中考数学压轴题解题技巧 竹溪城关中学明道银 解中考数学压轴题秘诀（一） 数学综合题关键是第24题和25题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。 （一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线； ③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。此类题基本在第24题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。 （二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定 义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现，满分14分，一般分三小题呈现。 在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。 解中考数学压轴题秘诀（二） 具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。 中考数学压轴题专题 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】 专题1：抛物线中的等腰三角形 基本题型：已知AB，抛物线()0 2≠ bx y，点P在抛物线上（或坐 c ax =a + + 标轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ?为等腰三角形，求点P坐标。 分两大类进行讨论： =）：点P在AB的垂直平分线上。 （1）AB为底时（即PA PB 利用中点公式求出AB的中点M； k，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进利用两点的斜率公式求出AB 而求出AB的垂直平分线的斜率k； 利用中点M与斜率k求出AB的垂直平分线的解析式； 将AB的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对 称轴）的解析式联立即可求出点P坐标。 （2）AB为腰时，分两类讨论： =）：点P在以A为圆心以AB为半径的圆 ①以A ∠为顶角时（即AP AB 上。 =）：点P在以B为圆心以AB为半径的圆 ②以B ∠为顶角时（即BP BA 上。 利用圆的一般方程列出A(或B)的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P坐标。 专题2：抛物线中的直角三角形 基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标 轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ?为直角三角形，求点P 坐 标。 分两大类进行讨论： （1）AB 为斜边时（即PA PB ⊥）：点P 在以AB 为直径的圆周上。 利用中点公式求出AB 的中点M ； 利用圆的一般方程列出M 的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对 称 轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 （2）AB 为直角边时，分两类讨论： ①以A ∠为直角时（即AP AB ⊥）： ②以B ∠为直角时（即BP BA ⊥）： 利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出 PA （或PB ）的斜率k ；进而求出PA （或PB ）的解析式； 将PA （或PB ）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解 析式联立即可求出点P 坐标。 所需知识点： 一、 两点之间距离公式： 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ， 则由勾股定理可得：()()221221y y x x PQ -+-= 。 二、 圆的方程： 点()y ,x P 在⊙M 上，⊙M 中的圆心M 为()b ,a ，半径为R 。 则()()R b y a x PM =-+-=22，得到方程☆：()()22 2R b y a x =-+-。 ∴P 在☆的图象上，即☆为⊙M 的方程。 2014中考数学压轴题精选精析（21-30例） 21．（2011?湖南邵阳）如图（十一）所示，在平面直角坐标系Oxy 中，已知点A (－94 ，0)，点C (0，3)，点B 是x 轴上一点(位于点A 的右侧)，以AB 为直径的圆恰好经过．．．． 点C ． （1）求∠ACB 的度数； （2）已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过A 、B 两点，求抛物线的解析式； （3）线段BC 上是否存在点D ，使△BOD 为等腰三角形．若存在，则求出所有符合条件的点D 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解题思路】：(1) ∵以AB 为直径的圆恰好经过．．．．点C ∴∠ACB =0 90 (2) ∵△AOC ∽△ABC ∴OB AO OC ?=2 ∵A (－94，0)，点C (0，3)，∴4 9=AO 3=OC ∴OB 4 932= ∴ 4=OB ∴B(4,0) 把 A 、B 、C 三点坐标代入得 3127312++-=x x y (3) 1）OD=OB , D 在OB 的中垂线上，过D 作DH ⊥OB,垂足是H 则H 是OB 中点。DH=OC 21 OB OH 2 1= ∴D )23,2( 2) BD=BO 过D 作DG ⊥OB,垂足是G ∴OG:OB=CD:CB DG:OC=1:5 ∴ OG:4=1:5 DG:3=1:5 ∴OG= 54 DG=53 ∴D(54,53) 【点评】：本题考察了相似、勾股定理、抛物线的解析式求解等知识，运用平行于三角形一边的直线截其他两边所得的三角形与原三角形相似构建比例式，求解点到坐标轴的距离，进而得出相应的坐标。难度中等 24、（2011?湖北荆州）如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA 所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点在x轴正半轴上）．若⊙P过A、B、E三点（圆心在x轴上），抛物线y= 14x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为G，M是FG的中点，正方形CDEF的面积为1． （1）求B点坐标； （2）求证：ME是⊙P的切线； （3）设直线AC与抛物线对称轴交于N，Q点是此轴称轴上不与N点重合的一动点， ①求△ACQ周长的最小值； ②若FQ=t，S△ACQ=S，直接写出S与t之间的函数关系式． 考点：二次函数综合题． 分析：（1）如图甲，连接PE、PB，设PC=n，由正方形CDEF的面积为1，可得CD=CF=1，根据圆和正方形的对称性知：OP=PC=n，由PB=PE，根据勾股定理即可求得n的值，继而求得B的坐标； （2）由（1）知A（0，2），C（2，0），即可求得抛物线的解析式，然后求得FM的长，则可得△PEF∽△EMF，则可证得∠PEM=90°，即ME是⊙P的切线； （3）①如图乙，延长AB交抛物线于A′，连CA′交对称轴x=3于Q，连AQ，则有AQ=A′Q，△ACQ周长的最小值为AC+A′C的长，利用勾股定理即可求得△ACQ周长的最小值； ②分别当Q点在F点上方时，当Q点在线段FN上时，当Q点在N点下方时去分析即可求 中考数学压轴题解题技巧 解中考数学压轴题秘诀（一） 数学综合题关键是第22题和23题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。 （一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线； ③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。此类题基本在第22题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。 （二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y ＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第23题做为压轴题出现，满分14分，一般分三小题呈现。 在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。 解中考数学压轴题秘诀（二） 具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。 1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想： 纵观最近几年各地的中考压轴题，绝大部分都是与坐标系有关的，其特点是通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。 2、以直线或抛物线知识为载体，运用函数与方程思想： 直线与抛物线是初中数学中的两类重要函数，即一次函数与二次函数所表示的图形。因此，无论是求其解析式还是研究其性质，都离不开函数与方程的思想。例如函数解析式的确定，往往需要根据已知条件列方程或方程组并解之而得。 3、利用条件或结论的多变性，运用分类讨论的思想： 分类讨论思想可用来检测学生思维的准确性与严密性，常常通过条件的多变性或结论的不确定性来进行考察，有些问题，如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。 4、综合多个知识点，运用等价转换思想： 任何一个数学问题的解决都离不开转换的思想，初中数学中的转换大体包括由已知向未知，由复杂向简单的转换，而作为中考压轴题，更注意不同知识之间的联系与转换，一道中考压轴题一般是融代数、几 近几年安徽省中考数学压轴题分类探析 合肥45中金效奇 数学压轴题是指在一套数学试卷中涉及到的数学知识点较多，结构复杂，题型新颖，解法没有固定模式，难度较大，对同学们的解题技能、技巧有较高的要求且分值较高排在试卷最后面的题。 一般试卷中的压轴题常以综合题的形式出现，常常循序渐进地设计成几道小题目.要顺利解答压轴题，除了基础知识要扎实之外，审题也很关键.搞清题目的类型，理清题目中的知识点，分清条件和结论，注意关键语句找出关键条件，特别要挖掘隐含条件，并尽量根据题意列出相关的数式或画出示意图形，然后分析条件和结论之间的联系，从而找到正确合理的解题途径.将复杂问题分解或转化成较为简单或者熟悉的问题则是解此类题目的一条重要原则。 近几年来，随着中考改革的进行，许多应用型的中考压轴题在不断的涌现，压轴题的类型也在不断的变化，本文力求从中考知识点和数学思想的角度对近几年来安徽省中考数学压轴题进行分类，找出其中的共性，发现其规律，为2010年及以后的中考探明方向。 1、二次函数题仍是“热点” 二次函数作为初中数学的一个难点也是历年来中考的热点，是初中数学与高中数学衔接最紧密的地方。但是近年来由于对二次函数题类型与深度的挖掘，二次函数题的“新”与“深”受到了限制，不过安徽省中考题还有非常美好的一面。 例1、（2004年）某企业投资100万元引进一条农产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万元．该生产线投产后，从第1年到第x年的维修、保养费用累计为y(万元)，且y=ax2+bx，若第1年的维修、保养费为2万元，第2年的为4万元． (1)求y的解析式； (2)投产后，这个企业在第几年就能收回投资? 解：(1)由题意，x=1时，y=2；x=2时，y=6．分别代入y=ax2+bx，解得：a=1 、b=1．y=x2+x (2)，设g=33x-100-x2-x，则g=-x2+32x-100=-(x-16)2+156 由于当1≤x≤l 6时，g随x的增大而增大．且当x=1，2，3时，g的值均小于O，当x=4时，g=-122+156>0，可知投产后该企业在第4年就能收回投资。 此题作为压轴题，关键考查学生对应用题的审题能力，当年,这个题的错误率相当高，因为大家对“费用累计”这个概念不清楚，把x=2时，y=4代入，从而导致结果错误。 例2、（2007年）按右下图所示的流程，输入一个数据x，根据y与x的关系式就 输出一个数据y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20～100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：（Ⅰ）新数据都在60～100（含60和100）之间；（Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大。 （1）、若y与x的关系是y＝x＋p(100－x)，请说明：当p＝12时，这种变换满足上述两个要求；（2）若按关系式y=a(x－h)2＋k (a>0)将数据进行变换，请写出一个满 2012年全国中考数学（续61套）压轴题分类解析汇编 专题01：动点问题 25. （2012吉林长春10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AD－DE－EB运动，到 点B停止．点P在AD的速度运动，在折线DE－EB上以1cm/s的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作 PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段AC上．设点P的运动时间为t(s). （1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为______cm,（用含t的代数式表示）．（2）当点N落在AB边上时，求t的值． （3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式． （4）连结CD．当点N于点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN上以2.5cm/s 的速度沿M-N-M连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P 在线段EB上运动时，点H始终在线段MN的中心处．直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围． 【答案】解：（1）t－2。 （2）当点N落在AB边上时，有两种情况： ①如图（2）a，当点N与点D重合时，此时点P在DE上，DP=2=EC，即t－2=2，t=4。 ②如图（2）b，此时点P位于线段EB上． ∵DE=1 2 AC=4，∴点P在DE段的运动时间为4s， ∴PE=t-6，∴PB=BE-PE=8-t，PC=PE+CE=t-4。 ∵PN∥AC，∴△BNP∽△BAC。∴PN：AC = PB：BC=2，∴PN=2PB=16-2t。 由PN=PC，得16-2t=t-4，解得t=20 3 。 综上所述，当点N落在AB边上时，t=4或t=20 3 。 （3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况： 中考数学压轴题辅导（十大类型） 目录 动点型问题 (3) 几何图形的变换（平秱、旋转、翻折） (6) 相似不三角函数问题9 三角形问题（等腰直角三角形、等边三角形、全等三角形等） (13) 不四边形有关的二次函数问题 (16) 刜中数学中的最值问题 (19) 定值的问题 (22) 存在性问题（如：平行、垂直，动点，面积等） (25) 不圆有关的二次函数综合题... .. (29) 其它（如新定义型题、面积问题等） (33) 参考答案 (36) 中考数学压轴题辅导（十大类型） 数学综压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的，集中体现知识的综合性和方 法的综合性，多数为函数型综合题和几何型综合题。 函数型综合题：是给定直角坐标系和几何图形，先求函数的解析式，再迚行图形的研究，求点的坐标戒研究图形的某些性质。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。 几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件迚行计算，然后有动点（戒动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式，求函数的自变量的取值范围，最后根据所求的函数关系迚行探索研究。一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形，四边形是平行四边形、菱形、梯形等，戒探索两个三角形满足什么条件相似等，戒探究线段乊间的数量、位置关系等，戒探索面积乊间满足一定关系时求 x 的值等，戒直线（圆） 不圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量乊间的 等量关系（即列出含有 x、y 的方程），变形写成 y＝f（x）的形式。找等量关系的途径在刜中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求函数的自变量 的取值范围主要是寻找图形的特殊位置（极端位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千 变万化，但少丌了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出 x 的值。 解中考压轴题技能：中考压轴题大多是以坐标系为桥梁，运用数形结合思想，通过建立点不数即坐标乊间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。关键是掌握几种常用的数学思想方法。 一是运用函数不方程思想。以直线戒抛物线知识为载体，列（解）方程戒方程组求其解 析式、研究其性质。 二是运用分类讨论的思想。对问题的条件戒结论的多变性迚行考察和探究。 三是运用转化的数学的思想。由已知向未知，由复杂向简单的转换。中考压轴题它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。因此，可把压轴题分离为相对独立而又单一的知识戒方法组块去思考和探究。 解中考压轴题技能技巡： 一是对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识。根据自己的情况考试的时候重心定位准确，防止“捡芝麻丢西瓜”。所以，在心中一定要给压轴题戒几个“难点”一个时间上 的限制，如果超过你设置的上限，必须要停止，回头认真检查前面的题，尽量要保证选择、填空 万无一失，前面的解答题尽可能的检查一遍。 二是解数学压轴题做一问是一问。第一问对绝大多数同学来说，丌是问题；如果第一小问丌会解，切忌丌可轻易放弃第二小问。过程会多少写多少，因为数学解答题是按步骤给分的，写上去的东西必须要规范，字迹要巟整，布局要合理；过程会写多少写多少，但是丌要说废话，计算中尽量回避非必求成分；尽量多用几何知识，少用代数计算，尽量用三角函数，少在直角三角形中使用相似三角形的性质。 三是解数学压轴题一般可以分为三个步骤。认真审题，理解题意、探究解题思路、正确 解答。审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重2020-2021备战中考数学压轴题专题初中数学 旋转的经典综合题附详细答案
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