高三高考平面向量题型总结,经典

平面向量

一、平面向量的基本概念：

1.向量：既有大小又有方向的量叫做________.我们这里的向量是自由向量，即不改变大小和方向可以平行移动。

向量可以用_________来表示.向量的符号表示____________________. 2.向量的长度：向量的大小也是向量的长度（或_____），记作_________. 3.零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作________. 4.单位向量：__________________________.

5.平行向量和共线向量：如果向量的基线平行或重合，则向量平行或共线；两个非零向量方向相同或相反.记作________规定：___________________. 注意：理解好共线（平行）向量。

6.相等向量：_______________________. 例：下列说法正确的是_____

①有向线段就是向量，向量就是有向线段；

②,,a == 则c a =

；③,//,//a a //

④若CD AB

=，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点；

⑤所有的单位向量都相等； 二、向量的线性运算： （一）向量的加法：

1.向量的加法的运算法则：____________、_________和___________.

（1）向量求和的三角形法则：适用于任何两个向量的加法，不共线向量或共线向量；模长之间的不等式关系_______________________；“首是首，尾是尾，首尾相连” 例1.已知AB=8，AC=5，则BC 的取值范围__________ 例2.化简下列向量

（1）+++ （2）)()()(+++++

（2）平行四边形法则：适用不共线的两个向量，当两个向量是同一始点时，用平行四边形法则；

a +

是以a ，b 为邻边的平行四边形的一条对角线，如图：

例1.（09 ）设P 是三角形ABC 所在平面内一点，BP BA BC 2=+，则

A.0=+PB PA

B.0=+PC PA

C.0=+PB PC

D.0=++PC PB PA

例2.（13四川）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AO AD AB λ=+ ，则.______=λ （3）多边形法则

2.向量的加法运算律：交换律与结合律

（二）向量的减法：

减法是加法的逆运算，A.PB PA OB OA BA -=-= （终点向量减始点向量）

在平行四边形中，已知以a 、b

为邻边的平行四边形中，a -+, 分别为平行四边形的两条对角线，当

a a -=+

时，此时平行四边形是矩形。

例1.已知

86==a

，且

a a =+ ，则

a a -=+ =______

例2.设点M 是BC 的中点，点A 在线段BC 外，BC=16-=+____

=

向量的加减运算：

例1.（08辽宁）已知、O A 、B 是平面内的三个点，直线AB 上有一点C ，满足+2=0，则=______ A.2- B.—+2C.

32—3

1

D.—31+32

例2.(15课标全国I ）设D 是三角形ABC 所在平面内一点，CD BC 3=，则______

A.3431+-=

B.34

31-= C.

3134+=

D.3

1

34-= 例3.（12全国）在ABC ?中，AB 边上的高为CD ,=a,=b,a ?b=0,2,1==b a ,则=______

例4.（10全国）在ABC ?中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，若=a,=b,2,1==b a ，则=________ 例5.在ABC ?中，设D 为边BC 的中点,E 为边AD 的中点,若=m +n ，则m +n =___

例 6.（15北京理）在ABC ?中，点N M ,满足==,2，若y x +=，则

_________==y x

例7.（13江苏）设D 、E 分别是ABC ?的边AB 、BC 上的点，若BC BE AB AD 3

2

,21==，

若=1λ+2λ(1λ,2λ为实数)，则1λ+2λ=_________

例8.（12东北四市一摸）在ABC ?中，设P 为边BC 的中点，内角C B A ,,的对边c b a ,,，若c +a +b =0，则ABC ?的形状为________

(三）实数与向量的积：

1.定义：实数λ与非零向量a 的乘积a

λ是一个向量，它的长度是__________.它的方向是_________________________________________________________.当0=λ时，_______ 2.数乘向量的几何意义是把向量同方向或反方向扩大或缩小。

3.运算律：设a 、b

是任意向量，μλ,是实数，则实数与向量的积适合以下运算：

4.向量共线的判断：（平行向量的基本定理）

①如果b a λ= ，则b a // ；若b a // ，0≠b ，则存在唯一的实数λ，使得b a λ=

.

②若a 、b

是两个不共线的非零向量，则它们共线的充要条件是存在两个均不是零的实数μλ,，使________.

③若22122111,e e e e a μλμλ+=+= ，21

,e 不共线，b a // ，则在有意义的前提下，21

21μμλλ= 例1.（15课标全国II ）设向量若a 、b 是两个不平行的向量，向量b a + λ与a 2+

平行，则____=λ

例2.（09湖南）对于非零向量,,a b “0a b +=”是“//a b ”的___A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件C ．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 例3.（12四川）设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使

||||

=a b a b 成立的充分条件是A ．a ＝－b B ．a ∥b C ．a ＝2b D ．a ∥b 且|a |＝|b |

5.单位向量

给定一个向量a ，与a 同方向且长度为1的向量叫做a

的单位向量，即_______________ 重要结论：

已知ABC ?，O 为定点，P 为平面内任意一点.

①++=0?________________________?_______________________. ②若=

3

1

++，则P 为ABC ?__________________________ ③若=+λ（+），),0(+∞∈λ，则P 点的轨迹__________________. ④若=+λ_________,),0(+∞∈λ,则P 点的轨迹通过ABC ?的内心

⑤若__________________________,则P 点的轨迹是ABC ?的外心 ⑥若__________________________,则P 点的轨迹是ABC ?的垂心

例1.（10湖北）在ABC ?中，点M 满足++=0，若存在实数m ，使得+=m ，则m =________. 例2.在ABC ?中，重心为G ，若0sin 3sin 3sin

2=++GC C GB B GA A ，则_____cos =B

例3.在ABC ?中，重心为G ，若0

3

3

=+

+GC GB b GA a ，则_____=A 三、平面向量的基本定理

(一）平面向量基本定理内容：

如果1e 、2e

是同一平面内的两个不共线的向量，那么对这一平面内的任一向量a

，有且只有一对实数21,λλ，使__________________,其中1e 、2e 是一组基底，记作_______._____________叫做向量a

关于基底的分解式。

平面向量基本定理是向量正交分解的依据，是向量坐标运算的基础。

注意：只要是不共线的两个向量都可以作为基底，因为零向量与任一向量都平行，所以零向量一定不能作为基底；基底不唯一；任一向量可以由一组基底来表示，但表示方法是唯一的。 例1.（14福建）在下列向量组中，可以把向量)2,3(=a

表示出来的是______ A.)2,1(),0,0(21==e e B.)2,5(),2,1(21-=-=e e C.)10,6(),5,3(21== D.)3,2(),3,2(21-=-=

例2.（09安徽）在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是CD ，BC 的中点，若 μλ+=，则_____=+μλ （二）平面向量基本定理与向量共线条件的综合应用

设B A ,是直线l 上两点，O 是直线外一点，对于直线上任意一点P ，存在R t ∈，使___________________________成立.反之，满足上式的点P 在直线l 上. 特别地，当P 为B A ,的中点时，则_________________________.

例1.已知、O A 、B 是平面内的三个点，线段BA 的延长线上有一点C ，满足3+=0 则=____

A.3-2

B.—2+3

C.

23—21 D.—21+2

3 例2.数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若平面上的三个不共线的向量、、满足=1a +2006a ，且C B A ,,三点共线，则_____2006=S

例3.已知向量j i ,不共线，且=j m i +，j i n

+=，若D B A ,,三点共线，则实数n m ,应满足的条件_____

A.1=+n m

B.1-=+n m

C.1=mn

D.1-=mn

例4.（07江西）如图，在ABC ?中，设O 为边BC 的中点，过点O 的直线交直线AB 、AC 于不同两点N M ,.若=m ，=n ，则m +n =___mn 的最大值为_______

例5.在ABC ?中，设M 为边BC 的任意点，N 为AM 中点，=λ+μ，则λ+μ=_____. 例6.在ABC ?中，设M 为边BC 的中点，N 为AM 中点，=λ+μ，则λ+μ=_____.

例7.如图，在ABC ?中，设D 为边BC 的中点，G 为AD 中点，过G 任作一条直线MN 分别交AB 、AC 于N M ,两点，若=x ，=y ，试问

1

1+是否为定值？

四、平面向量的正交分解与向量的直角坐标运算： （一）向量的正交分解与向量的直角坐标

1.向量的垂直：如果两个向量的基线互相垂直，那么这两个向量互相垂直；

2.向量的正交分解：如果基底的两个基向量互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解。

3.在平面直角坐标系下，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量作为基底，对于平面内任一向量a

，有且只有一对实数x,y ，使得21e y e x a +=

.有序数对),(y x 叫做a

的坐标，记作),(y x a =

注意：（1）每一个向量都可以用一对有序实数对来表示，向量有代数法和几何法两种表示。

（2）符号),(y x 有了双重的意义，既可以表示固定的点，又可以表示向量；平面向量的坐标只与始点和终点坐标有关，只有点始点在原点时，向量的坐标才与终点的坐标相等。 （二）向量的坐标运算

1.若),(),,(2211y x b y x a == ，则_______________=±b a

.

2.若),(),,(2211y x B y x A ==，则=_______________||=__________________

3.若R y x a ∈=λ),,( ，则____________=a

λ

4.若),(),,(2211y x b y x a == ，b a //,则有________________.

5.三角形ABC 的重心坐标公式为____________________________

五、平面向量的数量积： 1.平面向量数量积的定义

①向量b a

,的夹角

已知两个非零向量b a ,，过点O 作b OB a OA ==,，则(θ=∠AOB ________),叫作向量b a

,的夹角.

当________________时，a 与b

垂直，记作_________.

当________________时，a 与b

平行或共线.注意：理解什么是两向量的夹角？以及两向量夹角的范围。

②向量b a

,的数量积

已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则把_____________叫做向量b a

,的数量积（内积），记作

__________________.

③规定a

?0=0

④向量数量积的几何意义

_______________________________________________________. 2.向量数量积的性质

设b a

,是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则

①θcos ?=?=?a e a a e

②?⊥b a _______________________

③当b a ,同向时，__________=?b a .当b a

,反向时，__________=?b a

特别地，___________=?a a

④______________cos =θ

⑤b a b a ?≤?

3.向量的数量积的运算律：

注意：向量的数量积无______律，无_______律. 4.数量积的坐标运算

①若),(),,(2211y x b y x a == ，则_______________=?b a

②若),(y x a = ，则_________2

2

===?a

a a a

_________=a

③若),(),,(2211y x b y x a ==

，则b a //的充要条件为______________ ④),(),,(2211y x b y x a ==

，则b a ⊥的充要条件为______________ ⑤求角问题：若非零向量),(),,(2211y x b y x a == ，θ是b a

,的夹角，则

_______________________________cos ==θ

注意：向量有几何法和坐标法两种表示，它的运算也有两种方式即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法.

典型例题（一）向量数量积的几何运算，注意两个向量的夹角，利用平面向量的基本定理选好基底

例1.对任意向量b a

,，下列关系式中不恒成立的是______

A.b a b a ≤?

B.b a b a -≤-

C.()

22b a b a +=+ D.()()

22b a b a b a -=-+

例2.已知向量c b a

,,，满足2,1==b a ，a c b a c ⊥+=，且，则向量b a 与的夹角为______

例3.（11江西）已知2)()2(,2-=-?+==b a b a b a ，则b a

,的夹角为______ 例4.（13全国）已知两个单位向量a ，b 的夹角为?

60，b t a t c )1(-+=，若0=?c b

则____=t

例5.（13江西）设1e 、2e 为单位向量，1e 与2e 的夹角为3

π

，若1212,3e b e e a =+=，则向量a 在b 方向

的射影为___

例6.已知向量c b a

,,，满足0 =++c b a ，b a c b a ⊥⊥-,)(，,1=a 若则_____222=++c b a

例7.(14课标全国）已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若

)

(2

1

AC AB AO +=

，则AB 与AC 的夹角为_____ 例8.（10湖南）在直角三角形ABC 中，,4,90==∠?

AC C 则?=_____ 例9.（15湖北）已知向量3,=⊥OA AB OA ，则_____=?OB OA

例10.如图，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP AC ?=

例11.在三角形ABC 中，1,2,60===∠?

AC AB A ，F E ,为边BC 的三等分点，

则?=_____

例12.（12天津）已知三角形ABC 为等边三角形，2=AB ，点Q P ,满足=λ，

=（1-λ），R ∈λ，若?=2

3

-

，则_____=λ 例13.（13山东）已知向量与夹角?

120，2,3==AC AB ，=λ+，且?=0 则实数λ的值____

例14.（13天津）在平行四边形ABCD 中，?

=∠=60,1BAD AD ，E 为边CD 的中点，若?=1，则AB 的

长为___

例15.已知b a

,夹角为6

π，2,3==b a ，在三角形ABC 中，n m 22+=，

n m

62-=，D 为边BC 的中点，则____=AD

例16. AD 与BE 分别是ABC ?的中线，若AD=BE=1，与的夹角为?120，则?=_____

例17.(15四川）设四边形ABCD 为平行四边形，AB=6，AD=4，若M ，N 满足2,3==，则

_____=?NM AM

例18.（12浙江）在三角形ABC 中，点M 为BC 的中点，,10,3==BC AM 则?=_____

例19.（09陕西）设M 为ABC ?边BC 的中点，1=AM ，点P 在AM 上，满足=2,则（+）=_______ 例20. 设O 是三角形ABC 的外心，1,3,==⊥AC AB BC OD ，则?（-）=___ 例21.在三角形OAB 中，已知2,4==OB OA ，点P 是AB 的垂直平分线l 上任一点，则

?=_____

例22.已知O 是三角形ABC 的外心，若5,3==AC AB ，则?=_____ 例23.若三角形ABC 内接于O 以为圆心，1为半径的圆，3+4+5=0,则?=___

例24.已知非零向量b a ,，123

1)(,323+?++==x b a x a x x f b a 在R 上有极值，则>

,的取值

范围为___

例25.（10全国）已知圆O 的半径为1，PB PA ,为该圆的两条切线，B A ,为切点，

则?的最小值为___

典型例题（二）：对于有明显的直角关系的向量问题------建立平面直角坐标系(与线性规划问题联系),向量的几何法与代数法的转化

例1.（13湖北）已知点A （—1，1），B （1,2）C （—2，—1），D （3,4），则向量在方向上的投影为_____

例2.（12重庆）设R y x ∈,，向量c b b a c y b x a //,),4,2(),,1(),1,(⊥-===，则______=+b a

例3.已知点()

3,3A ，O 是坐标原点，点),(y x P

的坐标满足???

?

???≥≥+-≤-002303y y x y x ，设z 为在上的投影，则z

的取值范围_____

例4.（13福建）在四边形ABCD 中，=（1,2）， =（-4,2），则四边形的面积为_____

例5.（09湖南）如图，两块斜边长相等的直角三角板在一起，若=x +y ，则x =____,y =_____

例 6.已知1=OA ，π3

2

,=

∠=AOB k OB ，点C 在AOB ∠，

?=0,若=m 2+m ，32=OC ，则______=k

例7.（09天津）若等边三角形的边长为32，平面上一点M ，满足=61+3

2, 则?=________.

例8.（11天津）已知直角梯形ABCD 中，1,2,90,//===∠?

BC AD ADC BC AD ，P 是腰DC 上的动

点，则|+3|的最小值为_______

例9.(12江苏)如图，在矩形ABCD 中，

2,2==BC AB ，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若?,2=，

则?=_______

例10.在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 是线段CD 的中点，则

_______2

2

2

=+PC

PB

PA

例11.（13全国）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则?=_______

例12.（13重庆）在平面上，2

12121,1AB

AB OB OB AB AB +===⊥21

<

OP OA

的取值范围是_________

例13.（12北京）已知正方形ABCD 的边长为1，点E 为AB 边上的动点，则?=_______ ?的最大值为_______

例14.平面上三个向量、、，满足,1,3,1===OC OB OA ?=0则?的最大值为_______

例15.已知三角形ABC 中，1,2,60===∠?

BC AC C ，点M 是ABC ?内部或边界上一动点，N 是边BC

的中点，则?的最大值为______

例16.（15

福建）已知t

t

1

=

=

⊥

，若点P是三角形ABC

所在平面内一点，且+

=

PC

PB?的最大值为_________

例17.（09全国）设是a,b,c单位向量，a?b=0,则(a--c) ?(b--c)的最小值为_____

例18.（13湖南）已知a,b是单位向量，a?b=0，若向量c满足|c--a--b|=1，则|c|的取值范围______

例19.（11辽宁）若a,b,c单位向量，a?b=0, (a--c) ?(b--c)0

≤，则|a+b--c|的最大值为____

例20.（11全国）设向量a,b,c，满足|a|=|b|=1, a?b=

2

1

-,?

>=

-

-

<60

,c

b

c

a,则|c|的最大值为_______

例21.（14安徽）在平面直角坐标系xOy中，已知a,b是单位向量，a?b=0，若Q点满足)

(2+

=,

曲线

{}π

θ

θ

θ2

0,

sin

cos<

≤

+

=

=b

a

C

，区域

{}R r R

r

P<

≤

≤

<

=

Ω,

，若Ω

C为两段分离的曲线，则________

A.3

1<

<

r B.R

r≤

<

<3

1 C.3

1<

<

≤R

r D.R

r<

<

<3

1

典型例题（三）：注意数量积与三角形面积、余弦定理、正弦定理的联系与三角函数的联系，与均值不等式的联系

例1.（10辽宁）平面上三点B

A

O,

,不共线，设a

=，b

=，则ABC

?的面积等于___

A.2

2

2)

(b

a

b

a

?

- B.2

2

2)

(b

a

b

a

?

+

C.2

2

2)

(

2

1

b

a

b

a

?

- D.2

2

2)

(

2

1

b

a

b

a

?

+

例2.在ABC

?中，

2

3

,3

,2=

=

=

?ABC

S

AC

AB，?0

<，则____

=

∠BAC

例3.（11浙江）若平面向量1

,1

,

,≤

=β

α

β

α

，以向量β

α

,为邻边的平行四边形面积为

2

1

，则β

α

,夹角θ的取值范围为_________

例4.（14辽宁）在ABC

?中，已知c

a>，2

=

?BC

BA，

3

,

3

1

cos=

=b

B

①求c

a,的值；

②求)

cos(C

B-

例5.设a

，b

为向量，若a

与b

a+

的夹角为3

π

，b

a+

与b

的夹角为4

π

，则

______

=

b

a

例6.在三角形ABC中，若1

,

120-

=

?

=?

A

的最小值为________

例7.在三角形ABC中，AB=2，AC=4，若点P为三角形ABC的外心，则______

=

?

例8.设O 是ABC ?内部一点，且+=-2，则AOB ?与AOC ?的面积之比为_____ 例9.设O 是ABC ?内部一点，且+3=-2，则ABC ?与AOC ?的面积之比为_____

例10.已知向量??? ??=x x a 23sin ,23cos 与??? ??-=2sin

,2cos x x

b ，)1,1(-=

c ，其中??

????-∈2,2ππx ⑴求证：)()(b a b a

-⊥+

⑵设函数)3)(3()(22

-+-+=c b c a x f ，求)(x f 的最大值和最小值

例11.（09上海）已知ABC ?的角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，设向量),(b a m = ，)sin ,(sin A B n =

，

)2,2(--=a b p

⑴若n m

//，求证：ABC ?为等腰三角形

⑵若p m ⊥，3

,2π

==C c ，求ABC ?的面积