静电场的高斯定理
302-静电场的高斯定理
1 选择题
1. 一点电荷，放在球形高斯面的中心处。下列哪一种情况，通过高斯面的电场强度通量发生变化：〔 〕
()A 将另一点电荷放在高斯面外； ()B 将另一点电荷放进高斯面内； ()C 将球心处的点电荷移开，但仍在高斯面内； ()D 将高斯面半径缩小。 答案：()B
2. 如图所示，任一闭合曲面S 内有一点电荷q ，O 为S 面上任一点，若将q 由闭合曲面内的P 点移到T 点，且OP=OT ，那么〔 〕
()A 穿过S 面的电通量改变，O 点的场强大小不变； ()B 穿过S 面的电通量改变，O 点的场强大小改变； ()C 穿过S 面的电通量不变，O 点的场强大小改变；
()D 穿过S 面的电通量不变，O 点的场强大小不变。 答案：()C
3. 如图所示，闭合面S 内有一点电荷
Q ，P 为S 面上一点，在S 面外A 点有一点电荷'Q ，若将电荷'Q 移至
B 点，则；〔 〕
()A S 面的总通量改变，P 点场强不变； ()B S 面的总通量不变，P 点场强改变； ()C S 面的总通量和P 点场强都不变； ()D S 面的总通量和P 点场强都改变。
答案：()B
4. 已知一高斯面所包围的体积内电荷代数和
0i
q
=∑，则可肯定：
〔 〕 ()A
()B
()C ()
D
答案：()C
5. 如图所示，一球对称性静电场的~E r 关系曲线，请指出该电场是由下列哪种带电体产生的（E 表示电场强度的大小，r 表示离对称中心的距离）〔 〕
()A 点电荷； ()B 半径为R 的均匀带电球体；
()C 半径为R 的均匀带电球面；
()D 内外半径分别为r 和R 的同心均匀带球壳。
答案：()C
6. 半径为R 的均匀带电球体的静电场中各点的电场强度的大小E 与距球心的距离r 的关系曲线为：〔
〕
答案：()B
r
()A ()B ()C ()D
7. A 和B 为两个均匀带电球体，A 带电荷q +，B 带电荷q -，作一与A 同心的球面S 为高斯面，如图所示。则〔 〕 ()A 通过S 面的电场强度通量为零，S 面上各点的场强为零；
()B 通过S 面的电场强度通量为0/q ε
，S
面上场强的大小为
2
0π4r
q
E ε=； ()C 通过S 面的电场强度通量为 0()/q ε- ，S 面上场强的大小为2
0π4r q E ε=
；
()D 通过S 面的电场强度通量为0/q ε，但S 面上各点的场强不能直接由高斯定理求出。 答案：()D
8. 若穿过球形高斯面的电场强度通量为零，则〔 〕 ()A 高斯面内一定无电荷； ()B 高斯面内无电荷或正负电荷的代数和为零； ()C 高斯面上场强一定处处为零； ()D 以上说法均不正确。 答案：()B
9. 同一束电场线穿过大小不等的两个平面,如图所示。则两个平面的E 通量和场强关系是: 〔 〕
()A 12ΦΦ> 21E E =； ()B 12ΦΦ< 21E E =；
()C 12ΦΦ= 21E E >； ()D 12ΦΦ= 21E E <。 答案：()D
10. 下述带电体系的场强分布可以用高斯定理来计算的是：〔 〕
()A 均匀带电圆板； ()B 均匀带电的导体球； ()C 电偶极子； ()D 有限长均匀带电棒 答案：()B
11. 关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是：〔 〕 ()A 如果高斯面上E
处处为零，则该面内必无电荷； ()B 如果高斯面内无电荷，则高斯面上E
处处为零；
()C 如果高斯面上E
处处不为零，则高斯面内必有电荷；
()D 如果高斯面内有净电荷，则通过高斯面的电场强度通量必不为零。 答案：()D
12. 如在边长为a 的正立方体中心有一个电量为q 的点电荷，则通过该立方体任一面的电场强度通量为〔 〕
()A 0/q ε ； ()B 0/2q ε； ()C 0/4q ε； ()D 0/6q ε。 答案：()D
13. 如图所示，两个“无限长”的共轴圆柱面，半径分别为1R 和2R ，其上均匀带电，沿轴线方向单位长度上的带电量分别为1λ和2λ，则在两圆柱面之间、距离轴线为r 的P 点处的场强大小E 为：〔 〕
()A
102r λπε； ()B 12
02r
λλπε+； ()C 2022()R r λπε-； ()D 1
012()
r R λπε-。
答案：()A
14. 半径为R 的均匀带电球面，若其电荷面密度为σ，则在距离球面R 处的电场强度大小为：〔 〕 ()A
0εσ； ()B 02εσ； ()C 04εσ； ()D 0
8εσ
。 答案：()C
15. 在静电场中，一闭合曲面外的电荷的代数和为q ，则下列等式不成立的是：〔 〕
()A
0d =??
S
S E
()B
0d =??
L
l E
()C 0
d εq S E S
=?? ()D
d εq l E L
=??
答案：()C
16. 在电场强度为E Ej =的匀强电场中，有一如图所示的三棱
柱，取表面的法线向外，设过面AA'CO ，面B
'B O C ，面A
B B 'A '的电通量为1φ，2φ，3φ，则〔 〕
()A 1230
E b c E b c φφφ===；
()B 1230Eac Eac φφφ=-==；
()C
123Eac Ebc φφφ=-=-=-；
()D
123Eac Ebc φφφ===。
答案：()B
17. 有两个点电荷电量都是q +，相距为2a ，今以左边的点电荷所在处为球心，以a 为半径作一球形高斯面。 在球面上取两块相等的小面积1S 和2S ，其位置如图所示。设通过1S 和2S 的电场强度通量
分别为1φ和2φ，通过整个球面的电场强度通量为φ，则〔 〕
()A 120,/q φφφε>=； ()B 120,2/q φφφε<=；
()C 120,/q φφφε==； ()D 120,/q φφφε<=。
答案：()D
18. 如果把一点电荷Q 放在某一立方体的一个顶点，则〔 〕 ()A 穿过每一表面的电通量都等于Q 6； ()B 穿过每一表面的电通量都等于Q 60
ε
()C 穿过每一表面的电通量都等于
Q 30ε；()D 穿过每一表面的电通量都等于0
24Q
ε 答案：()D
19. 高斯定理
nt
i d ε∑?
=
?q
S E S
〔 〕
()A 适用于任何静电场。 ()B 只适用于真空中的静电场。 ()C 只适用于具有球对称性、轴对称性和平面对称性的静电场。
()D 只适用于虽然不具有()C 中所述的对称性，但可以找到合适的高斯面的静电场。 答案：()A
20. 一电偶极子的偶极矩为p ，两个点电荷之间的距离是l 。以偶极子的中心为球心，半径为l 作一高斯球面，当球面中心沿p 方向移动时，则穿过高斯球面的电通量的变化顺序是：〔 〕 ()A 00,
,0p
l ε； ()B 0
0,,0p l ε-
； ()C 0,0,0；
()D 条件不充分。 答案：()A
2 填空题
1. 如图所示，在场强为E 的均匀电场中取一半球面，其半径为R ，电场强度的方向与半球面的对称轴垂直。则通过这个半球面的电通量为 。 答案：0
2. 把一个均匀带有电荷Q +的球形肥皂泡由半径1r 吹胀到2r ，则半径为R (12r R r <<）的高斯球面上任一点的场强大小E 是否变化：______________。
答案：变化
3. 反映静电场性质的高斯定理表明静电场是___ ___场。 答案：有源场
4. 如图所示，在场强为E 的均匀电场中取一半球面，其半径为R ，电场强度的方向与半球面的对称轴平行。则通过这个半球面的电通量为 。
答案：2
E R π
5. 如图所示, 真空中有两个点电荷, 带电量分别为
Q 和Q -, 相距2R 。
若以负电荷所在处O 点为中心, 以R 为半径作高斯球面S , 则通过该球面的电场强度通量e Φ= 。 答案：0/Q ε-
6. 一面积为S 的平面，放在场强为E 的均匀电场中，已知E
与平面法
线的夹角为)2
(π
θ<
，则通过该平面的电场强度通量的数值e Φ=_______________。
答案：||cos E S θ
7. 一闭合面包围着一个电偶极子，则通过此闭合面的电场强度通量e Φ=_______________。 答案： 0
8. 一点电荷q 处在球形高斯面的中心，当将另一个点电荷置于高斯球面外附近时，穿过此高斯面的E 通量是否会发生变化？ _________________。 答案：不变化
9. 一点电荷q 处在球形高斯面的中心，当将另一个点电荷置于高斯球面外附近时，此高斯面上任意点的电场强度是否会发生变化？________________。 答案：变化
10. 如选高斯面为过P 点的任意闭合曲面，能否用高斯定理求P 点的电场强度：____________。 答案：不可以
11. 一均匀静电场，电场强度(400600)V/m E i j =+，则电场通过阴影表面的电场强度通量是___ ___（正方体边长为 1cm ）。 答案：0.04V/m
12. 电荷1q 、2q 、3q 和4q 在真空中的
分布如图所示, 其中2q 是半径为R 的均匀带电球体, S 为闭合曲面，则通过闭合曲面S 的电通量=???S
S E
d 。
答案：
12()
q q ε+
? q 1
? q 3
? q
4 S
q 2
13. 把一个均匀带电量Q +的球形肥皂泡由半径1r 吹胀到2r ，则半径为R (12r R r <<）的高斯球面上任一点的场强大小E 由
2
04q R
πε变为______________。
答案：0
14. 一均匀带电球面，半径是R ，电荷面密度为σ。球面上面元d S 带有d S σ的电荷，该电荷在球心处产生的电场强度为
2
0d 4S
R
σπε，则球面内任意一点的电场强度为____________。 答案：0
15. 一均匀带电球面，半径是R ，电荷面密度为σ。球面上面元d S 带有d S σ的电荷，该电荷在球心处产生的电场强度为____________。 答案：
2
0d 4S
R
σπε
16. 有一个球形的橡皮膜气球，电荷q 均匀地分布在球面上，在此气球被吹大的过程中，被气球表面掠过的点(该点与球中心距离为r )，其电场强度的大小将由 变为0。 答案：
2
04q R
πε
17. 在匀强电场E 中，取一半径为R 的圆，圆面的法线
n 与E 成060角，如图所示，则通过以该圆周为边线的如图所示的任意曲面S 的电通
量=?=??S
e S E Φ
d 。
答案：21
2
E R π-
18. 均匀电场E 垂直于以R 为半径的的圆面，以该圆周为边线作两个曲面1S 和2S ，1S 和2S 构成闭合曲面，如图所示。则通过1S 、2
S 的电通量1Φ和2Φ分别
为 和 。
答案：22E R E R ππ-
19. 如图所示，一均匀带电直导线长为d ，电荷线密度为λ+。过导线中点O 作一半径为R （2d R >）的球面S ，P 为带电直导线的延长线与球面S 的交点。则通过该球面的电场强度通量=E Φ 。 答案：int
E q d λΦεε==
E
3 计算题
1. （1）（本小题5分）用高斯定理求均匀带正电的无限大平面簿板的场强（设电荷的面密度为σ）；
（2）（本小题5分）两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为1σ和2σ
，试求空间各处场强。
答案: （1）如图，选择圆柱面作为高斯面
由高斯定理：
0d εσεS
q S E S
?=
=???
2分 而
??
??
??
??
?+?+?=?左底
侧面
右底
S E S E S E S E S
d d d d
S E ?=2 2分
∴ 0
2E σ
ε=
1分 （2）如题图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为1σ与2σ，
两面间， 120
1
()2E n σσε=
- 2分 1σ面外， 120
1
()2E n σσε=-+ 2分 2σ面外， 120
1
()2E n σσε=
+ 1分
2. 一边长为a 的立方体置于直角坐标系中，如图所示。现空间中有一非均匀电场
12()E E kx i E j =++，1E 、2E 为常量，求：电场对立方体各表面的电场强度通量。
答案：参见图。由题意E 与O xy 面平行，所以对任何与O xy 面平行的立方体表面。电场强度的通量为零。即
OABC DEFG 0ΦΦ== 2分 而
2
221ABGF
]
d [])[(d a
E j S j E i kx E S E Φ=?++=?=???? 2分
考虑到面CDEO 与面ABGF 的外法线方向相反，且该两面的电场分布相同，故有
2CDEO ABGF 2ΦΦE a =-=- 2分
同理 2
121AOEF ]d [][d a E i S j E i E S E Φ-=-?+=?=???? 2分
2121BCDG )(]d [])[(d a ka E i S j E i ka E S E Φ+=?++=?=????
2分
E
3. （1）地球表面的场强近似为200V/m ，方向指向地球中心，地球的半径为66.3710m ?。试计算地球带的总电荷量。92-201910N m C 4πε??
=????
???
（2）在离地面1400m 处，场强降为20V/m ，方向仍指向地球中心，试计算这1400m 厚的大气层
里的平均电荷密度。 答案：（1）设地球带的总电量为Q ，大气层带电量为q 。根据高斯定理，在地球表面处有
20
4Q
E R πε=
1分
地球带的总电量为
2625
09
14200(6.3710)910(C)910
Q E R πε==-?
?≈-?? 2分 （2）对与地球同心，半径是R h +（R 是地球半径，1400m h =）得高斯面，由高斯定理
2
4()Q q E R h πε+?+= 2分
故1400m 厚的大气层带电量为
262509
51
4()20(6.37101400)910910
8.110(C)
q E R h Q πε=?+-=-??++??=? 2分 大气层的平均电荷密度为 334
[()]3q
r h R ρπ=
+-
由于R h >>，故 332
()3R h R hR +-≈ 1分 ∴ 5123
262
8.110 1.1310(C/m )44(6.3710)1400
q R h ρππ-?≈==???? 2分 4. （1）（本小题4分）用高斯定理求均匀带正电的无限大平面簿板的场强（设电荷的面密度为σ）； （2）（本小题6分）若A 、B 为真空中两个平行的“无限大”均匀带电平面，已知两平面间的电场强度大小为0E ，两平面外侧电场强度大小都为0/3E ，方向如图．那么A 、B 两平面上的电荷面密度A σ, B σ各是多少？
答案: 1 如图，选择圆柱面作为高斯面
由高斯定理：
0d εσεS
q S E S
?=
=???
2分
而
??
??
??
??
?+?+?=?左底
侧面
右底
S E S E S E S E S
d d d d
S E ?=2 1分
∴ 0
2E σ
ε=
1分 2 由场强迭加原理，平面内、外侧电场强度由A σ, B σ共同贡献：
外侧：
A B 00223E σσεε+=
2分 内侧：A B 000
22E σσ
εε-=- 2分
联立解得：A 002/3E σε=- 1分
E
E
B 004/3E σε= 1分
5. 一个“无限长”半径为R 的空心圆柱面，均匀带电，沿轴线方向单位长度上的所带电荷为λ，分别求圆柱面内、外的电场强度E 的大小。
答案:作一半径为r R >，高为h 的同轴圆柱面为高斯面，由高斯定理可得：
00
int d ελεh
q S E S
?=
=???
3分 即： 0
2h E h r λ
πε?= 2分
∴r
E 02πελ
= （r R >） 1分
作一半径r R <，高为h 的同轴圆柱面为高斯面， 同理：
0int 0
d εε=
=???
q S E S
2分 ∴0=E （r R <） 2分
6. 两个均匀带电的同心球面，半径分别为1R 和2R ，带电量分别为1q 和2q 。求（1）场强的分布；（2）当12q q q =-=时，场强的分布。
答案: （1）选择高斯面：选与带电球面同心的球面作为高斯面。 由高斯定理：
int
d ε∑??
=
?q
S E S
，得：int
20
4πq
E r ε=
∑ 2分
当2r R >时， int
12q
q q =+∑ 1分
解得 12
2
04q q E r πε+=
1分
当12R r R <<时， i n t
1q
q =∑ 1分
解出 2
014r q E πε=
1分
当1r R <时，
int
0q
=∑ 1分
解得 0E =
1分
（2）当12q q q =-=时，由上面计算的结果，得场强的分布为
2122
00,,40,
r R q E R r R r r R πε?>??=<
侧
h
7. 一对无限长的均匀带电共轴直圆筒，内外半径分别为1R 和
2R ，沿轴线方向上单位长度的电量分别为1λ和2λ。求（1）各区域内的场强分布；（2）若12λλλ=-=，情况如何？画出此情形下的~E r 的关系曲线。
答案：（1）取同轴圆柱形高斯面，侧面积rl S π2= 通量：
l r E S E S
π2d =???
1分
由高斯定理
int d εq
S E S
=???
1分
对1R r < 的区域：
0,
0q E ==∑ 1分 对21R r R <<的区域：
1
q l λ=∑ 1分
∴ 1
02πE r
λε=
1分
对2R r >的区域：
1
2
()
q l λλ=+∑ 1分
∴ 12
02πE r
λλε+=
1分
（2）当12λλλ=-=时，由上问结果：
1
1102
2π0
r R E R r R r
r R λε<=
<<> 1分
~E r 的关系曲线:
2分
r
012πR λ
ε022πR λ
ε侧
h
8. （1）（本题4分）如图，虚线所示为一立方形的高斯面，已知空间的场强分布为：x E bx =，0y E =, 0z E =。高斯面边长0.1m a =，常量1000N /(C m)b =?。试求（1）该闭合面中包含的净电荷 (真空介电常数122-1-208.8510C N m ε-=? ) ； （2）（本题6分）一均匀带电无限大平板，厚度为d ，电荷体密度为(0)ρ>，试用高斯定理求带电平板内外的电场强度。 答案：（1）设闭合面内包含净电荷为Q 。因场强只有x 分量不为零，故只是二个垂直于x 轴的平面上电场强度通量不为零。由高斯定理得：
11220
Q
E S E S ε-+=
2分
其中，212S S S a ===
则 2021021
()()(2)Q S E E S b x x a b a
a εεε=-=-=- 312
08.8510C a b ε-==? 2分
（2）因为电荷相对平板的平分面MN 对称，故场强分布相对于MN 面具有对称性，且方相垂直于平板。即平面MN 两侧对称位置场点E
的大小相等，方向相反。作图示圆柱形高斯面，使底面过对称的场点，且平行于平板，由高斯定理：
int
2d ε∑??
=
?=?q S E S E S
1分
当2
d
x <
， int
2q
x S ρ=?∑ 2分
x
E ρε= 1分 当2
d
x >
， int
q
d S ρ=?∑ 1分
2d
E ρε=
1分
9. 有两个同心的均匀带电球面，半径分别为1R 、2R )(21R R <，若大球面的面电荷密度为σ，且大球面外的电场强度为零，求：（1）小球面上的面电荷密度；（2）大球面内各点的电场强度。
答案: （1）设小球面上的电荷密度为σ'，在大球面外作同心的球面为高斯面， 由高斯定理：
'
12
20int 4'4d επσπσεR R q S E S
?+?=
=???
2分 ∵大球面外0=E
∴ 2221440R R σπσπ'?+?= 2分
解得： 2
21
()R R σσ'=- 2分
（2） 大球面内各点的场强两个均匀带电球面场强的迭加:内部场强为零,外部相当点电荷 在1r R <区域： 00021=+=+=E E E 2分
在12R r R <<区域： 2112204'04R E E E r πσπε=+=+=2
20
??
?
??-
r R εσ
2分
N
E
△S
10. 如图所示，一个均匀分布带电球层，电荷体密度为ρ，球层内表面半径为R ，外表面为2R ，求：电场分布。
答案: 本题的电荷分布具有球对称性，因而电场分布也具有对称性，作同心球面为高斯面，由高斯定理 0
int
d ε∑??
=
?q
S E S
由对称性可以得到
E r S E S
24d π=???
1分
对于不同的高斯面，电荷是不同的，结果如下
0 q r R =< 1分
334
() 23q r R R r R πρ=-<< 2分
328
23
q R r R πρ=> 2分
因而场强分布为
0 E r R =< 1分
332
0() 23r R E R r R r ρε-=<< 2分 32
07 23R E r R r ρε=> 1分
11. 均匀带电球壳内半径16cm R =，外半径210cm R =，电荷体密度为5-3
210C m ρ-=??。求：距球心15cm r =、28cm r =、312cm r =各点的场强及方向（真空介电常数122-1-208.8510C N m ε-=?）。 答案: 由高斯定理：0
int
d ε∑??
=
?q
S E S
，得：int
20
4πq
E r ε=
∑ 2分
当5cm r =时，
int
0q
=∑ 1分
故： 0=E
1分 8cm r =时， int q ∑4π3
ρ
=3
(r 31)R - 1分 ∴ ()3
31204π34πr R E r
ρ
ε-=
41048.3?≈1C N -?， 方向沿半径向外 2分 12cm r =时,int 4π3
q ρ
=∑3
2(R -31R ）
1分 ∴ ()3
3214204π3 4.10104πR R E r
ρ
ε-=≈? 1C N -? 沿半径向外. 2分
12. 如图所示，有一带电球壳，内、外半径分别为a 、b ，电荷体密度为r A =ρ，在球心处有一点电荷Q 。求：（1）在a r b ≤≤区域的电场强度；（2）当A 取何
值时，球壳区域内电场强度E
的大小与半径r 无关。
答案: 在a r b ≤≤区域，用高斯定理求球壳内场强：
?????
?+=?=?V
S
V Q r E S E )d (1
4d 0
2ρεπ 1分
而
r r A r r r
A V r V r
a d 4d 4d 02?????
=?=?ππρ()
2
22a r A -π= 2分 故： ()
222
020241
4a r A r
r Q E -π?π+π=εε 即： 2
02
020224r
Aa A r Q E εεε-+π= 3分 要使E
的大小与r 无关，则应有 ：
0242
02
20=-πr Aa r Q εε 2分
即2
2a Q
A π= 2分
13. 一半径为R 的“无限长”圆柱形带电体，其电荷体密度为：()Ar r R ρ=≤、0()r R ρ=>，式中A 为大于零的常量。求：（1）半径为()r
r R ≤ ，高为h 圆柱体内包含的电荷量；（2）半径为()r r R > ，
高为h 圆柱体内包含的电荷量；（3）场强大小分布；
答案: (1) 半径为()r r R ≤ ，高为h 圆柱体内包含的电荷量：
2
10
2'd ''2'd 'r
r
q r h r Ar r h r ρππ==??32/3Ahr =π 2分
（2）半径为()r
r R > ，高为h 圆柱体内包含的电荷量：
2
20
2'd ''2'd 'R
R
q r h r Ar r h r ρππ==??32/3AhR =π 2分
（3）场强大小分布：
取半径为r 、高为h 的高斯圆柱面。面上各点场强大小为E 并垂直于柱面。则穿过该柱面的电场强度通量为：
??=?S
E rh S E π2d
1分
由高斯定理得：
i n t
d ε∑??
=
?q S E S
1分
在r R ≤区域： ()03
3/22εAhr rhE π=π 1分
解出：
()023/εAr E = 1分
在r R >时： ()03
3/22εAhR rhE π=π 1分
解出： ()r AR E 033/ε= 1分
静电场的高斯定理
302-静电场的高斯定理 1 选择题 1. 一点电荷，放在球形高斯面的中心处。下列哪一种情况，通过高斯面的电场强度通量发生变化：〔 〕 ()A 将另一点电荷放在高斯面外； ()B 将另一点电荷放进高斯面内； ()C 将球心处的点电荷移开，但仍在高斯面内； ()D 将高斯面半径缩小。 答案：()B 2. 如图所示，任一闭合曲面S 内有一点电荷q ，O 为S 面上任一点，若将q 由闭合曲面内的P 点移到T 点，且OP=OT ，那么〔 〕 ()A 穿过S 面的电通量改变，O 点的场强大小不变； ()B 穿过S 面的电通量改变，O 点的场强大小改变； ()C 穿过S 面的电通量不变，O 点的场强大小改变； ()D 穿过S 面的电通量不变，O 点的场强大小不变。 答案：()C 3. 如图所示，闭合面S 内有一点电荷 Q ，P 为S 面上一点，在S 面外A 点有一点电荷'Q ，若将电荷'Q 移至 B 点，则；〔 〕 ()A S 面的总通量改变，P 点场强不变； ()B S 面的总通量不变，P 点场强改变； ()C S 面的总通量和P 点场强都不变； ()D S 面的总通量和P 点场强都改变。 答案：()B 4. 已知一高斯面所包围的体积内电荷代数和 0i q =∑，则可肯定： 〔 〕 ()A ()B ()C () D 答案：()C 5. 如图所示，一球对称性静电场的~E r 关系曲线，请指出该电场是由下列哪种带电体产生的（E 表示电场强度的大小，r 表示离对称中心的距离）〔 〕 ()A 点电荷； ()B 半径为R 的均匀带电球体； ()C 半径为R 的均匀带电球面； ()D 内外半径分别为r 和R 的同心均匀带球壳。 答案：()C 6. 半径为R 的均匀带电球体的静电场中各点的电场强度的大小E 与距球心的距离r 的关系曲线为：〔 〕 答案：()B r ()A ()B ()C ()D
关于静电场的高斯定理和静电场的环路定理
关于静电场的高斯定理和静电场的环路定理 静电场的高斯定理和静电场的环路定理是库仑定律的推论，所以称之为定理。由于库仑定律是静电场的基本规律，适用于静电场，所以库仑定律的推论也适用于静电场。 电场有许多种：静电场（由静止电荷激发）、恒定电场（由运动然而空间分布不随时间改变的电荷体系激发的电场）、位电场（可以在其中建立电位函数的电场，位电场的电场强度等于电位的负梯度，分为恒定的与时变的，静电场和恒定电场就属于恒定的位电场）、涡旋电场。 静电场的高斯定理的文字表述是：静电场中，电场强度穿出闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包围的总电量除以真空电容率。静电场的高斯定理的数学表述式是：in 0d i S q E S ε?=∑? 。英国著名物理学家麦克斯韦首先假设静电场的高斯定理的数学表示式in 0d i S q E S ε?=∑? 适用于一切电场，也就是说，实际的电场强度（即总电场强度） 穿出闭合曲面的通量等于闭合曲面内的总电量除以真空电容率。这个假设后来被实验证实了。正因为这个原因，数学表示式in 0d i S q E S ε?=∑? 也叫做高斯定律。 由于德国数学家高斯根据库仑定律推出的这个静电场规律的数学表示式是普遍适用的，这让高斯在电磁学中享有很高的声誉。 in 0d i S q E S ε?=∑? 有好几个称谓：高斯定理、高斯通量定理、电场的高斯定 理、电场的高斯通量定理、高斯定律、高斯通量定律、电场的高斯定律、电场的高斯通量定律。对于静电场，这个规律叫做静电场的高斯定理，或者静电场的高斯通量定理。 高斯在数学方面有一项重要成就，叫做高斯公式（也可以叫做高斯通量公式
或者高斯散度公式）。高斯公式的数学表示式是d d S V f S f V ?=???? 。其含义是：矢量场穿出闭合曲面的通量等于矢量场的散度在闭合曲面所包围的空间区域内的体积分。 高斯定理是电（磁）学规律，高斯公式是纯粹数学规律，两者截然不同。但是把两者结合起来，就可以推出0E ρε??= 。 根据库仑定律还可以推出d 0l E l ?=? ，其含义是静电场强度沿任意回路的线积分恒等于零。数学表示式d 0l E l ?=? 除了适用于静电场，也适用于恒定电场， 还适用于位电场，但是不适用于涡旋电场。所以，d 0l E l ?=? 不是电磁学中普遍 适用的规律。正因为这个原因，首先从库仑定律导出d 0l E l ?=? 的那个人没有名 气，我们甚至不知道他姓甚名谁。大理大学工程学院教授罗凌霄 2020年3月11日
静电场的高斯定理复习题,DOC
－选择题 1.关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是： ()A 如果高斯面上E 处处为零，则该面内必无电荷； ()B 如果高斯面内无电荷，则高斯面上E 处处为零； ()C 如果高斯面上E 处处不为零，则高斯面内必有电荷； ()D 如果高斯面内有净电荷，则通过高斯面的电场强度通量必不为零。 〔〕 答案：()D 2. ()A q 3.面的电通量为1φ，2φ，()A φ()B φ()C φ()D φ 4. () A () B () C () D 〔〕答案：()C 5.有两个点电荷电量都是q +，相距为2a ，今以左边的点电荷所在处为球心，以a 为半径作一球形高斯面。在球面上取两块相等的小面积1S 和2S ，其位置如图所示。设通过1S 和2S 的电场强度通量分别为1φ和2φ，通过整个球面的电场强度通量为φ，则 ()A 120,/q φφφε>=；()B 120,2/q φφφε<=； ()C 120,/q φφφε==；()D 120,/q φφφε<=。 〔〕 q S 2
答案：()D 6.一点电荷，放在球形高斯面的中心处。下列哪一种情况，通过高斯面的电场强度通量发生变化： ()A 将另一点电荷放在高斯面外；()B 将另一点电荷放进高斯面内； ()C 将球心处的点电荷移开，但仍在高斯面内；()D 将高斯面半径缩小。 7.A q -()A ()B 小为()C ()D 〔〕8. ( (9. (Q 60 ε ()C 穿过每一表面的电通量都等于 Q 30 ε；()D 穿过每一表面的电通量都等于0 24Q ε 〔〕 答案：()D 10.高斯定理0 nt i d ε∑?= ?q S E S ()A 适用于任何静电场。
静电场中的高斯定理
静电场中的高斯定理： 高斯定理是静电学中的一个重要定理, 它反映了静电场的一个基本性质, 即静电场是有源场, 其源即是电荷。可表述为: 在静电场中, 通过任意闭合曲面的电通量, 等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和的1/ε倍, 与闭合曲面外的电荷无关。表达式为 01 ()1/n i i S E ds q φε==?=∑?? （1） 高斯定理是用来求场强E 分布, 定理中, S 是任意曲面, 由于数学水平 的限制, 要由高斯定理计算出E,则对由场的分布有一定的要求, 即电荷分布具有严格的对称性( 若电荷分布不对称性即不是均匀的, 引起电场分布不对称, 不能从高斯定理求空间场强分布,高斯定理当然仍是成立的) , 由于电荷分布的对称性导致场强分布的对称性, 场强分布的对称性应包括大小和方向两个方面。典型情况有三种: 1) 球对称性, 如点电荷, 均匀带电球面或球体等; 2) 轴对称性, 如无限长均匀带电直线, 无限长均匀带电圆柱或圆柱面, 无限长均匀带电同轴圆柱面 3) 面对称性, 如均匀带电无限大平面或平板,或者若干均匀带电无限大平行平面。 根据高斯定理计算场强时, 必须先根据电荷分布的对称性, 分析场强分布的对称性; 再适当选取无厚度的几何面作为高斯面。选取的原则是: ○ 1 待求场强的场点必须在高斯面上;○ 2 使高斯面的各个部分或者与E 垂直, 或者E 平行;○ 3 与E 垂直的那部分高斯面上各点的场强应相等;○ 4 高斯面的形状应是最简单的几何面。 最后由高斯定理求出场强。高斯定理说明的是通过闭合曲面的电通量与闭合 曲面所包围的所有电荷的代数和之间的关系, 即闭合曲面的总场强E 的电通量 只与曲面所包围的电荷有关, 但与曲面内电荷的分布无关。但闭合曲面上的电场强度却是与曲面内外所有电荷相联系的,是共同激发的结果。 下面举一些例子来说静电场中高定理的应用： 例1：一半径为R 的带电球体，其电荷体密度分布为()Ar r R ρ=≤，0()r R ρ=>，A 为大于零的常量。试求球体内外的场强分布及其方向。 解：在球内取半径为r 、厚为d r 的薄球壳，该壳内所包含的电荷为 23d d 4d 4d q V Ar r r Ar r ρ==?π=π 在径为r 的球面内包含的总电荷为 430d 4d Ar r r A V q V r ππρ==?=???? ()r R ≤
静电场中的高斯定理
静电场中的高斯定理 [摘要] 高斯定理是静电学的重要定理，它可以通过数学证明方法得到，同时 要注意高斯面的选择和对高斯定理的理解。 [关键字] 高斯定理 高斯面 证明 注意事项 [内容] 高斯定理是静电学中的一个重要定理，它反映了静电场的一个基本性质，即静电场是有源场，其源就是电荷。可以将其表述为：在静电场中，通过任意闭合曲面的电通量，等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和的ε0 分之一，而与闭合曲面外的电荷无关。高斯定理的表达式如下： ? ?= ?=ΦV e dq 1 d εS S E 其中，E 表示在闭合曲面上任一dS 面处的电场强度，而EdS 则表示通过面元dS 的电场强度通量， 就表示通过整个闭合曲面S 的电场强度通量， 习惯上称闭合曲面S 为高斯面。由高斯定理可知：静电场是有源的，发散的，源头在电荷所在处，由此确定的电场线起于正电荷，终于负电荷。 下面对于静电场中的高斯定理进行证明： （a ）点电荷在球面中心 点电荷q 的电场强度为 r r q 41 30??=πεE 球面的电通量为 2 20S 2 030q r 4r 4q d r 4q d r r q 41 d εππεπεπε= ??==???=????S S S E S S （1） （b ）点电荷在任意闭曲面外
闭曲面S 的电通量为 ()??? ?++= ++=??? =?S S S S S E zdxdy r 1ydxdz r 1xdydz r 14q zdxdy ydxdz xdydz r 1 4q d r r q 41d 3330S 3030 πεπεπε （2） 根据高斯公式 ?????++=???? ? ???+??+??S V R Q P R Q P dxdy dzdx dydz dxdydz z y x （3） 并考虑到3 33r z r y ,r x === R Q P ，在S 内有连续一阶的偏导数，故式（2）可以用高斯公式计算。 将式（2）代入式（3）中得 ()???? ?? ? =???? ? ??? ???????? ???+???? ???+???? ???= ++= ++=??? =?V 33303330 S 3030 0dxdydz z r z y r y x r x 4q zdxdy r 1 ydxdz r 1xdydz r 14q zdxdy ydxdz xdydz r 1 4q d r r q 41d πεπεπεπεS S S S S E
静电场的高斯定理复习题
－ 选择题 1.关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是： ()A 如果高斯面上E 处处为零，则该面内必无电荷； ()B 如果高斯面内无电荷，则高斯面上E 处处为零； ()C 如果高斯面上E 处处不为零，则高斯面内必有电荷； ()D 如果高斯面内有净电荷， 则通过高斯面的电场强度通量必不为零。 〔 〕 答案：()D 2.如在边长为a 的正立方体中心有一个电量为q 的点电荷，则通过该立方体任一面的电场强度通量为 ()A 0/q ε； ()B 0/2q ε； ()C 0/4q ε； ()D 0/6q ε。 〔 〕 答案：()D 3.在电场强度为E Ej =的匀强电场中，有一如图所示的三棱柱，取表面的法线向外，设过面AA'CO ，面B'BOC ，面ABB'A'的电通量为1φ， 2φ，3φ，则 ()A 1230Ebc Ebc φφφ===； ()B 1230Eac Eac φφφ=-==； ()C 22123Eac Ec a b Ebc φφφ=-=-+=-； ()D 22 123Eac Ec a b Ebc φφφ==+=。 〔 〕 答案：()B 4.已知一高斯面所包围的体积内电荷代数和 0i q =∑，则可肯定： ()A 高斯面上各点场强均为零。 ()B 穿过高斯面上每一面元的电通量均为零。 ()C 穿过整个高斯面的电通量为零。()D 以上说法都不对。 〔 〕 答案：()C 5.有两个点电荷电量都是q +，相距为2a ，今以左边的点电荷所在处为球心，以a 为半径作一球形高斯面。 在球面上取两块相等的小面积1S 和2S ，其位置如图所示。设通过1S 和2S 的电场强度通量分别为1φ和 2φ，通过整个球面的电场强度通量为φ，则 ()A 120,/q φφφε>=； ()B 120,2/q φφφε<=； ()C 120,/q φφφε==； ()D 120,/q φφφε<=。 〔 〕 答案：()D 6.一点电荷，放在球形高斯面的中心处。下列哪一种情况，通过高斯面的电场强度通量发生变化： ()A 将另一点电荷放在高斯面外； ()B 将另一点电荷放进高斯面内； ()C 将球心处的点电荷移开，但仍在高斯面内； ()D 将高斯面半径缩小。 答案：()B 7.A 和B 为两个均匀带电球体，A 带电荷q +，B 带电荷q -，作一与A 同心的球面S 为高斯面，如图所示。则 x y z a b c E O A A B B C x O q q a 2a S 1 S 2 A S +q r -q B
力学的基本概念(十)高斯定理习题及答案
第七章 静电场和恒定磁场的性质(一) 高斯定理 序号 学号 姓名 专业、班级 一 选择题 [ C ]1．已知一高斯面所包围的体积内电量代数和∑i q =0，则可肯定： (A) 高斯面上各点场强均为零。 (B) 穿过高斯面上每一面元的电通量均为零。 (C) 穿过整个高斯面的电通量为零。 (D) 以上说法都不对。 ［ D ］2．两个同心均匀带电球面，半径分别为R a 和R b ( R a
浙江省大学物理试题库302-静电场的高斯定理
－ 选择题 题号：30212001 分值：3分 难度系数等级：2 如图所示，任一闭合曲面S 内有一点电荷q ，O 为S 面上任一点，若将q 由闭合曲面内的P 点移到T 点，且O P =O T ，那么 ()A 穿过S 面的电通量改变，O 点的场强大小不变； ()B 穿过S 面的电通量改变，O 点的场强大小改变； ()C 穿过S 面的电通量不变，O 点的场强大小改变； ()D 穿过S 面的电通量不变，O 点的场强大小不变。 〔 〕 答案：()C 题号：30213002 分值：3分 难度系数等级：3 关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是： ()A 如果高斯面上E 处处为零，则该面内必无电荷； ()B 如果高斯面内无电荷，则高斯面上E 处处为零； ()C 如果高斯面上E 处处不为零，则高斯面内必有电荷； ()D 如果高斯面内有净电荷， 则通过高斯面的电场强度通量必不为零。 〔 〕 答案：()D 题号：30213003 分值：3分 难度系数等级：3 如在边长为a 的正立方体中心有一个电量为q 的点电荷，则通过该立方体任一面的电场强度通量为 ()A 0/q ε ； ()B 0/2q ε； ()C 0/4q ε； ()D 0/6q ε。 〔 〕 答案：()D 题号：30212004 分值：3分 难度系数等级：2 如图所示，闭合面S 内有一点电荷Q ，P 为S 面上一点，在S 面外A 点有一点电荷'Q ，若将电荷'Q 移至B 点，则； ()A S 面的总通量改变，P 点场强不变； ()B S 面的总通量不变，P 点场强改变； ()C S 面的总通量和P 点场强都不变； ()D S 面的总通量和P 点场强都改变。 〔 〕 答案：()B 题号：30214005 分值：3分 难度系数等级：4 在电场强度为E E j = 的匀强电场中，有一如图所示的三棱柱，取表面 的法线向外，设过面A A 'C O ，面B 'B O C ，面ABB'A'的电通量为1φ，φ，φ，则
§8.3 静电场的高斯定理
1 §8.3 静电场的高斯定理 1、已知一高斯面所包围的体积内电荷代数和∑q ＝0，则可肯定： ［ ］ (A) 高斯面上各点场强均为零． (B) 穿过高斯面上每一面元的电场强度通量均为零． (C) 穿过整个高斯面的电场强度通量为零 (D) 以上说法都不对． 2、由高斯定理01E ds q ε?=∫∫v v ò，可以说明以下哪点？[ ] (A) 通过闭合曲面的总通量仅由面内电荷决定； (B) 通过闭合曲面的总通量为正时，面内电荷一定没有负电荷； (C) 闭合曲面上各点的场强仅由面内电荷决定； (D) 闭合曲面上各点的场强为零时，面内电荷一定没有负电荷。 3、由高斯定理01E ds q ε?=∫∫v v ò，可以说明以下哪点？[ ] (A) 通过闭合曲面的总通量仅由面内电荷决定； (B) 闭合曲面上各点的场强仅由面内电荷决定； (C) 通过闭合曲面的总通量为零时，面内必没有电荷； (D) 通过闭合曲面的总通量为零时，面上各点的场强必为零。 4、一点电荷，放在球形高斯面的中心处．下列哪一种情况，通过高斯面的电场强度通量发生变化： ［ ］ (A) 将另一点电荷放在高斯面外． (B) 将另一点电荷放进高斯面内． (C) 将球心处的点电荷移开，但仍在高斯面内． (D) 将高斯面半径缩小． 5、在点电荷＋q 和－q 的静电场中，作出如图所示的三个闭 合面S 1、S 2、S 3，则通过这些闭合面的电通量分别是：Φ1＝ ______，Φ2＝________，Φ3＝________． 6、如图，点电荷q 和－q 被包围在高斯面S 内，则通过 该高斯面的电通量∫∫?s d E r r ＝_____________。 7、如图所示，一个电荷为q 的点电荷位于立方体的A 角 通过侧面abcd 的电场强度通量等于：［ ］ (A) 06εq ． (B) 0 12εq ． (C) 024εq ． (D) 0 48ε q ． 123
静电场中的高斯定理的应用
华中师范大学武汉传媒学院毕业论文（设计）静电场中的高斯定理的应用 院系：传媒工程系 专业：电子信息工程 班级：B1001班 姓名：常天 学号：10405010105 指导教师：黄金仙 2014年3月29日
静电场中的高斯定理的应用Gauss theorem of electrostatic field
摘要 高斯定理是电磁学的一条重要定理，他不仅在静电场中有重要的应用，而且也是麦克斯韦电磁场理论中的一个重要方程。本文比较详细的介绍了高斯定理在静电场中的应用，并提供了数学法，直接证明法等方法证明他，总结出应用高斯定理应注意的几个问题和高斯定理几种对称性求解场强的方法，最后推导出了介质中的高斯定理的求解方法，从这些问题中可以发现高斯定理在解决静电场问题的方便之处。 关键词：高斯定理静电场应用
Abstract Gauss theorem is an important theorem of electromagnetism, he not only has important application in the electrostatic field, and is an important equation of maxwell electromagnetic field theory. More detailed introduced in this paper the gauss theorem in the application of electrostatic field, and provides a mathematical method, the direct proof method and other methods to prove his, summed up the application of gaussian set several problems that should pay attention to several symmetry solving field intensity and gauss theorem, the method of the gauss theorem of solution is deduced the medium, from these problems can be found in the gauss theorem in the place where the convenient to solve the problem of electrostatic field. Keywords: Gauss theorem Electrostatic field Application
浙江省大学物理试题库302-静电场的高斯定理17页
－ 选择题 题号：30212019 分值：3分 难度系数等级：2 如图所示，任一闭合曲面S 内有一点电荷q ，O 为S 面上任一点，若将q 由闭合曲面内的P 点移到T 点，且OP=OT ，那么 ()A 穿过S 面的电通量改变，O 点的场强大小不变； ()B 穿过S 面的电通量改变，O 点的场强大小改变； ()C 穿过S 面的电通量不变，O 点的场强大小改变； ()D 穿过S 面的电通量不变，O 点的场强大小不变。 〔 〕 答案：()C 题号：30213002 分值：3分 难度系数等级：3 关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是： ()A 如果高斯面上E 处处为零，则该面内必无电荷； ()B 如果高斯面内无电荷，则高斯面上E 处处为零； ()C 如果高斯面上E 处处不为零，则高斯面内必有电荷； ()D 如果高斯面内有净电荷， 则通过高斯面的电场强度通量必不为零。 〔 〕 答案：()D 题号：30213003 分值：3分 难度系数等级：3 如在边长为a 的正立方体中心有一个电量为q 的点电荷，则通过该立方体任一面的电场强度通量为 ()A 0/q ； ()B 0/2q ； ()C 0/4q ； ()D 0/6q 。 〔 〕 答案：()D 题号：30212019 分值：3分 难度系数等级：2 如图所示，闭合面S 内有一点电荷Q ，P 为S 面上一点，在S 面外A 点有一点电荷'Q ，若将电荷'Q 移至B 点，则； ()A S 面的总通量改变，P 点场强不变； ()B S 面的总通量不变，P 点场强改变； ()C S 面的总通量和P 点场强都不变； ()D S 面的总通量和P 点场强都改变。 〔 〕 答案：()B 题号：30214005 分值：3分 难度系数等级：4 在电场强度为E Ej v v 的匀强电场中，有一如图所示的三棱柱，取表面的法线向外，设过面AA'CO ，面B'BOC ，面ABB'A'的电通量为1 ， 2 ， 3 ，则 ()A 1230Ebc Ebc ； ()B 1230Eac Eac ； ()C 22 123Eac Ec a b Ebc ； x y z a b c E O A A B B C Q ’ A P S Q B