1过两点有且只有一条直线

1过两点有且只有一条直线

2两点之间线段最短

3同角或等角的补角相等

4同角或等角的余角相等

5过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短

7经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行

8如果两条直线都和第三条直线平行这两条直线也互相平行9同位角相等两直线平行

10内错角相等两直线平行

11同旁内角互补两直线行

12两直线平行同位角相等

13两直线平行内错角相等

14两直线平行同旁内角互补

15三角形两边的和大于第三边

16三角形两边的差小于第三边

17三角形三个内角的和等180°

18直角三角形的两个锐角互余

19三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

20三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

21全等三角形的对应边对应角相等

22有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)

23有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)

24有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) 25有三边对应相等的两个三角形全等(SSS)

26有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL) 27在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

28到一个角的两边的距离相同的点在这个角的平分线上

29角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

30等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等

31等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

32等腰三角形的顶角平分线底边上的中线和高互相重合

33等边三角形的各角都相等并且每一个角都等于60°

34等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)

35三个角都相等的三角形是等边三角形

36有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

37在直角三角形中如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

38直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

39线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

40和一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上

41线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

42关于某条直线对称的两个图形是全等形

43如果两个图形关于某直线对称那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

44两个图形关于某直线对称如果它们的对应线段或延长线相交那么交点在对称轴上

45如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分那么这两个图形关于这条直线对称

46直角三角形两直角边a b的平方和等于斜边c的平方即a2+b2=c2

47如果三角形的三边长a b c有关系a2+b2=c那么这个三角形是直角三角形

48四边形的内角和等于360°

49四边形的外角和等于360°

50多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)3180°

51任意多边的外角和等于360°

52平行四边形的对角相等

53平行四边形的对边相等

54夹在两条平行线间的平行线段相等

55平行四边形的对角线互相平分

56两组对角分别相等的四边形是平行四边形

57两组对边分别相等的四边形是平行四边形

58对角线互相平分的四边形是平行四边形

59一组对边平行相等的四边形是平行四边形

60矩形的四个角都是直角

61矩形的对角线相等

62有三个角是直角的四边形是矩形

63对角线相等的平行四边形是矩形

64菱形的四条边都相等

65菱形的对角线互相垂直并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半即S=(a3b)÷2

67四边都相等的四边形是菱形

68对角线互相垂直的平行四边形是菱形

69正方形的四个角都是直角四条边都相等

70正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分每条对角线平分一组对角

71关于中心对称的两个图形是全等的

72关于中心对称的两个图形对称点连线都经过对称中心并且被对称中心平分

73如果两个图形的对应点连线都经过某一点并且被这一点平分那么这两个图形关于这一点对称

74等腰梯形在同一底上的两个角相等

75等腰梯形的两条对角线相等

76在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

77对角线相等的梯形是等腰梯形

78如果一组平行线在一条直线上截得的线段

相等那么在其他直线上截得的线段也相等

79经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰

80经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边81三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半

82梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半

L=(a+b)/2S=L×h

83如果a:b=c:d那么ad=bc

如果ad=bc那么a:b=c:d

84如果a/b=c/d那么

(a±b)/b=(c±d)/d

85如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0)那么(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b

86三条平行线截两条直线所得的对应线段成比例

87平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例

88如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例那么这条直线平行于三角形的第三边

89平行于三角形的一边并且和其他两边相交的直线所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例

90平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似

91两角对应相等两三角形相似(ASA)

92直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

93两边对应成比例且夹角相等两三角形相似(SAS)

94三边对应成比例两三角形相似(SSS)

95如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三

角形的斜边和一条直角边对应成比例那么这两个直角三角形相似

96相似三角形对应高的比对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比

97相似三角形周长的比等于相似比

98相似三角形面积的比等于相似比的平方

99任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值

100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值任意锐角的余切值等

于它的余角的正切值

101圆是定点的距离等于定长的点的集合

102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心定长为半径的圆

106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹是着条线段的垂直平分线

107到已知角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线

109不在同一直线上的三个点确定一条直线

110垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

111①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧

112圆的两条平行弦所夹的弧相等

113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

114在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等所对的弦的弦心距相等

115在同圆或等圆中如果两个圆心角两条弧两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等116一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

117同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧也相等

118半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所

对的弦是直径

119如果三角形一边上的中线等于这边的一半那么这个三角形是直角三角形

120圆的内接四边形的对角互补并且任何一个外角都等于它的内对角

121①直线L和⊙O相交d＜r

②直线L和⊙O相切d=r

③直线L和⊙O相离d＞r

122经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线123圆的切线垂直于经过切点的半径

124经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

125经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

126从圆外一点引圆的两条切线它们的切线长相等圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

127圆的外切四边形的两组对边的和相等

128弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

129如果两个弦切角所夹的弧相等那么这两个弦切角也相等130圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等131如果弦与直径垂直相交那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项

132 从圆外一点引圆的切线和割线 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项

133 从圆外一点引圆的两条割线 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

134 如果两个圆相切 那么切点一定在连心线上 135 ①两圆外离d ＞R+r ②两圆外切 d=R+r ③两圆相交 R-r ＜d ＜R+r(R ＞r)

④两圆内切 d=R-r(R ＞r) ⑤两圆内含d ＜R-r(R ＞r) 136 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 137 把圆分成n(n ≥3):

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形 ⑵经过各分点作圆的切线 以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形

138 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆 这两个圆是同心圆

139 正n 边形的每个内角都等于(n-2)3180°/n

140 正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形

141 正n 边形的面积Sn=pnrn/2 p 表示正n 边形的周长 142 正三角形面积√3a/4 a 表示边长

143 如果在一个顶点周围有k 个正n 边形的角 由于这些角的和应为 360° 因此k 3(n-2)180°/n=360°化为 (n-2)(k-2)=4

144 弧长计算公式:L=n ∏R/180

145 扇形面积公式:S 扇形=n ∏R/360=LR/2 146 内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)

初中数学总复习提纲

第一章 实数

一、 重要概念 1．数的分类及概念 数系表：

2．非负数：正实数与零的统称。（表为：x ≥0） 常见的非负数

有：

性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。 3．倒数： ①定义及表示法

②性质：A.a ≠1/a （a ≠±1）;B.1/a 中，a ≠

0;C.0＜a ＜1时1/a ＞1;a ＞1时，1/a ＜1;D.积为1。 4．相反数： ①定义及表示法

②性质：A.a ≠0时，a ≠-a;B.a 与-a 在数

轴上的位置;C.和为0,商为-1。 5．数轴：①定义（“三要素”）

②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。 6．奇数、偶数、质数、合数（正整数—自然数）

定义及表示：

奇数：2n-1

偶数：2n （n 为自然数）

7．绝对值：①

定义（两种）：

代数定义：

几何定义：数a 的绝对值顶的几何意义是实数a 在数轴上所对应的点到原点的距离。

②│a │≥0,符号“││”是“非负数”的标志;③数

a 的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。 二、实数的运算

运算法则（加、减、乘、除、乘方、开方）

1．运算定律（五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的]

分配律）

2．运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.（同级运算）从“左”

到“右”（如5÷5

1

35）;C.(有括号时)由“小”到“中”

到“大”。

3．应用举例（略） 附：典型例题

1．已知：a 、b 、x 在数轴上的位置如下图，

求证：│x-a │+│x-b │=b-a.

2.已知：a-b=-2且ab<0，（a ≠0，b ≠0），判断a 、b 的符号。

实数 无理数(无限不循环小数)

有理数

0 (有限或无限循环性数) 整数

分数

正无理数 负无理数

0 实数

负数

整数 分数

无理数

有理数

正数

整数 分数

无理数

有理数 │a │

2

a a (a ≥0)

(a 为一切实数) a(a≥0)

-a(a<0) │a │=

a x

b

第二章 代数式

一、 重要概念

分类：

1.代数式与有理式

用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独

的一个数或字母也是代数式。 整式和分式统称为有理式。

2.整式和分式

含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。 没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。

有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。 3.单项式与多项式

没有加减运算的整式叫做单项式。（数字与字母的积—包括单独的一个数或字母）

几个单项式的和，叫做多项式。

说明：①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。划分代数式类别时，是从外形来看。如，

x

x

2

=x,2x =│x │等。 4.系数与指数

区别与联系：①从位置上看;②从表示的意义上看 5.同类项及其合并

条件：①字母相同;②相同字母的指数相同 合并依据：乘法分配律 6.根式

表示方根的代数式叫做根式。

含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。

注意：①从外形上判断;②区别：3、7是根式，但不是无理式（是无理数）。

7.算术平方根

⑴正数a 的正的平方根（a [a ≥0—与“平方根”的区别]）; ⑵算术平方根与绝对值

① 联系：都是非负数，2a =│a │

②区别：│a │中，a 为一切实数;a 中，a 为非负数。 8.同类二次根式、最简二次根式、分母有理化

化为最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式叫做同类

二次根式。

满足条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式;②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式。

把分母中的根号划去叫做分母有理化。 9.

指数

(n a —幂，乘方运算) ⑴

① a ＞0时，n a ＞0;②a ＜0时，n a ＞0（n 是偶数），n a ＜0（n 是奇数） ⑵零指数：0a =1（a ≠0）

负整指数：p a -=1/p a （a ≠0,p 是正整数）

二、 运算定律、性质、法则

1．分式的加、减、乘、除、乘方、开方法则 2．分式的性质

⑴基本性质：

a b =am

bm

（m ≠0） ⑵符号法则：a

b

a b a b -=-=-

⑶繁分式：①定义;②化简方法（两种） 3．整式运算法则（去括号、添括号法则）

4．幂的运算性质：①m a 2n a =n m a +;②m a ÷n a =n m a -;③

n

m a )(=mn

a ;④n a

b )(=n a n

b ;⑤n n

n b

a b a =)(

技巧：p p b

a a b

)()(=-

5．乘法法则：⑴单3单;⑵单3多;⑶多3多。 6．乘法公式：（正、逆用）2222)(b ab a b a +±=± （a+b ）（a-b ）=22b a - (a ±b))(22b ab a + =33b a ± 7．除法法则：⑴单÷单;⑵多÷单。

8．因式分解：⑴定义;⑵方法：A.提公因式法;B.公式法;C.十字相乘法;D.分组分解法;E.求根公式法。

9

．

算

术

根

的

性

质

：

2

a ＝

a ;)0()(2≥=a a a ;

b a ab ?=(a ≥0,b ≥0);

b

a

b a =

(a ≥0,b ＞0)(正用、逆用)

10．根式运算法则：⑴加法法则（合并同类二次根式）;⑵乘、除法法则;⑶分母有理化：A.

a 1;B.a a

b a b =;C.b

n a m -1

. 11．科学记数法：n a 10?（1≤a ＜10,n 是整数＝

三、 应用举例（略） 四、 数式综合运算（略）

单项式

多项式 整式

有理式

无理式

代数式

a ·a …a=n

a n 个

第三章 统计初步

一、 重要概念 1.总体：考察对象的全体。 2.个体：总体中每一个考察对象。 3.样本：从总体中抽出的一部分个体。 4.样本容量：样本中个体的数目。

5.众数：一组数据中，出现次数最多的数据。

6.中位数：将一组数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数（或最中间位置的两个数据的平均数）

二、 计算方法 1.样本平均数：⑴)(121n x x x n

x +++=

;⑵若a x x -=1'

1，a x x -=2'

2，…，a x x n n

-=',则a x +='(a —常数，1x ，2x ，…，n x 接近较整的常数a);⑶加权平均数：

)(212211n f f f n

f x f x f x x k k

k =++++++=

;⑷平均数是刻划

数据的集中趋势（集中位置）的特征数。通常用样本平均数去估计总体平均数，样本容量越大，估计越准确。

2．样本方差：⑴])()()[(1222212x x x x x x n

s n -++-+-= ;⑵若

a x x -=1'1,a x x -=2'

2,…,a x x n n

-=',则])[(12'

2'2'22'12

x n x x x n

s n -+++= （a —接近1x 、2x 、…、n x 的

平均数的较“整”的常数）;若1x 、2x 、…、n x 较“小”较“整”，则])[(1

2

2

22212x n x x x n

s n -+++= ;⑶样本方差是刻划数据的离散程度（波动大小）的特征数，当样本容量较大时，样本方差非常接近总体方差，通常用样本方差去估计总体方差。

3．样本标准差：2s s =

三、 应用举例（略）

第四章 直线形

一、

直线、相交线、平行线

1．线段、射线、直线三者的区别与联系

从“图形”、“表示法”、“界限”、“端点个数”、“基本性质”等方面加以分析。 2．线段的中点及表示

3．直线、线段的基本性质（用“线段的基本性质”论证“三角形两边之和大于第三边”）

4．两点间的距离（三个距离：点-点;点-线;线-线）

5．角（平角、周角、直角、锐角、钝角） 6．互为余角、互为补角及表示方法 7．角的平分线及其表示

8．垂线及基本性质（利用它证明“直角三角形中斜边大于直角边”）

9．对顶角及性质

10．平行线及判定与性质（互逆）（二者的区别与联系） 11．常用定理：①同平行于一条直线的两条直线平行（传递性）;②同垂直于一条直线的两条直线平行。

12．定义、命题、命题的组成 13．公理、定理 14．逆命题 二、

三角形

分类：⑴按边分;

⑵按角分

1．定义（包括内、外角）

2．三角形的边角关系：⑴角与角：①内角和及推论;②外角和;③n 边形内角和;④n 边形外角和。⑵边与边：三角形两边之和

大于第三边，两边之差小于第三边。⑶角与边：在同一三角形中，

3．三角形的主要线段

讨论：①定义②33线的交点—三角形的3心③性质 ① 高线②中线③角平分线④中垂线⑤中位线

⑴一般三角形⑵特殊三角形：直角三角形、等腰三角形、等边三角形

4．特殊三角形（直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形）的判定与性质

5．全等三角形

⑴一般三角形全等的判定（SAS 、ASA 、AAS 、SSS ） ⑵特殊三角形全等的判定：①一般方法②专用方法 6．三角形的面积

⑴一般计算公式⑵性质：等底等高的三角形面积相等。

7．重要辅助线

⑴中点配中点构成中位线;⑵加倍中线;⑶添加辅助平行线 8．证明方法

⑴直接证法：综合法、分析法

⑵间接证法—反证法：①反设②归谬③结论 ⑶证线段相等、角相等常通过证三角形全等 ⑷证线段倍分关系：加倍法、折半法 ⑸证线段和差关系：延结法、截余法 ⑹证面积关系：将面积表示出来 三、 四边形

分类表：

1．一般性质（角） ⑴内角和：360°

⑵顺次连结各边中点得平行四边形。

推论1：顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形。 推论2：顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点得矩形。 ⑶外角和：360°

等边 等角 大边 大角 小边

小角

2．特殊四边形

⑴研究它们的一般方法:

⑵平行四边形、矩形、菱形、正方形;梯形、等腰梯形的定义、性质和判定

⑶判定步骤：四边形→平行四边形→矩形→正方形

┗→菱形──↑

⑷对角线的纽带作用：

3．对称图形

⑴轴对称（定义及性质）;⑵中心对称（定义及性质）

4．有关定理：①平行线等分线段定理及其推论1、2

②三角形、梯形的中位线定理

③平行线间的距离处处相等。（如，找下图中面积相等的三角形）

5．重要辅助线：①常连结四边形的对角线;

②梯形中常“平移一腰”、“平移对角线”、“作

高”、“连结顶点和对腰中点并延长与底边相交”转化为三角形。

6．作图：任意等分线段。

第五章方程（组）

一、基本概念

1．方程、方程的解（根）、方程组的解、解方程（组）

2．分类：

二、解方程的依据—等式性质

1．a=b←→a+c=b+c

2．a=b←→ac=bc (c≠0)

三、解法

1．一元一次方程的解法：去分母→去括号→移项→合并同类项→

系数化成1→解。

2．元一次方程组的解法：⑴基本思想：“消元”⑵方法：①代入法

②加减法

四、一元二次方程

1．定义及一般形式：)0

(0

2≠

=

+

+a

c

bx

ax

2．解法：⑴直接开平方法（注意特征）

⑵配方法（注意步骤—推倒求根公式）

⑶公式法：)0

4

(

2

42

2

2,1

≥

-

-

±

-

=ac

b

a

ac

b

b

x

⑷因式分解法（特征：左边=0）

3．根的判别式：ac

b4

2-

=

?

4．根与系数顶的关系：

a

c

x

x

a

b

x

x=

?

-

=

+

2

1

2

1

,

逆定理：若n

x

x

m

x

x=

?

=

+

2

1

2

1

,，则以

2

1

,x

x为根的一元二次方程是：0

2=

+

-n

mx

x。

5．常用等式：

2

1

2

2

1

2

2

2

1

2

)

(x

x

x

x

x

x-

+

=

+

2

1

2

2

1

2

2

1

4

)

(

)

(x

x

x

x

x

x-

+

=

-

五、可化为一元二次方程的方程

1．分式方程

⑴定义

⑵基本思想：

⑶基本解法：①去分母法②换元法（如，7

2

2

2

1

6

3

=

-

+

+

+

-

x

x

x

x

）

⑷验根及方法

2．无理方程

⑴定义

⑵基本思想：

⑶基本解法：①乘方法（注意技巧！！）②换元法（例，

2

217

9

2x

x=

+

-）⑷验根及方法

3．简单的二元二次方程组

由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用代入法解。

六、列方程（组）解应用题

㈠概述

列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是：

⑴审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。

角线积称

性

轴

对

称

中

心

对

称

二次方程

一次方程

高次方程

整式方程

分式方程

有理方程

无理方程

方程

去分母

分式方程整式方程

乘方

无理方程有理方程

⑵设元（未知数）。①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。

⑶用含未知数的代数式表示相关的量。

⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。

⑸解方程及检验。 ⑹答案。

综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。因此，列方程是解应用题的关键。

㈡常用的相等关系 1．行程问题（匀速运动） 基本关系：s=vt ⑴相遇问题(同时出发)：

甲s +乙s =AB s ;乙甲t t =

⑵追及问题（同时出发）：

)()(;CB AB AC t t s s s 乙甲乙甲=+=

若甲出发t 小时后，乙才出发，而后在B 处追上甲，则

乙甲乙甲t t t s s +==;

⑶水中航行：水速船速顺+=v ;水速船速逆-=v 2．配料问题：溶质=溶液3浓度 溶液=溶质+溶剂 3．增长率问题：11)1(-±=n n r a a

4．工程问题：基本关系：工作量=工作效率3工作时间（常把工作量看着单位“1”）。

5．几何问题：常用勾股定理，几何体的面积、体积公式，相似形及有关比例性质等。

㈢注意语言与解析式的互化

如，“多”、“少”、“增加了”、“增加为（到）”、“同时”、“扩大为（到）”、“扩大了”、……

又如，一个三位数，百位数字为a ，十位数字为b ，个位数字为c ，则这个三位数为：100a+10b+c ，而不是abc 。

㈣注意从语言叙述中写出相等关系。

如，x 比y 大3，则x-y=3或x=y+3或x-3=y 。又如，x 与y 的差为3，则x-y=3。㈤注意单位换算

如，“小时”“分钟”的换算;s 、v 、t 单位的一致等。 七、应用举例（略）

第六章 一元一次不等式（组）

1．定义：a ＞b 、a ＜b 、a ≥b 、a ≤b 、a ≠b 。

2．一元一次不等式：ax ＞b 、ax ＜b 、ax ≥b 、ax ≤b 、ax ≠b(a ≠0)。

3．一元一次不等式组：

4．不等式的性质：⑴a>b ←→a+c>b+c

⑵a>b ←→ac>bc(c>0) ⑶a>b ←→acb,b>c →a>c ⑸a>b,c>d →a+c>b+d.

5．一元一次不等式的解、解一元一次不等式

6．一元一次不等式组的解、解一元一次不等式组（在数轴上表示解集） 7．应用举例（略）

第七章 相似形

一、本章的两套定理 第一套（比例的有关性质）：

涉及概

念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。

第二套：

注意：①定理中“对应”二字的含义;

②平行→相似（比例线段）→平行。

二、相似三角形性质

1．对应线段…;2．对应周长…;3．对应面积…。 三、相关作图

①作第四比例项;②作比例中项。 四、证（解）题规律、辅助线

1．“等积”变“比例”，“比例”找“相似”。

2．找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的

A

C

甲→

←乙 相遇处 A

C

甲→ 乙→ （相遇处）

乙→

A (甲)→ （相遇处）

反比性质：

c

d

a b = 更比性质：d b c a a c b d ==或 合比性质：d

d c b b a ±=±

?=?=bc ad d c

b a （比例基本定理）

b a n d b m

c a n

d b n m

d c b a =++++++?≠+++=== :)0(等比性质 相似基本定理

推论

(骨干定理)

平行线分线段

成比例定理

(基本定理)

应用于△中

相似三角

形

定理1

定理2 定理3

Rt △ 推论

推论的逆定理

推论

比表示出来。⑴)(,为中间比n

m

n m d c n m b a == ⑵

'',,n n n

m

d c n m b a === ⑶),(,'''

'''n

m n m n n m m n m d c n m b a =====或 3．添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。

4．对比例问题，常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k 。

5．对于复杂的几何图形，采用将部分需要的图形（或基本图形）“抽”出来的办法处理。 四、

应用举例（略）

第八章 函数及其图象

一、平面直角坐标系 1．各象限内点的坐标的特点 2．坐标轴上点的坐标的特点

3．关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特点 4．坐标平面内点与有序实数对的对应关系 二、函数

1．表示方法：⑴解析法;⑵列表法;⑶图象法。

2．确定自变量取值范围的原则：⑴使代数式有意义;⑵使实际问题有 意义。

3．画函数图象：⑴列表;⑵描点;⑶连线。 三、几种特殊函数 （定义→图象→性质） 1．正比例函数

⑴定义：y=kx(k ≠0) 或y/x=k 。 ⑵图象：直线（过原点） ⑶性质：①k>0，…②k<0，… 2．一次函数

⑴定义：y=kx+b(k ≠0)

⑵图象：直线过点（0,b ）—与y 轴的交点和（-b/k,0）—与x 轴的交点。

⑶性质：①k>0,…②k<0,… ⑷图象的四种情况： 3．二次函数

⑴定义：))(0(2一般式≠++=a c bx ax y

))(0()(2顶点式≠+-=a k h x a y

特殊地，)0(),0(22≠+=≠=a k ax y a ax y 都是二次函数。 ⑵图象：抛物线（用描点法画出：先确定顶点、对称轴、开口方向，再对称地描点）。)0(2≠++=a c bx ax y 用配方法变为

)0()(2≠+-=a k h x a y ，则顶点为（h,k ）;对称轴为直线

x=h;a>0时，开口向上;a<0时，开口向下。

⑶性质：a>0时，在对称轴左侧…，右侧…;a<0时，在对称轴左侧…，右侧…。 4.反比例函数 ⑴定义：1-==

kx x

k

y 或xy=k(k ≠0)。 ⑵图象：双曲线（两支）—用描点法画出。

⑶性质：①k>0时，图象位于…，y 随x …;②k<0时，图象位于…，y 随x …;③两支曲线无限接近于坐标轴但永远不能到达坐标轴。

四、重要解题方法

1．用待定系数法求解析式（列方程[组]求解）。对求二次函数的解析式，要合理选用一般式或顶点式，并应充分运用抛物线关于对称轴对称的特点，寻找新的点的坐标。如下图：

2．利用图象一次（正比例）函数、反比例函数、二次函数中的k 、b;a 、b 、c 的符号。

六、应用举例（略）

第九章 解直角三角形

一、三角函数 1．定义：在

Rt △ABC

中，∠C=Rt ∠，则

sinA= ;cosA= ;tgA= ;ctgA= . 2．特殊角的三角函数值：

3．互余两角的三角函数关系：sin(90°-α)=cos α;…

4．三角函数值随角度变化的关系 5．查三角函数表 二、解直角三角形

1．定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。

2．依据：①边的关系：222c b a =+

②角的关系：A+B=90°

③边角关系：三角函数的定义。

注意：尽量避免使用中间数据和除法。

三、对实际问题的处理 1

： 2

．方位角、象限角： 3．坡度：

4．在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。 四、应用举例（略）

十章 圆

一、圆的基本性质 1．圆的定义（两种）

2．有关概念：弦、直径

;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。

3．“三点定圆”定理 4．垂径定理及其推论 5．“等对等”定理及其推论

5．与圆有关的角：⑴圆心角定义（等对等定理）

⑵圆周角定义（圆周角定理，与圆心角

的关系）

⑶弦切角定义（弦切角定理）

二、直线和圆的位置关系

1.三种位置及判定与性质：

2.切线的性质（重点）

3.切线的判定定理（重点）。圆的切线的判定有⑴…⑵… 4．切线长定理

三、圆换圆的位置关系

1.五种位置关系及判定与性质：(重点：相切)

2.相切（交）两圆连心线的性质定理

3.两圆的公切线：⑴定义⑵性质

四、与圆有关的比例线段 1.相交弦定理 2.切割线定理 五、与和正多边形

1.圆的内接、外切多边形（三角形、四边形）

2.三角形的外接圆、内切圆及性质

3.圆的外切四边形、内接四边形的性质

4.正多边形及计算

中心角：)(2360右图αα=?

=

n

n 内角的一半：2

1

180)2(??-=

n n β(右图) （解Rt △OAM 可求出相关元素,n S 、n P 等） 五、

一组计算公式

1.圆周长公式

2.圆面积公式

3.扇形面积公式

4.弧长公式

5.弓形面积的计算方法

6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算

六、

点的轨迹

六条基本轨迹

七、

有关作图

1.作三角形的外接圆、内切圆

2.平分已知弧

3.作已知两线段的比例中项

4.等分圆周：4、8;6、3等分 八、 基本图形 九、 重要辅助线

1.作半径

2.见弦往往作弦心距

3.见直径往往作直径上的圆周角

4.切点圆心莫忘连

5.两圆相切公切线（连心线）

6.两圆相交公共弦

α h

l i i =tan α

d>R d=R d

直线与圆相离 直线与圆相切 直线与圆相交

d>R+r

d=R+r R-r

d

外离 外切 相交 内切 内含

P

O

A B C

D

直线中的对称问题—4类对称题型

直线中的对称问题—4类对称题型 直线的对称问题是我们学习平面解析几何过程中的不可忽视的问题，我们可以把它主要归纳为，点关于点对称，点关于线对称，线关于点对称，线关于线对称问题，下面我们来一一探讨： 一、点关于点对称问题 解决点点对称问题的关键是利用中点坐标公式，同时也是其它对称问题的基础. 例1.求点（1）关于点的对称点的坐标, （2），关于点对称，求点坐标. 解：由题意知点是线段的中点, 所以易求（1） （2）. 因此，平面内点关于对称点坐标为 平面内点，关于点对称 二、点关于线对称问题 求定点关于定直线的对称问题时，根据轴对称定义利用①两直线斜率互为负倒数,②中点坐标公式来求得. 例2．已知点直线：，求点关于直线的对称点的坐标 解:法（一）解：设，则中点坐标为且满足直线的方程 ① 又与垂直，且斜率都存在即有② 由①②解得， 法（二）求点点关于线对称问题，其实我们可以转化为求点关于点对称的问题，可先求出的直线方程进而求与的交点坐标，再利用中点坐标公式建立方程求坐标. 三、线关于点对称问题 求直线关于某一点的对称直线的问题，一般转化为直线上的点关于点的对称问题. 例3．求直线：关于点的对称直线的方程. 解:法（一）直线：与两坐标轴交点为， 点关于对称点 点关于对称点 过的直线方程为，故所求直线方程为. 法（二）由两直线关于点对称，易知两直线平行，则对称点到两直线的距离相等，可以建立等式，求出直线方程. 四、线关于线的对称问题 求直线关于直线的对称问题，一般转化为点关于直线对称问题：即在已知直线上任取两不同点，求出这两点关于直线的对称点再求出直线方程. 例4．求已知直线：关于直线对称的直线方程. 解：在：上任取一点 直线的斜率为3

直线关于直线对称问题的常用方法与技巧

直线关于直线对称问题的常用方法与技巧 对称问题是高中数学的比较重要内容，它的一般解题步骤是：1. 在所求曲线上选一点),(y x M ；2. 求出这点关于中心或轴的对称点),(00/y x M 与),(y x M 之间的关系；3. 利用0),(00=y x f 求出曲线0),(=y x g 。直线关于直线的对称问题是对称问题中的较难的习题，但它的解法很多，现以一道典型习题为例给出几种常见解法，供大家参考。 例题：试求直线01:1=-+y x l 关于直线033:2=--y x l 对称的直线l 的方程。 解法1：（动点转移法） 在1l 上任取点))(,(2/ /l P y x P ?，设点P 关于2l 的对称点为),(y x Q ，则 ?????-+=++-=???? ????-=--=-+-+534359343103223//////y x y y x x x x y y y y x x 又点P 在1l 上运动，所以01=-+y x ，所以015 3435934=--++++-y x y x 。即017=--y x 。所以直线l 的方程是017=--y x 。 解法2：（到角公式法） 解方程组? ??==????=--=-+0103301y x y x y x 所以直线21,l l 的交点为A(1,0) 设所求直线l 的方程为)1(-=x k y ，即0=--k y kx ,由题意知，1l 到2l 与2l 到l 的角相等，则7 131313113=?+-=?-+k k k .所以直线l 的方程是017=--y x 。 解法3：（取特殊点法） 由解法2知，直线21,l l 的交点为A(1,0)。在1l 上取点P （2，1），设点P 关于2l 的对称点 的坐标为),(//y x Q ，则?????==???? ????-=--=-+-+575431210321223//////y x x y y x 而点A ，Q 在直线l 上，由两点式可求直线l 的方程是017=--y x 。 解法4：（两点对称法）

直线中的几类典型问题(学)

直线中的几类典型问题 一．求倾斜角的范围 1．直线x sin π7＋y cos π 7＝0的倾斜角是( ) A ．－π 7 B.π7 C.5π7 D.6π 7 2．直线2x cos α－y －3＝0(α∈???? π6，π3)的倾斜角的变化范围是( ) A.????π6，π3 B.????π4，π3 C.??? ?π4，π 2 D.???? π4，2π3 3．直线023cos =++y x θ的倾斜角的取值范围是_______ 分析：将直线的方程化为斜截式，得出直线的斜率，再由斜率和倾斜角的关系，得出关 于θ的一个三角不等式即可． 说明：解题易得出错误的结果?? ? ???-∈6,6ππα，其原因是没有注意到倾斜角的取值范围． 二．求直线的方程 4．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线方程为________． 5．直线l 过点P （－1，3），倾斜角的正弦是 5 4 ，求直线l 的方程 分析：根据倾斜角的正弦求出倾斜角的正切，注意有两解． 说明：此题是直接考查直线的点斜式方程，在计算中，要注意当不能判断倾斜角α的正切时，要保留斜率的两个值，从而满足条件的解有两个． 6．求经过两点A （2，m ）和B （n ，3）的直线方程． 分析：本题有两种解法，一是利用直线的两点式；二是利用直线的点斜式．在解答中如果选用点斜式，只涉及到n 与2的分类；如果选用两点式，还要涉及m 与3的分类． 说明：本题的目的在于使学生理解点斜式和两点式的限制条件，并体会分类讨论的思想方法． 7.直线过点（3,2），且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。 分析：借助点斜式求解，或利用截距式求解． 说明：对本例，常见有以下两种误解： 误解一：如下图，由于直线l 的截距相等，故直线l 的斜率的值为1±．若1=k ，则直线方程为32-=-x y ；若1-=k ，则直线方程为)3(2--=-x y ．故直线方程为0 1=-+y x

直线中的几类对称问题(推荐)

直线中的几类对称问题 对称问题，是解析几何中比较典型，高考中常考的热点问题. 对于直线中的对称问题，我们可以分为：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称，直线关于直线的对称. 本文通过几道典型例题，来介绍这几类对称问题的求解策略. 一、点关于点的对称问题 点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解. 熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键. 例1 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标. 分析 易知B 是线段AC 的中点，由此我们可以由中点坐标公式，构造方程求解. 解 由题意知，B 是线段AC 的中点，设点C （x ，y ），由中点坐标公式有???????+=+=2 45223x x ， 解得???==6 4y x ，故C （4，6）. 点评 解决点关于点的对称问题，我们借助中点坐标公式进行求解. 另外此题有可以利用中点的性质AB=BC ，以及A ，B ，C 三点共线的性质去列方程来求解. 二、点关于直线的对称问题 点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上. 例2 求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标. 分析 因为A ，A ′关于直线对称，所以直线l 是线段AA ′的垂直平分线. 这就找到了解题的突破口. 解 据分析，直线l 与直线AA ′垂直，并且平分线段AA ′，设A ′的坐标为（x ，y ），则AA ′的中点B 的坐标为133,,.2 21AA x y y k x '++-??= ?-?? 由题意可知，???????-=?? ? ??-?--=-+?++121130323221x y y x ， 解得??? ????-=-=51 53y x . 故所求点A ′的坐标为31,.55??-- ???

直线中的对称问题

直线中的对称问题 学习目标： 直线中的对称问题主要有：点关于点对称；点关于直线对称；直线关于点对称；直线关于直线对称。下面谈谈各类对称问题的具体求解方法。 新知自学： 1、点关于点的对称 例1：已知点A （－2，3），求关于点P （1，1）的对称点B （00y ,x ）。 2、直线关于点的对称 例2：求直线04y x 3=--关于点P （2，－1）对称的直线l 的方程。 3、点关于直线的对称 例3：求点A （2，2）关于直线09y 4x 2=+-的对称点坐标。 特别地： 点(),P a b 关于x 轴的对称点的坐标为 ；关于y 轴的对称点的为 ； 关于y x =的对称点的坐标为 ；关于y x =-的对称点的坐标为 . 关于x=m 的对称点的坐标为 ；关于y=n 的对称点的坐标为 . 关于x+y+c=0的对称点的坐标为 ；关于x-y+c=0的对称点的坐标为 . 4、直线关于直线的对称 例4：求直线02y x :l 1=--关于直线03y x 3:l 2=+-对称的直线l 的方程。 变式：求直线02y x :l 1=--关于直线03:2=+-y x l 对称的直线l 的方程。 特别地：直线Ax+By+C=0 关于x 轴的对称直线为 ；关于y 轴的对称直线为 ； 关于y x =的对称直线为 ；关于y x =-的对称直线为 . 关于x=m 的对称直线为 ；关于y=n 的对称直线为 . 关于x+y+c=0的对称直线为 关于x-y+c=0的对称直线为 . 例5：已知点A(4，1)，B(0，4)，C(2，0)直线l ：3x-y-1=0 （1）试在直线l 上找一点P ，使CP AP +最小，并求出最小值. （2）试在直线l 上找一点Q ，使BQ AQ -最大，并求出最大值. 变式： 1、求5213422+--++=x x x x y 的最大值。 2、求5213422+-+++=x x x x y 的最小值。 例6： 一条光线经过点()2,3P ，射在直线l ：10x y ++=上， 反射后穿过点()1,1Q .()1求入射光线的方程；()2求这条光线从点P 到点Q 的长度. 例7：已知ABC △的顶点为()1,4A --，,B C ∠∠的平分线所在直线的方程分别是1l ：10y +=与2l ：10x y ++=，求BC 边所在直线的方程.

知识点231 直线的性质、两点确定一条直线(填空)

知识点231：直线的性质、两点确定一条直线（填空） 一．填空题 1．（2010?洛阳）要在墙上钉牢一根木条，至少要钉2颗钉子，根据是：过两点有且只有一条直线或两点确定一条直线． 考点：直线的性质：两点确定一条直线。 专题：推理填空题。 分析：因为经过两点有且只有一条直线，所以固定一根木条，至少需要2个钉子． 解答：解：在墙上固定一根木条至少需，2颗钉子，依据的数学道理是过两点有且只有一条直线或两点确定一条直线． 故答案分别为：2，过两点有且只有一条直线或两点确定一条直线． 点评：当我们将一根细木条固定在墙上时，我们至少需要两个钉子；在建筑工人在砌墙时，经常在两个墙角分别立一根标志杆，在两根标志杆之间拉一根绳，沿这根绳就可以砌出直的墙；当木工师傅锯木板时，他会用墨盒在木板上弹出墨线，这样会使木板沿直线锯下；在正常情况下，射击时只要保证瞄准的一只眼在两个准星确定在直线上，才能射中目标等等；它们都是运用了“两点确定一条直线”的直线的性质． 2．将一根细木条固定在墙上，只需两个钉子，其依据是两点确定一条直线． 考点：直线的性质：两点确定一条直线。 分析：根据直线公理解答． 解答：解：根据两点确定一条直线． 点评：相关链接：直线：是点在空间内沿相同或相反方向运动的轨迹，向两个方向无限延伸．公理：两点确定一条直线． 3．植树时只要先定两个树坑的位置，就能确定一行树所在的位置，其根据是两点确定一条直线． 考点：直线的性质：两点确定一条直线。 分析：本题要根据过平面上的两点有且只有一条直线的性质解答． 解答：解：根据是两点确定一条直线． 点评：本题考查了“两点确定一条直线”的公理，是中学阶段常考的问题． 4．要把木条固定在墙上至少要钉两颗钉子，这是因为两点确定一条直线． 考点：直线的性质：两点确定一条直线。 专题：应用题。 分析：此题考查几何的基本公理，注意对已知条件的把握． 解答：解：要把木条固定在墙上至少要钉两颗钉子，那么木条就不会再转动，因为两点可确定一条直线． 点评：掌握好几何的基本定理，利用基本定理，解决实际问题． 5．要在墙上固定一根木条，至少需要两根钉子，理由是：两点确定一条直线． 考点：直线的性质：两点确定一条直线。 分析：根据直线的性质求解即可． 解答：解：根据直线的性质，要在墙上固定一根木条，至少需要两根钉子，理由是：两点确定一条直线． 点评：考查直线的性质．经过两点有一条直线，并且只有一条直线，即两点确定一条直线． 6．开学整理教室时，老师总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，一会儿一列课桌摆在一条线上，整整齐齐，这是因为两点确定一条直线． 考点：直线的性质：两点确定一条直线。 专题：应用题。 分析：根据直线的确定方法，易得答案． 解答：解：两点确定一条直线． 点评：本题考查直线的确定：两点确定一条直线．

高中数学直线中对称问题归类解析

直线中对称问题归类解析 直线中的对称问题主要有：点关于点对称；点关于直线对称；直线关于点对称；直线关于直线对称。下面谈谈各类对称问题的具体求解方法。 1、点关于点的对称 例1已知点A （－2，3），求关于点P （1，1）的对称点B （o x ，o y ）。 分析：利用点关于点对称的几何特性，直接应用中点坐标公式求解。 解：设点A （－2，3）关于点P （1，1）的对称点为B （o x ，o y ），则由中点坐标公式得 ?????=+=+-12 3122o o y x 解得???-==14o o y x 所以点A 关于点P （1，1）的对称点为B （4，－1）。评注：利用中点坐标公式求解完之后，要返回去验证，以确保答案的准确性。 2、直线关于点的对称 例2求直线043:1=--y x l 关于点P （2，－1）对称的直线2l 的方程。 解法1：（用点到直线距离公式） 分析：由已知条件可得出所求直线与已知直线平行，所以可设所求直线方程为03=+-b y x 。 解：由直线2l 与043:1=--y x l 平行，故设直线2l 方程为03=+-b y x 。 由已知可得，点P 到两条直线距离相等，得1 316134 1622+++=+-+b 解得10-=b ，或4-=b （舍）。则直线2l 的方程为0 103=--y x 评注：充分利用直线关于点对称的特性：对称直线与已知直线平行且点P 到两条直线的距离相等。几何图形特性的灵活运用，可为解题寻找一些简捷途径。 解法2:（利用中点坐标法） 分析：设已知直线1l 上任意点A （a ，b ），对称点P(x 0，y 0)即为中点坐标，则对称点A ’(a x -02，b y -02)在与已知1l 的对称直线2l 上，两直线平行，可设为03=+-b y x ，带入即可求出2 l 解：设A （1，-1）在直线043:1=--y x l 上，关于点P （2，-1）的对称点A ’(3，-1) 把点A ‘(3,-1)带入直线03=+-b y x 得b=-10.则直线2l 为0 103=--y x 解法3：（利用图像平移法） 分析：取已知直线上与对称点P 相同的横坐标或纵坐标，求出点A 坐标，根据AP 之间距离可得AA ‘之间距离’，已知两直线平行，可让原直线根据方向平移既得直线

高中数学点线对称问题

对称问题专题 【知识要点】 1.点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题. 设P （x 0，y 0），对称中心为A （a ，b ），则P 关于A 的对称点为P ′（2a －x 0，2b －y 0）. 2.点关于直线成轴对称问题 由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”.利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标.一般情形如下： 设点P （x 0，y 0）关于直线y =kx +b 的对称点为P ′（x ′，y ′），则有 x x y y -'-'·k =－1， 2 y y +'=k ·20x x +'+b ， 特殊地，点P （x 0，y 0）关于直线x =a 的对称点为P ′（2a －x 0，y 0）；点P （x 0，y 0）关于直线y =b 的对称点为P ′（x 0，2b －y 0）. 3.曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题，一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）.一般结论如下： （1）曲线f （x ，y ）=0关于已知点A （a ，b ）的对称曲线的方程是f （2a －x ，2b －y ）=0. （2）曲线f （x ，y ）=0关于直线y =kx +b 的对称曲线的求法： 设曲线f （x ，y ）=0上任意一点为P （x 0，y 0），P 点关于直线y =kx +b 的对称点为P ′（x ，y ），则由（2）知，P 与P ′的坐标满足 x x y y --·k =－1， 2 0y y +=k ·20x x ++b ， 代入已知曲线f （x ，y ）=0，应有f （x 0，y 0）=0.利用坐标代换法就可求出曲线f （x ，y ）=0关于直线y =kx +b 的对称曲线方程. 4.两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论： （1）点（x ，y ）关于x 轴的对称点为（x ，－y ）； （2）点（x ，y ）关于y 轴的对称点为（－x ，y ）； （3）点（x ，y ）关于原点的对称点为（－x ，－y ）； （4）点（x ，y ）关于直线x －y =0的对称点为（y ，x ）； （5）点（x ，y ）关于直线x +y =0的对称点为（－y ，－x ）. 【典型例题】 【例1】 求直线a ：2x +y －4=0关于直线l ：3x +4y －1=0对称的直线b 的方程. 剖析：由平面几何知识可知若直线a 、b 关于直线l 对称，它们具有下列几何性质：（1）若a 、b 相交，则l 是a 、b 交角的平分线；（2）若点A 在直线a 上，那么A 关于直线l 的对称点B 一定在直线b 上，这时AB ⊥l ，并且AB 的中点D 在l 上；（3）a 以l 为轴旋转180°，一定与b 重合.使用这些性质，可以找出直线b 的方程.解此题的方法很多，总的来说有两类：一类是找出确定直线方程的两个条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程；另一类是直接由轨迹求方程. 2x +y －4=0， 3x +4y －1=0， 可求出x ′、y ′. 从中解出x 0、y 0， 解：由 解得a 与l 的交点E （3，－2），E 点也在b 上

直线方程的对称问题及最值恒过定点问题

一、点关于点的对称问题 例1求点A（2，4）关于点B（3，5）对称的点C的坐标. 练习：1求点A（-3，6）关于点B（2，3）对称的点C的坐标. 2已知点A(5,8),B(4,1),试求A点关于B点的对称点C的坐标. 二、点关于直线的对称问题 这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上. 例2求点A（1，3）关于直线l：x+2y-3=0的对称点A′的坐标. 练习：3求A（4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点是______.

4:330,(4,5)l x y p l -+=已知直线求关于的对称点。 三、直线关于某点对称的问题 直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解. 例3 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程. 练习：2若直线1l :3x-y-4=0关于点P （2，-1）对称的直线方程2l .求2l 的方程 四、直线关于直线的对称问题 直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题. 例4 求直线l 1：x-y-1=0关于直线l 2：x-y+1=0对称的直线l 的方程.

例5试求直线l1：x-y-2=0关于直线l2：3x-y+3=0对称的直线l的方程. 练习：5求直线m: x-y-2=0关于直线l: 3x-y+3=0对称的直线n的方程 五最值问题 的面积最小时直线l 1.过点P(2,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B.求AOB 的方程; 2. 若直线l过点（1,1），且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线l有（）条 A 1 B 2 C 3 D 4 （变式题：若面积为5呢，面积为1呢？） 3. 已知点A（2,5），B（4，-7），试在y轴上求一点P，使得|PA|+|PB|的值最小。 4.过点P(2,1) 作直线l分别交x轴、y轴于点A、B，求|PA|·|PB|取最小值时直线l的方程.

四年级数学上册 两点确定一条直线教案 冀教版

两点确定一条直线 教学目标： 1.在实验和画直线的实践操作中，让学生经历认识两点确定一条直线的过程。 2.了解两点确定一条直线，会经过一点或两点画直线。 3.使学生能积极参加实验和动手操作活动，体验数学在日常生活中的广泛应用。课前准备： 长40厘米、宽8厘米的木板一块；每组准备图钉、硬纸板、硬纸条。 教学方案：

让学生猜一猜，在 以小组为单位进行 实验。提出实验要 求并提醒学生注意 安全。 学生边实验，教师边巡视参与并指导。 3．全班交流。提出汇报各组实验过程和结果的要求，先交流讨论钉一个钉的情况；再交流讨论钉两个钉子的情况；最后，讨论钉三个钉子、四个钉子全是什么样？使学生达成共识：把一块木板固定在墙壁上只用两个钉子就可以了。 师：刚才同学们就像一个个小科学家一样十分投入地进行了实验。现在各组汇报一下实验的过程和结果。先来说一说钉一个钉子情况。你们怎么做，结果怎么样？ 学生可能回答： ●我们在木板的一头钉了一个钉子，马上硬纸板就倒下来了。 ●我们在硬纸板中间钉一个钉子也不行，用手一动就来回转动。 师：通过刚才钉一个钉子的实验大家得出一个什么结论呢？ 生：在木板上钉一个钉子，无论钉在什么位置，木板都可以转动，不能固定。 师：现在说一说钉两个钉子的情况。 生1：我们这样做的，把两个钉子钉在了两端，硬纸板就固定了。 生2：我们不是钉在两端，钉两个钉子也把硬纸板固定了。 师：通过刚才的实验，我们得出：在木板上钉两个钉子，就可以把木板固定在墙壁一定的位置上。那如果钉三个钉子呢？结果会怎样？对木板的位置有什么影

响？ 生：钉三个钉子只会增加木板的牢固程度，对木板的位置没有作用。 师：同学们说的对！现在就把木板固定在墙壁至少需要几个钉子的问题我们可以得出一个什么结论呢？ 生：把木板固定在墙壁上，有两个钉子就可以了。 师：大家再思考一下至少需要几个钉子？怎么理解？ 生：“至少”就是最少的意思，通过实验最少用2个钉子就可以将木板固定了。 师：通过实验和讨论我们都知道了，把一块木板固定在墙壁上至少要2个钉子。也就是说，把一块木板固 定在墙壁上，只用两个钉子就可以了。 二、解决问题 1．教师提出素材38页试一试的内容，要学生自己在书上画出来。 师：通过实验，我们知道了，要把一块木板固定在墙上，只用两个钉子旧可以，现在请同学打开书看38页试一试下面的图，要把这根木板固定在墙上，请你画出钉子的位置。 师生一起画。教师在木板上画出来。 2．交流学生画的结果。给学生充分的交流不同位置的时间，让学生说一说怎样画的怎样提的。最后教师交 师：把你画的结果给大家展示一下。说一说怎样画的，用了几个钉子？ 学生交流，教师给适当的评价，最后介绍老师钉的结果。

目的要求知道两点确定一条直线

6.1线段、射线、直线2 一、目的要求：知道“两点确定一条直线”，了解线段中点的概念，会画一条线段等于已知线段。 二、教学过程： 1、问题：（1）如果你想将一根木条固定在墙上，至少需要几根钉子？ （2）工人师傅在用方砖铺地时，常在地上打两个木桩，然后沿着拉紧的线铺砖，这样 砖就铺的整齐，这是什么道理？ 2、讨论：如图（1）经过点A 可以画几条直线？ （2）经过A 、B 两点可以画几条直线？ 结论： 。 3、做一做：已知A 、B 两点，（1）画线段AB ；（2）延长线段AB 到C ，使BC=AB 线段的中点： 。 讨论：如果B 为线段AC 的中点，那么线段AB 、BC 、AC 之间有怎样的关系？ 练习：课本P150：1、2、3 4、例题 （1）如图线段AB ＝8cm ，C 是AB 的中点， 点D 在CB 上，DB ＝1．5cm ，求线段CD 的长 练习：①如图，B 是线段AD 上的一点，C 是线段BD 的中点，AD ＝10，BC ＝3，求线段CD 、AB 的长。 ②如图，线段AD ＝8，AB=CD=3，E 、F 分别是AB 、 CD 的中点，求线段EF 的长。 ③已知，如图，B 、C 两点把线段AD 分成2：3：4三部分，M 是AD 的中点，CD=6，求线段MC 的长。 B A B A D C B A D B A F E D C B A D B

★④已知线段AB ＝10cm ，画线段BC ＝3cm ，且使A 、B 、C 三点在同一直线上，求线段AC 的长。 （2）如图所示，用几何语言表述下列图形 ； ； ； 练习： 1、下列图形中，可以比较大小的是（ ） A 、两条射线 B 、两条直线 C 、直线与射线 D 、两条线段 2、已知点C 是线段AB 上的一点，不能确定C 是AB 的中点的条件是（ ） A 、AC=C B B 、AC=AB C 、AB=2CB D 、AC+CB=AB 3、根据图中的点与线，线与线的位置关系，各写出1-2句话来 ； ； 。 4、已知线段AB ＝5cm ，线段BC ＝3cm ，则线段AC 的范围是 。 5、（1）已知平面内有四个点A 、B 、C 、D ，过其中两点画直线，可以画几条？ （2）一张圆饼（非常薄）上切10刀（不重复，），最多可以得到多少块小饼？ 6、如图，（1）点C 在线段AB 上，且AC=6cm ， BC=4cm ，点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，求线段MN 的长 （2）若AC 和BC 的长度变化，其它条件不变，你能举出一个求MN 长的公式吗？能用简洁的语言表述它吗？ (3)若将（1）中的条件改为“点C 在直线AB 上”，其它条件不变，你还能求线段MN 的长吗？ m A c b a C A B M C B A

高中数学论文解析几何直线方程中四类对称问题及应用

四类对称问题及其应用 我们所谓的四类对称问题大致上有以下四种：点关于点对称；点关于线对称；线关于点对称；线关于线对称。 一、点关于点的对称 如果点P )(00y x ，与P '关于点M （a ，b ）对称，则M 是线段P P '的中点， P )(00y x ，???????→?）的对称点 ，（关于点 b a M P '()2200y b x a --，( 依据中点坐标公式)特别的P )(00y x ，?????→?关于坐标原点对称 P '(00y x --，) 二、点关于直线对称 求一点P 0(x 0,y 0)关于一条直线Ax+By+C=0的对称点P 的坐标的问题。 (1) 直线Ax+By+C=0为特殊直线y=x 、y=-x 、 x 轴、y 轴、x=a 、y=b 时,对称点的坐标分别为P 1(y 0,x 0)、P 2(-y 0,-x 0)、P 3(x 0,-y 0)、P 4(-x 0,y 0)、P 5(2a-x 0,y 0)、P 6(x 0,2b-y 0)。 (2) 直线Ax+By+C=0为一般直线时，可设P 1的坐标为(x 1，y 1)，则PP 1的中点满足直线方程Ax+By+C=0,并且PP 1的斜率与直线Ax+By+C=0的斜率之积为-1,可以得到关于x 1、y 1的一个二元一次方程组，从而可以解出x 1、y 1。 (3)公式法. 设P 1的坐标为(x 1，y 1)，由公式 ?? ??? +++- =+++-=220001220001 ) (2)(2B A C By Ax B y y B A C By Ax A x x 求出x 1、y 1的值。 三、直线和直线关于点对称 求直线A 1x+B 1y+C 1=0关于点P(x 0,y 0)对称的直线方程。根据对称性，只需将直线方程A 1x+B 1y+C 1=0中的x 换为2x 0-x 、y 换为2y 0-y ，即可求出要求直线的方程。 四、直线关于直线对称 求一直线A 1x+B 1y+C 1=0关于直线A 0x+B 0y+C 0=0对称的直线方程。 (1) 直线A 0x+B 0y+C 0=0为特殊的直线x 轴、y 轴、y=x 、y=-x 时，直线A 1x+B 1y+C 1=0关于直线A 0x+B 0y+C 0=0对称的直线方程分别为A 1x-B 1y+C 1=0、-A 1x+B 1y+C 1=0、A 1y+B 1x+C 1=0、-A 1y-B 1x+C 1=0。 (2) 直线A 0x+B 0y+C 0=0为一般直线时: 1>直线A 0x+B 0y+C 0=0与直线A 1x+B 1y+C 1=0平行时，则只需用两平行直线距离公式即可求出要求直线。 2>若直线A 0x+B 0y+C 0=0与直线A 1x+B 1y+C 1=0相交于一A 点时,利用到角公式就可以求得直线A 1x+B 1y+C 1=0关于直线A 0x+B 0y+C 0=0对称的直线的斜率k,再利用直线的点斜式方程即可求出要求直线的方程。

点和直线的有关对称问题

点和直线的有关对称问题 摘要：对称问题是中学数学的一个重要知识点,也是近几年高考中的热点,主要有点、直线、曲线关于点和直线对称两种。中点坐标公式或两条直线垂直的条件是解决对称问题的重要工具。解析几何中的中心对称和轴对称问题最终都可以归结为关于点的对称问题加以解决。 关键词:点；直线；中心对称；轴对称 对称思想是近几年高考中的热点,它主要分为中心对称和轴对称两种,解对称问题要把握对称的实质,掌握其解题方法,提高解题的准确性和解题的速度,它主要有以下几种情况: (一)中心对称 ⒈点关于点对称 ⒉直线关于点对称 例1:求直线x+y-2=0 关于点P(a,b)对称的直线方程. 分析一:在已知直线上z任取两点A、B,再分别求出A、B关于P点的对称点A′、B′,然后由两点式可得所求直线方程. 解:在直线x+y-2=0上取两点A(0,2)、B(1,1),则它们关于P(a,b)对称的点分别为A′(2a,2b-2)、B(2a-1,2b-1),由两点式得所求直线为:

分析二:中心对称的两条直线是互相平行的,并且这两条直线与对称中心的距离相等. 解:设所求直线方程为x+y+λ=0,则 点评:方法三为相关点法,是求曲线方程的一种常用方法,可进一步推广:曲线C:f(x,y)=0关于点P(a,b)对称的曲线C′的方程为f(2a-x,2b-y)=0.特别的, 曲线f(x,y)=0关于原点对称的曲线方程为: f(-x,-y)=0. (二)轴对称 ⒈点关于直线对称 例2:M(-1,3)关于直线:x+y-1=0的对称点M′的坐标. 解二:过点M(-1,3)与直线l 垂直的直线的斜率k=1,则直线方程为x-y+4=0. 设M关于直线l 的对称点为M′,则E为线段MM′的中点,由中点坐标公式知:M′的坐标为(-2,2) 解三:设M′(a,b), 线段MM′的垂直平分线上的任意一点为A(x,y). ∵MA=M′A , ∴(x+1)2+(y-3)2=(x-a)2+(y-b)2 这就是已知直线l的方程 故点M′的坐标为(-2,2) ⒉直线关于直线对称 例3:⑴求直线a:2x+y-4=0关于直线

对称问题=直线中的几类对称问题=高考数学专题讲座讲义.doc

学习好资料 欢迎下载 学法点拔（ 9） （ 9）直线中的几类对称问题 对称问题，是解析几何中比较典型，高考中常考的热点问题 . 对于直线中的对称问题， 我们可以分为： 点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称， 直线关于直线的 对称 . 本文通过几道典型例题，来介绍这几类对称问题的求解策略 . 一、点关于点的对称问题 点关于点的对称问题， 是对称问题中最基础最重要的一类， 其余几类对称问题均可以化 归为点关于点的对称进行求解 . 熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键 . 例 1 求点 A （ 2， 4）关于点 B （ 3， 5）对称的点 C 的坐标 . 分析 易知 B 是线段 AC 的中点，由此我们可以由中点坐标公式，构造方程求解 . 2 x 3 2 解 由题意知， B 是线段 AC 的中点，设点 C （ x ，y ），由中点坐标公式有 ， x 4 5 2 x 4 解得 ，故 C （4， 6） . y 6 点评 解决点关于点的对称问题，我们借助中点坐标公式进行求解 . 另外此题有可以 利用中点的性质 AB=BC ，以及 A ， B ， C 三点共线的性质去列方程来求解 . 二、点关于直线的对称问题 点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方 面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于 -1，②两点的中点在已知直线上 . 例 2 求点 A （ 1， 3）关于直线 l ：x+2y-3=0 的对称点 A ′的坐标 . 分析 因为 A ， A ′关于直线对称，所以直线 l 是线段 AA ′的垂直平分线 . 这就找到 了解题的突破口 . 解 据分析， 直线 l 与直线 AA ′垂直， 并且平分线段 AA ′，设 A ′的坐标为 （ x ，y ）， 1 x 3 y ???k y 3 ??. 则 AA ′的中点 B 的坐标为 ?? 2 , 2 , A A x 1 1 x 2 3 y 3 2 2 由题意可知， ， 3 1 y 1 x 1 2 3 x 3 1 解得 5 ??? ?? . 故所求点 A ′的坐标为 1 5 , 5 . y 5

直线中的对称问题

例谈直线中的对称问题 直线的对称问题是我们学习平面解析几何过程中的不可忽视的问题，我们可以把它主要归纳为，点关于点对称，点关于线对称，线关于点对称，线关于线对称问题，下面我们来一一探讨： 一、点关于点对称问题 解决点点对称问题的关键是利用中点坐标公式，同时也是其它对称问题的基础. 例1.求点（1）()1,3A 关于点()3,2P 的对称点A '的坐标, （2）()4,2A ，()2,0A ' 关于点P 对称，求点P 坐标. 解：由题意知点P 是线段A A '的中点, 所以易求（1）()5,1A ' （2）()3,1P . 因此，平面内点()00,y x A 关于()b a P ,对称点坐标为()002,2y b x a -- 平面内点()11,y x A ，()22,y x A '关于点?? ? ??++2,22121y y x x P 对称 二、点关于线对称问题 求定点关于定直线的对称问题时，根据轴对称定义利用①两直线斜率互为负倒数,②中点坐标公式来求得. 例2．已知点()1,1A 直线 ：02=+-x y ，求点A 关于直线 的对称点A '的坐标 解:法（一）解：设()y x A ,'，则A A '中点坐标为??? ??++21,21y x 且满足直线 的方程 022 121=++-+∴x y ① 又A A ' 与 垂直，且 ,A A '斜率都存在 1-=?∴ k k AB 即有111 1-=?--x y ② 由①②解得 3=x ，1-=y ()1,3-'∴A 法（二）求点点关于线对称问题，其实我们可以转化为求点关于点对称的问题，可先求出A A '的直线方程进而求与 的交点坐标，再利用中点坐标公式建立方程求A '坐标. 三、线关于点对称问题 求直线关于某一点的对称直线的问题，一般转化为直线上的点关于点的对称问题. 例3．求直线1 ：012=-+y x 关于点()1,2P 的对称直线2 的方程. 解:法（一） 直线1 ：012=-+y x 与两坐标轴交点为?? ? ?? 21,0A ，()0,1B

06两点确定一条直线

06 两点确定一条直线 一．选择题（共10 小题）1．工人师傅在给小明家安装晾衣架时，一般先在阳台天花板上选取两个点，然后再进行安装．这样做的数学原理是（）A．过一点有且只有一条直线B．两点之间，线段最短 C．连接两点之间的线段叫两点间的距离D．两点确定一条直线2．在墙壁上固定一根横放的木条，则至少需要钉子的枚数是（） A．1 枚B．2 枚C．3 枚D．任意枚 3．若平面内有点A、B、C，过其中任意两点画直线，则最多可以画的条数是（）A．3 条B．4 条C．5 条D．6 条 4．下列说法中正确的是（） A．射线AB 和射线BA是同一条射线 B．射线就是直线 C．经过两点有一条直线，并且只有一条直线 D．延长直线AB 5．经过同一平面内A、B、C 三点中的每两点可画出直线的条数为（）A．0 条B．1 条C．3 条D．3条或1 条 6．在开会前，工作人员进行会场布置，如图为工作人员在主席台上由两人拉着 一条绳子，然后以“准绳”摆放整齐的茶杯，这样做的理由是（ A．两点之间线段最短B．两点确定一条直线 C．垂线段最短D．过一点可以作无数条直线 7．下列事实可以用“两点确定一条直线”来解释的有（）个

①墙上钉木条至少要两颗钉子才能牢固； ②农民拉绳播秧； ③解放军叔叔打靶瞄准； ④从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设． A．1 B．2 C．3 D．4 8．平面上有五个点，其中只有三点共线．经过这些点可以作直线的条数是（）A．6 条B．8 条C．10 条D．12 条 9．过两点有且只有（）条直线． A．3 B．2 C．1 D．0 10．下列说法正确的是（） A．两点确定两条直线B．三点确定一条直线C．过一点只能作一条直线D．过一点可以作无数条直线 二．填空题（共2 小题） 11．下列三个现象：①用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上； ②从A地到B地架设电线，只要尽可能沿着线段AB架设，就能节省材料；③植树时，只要定出两棵树的位置，就能使同一行树在一条直线上．其中可用“两点确定一条直线”来解释的现象有（填序号）12．小朋友在用 玩具枪瞄准时，总是用一只眼对准准星和目标，用数学知识解释为：． 06 两点确定一条直线 参考答案与试题解析 一．选择题（共10 小题）1．工人师傅在给小明家安装晾衣架时，一般先在阳台天花板上选取两个点，然后再进行安装．这样做的数学原理是（）A．过一点有且只有一条直线 B．两点之间，线段最短C．连接两点之间的线段叫两点间的距离 D．两点确定一条直线 【分析】直接利用直线的性质分析得出答案．

知识点231 直线的性质、两点确定一条直线(解答)

知识点231：直线的性质、两点确定一条直线（解答） 一．解答题 1．小刚和小强在争论一道几何问题，问题是射击时为什么枪管上有准星．小刚说：“这还不简单，老师上课时不是讲过了吗，过两点有且只有一条直线，所以枪管上才有准星．”小强说：“过两点有且只有一条直线我当然知道，可是若将人眼看成一点，准星看成一点，目标的某一位置看成一点，这样不是有三点了吗，既然过两点有且只有一条直线，那弄出第三点又为什么呢？”聪明的你能回答小强的疑问吗？ 考点：直线的性质：两点确定一条直线。 分析：根据直线的性质，结合实际意义，易得答案． 解答：解：若将人眼看成一点，准星看成一点，目标看成一点，那么要想射中目标，人眼与目标确定的这条直线，应与子弹所走的直线重合，即与准星和目标所确定的这条直线重合，即达到看到哪打到哪儿． 换句话说要想射中目标就必须使准星在人眼与目标所确定的直线上． 点评：本题考查直线的性质，无限延伸性即没有端点；同时结合射击时的“三点一线”理论，立意新颖． 2．怎样才能保证一队同学站成一条直线？ 考点：直线的性质：两点确定一条直线。 专题：开放型。 分析：根据两点确定一条直线，来实际操作． 解答：解：本题为开放问题，答案不唯一，只要可行即为正确． 现提供一种答案，仅供参考： 先让两个同学站好不动，其他同学依次往后站，要求只能看到各自前面的那个同学． 点评：此题考查了“两点确定一条直线”的应用． 3．木工检验木条的边线是否是直的，常常用眼睛从木条的一端向另一端望去，如果看到两个端点及这条边线中的各点都重合于一点，那么这条边线就是直的，你可以同伙伴试一试这个方法，并说一说其中的道理． 考点：直线的性质：两点确定一条直线。 分析：取木条上任意一点，与两端点得到三条线段，根据两点确定一条直线，三点在同一直线上，所以木条的边线是直的． 解答：解：如图，有3条线段，它们分别是线段AB，线段BC，线段AC， ∵两个端点及这条边线中的各点都重合于一点，根据经过两点有且只有一条直线， ∴这条线的边线是直的． 点评：本题是两点确定一条直线在实际生活中的运用，比较简单． 4．我们知道：平面上有一个点，过这一点可以画无数条直线． 若平面上有两个点，则过这两点可以画的直线的条数是1； 若平面上有三个点，过每两点画直线，则可以画的直线的条数是1或3； 若平面上有四个点，过每两点画直线，则可以画的直线的条数是1或4或6． 考点：直线的性质：两点确定一条直线。 分析：直线公理：经过两点有且只有一条直线可知过两点可以画的直线的条数；过平面内三点、四点画直线时，要根据平面上三点、四点的位置关系要分情况讨论． 解答：解：①根据直线公理：经过两点有且只有一条直线可知：若平面上有两个点，则过这两点可以画的直线的条数是：1； ②当三点在同一条直线上时，可以画1条直线， 当三点不在同一直线上时，可以画3条． 故平面上有三个点，若过两点画直线，则可以画出直线的条数为1或3条． ③如图所示：分别根据四点在同一直线上、三点在同一条直线上、任意三点均不在同一条直线上描出各点，再根据两点确定一条直线画出各直线可知：

直线方程中的对称问题

直线中的几类对称问题 对称问题，是解析几何中比较典型， 对于直线中的对称问题，我们可以分为：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称，直线关于直线的对称. 通过几道典型例题，介绍这几类对称问题的求解策略. 一、点关于点的对称问题 点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解. 熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键. 例1 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标. 分析 易知B 是线段AC 的中点，由此我们可以由中点坐标公式，构造方程求解. 解 由题意知，B 是线段AC 的中点，设点C （x ，y ），由中点坐标公式有???????+=+=2 45223x x ，解得???==6 4y x ，故C （4，6）. 点评 解决点关于点的对称问题，我们借助中点坐标公式进行求解. 另外此题有可以利用中点的性质AB=BC ，以及A ，B ，C 三点共线的性质去列方程来求解. 二、点关于直线的对称问题 点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上. 例2 求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标. 分析 因为A ，A ′关于直线对称，所以直线l 是线段AA ′的垂直平分线. 这就找到了解题的突破口. 解 据分析，直线l 与直线AA ′垂直，并且平分线段AA ′，设A ′的坐标为（x ，y ），则AA ′的中点B 的坐标为.13,23,2 1??x y ??k ?y ??x A A --=??? ??++' 由题意可知，???????-=?? ? ??-?--=-+?++121130323221x y y x ， 解得??? ????-=-=5153y x . 故所求点A ′的坐标为.51,53???????? ??-- 三、直线关于某点对称的问题 直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解. 例3 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程. 分析 本题可以利用两直线平行，以及点P 到两直线的距离相等求解，也可以先在已知直线上取一点，再求该点关于点P 的对称点，代入对称直线方程待定相关常数. 解法一 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0. 由点到直线距离公式，得2222112|11|112| 1611|++=++c ， 即|11+c|=27，得c=16（即为已知直线，舍去）或c= -38. 故所求对称直线方程为