解的存在唯一性定理证明

解的存在唯一性定理

利用逐次逼近法，来证明微分方程的初值问题的解存在与唯一性定理。

一、【存在、唯一性定理叙述】

如果方程的右端函数在闭矩形区域上满足如下条件：

（1）、在上连续；

（2）、在上关于变量满足利普希茨条件，即存在常数，使对于上任何一点和有以下不等式：。

则初值问题在区间上存在唯一解，

其中

二、【证明】

逐步迫近法：

微分方程等价于积分方程。

取，定义

可证明的满足积分方程。

通过逐步迫近法可证明解的存在唯一性。

命 题 1：先证积分方程与微分方程等价：

设是微分方程定义于区间上满足初值条件

的解，则是积分方程定义于区间上的连续解。反之亦然。

证： 因是微分方程的解，有

两边从到取定积分，得：

代入初值条件得：

即是积分方程定义于区间上的连续解。

反之，则有

微分得：

且当时有。即是微分方程定义于区间上满足初值条件的解。

现取，代入积分方程的右端，所得函数用表示，则，再将代入积分方程的右端，所得函数用表示，则，以上称为1次近似, 称为2次近似。以此类推得到次近似。

从而构造逐步迫近函数序列为：

命 题 2：对所有,函数序列在上有定义、连续且满足不等式

证：当时，

。显然在上有定义、连续且有

，即命题2当时成立。

由数学归纳法，设命题2当时成立，则对有：

知在上有定义、连续且有

命题2当时也成立。

由数学归纳法原理得命题2对所有均成立。

命 题 3：函数序列在上一致收敛。

证：只须考虑级数-----（*）

在上一致收敛。

因其部分和为：，因，

设对成立。

则当时有

即对所有，在成立 。

其右端组成正项收敛级数

由魏氏判别法，级数（*）在上一致收敛。即在上一致收敛。命题3得证。

现设

则在上有定义、连续且

命 题 4： 是积分方程在上的连续解。

证： 由利普希茨条件 及在上一致收敛于，知函数序列在上一致收敛于。

于是即

是积分方程在上的连续解。

命题5：设是积分方程在上的另一连续解。则。

证： 现证也是序列在上的一致收敛极限函数。由，

，

得：

，

。

设，则

。由数学归纳法，对所有，有 。

因此，对所有，在有成立。但当时。故在上的一致收敛于。由极限的唯一性，得。

隐函数存在性的探讨

隐函数存在性的探讨 摘要隐函数存在唯一性定理是一个充分不必要条件。本文把定理中第四个条件要求的改为时,对隐函数存在性作探讨。本文引入了拐点,解决了本文提出的问题。 关键词隐函数存在性 一、引言 应用课本学习过的知识,判断一个较为复杂方程是否存在隐函数时,主要判断其是否满足隐函数存在唯一性定理的条件。通过实际例子知道,这个定理只是一个充分不必要条件。那么在什么情况下方程存在隐函数呢?本文专门研究了这个问题,并取得了一些小小的进展。 二、拐点法证明隐函数的存在性 (一)分析在定理中的作用。 回顾定理的证明过程,第(4)个条件中的,主要是为了说明对于每个固定的,作为的一元函数,必定在上严格单调。而当的时,出现的情况是,在内,作为的一元函数下,可能不具有单调性。而单调性又是在证明隐函数存在唯一性定理中不可缺少的一个条件,所以当,如果再加一个或几个条件,使对于每个固定的,即令,作为的一元函数,也在上严格单调。那么就可满足要求。此时根据隐函数存在唯一性定理,便能证明在该点邻域内能确定隐函数,问题也就解决了。 (二)单调性分析及证明。 在曲面中,如果我们把区域中的每个的值固定,即令,曲面与平面的交线就是以为自变量的一个函数,如果这个函数在点的邻域内具有单调性,那么问题即可解决.其实可以证明如果点为拐点,则在其邻域内具有单调性。 证明:因为点为拐点,拐点即为凸函数和凹函数的分界点。不妨假设在内是凸函数(若在内是凹函数,则可讨论),在上是凹函数。根据数学分析上册定理6.13的等价论断10及论断20,即如果为上的凸函数,则为上的增函数;如果为上的凹函数,则为上的减函数。 假设为的导数,则在上为增函数,因为,所以;在上为减函数。又因为,所以。即在上都有。所以在上单调递增。故有,。问题得证。 问题转化为:如何验证点为函数的拐点?

解的存在唯一性

解的存在唯一性定理证明及其研究 专业名称：数学与数学应用 组长：赵亚平 组员：刘粉娟、王蓓、孙翠莲 指导老师：岳宗敏

解的存在唯一性定理证明及其研究 摘要 线性微分方程是常微分课本中的重要组成部分，线性微分方程组解的存在唯一性是最重要，也是不可或缺的一部分，通过课本所学知识运用逐步逼近法以及压缩映射原理分别对一阶，高阶线性微分方程组解的存在唯一性进行的详细的论述证明。对于线性方程组解的情况，主要是通过对增广矩阵进行初等行变换，了解其秩的情况，在运用克莱默法则，从而得出其解的存在唯一性的情况。 关键词：解的存在唯一性 线性微分方程组 线性方程组 （一）一阶微分方程的解的存在唯一性定理与逐步逼近法 存在唯一性定理 考虑初值问题 ),(y x f dx dy = 00)(y x y = （1） 其中f(x,y)在矩形区域R ： b y y a x x ≤-≤-||,||00 （2） 上连续，并且对y 满足Lipschits 条件：即存在常数L>0（L 为利普

希茨常数），使不等式 |||),(),(|2121y y L y x f y x f -≤- 对所有R y x y x ∈),(),,(21都成立,则初值问题(1)在区间h x x ≤-||0上解存在且唯一，这里 |),(|max ),, min(),(y x f M M b a h R y x ∈== 证明思路： 1.初值问题（1）的解存在等价于求积分方程 ?+=x x dy y x f y y 0),(0 （3） 的连续解。 2.构造（3）所得解函数序列{)(x n ?}，任取一连续函数)(0x ?， b y x ≤-|)(|00?代入（3）右端的y ，得 …… 2,1,))(,()(0 01=+=?+n dx x x f y x x x n n ?? 3.函数序列{)(x n ?}在|,|00h x h x +-上一致收敛到)(x ?。这里为 )(x n ?=dx x x f y n x x n ))(,(lim 1-00 ??∞ →+ dx x x f y x x f y x x x x n ??+ =+=∞ →0 ))(,()) (,(lim 01-n 0?? 4．)(x ?为（3）的连续解且唯一。首先在区间],[00h x x +是讨论，在错误！未找到引用源。上类似。 证明过程： 命题1 ：初值问题（1）等价于积分方程

函数零点存在性定理

?函数零点存在性定理： 一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b)0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点． (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点. ?函数零点个数的判断方法: (1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x2-2x +1在[0，2]上只有一个零点 ②函数的零点是实数而不是数轴上的点． (2)代数法：求方程f(x）=0的实数根． 例题1： 若函数f（x）唯一的一个零点同时在区间（0，16）、（0，8）、（0，4）、（0，2）内，下列结论： （1）函数f（x）在区间（0，1）内有零点； （2）函数f（x）在区间（0，1）或（1，2）内有零点； （3）函数f（x）在区间[2，16）内无零点； （4）函数f（x）在区间（0，16）上单调递增或递减． 其中正确的有______（写出所有正确结论的序号）．

函数零点存在性定理

函数零点存在性定理标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]

函数零点存在性定理： 一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b)0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点． (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点. 函数零点个数的判断方法: (1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x2-2x +1在[0，2]上只有一个零点 ②函数的零点是实数而不是数轴上的点． (2)代数法：求方程f(x）=0的实数根． 例题1： 若函数f（x）唯一的一个零点同时在区间（0，16）、（0，8）、（0，4）、（0，2）内，下列结论： （1）函数f（x）在区间（0，1）内有零点； （2）函数f（x）在区间（0，1）或（1，2）内有零点； （3）函数f（x）在区间[2，16）内无零点； （4）函数f（x）在区间（0，16）上单调递增或递减． 其中正确的有 ______（写出所有正确结论的序号）． 答案 由题意可确定f（x）唯一的一个零点在区间（0，2）内，故在区间[2，16）内无零点． （3）正确， （1）不能确定， （2）中零点可能为1， （4）中单调性也不能确定．

张荣军判断零点的存在性定理

课题：判断函数零点的存在性 ---------根的存在性定理 学习目标： （一）知识与技能： 2．理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法． （二）过程与方法： 自主发现、探究实践，理解函数零点存在的条件． （三）情感、态度、价值观： 1.在函数与方程的联系中体验数学转化思想的意义和价值 2.数行结合思想在探索数学问题的重要性. 2.了解方程求解方法的简单发展史.. 重点难点： 重点：体会函数的零点与方程的根之间的联系，掌握零点存在的判定条件． 难点：探究发现函数零点的存在性. 课题引入：在人类用智慧架设的无数从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座，虽然今 天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月. 我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的求解的问题。如约公元50年—100年编成的《九章算术》，就给出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具体方法… 问题·探究 （一）回顾旧知，“温故知新”。 1、函数的零点：对于函数)(x f ，我们把使0)(=x f 的实数x 叫做)(x f 的零点（zero point ）. 2、等价关系： 方程0)(=x f 有实数根 ?函数)(x f y =的图像与x 轴有交点?函 数)(x f y =有零点. 巩固练习：求下列方程的根． （1）0652 =+-x x （2） )1lg()(-=x x f （3）062ln =-+x x （二）提出问题，“星河探秘”。（零点存在性） 问题1：函数y ＝f(x)在某个区间上是否一定有零点？

怎样的条件下，函数y ＝f(x)一定有零点？ （1）观察二次函数32)(2 --=x x x f 的图象，分析其图像在零点两侧如何分布？ ○ 1 在区间]1,2[-上有零点______；=-)2(f _______，=)1(f _______, )2(-f ·)1(f _____0（＜或＞） ． ○2 在区间]4,2[上有零点______；)2(f ·)4(f ____0（＜或＞）． （2）观察下面函数)(x f y =的图象，分析其图像在零点两侧如何分布？ ○1 在区间],[b a 上______(有/无)零点；)(a f ·)(b f _____0（＜或＞）． ○2 在区间],[c b 上______(有/无)零点；)(b f ·)(c f _____0（＜或＞）． ○3 在区间],[d c 上______(有/无)零点；)(c f ·)(d f _____0（＜或＞）． （4）观察上面（3）的函数图象： 若函数在某区间内存在零点，则函数在该区间上的图象是 ____ （间断／连续）；含零点的某一较小区间中以零点左右两边的实数为自变量，它们各自所对应的函数值的符号是____（相同／互异） （三）讨论探索，发现“新大陆”。 根的存在性定理：如果函数)(x f y =在区间][b a ,上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 0)()(

Picard存在和唯一性定理

Picard存在和唯一性定理 本节利用逐次逼近法，来证明微分方程 (2.1) 的初值问题 (2.2) 的解的存在与唯一性定理. 定理 2.2(存在与唯一性定理)如果方程(2.1)的右端函数在闭矩形域 上满足如下条件： (1) 在R上连续; (2) 在R上关于变量y满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数N，使对于R上任何一 对点和有不等式： 则初值问题(2.2)在区间上存在唯一解 其中 在证明定理之前，我们先对定理的条件与结论作些说明: 1. 在实际应用时，李普希兹条件的检验是比较费事的.然而，我们能够用一个较强的， 但却易于验证的条件来代替它.即如果函数在闭矩形域R上关于y的偏导数 存在并有界，.则李普希兹条件成立，事实上，由拉格朗日中值定理有 其中满足，从而.如果在R上连续，它在R上当然就满足李普希兹条件.（这也是当年Cauchy证明的结果） 2．可以证明，如果偏导数在R上存在但是无界，则Lipschitz条件一定不满足，

但是Lipschitz 条件满足，偏导数不一定存在，如(,)||f x y y 。 3.现对定理中的数h 0做些解释.从几何直观上，初值问题(2.2)可能呈现如图2-5所示的情况. 这 时，过点 的积 图 2-5 分曲线 当 或 时，其中 ， ，到 达R 的上边界 或下边界 .于是，当 时，曲线 便可能没有定义.由此可见，初值问题(2.2)的解未必在整个区间 上存在. 由于定理假定 在R 上连续,从而存在 于是，如果从点 引两条斜率分别等于M 和-M 的直线，则积分曲线 (如果存在的话)必被限制在图2-6的带阴影的两个区域内，因此，只要我们取 则过点 的积分曲线 (如果存在的话)当x 在区间上变化时，必位于R 之 中. 图 2-6

函数零点存在性定理.

? ? 函数零点存在性定理： 一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b)0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点． (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点. ?函数零点个数的判断方法: (1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x2-2x +1在[0，2]上只有一个零点 ②函数的零点是实数而不是数轴上的点． (2)代数法：求方程f(x）=0的实数根． 例题1： 若函数f（x）唯一的一个零点同时在区间（0，16）、（0，8）、（0，4）、（0，2）内，下列结论： （1）函数f（x）在区间（0，1）内有零点； （2）函数f（x）在区间（0，1）或（1，2）内有零点； （3）函数f（x）在区间[2，16）内无零点； （4）函数f（x）在区间（0，16）上单调递增或递减． 其中正确的有______（写出所有正确结论的序号）．

[整理]一阶微分方程解的存在定理.

第三章 一阶微分方程解的存在定理 [教学目标] 1. 理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解的误差估计式。 2. 了解解的延拓定理及延拓条件。 3. 理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。 [教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 12学时 [教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。 [考核目标] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。 2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。 3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。 §1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法 微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。 例如方程 dy dx =过点(0,0)的解就是不唯一，易知0y =是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2 y x =或更一般地，函数 2 0 0() c<1x c y x c x ≤≤?=?-≤? 都是方程过点(0,0)而且定义在区间01x ≤≤上的解，其中c 是满足01c <<的任一数。 解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性 和唯一性。另外，由于能得到精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有重要的意义，而解的存在唯一性是进行近似计算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意义；如果存在不唯一，不能确定所求的是哪个解。而解的存在唯一性定理保证了所求解的存在性和唯一性。 1．存在性与唯一性定理： （1）显式一阶微分方程 ),(y x f dx dy = （3.1） 这里),(y x f 是在矩形域：00:||,||R x x a y y b -≤-≤ （3.2）

隐函数定理及其应用.

S F 01（数） Ch 18 隐函数定理及其应用计划课时： 6 时 P 231 — 236 2002. 09.20 .

231 Ch 18 隐函数定理及其应用 ( 6 时 ) § 1 隐函数 ( 2 时 ) 一． 隐函数概念：隐函数是表达函数的又一种方法. 1. 隐函数及其几何意义: 以0),(=y x F 为例作介绍. 2. 隐函数的两个问题: ⅰ> 隐函数的存在性; ⅱ> 隐函数的解析性质. 二. 隐函数存在条件的直观意义: 三. 隐函数定理: Th 1 ( 隐函数存在唯一性定理 ) 若满足下列条件: ⅰ> 函数),(y x F 在以),(000y x P 为内点的某一区域D 2 R ?上连续 ; ⅱ> ),(00y x F 0=; ( 通常称这一条件为初始条件 ) ⅲ> 在D 内存在连续的偏导数),(y x F y ; ⅳ> ),(00y x F y 0=/. 则在点0P 的某邻域 (0P )?D 内 , 方程0),(=y x F 唯一地确定一个定义在某区间 ) , (00αα+-x x 内的隐函数)(x f y =, 使得 ⑴ )(00y x f =,∈x ) , (00αα+-x x 时()∈)( , x f x (0P )且()0)( , ≡x f x F . ⑵ 函数)(x f 在区间) , (00αα+-x x 内连续 . ( 证 ) 四. 隐函数可微性定理: Th 2 设函数),(y x F 满足隐函数存在唯一性定理的条件 , 又设在D 内),(y x F x 存在且连续 . 则隐函数)(x f y =在区间) , (00αα+-x x 内可导 , 且

根的存在性证明(零点定理)

根的存在性定理：如果)(x f 在闭区间[a,b]上连续 0)(,,0)()(=∈<ξξf b a b f a f ）使得（则存在。 证明 利用构造法的思想，将)(x f 的零点范围逐步缩小。先将[a,b]二等分为],2[],2, [b b a b a a ++，如果0)2 (=+b a f 。则定理获证。如果0)2(≠+b a f ，则f(a)和f(b)中必然有一个与)2 (b a f +异号，记这个小区间为[11,b a ],它满足2-0)()(1111a b a b b f a f -=<且区间的长度。又将[11,b a ]二等分，考虑中点的函数值，要么为零，要么不为零。如果中点的函数值为零，则定理获证。如果中点的函数值不为零，那么必然可以选出一个小区间，使得f(x)在这个区间的端点值异号，记这个小区间为 ],[22b a ，它满足[a,b]?[11,b a ]],[22b a ?，0)()(2222 22<-=-a f b f a b a b 且。采用这样的方法一直进行下去，或者到有限步时，某个区间的中点的函数值为零，这样定理的结论成立。或者所有区间的中点的函数值不为零，那么我们就会得到一个无穷的区间序列{],[n n b a }，它满足:① [a,b]?[11,b a ]?????],[22b a ；②n n n a b a b 2-=-；③0)()(δ，使得f(x)在],[),(b a ?+-δξδξ上与)(ξf 同号。根据所构造的区间的性质②，存在正整数N ，当n>N 时， ],[),(],[b a b a n n ?+-?δξδξ。根据区间的性质③，0)()(

一阶线性微分方程解的存在唯一性证明

一阶线形微分方程)()(x q y x p dx dy +=解的存在唯一性定理的证明 摘要:从分析方法入手,来证明满足初值条件下一阶线形微分方程解的存在唯一性定理的证明.引言:我们学习了能用初等解法的一阶方程的若干类型,但同时知道大量的一阶方程是不能用初等解法求出它的通解,而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解,因此对初值问题的研究被提到重要地位,自然要问:初值问题的解是否存在?如果存在是否唯一? 首先,我们令f(x,y)=p(x)y+q(x) 这里f(x,y)是在矩形域 R:b y y a x x ≤-≤-00,上的连续函数. 函数f(x,y)称为在R 上关于y 满足利普希兹条件,如果存在常数L>0使不等式 2121),(),(y y L y x f y x f -≤- 对于所有的R y x y x ∈),(),,(21 都成立,L 称为 利普希兹常数 下面我们给出一阶线形微分方程)()(x q y x p dx dy +=(1)解的存在唯一性定理: 如果f(x,y)=p(x)y+q(x)在R 上连续且关于y 满足利普希兹 条件,则方程(1)存在唯一的解)(x y ?=,定义于区间h x x ≤-0上,连续且满足初始条件: 00)(y x =? 这里 ), min(M b a h = ),(max y x f M = R y x ∈),( 我们采用皮卡的逐步逼近法来证明这个定理,为了简单起见, 只就区间h x x x +≤≤00来讨论,对于00x x h x ≤≤-的讨论完全一样. 现在简单叙述一下运用逐步逼近法证明定理的主要思想,首

先证明求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程 []?++=x x dx x q y x p y y 0)()(0的连续解这里我们用f(x,y)=p(x)y+q(x)来替 代,因此也就等价于求积分方程 ?+=x x dx y x f y y 0 ),(0 的连续解,然后 去证明积分方程的解的存在唯一性. 任取一个连续函数)(0x ? 代入上面的积分方程右端的y 就得 到函数 dx x x f y x x x ))(,()(0 001?+≡?? 显然)(1x ?也是连续解,如果)(1x ?≡)(0x ?那么)(0x ?就是积分方 程的解.否则,我们又把)(1x ?代入积分方程右端的y 得到 dx x x f y x x x ))(,()(0 102?+≡?? 如果 ≡)(2x ?)(1x ?,那么)(1x ?就是积分方程的解,否则我们继 续这个步骤.一般地做函数 dx x x f y x x x n n ))(,()(0 10?-+≡?? (2) 这样就得到连续函数序列 )(0x ? ,)(1x ?…)(x n ?… 如果≡+)(1x n ?)(x n ?那么)(x n ?就是积分方程的解,如果始终不发生这种情况,我们可以证明上面的函数序列有一个极限函数)(x ?即 )()(lim x x n n ??=∞ → 存在因此对(2)取极限就得到 dx x x f y x x x n n n n ))(,(lim )(lim 0 10?-∞→∞ →+=?? =dx x x f y x x n n ))(,(lim 0 10?-∞ →+? =dx x x f y x x ))(,(0 0?+? 即 dx x x f y x x x ))(,()(0 0?+≡??

唯一性定理

唯一性定理 蒋文佼（080320124）宋宝璋（080320125）夏世宇 (080320126) 李宝平 (080320127) 章文显 (080320129) 常 悦 (080320130) 1、试用唯一性定理证明：封闭导体壳内部的电场不受壳外电荷（包括壳外表面）的影响。 证：导体壳无论是用电势还是用总电量给定，壳的内外一般存在着四部分电荷。 如图所示，壳内外的电荷分布分别为 ρ 和 ρe ，壳内、外表面 1 S 、2S 上各自的面电荷分布为 σ 和 σe 。壳内外的场是这四 部分电荷共同激发的。 根据定理，首先写出壳内空间电势应满足的条件： （一） 2 ρ?ε ?=- ，ρ 为壳内电荷分布。 （二）壳内表面1S 上的边界条件是：2S 上的总电量 1 s dS q σ=-? （1） 其中 V q dV ρ=? 是壳内的总电量，V 是壳内区域的体积。在壳层 内作一高斯面 0S 后（如图中虚线所示），用高斯定理很容易证明（1） 成立。 因此在给定 ρ 布后， 1S 上边界条件也已经给定为 q - ， 和导体壳本身是有电势还是用总电量给定无关。 根据唯一性定理，满足（一）、（二）的 ? 就是解。由于（一） e

和（二）与壳外的 ρe 和 σρ 的电势并不唯一，可以差一个常数。当然当壳用电势 0φ 给定时，1S 上的边界条件就是 1 0|S ?φ= 。所以壳内不但电场唯一，而且电势也是唯一。 2．如图，有一电势为0φ的导体球壳，球心有一点电荷q ，球壳内外半径分别为2R 和1R 。试用唯一性定理： （一）判断0 R φ是否球壳外空间的电势分布。 （二）求球壳内空间的电势分布 解：（一）首先必须找出球内外电势应满足的条件，他们是： （a ）2 0??= （b ）球壳外表面1S 上的边界条件，1 0s ?=φ （c ）无穷远边界条件,0R →∞?→ 若R φ 是解，根据唯一性定理，它必须满足以上三个条件。下面来 检验： 2 2 0010R R φ? =φ?= (0),R ≠ 方程已满足。 0,0,R R φ→∞→ 满足（c ）。 S1的半径是R1代入 0R φ 后， 00 R φ≠φ 所以它不满足1S 上的边界条 件，它不是球壳外空间的界，下面求正确的解。由上述可知，函数 A R 同时满足方程和无穷远边界条件。A 为待定常数，可由（b ）定出。在面1S 上 0,A R φ=

隐函数的存在性

第十一章 隐函数 §5.3已给出隐函数的概念和隐函数的求导法则.本章将在一个二元方程所确定的隐函数的基础上，进一步推广到方程组所确定的隐函数，并证明隐函数的存在性、连续性、可微性.讨论方程组所确定的隐函数要用到多元函数微分学中的一个重要工具——函数行列式.我们将给出函数行列式的性质及其简单的应用. §11.1 隐函数的存在性 一、隐函数的概念 在§5.3中，已经给出有二元方程0),(=y x F 所确定的隐函数. 例1 二元方程0753),(2 =--+=y x xy y x F .)5(≠∈?x R x ，通过方程对应唯一一 个y ，即x x y --=57 32.显然，有 0)573,(2≡--x x x F 由隐函数定义，x x y --=5732是方程0753),(2 =--+=y x xy y x F 所确定的隐函数. 它的几何意义是，平面曲线x x y --=5732是空间曲面7532 --+=y x xy z 与0 =z （xy 平面）的单值交线. 例2 二元方程0),(2 2 2 =-+=a y x y x F )0(>a ,),(a a x -∈?,通过方程对应两个y .如果限定y 的变化范围+∞<

高中数学必修一 零点存在性定理及典例

零点存在性定理 如果函数y = f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0那么，函数y = f (x )在区间[a ，b ]内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c ) = 0这个c 也就是方程f (x ) = 0的根 定理的理解 （1）函数在区间[a ，b ]上的图象连续不断，又它在区间[a ，b ]端点的函数值异号，则函数在[a ，b ]上一定存在零点 （2）函数值在区间[a ，b ]上连续且存在零点，则它在区间[a ，b ]端点的函数值可能异号也可能同号 （3）定理只能判定零点的存在性，不能判断零点的个数 例：函数y = f (x ) = x 2 – ax + 2在(0，3)内，①有2个零点. ②有1个零点，分别求a 的取值范围. 解析：①f (x )在(0，1)内有2个零点，则其图象如下 则(0)0(3)00032 f f a b a >??>????≥??<-??>?

高中数学 零点存在性定理教学设计 新人教版必修1

2014年高中数学零点存在性定理教学设计新人教版必修1 一、内容及其解析 （一）内容：零点存在性定理． （二）解析：本节课是关于函数零点的一节概念及探究课，是高中新课改人教A版教材第三章的第一节课的第二小节，因此教学时应当站在函数应用的高度，从函数与其它知识的联系的角度来引入较为适宜。 函数f(x)的零点,是中学数学的一个重要概念,从函数值与自变量对应的角度看,就是使函数值为0的实数x;从方程的角度看,即为相应方程f（x）=0的实数根，从函数的图象表示看,函数的零点就是函数f(x)与x轴交点的横坐标。函数是中学数学的核心概念，核心的根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形、函数与方程有机的联系在一起。 函数零点的存在性判定定理，其目的就是通过找函数的零点来研究方程的根，进一步突出函数思想的应用，也为二分法求方程的近似解作好知识上和思想上的准备。定理不需证明，关键在于让学生通过感知体验并加以确认，由些需要结合具体的实例，加强对定理进行全面的认识，比如对函数与方程的关系有一个逐步认识的过程，教材遵循了由浅入深、循序渐进的原则。从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形。 函数与方程相比较,一个“动”，一个“静”；一个“整体”，一个“局部”。用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础。 二、目标及其解析 （一）教学目标 （1）知识与技能：结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及个数，从而了解函数的零点与方程的根的联系.理解并会用零点存在性定理。 （2）过程与方法：培养学生观察、思考、分析、猜想，验证的能力，并从中体验从特殊到一般及函数与方程思想。渗透由特殊到一般的认识规律，提升学生的抽象和概括能力。 （3）情感态度与价值观：在引导学生通过自主探究，发现问题，解决问题的过程中，激发学生学习热情和求知欲，体现学生的主体地位，提高学习数学的兴趣。 （二）解析 1．对于常见函数的图象学生要有印象，要能用描点法画出一些复杂函数的图象，同时，研究函数的单调性、奇偶性等性质，来判断方程的根的存在与否和个数； 2．函数的零点、方程的根、函数图象与X轴交点的横坐标具备等价关系，这种等价关系实质上是数学本质一致，只是各自有不同的描述对象而已，从而向学生渗透转化的数学思想； 3．本节课对函数零点存在性（即方程的根的存在性）的探究是借助实际问题抽象出来的，由此推广到一次函数、二次函数这两类特殊的函数，进一步推广到一般的情形，要注意推广的可行性、借助于函数图象的直观性，只要求学生理解其合理性并能对具体的函数进行简单应用。教学中，教师可以引导学生借助函数图象分析其逆定理的正确与否，由此达到充分理解此定理的目的。 三、问题诊断分析 通过前面的学习，学生已经了解一些基本初等函数的模型，掌握了函数图象的一般画法，及一定的看图识图能力,这为本节课利用函数图象，判断方程根的存在性提供了一定的知识基础。对于函数零点的概念本质的理解，学生缺乏的是函数的观点，或是函数应用的意识，造成对函数与方程之间的联系缺乏了解。由此作为函数应用的第一课时，有必要点明函数的核心地位，即说明函数与其他知识的联系及其在生活中的应用，初

阶线性微分方程组第一讲一阶微分方程组及解的存在唯一性定理

第一讲 一阶微分方程组及解的存在惟一性定理（2课时） 一、 目的与要求: 了解高阶微分方程与一阶微分方程组的 等价关系, 理解用向量和矩阵来研 究一阶微分方程组的作用, 了解微分方程组解的存在唯一性定理. 二、重点：一阶微分方程组的向量和矩阵表示及解的存在唯一性定理. 三、难点：向量和矩阵列的收敛性的定义, 二者的范数定义及其相关性质. 四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程： 1 课题引入 在前两章里，我们研究了含有一个未知函数的常微分方程的解法及其解的性质.但是，在很多实际和理论问题中，还要求我们去求解含有多个未知函数的微分方程组，或者研究它们的解的性质. 例如，已知在空间运动的质点(,,)P x y z 的速度与时间t 及该点的坐标的关系为(,,)x y z v v v v

123(,,,)(,,,) (,,,)x y z v f t x y z v f t x y z v f t x y z =??=??=? 且质点在时刻0t 经过点000(,,)x y z ，求该质点的运动轨迹。 因为,x y dx dy v v dt dt ==和z dz v dt =, 所以这个问题其实就是 求一阶微分方程组 123(,,,)(,,,) (,,,)x f t x y z y f t x y z z f t x y z =??=??=? 的满足初始条件 00(),x t x = 00(),y t y = 00()z t z = 的解(),(),()x t y t z t . 另外，在n 阶微分方程 （1.12） ()(1)(,,,,)n n y f x y y y -'= 中,令(1)121,,,n n y y y y y y --'''===就可以把它化成等价的一阶微分方程组

专题05 零点存在定理中取点问题

max min max 专题五 零点存在定理中取点问题 如果函数 y = f ( x ) 在区间[a , b ] 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f (a ) f (b ) < 0 ，那么，函数 y = f ( x ) 在区间(a , b ) 内有零点，即存在c ∈(a , b ) ，使得 f (c ) = 0 ，这个c 也就是方程 f ( x ) = 0 的根. 在实际应用中，如何取 a , b ，是解决问题的难点. 类型一 利用方程的根或部分代数式的根取点 x 典例 1 已知函数 f ( x ) = e - ax +1. （1） 当 a = 1 时，求 y = f ( x ) 在 x ∈[-1,1] 上的值域； （2） 试求 f ( x ) 的零点个数，并证明你的结论. 【答案】（1） [2 - e ,1]（2）当a ≤ 0 时， f ( x ) 只有一个零点；当 a > 0 时， f ( x ) 有两个零点． 【解析】 （1）当 a = 1 时， f ( x ) = x e x - ax +1，则 f '( x ) = 1- x -1 = g ( x ) ， e x 而 g '( x ) = x - 2 < 0 在[-1,1]上恒成立，所以 g ( x ) = e x f '( x ) 在[-1,1]上递减， f '( x ) = f '(-1) = 2e -1 > 0 ， f '( x ) = f '(1) = -1 < 0 ， 所以 f '( x ) 在[-1,1]上存在唯一的 x 0 = 0 ，使得 f '(0) = 0 ，而且 当 x ∈(-1, 0) 时， f '( x ) > 0 ， f ( x ) 递增；当 x ∈(0,1) 时 f '( x ) < 0 ， f ( x ) 递减； 所以，当 x = 0 时， f ( x ) 取极大值，也是最大值，即 f ( x ) = f (0) = 1， x

一阶线性微分方程组第一讲一阶微分方程组与解的存在唯一性定理

第一讲 一阶微分方程组及解的存在惟一性定理（2课时） 一、 目的与要求: 了解高阶微分方程与一阶微分方程组的 等价关系, 理解用向量和矩阵来研 究一阶微分方程组的作用, 了解微分方程组解的存在唯一性定理. 二、重点：一阶微分方程组的向量和矩阵表示及解的存在唯一性定理. 三、难点：向量和矩阵列的收敛性的定义, 二者的范数定义及其相关性质. 四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程： 1 课题引入 在前两章里，我们研究了含有一个未知函数的常微分方程的解法及其解的性质.但是，在很多实际和理论问题中，还要求我们去求解含有多个未知函数的微分方程组，或者研究它们的解的性质. 例如，已知在空间运动的质点(,,)P x y z 的速度与时间t 及该点的坐标的关系为(,,)x y z v v v v = 且质点在时刻0t 经过点000(,,)x y z ，求该质点的运动轨迹。 因为,x y dx dy v v dt dt ==和z dz v dt =, 所以这个问题其实就是求 一阶微分方程组 的满足初始条件

的解(),(),()x t y t z t . 另外，在n 阶微分方程 （1.12）()(1)(,,,,)n n y f x y y y -'= 中,令(1)121,,,n n y y y y y y --'''===就可 以把它化成等价的一阶微分方程组 注意，这是一个含n 个未知函数11,, ,n y y y - 的一阶微分 方程组. 含有n 个未知函数12,, ,n y y y 的一阶微分方程组的一般形式为： 11122112112(,,,,) (,,,,)(,,,,)n n n n dy f x y y y dx dy f x y y y dx dy f x y y y dx ?=???=?????=? ? (3.1) 如果方程组(3.1)右端函数不显含x , 则相应的方程称为是自治的. 方程组(3.1)在[,]a b 上的一个解，是这样的一组函数 使得在[,]a b 上有恒等式 含有n 个任意常数12,,,n C C C 的解 称为(3.1)的通解. 如果通解满足方程组 则称后者为(3.1)的通积分.

(完整版)第五节隐函数求导法则

第五节 隐函数求导法则 教学目的：会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。 教学重点：隐函数的偏导数 教学难点：隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数； 教学时数：2 教学内容： 一、一个方程的情形 1、 隐函数存在定理1 设函数(,)F x y 在点00(,)P x y 的某一邻域内具有连续偏导数, 0000(,)0,(,)0y F x y F x y '=≠, 则方程(,)0F x y =在点00(,)x y 的某一邻域内恒能唯一确定 一个连续且具有连续导数的函数()y f x =, 它满足条件()00y f x =, 并有 y x F F dx dy -=. 证明: 将()y f x =代入(,)0,F x y =得恒等式()(,)0,F x f x ≡ 等式两边对x 求导得 0=???+??dx dy y F x F , 由于y F '连续, 且00(,)0y F x y '≠, 所以存在00(,)x y 的一个邻域, 在这个邻域同0y F '≠, 于是得 y x F F dx dy -=. 例1： 验证方程22 10x y +-=在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当 0x =时1y =的隐函数(),y f x =并求这函数的一阶与二阶导数在0x =的值. 解： 设22 (,)1F x y x y =+-, 则2x F x '=、2y F y '=、 F (0,1)0=, F (0,1)20.y '=≠因此由定理1可知, 方程2 2 10x y +-=在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当 0x =时1y =的隐函数()y f x =.