人教版数学九年级下册数学：27.1 --27.3 同步复习题 (附答案)
27．1 图形的相似
知识点1 相似图形
1．下列选项中，哪个才是相似图形的本质属性()
A．大小不同B．大小相同
C．形状相同 D．形状不同
2．下列各组图形相似的是()
知识点2 比例线段
3．下列各线段的长度成比例的是()
A．2 cm，5 cm，6 cm，8 cm B．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm
C．3 cm，6 cm，7 cm，9 cm D．3 cm，6 cm，9 cm，18 cm
4．在比例尺为1∶40 000的地图上，某条道路的长为7 cm，则该道路的实际长度是km.
知识点3 相似多边形
5．两个相似多边形一组对应边分别为3 cm，4.5 cm，那么它们的相似比为()
A.2
3
B.
3
2
C.
4
9
D.
9
4
6．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为 5 cm，6 cm和9 cm，另一个三角形的最短边长为2.5 cm，则它的最长边长为()
A．3 cm B．4 cm C．4.5 cm D．5 cm
7．如下的各组多边形中，相似的是()
A．(1)(2)(3) B．(2)(3)
C．(1)(3) D．(1)(2)
8．在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的2 cm变成了6 cm，这次复印的放缩比例是．
9．如图所示是两个相似四边形，求边x、y的长和α的大小．
10．已知三条线段的长分别为1 cm、2 cm、 2 cm，如果另外一条线段与它们是成比例线段，那么另外一条线段的长为 . 11．下列说法：
①放大(或缩小)的图片与原图片是相似图形；
②比例尺不同的中国地图是相似图形；
③放大镜下的五角星与原来的五角星是相似图形；
④放电影时胶片上的图象和它映射到屏幕上的图象是相似图形；
⑤平面镜中，你的形象与你本人是相似的．
其中正确的说法有()
A．2个 B．3个C．4个 D．5个
12．如图，正五边形FGHMN与正五边形ABCDE相似，若AB∶FG＝2∶3，则下列结论正确的是()
A．2DE＝3MN
B．3DE＝2MN
C．3∠A＝2∠F
D．2∠A＝3∠F
13．如图所示，它们是两个相似的平行四边形，根据条件可知，α＝，m＝.
14．如图，左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形，要求大小与左边四边形不同．
15．为了铺设一矩形场地，特意选择某地砖进行密铺，为了使每一部分都铺成如图所示的形状，且由8块地砖组成，问：
(1)每块地砖的长与宽分别为多少？
(2)这样的地砖与所铺成的矩形地面是否相似？试说明你的结论．
16．如图，矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20.
(1)如图1，若沿矩形ABCD四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形ABCD 与A′B′C′D′相似吗？请说明理由；
(2)如图2，x为多少时，图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似？
参考答案：
1．C
2．B
3．D
4．2.8 .
5．A
6．C
7．B
8．1∶3．
9．解：∵两个四边形相似，
∴AD
A′D′＝
BC
B′C′
＝
AB
A′B′
，即
4
16
＝
6
x
＝
7
y
.
∴x＝24，y＝28.
∵∠B＝∠B′＝73°，
∴α＝360°－∠A－∠D－∠B＝83°.
102__cm或
2
__cm. 11．D
12．B
13．α＝125°，m＝12.
14．解：如图所示．
15．解：(1)设矩形地砖的长为a cm ，宽为b cm ，由题图可知4b ＝60，即b ＝15.因为a ＋b ＝60，所以a ＝60－b ＝45，所以矩形地砖的长为45 cm ，宽为15 cm. (2)不相似．理由：因为所铺成矩形地面的长为2a ＝2×45＝90(cm )，宽为60 cm ，所以长宽＝9060＝32，而a b ＝4515＝31，32≠3
1，即所铺成的矩形地面的长与宽和地砖的长
与宽不成比例．所以它们不相似． 16．解：(1)不相似，
AB ＝30，A ′B ′＝28，BC ＝20，B ′C ′＝18， 而2830≠1820
， 故矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′不相似． (2)矩形ABCD 与A ′B ′C ′D ′相似， 则A ′B ′AB ＝B ′C ′BC 或A ′B ′BC ＝B ′C ′AB .
即30－2x 30＝20－220或30－2x 20＝20－230.
解得x ＝1.5或9，
故当x ＝1.5或9时，矩形ABCD 与A ′B ′C ′D ′相似．
27.2 相似三角形
（满分120分；时间：120分钟）
一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ， ）
1. 如图，在△ABC 中，AB =8，AC =6，点D 在AC 上，且AD =2，如果要在AB 上找一点
E，使△ADE与△ABC相似，则AE的长为()
A.8 3
B.3
2
C.3
D.8
3
或3
2
2. 在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD:BD=1:2，那么下列条件中能够判断DE?//?BC的是（）
A.DE
BC =1
2
B.DE
BC
=1
3
C.AE
AC
=1
2
D.AE
AC
=1
3
3. 能说明△ABC和△A1B1C1相似的条件是（）
A.AB:A1B1=AC:A1C1
B.AB:A1C1=BC:A1C1且∠A=∠C1
C.AB:A1B1=BC:A1C1且∠B=∠A1
D.AB:A1B1=AC:A1C1且∠B=∠B1
4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=3，AB=6，那么AD的值为()
A.3 2
B.9
2
C.3√3
2
D.3√3
5. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，AB=10，BD=6，则BC的值为()
A.18
5B.2√5 C.100
3
D.50
3
6. 已知两个相似三角形的对应边长分别为9cm和11cm，它们的周长相差20cm，则这两个三角形的周长分别为（）
A.45cm，65cm
B.90cm，110cm
C.45cm，55cm
D.70cm，90cm
7. 如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，图中点D，E，F也都在格点上，则下列与△ABC相似的三角形是()
A.△ACD
B.△ADF
C.△BDF
D.△CDE
8. 如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光
线互相垂直，则树的高度为()m．
A.2
B.4
C.6
D.8
9. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上一点，下面有四个条件：
(1)AD
AB =AE
AC
；(2)DB
AB
=EC
AC
；(3)AD
DB
=AE
EC
；(4)AD
DB
=DE
BC
．
其中一定能判定DE?//?BC有（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
10. 如图，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E交AD于F，则图中相似三角形的对数是（）
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
二、填空题（本题共计8 小题，每题3 分，共计24分，）
11. 在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．如图，请你在4×4的方格纸中，画一个格点三角形A1B1C1，使△A1B1C1与格点三角形ABC相似（相似比不为1）．
________．
12. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AF平分∠BAC，交DE于点G，交BC于
点F．若∠AED=∠B，且AG:GF=2:1，则DE:BC=________．
13. 在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，若AD=3，BD=1．则∠ABC的度数为________度．
14. 如图，已知△ABC中，DE?//?BC，连接BE，△ADE的面积是△BDE面积的1
，则
2
S△ADE:S△ABC=________．
15. 如图所示，CD是一个平面镜，光线从A点射出经CD上的E点反射后照射到B点，设入射角为α（入射角等于反射角）．AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为点C，D．若AE=4，BE=8，
CD=6．则CE=________．
16. 如图，AB⊥BC于B，AC⊥CD于C，添加一个条件：________，使△ABC∽△
ACD．
17. 四边形ABCD中，AD?//?BC，∠A=90°，AD=2cm，AB=7cm，BC=3cm，试在AB边上确定P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似，则AP的长是________cm.
18. 如图，C、D是△PAB的边AB上的两点，以CD为边作平行四边形CDEF，EF经过点P，且
∠APB=∠ADE．试写出四对相似三角形________．
三、解答题（本题共计8 小题，共计66分，）
19. 已知，如图，D为△ABC的边BC的中点，O为AD上的任一点，CD的延长线交AB于点E，
BD的延长线交AC于点F，求证：EF?//?BC．
20. 已知，如图，AB
BD =BC
BE
=CA
ED
，那么△ABD与△BCE相似吗？为什么？
21. 如图，已知AB:AC=AE:AD．求证：△ODB∽△OEC．
22. 如图，CD为Rt△ABC的斜边AB上的高线，∠BAC的平分线交BC，CD于点E，F，求证：△ABE∽△ACF．
23. 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，
BC于点F，G，且AD
AC =DF
CG
．
(1)求证：△ADF～△ACG；
(2)若AD
AC =1
2
，求AF
FG
的值．
24. 如图，已知：梯形ABCD中，AD?//?BC，AC、BD交于点O，E是BC延长线上一点，点F在
DE上，且DF
EF =AO
OC
．求证：OF?//?BC．
25. 如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区，已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=7.2m，窗口高AB=1.8m．求窗口底边离地面的高
BC．
26. 定义：顶点都在网格点上的四边形叫做格点四边形，端点都在网格点上的线段叫做格点线．如图1，在正方形网格中，格点线DE、CE将格点四边形ABCD分割成三个彼此相似的三角形．请你在图2、图3中分别画出格点线，将阴影四边形分割成三个彼此相似的三角形．
参考答案
一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 1. 【答案】 D 【解答】
解：∵ ∠A 是公共角， ∵ 当AE
AB =
AD
AC
，即AE 8=2
6时，△AED ～△ABC ， 解得：AE =8
3； 当
AE AC
=
AD AB
，即
AE 6
=2
8
时，△ADE ～△ABC ，
解得：AE =32
， ∵ AE 的长为：8
3
或3
2．
故选D . 2. 【答案】 D 【解答】 解：如图，
可假设DE?//?BC ，则可得
AD DB
=
AE EC
=12
，
AD AB
=
AE AC
=1
3
，
但若只有DE
BC =AD
AB =1
3，并不能得出线段DE?//?BC ．
故选D ．
3. 【答案】
【解答】
解：∵ 相似三角形的判定定理之一是：有①两边对应成比例，且②夹角相等的两个三角形相似，①②两个条件缺一不可，
∵ A、只符合条件①，不符合条件②，即这两个三角形不相似，故本选项错误；
B、符合条件①，但是夹角是∠B=∠A1，不是∠A=∠C1，即这两个三角形不相似，故本选项错误；
C、符合条件①②，即这两个三角形相似，故本选项正确；
D、符合条件①，但是夹角是∠A=∠A1，不是∠B=∠B1，即这两个三角形不相似，故本选项错误；
故选C．
4.
【答案】
A
【解答】
解：∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，
∵ AC2=AD?AB.
又∵ AC=3，AB=6，
∵ 32=6AD，
则AD=3
2
．
故选A．
5.
【答案】
D
【解答】
解：根据射影定理得：AB2=BD×BC，
∵ BC=100
6=50
3
．
故选D．6.
【答案】
【解答】
解：∵ 两个相似三角形的对应边长分别为9cm和11cm，
∵ 两个相似三角形的相似比为9:11，
∵ 两个相似三角形的周长比为9:11，
设两个相似三角形的周长分别为9x、11x，
由题意得，11x?9x=20，
解得，x=10，
则这两个三角形的周长分别为90cm，110cm，
故选：B．
7.
【答案】
C
【解答】
解：由网格可知：AB=2√2，BC=4，AC=2√10，BD=1，DF=√2，BF=√5，
则BD
AB =DF
BC
=BF
AC
=√2
4
，
故与△ABC相似的三角形是△BDF．
故选C．
8.
【答案】
B
【解答】
解：根据题意，作△EFC；
树高为CD，且∠ECF=90°，ED=2，FD=8；∵ ∠E+∠ECD=∠E+∠CFD=90°
∵ ∠ECD=∠CFD
∵ Rt△EDC∽Rt△FDC，
有ED
DC =DC
FD
；即DC2=ED?FD，
代入数据可得DC2=16，
DC=4；
故选：B．
9.
【答案】
C
【解答】
解：根据对应线段成比例两直线平行，
有AD
AB =AE
AC
，DB
AB
=EC
AC
，AD
DB
=AE
EC
，
得到(1)(2)(3)正确，(4)的线段不对应（如图所示）DE′=DE时，DE′不平行于BC，所以不正确．
故选C．
10.
【答案】
D
【解答】
解：∵ AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，
∵ ∠ADB=∠CEB=90°，
而∠AFE=∠CFD，
∵ ∠A=∠C，
∵ Rt△AFE∽Rt△CFD∽Rt△ABD∽Rt△CBF．
故选D．
二、填空题（本题共计8 小题，每题 3 分，共计24分）
11.
【答案】
答案如图
【解答】
解：如图所示：
12.
【答案】
2:3【解答】
解：∵ ∠AED=∠B，
而∠DAE=∠CAB，
∵ △ADE∽△ACB，
∵ DE
BC =AG
AF
，
∵ AG:GF=2:1，
∵ DE
BC =AG
AF
=2
3
．
故答案为2:3．
13.
【答案】
60°【解答】
解：由射影定理得，CD2=AD?DB=3，
则CD=√3，
tan∠B=CD
DB
=√3，
则∠ABC=60°．
故答案为：60°．
14.
【答案】
1:9【解答】
解：∵ △ADE的面积是△BDE面积的1
2
，
∵ AD
BD =1
2
，
∵ AD
AB =1
3
，
∵ DE?//?BC，
∵ △ADE～△ABC，
∵ S△ADE
S△ABC =(AD
AB
)2=(1
3
)2=1
9
.
故答案为：1:9．
15.
【答案】
2
【解答】
解：由镜面反射对称可知：∠A=∠B，∠AEC=∠BED．∵ △AEC∽△BED．
∵ AE
BE =CE
DE
．
又∵ AE=4，BE=8，CD=6，
∵ 4
8=CE
6?CE
，
求得EC=2．故答案为：2．
16.
【答案】
∠BAC=∠CAD或∠BCA=∠CDA或AB
BC =AC
CD
【解答】
解：∵ AB ⊥BC 于B ，AC ⊥CD 于C ， ∵ ∠ABC =∠ACD =90°，
∵ 当∠BAC =∠CAD 或∠BCA =∠CDA 或
AB BC
=
AC CD
时，△ABC ∽△ACD ． 故答案为：∠BAC =∠CAD 或∠BCA =∠CDA 或AB BC
=
AC CD
．
17. 【答案】 1,?6或14
5
【解答】
解：①若点A ，P ，D 分别与点B ，C ，P 对应，即△APD ∽△BCP ， ∵ AD
BP =AP
BC ， ∵
27?AP =
AP 3
，
∵ ?AP 2+7AP ?6=0， ∵ AP =1或AP =6，
检测：当AP =1时，由BC =3，AD =2，BP =6， ∵ AP
BC =AD
BP ，
又∵ ∠A =∠B =90°，∵ △APD ∽△BCP ． 当AP =6时，由BC =3，AD =2，BP =1， 又∵ ∠A =∠B =90°， ∵ △APD ∽△BCP ．
②若点A ，P ，D 分别与点B ，P ，C 对应，即△APD ∽△BPC ． ∵ AP
BP =AD
BC ， ∵ AP
7?AP =2
3， ∵ AP =
145
．
检验：当AP =14
5
时，由BP =215
，AD =2，BC =3，
∵ AP
BP =AD
BC ，
又∵ ∠A =∠B =90°， ∵ △APD ∽△BPC ．