清华大学微积分习题(有答案版)

第十二周习题课

一．关于积分的不等式 1． 离散变量的不等式 （1）

Jensen

不等式：设

)(x f 为],[b a 上的下凸函数，则

1),,,2,1),1,0(],,[1

==∈?∈?∑=n

k k k k n k b a x λλΛ，有

2),(1

1≥≤??? ??∑∑==n x f x f k n

k k k n k k λλ （2）

广义AG 不等式：记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数，由Jesen 不等式可得

1),,,2,1),1,0(,01

==∈?>∑=n

k k k k n k x λλΛ，有

∑==≤∏n

k k k k n

k x x k

1

1

λλ

当),2,1(1

n k n

k Λ==λ时，就是AG 不等式。 （3）

Young 不等式：由（2）可得

设111,1,,0,=+>>q p q p y x ，q

y

p x y x q p +≤1

1

。

（4）

Holder 不等式：设11

1,

1,),,,2,1(0,=+>=≥q

p q p n k y x k k Λ，则有 q

n

k q k p

n k p k n k k k y x y x 111

11??

? ????? ??≤∑∑∑===

在（3）中，令∑∑======n

k q

k n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 1

1,,,即可。 （5） Schwarz 不等式：

2

1122

1

121??

? ????? ??≤∑∑∑===n

k k n

k k n k k k y x y x 。

（6）

Minkowski 不等式：设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k Λ，则有

()p

n

k p k p

n

k p k p

n

k p k k y x y x 11111

1??

? ??+??? ??≤??????+∑∑∑=== 证明：

()()()

()

()

∑∑∑∑=-=-=-=+++=+?+=+n

k p k k k n

k p k k k n

k p k k k k n

k p

k k

y x y y x x y x y x y x

1

1

1

1

1

1

1

记11

1,11=+>-=

q

p p p q ，由Holder 不等式 ()()()q

n

k p q k k p

n

k p k q

n

k p q k k p

n

k p k n

k p k k

y x y y x x y x

11)1(1111)1(1

11

??

????+???? ??+??????+???? ??≤+∑∑∑∑∑=-==-==

()q n k p k k p n k p k p n k p k y x y x 1

1

1111??????+?????

????????? ??+??? ??=∑∑∑=== 即：()p

n

k p k p

n

k p k p

n

k p k k

y x y x 111111

??

? ??+??? ??≤???

?

?

?

+∑∑∑===。

2． 相应的积分不等式

（1） Schwarz 积分不等式：],[,b a R g f ∈，则有

????≤??

? ??b

a

b a

b a dx x g dx x f dx x g x f 222

)()()()( （2） Holder 积分不等式：],[,b a R g f ∈，11

1,

1,=+>q

p q p ，则有 q

b

a q

p

b

a p b

a

dx x g dx x f dx x g x f 11

)()()()(??

? ?????? ??≤???

证明：n 等分],[b a ，由Holder 不等式,

q

n

k q k p

n

k p k n

k k k g f g f 11111

)()()()(???

?????? ??≤∑∑∑

===ξξξξ

q

n

k p k p

n

k p k n

k k k n a b g n a b f n a b g f 1111

1

)()()

()(??? ??-???? ??-≤-∑∑∑

===ξξξξ +∞→n ,Riemann 积分的定义，q

b

a q p

b

a p b

a dx x g dx x f dx x g x f 11

)()()()(??

? ?????? ??≤???。 （3） Minkowski 积分不等式：],[,b a R g f ∈，1≥p ，则有

p

b

a p

p

b

a p

p

b

a p

dx x g dx x f dx x g x f 111

)()()()(??

? ??+??? ??≤??? ??+???

证明：可以用Holder 不等式证明。

（4） Young 积分不等式：设),0[+∞∈C f 严格单调增，)(,0)0(1

x f

f -=为)(x f 的反函

数，则有

),0,(,)()(0

10

>≥+??

-b a ab dx x f dx x f b

a

其中等号当且仅当b a f =)(是成立。（证明需要用到Riemann 积分的定义）。

3． 用上述积分不等式证明另外的积分不等式

例.1 设函数],[b a C f ∈，M x f m ≥≤<)(0，证明

22

2

)(4)()(1)()(a b mM

M m dx x f dx x f a b b

a

b

a

-+≤?≤-?

? 证明：用Schward 不等式

(

)

???

? ???

≥????

?

?

?=?????

?

b a b

a b

a b

a

b

a

dx x f x f dx x f dx x f dx x f dx x f )(1

)()(1)()

(1

)(2

2 2

)(a b -=

0)

(]

)(][)([≤--x f M x f m x f

故 M m x f mM

x f +≤+

)

()( 积分：

))(()

()(a b M m dx x f mM

dx x f b

a

b

a

-+≤+?

?

。 AG 不等式：

???

??≥+b a b a b

a

b

a

dx x f dx x f mM dx x f mM

dx x f )

(1)(2)()(。

))(()

(1

)(2a b M m dx x f dx x f mM

b a b

a

-+≤??

?

， 22

)(4)()(1)(a b mM

M m dx x f dx x f b

a

b

a

-+≤??

?

例.2 设函数0)0(],,[)

1(=∈f b a C f 。证明：??

'-≤b a b

a

dx x f a b dx x f 222)]([)(2

1

)(。

证明：0)0(],,[)

1(=∈f b a C f ，],[,)()(b a x dt t f x f x

a

∈'=?

由Schward 不等式，

[][]????'-≤?'≤??

????'=b a x a x a b a dt t f a x dt dt t f dt t f x f 222

2

)()()()()( 积分，[][]????

'-=

'-≤b

a

b

a b

a b

a

dt t f a b dt t f dx a x dx x f 2

2

2

2

)(2

)()()()(。

???-'-'-≤b a b a b

a dx a x x f dx x f a

b dx x f 2222

)])(([21)]([)(21)(。

证明：记???--'-'-=x a x a

x a dt t f dt a t t f dt t f a x x F )()])(([21)]([)(21)(2

222，

0)(=a F ，)()]([)()(22x f dt t f a x x F x

a

-'-='?，

0)(='a F ，[])()(2)()()]([)(2

2x f x f x f a x dt t f x F x

a

'-'-+'=''?

)]()([)()(2)]([)]([22≥'-'=''-'+'=????x

a

x a

x a

x a

dt t f x f dt x f t f dt x f dt t f

故0)(≥x F ，即0)()])(([21)]([)(21)(2222≥--'-'-=???b a b

a

b a dt t f dt a t t f dt t

f a b b F 。

0)()(==b f a f ，则有

??

'-≤b a b

a

dx x f a b dx x f 22

2

)]([)(81)(。

证明：

??

++'-≤22222

)]([)(81)(b

a a b

a a

dx x f a b dx x f 。在区间??

?

???+b b a ,2上，用类似的方法可得：

??

++'-≤b b a b

b

a dx x f a

b dx x f 2

222

2)]([)(81

)(，故

??

'-≤b a b

a

dx x f a b dx x f 222)]([)(8

1

)(。

例.3 设函数],[b a C f ∈，0)(=a f ，证明：dx x f a b dx x f x f b a

b

a

2

])([2)()(??

'-≤'。

证明：??

'≤'=

x

a x

a

dt t f dt t f x f |)(|)(|)(|。记?'=x a

dt t f x g |)(|)(，则

dx x f a b dx dx x f dx x f x g dx x g x g dx x f x f b a b a b a b a

b a b

a b

a

??????

'-=?'≤?

?? ??'=='≤'2

22

2)]([2

)]([21|)(|21)(21)()()()(

4． 其他证明题

例.4 设0)(≥x f ，],[,0)(b a x x f ∈≤''，求证：?-≤≤≤b

a

b x a dx x f a b x f )(2

)(max 。 证明：],[)(b a C x f ∈，故)(x f 在],[b a 上存在最大值0)(≥c f 。

)()()(c f dt t f x f x

c

+'=

?，

)()()()()

()()()(c f a b dx dt t f dx dt t f c f a b dx dt t f dx x f b c x c c a x c b

a x c b

a

-+??

?

???'+??????'=-+??

?

???'=???????

因为],[,0)(b a x x f ∈≤''，)(x f '单调下降，

)

()()()

()()()()()()()

()()()()

()()()()(c f a b dx x f c f a b dx x f a f c a b f c b c f a b dx x f c x c f a b dx dt x f dx dt x f dx x f b

a

b

a

b

a

b c x c c

a x c b

a

-+-≥-+----=-+'-=-+??

?

???'+??????'≥????????

?-≤≤≤b

a

b x a dx x f a b x f )(2

)(max 例.5 设0,>b a ，，且],[)(b a C x f ∈，

0)(=?-b

a

dx x xf ，求证：

??--≤b

a

b

a

dx x f ab dx x f x )()(2

。

证明：x a b ab x b x a x b a x )(,0))((],

,[2-≤-≤-+-∈。

因为0)(≥x f ，)()()()(2

x xf a b x f ab x -≤-，两边在b a ,-上积分即可。 例.6 设)(x f 在],[b a 上二阶可导，02=??

?

??+b a f 。证明

{})(sup 24)()(]

,[3

x f a b dx x f b a x b

a

''-≤∈?

证明：)(x f 在

2b a +点Taylor 展开，02=??

?

??+b a f

{}2

],[2

2)(sup 21222)(!2122)(?

?

? ??

+-''+??? ??+-??? ??+'≤?

?

? ??

+-''+??? ??+-??? ??+'=∈b a x x f b a x b a f b a x f b a x b a f x f b a x ξ

{}{})(sup 24)(2)(sup 2122)(]

,[3

],[x f a b dx b a x x f b a x b a f dx x f b a x b a b a x b

a

''-=????????? ??

+-''+??? ??+-??? ?

?+'≤∈∈??

例.7 设)(x f 在],[b a 二阶可导，0)()(='='b f a f ，证明：存在),(b a ∈ξ使得

)(!

3)(2)()()()(3

ξf a b b f a f a b dx x f b

a

''-++-=?

证明：2121))((!21

)())((!21))(()()(a x f a f a x f a x a f a f x f -''+=-''+

-'+=ξξ 2222))((!

21

)())((!21))(()()(b x f b f b x f b x b f b f x f -''+=-''+-'+=ξξ

相加， []

2221))(())((4

1

2)()()(b x f a x f b f a f x f -''+-''++=ξξ

积分, []

??-''+-''++-=b

a

b a dx b x f a x f b f a f a b dx x f 2221))(())((412)()()()(ξξ

??-''+-''++-=b a b a dx b x f dx a x f b f a f a b 2221)()(4

1

)()(412)()()(ξξ

2

)

()(!3)(2)()()(213ξξf f a b b f a f a b ''+''-++-=

由导函数的介值定理，2

)

()()(],,[2121ξξξξξξf f f ''+''=

''∈?，故

)(!

3)(2)()()()(3

ξf a b b f a f a b dx x f b

a

''-++-=?

以上证明方法有问题，

[]

???-''+-''≠-''+-''b

a

b

a

b a

dx b x f dx a x f dx b x f a x f 222

12

22

1

)()()()())(()

)((ξξξξ

因为ξ与x 有关，不能提到积分号外。正确的证明方法如下：

记?

=

x

a

dt t f x F )()(，0)(,)()(==?a F dt t f b F b

a

312))((!31

))((!21))(()()(b a f b a b f b a b f b F a F -''+-'+

-+=ξ 322))((!31

))((!21))(()()(a b f a b a f a b a f a F b F -''+-'+-+=ξ

相减，2

)

()(!3)(2)()()()()(213ξξf f a b b f a f a b dx x f b F b

a

''+''-++-==

?

由导函数的介值定理，2

)

()()(],,[2121ξξξξξξf f f ''+''=

''∈?，故

)(!

3)(2)()()()(3

ξf a b b f a f a b dx x f b

a

''-++-=?

例.8 设)(x f 在],[b a 单调增，证明：)()()(b c a dt t f x F x

c

<<=?

为],[b a 上的下凸函数。

证明：不能求)(x F 的导函数。

只要证明321321],,[,,x x x b a x x x <<∈?，有

2

3231212)()()()(x x x F x F x x x F x F --≤--

2

3232

32

121212)

()()(1

)()(1)()(3

2

21x x x F x F dt t f x x x f dt t f x x x x x F x F x x x x --=

-≤≤-=--?

?

二．定积分的数学应用 例.9 求下列曲线所围的图形面积

（1） 叶形线x t t y t t t =-=-≤≤???

2202223

,, 解：15

8

)32(2)22)(2(2

4322

3

2=

+-=--=

??

dt t t t dt t t t A （2） 阿基米德螺线r a =θ,θθπ==02, 解：2

320223

421a d a A πθθπ==

? （3）x y a x y 44222+=+()

解：将 θθsin ,cos r y r x == 代入 x y a x y 44222+=+()中，得到

θ

θ4

42

2

cos sin +=a r ， 于是面积

??++=+?=2042

220442tan 1

tan 1tan 2cos sin 214π

πθθθθθθd a d a A ， 令θtan =t ，则

??

∞+--∞

++--=++=0211

2

422

2)()(2112t t t t d a dt t t a

A 20

1222

arctan 2a t t a π=-=∞+-。

例.10 求弧长

（1） 星形线x a t y a t t ==???

≤≤cos ,

sin ,33

02π 解：2

4

3sin cos 6L a t tdx a

π

==?

（2） 心脏线r a =-(cos )1θ，02≤≤θπ；

解：220

2sin

82

L a d a π

π

θ

θθ===?

?

例.11 球面x y z a 2222++=和直圆柱面x y ax 22+=所围的几何体。

解：用平行于yz 0平面的平面去截这立体，则截面积为

?

-----=2

2

2222)(x ax x ax dy y x a x A x

a x

x a ax a x ax +-+--=arcsin

)(222222。 由

)3

1(arcsin arcsin

)(3200

22x x a d x a x dx x a x x a a a

-+=+-??

?+--+-=a a dx x a x a x x a x a x x x a 032032)

(2)31(arcsin )31(3)4532

3(a -=π，

及

3

2215

4)(a dx x a x a dx ax a x ax a

a

=

-=--??

， 得到 3

)9

832(

a V -=π。 例.12 设有曲线1-=x y , 过原点作其切线, 求此曲线,切线及x 轴为成的平面区域

绕x 轴旋转一周所得到的旋转体表面积.

解: 可以求得切线为x y 2

1

=

, 切点为()1,2. 旋转体表面积由两部分组成: 由曲线绕x 轴旋转一周所得到的旋转体表面积为

()

1556

34122

1

2

1

21-=

-='+=?

?π

ππdx x dx y y A

由切线绕x 轴旋转一周所得到的旋转体表面积为

ππ52

52122

2==?

dx x A ()

15116

21-=

+=π

A A A

例.13 求由星形线 2223

3

3

(0)x y a a +=> 绕x 轴旋转所成旋转体体积（如图）.

解 由方程 2223

3

3

x y a +=

解出 2

y =223

33()a x - ，于是所求体积为 222

3

3

30

πd 2π()d a

a

a V y x a x x -==-??

例.14

设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内大于零，并满足2

2

3)()(x a x f x f x +

='（a 为常数），又曲线)(x f y =与直线0,1,0===y x x 所围的图形S 的面积为2. ⑴求函数)(x f ；

⑵a 为何值时，图形S 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积最小。 分析 由已知等式2

2

3)()(x a x f x f x +

='（a 为常数）可得 23)()()(2a

x x f x f x x x f =-'='

??

???? )0(≠x ， 故由)(x f 在0=x 的连续性，对关系式两边求不定积分，可确定)(x f

的含有任意常数的表

达式，再由已给的面积关系确定)(x f ，从而可以讨论旋转体的体积。

解 ⑴由已知条件可得

23)()()(2a

x x f x f x x x f =-'='

??

???? )0(≠x . 对上式求不定积分，由)(x f 在0=x 的连续性得 Cx x a x f +=2

2

3)( ])1,0[(∈x ， 又由已知条件有 2

2)23(

)(21

21

C a dx Cx x a dx x f +=+==??

， 故a C -=4，所以

x a x a x f )4(2

3)(2

-+=

. ⑵旋转体的体积

.)31631301()4(23)(22

1

02ππ++=??

?

???-+==?a a dx x a x a a V V

上式两边对a 求导，并令一阶导数为零，求其驻点。由0)3

1

151()(=+='πa a V ，

解得5-=a 是惟一驻点，又015

)5(>=

-''π

V ，所以5-=a 为体积V 的惟一极小值点，故为最小值点，

因此5-=a 时旋转体体积最小。

例.15

在极坐标下，由00≤≤≤≤≤≤αθβπθ,()r r 所表示的区域绕极轴旋转一周所

成的旋转体的体积为

?=

βαθθθπd r

V sin )(3

23

。

证明：解一： 设θθcos )(r x =, θθsin )(r y =, ααcos )(r a =, ββcos )(r b =, 则

?=

a

b dx y V 2πααπ22sin )(31ar -ββπ22sin )(3

1br + ?=a b dx y 2π?+b

a x y d )(3

12π?-=αβθθθθπd r r r )sin cos '(sin 22

()

?-++β

αθθθθθθπd r r r r 332322sin cos sin 2cos sin '33

1 ?=βα

θθθπd r sin )(323。 解二： 首先，由a r ≤≤≤≤≤0,0πβθ所表示的扇形区域绕极轴旋转一周所成的旋转体

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习题 1—2 1．确定下列函数的定义域： （1）91 2 -=x y ； （2）x y a arcsin log =； （3）x y πsin 2 = ； （4）)32(log 213-+-=x x y a ；（5）)4(log 2 1 arccos 2x x y a -+-= 2．求函数 ?????=≠=) 0(0 )0(1sin x x x y 的定义域和值域。 3．下列各题中，函数)(x f 和)(x g 是否相同？ （1）2)(,)(x x g x x f ==； （2）2 sin 21)(,cos )(2π -==x g x x f ； （3）1)(,1 1 )(2-=+-= x x g x x x f ； （4）0)(,)(x x g x x x f == 。 4．设x x f sin )(=证明： ?? ? ?? +=-+2cos 2sin 2)()(x x x x f x x f ??? 5．设5)(2++=bx ax x f 且38)()1(+=-+x x f x f ，试确定b a ,的值。 6．下列函数中哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是既非奇函数又非偶函数？ （1）)1(22x x y -= （2）3 23x x y -=； （3）2211x x y +-=； （4）)1)(1(+-=x x x y ； （5）1cos sin +-=x x y （6）2 x x a a y -+=。 7．设)(x f 为定义在),(∞+-∞上的任意函数，证明： （1）)()()(1x f x f x F -+= 偶函数； （2）)()()(2x f x f x F --=为奇函数。 8．证明：定义在),(∞+-∞上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。 9．设)(x f 定义在),(L L -上的奇函数，若)(x f 在),0(L 上单增，证明：)(x f 在)0,(L -上也单增。 10．下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期： （1）)2cos(-=x y （2）x y 4cos =； （3）x y πsin 1+=； （4）x x y cos =； （5）x y 2sin = （6）x x y tan 3sin +=。 11．下列各组函数中哪些不能构成复合函数？把能构成复合函数的写成复合函数，并指出其定义域。 （1）t x x y sin ,3== （2）2,x u a y u ==； （3）23,log 2+==x u u y a ； （4）2sin ,-==x u u y （5）3,x u u y == （6）2,log 2-==x u u y a 。 12．下列函数是由哪些简单函数复合而成的？ （1）321)1(++=x y （2）2 )1(3+=x y ；

关于清华大学高等数学期末考试

关于清华大学高等数学 期末考试 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

清华大学 2010-2011学年第 一 学期期末考试试卷（A 卷） 考试科目： 高等数学A （上） 考试班级： 2010级工科各班 考试方式： 闭卷 命题教师： 一. 9分 ） 1、若在), (b a 内，函数)(x f 的一阶导数0)(>'x f ，二阶导数0)(<''x f ,则函数)(x f 在此区间内单调 ，曲线是 的。 2、设?????+=+=232322t t y t t x 确定函数)(x y y =，求=22dx y d 。 3、=? dx 1cos 12 。 本大题共3小题，每小题3分，总计 9分） 1、设A x x ax x x =-+--→1 4lim 231，则必有 答( ) 2、设211)(x x f -=，则)(x f 的一个原函数为 答( ) 3、设f 为连续函数，又，?=x e x dt t f x F 3)()(则=')0(F 答( ) 2小题，每小题5分，总计10分 ） 1、求极限x e e x x x cos 12lim 0--+-→。

2、x y 2ln 1+=,求y '。 3小题，每小题8分，总计24分 ） 1、讨论?? ???=≠=0,00arctan )(2 x x x x x f ，，在0=x 处的可导性。 2、设)(x f 在]1,0[上连续，且1)(0≤≤x f ，证明：至少存在一点]1,0[∈ξ，使得 ξξ=)(f 。 3、证明不等式：当4>x 时，22x x >。 3小题，每小题8分，总计24分 ） 1、求函数x e y x cos =的极值。 2、求不定积分? x x x d cos sin 3。 3、计算积分?-+-+2222)cos 233(ln sin ππdx x x x x 。 4小题，每小题6分，总计24分 ） 1、求不定积分? +)1(10x x dx 。 2、计算积分?+πθθ4 30 2cos 1d 。 3、求抛物线221x y = 被圆822=+y x 所截下部分的长度。 4、求微分方程''-'-=++y y y x e x 2331的一个特解。

大一微积分期末试卷及答案

微积分期末试卷 一、选择题（6×２） cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（　）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时，与相比是（　） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（　） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ） n 1 X cos n = 2 00000001( ) 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（　）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 二、填空题 1d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２ ２１１、（ ）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：２＋１ ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3

1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11(1)()1m lim lim 2 (1)(3)3477,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 三、判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、0sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、设 函 数 ｆ (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 20lim x x x e → 解：原式=2 2 2 1 1 1 330002(2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 解：332233 33232233432'()4(10)312(10)''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限

清华大学微积分习题(有答案版)

第十二周习题课 一．关于积分的不等式 1． 离散变量的不等式 （1） Jensen 不等式：设 )(x f 为],[b a 上的下凸函数，则 1),,,2,1),1,0(],,[1 ==∈?∈?∑=n k k k k n k b a x λλΛ，有 2),(1 1≥≤??? ??∑∑==n x f x f k n k k k n k k λλ （2） 广义AG 不等式：记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数，由Jesen 不等式可得 1),,,2,1),1,0(,01 ==∈?>∑=n k k k k n k x λλΛ，有 ∑==≤∏n k k k k n k x x k 1 1 λλ 当),2,1(1 n k n k Λ==λ时，就是AG 不等式。 （3） Young 不等式：由（2）可得 设111,1,,0,=+>>q p q p y x ，q y p x y x q p +≤1 1 。 （4） Holder 不等式：设11 1, 1,),,,2,1(0,=+>=≥q p q p n k y x k k Λ，则有 q n k q k p n k p k n k k k y x y x 111 11?? ? ????? ??≤∑∑∑=== 在（3）中，令∑∑======n k q k n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 1 1,,,即可。 （5） Schwarz 不等式： 2 1122 1 121?? ? ????? ??≤∑∑∑===n k k n k k n k k k y x y x 。 （6） Minkowski 不等式：设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k Λ，则有 ()p n k p k p n k p k p n k p k k y x y x 11111 1?? ? ??+??? ??≤??????+∑∑∑=== 证明： ()()() () () ∑∑∑∑=-=-=-=+++=+?+=+n k p k k k n k p k k k n k p k k k k n k p k k y x y y x x y x y x y x 1 1 1 1 1 1 1

清华大学微积分试题库完整

(3343)．微分方程0cos tan =-+'x x y y 的通解为 x C x y cos )(+=。 (4455)．过点)0,2 1(且满足关系式11arcsin 2 =-+ 'x y x y 的曲线方程为 21arcsin - =x x y 。 (4507)．微分方程03='+''y y x 的通解为 2 2 1x C C y + =。 (4508)．设)(),(),(321x y x y x y 是线性微分方程)()()(x f y x b y x a y =+'+''的三个特解，且 C x y x y x y x y ≠--) ()() ()(1312，则该微分方程的通解为 )())()((())()((1132121x y x y x y C x y x y C y +-+-=。 (3081)．设x e x y x y -++=+=22213,3是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且相 应齐次方程的一个解为x y =3，则该微分方程的通解为x e C x C x y -+++=212 3。 (4725)．设出微分方程x e xe x y y y x x 2cos 32++=-'-''-的一个特解形式 )2sin 2cos ()(*x F x E e e D Cx x B Ax y x x +++++=-。 (4476)．微分方程x e y y y =+'-''22的通解为 )sin cos 1(21x C x C e y x ++=。 (4474)．微分方程x e y y 24=-''的通解为 x x e x C e C y 222141??? ? ? ++=-。 (4477)．函数x C x C y 2s i n 2c o s 21+=满足的二阶线性常系数齐次微分方程为04=+''y y 。 (4532)．若连续函数)(x f 满足关系式 2ln )2 ()(20 +=? x dt t f x f ，则=)(x f 2ln 2x e 。 (6808)．设曲线积分 ?--L x ydy x f ydx e x f cos )(sin ])([与路径无关，其中)(x f 具有一阶 连续导数，且0)0(=f ，则)(x f 等于[ ] (A) )(2 1x x e e --。 (B) )(21 x x e e --。

AP 微积分BC 选择题样卷一

AP Calculus Practice Exam BC Version - Section I - Part A Calculators ARE NOT Permitted On This Portion Of The Exam 28 Questions - 55 Minutes 1) Given Find dy/dx. a) b) c) d) e) 2) Give the volume of the solid generated by revolving the region bounded by the graph of y = ln(x), the x-axis, the lines x = 1 and x = e, about the y-axis. a) b) c) d) e) 3) The graph of the derivative of f is shown below.

Find the area bounded between the graph of f and the x-axis over the interval [-2,1], given that f(0) = 1. a) b) c) d) e) 4) Determine dy/dt, given that and a) b) c) d) e) 5) The function is invertible. Give the slope of the normal line to the graph of f -1 at x = 3. a) b) c) d)

e) 6) Determine a) b) c) d) e) 7) Give the polar representation for the circle of radius 2 centered at ( 0 , 2 ). a) b) c) d) e) 8) Determine a) b) c) d) e)

清华大学微积分题库

(3343)．微分方程0cos tan =-+'x x y y 的通解为 x C x y cos )(+=。 (4455)．过点)0,2 1(且满足关系式11arcsin 2 =-+ 'x y x y 的曲线方程为 21arcsin - =x x y 。 (4507)．微分方程03='+''y y x 的通解为 22 1x C C y + =。 (4508)．设)(),(),(321x y x y x y 是线性微分方程)()()(x f y x b y x a y =+'+''的三个特解，且 C x y x y x y x y ≠--) ()() ()(1312，则该微分方程的通解为 )())()((())()((1132121x y x y x y C x y x y C y +-+-=。 (3081)．设x e x y x y -++=+=22213,3是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且相 应齐次方程的一个解为x y =3，则该微分方程的通解为x e C x C x y -+++=212 3。 (4725)．设出微分方程x e xe x y y y x x 2cos 32++=-'-''-的一个特解形式 )2sin 2cos ()(*x F x E e e D Cx x B Ax y x x +++++=-。 (4476)．微分方程x e y y y =+'-''22的通解为 )sin cos 1(21x C x C e y x ++=。 (4474)．微分方程x e y y 24=-''的通解为 x x e x C e C y 222141??? ? ? ++=-。 (4477)．函数x C x C y 2sin 2cos 21+=满足的二阶线性常系数齐次微分方程为 04=+''y y 。 (4532)．若连续函数)(x f 满足关系式 2ln )2 ()(20 +=? x dt t f x f ，则=)(x f 2ln 2x e 。 (6808)．设曲线积分 ?--L x ydy x f ydx e x f cos )(sin ])([与路径无关，其中)(x f 具有一阶 连续导数，且0)0(=f ，则)(x f 等于[ ] (A) )(2 1x x e e --。 (B) )(21 x x e e --。

清华大学第二学期高等数学期末考试模拟试卷及答案

清华大学第二学期期末考试模拟试卷 一．填空题（本题满分30分，共有10道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中． 1. 设向量AB 的终点坐标为()7,1, 2-B ，它在x 轴、y 轴、z 轴上的投影依 次为4、4-和7，则该向量的起点A 的坐标为___________________________． 2. 设a 、b 、c 都是单位向量，且满足0 =++c b a ，则=?+?+?a c c b b a _____________________________． 3. 设()()xy xy z 2cos sin +=，则 =??y z _____________________________． 4. 设y x z =，则=???y x z 2___________________． 5. 某工厂的生产函数是),(K L f Q =，已知⑴. 当20,64==K L 时， 25000=Q ；（2）当20,64==K L 时，劳力的边际生产率和投资的边际生产率 为270='L f ，350='K f 。如果工厂计划扩大投入到24,69==K L ，则产量的近似增量为_______________ 6. 交换积分顺序，有()=?? --2 21 , y y y dx y x f dy _____________________________． 7. 设级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，且 u u n n =∑∞ =1 ，则级数()=+∑∞ =+1 1n n n u u __________． 8. -p 级数 ∑∞ =1 1 n p n 在p 满足_____________条件下收敛． 9. 微分方程x x y sin +=''的通解为=y ______________________．

微积分期末试卷及答案

一、填空题(每小题3分,共15分) 1、已知2 )(x e x f =,x x f -=1)]([?,且0)(≥x ?,则=)(x ? . 答案：)1ln(x - 王丽君 解：x e u f u -==1)(2 ,)1ln(2x u -=,)1ln(x u -=. 2、已知a 为常数,1)12 ( lim 2=+-+∞→ax x x x ,则=a . 答案：1 孙仁斌 解：a x b a x ax x x x x x x x -=+-+=+-+==∞→∞→∞→1)11(lim )11( 1lim 1lim 022. 3、已知2)1(='f ,则=+-+→x x f x f x ) 1()31(lim . 答案：4 俞诗秋 解：4)] 1()1([)]1()31([lim 0=-+--+→x f x f f x f x

4、函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的拐点数为 . 答案：2 俞诗秋 解：)(x f '有3个零点321,,ξξξ:4321321<<<<<<ξξξ, )(x f ''有2个零点21,ηη:4132211<<<<<<ξηξηξ, ))((12)(21ηη--=''x x x f ,显然)(x f ''符号是：＋,－,＋,故有2个拐点. 5、=? x x dx 22cos sin . 答案：C x x +-cot tan 张军好 解：C x x x dx x dx dx x x x x x x dx +-=+=+=????cot tan sin cos cos sin sin cos cos sin 22222222 . 二、选择题(每小题3分,共15分) 答案： 1、 2、 3、 4、 5、 。 1、设)(x f 为偶函数,)(x ?为奇函数,且)]([x f ?有意义,则)]([x f ?是 (A) 偶函数； (B) 奇函数； (C) 非奇非偶函数； (D) 可能奇函数也可能偶函数. 答案：A 王丽君 2、0=x 是函数??? ??=≠-=.0 ,0 ,0 ,cos 1)(2x x x x x f 的 (A) 跳跃间断点； (B) 连续点； (C) 振荡间断点； (D) 可去间断点. 答案：D 俞诗秋

清华大学微积分A(1)期中考试样题

一元微积分期中考试答案 一． 填空题（每空3分，共15题） 1. e 1 2。21 3. 31 4。3 4 5. 1 6．第一类间断点 7。()dx x x x ln 1+ 8。 22sin(1)2cos(1)x x x e ++ 9。 0 10。11?????? ?+x e x 11．x x ne xe + 12。13 13。0 14。)1(223 +? =x y 15． 13y x =+ 二． 计算题 1. 解：,)(lim ,0)(lim 00b x f x f x x ==+?→→故0=b 。 …………………3分 a x f x f f x =?=′? →?)0()(lim )0(0 …………………3分 1)0()(lim )0(0=?=′+→+x f x f f x …………………3分 1=a 故当1=a ，0=b 时，)(x f 在),(+∞?∞内可导。 …………………1分 2. 解：=?+∞→])arctan ln[(lim ln /12x x x πx x x ln )arctan ln(lim 2?+∞→π = x x x x /1arctan ) 1/(1lim 22?+?+∞→π …………罗比达法则…………4分 =x x x x arctan )1/(lim 2+?++∞→π = )1/(1)1/()1(lim 2222x x x x ++?+∞→ = 2211lim x x x +?+∞→ = 1? ………………………4分 所以，原极限=1?e ………………………………………………………………………2分 3． 解：)'1)((''y y x f y ++= ，故 1) ('11)('1)(''?+?=+?+=y x f y x f y x f y ；……4分 3 2)]('1[)('')]('1[)'1)((''''y x f y x f y x f y y x f y +?+=+?++= …………………………………………6分 4.解：

关于清华大学高等数学期末考试

关于清华大学高等数学期 末考试 This manuscript was revised on November 28, 2020

清华大学 2010-2011学年第 一 学期期末考试试卷（A 卷） 考试科目： 高等数学A （上） 考试班级： 2010级工科各班 考试方式： 闭卷 命题教师： 一. 9分 ） 1、若在) ,(b a 内，函数)(x f 的一阶导数0)(>'x f ，二阶导数0)(<''x f ,则函数)(x f 在此区间内单调 ，曲线是 的。 2、设?????+=+=232322t t y t t x 确定函数)(x y y =，求=22dx y d 。 3、=? dx 1cos 12 。 本大题共3小题，每小题3分，总计 9分） 1、设A x x ax x x =-+--→1 4lim 231，则必有 答( ) 2、设211)(x x f -=，则)(x f 的一个原函数为 答( ) 3、设f 为连续函数，又，?=x e x dt t f x F 3)()(则=')0(F 答( ) 2小题，每小题5分，总计10分 ） 1、求极限x e e x x x cos 12lim 0--+-→。

2、x y 2ln 1+=,求y '。 3小题，每小题8分，总计24分 ） 1、讨论?? ???=≠=0,00arctan )(2 x x x x x f ，，在0=x 处的可导性。 2、设)(x f 在]1,0[上连续，且1)(0≤≤x f ，证明：至少存在一点]1,0[∈ξ，使得 ξξ=)(f 。 3、证明不等式：当4>x 时，22x x >。 3小题，每小题8分，总计24分 ） 1、求函数x e y x cos =的极值。 2、求不定积分? x x x d cos sin 3。 3、计算积分?-+-+2222)cos 233(ln sin ππdx x x x x 。 4小题，每小题6分，总计24分 ） 1、求不定积分? +)1(10x x dx 。 2、计算积分?+πθθ4 30 2cos 1d 。 3、求抛物线221x y = 被圆822=+y x 所截下部分的长度。 4、求微分方程''-'-=++y y y x e x 2331的一个特解。

清华大学一元微积分期末考题 答案

一．填空题（每空3分，共15空）（请将答案直接填写在横线上！） 1. =-?dx x x 2)1(ln 答案：C x x x x +--+-ln |1|ln 1ln 2. ? =+x dx 2cos 1 。 答案： C x +?? ? ??tan 21arctan 21 3. =? +∞ 1 2 arctan dx x x 解： 22 ln 4)1(arctan arctan 121 1 2+=++-=?? ∞++∞ ∞+πx x dx x x dx x x 4.C x dx x xf +=?arctan )(，则 =? dx x f ) (1 。 答案：C x x ++4 24 2 5. =++?-dx x x x 2 22sin 1cos )1(π π 。 答案： 2 π 6. =?? ? ???22x x t dt e dx d 。 答案：2 4 2x x e xe - 7. 设)(x f 为连续函数，0)0(≠f ，? =x dt t f t x F 0 2 )()(，当0→x 时，)(x F 与k x 是同阶无穷小，则=k 。 答案：3 8. 将22 (3)1x y -+=绕y 轴转一圈，则所得图形围成的体积为 。 答案：2 6π 9. 设0>m ，且广义积分? +∞ +0 m x x dx 收敛，则m 的范围为 答案：1>m

10．幂级数∑∞ =-+1 2)5(2n n n n x 的收敛域为 。 答案：)5,5(- 11. 级数 ∑ ∞ +=-1 1 sin )1(n p n n n 条件收敛，则参数p 的范围为 。 答案：01≤<-p 12.在00=x 点，函数 ? -x t dt e 0 2 的幂级数展开为 答案：∑+∞ =++-0 1 2)12(!)1(n n n n n x ，?∈x 13.'x x y y e e ++=，的通解是 。 答案：ln 1y y x e e e C =++ 14.0)2(=-+dx y x xdy 满足0)1(=y 的解为 。 答案：2 x x y -= 15. 初值问题()? ??='=='+''0)0(,1)0(0 22y y y x y 的解为 。 答案：1=y 二．计算题（每题10分，共40分） 1．求p 的范围，使得1sin ln p dx x x π∞?收敛 解：???∞+∞+=2211ln sin ln sin ln sin x dx x x dx x x dx x p p p πππ， 1x =附近，p p x x x x )1(1 11~ln 1sin -?? ? ??-ππ ，所以仅当20p ->时?21ln sin x dx x p π收敛 ……………………………………………….5分 x x x x x p p ln ~ln 1sin ,π π +∞→对任意的p 成立,所以只需要考虑广义积分2ln p dx x x π∞?

清华大学高等数学期末考试

... 清华大学 2010- 2011 学年第一学期期末考试试卷（ A 卷）考试科目：高等数学A（上）考试班级：2010 级工科各班 考试方式：闭卷命题教师： 大题一二三四五六总分 得分 得分评卷人 一 . 填空题（将正确答案填在横线上。本大题共 3 小题，每小题 3 分，总计 9 分） 1、若在( a, b)内，函数f ( x)的一阶导数 f (x)0 ，二阶导数 f ( x) 0 ,则函数 f (x) 在此区间内单调，曲线是的。 x t 22t 2确定函数 y d 2 y 2、设 2t 3 3t y(x) ，求2。 y dx 3、12cos 1 dx。 x x 得分评卷人 二. 单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号 中。本大题共 3 小题，每小题 3 分，总计 9 分）

... x 3 ax 2 x 4 1、设 lim x 1 A ，则必有 x 1 ( A)a 2， A 5 ; (B)a 4， A 10 ; (C )a 4， A 6 ; (D ) a 4，A 10 . 答 ( ) 2、设 f ( x) 1 ，则 f (x) 的一个原函数为 2 1 x ( A) arcsin x (B) arctanx 1 1 x 1 1 x (C ) ln 1 x (D) ln x 2 2 1 答 ( ) e x 3、设 f 为连续函数，又， F ( x) x 3 f (t) dt 则 F (0) ( A) e (B) f (1) (C)0 (D ) f (1) f (0) 答 ( ) 得分 评卷人 三 . 解答下列各题（本大题共 2 小题，每小题 5分，总计 10分） 1、求极限 lim e x e x 2 。 x 0 1 cos x 2、 y 1 ln 2 x , 求 y 。

清华大学微积分学期中考试试卷

2006级微积分（二）期中考试试卷 院系_________ 班级_____________ 姓名____________ 学号__________ 一、填空题（每小题4分，共24分） 1．同时垂直于矢量{}1,2,1和矢量{}1,2,1-的单位矢量为 _____________。 2．用参数方程?????+=+-==t z t y x 2311 表示的直线L 的点向式方程为_________________。 3．曲线:L ???=+=01 2x y z 绕z 轴旋转的旋转曲面在点P )3,1,1(处的切平面方程为 （化简为一般方程） 。 4．函数32),,(z xy z y x f =在点)1,1,1(P 处的微分P df =________________。 5．设 y x x y e x z xy arctan )2(sin 5-+?=π 。则函数),(y x z 在点)1,2(P 的 偏导数=??P x z 。 6．逐次积分 ??2 0104x xdy dx 的值 = 。 二、选择题（每小题4分，共16分） 7．关于函数),(y x f 在点),(b a P 的性态，下列结论中不对的是（ ） A ． 在点),(b a P 的偏导数),(b a f x '存在推不出沿方向{}0,1的方向导数存在； B ． 在点),(b a P 沿方向{}0,1的方向导数存在推不出偏导数),(b a f x '存在； C ． 在点),(b a P 的两个偏导数存在推不出在点),(b a P 连续；

D ． 在点),(b a P 连续推不出在点),(b a P 的两个偏导数存在。 8．在空间直角坐标系中，方程 053=+y x 表示的几何对象为（ ） A ．通过原点的直线； B ．Oxy 平面上的直线； C ．垂直于Oz 轴的平面； D ．包含Oz 轴的平面。 9．函数3xy z =在原点处的函数值（ ） A ．是极小值； B ．是极大值； C ．不是极值 D ．无法判定是否为极值。 10．关于函数),(y x f z = 在约束条件0),(=y x g （),(y x f ，),(y x g 处处可微）下的极值点),(00y x P 的可能范围，合理的描述为（ ） A ． 完全包含在曲线0),(=y x g 与等值线c y x f =),(相切的切点集合中； B ． 完全包含在曲线0),(=y x f 与等值线c y x g =),(相切的切点集合中； C ． 完全包含在使得偏导数),(),,(y x f y x f y x 都为零的驻点集合中； D ． 以上三个结论都不对。 三、计算下列各题（每小题6分，总分48分） 11．设)()3,(xy y y x x f z ?++=，?,f 具有二阶连续导数，求y x z ???2

清华大学 2016-2017学年第2 学期 高等数学A期末考试试卷

清华大学高等数学A 期末考试试卷 2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。 2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是 （ ） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy = 2．求极限 (,)(0,0)lim x y →= （ ） A ． 14 B ．12- C ．1 4 - D ．12 3 ．直线: 327 x y z L ==-和平面:327 80x y z π-+-=的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上

C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤， 则D σ= （ ） A ．33()2 b a π - B ．332()3b a π- C ．334()3b a π- D ．333()2b a π- 5．下列级数收敛的是 （ ） A ．11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1121n n ∞=-∑ D ．1 n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ，其中22{(,)1,1}D x y x y x y =+≤+≥。 3．设(,)z z x y =为方程2sin(23)43x y z x y z +-=-+确定的隐函数，求z z x y ??+??。

清华大学《大学物理》题库及答案03相对论

一、选择题 1．4351：宇宙飞船相对于地面以速度v 作匀速直线飞行，某一时刻飞船头部的宇航员向飞船尾部发出一个光讯号，经过?t (飞船上的钟)时间后，被尾部的接收器收到，则由此可知飞船的固有长度为 (c 表示真空中光速) (A) c ·?t (B) v ·?t (C) (D) ［ ］ 2．4352一火箭的固有长度为L ，相对于地面作匀速直线运动的速度为v 1，火箭上有一个人从火箭的后端向火箭前端上的一个靶子发射一颗相对于火箭的速度为v 2的子弹。在火箭上测得子弹从射出到击中靶的时间间隔是：(c 表示真空中光速) (A) (B) (C) (D) ［ ］ 3．8015：有下列几种说法：(1) 所有惯性系对物理基本规律都是等价的；(2) 在真空中，光的速度与光的频率、光源的运动状态无关；(3) 在任何惯性系中，光在真空中沿任何方向的传播速率都相同。若问其中哪些说法是正确的，答案是 (A) 只有(1)、(2)是正确的 (B) 只有(1)、(3)是正确的 (C) 只有(2)、(3)是正确的 (D) 三种说法都是正确的 ［ ］ 4．4164：在狭义相对论中，下列说法中哪些是正确的？ (1) 一切运动物体相对于观察者的速度都不能大于真空中的光速 (2) 质量、长度、时间的测量结果都是随物体与观察者的相对运动状态而改变的 (3) 在一惯性系中发生于同一时刻，不同地点的两个事件在其他一切惯性系中也是同时发生的 (4)惯性系中的观察者观察一个与他作匀速相对运动的时钟时，会看到这时钟比与他相对静止的相同的时钟走得慢些 (A) (1)，(3)，(4) (B) (1)，(2)，(4) (C) (1)，(2)，(3) (D) (2)，(3)，(4) ［ ］ 5．4169在某地发生两件事，静止位于该地的甲测得时间间隔为4 s ，若相对于甲作匀速直线运动的乙测得时间间隔为5 s ，则乙相对于甲的运动速度是(c 表示真空中光速) (A) (4/5) c (B) (3/5) c (C) (2/5) c (D) (1/5) c ［ ］ 6．4356：一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行。如果宇航员希望把这路程缩短为3光年，则他所乘的火箭相对于地球的速度应是：(c 表示真空中光速) (A) v = (1/2) c (B) v = (3/5) c (C) v = (4/5) c (D) v = (9/10) c ［ ］ 7．4358：K 系与K ＇系是坐标轴相互平行的两个惯性系，K ＇系相对于K 系沿Ox 轴正方向匀速运动。一根刚性尺静止在K ＇系中，与O 'x '轴成 30°角。今在K 系中观测得该尺与Ox 轴成 45°角，则K ＇系相对于K 系的速度是： (A) (2/3)c (B) (1/3)c (C) (2/3)1/2c (D) (1/3)1/2c ［ ］ 8．4359：(1)对某观察者来说，发生在某惯性系中同一地点、同一时刻的两个事件，对于相对该惯性系作匀速直线运动的其它惯性系中的观察者来说，它们是否同时发生？(2)在某惯性系中发生于同一时刻、不同地点的两个事件，它们在其它惯性系中是否同时发生？ 关于上述两个问题的正确答案是： (A) (1)同时，(2)不同时 (B) (1)不同时，(2)同时 (C) (1)同时，(2)同时 (D) (1)不同时，(2)不同时 ［ ］ 9．4355：边长为a 的正方形薄板静止于惯性系K 的Oxy 平面内，且两边分别与x ，y 轴平行。今有惯性系K ＇以 0.8c （c 为真空中光速）的速度相对于K 系沿x 轴作匀速直线运动，则从K ＇系测得薄板的面积为 2)/(1c t c v -??2)/(1c t c v -???21v v +L 2v L 12v v -L 211)/(1c L v v -

大一微积分期末试卷资料整理

微积分期末试卷 选择题（6×２） cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π==1设在区间（0，）内（　）。Ａ是增函数，是减函数 是减函数，是增函数 二者都是增函数 二者都是减函数 2x 1n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 2 1C X (1) x n e x x n a D a π→-=--==>、x 时，与相比是（　） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（　） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ） n 1 X cos n = 200000001()5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()0 6x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（　） Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线 Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 一、 填空题

1 d 1 2 lim2,, x d x ax b a b → ++ = ｘ ｘ ２ ２ １ １、（ ）＝ ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是： ２＋１ ｘ ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3 1 In1 x+ ; 2 32 2 y x x =-; 3 2 log,(0,1), 1 x y R x = - ; 4(0,0) 5解：原式=11 (1)()1m lim lim2 (1)(3)34 77,6 x x x x m x m x x x m b a →→ -+++ === -++ ∴=∴=-= 二、判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小（） 2、 sin lim x x x → -∞+∞ 在区间（，）是连续函数（） 3、 f"(x）=0一定为f(x)的拐点（） 4、若f(X)在 x处取得极值，则必有f(x)在0x处连续不可导（）5、设函数ｆ(x)在[] 0,1上二阶可导且'()0A'0B'(1),(1)(0),A>B>C( ) f x f f C f f <===- 令（），则必有 1~5 FFFFT 三、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e →

清华大学微积分三机考题库

第五部分 多元函数微分学 [选择题] 容易题1—36，中等题37—87，难题88—99。 1．设有直线? ??=+--=+++031020 123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L ( ) (A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。 答：C 2．二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处 ( ) (A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在 答：C 3．设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组? ??+=+=2 2v u y v u x 确定，则当v u ≠时，=??x u ( ) (A) v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v u y - 答：B 4．设),(y x f 是一二元函数，),(00y x 是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(00y x 连续，则),(y x f 在点),(00y x 可导。 (B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 答：D 5．函数2223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是( ) (A) )32,31,31(- (B) )32,31,31(2- (C) )92,91,91(- (D) )9 2 ,91,91(2- 答：A