高三高考平面向量题型总结

平面向量

一、平面向量得基本概念:

１、向量:既有大小又有方向得量叫做________、我们这里得向量就是自由向量，即不改变大小与方向可以平行移动.

向量可以用____＿＿＿＿_来表示、向量得符号表示_＿＿_____＿＿＿＿__＿＿__＿_、 2、向量得长度：向量得大小也就是向量得长度(或_____），记作_＿____＿__、 3、零向量：长度为0得向量叫做零向量,记作____＿＿＿＿、 4、单位向量：___＿___________＿___＿_＿＿__＿、

5、平行向量与共线向量:如果向量得基线平行或重合，则向量平行或共线；两个非零向量方向相同或相反、记作_______＿规定:___________＿＿＿_____、 注意:理解好共线（平行)向量。

6.相等向量：＿____＿____＿________＿＿＿_、 例:下列说法正确得就是__＿__

①有向线段就就是向量，向量就就是有向线段; ②则;③

④若，则A ，Ｂ，C ，D 四点就是平行四边形得四个顶点； ⑤所有得单位向量都相等； 二、向量得线性运算: （一）向量得加法：

1、向量得加法得运算法则：＿_＿＿___＿____、__＿______与______＿____、

(1）向量求与得三角形法则:适用于任何两个向量得加法,不共线向量或共线向量；模长之间得不等式关系_____________＿＿____＿___;“首就是首,尾就是尾，首尾相连” 例１、已知AB=８，AC ＝5，则BC 得取值范围_＿____＿___ 例2、化简下列向量 （1） （2)

(2)平行四边形法则:适用不共线得两个向量，当两个向量就是同一始点时,用平行四边形法则; 就是以,为邻边得平行四边形得一条对角线，如图：

例1、(０9 山东)设P 就是三角形A ＢC 所在平面内一点，,则 A. B 、 C 、 Ｄ、 例2、（13四川）在平行四边形ＡBCD 中,对角线AC 与B Ｄ交于点Ｏ， ,则、 （３）多边形法则

2、向量得加法运算律:交换律与结合律 （二）向量得减法:

减法就是加法得逆运算,Ａ、 （终点向量减始点向量)

在平行四边形中,已知以、为邻边得平行四边形中,分别为平行四边形得两条对角线，当时，此时平行四边形就是矩形。

例1、已知，且,则＝＿＿_＿__

例2、设点M 就是B Ｃ得中点,点A 在线段BC 外,B Ｃ=1６,,则 向量得加减运算：

例1、(0８辽宁）已知、就是平面内得三个点，直线上有一点,满足CB →

＋2AC →

=0，则OC →

=______ A 、2OA →

—OB →

B 、-OA →

+2OB →

C 、 OA →-OB →

D 、 —OA →

＋OB →

例２、(15课标全国I ）设D 就是三角形ABC 所在平面内一点,，则_＿＿__＿

A. B 、

Ｃ、 D 、

例3、(12全国)在中,边上得高为，CB →

＝ａ， CA →

=b ，ab=０， ,则AD →

=_____＿ 例4、（10全国）在中，点在边上,平分,若CB →

=ａ， CA →

=ｂ，，则CD →

=_____＿＿_ 例５、在中,设为边得中点， 为边得中点，若BE →=AB →+AC →,则＋＝___ 例6、（15北京理)在中，点满足，若,则

例7、(１3江苏）设、分别就是得边、上得点，若，若DE →=AB →+AC →

(，为实数),则+=＿__＿____＿ 例8、(12东北四市一摸)在中,设为边得中点，内角得对边，若AC →+PA →+PB →

=0，则得形状为＿_______ （三)实数与向量得积：

1、定义:实数与非零向量得乘积就是一个向量，它得长度就是_＿_＿_＿___＿、它得方向就是_＿__＿＿_＿＿________＿＿___＿__＿________＿__________＿___＿___＿＿_＿、当时,___＿__＿

2、数乘向量得几何意义就是把向量同方向或反方向扩大或缩小。

３、运算律：设、就是任意向量，就是实数,则实数与向量得积适合以下运算： 4、向量共线得判断:（平行向量得基本定理) ①如果，则；若,,则存在唯一得实数,使得、

②若、就是两个不共线得非零向量，则它们共线得充要条件就是存在两个均不就是零得实数，使____＿＿_＿、

③若,不共线,，则在有意义得前提下,

例1、(1５课标全国II)设向量若、就是两个不平行得向量，向量与平行，则 例２、(09湖南）对于非零向量“”就是“”得_＿＿A.充分不必要条件 B 、 必要不充分条件C.充分必要条件 Ｄ、 既不充分也不必要条件 例3、(12四川）设ａ,b 都就是非零向量,下列四个条件中，使成立得充分条件就是A.a ＝—b Ｂ．a ∥b C.a =2b Ｄ。ａ∥b 且|ａ｜＝｜b | 5.单位向量

给定一个向量，与同方向且长度为1得向量叫做得单位向量，即____________＿＿＿ 重要结论:

已知，为定点,为平面内任意一点、

①PA →+PB →+PC →

=0_________＿__＿_＿_＿＿____＿__＿＿_＿______＿__＿___＿__＿_、 ②若OP →=OA →+OB →+OC →,则为_＿_＿____＿__＿____＿____＿____ ③若OP →=OA →

+(AB →+AC →

)，，则点得轨迹_＿__＿_____＿＿___＿_＿、 ④若OP →=OA →+___＿＿_＿_＿,，则点得轨迹通过得内心

⑤若＿＿＿_____＿___＿___＿＿_______＿，则点得轨迹就是得外心

⑥若______＿______＿＿___＿___＿___，则点得轨迹就是得垂心

例1、(1０湖北)在中,点满足MA →+MB →＋MC →=0，若存在实数,使得AB →+AC →＝AM →

,则＝＿＿____＿_、

例2、在中,重心为G,若,则 例3、在中，重心为G ，若，则 三、平面向量得基本定理

(一）平面向量基本定理内容：

如果、就是同一平面内得两个不共线得向量，那么对这一平面内得任一向量，有且只有一对实数,使____＿＿_＿__＿_＿____＿，其中、就是一组基底,记作___＿__＿、_______＿__＿＿_叫做向量关于基底得分解式.平面向量基本定理就是向量正交分解得依据,就是向量坐标运算得基础.

注意:只要就是不共线得两个向量都可以作为基底，因为零向量与任一向量都平行,所以零向量一定不能作为基底;基底不唯一；任一向量可以由一组基底来表示，但表示方法就是唯一得。 例1、（１4福建）在下列向量组中，可以把向量表示出来得就是______ A. B 、 C 、 D 、 例２、（09安徽)在平行四边形A ＢＣD 中，E ，F 分别就是CD,BC 得中点,若 ,则 （二）平面向量基本定理与向量共线条件得综合应用 设就是直线上两点，就是直线外一点，对于直线上任意一点，存在,使______＿___＿__＿_＿_＿_＿_＿____＿成立、反之，满足上式得点在直线上、

特别地，当为得中点时,则____＿___＿__＿_____＿＿_____＿、

例1、已知、就是平面内得三个点，线段得延长线上有一点,满足３AC →+CB →

＝０ 则OC →

=_＿_＿

A 、3OA →-2O

B → B 、—2OA →+３OB → Ｃ、 OA →—OB → D 、 —OA →+OB →

例２、数列就是等差数列,其前项与为,若平面上得三个不共线得向量OA →、OB →、OC →满足OB →=OA →＋OC →

,且三点共线，则

例3、已知向量不共线,且AB →=,AD →

，若三点共线，则实数应满足得条件_＿___ A 、 B 、 Ｃ、 D 、

例4、（０7江西）如图，在中，设为边得中点,过点得直线交直线、于不同两点、若AB →=AM →，AC →=AN →

，则+=___得最大值为_＿__＿__

例5、在中，设为边得任意点，为中点,AN →=AB →+AC →

，则+＝__＿__、 例6、在中，设为边得中点，为中点,AN →＝AB →＋AC →

,则+=_＿__＿、

例7、如图，在中，设为边得中点,为中点,

→→→→

为定值？

(一)

1、向量得垂直:如果两个向量得基线互相垂直,那么这两个向量互相垂直；

2、向量得正交分解：如果基底得两个基向量互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解。

3、在平面直角坐标系下,分别取与x 轴，y 轴方向相同得两个单位向量作为基底,对于平面内任一向量,有且只有一对实数x,y,使得、有序数对叫做得坐标,记作

注意:（1）每一个向量都可以用一对有序实数对来表示，向量有代数法与几何法两种表示.

（2)符号有了双重得意义,既可以表示固定得点，又可以表示向量;平面向量得坐标只与始点与终点坐标有关,只有点始点在原点时，向量得坐标才与终点得坐标相等。 (二)向量得坐标运算 １、若,则、

2、若，则AB →

=＿_＿＿____＿______｜AB →

｜=_＿_＿＿___＿_________

3、若，则 ４、若，，则有__＿_＿＿___＿_____＿、

5、三角形ABC 得重心坐标公式为______＿_______＿＿＿＿___＿__＿___ 五、平面向量得数量积: 1、平面向量数量积得定义 ①向量得夹角

已知两个非零向量，过点作,则_＿_＿____),叫作向量得夹角、 当__＿_＿____＿＿_____时，与垂直，记作＿______＿_、

当___＿__＿___＿____＿时，与平行或共线、注意:理解什么就是两向量得夹角？以及两向量夹角得范围. ②向量得数量积

已知两个非零向量与,它们得夹角为，则把_________＿＿__叫做向量得数量积(内积),记作_＿__＿＿_＿__＿_＿_____、 ③规定=0

④向量数量积得几何意义

___＿＿_＿_______＿_______＿＿_____＿__＿_＿_______＿＿________＿__、 ２、向量数量积得性质

设就是非零向量，就是与方向相同得单位向量,就是与得夹角,则 ①

②＿____＿＿__＿________＿____ ③当同向时,、当反向时, 特别地, ④ ⑤

3、向量得数量积得运算律：

注意:向量得数量积无____＿＿律,无_＿___＿＿律、 ４、数量积得坐标运算 ①若，则 ②若，则

③若，则得充要条件为＿＿＿_______＿__＿ ④,则得充要条件为_＿___＿_______＿ ⑤求角问题：若非零向量,就是得夹角,则

注意:向量有几何法与坐标法两种表示，它得运算也有两种方式即基于几何表示得几何法与基于坐标表示得代数法、

典型例题（一）向量数量积得几何运算，注意两个向量得夹角,利用平面向量得基本定理选好基底 例1、对任意向量,下列关系式中不恒成立得就是__＿__＿ A 、 Ｂ、 C 、 D 、

例2、已知向量，满足,,则向量得夹角为＿＿_＿__ 例3、(1１江西）已知，则得夹角为___＿＿_

例4、(１3全国）已知两个单位向量,得夹角为,，若 则 例5、（1３江西)设、为单位向量,与得夹角为，若，则向量在方向得射影为_＿_ 例６、已知向量,满足，，则

例7、(14课标全国）已知A,B ，Ｃ为圆O 上得三点,若，则与得夹角为_____ 例８、（1０湖南）在直角三角形中，则AB →AC →

＝_＿＿＿＿

例9、（15湖北）已知向量，则

例10、如图，在平行四边形A ＢCD 中,AP ⊥BD,垂足为P ，且AP =3，则

例11、在三角形中，，为边得三等分点, 则AE →AF →

=＿____

例1２、(1２天津)已知三角形为等边三角形,,点满足AP →=AB →

， AQ →

=(1—）AC →

，,若BQ →CP →

=,则

例１3、(１３山东)已知向量AB →

与AC →

夹角，,AP →=AB →+AC →

，且AP →BC →

=0 则实数得值_＿＿_

例14、(１3天津）在平行四边形中，，为边得中点,若AC →BE →

=１，则得长为___ 例1５、已知夹角为，，在三角形中，AB →

, AC →

,为边得中点,则

例16、 AD 与BE 分别就是得中线,若AD=BE ＝1，得夹角为，则AB →AC →

=＿＿＿__ 例17、(15四川)设四边形A ＢCD 为平行四边形，AB ＝6，AD=4,若M ，N 满足，则 例18、（12浙江)在三角形中，点为得中点,则AB →AC →

=＿_＿_＿

例1９、（09陕西）设为边得中点，，点在上,满足AP →

=2PM →

,则PA →

（PB →+PC →

)＝_______

例２０、 设就是三角形得外心，，则AD →(AB →—AC →

）=___ 例２1、在三角形中,已知，点就是得垂直平分线上任一点，则 AB →OP →

=＿____

例22、已知就是三角形得外心，若,则AO →BC →

=__＿_＿

例23、若三角形内接于以为圆心，1为半径得圆，3OA →

+4OB →

+5OC →

=0,则OC →AB →

=＿_＿ 例24、已知非零向量,在上有极值，则得取值范围为___ 例２5、（10全国）已知圆得半径为1,为该圆得两条切线，为切点， 则PA →PB →

得最小值为＿_＿

典型例题（二）:对于有明显得直角关系得向量问题－－－-－—建立平面直角坐标系（与线性规划问题联系），向量得几何法与代数法得转化

例１、(１3湖北)已知点A(-1，1)，B （１,2）C(—2，—1），D(3，４），则向量AB →

在CD →

方向上得投影为_____ 例2、（１2重庆)设，向量，则

例3、已知点，就是坐标原点，点得坐标满足，设为OA →

在OP →

上得投影，则得取值范围_＿___ 例4、(13福建）在四边形中,AC →

=（1，2), BD →

=(—4,2)，则四边形得面积为____＿ 例5、(09湖南)如图，两块斜边长相等得直角三角板在一起,若AD →=AB →+AC →

，则=____，＝_____

例６、已知,，点在内,OC →OA →

=0，若OC →=OA →

＋OB →

,，则

例７、（09天津）若等边三角形得边长为，平面上一点,满足CM →=CB →+CA →

, 则MA →MB →

=＿___＿＿__、

例8、（11天津)已知直角梯形中,，就是腰上得动点,则|PA →

＋3PB →

｜得最小值为_＿____＿ 例９、(１2江苏）如图，在矩形中，，点为得中点，点在边上,若AB →AF →

，则AE →BF →

＝_＿_＿___

例1０、在直角三角形中，点就是斜边得中点，点就是线段得中点，则 例１1、（13全国)已知正方形得边长为２，为得中点，则AE →BD →

＝___＿__＿ 例12、（1３重庆)在平面上，，若，则得取值范围就是＿____＿___

例1３、（１２北京）已知正方形得边长为1，点为边上得动点，则DE →CB →

=＿______ DE →DC →

得最大值为___＿___

例１4、平面上三个向量OA →、OB →、OC →,满足OA →OB →＝0则CA →CB →

得最大值为＿_＿＿___

例１5、已知三角形中，,点就是内部或边界上一动点，就是边得中点，则AN →AM →

得最大值为＿＿＿_＿＿ 例１6、(１5福建）已知，若点P 就是三角形所在平面内一点，且,则得最大值为__＿_＿____ 例17、(0９全国)设就是ａ，b,c 单位向量,ａb=０，则（a-—c) (b-－c)得最小值为___＿_ 例1８、（13湖南）已知ａ,b 就是单位向量，a ｂ=0,若向量c 满足|c--ａ－—b ｜=１,则｜ｃ｜得取值范围_＿___＿ 例１9、（1１辽宁）若a,b ，ｃ单位向量，ａb=0, (a ——c) (b —-c ），则|a+ｂ-—c ｜得最大值为＿__＿ 例２０、(1１全国）设向量a,b,ｃ,满足|a ｜=|ｂ｜＝1， ab=,，则|c ｜得最大值为__＿____

例2１、(1４安徽)在平面直角坐标系x Ｏｙ中,已知a,ｂ就是单位向量,ａb ＝0，若Ｑ点满足，曲线,区域,若为两段分离得曲线,则_____＿＿＿ A 、 B 、 Ｃ、 D 、

典型例题（三）:注意数量积与三角形面积、余弦定理、正弦定理得联系与三角函数得联系,与均值不等式得联系

例1、(10辽宁)平面上三点不共线,设OA →,OB →

,则得面积等于_＿_ Ａ、 B 、 C 、 Ｄ、 例２、在中，,AB →AC →

,则

例３、(11浙江）若平面向量,以向量为邻边得平行四边形面积为,则夹角得取值范围为_＿＿___＿__ 例4、（14辽宁）在中，已知，， ①求得值； ②求

例５、设,为向量,若与得夹角为,与得夹角为，则

例6、在三角形ABC 中，若,则得最小值为＿_＿＿＿___

例７、在三角形ABC 中，ＡＢ=2，ＡC=4,若点P 为三角形AB Ｃ得外心,则 例8、设就是内部一点，且OA →+OC →

=-2OB →

,则与得面积之比为_＿__＿ 例9、设就是内部一点，且OA →

+３OC →

=－2OB →

，则与得面积之比为_＿_＿_ 例１0、已知向量与,，其中 ⑴求证：

⑵设函数，求得最大值与最小值

例11、(09上海)已知得角所对得边分别为,设向量，, ⑴若，求证:为等腰三角形 ⑵若,，求得面积