华师大版九年级数学上册教案

22．1. 二次根式（1）

教学内容： 二次根式的概念及其运用

教学目标：1a ≥0）的意义解答具体题目． 2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．

教学重难点关键：1a ≥0）的式子叫做二次根式的概念；

2a ≥0）”解决具体问题． 教学过程：一、回顾

当a 是正数时，a 表示a 的算术平方根，即正数a 的正的平方根． 当a 是零时，a 等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根． 当a 是负数时，a 没有意义．

二、概括：a （a ≥0）表示非负数a 的算术平方根，也就是说，a （a ≥0）是一

个非负数，它的平方等于a ．即有： （1）a ≥0（a ≥0）； （2）2)(a =a （a ≥0）．

形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式．

注意：在二次根式a 中，字母a 必须满足a ≥0，即被开方数必须是非负数．

三、例题讲解

例题： x 是怎样的实数时，二次根式1-x 有意义？

分析 要使二次根式有意义，必须且只须被开方数是非负数．

解： 被开方数x-1≥0，即x ≥1．

所以，当x ≥1时，二次根式1-x 有意义．

思考：2a 等于什么？

我们不妨取a 的一些值，如2，-2，3，-3，……分别计算对应的a2的值，看看有什么规律：

概括: 当a ≥0时，a a =2； 当a ＜0时，a a -=2．

这是二次根式的又一重要性质．如果二次根式的被开方数是一个完全平方，运用这个性质，

可以将它“开方”出来，从而达到化简的目的．例如：

22)2(4x x ==2x （x ≥0）； 2224)(x x x ==．

四、练习: x 取什么实数时，下列各式有意义.

（1）x 43-； （2）23-x ； （3）2)3(-x ； （4）x x 3443-+-

五、 拓展

例：当x 1

1

x +在实数范围内有意义？

分析：11x +在实数范围内有意义，0和11

x +中的x+1≠0．

解：依题意，得230

10

x x +≥??+≠?

由①得：x ≥-

32

由②得：x ≠-1

当x ≥-

32且x ≠-111

x +在实数范围内有意义．

例：(1)已知，求

x

y

的值．(答案:2)

(2)=0，求a

2004

+b 2004的值．(答案:2

5

)

六、 归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握：

1a ≥0）的式子叫做二次根式，

2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 七、布置作业：教材P4：1、2 八、反思及感想：

22.1 二次根式（2）

教学内容：1a ≥0）是一个非负数； 2．2=a （a ≥0）．

教学目标：1a ≥02=a （a ≥0），并利用它们进行计算和化简．

2、 a ≥0）是一个非负数，用

2=a （a ≥0）；最后运用结论严谨解题．

教学重难点关键：1a ≥0）是一个非负数；2=a （a ≥0）及其运用．

2a ≥0）是一个非负数；?用探究的

2=a （a ≥0）．

教学过程： 一、复习引入（学生活动）口答 1．什么叫二次根式？

2．当a ≥0a<0

二、探究新知

议一议：（学生分组讨论，提问解答）

a ≥0）是一个什么数呢？

老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出

做一做：根据算术平方根的意义填空：

2=_______；2=_______；2=______；2=_______；

2=______；2

=_______；2=_______．

4的算术平方根，根据算术平方根的意义，

42=4．

同理可得：2=2，2=9，2=3，2=13，2=7

2，2=0，

所以 三、例题讲解

例1 计算： 1．2 ， 2．（2 ， 3．2 ， 4．2

2=a （a ≥0）的结论解题．

解：1. 2 =3

2， 2.（2 =32·2=32·5=45，

3.2=56，

4.（2）2=22

7

24=． 四、巩固练习

计算下列各式的值：

2 2 （4）2

2 （222-

五、应用拓展

例2 计算

1．2（x ≥0），2．2 ，3．2 ，4．2

分析：（1）因为x ≥0，所以x+1>0；

（2）a 2≥0；

（3）a 2+2a+1=（a+1）≥0；

（4）4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3）2≥0．

所以上面的42=a （a ≥0）的重要结论解题．

解：（1）因为x ≥0，所以x+1>0,2=x+1

（2）∵a 2≥02=a 2

（3）∵a 2+2a+1=（a+1）2 , 又∵（a+1）2≥0，

∴a 2+2a+1≥0 2+2a+1

（4）∵4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3）2 , 又∵（2x-3）2≥0

∴4x 2-12x+9≥02=4x 2-12x+9 例3在实数范围内分解下列因式:

（1）x 2-3 （2）x 4-4 (3) 2x 2-3

六、归纳小结：本节课应掌握：

1a ≥0）是一个非负数； 2．2=a （a ≥0）;反之:a=2（a ≥0）．

七、布置作业：教材P4：3、4 八、反思及感想：

22.1 二次根式（3）

教学内容

a （a ≥0）

教学目标：1（a ≥0）并利用它进行计算和化简．

2、 （a ≥0），并利用这个结论解决具体问题．

教学重难点关键：1a （a ≥0）．

2．难点：探究结论．

3．关键：讲清a ≥0a 才成立． 教学过程： 一、复习引入：（老师口述并板收上两节课的重要内容）

1a ≥0）的式子叫做二次根式；

2a ≥0）是一个非负数；

3．2＝a （a ≥0）．

那么，我们猜想当a ≥0是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题． 二、探究新知：（学生活动）填空：

=_______=_______=______；

． （老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：

=2=0.01=11023=037．

三、例题讲解：

例1 化简：（1 （2 （3 （4分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32，

（a ≥0）?去化简．

解：（1 （2

（3 （4

四、巩固练习：（见小黑板）

五、应用拓展

例2 填空：当a≥0；当a<0，?并根据这一性质回答下列问题．

（1，则a可以是什么数？（2，则a可以是什么数？

（3，则a可以是什么数？

（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，

使“（）2”中的数是正数，因为，当a≤0-a≥0．

（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）

│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0．

解：（1，所以a≥0；（2，所以a≤0；

（3）因为当a≥0，即使a>a所以a不存在；当a<0，

，即使-a>a，a<0综上，a<0

例3当x>2

（a≥0）及运用，同时理解当a<0a的应用拓展．

七、布置作业:1．先化简再求值：当a=9时，求

甲的解答为：原式=a+（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．

2．若│1995-a│，求a-19952的值．（提示：注意根式有意义的隐含条件）

3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│。

八、反思及感想：

22．2 二次根式的乘除（1）

a≥0，b≥0）a≥0，b≥0）及其运用．

教学目标：1（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简

2a≥0，b≥0）并运用它进行计算；

?a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．

教学重难点关键

1a≥0，b≥0）a≥0，b≥0）及它们的运用．

2a≥0，b≥0）．

a?

3a<0,b<0）=b

或

教学过程：一、设疑自探——解疑合探

自探.（学生活动）请同学们完成下列各题．

1．填空：（1=____；（2．

（3．

参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．

2．利用计算器计算填空

（1（2

（3（4，

（5．

（学生活动）让3、4个同学上台总结规律．

老师点评：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，?并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．

一般地，对二次根式的乘法规定为

反过来:

合探1. 计算：（1，（2，（3，（4

a≥0，b≥0）计算即可．

合探2 化简（1，（2，（3，（4（5

a≥0，b≥0）直接化简即可．

二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！

三、应用拓展：判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：

（1

（2

四、巩固练习（1）计算（生练，师评）①②

(2) 化简: ;

五、归纳小结（师生共同归纳）

本节课掌握：（1（a≥0，b≥0）a≥0，b≥0）及运用．

六、作业设计（写在小黑板上）

（一）、选择题

1，?那么此直角三角形斜边长是（）

A．B．C．9cm D．27cm

2．化简）．A B C．D．

311

x-=）

A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1

4．下列各等式成立的是（）．

A．B C D

（二）、填空题：

1．

2．自由落体的公式为S=1

2

gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为720m，

则下落的时间是_________．

（三）、综合提高题探究过程：观察下列各式及其验证过程．

（1）

验证：

=

=

（2）

验证：

=

同理可得：==

通过上述探究你能猜测出：（a>0）,并验证你的结论．七、反思及感想：

22．2 二次根式的乘除（2）

a≥0，b>0），a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．

教学目标;1a≥0，b>0a≥0，b>0）及利用它们进行运算．

2、利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写

出逆向等式及利用它们进行计算和化简．

教学重难点关键

1a≥0，b>0）a≥0，b>0）及用它们进行计算和化简．

2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．

教学过程; 一、设疑自探——解疑合探

自探.（学生活动）请同学们完成下列各题：

1．填空（1；（2；

（3；（4．

2．利用计算器计算填空:

（1，（2=_____，（3=____，（4=_____．

每组推荐一名学生上台阐述运算结果．（老师点评），根据大家的练习和回答，

我们进行合探：

二次根式的除法规定：

一般地，对二次根式的除法规定：

下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．

合探1．计算：（1（2（3（4

a≥0，b>0）便可直接得出答案．

分析：上面4

合探2．化简：（1（2（3（4

a ≥0，b>0）就可以达到化简之目的． 二、应用拓展

=

，且x 为偶数，求（1+x

a ≥0，b>0时才能成立． 因此得到9-x ≥0且x-6>0，即6

三、归纳小结（师生共同归纳）

a ≥0，b>0a ≥0，b>0）及其运用．

四、作业：（写在小黑板上） (一)、选择题:

1 ）．

A ．2

7

； B ．27

； C ； D

2

=

==

=

数学上将这种把分

母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么，化简

）．

A ．2

B ．6

C ．13

D

(二)、填空题 1．分母有理化:(1)

=_________;(2)

2．已知x=3，y=4，z=5_______．

(三)、综合提高题 计算

（1·（m>0，n>0）

（2） （a>0）

五、反思及感想：

B A C

22.2 二次根式的乘除(3)

教学内容

最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算．

教学目标：1、理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．

2、通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后

结果是否满足最简二次根式的要求．

重难点关键：1．重点：最简二次根式的运用．

2．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式．

教学过程

一、设疑自探——解疑合探

自探1.（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）

计算（1

（2

，（3

自探2. 观察上面计算题的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有什么特点？（有如下两个特点：1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．）我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．

合探1. 把下面的二次根式化为最简二次根式：

(1)

; (2)

合探2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．

13

2

====6.5（cm）

因此AB的长为6.5cm．

二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！

三、应用拓展

观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：

1

21

=

-

=，

=

从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算

）的值．分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的．

四、归纳小结（师生共同归纳）：本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用．

五、作业设计（写在小黑板上） （一）、选择题

1（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（ ）．

A （y>0）

B y>0）

C y>0）

D ．以上都不对

2．把（a-1a-1）移入根号内得（ ）．

A B C ． D ． 3．在下列各式中，化简正确的是（ ）

A B ±12

C 2

D ．

4

的结果是（ ） A ． ； B ．； C ．； D ．（二）、填空题

1．（x ≥0）

2．_________．

（三）、综合提高题

1．已知a 确，?请写出正确的解答过程：

·1

a

（a-1

2．若x 、y 为实数，且y x y -的值．

六、反思及感想：

22.3 二次根式的加减(1)

教学内容 ： 二次根式的加减

教学目标 ： 理解和掌握二次根式加减的方法． 重难点关键：1．重点：二次根式化简为最简根式．

2．难点关键：会判定是否是最简二次根式．

教学过程：

一、设疑自探——解疑合探 自探（学生活动）：计算下列各式．

（1）；（2）；（3；（4）

因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如

可以合并吗？可以的．（板书）和 所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，?再将被开方数相同的二次根式进行合并．

合探1．计算：（1 （2 分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并． 合探2．计算

（1）-9

（2）

+ 二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！

三、应用拓展

已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（2

3

+y -（x ）的值．

分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，

即x=

1

2

，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，?再合并同类二次根式，最后代入求值．

四、归纳小结（师生共同归纳）：本节课应掌握：

（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式； （2）相同的最简二次根式进行合并． 五、作业设计（写在小黑板上） （一）、选择题

1．以下二次根式：（ ）

． A ．①和② B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④

2．下列各式：①1

7

中错误的有（ ）． A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 （二）、填空题

1．在

、根式的有________．

2．计算二次根式________． （三）、综合提高题

1 2.236

-（结果精确到0.01）

2．先化简，再求值．

（

-（，其中x=32

，y=27． 六、反思及感想：

22.3 二次根式的加减(2)

教学内容 ： 利用二次根式化简的数学思想解应用题． 教学目标 ： 运用二次根式、化简解应用题．

重难点关键：讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点． 教学过程：

一、设疑自探——解疑合探

上节课，我们已经学习了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们研究三道题以做巩固．

自探1．如图所示的Rt △ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始沿BA 边以1厘米/?秒的速度向点A 移动；同时，点Q 也从点B 开始沿BC 边以2厘米/秒的速度向点C 移动．问：几秒后△PBQ 的面积为35平方厘米？PQ 的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）

分析：设x 秒后△PBQ 的面积为35平方厘米，那么PB=x ，BQ=2x ，?根据三角形面积公式就可以求出x 的值．

解：设x 后△PBQ 的面积为35平方厘米． 则有PB=x ，BQ=2x

依题意，得：

1

2

x ·2x=35 x 2=35

PBQ 的面积为35平方厘米．

=

=

PBQ 的面积为35平方厘米，PQ 的距离为 自探2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m ）？

解：由勾股定理，得 =

=

所需钢材长度为 ≈3×2.24+7≈13.7（m ）

答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要13.7m 的钢材．）

三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！ 四、应用拓展

若最简根式3a a 、b 的值． 注：（?同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）

分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；?事实上，根式

|b|类二次根式的定义得3a-?b=?2，2a-b+6=4a+3b ．

由题意得432632

a b a b a b +=-+??

-=? ∴24632

a b a b +=??

-=? ∴a=1，b=1

五、归纳小结（师生共同归纳）：本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题． 六、作业设计（写在小黑板上） （一）、选择题

1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（ ）．

A ．

B

C ．

D ．以上都不对

2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm 和20cm 的长方形的木框，?为了增加其稳定性，他沿

长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（ ）米．

A ．

B

C ．

D ．

（二）、填空题 1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m 2，?鱼塘的宽是_______m ．

2?那么这个等腰直角三角形的周长是________． （三）、综合提高题

12n m 、n 的值． 2．同学们，我们以前学过完全平方公式a 2±2ab+b 2=（a ±b ）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们

又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=2，

5=2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：

）2=2-2·12

反之，）2 ∴）2

求：（1 （2（3

（4，则m 、n 与a 、b 的关系是什么？并说明理由． 六、反思及感想：

22.3 二次根式的加减(3)

教学内容：含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与

多项式相乘、相除；乘法公式的应用．

教学目标：1、含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用． 2、复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算． 重难点关键：1、重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；

2、难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．

教学过程

一、设疑自探——解疑合探 自探1.（学生活动）：请同学们完成下列各题: 1．计算：（1）（2x+y ）·zx （2）（2x 2y+3xy 2）÷xy 2．计算：（1）（2x+3y ）（2x-3y ） （2）（2x+1）2+（2x-1）2

老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）?单项式×单项式；（2）

单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．

如果把上面的x 、y 、z 改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？?仍成立．

整式运算中的x 、y 、z 是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，?当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．

自探2.计算：（1） （2）（ 分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，?所以直接可用整式的运算规律．

自探3. 计算：（1））（ （2）

分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立． 二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！ 三、应用拓展：已知x b a

-=2-x a b

-，其中a 、b 是实数，且a+b ≠0，

=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，

再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x 的值，代入化简得结果即可．

解：原式2

=2(1)x x +-+2(1)x x

+- =（x+1）=4x+2

∵

x b a

-=2-x a b - ∴b （x-b ）=2ab-a （x-a ） ∴bx-b 2=2ab-ax+a 2 ∴（a+b ）x=a 2+2ab+b 2 ∴（a+b ）x=（a+b ）2 ∵a+b ≠0 ∴x=a+b

∴原式=4x+2=4（a+b ）+2

四、归纳小结（师生共同归纳）：本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算．

五、作业设计（写在小黑板上） （一）、选择题

1． ）．

A ．20

3

B ．2

3

C ．2

3

D ．20

3

2 ）．A ．2 B ．

3 C ．

4 D ．1 （二）、填空题

1．（-12

2的计算结果（用最简根式表示）是________．

2．（（-（2）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______．

3．若，则x 2+2x+1=________．

4．已知b=3-2a 2b-ab 2=_________． （三）、综合提高题

1

2．当

的值．（结果用最简二次根式表示）

六、反思及感想：

23.1 一元二次方程

教学目标：

1、知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式

02

=++c bx ax （a ≠0）2、在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使

学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。3、会用试验的方法估计一元二次方程的解。 重点难点：

1．一元二次方程的意义及一般形式，会正确识别一般式中的“项”及“系数”。 2． 理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性。 教学过程： 一 做一做：

1．问题一 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？ 分 析：设长方形绿地的宽为x 米，不难列出方程 x(x ＋10)＝900

整理可得 x 2＋10x －900=0. （1） 2．问题2

学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率. 解：设这两年的年平均增长率为x ，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数

是5（1＋x ）万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1＋x ）倍，即5（1＋x ）(1＋x)＝5(1＋x)2万册.可列得方程 5（1＋x ）2=7.2,

整理可得 5x 2＋10x －2.2=0. （2） 3．思考、讨论

这样，问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ （ 学生分组讨论，然后各组交流 ）共同特点：（1） 都是整式方程 （2） 只含有一个未知数 （3） 未知数的最高次数是2

二、 一元二次方程的概念

上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程）.通常可写成如下的一般形式：

ax 2

＋bx ＋c ＝0(a 、b 、c 是已知数，a ≠0)。 其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一

次项，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项。.

三、 例题讲解与练习巩固

1．例1下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。

（1）3523-=+x x （2）42

=x （3）2112

x x x =-+- （4）22)2(4+=-x x

2．例2 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项： 1）y y =26 2）（x-2）(x+3)=8 3）2

)2()43)(3(+=-+x x x

说明： 一元二次方程的一般形式02

=++c bx ax （a ≠0）具有两个特征：一是方程的右边为0；二是左边的二次项系数不能为0。此外要使学生意识到：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的。

3．例3 方程（2a —4）x 2 —2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？

本题先由同学讨论，再由教师归纳。

解：当a ≠2时是一元二次方程；当a ＝2，b ≠0时是一元一次方程；

4．例4 已知关于x 的一元二次方程(m-1)x 2+3x-5m+4=0有一根为2，求m 。 分析：一根为2即x=2,只需把x=2代入原方程。

5．练习一 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项

x x 3222-= 2x(x-1)=3(x-5)-4 ()()()()231122

2-+=+--y y y y 练习二 关于x 的方程

0)3(2

=++-m nx x m ，在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一次方程？

本课小结：

1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式为02

=++c bx ax （a ≠0），一元二次方程的项及系数都是根据一

华师大版九年级上册数学知识点总结

华师大版九年级上册数学知识点总结 第21章 二次根式 1. 二次根式的概念：形如 的式子叫做二次根式． 2. 二次根式的性质： （1）=2)(a （a ≥0）；（2 ；（ 3） ??? ??<=>== )0___()0___()0___(____2a a a a 3. 二次根式的乘除： 计算公式：___(0,0) ___(0,0) a b a b ?≥≥??=≥>?? 4. 概念： 1.2.?? ?最简二次根式：(1) (2) (3)同类二次根式： 5. 二次根式的加减：(一化，二找，三合并 ) （1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式． 6. 二次根式化简求值步骤：(1)“一分”：分解因数（因式）、平方数（式）；(2)“二移”： 根据算术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面；(3)“三化”：化去被开方数中的分母． 7. 二次根式的混合运算： （1）二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的． （2）对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用． （3）在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 第22章 一元二次方程 1. 一元二次方程： 1) 一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程． 2) 一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ． 它的特征：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零． 2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数 项． 2. 一元二次方程的解法： 1) 直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法． 直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程．根据平方根的定义可知，

华师大版九年级数学上册教案

22．1. 二次根式（1） 教学内容： 二次根式的概念及其运用 教学目标：1a ≥0）的意义解答具体题目． 2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键：1a ≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2a ≥0）”解决具体问题． 教学过程：一、回顾 当a 是正数时，a 表示a 的算术平方根，即正数a 的正的平方根． 当a 是零时，a 等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根． 当a 是负数时，a 没有意义． 二、概括：a （a ≥0）表示非负数a 的算术平方根，也就是说，a （a ≥0）是一 个非负数，它的平方等于a ．即有： （1）a ≥0（a ≥0）； （2）2)(a =a （a ≥0）． 形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式． 注意：在二次根式a 中，字母a 必须满足a ≥0，即被开方数必须是非负数． 三、例题讲解 例题： x 是怎样的实数时，二次根式1-x 有意义？ 分析 要使二次根式有意义，必须且只须被开方数是非负数． 解： 被开方数x-1≥0，即x ≥1． 所以，当x ≥1时，二次根式1-x 有意义． 思考：2a 等于什么？ 我们不妨取a 的一些值，如2，-2，3，-3，……分别计算对应的a2的值，看看有什么规律： 概括: 当a ≥0时，a a =2； 当a ＜0时，a a -=2． 这是二次根式的又一重要性质．如果二次根式的被开方数是一个完全平方，运用这个性质， 可以将它“开方”出来，从而达到化简的目的．例如： 22)2(4x x ==2x （x ≥0）； 2224)(x x x ==． 四、练习: x 取什么实数时，下列各式有意义. （1）x 43-； （2）23-x ； （3）2)3(-x ； （4）x x 3443-+-

最新华东师大版九年级上册数学知识总结培训资料

最新华东师大版九年级上册数学知识总结

华东师大版数学九年级上知识点小结 第21章 二次根式 1、二次根式的意义 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式。 二次根式a 有意义，a 的取值范围是;0≥a 当a 0<时，a 在实数范围内没有意义。 2、最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： ①被开方数不含分母； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式（被开方数因数因式的次数为1）； ③分母不含根式。 3、同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式 以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。 4、二次根式的主要性质 （1）双重非负性：)0(0≥≥a a （2）还原性：（a 2)=a )0(≥a 。 ＊（3）绝对性：?? ???<-=>==)0()0(0)0(2a a a a a a a 5、二次根式的运算 （1）因式的外移和内移 如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根 号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面。 反之，也可以将根号外面的正因式，平方后移到根号里面去。 （2）有理化因式与分母有理化 两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式。 把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 （3）二次根式的加、减法 先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。步骤：一化二找三合并 （4）二次根式的乘、除法 二次根式相乘（除），就是把被开方数相乘（除），并将运算结果化为最简二次根 式。 0,0).a b ?=≥≥ = (0,0)b a ≥> （5）加法、乘法运算律，以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算。

人教版九年级数学上册教案《圆》

《圆》 圆是常见的几何图形， 是平面几何中基本的图形之一，它具有独特的性质。本章是在学生在小学学过的圆的知识的基础上，系统研究圆的概念和性质，点与圆、 直线与圆的位置关系、正多边形和圆的关系，以及圆的弧长与面积的计算等问题。 本小节是圆这一章的第一节课，主要是研究圆的概念及其相关概念，本节内容是继续研究圆的性质的基础。教材一开始是让学生观察生活中有关圆的形象的物体，结合小学学过的有关圆的知识，通过用圆规画圆的方法导入圆的定义的。圆的定义方法有两种，一种是描述性定义，一种是集合性定义。圆的描述性定义，要让学生用自己的语言尝试表述，教师可以引导学生通过观察画加深理解；圆的集合定义，应通过观察、体会画圆的过程，引导学生从圆和点两个方面去思考得出圆的集合定义。得出圆的定义后，接着介绍圆心、半径、弦、直径、弧、半圆、等圆、等弧等相关性质。教材中的例1是证明四点共圆，只要证明矩形的四个顶点到对角线的交点距离相等即可，进一步让学生体会圆的集合定义的应用。 【知识与能力目标】 1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念； 2.了解等圆、等弧的概念。

【过程与方法目标】 从感受圆在生活中大量存在到圆的概念的形成过程中，让学生体会圆的不同定义方法，感受圆和实际生活的联系。 【情感态度价值观目标】 在探索圆的概念的过程中让学生体会数学知识无处不在，感受生活中处处有数学。 【教学重点】 对圆的两种定义的理解。 【教学难点】 对圆的集合定义的理解。 多媒体课件、教具等。 一、创设情境，引入新课 问题1 观察下列图形，你能从中找出它们的共同特征吗？ 追问：你能再举出一些生活中类似的实例吗？ 设计意图：让学生观察图形，感受圆和实际生活的密切联系，为学习圆的相关概念打下基础，同时还可以激发学生的学习热情。 二、探索新知，形成概念 问题2 观察下列画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗？

华师大版九年级数学上册全册教案(用)

第22章一元二次方程 22.1 一元二次方程 【知识与技能】 1.知道一元二次方程的意义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）. 2.在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识. 【过程与方法】 通过解决实际问题，把实际问题转化为数学模型，引入一元二次方程的概念，让学生认识一元二次方程及其相关概念，提高学生利用方程思想解决实际问题的能力. 【情感态度】 通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情. 【教学重点】 判定一个数是否是方程的根. 【教学难点】 由实际问题列出的一元二次方程解出根后，还要考虑这些根是否确定是实际问题的根.

一、情境导入，初步认识 问题1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平 方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？ 【分析】设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程x（x+10）=900，整 理可得x2+10x-900=0.（1） 问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2 万册.求这两年的年平均增长率. 解：设这两年的年平均增长率为x，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1+x）万册，同样，明年年底的图书数又是今年 年底的（1+x）倍，即5（1+x）·（1+x）=5（1+x）2万册.可列得方程5（1+x）2=7.2，整理可得5x2+10x-2.2=0（2） 【教学说明】教师引导学生列出方程，解决问题. 二、思考探究，获取新知 思考、讨论 问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元二次方程.那么这两个方程与一元二次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 共同特点： （1）都是整式方程 （2）只含有一个未知数 （3）未知数的最高次数是2 【归纳总结】上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的 最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式：

苏教版九年级数学《圆》教案

P O 苏教版九年级数学《圆》教案 宿城区埠子中学 蔡志慧 教学目标 1、理解圆的定义（圆的描述概念和圆的集合概念）； 2、掌握点和圆的三种位置关系； 3、会利用点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系判定点和圆的位置关系； 4、初步会运用圆的定义证明四个点在同一个圆上。 教学重点：确定点和圆的三种位置关系以及圆的集合概念的理解 教学难点：点和圆的三种位置关系的理解和应用 教学过程： 一，探究新知 观察图形，议一议：车轮为什么是圆的？能否做成正方形或三角形？ 一切平面图形中，最美的是圆！ ——毕达哥拉斯[古希腊数学家 1、圆的描述定义： 把一条线段OP （用你手边的圆珠笔代替）的一个端点O 固定， 使线段OP 绕点O 在平面内旋转一周，另一个端点P 所形成的图形 是______。其中，定点O 叫______，线段OP 叫______。 以点O 为圆心的圆，记作______，读作______。

O 2、思考： 确定一个圆的两个要素是_______和________，以定点A 为圆心作圆，能作______个圆；以定长r 为半径作圆，能作______个圆；以定点A 为圆心、定长r 为半径作圆，能且只能作_______个圆。 二、观察、思考与小结： 1、请你在圆上任取3个点，分别量出这三个点到圆心的距离，你发现了什么? 小结：（1）圆上各点到圆心（定点）的距离都______定长______； 反之，到圆心的距离等于半径的点都在______上。 （2）满足上述两个条件，我们可以把圆看成是一个集合。 圆的集合定义：圆是________________________________。 2、请你在圆内任取3个点，你发现了什么? 小结：（1）圆内的点到圆心（定点）的距离都______定长______；反之，到圆心的距离 小于半径的点都在______。 （2）圆的内部可以看作是____________________________________。 3、请你在圆外任取3个点，你发现了什么? 小结：（1）圆外的点到圆心（定点）的距离都______定长______；反之，到圆心的距离 大于半径的点都在______。 （2）圆的外部可以看作是____________________________________。 如果⊙O 的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ，那么 点P 在圆内?_____________； 点P 在圆上?_____________； 点P 在圆外?_____________。 三、尝试与交流 1， 已知⊙O 的面积为25π，判断点P 与⊙O 的位置关系． （1）若PO=5.5，则点P 在 ； （2）若PO=4，则点P 在 ； （3）若PO= ，则点P 在圆上 2画一画 作图说明满足下列要求的图形: 1. 给定一个A 点，请作出到点A 的距离等于2cm 的所有点组成的图形. 2. 再给定一个B 点，使线段AB=3cm ，请作出到点B 的距离等于2cm 的所有点组成的图形. 3. 请作出到点A 和点B 的距离都等于2cm 的所有点组成的图形. 4. 到点A 和点B 的距离都小于2cm 的所有点组成的图形. 5. 到点A 的距离小于等于2cm,且到点B 的距离都大于等于2cm 的所有点组成的图形.

华师大九年级(上)教案 第25章 解直角三角形(全)

25.1 测量 教学目标 1、在探索基础上掌握测量。 2、掌握利用相似三角形的知识 教学重难点 重点：利用相似三角形的知识在直角三角形中，知道两边可以求第三边。 难点：应用勾股定理时斜边的平方等于两直角边的平方和。 教学过程 当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许很想知道，操场旗杆有多高？ 你可能会想到利用相似三角形的知识来解决这个问题． 图25.1.1 如图25．1．1，站在操场上，请你的同学量出你在太阳光下的影子长度、旗杆的影子长度，再根据你的身高，便可以利用相似三角形的知识计算出旗杆的高度． 如果就你一个人，又遇上阴天，那怎么办呢？人们想到了一种可行的方法，还是利用相似三角形的知识． 试一试 如图25．1．2所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC为34°，并已知目高AD为1.5米．现在若按1∶500的比例将△ABC画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度直尺量出纸上B′C′的长度，便可以算出旗杆的实际高度． 你知道计算的方法吗？

图25.1.2 实际上，我们利用图25．1．2（1）中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系．我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系（即勾股定理），那么它的边与角又有什么关系？这就是本章要探究的内容．练习 1．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度． 2．请你与你的同学一起设计切实可行的方案，测量你们学校楼房的高度． 习题25．1 1．如图，为测量某建筑的高度，在离该建筑底部30．0米处，目测其顶，视线与水平线的夹角为40°，目高1．5米．试利用相似三角形的知识，求出该建筑的高度．（精确到0．1米） （第1题） （第3题） 2．在平静的湖面上，有一枝红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被风吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深多少？ 3．如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A处．另一只爬到树顶D后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高度． 小结与作业:

华师大版九年级数学上册课本教材

第25章解直角三角形 (2) §25.1 测量 (3) §25.2 锐角三角函数 (4) 1.锐角三角函数 (4) 2．用计算器求锐角三角函数值 (7) §25.3 解直角三角形 (9) 阅读材料 (13) 小结 (14) 复习题 (15) 课题学习 (18)

第25章 解直角三角形 测量物体的高度是我们在工作和生活中经常遇到的问题． 222c b a =+ a b B = tan

§25.1 测量 当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许很想知道，操场旗杆有多高？ 你可能会想到利用相似三角形的知识来解决这个问题． 图25.1.1 如图25．1．1，站在操场上，请你的同学量出你在太阳光下的影子长度、旗杆的影子长度，再根据你的身高，便可以利用相似三角形的知识计算出旗杆的高度． 如果就你一个人，又遇上阴天，那怎么办呢？人们想到了一种可行的方法，还是利用相似三角形的知识． 试一试 如图25．1．2所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC为34°，并已知目高AD为1.5米．现在若按1∶500的比例将△ABC 画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度直尺量出纸上B′C′的长度，便可以算出旗杆的实际高度． 你知道计算的方法吗？ 图25.1.2 实际上，我们利用图25．1．2（1）中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系．我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系（即勾股定理），那么它的边与角又有什么关系？这就是本章要探究的内容． 练习 1．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度． 2．请你与你的同学一起设计切实可行的方案，测量你们学校楼房的高度．

华师大版九年级数学上册教学计划

华师大版九年级数学上册教学计划 华师大版九年级数学上册教学计划范本 一、学生基本情况（基本知识、基本技能掌握情况，能力发展、学习心理情况） 上学期期末考试的成绩平均分为61.16分，最高分108.5，最低分12分，有23人几格，及格率为41.81%，全乡前10名有2人；11~20名有4人；21~30名有7人；31~40名有2人：41~50有4人；51~60有5人，总体来看，成绩一般，但缺乏中等生和尖子生。与前一期相比较，平均分、最高分、最低分有所提高，全乡前六十名人数个数未变(24人)，11~30名增加6人，但及格率下降八个百分点、全乡前十名减少2人。在学生所学知识的掌握程度上，一部分学生能够理解知识，知识间的内在联系也较为清楚，但个别学生连简单的基础知识还不能有效的掌握，成绩较差。在学习能力上，一些学生课外主动获取知识的能力较差，向深处学习知识的能力没有得到培养，学生的逻辑推理、逻辑思维能力，计算能力需要进一步加强，以提升学生的整体成绩；在学习态度上，半数以上学生上课能全神贯注，积极的投入到学习中去，但有一部分学生缺乏学习数学的信心和毅力，根本就不学习数学，甚至不做数学作业。 二、本学期教学内容和教材特点 本掌期教学内容，共计五章，第二十二章《二次根式》，本章通过平方根的有关性质的回顾建立了二次根式的概念、性质和运算法则，

并在此基础上学习根式的化简、求值。第二十三章《一元二次方程》一章是与实际生活密切相关的内容，教材从与学生熟悉的实际情景出发，引入并展开有关知识，使学生体会到一元二次方程是反映现实世界数量关系和变化规律的一种重要的数学模型，并学会运用一元二次方程解决实际生活中的具体问题。该章的最后，还设置了实践与探索一小节，目的在于通过一两个实例，与学生一起解剖分析，尝试解决实际问题，逐步提高这种能力。第二十四章《图形的相似》的主要内容是相似图形的概念和性质、相似三角形的判定和应用、相似多边形、位似变换。在本章学习之前，已经研究了图形的全等以及图形的一些变换，如平移、轴对称、旋转等，本章将在这些内容的基础上研究相似三角形和相似多边形的性质与判定，并进一步研究一种特殊的变换（位似变换），结合一些图形性质的探索、证明等，进一步发展学生的探究能力，培养学生的逻辑思维能力。第二十五章《解直角三角形》，本章是在图形相似的基础上，充分运用图形变换这一有效的数学工具探索发现直角三角形边角的关系。第二十六章《随机事件的概率》一章是在前几册统计内容的基础上，引入概率的随机事件的频率，统计定义的概率，古典定义及特点的关系。通过学习，应初步具备概率的运算能力。利用概率的基本知识，能够解决一些实际问题。概率论是研究现实世界中随机现象规律性的科学，是近代数学的重要组成部分，它在自然科学以及经济工作中都有着广泛的应用，具备一些概率论的`基本知识对于经济工作人员是十分必要的。由于学生刚刚接触随机事件的概率，对内容觉得新鲜和抽象，学习起来感到难。

浙教版九年级数学上册《圆》教案

《圆》教案 探索与思考： 探索（一）：车轮为什么是圆形的 1)如图，A 、B 表示车轮边缘上的两点，O 表示车轮的轴心，A 、O 之间的距离与B 、O 之间的距离有什么关系？ 2）C 是表示车轮边缘上的任意一点，要是车轮能够平稳滚动，C 、O 之间的距离与A 、O 之间的距离应满足 什么关系？ 3）在车轮的边缘上到点O 的距离与A .O 之间的距离相等的 点还有吗？如果有请在图中描出几个点. 4）圆形车轮为什么平稳? A 自我归纳：从运动的观点看圆的定义1： 等圆的定义： 探索（二）：投圈游戏 1)一些学生正在做投圈游戏,他们呈“一”字型排开,这样的队形对每个人公平吗?如果不公平，画出你认为公平的示意图. 23 52) . 自我归纳：从集合的观点看圆的定义2： 试根据圆的定义填空： 1、圆上各点到 的距离都等 于 . 2、到定点的距离等于定长的点都在 . 一个圆将其所在的平面分成几部分？它们分别是： 1)圆： 圆是到定点的距离等于定长的点的集合.

2）圆的内部: 可以看作是到圆心的距离 半径的点的集合. 3）圆的外部: 可以看作是到圆心的距离 半径的点的集合. 探索（三 ）： 投镖游戏 观察这5个点与圆的位置关系 1) 点A .B .C .D .E 到圆心的距离分别与圆的半径有怎样的大小关系？ 2) 如果点P 与⊙O 都在同一平面内，那么点P 与⊙O 可能有哪几种关系？ 3) 你能根据P 与⊙O 的位置关系，确定P 到⊙心O 的距离d 与圆的半径r 的大小关系吗？反过来，你能根据d 与圆的半径r 的大小关系，确定点P 与⊙O 的位置关系吗？ 4）在平面内点与圆的位置关系有三种： 当点在圆上是 ；反过来，当 时，点在圆上. 当点在圆内是 ；反过来，当 时，点在圆内. 当点在圆外是 ；反过来，当 时，点在圆外. 合作交流，成果展示 A 1、画图：已知Rt △ABC ，AB

华东师大版九年级数学上全册完整教案

华东师大初中九年级数学上册教案 21．1. 二次根式（1） 教学目标：1a ≥0）的意义解答具体题目． 2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键：1a ≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2a ≥0）”解决具体问题． 教学过程：一、回顾 当a 是正数时，a 表示a 的算术平方根，即正数a 的正的平方根． 当a 是零时，a 等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根． 当a 是负数时，a 没有意义． 二、概括：a （a ≥0）表示非负数a 的算术平方根，也就是说，a （a ≥0）是一个非负数，它的平方 等于a ．即有： （1）a ≥0（a ≥0）； （2）2)(a =a （a ≥0）． 形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式． 注意：在二次根式a 中，字母a 必须满足a ≥0，即被开方数必须是非负数． 三、例题讲解 例题： x 是怎样的实数时，二次根式1-x 有意义？ 分析 要使二次根式有意义，必须且只须被开方数是非负数． 解： 被开方数x-1≥0，即x ≥1． 所以，当x ≥1时，二次根式1-x 有意义． 思考：2a 等于什么？ 我们不妨取a 的一些值，如2，-2，3，-3，……分别计算对应的a2的值，看看有什么规律： 概括: 当a ≥0时，a a =2； 当a ＜0时，a a -=2． 这是二次根式的又一重要性质．如果二次根式的被开方数是一个完全平方，运用这个性质，可以将它“开方” 出来，从而达到化简的目的．例如： 22)2(4x x ==2x （x ≥0）； 2224)(x x x ==． 四、练习: x 取什么实数时，下列各式有意义. （1）x 43-； （2）23-x ； （3）2)3(-x ； （4）x x 3443-+- 五、 拓展

华师大九年级下数学教案章圆(20210217203527)

教学目标1.使学生理解圆、等圆、等弧、圆心角等概念， 2.让学生深刻认识圆中的基本概念。 教学重点圆中的基本概念的认识。 教学难点对等弧概念的理解。 教学过程 （一）情境导入：圆是如何形成的？ 请同学们画一个圆，并从画圆的过程中阐述圆是如何形成的。如右图，线段OA 绕着它 固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形。同学们想一想，如何在操场上画出一个很大的圆？说说你的方法。由以上的画圆和解答问题的过程中，让同学们思考圆的位置是由什么决定的？而大小又是由谁决定的？（圆的位置由圆心决定，圆的大小由半径长度决定） （二）问题：据统计，某个学校的同学上学方式是，有50% 的同学步行上学，有20% 的同学坐公共汽车 上学，其他方式上学的同学有30% ，请你用扇形统计图反映这个学校学生的上学方式。如图28.1.2线, 段OA、OB、OC 都是圆的半径，线段AB 为直径，.这个以点O 为圆

心的圆 叫作“圆O”，记为“⊙ O” 线段AB、BC、AC 都是圆O 中的弦，曲线BC、BAC 都是圆中的弧，分别记为BC、BAC， 其中像弧B︵C这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧，像弧BAC.这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧。 ∠AOB、∠AOC、∠BOC 就是圆心角。结合上面的扇形统计图，进一步阐述圆心角、优弧、劣弧等圆中的基本元素。 三、课堂练习 1、直径是弦吗？弦是直径吗？ 2、半圆是弧吗？弧是半圆吗？ 3、半径相等的两个圆是等圆，而两段弧相等需要什么条件呢？ 4、比较右图中的三条弧，先估计它们所在圆的半径的大小关系，再用圆规验证你的结论是否正确。 5、说出上右图中的圆心角、优弧、劣弧。

2017年华东师大版九年级数学上册全册教案(含教学反思)

二次根式 21.1 二次根式 【知识与技能】 1.理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目. 2.理解a（a≥0）是非负数和(a)2=a. a=a（a≥0）并利用它进行计算和化简. 3.理解2 【过程与方法】 1.提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题. 2.通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出(a)2=a（a≥0），最后运用结论严谨解题. 3.通过具体数据的解答，探究并利用这个结论解决具体问题. 【情感态度】 通过具体的数据体会从特殊到一般、分类的数学思想，理解二次根式的概念及二次根式的有关性质. 【教学重点】 1.形如a（a≥0）的式子叫做二次根式. 2. a（a≥0）是一个非负数；(a)2=a（a≥0）及其运用. 3. 【教学难点】 利用“a（a≥0）”解决具体问题. 关键：用分类思想的方法导出a（a≥0）是一个非负数；用探究的方法导出

一、情境导入，初步认识 回顾： 当a是正数时，a表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根. 当a是零时，a等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根. 当a是负数时，a没有意义. 【教学说明】通过对算术平方根的回顾引入二次根式的概念. 二、思考探究，获取新知 概括：a（a≥0）表示非负数a的算术平方根，也就是说，a（a≥0）是一个非负数，它的平方等于a.即有： （1）a≥0；（2）(a)2=a（a≥0）. 形如a（a≥0）的式子叫做二次根式. 注意：在a中，a的取值必须满足a≥0，即二次根式的被开方数必须是非负数. 思考：2a等于什么？ 我们不妨取a的一些值，如2，-2，3，-3等，分别计算对应的2a的值，看看有什么规律. 概括：当a≥0时，2a=a；当a＜0时，2a=-a. 三、运用新知，深化理解 1.x取什么实数时，下列各式有意义？ 2.计算下列各式的值：

(92页精品)华师大九年级数学教案 (全册)教学设计(上)

22．1. 二次根式（1） 教学内容: 二次根式的概念及其运用 教学目标:1、理解二次根式的概念, （a ≥0）的意义解答具体题目． 2、提出问题, 根据问题给出概念, 应用概念解决实际问题． 教学重难点关键:1．重点:（a ≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2．难点与关键:（a ≥0）”解决具体问题． 教学过程:一、回顾 当a 是正数时, a 表示a 的算术平方根, 即正数a 的正的平方根． 当a 是零时, a 等于0, 它表示零的平方根, 也叫做零的算术平方根． 当a 是负数时, a 没有意义． 二、概括: a （a ≥0）表示非负数a 的算术平方根, 也就是说, a （a ≥0）是一个非负数, 它的平方 等于a ．即有: （1） a ≥0（a ≥0）； （2）2 )(a =a （a ≥0）． 形如 a （a ≥0）的式子叫做二次根式． 注意:在二次根式 a 中, 字母a 必须满足a ≥0, 即被开方数必须是非负数． 三、例题讲解 例题: x 是怎样的实数时, 二次根式 1-x 有意义？ 分析 要使二次根式有意义, 必须且只须被开方数是非负数． 解: 被开方数x-1≥0, 即x ≥1． 所以, 当x ≥1时, 二次根式 1-x 有意义． 思考: 2 a 等于什么？ 我们不妨取a 的一些值, 如2, -2, 3, -3, ……分别计算对应的a2的值, 看看有什么规律: 概括: 当a ≥0时, a a =2； 当a ＜0时, a a -=2． 这是二次根式的又一重要性质．如果二次根式的被开方数是一个完全平方, 运用这个性质, 可以将它“开方”出来, 从而达到化简的目的．例如: 2 2)2(4x x ==2x （x ≥0）； 2224)(x x x ==． 四、练习: x 取什么实数时, 下列各式有意义. （1） x 43-； （2） 23-x ； （3）2 ) 3(-x ； （4） x x 3443-+- 五、 拓展

新人教版初中数学九年级上册《第二十四章圆：24.1圆的有关性质》公开课获奖教案_1

24.1.1圆教学设计 学习目标： 1、感受并发现圆的有关特征，理解圆的圆心、半径和直径等概念。 2、进一步积累认识图形的学习经验，培养学生的观察能力、动手操作能力、抽象概括能力和合作交流能力，增强空间观念，发展数学思考。 3、体验圆与生活的联系，从数学的角度感受圆的美，激发学生数学学习的热情和兴趣。 教学过程： （一）情境引入 前段时间我们学习了图形的旋转，图形的旋转创造了生活中的许多美。 思考：圆绕其圆心旋转任何度数都能和自身重合吗？ 圆是一种基本的几何图形，圆形物体在生活中随处可见。 展示图片（生活中的圆） 这一节课我们一起学习“圆”。 （二）学生自学 组织学生自学，并要求学生完成自学提纲里的问题。 自学提纲为：请同学们阅读课本78页至79页练习前的内容，并思考: 1. ①观察画圆的过程，你能概括出圆的定义吗？ ②圆的图形符号怎样来表示？ ③确定一个圆需要哪两个要素？ 2. ①从集合的角度怎样定义圆？ ②车轮为什么做成圆形的？ 3. ①理解圆的相关概念：弦、直径、弧、半圆、等圆、等弧。 ②注意区别优弧和劣弧。 （三）检查自学效果 请学生回答自学提纲中的问题，检测学生是否真正理解这些知识点，再组织学生进行评价并纠错，在学生回答的过程中老师把主要知识点在黑板上予以呈现，部分答案利用多媒体展示。 （四）学以致用（变式练习） 想一想：通过七道题，先让学生独立思考，然后请学生汇报结果，再请学生评价并纠错，最后归纳解题方法。老师适时做以引导，方法上的总结。 1、判断下列说法的正误 (1)弦是直径；( ) (2)半圆是弧； ( ) (3)过圆心的线段是直径； ( ) (4)过圆心的直线是直径；( ) (5)半圆是最长的弧；( ) (6)直径是最长的弦；( ) (7)圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆;( (8)半径相等的两个圆是等圆.( ) 2、圆中最长的弦长为12cm,则该圆的半径为 3、下列说法错误的有（）个 ①经过P点的圆有无数个。 ②以P为圆心的圆有无数个。 ③半径为3cm且经过P点的圆有无数个。

华师版九年级上册数学最全最实用知识点大全

第21章 二次根式 1.二次根式：形如a （a ≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开得尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式叫做同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（a ）2 =a （a ≥0）； （2）==a a 2 5.二次根式的运算： （1）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （2a≥0，b≥0（b≥0，a>0）． 6.实数的大小比较和估计值 （1）大小比较的方法：平方法、倒数法、作差法。 （27.绝对值、二次根式、平方的和为0，那么每个加数分别为0 第22章 一元二次方程 1.一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式是：ax 2 +bx+c=0（a ≠0），其中ax 2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 =a （a ＞0） a -（a ＜0） 0 （a =0）；

12122112 11 (3)___________,(5)_____x x x x x x x x -=+=+=(1)n a x b ± =2222,(),a x mx n p x n a b a ==+=+==±若x 则若，则m 若则=b 提公因式法： 完全平方公式： 平方差公式： 十字相乘法： 2 2 24()24b ac b ax bx c a x a a -++=++22,102m n x x m m n --=--是的两个根，求的值2.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法： （2） 因式分解法： （3） 两边同时加上一次项系数一半的平方）四开方． （4）公式法：一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)当b 2 －4ac ≥0时，x ＝____________. ( 5)换元法:2222 (21)3(21)40,()3()40x x x x x x +-+-=----= 3.配方法：将二次三项式配方： 4.一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式是__________． (1)b 2 －4ac ＞0?一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个__________实数根； (2)b 2 －4ac ＝0?一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个__________实数根； (3)b 2 －4ac ＜0?一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)__________实数根． 5.一元二次方程根与系数的关系 （1）若一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实数根是x 1，x 2，则x 1＋x 2＝ __________，x 1x 2＝__________. 注意：(1)22 2121212()2x x x x x x +=+-?（2）22121212()()4x x x x x x -=+-?； 注意：代入降次法也是常考题型，例： 6.一元二次方程的应用(审、设、列、解、验、答) （1）图形（面积、体积）问题（2）经济问题(3)增长率问题

华师大版九年级上册数学全章课后复习

专项训练（5） 九年级上册全章训练及答案 1.(2010.南京)=?a a 82_____________. 2.(2009.太原)用配方法解方程x 2-2x-5=0时,原方程应该变形为______ _____________________. 3.(2010.无锡)方程x 2-3x+1=0的解是____________________. 4.(2010.兰州)上海世博会的某纪念品原价168元,连续两次降价a ﹪后,售价为128元,则可列方程为__________________________. 5.(2010.河南)如图,在△ABC 中,D 、E 分别是AB 、AC 的中点,则下列结论:①BC=2DE;②△ADE ∽△ABC;③,AC AB AE AD =其中正确的个数为__________个. E D A B C h B A E D C A' B' C'D' E'O 第5题图 第6题 第7题 6.(2011.浙江宁波)如图,某游乐场一山顶滑梯的高为h ,滑梯的坡角为 a ,那么滑梯的长l 为____________. 7.(2008.湖北荆州)如图所示,五边形ABCDE 和五边形A′B′C′D′E′是 位似图形,O 为位似中心,OD=21OD′,则AB B A ' '为__________. 8.(2012.鹤壁)一元二次方程3x 2-kx+k=0有两个相等的实数根,则k 的值为____________.

9.(2010.上海)一元二次方程x 2+6x+a =0有两个不相等的实数根,则a 的取值范围是________________. 10.(2010.焦作)若21,x x 是一元二次方程0572 =+-x x 的两个根,则 2 11 1x x +=___________. 11.(2011.新乡)关于x 的一元二次方程-x 2+(2k+1)x+2-k 2=0有实数根,则k 的取值范围是_________________. 12.(2011.安阳)如图,在正方形ABCD 中,M 是BC 边上的动点,N 在CD 上,且CN=4 1 CD,若AB=1,设BM=x,当x=_______时,以A 、B 、M 为 顶点的三角形和以N 、C 、M 为顶点的三角形相似. C A D B M N C' A'A B C 第12题 第13题 第14题 13.(2012.江苏)如图,在正方形网格中,=∠ABC sin ___________. 14.(2010湖南益阳)如图,将以A 为顶点的等腰直角三角形ABC 沿直线BC 平移到△A′B′C′,使B′与C 重合,连结A′B ,则=∠''tan BC A ___ _____________. 15.(2012.商丘)如图所示,某河堤的横断面是梯形ABCD,BC ∥AD,迎水坡AB 长13米,且,5 12 tan = ∠BAE 在河堤的高BE=_________米. 16.(2012.安阳)如图所示,在□ABCD 中,点E 为CD 的中点,连结BE,

九年级数学上册-圆的有关性质24.1.1圆教案新版新人教版

第二十四章圆 24.1 圆的有关性质 24.1.1 圆 【知识与技能】 1.通过观察实验操作,使学生理解圆的定义. 2.结合图形理解弧、等弧、弦、等圆、半圆、直径等有关概念. 【过程与方法】 通过举出生活中常见圆的例子,经历观察画圆的过程多角度体会和认识圆. 【情感态度】 结合本课教学特点,向学生进行爱国主义教育和美育渗透.激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望. 【教学重点】 圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的理解. 【教学难点】 圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的区别与联系. 一、情境导入,初步认识 圆是生活中常见的图形,许多物体都给我们以圆的形象. 1.观察以上图形,体验圆的和谐与美丽.请大家说说生活中还有哪些圆形？ 2.请同学们在草稿纸上用圆规画圆,体验画圆的过程,想想圆是怎样形成的. 【教学说明】学生很容易找出生活中关于圆的例子,通过画圆,有利于学生从直观形象认识上升到抽象理性认识.

二、思考探究,获取新知 1.圆的描述性定义 问题1如教材79页图所示,通过用绳子和圆规画圆的过程,你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 【教学说明】由于学生通过操作已经得出圆的定义,教师加以规范,有利于加深印象. 如右图：在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆.固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆,记作“⊙O”,读作“圆O”. 注意：圆指的是圆周,不是圆面. 【教学说明】使学生能准确地理解并掌握圆的定义. 2.圆的集合定义 问题2我们以前学过“角平分线上的点到角的两边距离相等.”“到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.”“线段的垂直平分线可以看作是到线段两个端点的距离相等的点的集合.”由此你能类似地给圆从集合的角度进行定义吗？ 【教学说明】学生通过观察、类比、分析等方法给圆下定义,从而进一步体会圆的性质. 问：（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离有什么共同特征？ （2）到定点（圆心O）距离等于定长（半径r）的点有什么共同特征？ 通过上面两个问题我们就能得到圆的集合定义. 【归纳结论】圆心为O,半径为r的圆,可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合. 思考车轮为什么做成圆形的？如果车轮不是圆的（如椭圆或正方形等）,坐车人会是什么感觉？

2019年华师大版九年级数学上册期末试卷

华师大版九年级数学上册期末达标检测卷（一）一、选择题(每题3分，共30分) 1．下列各式中是最简二次根式的是( )放入布袋中搅匀，从中随机摸出2个小球 D．布袋中装有仅有颜色不同的1个红球和2个白球，搅匀后，从中摸出1个球，放回搅匀再摸出第2个球，那么“摸出两个白球”和“摸出一红一白”的概率相同 A.9 B.7 C.20 D.1 3 9．如图，在平面直角坐标系中，已知A(－3，3)，B(－6，0)，以原点O为位似中心，将△OAB 放大为原的2倍，得△到OA′B′，则△OA′B′的重心坐标是() 2．下列计算正确的是() A.2·3＝6 B.30＝310 C.8＋2＝10 D.（－5）＝－5 3．方程2(－3)＋5(3－)＝0的根是() 555 A．＝B．＝3C．＝，＝3D．＝－，＝3 2122122 9 4．广东)若关于的方程＋－a＋＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是( ) 4 A．a≥2B．a≤2C．a＞2D．a＜2 5．(2015·成都)如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，BD＝3，AE＝4，则EC的长为() A．1B．2C．3D．4 A．(－3，1)B．(－6，2)C．(－3，1)或(3，－1)D．(6，－2)或(－6，2) 10．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点B′重合，若AB＝2，BC＝3，则 △FCB′与△B△′DG的面积之比为( ) A．9∶4B．3∶2C．4∶3D．16∶9 二、填空题(每题3分，共30分) 11．使二次根式5－2x有意义的的取值范围是________． 12．若最简二次根式23a－4与21－2a是同类二次根式，则a的值是________． a c 13．若＝－1是关于的一元二次方程a＋b＋c＝0(b≠0)的一个根，则＋的值为________． b b 14．某超市十月份的营业额为36万元，若十二月份的营业额比十月份的营业额增长了44%，则平 均每月增长的百分率是________． 15．现有两个不透明的盒子，其中一个装有标号分别为1，2的两张卡片，另一个装有标号分别为1，2，3的三张卡片，卡片除标号外其他均相同，若从盒子中各随机抽取一张卡片，则两张卡片标号恰 第5题第6题第7题第9题第10题好相同的概率是________． 6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D.如果AD＝8，BD＝4，那么tan A的 值是() 16．如图，∠DAB＝∠CAE，请你再补充一个条件__________________，使得△ABC∽△ADE. 1 A. 2B. 2 2C. 3 3D.2 7．如图，沿AC的方向开山修路，为了加快速度，要在小山的另一边同时施工，在A C上取一点 B，使得∠ABD＝148°.已知BD＝600米，∠D＝58°，点A，C，E在同一条直线上，那么开挖点E离 第16题第17题第18题第19题第20题 点D的距离是() 600 A．600sin58°米B．600tan58°米C.米D．600cos58°米 cos58° 8．下列说法或做法正确的是() A．某地“明天降雨的概率是75%”表示明天有75%的时间会降雨 B．班级里有24名女同学和26名男同学，每个同学都把自己的名字写在一张小纸条上，把小纸条 1 放入一个盒子中搅匀，从中随机抽取一张小纸条，那么抽到男同学名字的概率是 2 C．用重复试验的方法模拟“石头、剪刀、布”游戏时，选用仅有颜色不同的红、黄、蓝3个小球， BE2BF 17．如图，平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果＝，那么＝ BC3FD ________． 18．如图，在一块长为22m，宽为17m 的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300m.若设道路宽为m，根据题意可列出方程为______________________________． 19．如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，若EF＝2，BC＝5，CD＝3，则sin C的值为________． 2 2 2 2