罗默《高级宏观经济学》(第3版)课后习题详解(第2章 无限期界与世代交叠模型)
罗默《高级宏观经济学》（第3版）第2章 无限期界与世代交叠模型
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2.1 考虑N 个厂商，每个厂商具有规模报酬不变的生产函数()Y F K AL =，，或者（利用密集形式）()Y ALf k =。设()·0f '>，()()*
**
1c s f k =-。设所有厂商以工资wA 雇用工人，以成本r 租借资本，并且拥有相同的A 值。
（a ）考虑一位厂商试图以最小成本生产Y 单位产出的问题。证明k 的成本最小化水平
()
()()**1001t t t f c c k cs f k n g k L n L αδ*+??"==-=++=+ ???
＜唯一地被确定并独立于Y ，所有厂商因此选择相同的k 值。 （b ）证明N 个成本最小化厂商的总产出等于具有相同生产函数的一个单个厂商利用N 个厂商所拥有的全部劳动与资本所生产的产出。
证明：（a ）题目的要求是厂商选择资本K 和有效劳动AL 以最小化成本rK wAL +，同时厂商受到生产函数()Y ALf k =的约束。这是一个典型的最优化问题。
()
.mi . n s t w Y ALf k AL rK = +
本题使用拉格朗日方法求解，构造拉格朗日函数： 求一阶条件：
用第一个结果除以第二个结果：
上式潜在地决定了最佳资本k 的选择。很明显，k 的选择独立于Y 。 上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。
（b ）因为每个厂商拥有同样的k 和A ，下面是N 个成本最小化厂商的总产量关系式：
单一厂商拥有同样的A 并且选择相同数量的k ，k 的决定独立于Y 的选择。因此，如果单一厂商拥有L 的劳动人数，则它也会生产()Y AL f k =的产量。这恰好是N 个厂商成本最小化的总产量。
2.2 相对风险厌恶不变的效用条件下的替代弹性。考虑一个寿命为两个时期且效用由教材中方程（2.43）给定的个人。
（2.43）
设1P 与2P 表示两个时期的消费价格，W 表示个人终生收入值，因此预算约束为1122PC P C W +=。
（a ）给定1P 、2P 与W ，效用最大化个人的1C 与2C 的选择是什么？
（b ）两个时期的消费的替代弹性是()()()()12121212//////P P C C C C P P -??????????，或者()()2211ln //ln /C C P P -??。证明在效用函数为教材中方程（2.43）的条件下，1C 与2C 之间
的替代弹性是
1
θ
。 答：（a ）这是一个效用最大化的优化问题。
（1）
1122..s t PC P C W += （2）
求解约束条件：
2112//C W P C P P =- （3）
将方程（3）代入（1）中，可得：
（4） 这样便将一个受约束的最优化问题转变为一个无约束问题。在方程（4）两边对1C 求一阶条件可得：
再简化为：
()
()
1/1/12121/C P P C θ
θ
ρ=+ （5）
将方程（5）代入（3），则有：
()
()
()()
()
1/1/1/1/22212122212/1//11//C W P P P C P P C P P W P β
β
β
ββ
ρρ-??=-+++=??
再简化为：
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（6）
将方程（6）代入（5）中，则有：
（7）
（b ）由方程（5）可知第一时期和第二时期的消费之比为：
()
()
1/1/1221/C 1/C P P β
β
ρ=+ （8）
对方程（8）两边取对数可得：
()()()()()1221ln /C 1/ln 11/ln /C P P θρθ=++ （9）
则消费的跨期替代弹性为：
因此，θ越大，表明消费者越愿意进行跨期替代。
2.3 （a ）设人们预先知道，在某个0t 时刻，政府将把每个家庭所持有的财富没收一半。在该时刻消费发生非连续的变化吗？如果是，为什么（联结0t 时刻前的消费与0t 时刻后的消费的条件是什么）？如果不是，为什么？
（b ）设人们预先知道，在0t 时刻，政府将在该时刻把每个家庭相当于其平均所持有的一半的财富没收。在0t 时刻，消费发生非连续的变化吗?如果是，为什么（联结0t 时刻前的消费与0t 时刻后的消费的条件是什么）？如果不是，为什么？
答：（a ）考虑两个时期的消费，比如在一个极短的时期t ?内，从()0t ε-到()0t ε+。 考虑家庭在()0t ε-时期减少每单位有效劳动的消费为c ?。然后他在()0t ε+投资并消费这一部分财富。如果家庭在最优化他一生的财富，则他的这一财富变化对一生的效用没有影响。
这一变化有一效用成本()u c c '?前，在()0t ε+会有一收益()
r t n g t
e c --??????，财富的回报率为
()r t ，不过，此刻有一半的财富会被没收。此时的效用收益为[]()()
1/2r t n g t
u c e c --?????'?后。
总之，对于效用最大化的消费路径来说，必须满足下列条件：
在0c ?≠时，有下式：
因此，当政府对财富没收一半后，消费会不连续的变化，消费会下降。征收前，消费者会减少储蓄以避免被没收，之后会降低消费。
（b ）从家庭的角度讲，他的消费行为将不会发生不连续的变化。家庭事先会预测到自己一半的财富会被政府没收，为了最优化他一生的效用，家庭不会使自己的消费发生不连续的变化，他还是希望平滑自己的消费的。
2.4 设教材中方程（2.1）瞬时效用函数()u C 为ln C 。考虑一个在方程（2.6）约束下旨在最大化方程（2.1）的家庭的问题。给出在每一时刻由初始财富与劳动收入现值之和、()r t 的路径与效用函数参数表示的C 的表达式。
注意：
（2.1）
（2.1）中，()C t 是在￡时刻家庭每个成员的消费。()u 是瞬时效用函数——它给出了既定时刻家庭每个成员的效用。()L t 是经济的总人口，()/L t H 因此是每个家庭的成员人数。故()()()u C t L t H ／是t 时刻家庭的总瞬时效用。最后，ρ是贴现率。ρ越大，则相对于现期消费，家庭对未来消费的估价越小。
由于每个家庭有()/L t H 个成员，在t 时刻其劳动总收入为()()W t L t H ／，并且其消费支出为()()C t L t H ／。在0时刻，家庭的初始财富是经济总初始财富的1/H ，或等于()0/K H 。因此，家庭预算为：
（2.6）
答：本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用。
（1）
（2）
令
建立拉格朗日方程：
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求一阶条件：
抵消()/L t H 项得：
()()
1
R t t e C t e
ρλ---= （3）
可以推出：
()()1R t t C t e e ρλ--= （4）
将其代入预算约束方程：
（5）
将()()0nt L t e L =代入上式：
（6）
只要0n ρ->，则积分项收敛，为()1/n ρ-，则：
（7）
将方程（7）代入（4）：
（8）
因此，初始消费为：
（9）
个人的初始财富为()/0W L H ????／，方程（9）说明消费是初始财富的一个不变的比例。()n ρ-为个人的财富边际消费倾向。
可以看出，这个财富边际消费倾向在均衡增长路径上是独立于利率的。对于折现率ρ而言，ρ越大，家庭越厌恶风险，越会选择多消费。
2.5 考虑一个其效用由教材中方
程和方程
给定的家庭。设真实利率不
变，并且W 表示家庭的初始财富与其终生劳动收入现值之和教材中方程
的右边，给定r 、W 与效
用函数的参数，求出C 的效用最大化路径。
答：本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用，即：
（1）
（2）
W 代表家庭的初始财富加上家庭一生劳动收入的现值，利率r 是常数。 建立拉格朗日方程如下：
求一阶条件，可得：
抵消()/L t H ，得：
()
t t e C t e ρθ
γλ---= （3）
两边对时间t 求导，可得：
得到下面的方程：
（4）
将方程（3）代入（4），可得：
抵消t e γλ-然后求消费的增长率()()/C t C t ，可得：
（5）
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由于利率r 是常数，所以消费的增长率为常数。如果r ρ>，则市场利率超过贴现率，则消费会增加；反之，如果r ρ<，则市场利率小于贴现率，则消费会减少。如果r ρ>，则θ决定了消费增长的幅度。θ值越低，也就是替代弹性越高，1/θ越高，即消费增长的越快。
重写方程（5），得：
（6）
对方程（6）积分，积分区间是从时间0τ=到时间t τ=，可得：
上式可以简化为：
[][]()/0/lnC t C r t ρθ=- （7）
对方程（7）两边取指数，可得：()()[]//0r t C t C e ρθ-=（），整理得：
()()[
]/ 0r t
C t C e ρθ-=（） （8）
下面求解初始消费，将方程（8）代入（2），可得：
将()()0nt L t L e =代入上式，可得：
（9）
只要[]/0r r n ρθθ-+->（），从而保证积分收敛，则求解方程（9）可得：
（10）
将方程（10）代入（9）中，求解()0C ：
（11）
将方程（11）代入（8），求解()C t ：
（12）
上式便是C 的效用最大化路径。
2.6 生产力下降与储蓄。考虑一个正处在其均衡增长路径上的拉姆齐—卡斯—库普曼经济，并且设g 永久性地下降。
（a ）如果这个变动影响0k =曲线，它将怎样影响？ （b ）如果这个变动影响0c =曲线，它将怎样影响？
（c ）在变动时刻，c 会发生什么事情？
（d ）找出g 的边际变化对正处在均衡增长路径上的产出的储蓄份额产生影响的表达式。人们可否说明这种表达式为正还是为负？
（e ）对于生产函数是柯布—道格拉斯的情形，即()k k α=，请重新写出用ρ、n 、g 、θ与α表示的（d ）的答案。
（提示：利用事实()*f k g ρθ'=+。） 答：（a ）关于资本的欧拉方程为：
()()()()()()k t f k t c t n g k t =--+ （1）
该方程描述了资本的动态方程，在拉姆齐模型中，该方程描述了技术特征，是该模型的
核心，它与消费的动态方程一起构成了该模型的欧拉方程组，从而决定了该模型的最终解。
图2-1 拉姆齐模型
在均衡增长路径上，k =0，由此可以推出：()()c f k n g k =-+。在该方程中，当g 永久性地下降时，会导致消费c 上升以保持方程的均衡。因而在图形上0k =曲线向上移动。同时，保持k 不变，g 永久性地下降会导致持平投资下降，这样就会有更多的资源用于消费。由于持平投资()n g +下降的幅度更大，因而在更高的k 水平上，0k =向上移动得更大。图2-1是该模型的图示。
（b ）每单位有效劳动消费的欧拉方程为：
（2）
该方程描述了消费的动态方程，在拉姆齐模型中，该方程描述了偏好特征，是该模型的核心，它与资本的动态方程一起构成了该模型的欧拉方程组，从而决定了该模型的最终解。
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在均衡增长路径上，要求0c =，即()f k g ρθ'=+，在g 永久性地下降时，为保持0c =，()f k '必须下降。由于()0f k "＜，因而()f k '下降必然导致k 上升。因此，0c =必须上升，
在图形上表现为0c =向右移动，如图2-1所示。
（c ）在g 永久性地下降时，由于每单位有效劳动的资本是由历史上的投资决定的，因而不会发生不连续的变化。它仍然保持在均衡增长路径k *处。 与此相反，每单位有效劳动的消费则会随着g 永久性地下降而迅速变化。为使经济从旧的均衡增长路径达到新的均衡增长路径，每单位有效劳动的消费c 必将发生变化。 不过，此处无法确定新的均衡增长路径处于旧的均衡点的上边还是下边，因而无法确定每单位有效劳动的消费c 是上升还是下降。存在一种特殊情况，即如果新的均衡增长路径恰好位于旧的均衡点的右上方，则每单位有效劳动的消费c 甚至可能保持不变。因此，c 和k 逐步移动到新的均衡增长路径，此时的值高于原先的均衡增长路径值。
（d ）在均衡增长路径上，产出中被储蓄的部分为：
()()***/f k c f k ??-??
因为k 保持不变，即0k =，位于一条均衡的增长路径上，则由方程（1）可知：
()()***f k c n g k -=+
由上面两个式子可以推出在均衡增长路径上，产出中被储蓄的份额为：
()()**
/s n g k f k ??=+?? （3）
对方程（3）两边关于g 求导数，可得：
可以再简化为：
（4）
由于k *由()*f k g ρθ'=+决定，对该式两边关于g 求导数，可得：()()**/f k k g θ"=，从而求出/k g *为：
()**//0k g f k θ="< （5）
将方程（5）代入（4）中，可得：
（6）
在方程（6）中，分母()f k *和()2f k *''为负，分子中第一项为正，而第二项为负，因而
无法确定正与负。因此，无法判断在均衡增长路径上g 永久性地下降会使s 上升还是下降。
（e ）将柯布—道格拉斯生产函数()f k k α=，()1f k k αα-'=和()()21f k k ααα-"=-代入方程（6）中，可得：
简化为：
从上式可以推出：
最终有下面的结果：
2.7 描述如下的每种变化怎样影响图2-2中的0c =与0k =曲线，以及它们如何影响c 与k 的均衡增长路径的值。 （a ）θ的上升。
（b ）生产函数的向下移动。
（c ）折旧率由教材中假设的0值上升为某一正水平的变动。
图2-2 鞍点路径
答：（a ）关于c 与k 的欧拉方程为：
（1）
（2）
θ的上升即消费的跨期替代弹性1/θ下降，表明家庭不太愿意接受消费的跨期替代，同时表明随着消费的上升，消费的边际产品下降得很快。这种情况使家庭更偏好于即期消费。
由于θ没有出现在资本积累方程（2）中，因而资本积累方程不受θ的上升的影响。在
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消费的动态方程中，在均衡增长路径上0c =，从而()f k g ρθ'=+，由于θ的上升，因而()f k '必须上升，又因为()0f k "<，所以为使0c =，k 必须下降。此时0c =向左移动，消费移动到新的鞍点路径A 点上，此刻家庭消费得更多了，经济最终移动到新的稳定点E '，此时c *和k *低于原先的值。如图2-3所示。
图2-3 θ的上升的影响
（b ）由于生产函数的向下移动，因而()f k 和()f k '都变小了，如图2-4所示。
图2-4 生产函数向下移动
根据资本的欧拉方程：()()()()()()k t =f k t -c t -n+g k t ，在均衡增长路径上0k =，因而有()()c f k n g k =-+。由于()f k 变小，因此0k =这条曲线会向下移动，如图2-5所示。
图2-5 生产函数向下移动的影响
根据消费的欧拉方程：，在均衡增长路径上0c =，
从而()f k g ρθ'=+，由于()f k '变小，为保持0c =，必须使k 下降，从而使()f k '保持不变。因此0c =向左移动，如图2-5所示。经济最终将收敛到新的均衡点E '点，此刻c *和k *会变小。
（c ）由于折旧率δ由0变为正数，因而资本的欧拉方程变为：
()()()()()()k t =f k t c t n+g +k t δ-- （3）
由于折旧率δ由0变为正数，因此持平投资变大，持平投资线向左上移动，如图2-6所示。
图2-6 持平投资线向左移动
这便要求增加储蓄或者投资，从而降低消费。由于持平投资变大，因此0k =会向下移动，如图2-7所示。
图2-7 折旧率由0变为正数的影响
资本的回报也下降为：()()f k t δ'-，从而消费的欧拉方程变为：
（4）
在均衡增长路径上，0c =要求()f k g δρθ'=++。
与折旧率δ由0变为正数之前相比较，
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()f k '必须变大，
从而k 必须变小。由于k 必须变小，这便要求0c =曲线向左移动，如图2-7所示。经济最终将收敛到新的均衡点E '点，此刻c *和k *会变小。
2.8 推出类似于教材中方程（2.39）的正折旧率的情形。 答：教材中方程（2.39）中折旧率为0的情形为：
当考虑到折旧率0δ>的情况时，消费和资本的欧拉方程变为：
（1）
()()()()()()k t =f k t -c t -n+g +k t δ （2）
对方程（1）和（2）分别在c c *=和k k *=处进行一阶泰勒展开，可得：
（3）
（4）
定义c c c *=-*
和k k k *=-，因为c *和k *为常数，所以c c
=且k k k *=
-，将（3）和（4）重写为：
（5）
（6）
对方程（1）和（2）计算偏导数：
将方程（7）和（8）代入（5），将方程（9）和（10）代入（6），可得：
方程（12）的第二步用到了()*f k g δρθ'=++，第三步用到了定义()1n g βρθ=---。 对方程（11）除以c 以求c 的增长率，对方程（12）除以k 以求k 的增长率：
可以发现该结果与教材中不存在折旧率的增长率一样，也就是说折旧率的存在对增长率没有影响。因此，经济在向均衡增长路径移动时的c 和k 的不变增长率μ与教材中的结果应该一致。
令c
c
μ=方程（13）可以推出：
（15）
由方程（15），令（13）和（14）相等，可得：，求解可得：
如果μ为正，则经济会偏离稳定点，所以μ必为负：
现在考虑柯布—道格拉斯生产函数()f k k *=，分别求其一阶导和二阶导：
()**1*f k k r ααδ-'==+ （16） ()()**21f k k ααα-"=- （17）
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将方程（16）两边同时平方：()2
*2*22r k αδα-+=，将其代入（17）式：
定义均衡增长路径上的储蓄率为s *，则均衡增长路径上的消费为：
()()*
**1c s f k =- （18）
将方程（17）和（18）代入（15）：
化简为：
（19）
在均衡增长路径上，0c =意味着r g ρθ*=+，即：
*r g δρθδ+=++ （20）
另外，实际投资等于持平投资：()()***s f k n g k δ=++，可以推出：
（21）
上步用到了**1r k αδα-+=，由（21）可以推出：
（22）
将方程（20）和（22）代入到（19）中，可得：
上式与教材中的（2.39）极其相似，它表明了消费与资本的调整速度（将1/3α=，
4%ρ=，2%n =，1%g =，1θ=，3%δ=代入上式，得到18.8%μ=-μ1=-8.8%）要快于不存在折旧时的调整速度。
2.9 拉姆齐—卡斯—库普曼模型中的资本税。考察一个正处在均衡增长路径上的拉姆齐—卡斯—库普曼经济。设在某时刻——称之为0时刻，政府转向以税率τ对投资收入征税。因此，家庭所面对的真实利率现在由()()()()1r t f k t τ=-'给出。设政府将由这种税收征集的
收入又通过总量性转移支出返还给家庭。最后，设税收政策的这种变化是非预期性的。
（a ）税收怎样地影响0c =的轨迹与0k =的轨迹？
（b ）在0时刻，经济怎样对税收的征收作出反应？0时刻后的动态学是什么？
（c ）与处在旧均衡增长路径上的c 与k 的值相比较，处在新的均衡增长路径上的c 与k 的值将怎样？
（d ）（这个例题以巴罗、曼昆与萨拉—伊—马丁1995的分析为基础。）设存在许多像如下情形的经济：工人们的偏好在每个国家相同，但投资收入税率在各国间十分不同。设每个国家处在其均衡增长路径上。
（1）证明均衡增长路径上的储蓄率()***/y c y -关于τ是递减的。
（2）在低τ、高k *与高储蓄的国家中公民有动力投资于低储蓄的国家吗？为什么愿意或不愿意？
（e ）（c ）部分的答案意味着一项补贴性的投资政策吗？（即使0τ<）并且通过总量税来为这种补贴筹资，这会增加福利吗？什么会或为什么不会？
（f ）如果政府并不退还税收，而是利用此税收进行政府购买，（a ）与（b ）部分的答案如果发生变化，它将如何变化？
答：（a ）由于资本的税后报酬变为：()()()()1r t f k t τ=-'，家庭将改变每单位有效劳动的消费增长率来实现一生效用的最大化，即：
（1）
在均衡增长路径上，0c =要求()()1f k g τρθ-'=+，即税后报酬率为g ρθ+。为保持0c =，()()f k t '必须上升，又因为()0f k ''<，所以资本存量必须下降。因此，0c =这条曲
线将会左移，如图2-8所示。
图2-8 对投资增税的影响 家庭的每单位有效劳动的资本的欧拉方程仍为：
()()()()()()k t =f k t c t n+g k t -- （2）
由于政府将由这种税收征集的收入又通过总量性转移支出返还给家庭，所以家庭投资决策不受影响，因而0k =的轨迹不变。
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（b ）在0时刻，由于资本的存量由历史上的投资决策所决定，因而资本不会发生非连续的变化。资本仍然保持在原来的均衡增长路径上的k *处。
在0时刻，与每单位有效劳动的资本相反，每单位有效劳动的消费会由于征税而立刻发生变化。由于税收政策的这种变化是非预期性的并且是毫无准备的，因此消费的变化是非连续的。
由于政府的这种税收征集，储蓄和资本积累的回报会比以前低，家庭会转而减少储蓄，增加消费，在图2-8上表现为c 向上移动到A 点，然后沿着新的均衡路径移动。经济沿着新的鞍点均衡路径缓慢移动，最终移动到新的均衡点NEW E 。
（c ）由图2-8可知，由于税收扭曲了经济刺激，因此税后处在新的均衡增长路径上的c 与k 的值将变小。
（d ）（1）由上述的分析可以看出，税率τ越高，在均衡增长路径上的k *越小，而且0c =曲线向左移动得越多，因而有/0
k τ*<。
在均衡增长路径上，储蓄率可以表示为：()()*
**/f k c f k -，同时，0k =时，由
()()()()()()k t =f k t c t n+g k t --可以推出()
()***f k c n g k -=+，由此可以将储蓄率表示为：
()()**
/s n g k f k ????
=+ （3） 对方程（3）两边求关于税率τ的导数：
可以简化为：
由于资本的收入份额为()()()****/K k f k f k k α'=，以及
/0k τ*<，可以改写上式为：
（4）
以上便证明了均衡增长路径上的储蓄率()/y c y ***-关于τ是递减的。
（2）在低税率、高资本存量和高储蓄的国家的公民没有动力去投资于低储蓄的国家。由（a ）可知，在均衡增长路径上0c =，可以推出()()1f k g τρθ-'=+，即税后的资本回报为g ρθ+，假定在国家之间偏好与技术特征是相同的。因而在低储蓄国家资本的税后回报与高储蓄国家的资本的税后回报相同。因此，在低税率、高资本存量和高储蓄的国家的公民没
有动力去投资于低储蓄的国家。
（e ）补贴投资不会增加福利。
原先的市场结果便已经是中央计划者能够达到的社会效用最大化水平了，它给予了家庭最高可能的终生效用水平。
从初始的E 点开始，投资补贴能够使消费短期内下降到A 点，但最终经济会沿着新的均衡增长路径达到更大的消费水平NEW E 点。可以发现短期的效用损失会超过长期的效用收益（都用现值形式表示），如图2-9所示。
图2-9 对投资补贴不会增加福利
（f ）假定政府未将税收所得返给家庭，而是用于政府购买。令()G t 为每单位有效劳动的政府购买，则每单位有效劳动的资本存量变化的欧拉方程仍为：
()()()()()()()K t =f k t c t G t n+g k t --- （5）
政府购买被视为是政府的消费而不是投资，这将不会增加资本存量。由（5）可得，0k =曲线将向下移动。如图2-10所示。
由（a ）可知，由于政府征税，0c =曲线向左移动，*k 移动到NEW k *
，在新的均衡增长路
径上，每单位有效劳动的消费会低于存在政府的总量税返还的情况。如图2-10所示。
图2-10 税收全部用于政府购买对经济的影响
2.10 利用相图分析预期变化的影响。考虑习题2.9中所描述的政策，但假设政府不是在0时刻宣布并施行征税，相反它在0时刻宣布它将在晚些时候，即1t 时刻开始以税率τ对投资收入征税。
（a ）画出显示在1t 时刻后c 与k 动态学的相图。
（b ）在1t 时刻c 会非连续地变化吗？为什么会或为什么不会？ （c ）画出显示在1t 之前c 与k 的动态学的相图。
（d ）依据（a ）、（b ）与（c ）的回答，c 必须在0时刻取什么值？
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985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
（e ）用把c 与k 的路径表示为时间函数的方式总结结论。 答：（a ）-（c ）在1t 时刻征税之前，c 与k 的欧拉方程仍为：
（1）
()()()()()()k t f k t c t n g k t =--+ （2）
对于方程（1），在均衡增长路径上，0c =可以推出()f k g ρθ'=+。由于政府返还总量税，资本积累方程不受影响。
在1t 时刻征税之后，c 的欧拉方程为：
（3）
在均衡增长路径上，0c =可以推出()()1f k g τρθ-'=+，即税后的回报为g ρθ+。因此，税前的资本回报()()f k t '高于税后的资本回报。为保持0c =，()()f k t '必须上升，从而k 必须下降。因此，在1t 时刻，0c =曲线必须向左移动。如图2-11所示。
图2-11 1t 时刻征税使得0c =向左移动
不过值得注意的是，资本的动态在实际征税之前仍由原先的欧拉方程决定。在1t 时刻征税之后，消费c 不可能发生不连续的变化，原因在于家庭已经在事先知道了将要征税的消息，家庭希望平滑消费。
（d ）在1t 时刻征税之后，消费不可能发生不连续的变化，同时经济会达到新的均衡增长路径。在0时刻宣布并施行征税后，c 会立即由原先的均衡点E 移动到均衡增长路径上的A 点，如图2-12所示。
图2-12 征税对0c =曲线的影响
在A 点，由于消费c 太高，从而不足以将资本维持在原先的资本水平k *上，因此k 开始下降。从0时刻到1t 时刻，动态系统仍由原先的0c =的欧拉方程决定。消费在鞍点路径之左，因此消费开始上升。
在1t 时刻经济恰好移动到新的鞍点路径，此时税收开始执行，并且动态系统仍由新的0c =的欧拉方程决定。因此，c 开始下降，经济最终移动到新的鞍点NEW E 。
（e ）每单位有效劳动的消费与每单位有效劳动的资本如图2-13所示。
图2-13 每单位有效劳动的消费、有效劳动的资本图示
2.11 利用相图分析预期与非预期的暂时性变化的影响。分析习题2.10的如下两个变量。
（a ）在0时刻，政府宣布它将从0时刻开始以税率τ对投资收入征税，直至后来的1t 时刻结束，此后投资收入将再次不征税。
（b ）在0时刻，政府宣布由1t 时刻至稍后的2t 时刻，它将以税率τ对投资收入征税，在1t 之前与2t 之后，投资收入将不再征税。
答：（a ）第一问是分析预期到的税收将在1t 时刻结束，因而消费在1t 时刻将不会发生非连续的变化。原因在于家庭的跨期消费最优化要求家庭平滑消费。因此，在经济返回到旧的鞍点路径时，消费必须在1t 时刻位于旧的鞍点路径上。
在征税之前，即到0时刻，和在结束征税之后，即1t 时刻之后，经济动态变化由下面两个欧拉方程决定：
子空间的和与直和
5.5 子空间的和与直和 授课题目： 子空间的和与直和. 教学目标： 1．理解并掌握子空间的概念. 2．掌握子空间的判别方法，熟悉几种常见的子空间. 3．掌握子空间的交与和的概念. 授课时数：3学时 教学重点：子空间的判别. 教学难点：子空间的交与和． 教学过程： 一 子空间的的和 回忆: 令W 是数域F 上向量空间V 的一个非空子集.如果W 对于V 的加法以及标量与向量的乘法来说是封闭的，那么就称W 是V 的一个子空间. 一个向量空间V 本身和零空间叫做V 的平凡子空间。V 的非平凡子空间叫做V 的真子空间。 1. 定义：设12,W W V ?，则称V 的子集{}121122/,W W αααα+∈∈ 为1212w w W W +与的和，记为 即12W W +={}121122/,W W αααα+∈∈ 定理5.5.1：若12,W W 均为V 的两个子空间，则12W W +仍然是子空间. 证明：12,W W θθθθθ∈∈∴=+∈ 12W W +故12W W +≠φ 对121212,,,,a b F W W αβαααβββ?∈?+=+=+有， 111222,,,W W αβαβ∈∈ 12W W +均为v 子空间. ∴ 111222,a b W a b W αβαβ+∈+∈ 于是 ()()()()1212112212a b a b a b a b W W αβααββαβαβ+=+++=+++∈+ ∴ 12W W +是V 的子空间。 推广：12,,,n W W W V n 为的个子空间，则 {}12121122/,,,n n n n W W W W W W αααααα+++=+++∈∈∈ 仍然是V 的子空间. 补充：若1W =L ()r ααα,,,21 ，()212,,,t W L βββ= 则12W W +=L ()t r βββααα,,,,,,,2121
高考英语阅读理解解题技巧及经典题型
（一）阅读是获得更综合、更复杂、更精确信息的必要手段，考生在做阅读理解时，不仅要看懂文章的字面意思，还需要针对不同题材和体裁的篇目运用不同的方法作出正确的选择。一般来说，词汇、阅读速度和理解能力是阅读理解中三个最重要且有相互联系的因素。 阅读的方法可以使用以下几种： 1.跳读：就是快速的一步阅读法。实际上是有选择阅读，找关键词。用这种阅读方法回答who、what、when、where之类的问题最为有效。 2.略读：指比跳读慢些的二步阅读法。即泛泛地、粗略地快速阅读，目的是了解大意，对文章有个总的概念。此种阅读方法能回答why、how之类的问题。 3.精读：即最细致、最慢的深层阅读方法，目的是求得对所读文章的全部意义的理解与掌握。 在使用阅读技巧时尽量做到以下几点： 1.带着问题阅读短文。 2.找出主题句、确定中心思想。 3.推断单词、句子和文章的含义。 4.尽快选择答案。 （二）不同体裁文章的特点及解题技巧 1.记叙文 记叙文又可分传记类和故事类。传记类文章在阅读中时间是全文的关键，根据时间我们可以找到相关的事件，抓住文章的主要内容。故事类文章情节性较强，阅读时要注意故事中的时间、地点、人物和发生的事件，这些都是文章中的主要内容和信息，对于准确理解文章十分重要。 2.说明文 说明文是对事物的形状、性质、特征、成果或功用等进行介绍，解释或阐述的文章。把握所说明事物的特征和本质是理解说明文的关键。说明事物特征的方法很多，主要有定义法、解释法、比较法、比喻法、数字法、图表法、引用法和举例法等。 ●数字说明文 在阅读数字说明文时要特别注意文中数字的含义，从这些数字中可以找到文章的主要内容。 ●解释说明文
高中数学-等比数列练习题(含答案)
等比数列练习（含答案） 一、选择题 1.(广东卷文)已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =22 5a ，2a =1，则1a = A. 2 1 B. 22 C. 2 D.2 【答案】B 【解析】设公比为q ,由已知得( )2 2 8 41112a q a q a q ?=,即2 2q =,又因为等比数列}{n a 的公比为 正数，所以q = 故212a a q = == ,选B 2、如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么（ ） A 、3,9b ac == B 、3,9b ac =-= C 、3,9b ac ==- D 、3,9b ac =-=- 3、若数列}{ n a 的通项公式是=+++-=1021),23()1(a a a n a n n Λ则 （A ）15 （B ）12 （C ）-12 D ）-15 答案：A 4.设{n a }为等差数列，公差d = -2，n S 为其前n 项和.若1011S S =，则1a =（ ） A.18 B.20 C.22 D.24 答案：B 解析： 20 ,100,1111111110=∴+==∴=a d a a a S S Θ 5.（四川）已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是() A.(],1-∞- B.()(),01,-∞+∞U C.[)3,+∞ D.(][),13,-∞-+∞U 答案 D 6.（福建)设｛a n ｝是公比为正数的等比数列，若n 1=7,a 5=16,则数列｛a n ｝前7项的和为( ) A.63 B.64 C.127 D.128 答案 C 7.（重庆）在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 答案 A 8．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 答案：B 9．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1，a n +1 =3S n （n ≥1），则a 6= （A ）3 × 44 （B ）3 × 44+1 （C ）44 （D ）44+1 答案：A 解析：由a n +1 =3S n ，得a n =3S n －1（n ≥ 2），相减得a n +1－a n =3(S n －S n －1)= 3a n ，则a n +1=4a n （n ≥ 2），a 1=1，a 2=3，则a 6= a 2·44=3×44，选A ． 10.(湖南) 在等比数列{}n a （n ∈N*）中，若11a =，41 8 a =，则该数列的前10项和为（ ） A ．4122- B ．2122- C ．10122- D ．111 22 - 答案 B 11.（湖北）若互不相等的实数 成等差数列， 成等比数列，且 310a b c ++=，则a = A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4 答案 D 解析 由互不相等的实数,,a b c 成等差数列可设a ＝b －d ，c ＝b ＋d ，由310a b c ++=可得b ＝2，所以a ＝2－d ，c ＝2＋d ，又,,c a b 成等比数列可得d ＝6，所以a ＝－4，选D 12.（浙江）已知{}n a 是等比数列，4 1 252= =a a ，，则13221++++n n a a a a a a Λ=（ ） A.16（n --41） B.6（n --21） ,,a b c ,,c a b
罗默《高级宏观经济学》(第3版)课后习题详解(第2章 无限期界与世代交叠模型)
罗默《高级宏观经济学》（第3版）第2章 无限期界与世代交叠模型 跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里 查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。 以下内容为跨考网独家整理，如您还需更多考研资料，可选择经济学一对一在线咨询进行咨询。 2.1 考虑N 个厂商，每个厂商具有规模报酬不变的生产函数()Y F K AL =，，或者（利用密集形式）()Y ALf k =。设()·0f '>，()()* ** 1c s f k =-。设所有厂商以工资wA 雇用工人，以成本r 租借资本，并且拥有相同的A 值。 （a ）考虑一位厂商试图以最小成本生产Y 单位产出的问题。证明k 的成本最小化水平 () ()()**1001t t t f c c k cs f k n g k L n L αδ*+??"==-=++=+ ??? ＜唯一地被确定并独立于Y ，所有厂商因此选择相同的k 值。 （b ）证明N 个成本最小化厂商的总产出等于具有相同生产函数的一个单个厂商利用N 个厂商所拥有的全部劳动与资本所生产的产出。 证明：（a ）题目的要求是厂商选择资本K 和有效劳动AL 以最小化成本rK wAL +，同时厂商受到生产函数()Y ALf k =的约束。这是一个典型的最优化问题。 () .mi . n s t w Y ALf k AL rK = + 本题使用拉格朗日方法求解，构造拉格朗日函数： 求一阶条件： 用第一个结果除以第二个结果： 上式潜在地决定了最佳资本k 的选择。很明显，k 的选择独立于Y 。 上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。 （b ）因为每个厂商拥有同样的k 和A ，下面是N 个成本最小化厂商的总产量关系式：
子空间的运算
§5 子空间的运算 教学目的 通过2学时的讲授，使学生理解子空间交、和的定义与性质，基本掌握子空间直和的刻画定理及初步应用． 教学内容 为了进一步把握向量空间的结构，本节学习向量空间的子空间的交与和两种运算，以及子空间和的重要特况：直和． 5.1 交与和 命题6.5.1 设W 1，W 2都是数域F 上向量空间V 的子空间，则W 1∩W 2也是V 的子空间，叫做W 1与W 2的交． 证 因为θ∈W 1∩W 2，所以W 1∩W 2≠?．设α，β∈W 1∩W 2，则α，β∈W i ，i =1，2．因为W i 是子空间，所以α+β∈W i ；k α∈W i ，?k ∈F ；i =1,2．于是α+β∈W 1∩W 2，k α∈W 1∩W 2，?k ∈F ．因此，W 1∩W 2是V 的子空间． 由集合的交的定义可得出，子空间的交适合下列运算规则： 1)交换律 W 1∩W 2= W 2∩W 1； 2)结合律 (W 1∩W 2)∩W 3= W 1∩(W 2∩W 3)． 由结合律，我们得到多个子空间的交： t i i t W W W W 121==， 且由归纳法易见， t i i W 1=也是V 的子空间． 注 类似命题 6.5.1的证明可得，设I 是任一指标集，若?i ∈I ，W i 是V 的子空间，则{ }I i W W i I i i ∈?∈=∈,αα 也是V 的子空间． 向量空间V 的两个子空间W 1与W 2的并集一般不是V 的子空间．例如，在V 3中，取W 1，W 2是通过原点的两个不同的平面，它们都是V 3的子空间．W 1∪W 2对加法一般不封闭，因此W 1∪W 2不是V 3的子空间．若我们想构造一个包含W 1∪W 2的子空间，则这个子空间应当包含W 1中的任一向量α1与W 2中的任一向量α2的和α1+α2 ．由此受到启发．我们来证明 命题6.5.2 设W 1，W 2是数域F 上向量空间V 的两个子空间，则集合 },{221121W W ∈∈+αααα (1) 是V 的一个子空间，叫做W 1和W 2的和，记作W 1+W 2． 证 把集合(1)记作W ．显然θ∈W (因为θ =θ +θ )．在W 中任取两个向量α，β，可设 21ααα+=， 21βββ+=， 其中α1，β1∈W 1，α2，β2∈W 2，则 )()(2211βαβαβα+++=+． 由于W 1，W 2是V 的子空间，所以α1+β1∈W 1，α2+β2∈W 2，从而α+β∈W ．
阅读理解题型分析
阅读理解题型分析 1.阅读理解题型的特点 （1）所选材料来源与实际生活，而且使用语言地道。 （2）体裁常见的有记叙文，说明文；议论文和应用文等。 （3）题材广泛包括了政治、经济、文化、科普、人物、故事、社会现象、地理风情，新闻报道等内容。 （4）阅读理解文章的体裁主要有三类：叙述文、说明文和议论文。1）、叙述文叙述文一般以讲述个人生活经历为主，对于经历的陈述通常由一定的时间概念贯穿其中，或顺序或倒序。但是在考试中一般不出现单纯的叙述文，因为单纯的叙述文比较简单、易懂。 所以中考中的叙述文大多是夹叙夹议的文章。这类文章的基本结构模式是： ①一段概括性的话引入要叙述的经历(话题) ②叙述先前的经历及其感悟或发现 ③叙述接下来的经历及其感悟或发现 ④做出总结或结论 2）、说明文（描述文）说明文的一般结构模式和叙述文的结构模式有相通之处即：提出问题（或以一个事例引出问题）---- 发现直接原因----- 分析深层原因-----得出结论或找到出路。知道了类似的文章结构特点，就可以据此来进行考题预测。比如，我们看出了该篇文章属于这种结构类型，就能判断出几个问题中肯定有一个要问原因，还有可能要出现推断题。
3）、议论文我们大家最容易辨认出来的议论文模式是主张---反主张模式。在这一模式中，作者首先提出一种普遍认可的观点或某些人认可的主张或观点，然后进行澄清，说明自己的主张或观点，或者说提出反主张或真实情况。议论文的这种结构特点决定了它的主要题型是作者观点态度题，文章主旨题以及推理判断题。 只要发现了这种结构特点，解答问题的主要任务就变成了到段落内找答案，基本上不存在任何困难。 2.题型 2.1 细节判断题 以原文中某一句话或某一个短语为入手点，考查学生对细节的理解。很多同学在做这种题目时比较喜欢在选项中寻找原文中的句子，但往往照抄原文的句子并不一定是正确选项。做这类题目时，应关注选项和原句的细微差别，选择与原文意思和所问问题都相符的答案。 2.2 单词释义或句意解释题 要求考生以上下文内容为参考，尝试理解文中出现的生词、短语或句子。这类题目的解题关键在于其上下文，因为在考查点前后出现的内容往往是对这个词的解释、说明、举例等。 2.3主旨大意题 如果是考查整篇文章的主旨大意，可以把文中每段的首句串起来考虑。若是仅考查某一段落的中心思想，则可将该段的首、尾句综合起来考虑。 2.4标题选择题
等比数列例题解析
等比数列·例题解析 【例1】已知S n是数列{a n}的前n项和，S n＝p n(p∈R，n∈N*)，那么数列{a n}． [ ] A．是等比数列 B．当p≠0时是等比数列 C．当p≠0，p≠1时是等比数列 D．不是等比数列 分析由S n＝p n(n∈N*)，有a1=S1＝p，并且当n≥2时， a n=S n－S n-1＝p n－p n-1＝(p－1)p n-1 但满足此条件的实数p是不存在的，故本题应选D． 说明数列{a n}成等比数列的必要条件是a n≠0(n∈N*)，还要注 【例2】已知等比数列1，x1，x2，…，x2n，2，求x1·x2·x3·…·x2n．解∵1，x1，x2，…，x2n，2成等比数列，公比q ∴2＝1·q2n+1 x1x2x3...x2n＝q.q2.q3...q2n=q1+2+3+ (2) 式；(2)已知a3·a4·a5＝8，求a2a3a4a5a6的值． ∴a4＝2 【例4】已知a＞0，b＞0且a≠b，在a，b之间插入n个正数x1，x2，…，x n，使得a，x1，x2，…，x n，b成等比数列，求 证明设这n＋2个数所成数列的公比为q，则b=aq n+1 【例5】设a、b、c、d成等比数列，求证：(b－c)2＋(c－a)2＋(d－b)2＝(a－d)2． 证法一∵a、b、c、d成等比数列 ∴b2＝ac，c2＝bd，ad＝bc
∴左边=b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2＋d2－2bd＋b2 =2(b2－ac)＋2(c2－bd)＋(a2－2bc＋d2) ＝a2－2ad＋d2 ＝(a－d)2＝右边 证毕． 证法二∵a、b、c、d成等比数列，设其公比为q，则： b＝aq，c＝aq2，d=aq3 ∴左边＝(aq－aq2)2＋(aq2－a)2＋(aq3－aq)2 ＝a2－2a2q3＋a2q6 =(a－aq3)2 ＝(a－d)2=右边 证毕． 说明这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目．证法一是抓住了求证式中右边没有b、c的特点，走的是利用等比的条件消去左边式中的b、c的路子．证法二则是把a、b、c、d统一化成等比数列的基本元素a、q去解决的．证法二稍微麻烦些，但它所用的统一成基本元素的方法，却较证法一的方法具有普遍性． 【例6】求数列的通项公式： (1){a n}中，a1＝2，a n+1＝3a n＋2 (2){a n}中，a1=2，a2＝5，且a n+2－3a n+1＋2a n＝0 思路：转化为等比数列． ∴{a n＋1}是等比数列 ∴a n＋1=3·3n-1∴a n=3n－1 ∴{a n+1－a n}是等比数列，即 a n+1－a n=(a2－a1)·2n-1=3·2n-1 再注意到a2－a1=3，a3－a2=3·21，a4－a3=3·22，…，a n－a n-1=3·2n-2，
平面汇交力系复习题
作业A 一、填空题 1.平面汇交力系是指力作用线＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，且＿＿＿＿＿＿＿＿＿一点的力系。 2.平面汇交力系平衡的必要和充分条件是＿＿＿＿＿＿＿，此时力多边形＿＿＿＿＿＿＿。 3.沿力矢量的两端向坐标轴作＿＿＿＿，两垂足在坐标轴上截下的这段长度称为力在坐标轴上的投影，力的投影是＿＿＿＿量，有正负之分。 4.力沿直角坐标轴方向分解，通常，过力F 矢量的两端向坐标轴作平行线构成矩形，力F 是矩形的＿＿＿，矩形的＿＿＿＿是力F 矢量的两个正交分力y x F F 、。 5.已知一个力F 沿直角坐标轴的两个投影为y x F F 、，那么这个力的大小=F ＿＿＿＿，方向角=α＿＿＿＿。(角α为F 力作用线与x 轴所夹的锐角。) 6.平面汇交力系的力多边形如图(a)，(b)，(c)则 图(a)中四个力关系的矢量表达式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； 图(b)中四个力关系的矢量表达式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； 图(c)中四个力关系的矢量表达式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 7.如图所示，不计重量的直杆AB 与折杆CD 在B 处用光滑铰链连接，若结构受力F 作用，则支座C 处的约束力大小＿＿＿＿＿＿，方向＿＿＿＿＿＿。 （7题图） （8题图） 8.如图所示，力F 在y x 、轴上投影x F ＝＿＿＿＿＿、y F ＝＿＿＿＿＿。 9.平面刚架在B 处受一水平力F 作用，如图所示，刚架自重不计，设F =20kN ，L =8m ，h =4m ，
则求A 、D 处的约束反力，可以按以下步骤进行： （1）以刚架为研究对象，进行受力分析：请画出刚架的受力分析图 （2）作用在刚架上的力（主动力和约束力）构成的力系属＿＿＿＿＿力系 （3）列出刚架的平衡方程（坐标如图） ∑=0x F ：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； ∑=0y F ：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 （4）解方程计算D A 、处的约束反力 A F =＿＿＿＿＿＿；D F =＿＿＿＿＿＿＿。 二、判断题 （ ）1.平面汇交力系平衡时，力多边形中各力首尾相接，但在作力多边形时各力的顺序可以不同。 （ ）2.平面汇交力系平衡的几何条件是力的多边形自行封闭。 （ ）3.用解析法求平面汇交力系平衡问题时，所选取的两个轴必须相互垂直。 （ ）4.当平面汇交力系平衡时，选择几个投影轴就能列出几个独立的平衡方程。 三、选择题 1.汇交于O 点的平面汇交力系，其平衡方程式可表示为二力矩形式。即∑=0)(i A M F ，∑=0)(i B M F 但必须(＿＿)。 （A ）A 、B 两点中有一点与O 点重合； （B ）点O 不在A 、B 两点的连线上； （C ）点O 应在A 、B 两点的连线上； （D ）不存在二力矩形式。
(英语)英语阅读理解练习题及答案含解析
（英语）英语阅读理解练习题及答案含解析 一、高中英语阅读理解 1．阅读理解 Castle Dale is a small town in central Utah. My grandpa's farm is a few miles to the north. I grew up there. Milking a cow, feeding the chickens and cutting firewood were daily routines. Grandpa had me carrying a broom to do snow cleaning when it was actually taller than I was. This was the work kids like me learned to do at a young age. I was tall, very tall at a really young age. My unusual height caused people to look, ask questions, laugh, tease, and sometimes even challenge me to fight. I was teased cruelly as a kid. It wasn't fair, I knew, but that was just the way it was. Luckily, I was taught at a very young age a very important lesson. I am different and that's Okay—I'm unique and I matter. No one could ever take that away from me. I knew this then, and I know this now. That alone helped me through the frustrations and heartaches of normal life. When I was in junior high school, I realized something else that helped me cope. Most teasing came from one of two places—people who were either jealous or ignorant (愚昧). I couldn't change the way they were, but I could change the way I felt. I was not going to feel bad because of their ignorance or jealousy. It wasn't worth it. Realizing this didn't stop them, or change the fact that these comments hurt. It did, however, give me a way to understand these people and deal with their treatment in a way that was okay for me. These things still happen today. It will probably happen the rest of my life. I will always be 7 feet, 6 inches (2.29 meters) tall. I wouldn't change that for anything. People will always look because it is not every day that you see someone that tall. I learned that at a young age and I now try to teach my own children that they are unique and they matter. That is the message I give to you. Regardless of your race, religion, background, or circumstances ... Being different is okay. （1）The author mentioned his hometown to show us _______. A. he is from an ordinary family B. his grandpa is strict with him C. he loves this lovely small town D. he had to do a lot of labor work （2）The author was often teased because _______. A. he grew up in a small town B. he was much taller than others C. he fought with people easily D. he didn't want people to watch him （3）What was the author's attitude towards being teased? A. He accepted the fact of being different and let it go. B. He felt angry failing to change others' opinions. C. He felt hurt hearing people's negative comments. D. He hated people's ignorance and jealousy. （4）Which of the following may best describe the theme of the passage? A. Everything comes to the man who waits. B. It is the first step that is troublesome. C. Speech is silver, silence is gold. D. Keep your head up. 【答案】（1）A
数列综合练习题以及答案解析
数列综合练习题 一．选择题（共23小题） 1．已知函数f（x）=，若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（） A．[，4）B．（，4）C．（2，4） D．（1，4） 2．已知{a n}是递增数列，且对任意n∈N*都有a n=n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣，+∞）B．（0，+∞）C．[﹣2，+∞）D．（﹣3，+∞） 3．已知函数f（x）是R上的单调增函数且为奇函数，数列{a n}是等差数列，a11＞0，则f（a9）+f（a11）+f（a13）的值（） A．恒为正数B．恒为负数C．恒为0 D．可正可负 4．等比数列{a n}中，a4=2，a7=5，则数列{lga n}的前10项和等于（） A．2 B．lg50 C．10 D．5 5．右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是（） A．2 B．4 C．6 D．8 6．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得=4a1，则+的最小值为（） A．B．C．D． 7．已知，把数列{a n}的各项排列成如图的三角形状，记A（m，n）表示第m行的第n个数，则A（10，12）=（） A．B．C．D．
8．设等差数列{a n}满足=1，公差d∈（﹣1，0），若当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，则首项a1的取值范围是（） A．（π，）B．[π，]C．[，]D．（，） 9．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f （a n）}，仍是等比数列，则称f（x）为“等比函数”．现有定义在（﹣∞），0）∪（0，+∞）上的如下函数： ①f（x）=3x，②f（x）=，③f（x）=x3，④f（x）=log2|x|， 则其中是“等比函数”的f（x）的序号为（） A．①②③④B．①④C．①②④D．②③ 10．已知数列{a n}（n∈N*）是各项均为正数且公比不等于1的等比数列，对于函数y=f（x），若数列{lnf（a n）}为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列函数”．现有定义在（0，+∞）上的三个函数：①f（x）=；②f（x）=e x；③f（x）=；④f（x）=2x，则为“保比差数列函数”的是（） A．③④B．①②④C．①③④D．①③ 11．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，则a n=（） A．B．3n﹣2 C．D．n﹣2 12．已知数列{a n}满足a1=2，a n+1﹣a n=a n+1a n，那么a31等于（） A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣ 13．如果数列{a n}是等比数列，那么（） A．数列{}是等比数列B．数列{2an}是等比数列 C．数列{lga n}是等比数列D．数列{na n}是等比数列 14．在数列{a n}中，a n+1=a n+2，且a1=1，则=（）A．B．C．D． 15．等差数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（） A．A+C=2B B．B2=AC C．3（B﹣A）=C D．A2+B2=A（B+C） 16．已知数列{a n}的通项为a n=（﹣1）n（4n﹣3），则数列{a n}的前50项和T50=（）
平面汇交力系习题知识分享
作业A 一、填空题 1.平面汇交力系是指力作用线＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，且＿＿＿＿＿＿＿＿＿一点的力系。 2.平面汇交力系平衡的必要和充分条件是＿＿＿＿＿＿＿，此时力多边形＿＿＿＿＿＿＿。 3.沿力矢量的两端向坐标轴作＿＿＿＿，两垂足在坐标轴上截下的这段长度称为力在坐标轴上的投影，力的投影是＿＿＿＿量，有正负之分。 4.力沿直角坐标轴方向分解，通常，过力F 矢量的两端向坐标轴作平行线构成矩形，力F 是矩形的＿＿＿，矩形的＿＿＿＿是力F 矢量的两个正交分力y x F F 、。 5.已知一个力F 沿直角坐标轴的两个投影为y x F F 、，那么这个力的大小=F ＿＿＿＿，方向角=α＿＿＿＿。(角α为F 力作用线与x 轴所夹的锐角。) 6.平面汇交力系的力多边形如图(a)，(b)，(c)则 图(a)中四个力关系的矢量表达式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； 图(b)中四个力关系的矢量表达式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； 图(c)中四个力关系的矢量表达式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 7.如图所示，不计重量的直杆AB 与折杆CD 在B 处用光滑铰链连接，若结构受力F 作用，则支座C 处的约束力大小＿＿＿＿＿＿，方向＿＿＿＿＿＿。
（7题图） （8题图） 8.如图所示，力F 在y x 、轴上投影x F ＝＿＿＿＿＿、y F ＝＿＿＿＿＿。 9.平面刚架在B 处受一水平力F 作用，如图所示，刚架自重不计，设F =20kN ，L =8m ，h =4m ，则求A 、D 处的约束反力，可以按以下步骤进行： （1）以刚架为研究对象，进行受力分析：请画出刚架的受力分析图 （2）作用在刚架上的力（主动力和约束力）构成的力系属＿＿＿＿＿力系 （3）列出刚架的平衡方程（坐标如图） ∑=0x F ：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； ∑=0y F ：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 （4）解方程计算D A 、处的约束反力 A F =＿＿＿＿＿＿；D F =＿＿＿＿＿＿＿。
子空间的基本内容
线性子空间的研究 数学与应用数学专业学生：罗柏平 指导老师：周绍杰 摘要:线性子空间理论是线性代数的核心内容之一，在数学及其它领域中有着广泛的应用.本文讨论了线性子空间及其交、和、直和的定义，并阐述了线性子空间、子空间直和的几个等价性定义，并做了一定的的推广；在此基础上，给出了求两个子空间交的基的一般方法.且对其作了进一步讨论，得到了一些有用的结果. 关键词：线性空间，线性子空间，子空间的交，维数 Abstract: Linear space and subspaces are one of linear algebra，and they have been applied to mathematics or other fields extensively.This paper discussed the linear subspace and pay, and and, and subspace straight.And we discussed the linear subspace, subspace straight and few equivalence definition，and did some promotion; Based upon these, draw subspace of mixed operation is for and included relation and its two subspaces, and further discussion was gived and several important conclusions were given. Keyword: linear space; linear subspace ; intersection of subspaces; dimensions 0引言 线性子空间理论是高等代数中的重要内容，线性子空间是线性空间的子集，线性子空间中的元素满足对原线性空间的加法与数量乘法封闭.要懂得利用定义及其线性子空间的相关定理来判定线性子空间. 线性子空间包括线性子空间的定义，子空间的交与和，直和等等. 它把具体、直观的平面与集合空间推广到抽象的线性空间.线性子空间是线性空间的子集，线性子空间中的元素满足对原线性空间的加法与数量乘法封闭.线性子空间的应用领域越来越广，在数学、物理、通信、化学、甚至医学等各方面有广泛应用.线性空间的概念是n维向量空间概念的抽象和提高，子空间的理论不仅是高等代数的核心，而且广泛渗透到各自然科学、工程技术、经济管理科学中.因而线性子空间在一定意义上值得广泛推广.为了对线性子空问作进一步的研究，先讨论有关线性子空间的一些基本问题，对线性空间有关的概念和部分结论作一回顾，然后再在应用中对线性子空间做更多的探讨.
二年级【部编语文】阅读理解考点+例题_全面解析
【部编语文】阅读理解考点+例题_全面解析 一、二年级语文下册阅读理解练习 1．阅读下文，回答问题 冬天来了，天空中下起了大雪，白茫茫的一片，整个森林都被大雪覆盖着。 一天，小羊和小猪要到城里去买菜，走着走着，“哎哟！”小羊重重地摔了一跤，小猪跟在后面，急忙去扶小羊，但他也差一点摔倒。它们都生气地说：“都是这个雪害得！一直下个不停，把所有的路都盖住了，叫我们怎么走呀！” 这时，小羊爬起来说：“别泄气，我有办法了！”说完小羊就用羊角当铲子，把雪铲开。小猪见了，也忙用大鼻子来拱。不一会儿，它们就开出了一条小路，可它们自己却累得満头大汗。树上的小鸟们见了，就赶快飞去叫来许多动物朋友，大家一起干。渐渐地，大家一起开出了一条放心路。 （1）这个故事发生的时间是（） A. 春天 B. 夏天 C. 秋天 D. 冬天（2）按照课文内容填空。 小羊用________当铲子，把雪铲开。小猪见了，也忙用大鼻子来拱。不一会，它们就开出了一条________。 （3）这条放心路是（）开出来的。 A. 小羊 B. 小猪 C. 小鸟 D. 许多小动物【答案】（1）D （2）羊角 ；小路 （3）D 【解析】 2．读一读,做一做。 今天______爸和我一起到大海边玩______我在沙滩上,身后留下一个个脚印。浪花打在脚上,我都快要站不住了。一朵朵浪花在海面上开放,美丽极了,我还看到一条条小鱼在水中游来游去。大海真有趣呀______ 爸爸说:“大海是船儿的路。” 我说:“大海是鱼儿的家。” （1）选择下列标点填到短文中的横线上。 ！，。 （2）照样子,写一写。 游来游去 ________来________去 ________来________去 （3）细读短文,在括号里填上合适的词语。 一________脚印一________浪花一________小鱼不 （4）填一填。 大海是船儿的________。大海是鱼儿的________。
一年级最新阅读理解考点+例题_全面解析
最新阅读理解考点+例题_全面解析 一、一年级语文下册阅读理解练习 1．阅读下文，回答问题。 一________乌黑的羽毛，一________剪刀似的尾巴，一________轻快有力的翅膀，凑成了那样活泼可爱的小燕子。 二三月的春日里，轻风微微地吹拂着，如毛的细雨由天上洒落着，千万条的柔柳，红的黄的白的花，青的草，绿的叶，都像赶集似的聚拢来，形成了烂漫无比的春天。这时候，那些小燕子，那么伶俐可爱的小燕子，也由南方飞来，加入了这个光彩夺目的图画中，为春光平添了许多生趣。 （1）在横线上填入恰当的量词。 一________乌黑的羽毛，一________剪刀似的尾巴，一________轻快有力的翅膀，凑成了那样活泼可爱的小燕子。 （2）第二自然段中描写的景物有________、________、________、________、________、________。其中________这个成语写出了春天的特点。 （3）文中划线的句子把________、________、________当做人来写，显得多么生动、从中我们体会到这是________的春天。 （4）第二自然段中的“斜”字写出了燕子________的特点，不但写出了燕子飞行________，而且写出燕子飞行的________姿态。 【答案】（1）身；双；对 （2）轻风；细雨；柔柳；花；草；叶；灿烂无比 （3）花；草；叶；灿烂无比 （4）飞行；快；灵活 【解析】【分析】（1）本题主要考查学生对量词的掌握情况，这道题是让填量词，量词通常用来表示人、事物或动作的数量单位的词，填空时要按语言习惯合理搭配。 （2）寻找文句中的景物相对简单，将文句中写景的实物挑出来即可。 （3）本题的目的是引导学生明白拟人这一修辞手法以及其作用。所谓“拟人”，就是把“物”当作人来写，使“物”具有人的情感与行为，从而达到化抽象为具体的目的。 （4）体会划线词语，了解用词之美——动词精辟准确，把事物说得形象具体；为文章增色；关键词能为中心服务。 故答案为：（1）身、双、对（2）轻风、细雨、柔柳、花、草、叶、灿烂无比（3）花、草、叶、灿烂无比（4）飞行、快、灵活 【点评】（1）掌握量词的用法，学生做题就容易了，平时要注意积累和运用。 （2）本题考查学生赏析文句中景物描写的能力。 （3）考查学生对拟人修辞手法的掌握。要求学生能判断，会应用。 （4）结合具体语境进行分析，表述合理即可。 2．读短文，完成练习。 两只小鸟
(完整版)等比数列经典例题范文
1.(2009安徽卷文）已知为等差数列，，则等 于 A. -1 B. 1 C. 3 D.7 【解析】∵即∴同理可得∴公差∴.选B 。 【答案】B 2.(2009年广东卷文)已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则= A. B. C. D.2 【答案】B 【解析】设公比为,由已知得,即,又因为等比数列的公 比为正数，所以,故,选B 3.（2009江西卷文）公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, , 则等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 【答案】C 【解 析】由得得,再由 得 则,所以,.故选C 4.（2009湖南卷文）设是等差数列的前n 项和，已知，，则等于( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ． 63 【解析】故选C. 135105a a a ++=33105a =335a =433a =432d a a =-=-204(204)1a a d =+-?=}{n a 3a 9a 2 5a 2a 1a 2 1 222q ( )2 2 8 41112a q a q a q ?=2 2q =}{n a q = 212a a q = == {}n a n n S 4a 37a a 与832S =10S 2 437a a a =2111(3)(2)(6)a d a d a d +=++1230a d +=8156 8322 S a d =+ =1278a d +=12,3d a ==-10190 10602 S a d =+ =n S {}n a 23a =611a =7S 172677()7()7(311) 49.222 a a a a S +++= ===
平面汇交力系习题
作业A 一、填空题 1、平面汇交力系就是指力作用线＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿,且＿＿＿＿＿＿＿＿＿一点的力系。 2、平面汇交力系平衡的必要与充分条件就是＿＿＿＿＿＿＿,此时力多边形＿＿＿＿＿＿＿。 3、沿力矢量的两端向坐标轴作＿＿＿＿,两垂足在坐标轴上截下的这段长度称为力在坐标轴上的投影,力的投影就是＿＿＿＿量,有正负之分。 4、力沿直角坐标轴方向分解,通常,过力F 矢量的两端向坐标轴作平行线构成矩形,力F 就是矩形的＿＿＿,矩形的＿＿＿＿就是力F 矢量的两个正交分力y x F F 、。 5、已知一个力F 沿直角坐标轴的两个投影为y x F F 、,那么这个力的大小=F ＿＿＿＿,方向角=α＿＿＿＿。(角α为F 力作用线与x 轴所夹的锐角。) 6、平面汇交力系的力多边形如图(a),(b),(c)则 图(a)中四个力关系的矢量表达式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿; 图(b)中四个力关系的矢量表达式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿; 图(c)中四个力关系的矢量表达式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 7、如图所示,不计重量的直杆AB 与折杆CD 在B 处用光滑铰链连接,若结构受力F 作用,则支座C 处的约束力大小＿＿＿＿＿＿,方向＿＿＿＿＿＿。 (7题图) (8题图)
8、如图所示,力F 在y x 、轴上投影x F ＝＿＿＿＿＿、y F ＝＿＿＿＿＿。 9、平面刚架在B 处受一水平力F 作用,如图所示,刚架自重不计,设F =20kN ,L =8m ,h =4m ,则求 A 、D 处的约束反力,可以按以下步骤进行: (1)以刚架为研究对象,进行受力分析:请画出刚架的受力分析图 (2)作用在刚架上的力(主动力与约束力)构成的力系属＿＿＿＿＿力系 (3)列出刚架的平衡方程(坐标如图) ∑=0x F :＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿; ∑=0y F :＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 (4)解方程计算D A 、处的约束反力 A F =＿＿＿＿＿＿;D F =＿＿＿＿＿＿＿。 二、判断题 ( )1、平面汇交力系平衡时,力多边形中各力首尾相接,但在作力多边形时各力的顺序可以不同。 ( )2、平面汇交力系平衡的几何条件就是力的多边形自行封闭。 ( )3、用解析法求平面汇交力系平衡问题时,所选取的两个轴必须相互垂直。 ( )4、当平面汇交力系平衡时,选择几个投影轴就能列出几个独立的平衡方程。