特色编排 一模考前热点大串讲——快抢分
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[编写说明] 如果说前面部分是由点成面，把书读厚的过程，那么本部分则是去粗存精的过程。我们在细研历年高考，准确把脉考情的基础上，总结出(文)23(理)24个高考必考点，供学生一轮复习完至一模考前这一段时间自主观摩领悟，锁定高考题型，掌握类题通法，考题多变，我自稳操胜券！
第一讲
三角函数与向量
[例1] (1)(2012·洛阳统考)若
cos 2αsin ????α＋π4＝1
2，则sin 2α的值为( ) A ．－7
8
B.78 C ．－47
D.47
解析：选B cos 2α
sin ????α＋π4＝cos 2α－sin 2αsin αcos π4＋cos αsin π4
＝2(cos α－sin α)＝1
2，
即cos α－sin α＝
24
， 等式两边分别平方得cos 2α－2sin αcos α＋sin 2α ＝1－sin 2α＝1
8，
解得sin 2α＝7
8
.
(2)求值1＋cos 20°2sin 20°
－sin 10°????1tan 5°－tan 5°. 解：原式＝2cos 210°2×2sin 10°cos 10°－sin 10°????cos 5°sin 5°－sin 5°cos 5° ＝cos 10°
2sin 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5° ＝
cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 10°
1
2
sin 10°
＝cos 10°
2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°
＝
cos 10°－2sin (30°－10°)
2sin 10°
＝cos 10°－2???
?12cos 10°－32sin 10°
2sin 10°
＝
3sin 10°2sin 10°＝3
2
.
[方法总结] 三角恒等变换常考化简与求值问题，多在选择、填空题中考查，在解答题中多用于化简三角函数，此类问题的解决主要抓住“一角，二名，三结构”．即一看角的差异，二看名称的差异，三看结构形式的差异，注意角的拆分变换应用.
[例2] (2012·孝感统考)已知f (x )＝2sin(ωx ＋φ)部分图象如图所示，则f (x )
的解析式为( )
A ．f (x )＝2sin ????32x ＋π4
B ．f (x )＝2sin ????32x ＋5π4
C ．f (x )＝2sin ????43x ＋2π9
D ．f (x )＝2sin ????43x ＋25π18
解析：选B 法一：由部分图象知34T ＝5π6－????－π6＝π，故T ＝4π
3.结合选项知ω>0，故ω＝2πT ＝3
2
.排除C 、D. 又因为函数图象过点????
5π6，2，代入选项验证可知只有选项B 满足条件．
法二：由法一知ω＝3
2，由图象易知????－π6，0是由函数y ＝sin x 中点(π，0)平移之后得到的点，令x 0＝－π6，因此ωx 0＋φ＝π.即φ＝π－ωx 0＝π－3
2×????－π6＝5π4
. 故函数解析式为f (x )＝2sin ????
32x ＋5π4.
[例3] (2012·济宁一模)已知函数f (x )＝3sin(x －φ)·cos(x －φ)－cos 2(x －φ)＋1
2????0≤φ≤π2为偶函数．
(1)求函数f (x )的最小正周期及单调减区间；
(2)把函数f (x )的图象向右平移π
6个单位(纵坐标不变)，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )
的对称中心．
解：(1)f (x )＝3
2sin(2x －2φ)－cos (2x －2φ)＋12＋12
＝
32sin(2x －2φ)－1
2
cos(2x －2φ) ＝sin ????2x －2φ－π6. ∵函数f (x )为偶函数． ∴2φ＋π6＝k π＋π
2，k ∈Z .
即φ＝k π2＋π
6，k ∈Z .
又∵0≤φ≤π
2，
∴φ＝π6
.
∴f (x )＝sin ????2x －π3－π
6＝－cos 2x ， ∴f (x )的最小正周期为T ＝2π
2＝π.
由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z . 得k π－π
2
≤x ≤k π，k ∈Z .
∴f (x )的单调减区间为???
?k π－π
2，k π(k ∈Z )． (2)函数f (x )＝－cos 2x 的图象向右平移π6个单位(纵坐标不变)，得到g (x )＝－cos ????2????x －π6， 即g (x )＝－cos ????2x －π
3， 令2x －π3＝k π＋π
2，k ∈Z .
∴x ＝k π2＋5π
12
，k ∈Z .
∴g (x )的对称中心为????
k π2＋5π12，0，k ∈Z .
[方法总结] 三角函数图象与性质多以选择题与解答题形式考查，重点是三角函数的图象变换及三角函数的性质．对于表达式较复杂的三角函数性质的研究，一般先将所给函数利用三角恒等变换化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，然后视ωx ＋φ为一个整体，再结合三角函数性质研究相应的问题．
[例4] (2012·中山一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，π3 b a － b ＝ sin 2C sin A －sin 2C . (1)判断△ABC 的形状； (2)若|BA ＋BC |＝2，求BA ·BC 的取值范围． 解：(1)由b a －b ＝sin 2C sin A －sin 2C ， 知 a － b b ＝sin A －sin 2C sin 2C ， ∴a b ＝sin A sin 2C . 由正弦定理得sin B ＝sin 2C . ∴B ＝2C 或B ＋2C ＝π. 若B ＝2C ，由π3 3<2C <π. 即2π 3 π，与三角形内角和为π矛盾，故B ＝2C 舍去． ∴B ＋2C ＝π. ∴A ＝π－(B ＋C )＝π－(π－2C ＋C )＝C . 故△ABC 为等腰三角形． (2)由(1)知a ＝c ， ∵|BA ＋BC |＝2， ∴|BA ＋BC |2＝4， ∴a 2＋c 2＋2ac cos B ＝4， ∴cos B ＝4－a 2－c 22ac ＝2－a 2 a 2， ∴BA ·BC ＝ac cos B ＝2－a 2， ∵cos B ＝cos(π－2C )＝－cos 2C ， 又∵π3 3<2C <π， ∴－1 2 即1 2< 2－a2 a2<1，解得1 2<4 3， ∴2 3<2－a 2<1，∴BA·BC的取值范围是???? 2 3，1. [方法总结]解三角形问题着重考查正余弦定理的应用，多以解答题形式考查，解决此类问题一是要注意三角形中的隐含条件；二是注意面积公式的灵活应用；三是注意正余弦定理的灵活选择及边角互化技巧. [例5](1)(2012·东北三校二模)向量AB与向量a＝(－3,4)的夹角为π，|AB|＝10，若点A的坐标是(1,2)，则点B的坐标为() A．(－7,8) B．(9，－4) C．(－5,10) D．(7，－6) 解析：选D∵a＝(－3,4)，∴|a|＝5， ∴AB·a＝10×5×cos π＝－50. 设B(x，y)，则AB＝(x－1，y－2)， ∴AB·a＝－3(x－1)＋4(y－2)＝－50， ∴3(x－1)－4(y－2)＝50，即3x－4y＝45，① 又|AB|＝10，∴(x－1)2＋(y－2)2＝100，② 由①②解得x＝7，y＝－6，∴B(7，－6)． (2)(2012·石家庄质检)△ABC中，∠C＝90°，且CA＝CB＝3，点M满足BM＝2AM，则CM·CA＝________. 解析：法一：∵BM＝2AM―→， ∴A是MB的中点， ∴CM·CA＝(CB＋BM)·CA ＝(CB＋2BA)·CA ＝CB·CA＋2BA·CA ＝2×32×3cos 45° ＝18.法二：如图以CA、CB所在的直线分别为x轴，y轴建立 直角坐标系，由CA＝CB＝3，知A(3,0)，B(0,3)， 又BM＝2AM， ∴A是MB的中点，∴M(6，－3)， ∴CM ·CA ＝(6，－3)· (3,0)＝18. 答案：18(3)(2012·“江南十校”联考)如图放置的正方形ABCD ，AB ＝1， A 、D 分别在x 轴、y 轴的正半轴(含原点)上滑动，则OC ·O B 的最大值是________． 解析：设∠BAx ＝θ(0°≤θ≤90°)， 则∠OAD ＝90°－θ， 于是OA ＝AD ·cos ∠OAD ＝sin θ， 于是B 点坐标为(sin θ＋cos θ，sin θ)， 即OB ＝(sin θ＋cos θ，sin θ)， 又∠CDy ＝90°－θ， 所以C 点坐标为(DC ·sin ∠CDy ，OD ＋DC ·cos ∠CDy )， 即为(cos θ，sin θ＋cos θ)， 即OC ＝(cos θ，sin θ＋cos θ)， 于是OB ·OC ＝cos 2θ＋2cos θsin θ＋sin 2θ＝1＋sin 2θ≤2， 而且仅当θ＝45°时取最大值2. 答案：2 [方法总结] 平面向量的运算包括线性运算与代数运算，多以选择、填空题形式考查．若已知条件中涉及向量运算的几何意义应根据向量加、减法的运算法则求解；若已知条件中涉及向量的坐标运算需综合利用向量的坐标运算公式求解；若已知条件中涉及与图形有关的数量积时，需根据图形特征及数量积的运算性质或建立直角坐标系转化为向量的坐标运算求解. [例6] (2012·南通模拟)已知向量m ＝????3sin x 4，1，n ＝????cos x 4，cos 2x 4. (1)若m·n ＝1，求cos ???? 2π3－x 的值； (2)记f (x )＝m·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围． 解：(1)m·n ＝3sin x 4·cos x 4＋cos 2x 4 ＝32sin x 2＋1＋cos x 22＝sin ????x 2＋π6＋12， ∵m·n ＝1，∴sin ????x 2＋π6＝12. cos ????x ＋π3＝1－2sin 2????x 2＋π6＝12， cos ????2π3－x ＝－cos ????x ＋π3＝－12. (2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ， 由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C . ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )． ∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ≠0. ∴cos B ＝12，∵0
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