组合导航系统非线性滤波算法综述_赵琳

第17卷第1期中国惯性技术学报V ol.17 No.1 2009年2月 Journal of Chinese Inertial Technology Feb. 2009 文章编号：1005-6734(2009)01-0046-07

组合导航系统非线性滤波算法综述

赵 琳，王小旭，丁继成，曹 伟

（哈尔滨工程大学 自动化学院，哈尔滨 150001）

摘要：总结了组合导航系统具有非线性及模型不确定性的特点，指出了现阶段工程中的卡尔曼滤波及扩展卡尔曼滤波无法真正满足组合导航系统的实际应用要求；然后，以组合导航系统为背景，详细介绍近20年来非线性滤波理论所取得的成果，且阐述了它们的优缺点及在组合导航系统中的应用情况；接着分析了现阶段组合导航系统中滤波算法的新发展，最后对组合导航系统滤波算法进行展望，指明其进一步的可能研究方向。

关 键 词：组合导航系统；滤波算法；非线性；模型不确定性；综述

中图分类号：U666.1 文献标志码：A

Overview of nonlinear filter methods applied in

integrated navigation system

ZHAO Lin, WANG Xiao-xu, DING Ji-cheng

(College of Automation, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

Abstract: Firstly, the paper summarized that the integrated navigation system is nonlinear and has the character of mode uncertainty, while the Kalman filter(KF) and the extended Kalman filter(EKF) in the integrated navigation system don’t completely meet the practical application demands at present. Then some classically nonlinear filter methods in the past two decades are all introduced in detail. Their advantages and disadvantages, and their application situation in integrated navigation system are summed up. Some new developments of the filter methods in integrated navigation system nowadays is analyzed. Finally, further research directions in this field are pointed out.

Key words: integrated navigation system; filter method; nonlinear; model uncertainty; overview

所谓组合导航系统就是将两种或两种以上导航子系统按某种适当方式组合为一种导航系统，以达到提高系统精度和改善系统可靠性等目的。它通过发挥各种导航子系统的优势，取长补短，最后提供给用户具有高精度和高可靠性的速度、位置、姿态等导航信息。

组合导航系统具有如下优点：①能有效利用各子系统的导航信息，提高组合系统定位精度；②允许在子系统工作模式间进行自动转换，从而进一步提高系统工作可靠性；③可实现对各子系统及其元件的校准，从而放宽了对子系统技术指标的要求。因此组合导航系统已成为当前及未来导航技术的重点发展方向之一，也是各国国防技术研究的重点。

组合导航系统实现的关键是数据融合技术，特别是各种滤波算法的出现，为组合导航系统提供了理论基础和数学工具。应用滤波算法设计组合导航系统的基本原理是：首先建立组合导航系统的状态方程和测量方程；然后采用相应的滤波算法对系统状态进行最优估计，以去除噪声的干扰，得到尽量准确的状态估计值；最后利用这些状态估计值去修正系统的导航误差，进而获得准确的导航参数信息，达到提高导航精度的目的。

1组合导航系统基本特性

通常情况下，要描述一个实际系统，必须首先对其进行建模，即建立系统的状态方程和测量方程。对于组合导航系

收稿日期：2008-11-11；修回日期：2008-01-05

基金项目：国家自然科学基金（60474046）；高等学校博士学科点专项科研基金资助（20040217008）

作者简介：赵琳（1968—），男，教授，博士生导师，主要研究方向有惯性导航及定位技术、卫星导航技术、组合导航技术、捷联技术及数字控制、信息处理与计算机仿真等。 E-mail：zhaolin@https://www.sodocs.net/doc/0b16216456.html,

第1期赵琳等：组合导航系统非线性滤波算法综述47 统，要进行滤波计算也必须建立其数学模型，且组合导航系统的数学模型具有如下一些特点。

1.1 非线性

系统的线性化数学模型，在某些特定情况下，的确能够反映出实际系统或过程的实际性能和特点。但是，任何实际系统总是存在不同程度的非线性，其中有些系统可以近似看成线性系统，而大多系统则不能仅用线性数学模型来描述，存在于这些系统中的非线性因素不能忽略。为了更好地全面地分析实际系统，必须应用能准确反映实际系统的非线性数学模型。

组合导航系统本质上是非线性系统，有时为了减少计算量及提高系统实时性，在某些假设条件下组合导航系统的非线性因素可以忽略，其可以用线性化的数学模型来近似描述。但当假设条件不满足时，组合导航系统就必须采用能反映自身实际特性的非线性模型来描述。因此可以这样说，非线性是组合导航系统内在的、本质的特性。

1.2 模型不确定性

任何一个实际系统都具有不同程度的不确定性，这些不确定性有时表现在系统内部，有时表现在系统外部。从系统内部来讲，描述被控对象的数学模型的结构和参数，设计者事先并不一定能确切知道。作为外部环境对系统的影响，可以等效地用许多扰动来表示，这些扰动通常是不可预测的，它们可能是确定性的，也可能是随机性的。此外，还有一些测量噪声从不同的测量反馈回路进入系统，并且这些随机扰动噪声的统计特性常常是未知的。

组合导航系统处于实际运行环境当中时，受系统本身以及外部应用环境不确定性因素的影响，系统实际模型与建立的理论模型不能完全匹配，即组合导航系统具有模型不确定性。造成系统模型不确定性的主要原因有以下几点： 1）模型简化。即采用较少的状态变量来描述系统的主要特征，忽略掉实际系统某些不重要的状态特征。这些未建模状态在某些特殊条件下有可能被激发起来，造成模型与实际不匹配。

2）系统噪声统计不准确。即所建模型的噪声统计特性与实际系统的噪声统计特性有较大的差异。

3）对实际系统初始状态的统计特性建模不准确。

4）由于实际系统运行中会出现器件老化、损坏等原因，系统参数发生了变动，造成模型与实际系统不匹配。

2 现有KF及EKF滤波理论的局限性

目前，工程上组合导系统采用的滤波方法主要是卡尔曼滤波（Kalman Filter，KF）和扩展卡尔曼滤波（Extended Kalman Filter，EKF）。KF要求系统数学模型必须为线性，当组合导航系统模型具有非线性特性时，仍然采用线性模型描述组合导航系统及使用KF进行滤波，将会引起线性模型近似误差。 以INS/GPS组合导航系统为例，通常所采用的线性误差状态方程是在假定惯导系统姿态误差（失准角）为小量的条件下导出的。当惯性器件精度较差或载体作大机动运动时，惯导系统的失准角会很大，INS/GPS组合导航系统中的非线性因素不能忽略。传统的线性小误差方程就无法与实际系统相匹配，继续采用传统线性KF对系统线性小误差模型进行滤波，将会导致滤波状态发散。

尽管EKF在组合导航系统非线性滤波中得到了广泛应用，但它仍然具有理论局限性，具体表现在：

1）当系统非线性度较严重时，忽略Taylor展开式的高阶项将引起线性化误差增大，导致EKF的滤波误差增大甚至发散。

2）雅可比矩阵的求取复杂、计算量大，在实际应用中很难实施，有时甚至很难得到非线性函数的雅可比矩阵。

3）EKF将状态方程中的模型误差作为过程噪声来处理，且假设为高斯白噪声，这与组合导航系统的实际噪声情况并不相符；同时，EKF是以KF为基础推导得到的，其对系统初始状态的统计特性要求严格。

因此EKF关于系统模型不确定性的鲁棒性很差。

3 组合导航系统中的非线性滤波算法

近20年来，基于非线性模型的滤波算法取得了很大的发展，出现了一些经典的非线性滤波方法，包括模型预测滤波、粒子滤波及Unscented卡尔曼滤波等，下面将逐一介绍它们的特点及在组合导航系统中应用。

3.1 模型预测滤波

基于线性最小方差准则产生的传统KF及EKF，在滤波状态估计过程中，将状态方程中存在的模型误差作为过程噪声来处理，而且通常将模型误差假设为协方差已知的零均值高斯白噪声，在很多情况下这种做法会降低滤波状态估计的精确度，影响滤波器的最优性；而且在实际中，系统模型一般为非线性，很难建立准确的模型，噪声也非绝对的高斯白噪声。为解决上述问题，Mook与Junkins等人[1]提出了一种新的最优估计准则，即最小模型误差（Minimum Model Error，MME）

48 中国惯性技术学报第17卷准则。基于MME准则和Lu所建立的预测控制理论[2]，Crassidis等人提出了一种实时的非线性滤波技术，即模型预测滤波器（Models Predictive Filter，MPF）[3]。MPF的基本思想是：基于MME准则对系统状态进行估计，模型误差在估计过程中被确定并用于修正系统的动态模型。这种滤波器能够有效地解决存在显著动态模型误差情况下的非线性系统状态估计问题。

EKF将模型误差作为过程白噪声来处理，因此当真实的模型误差不是白噪声时，EKF就无能为力了，而MPF对系统模型误差没有任何限制，因此可以采用MPF方法来实时估计系统实际的模型误差；同时，EKF主要是利用观测量值得到新息序列来滤波的，其滤波误差受到测量误差的影响很大。相比之下，MPF的滤波效果要好，这是因为MPF主要通过估计模型误差来实时调整系统模型，受测量误差影响较小。

刘百奇等人[4]将MPF用于机载SINS/GPS组合导航系统的空中自对准，通过MPF对SINS中惯性器件所引起的模型误差进行估计，不仅实现了SINS/GPS的空中自对准，大大缩短了飞机的地面准备时间，而且提高了姿态角的对准精度，使姿态角的误差被有效控制在1°以内。曹娟娟等人[5]将基于模型误差预测的EKF用于大失准角下的MIMU/GPS空中对准，取得了优于EKF的方位角估计精度。

3.2 粒子滤波

粒子滤波（Particle Filter，PF）算法是一种基于贝叶斯采样估计的顺序重要采样（Sequential Importance Sampling，SIS）滤波方法。Hammersley等人在20世纪50年代末就提出了基本的SIS方法[7]，并在60年代使其得到了进一步发展[8]，但上述研究始终未能解决粒子数匮乏现象和计算量制约等问题，因此未引起人们的重视。直到1993年由Gordon等人[6]提出了一种新的基于SIS的Bootstrap非线性滤波方法，从而奠定了PF算法的基础。PF算法的基本思想是：通过寻找一组在状态空间中传播的随机样本对概率密度函数(/)

p x z进行近似，以样本均值代替积分运算，从而获得状态最小方差估计的过程，

k k

这些样本即称为“粒子”。PF适用于非线性非高斯系统的状态估计，尤其对强非线性系统的滤波问题有独特的优势，摆脱了解决非线性滤波问题时随机量必须满足高斯分布的制约条件。

即使采用SIS算法来实现粒子滤波，PF的计算量依然很大，实时性差，且其易出现粒子匮乏问题。但PF在处理非线性非高斯时变系统的参数估计和状态滤波问题等方面具有独特的优势，不要求系统状态必须满足高斯分布，因此随着计算机技术的进步，其必将获得广泛应用。

PF算法为解决组合导航定位系统中的非线性非高斯滤波问题提供一种很好的思路。Gustafsson和Ha11等人[9，10]研究了PF在车辆组合定位中的应用，给出了车辆定位中地图匹配的PF算法。Bergman等人[11]将PF应用于组合导航系统中地形匹配。Carvalho等人[12]将PF方法应用于伪距组合的SINS/GPS组合导航系统，使用非线性的伪距观测方程来代替传统的线性化观测方程，仿真比较了非线性的伪距组合与速度、位置组合对定位精度的影响。Babak等人[13]将PF应用于GPS的整周模糊度求解以及伪距组合的INS/GPS组合导航系统，得到了较好的效果。Thomas等人[14]为解决PF算法计算量随系统状态维数增加而成级数增大的缺点，提出了边缘化粒子滤波算法，并将其用于飞行器组合导航系统当中。这种边缘化PF算法通过仅对组合导航系统中的非线性部分进行粒子选取，大大降低了PF的计算量，为PF工程实用提供了一定的理论参考。

3.3 Unscented卡尔曼滤波

为了能够以较高的精度和较快的计算速度处理非线性系统的滤波问题，Juliter等人提出了基于Unscented变换的卡尔曼滤波（Unscented Kalman Filter，UKF）[15]。Unscented变换（Unscented Transformation，UT）的核心思想是：近似非线性函数的概率分布比近似非线性函数要容易。因此，UT变换不需要对非线性系统进行线性化近似，而是通过特定的采样策略选取一定数量的Sigma采样点，这些采样点具有同系统状态分布相同的均值和协方差，这些Sigma采样点经过非线性变换后，可以至少以二阶精度（泰勒展开式）逼近系统状态后验均值和协方差。将UT变换应用于卡尔曼滤波算法，就形成了UKF。UKF适用于非线性高斯系统的滤波状态估计问题，尤其对于强非线性系统其滤波精度及稳定性较EKF明显提高。

UKF是对非线性系统的概率密度函数进行近似，而不是对系统非线性函数进行近似，因此不需求导计算雅可比矩阵，计算量仅与EKF相当；且由于UKF采用确定性采样，仅需要很少的Sigma点来完成UT变换，而非PF的随机采样，需要大量的粒子点来近似非线性函数的概率分布，因此UKF计算量明显小于PF，且避免了粒子匮乏衰退的问题。

由于UKF的上述特点，UKF日益得到关注，广泛应用于组合导航系统当中。Julier等人[16]用UKF处理车辆导航中状态方程的强非线性。Merwe等人[17]将UKF应用于水下机器人INS/GPS组合导航系统，取得了优于EKF的估计效果，UKF算法相对于EKF可使系统状态估计误差降低30%；https://www.sodocs.net/doc/0b16216456.html,chapelle[18]将UKF用于INS/GPS组合导航系统的位置及姿态估计，得到

第1期赵琳等：组合导航系统非线性滤波算法综述49 了比EKF更好的估计精度。Farid等人[19]首先基于四元数法得到SINS的姿态、速度、位置误差状态方程，然后辅以GPS得到系统的观测方程，最后将UKF用于SINS/GPS组合导航系统的状态估计，仿真结果得到了高精度的导航信息，UKF有益于低精度低成本IMU的推广使用。

3.4 EKF，UKF及PF三种算法比较

1）非线性非高斯随机系统大量存在于实际应用当中，解决非线性非高斯滤波问题的最优方案就是得到系统条件后验概率的完整描述。然而这种精确的描述需要无尽的参数及大量的运算，因而实际应用非常困难，为此学者提出了大量次优的近似方法[8,11,29]，以此来近似描述非线性非高斯系统的后验分布。

对于非线性系统滤波问题的次优近似，有两大途径：①非线性函数近似，即将非线性环节线性化，对高阶项采用忽略或逼近的方法。EKF及对EKF的众多改进方法都属于此类。②用采样方法近似非线性分布。由于近似非线性函数的概率密度分布比近似非线性函数更容易，因此使用采样方法近似非线性分布来解决非线性滤波问题的途径得到了广泛关注。UKF和PF就属于此类。

2）在滤波算法实现上，EKF和UKF都是针对非线性系统的线性卡尔曼滤波方法的变形和改进形式，因此受到线性卡尔曼滤波算法的条件制约，即系统状态应满足高斯分布。对于非高斯分布的系统状态模型，若仍简单地采用均值和方差表征状态概率分布，将导致滤波性能变差。故EKF和UKF一般不适用于状态非高斯分布的系统模型。

而PF不需要对状态变量的概率密度作过多的约束，其不受模型非线性及高斯假设的限制，适用于任何非线性非高斯的随机系统，从这个意义上讲，相比于EKF和UKF，PF是非高斯非线性系统状态估计的“最优”滤波器。

4 组合导航系统非线性滤波算法的新发展

4.1 多种滤波算法综合应用

鉴于一种滤波方法只能解决组合导航系统中的某一类问题，往往是顾此失彼，国内外的学者提出将两种或更多的滤波方法综合应用于组合导航系统当中，并取得了一定的理论成果。宫晓琳等人[20]提出将MPF与EKF相结合的方法应用于机载SAR运动补偿SINS/GPS组合系统中，其采用MPF将惯性器件误差作为模型误差来对组合导航系统建模，有效解决了EKF在系统模型不确定时滤波精度下降的问题，增强了SINS/GPS系统的鲁棒性。通过飞行试验结果说明：这种方法的收敛速度和滤波精度明显优于目前工程中单独使用的KF和EKF，特别是大大提高了组合导航系统的定位精度；同时MPF和EKF相结合的滤波方法与线性KF的计算量相当，满足工程上导航精度和实时性的要求。Merwe等人[21]在PF基础之上，提出了一种通过UKF方法来获得PF重要性函数的UPF算法（Unscented Particle Filter，UPF），这种滤波方法既能避免UKF 需假设系统状态后验概率为高斯分布，又可大大降低PF出现粒子匮乏的机率，作者通过两个例子说明了UPF方法的估计精度及鲁棒性明显强于单独使用的UKF或EKF。Aggarwal.P[22]提出一种将EKF和PF相组合的HEPF算法（Hybrid Extended Particle Filter，HEPF），并将其应用在基于低成本MEMS的INS/GPS组合导航系统，仿真结果证明，当GPS信号变弱而无法被捕获时，HEPF算法估计精度明显高于EKF。

4.2 基于交互式多模型的融合滤波算法

以上所讲的MPF-EKF、UPF及HEPF等组合滤波算法虽然在组合导航系统非线性滤波方面取得一定的成果，但这种组合只是一种粗略的结合，没有特定的数学理论作为其理论基础，无法对其进行深入的理论分析，从而限制了这种组合滤波算法的应用。

交互式多模型（Interacting Multiple Models，IMM）[23]算法在1984年首先由H.A.PBlom提出，主要用于机动目标的跟踪，其基本思想在于使用不同的运动模型来匹配系统不同的运动状态，这样就克服了使用单模型时一旦系统运动状态与模型不符时所引起的误差，各种运动模型间的转换则使用马尔可夫链。IMM算法都是以滤波器为基础的，即每个运动模型都有相应的滤波器与之匹配。组合导航系统处于实际运行环境当中时，具有模型不确定性和非线性，故采用单个系统模型以及在此模型基础上所进行的滤波运算，并不能完全反映组合导航系统运行的全过程。为了减少或者克服组合导航系统中因模型误差而使状态估计值产生偏差的现象，自然而然地可将IMM理论应用于组合导航系统中，构成以交互式多模型为基础的融合滤波算法。其基本思路是：设计一系列的模型来代表组合导航系统可能的行为方式或结构（称为系统模型），基于每个模型的非线性滤波器并行工作，不同模型的各个滤波器的输入不是他们各自上一时刻的滤波输出，而是由实际模型条件转移概率修正后的交互值；同时，利用每个滤波器输出的残差信息以及各模型的先验信息，得到每个滤波器所对应的模型为

50 中国惯性技术学报 第17卷 当前时刻实际系统匹配模型的概率（称为模型概率），系统的状态估计是各个模型滤波器估计的概率加权融合。

基于交互式多模型的融合滤波算法可以提高组合导航系统对于客观实际系统以及外部环境变化的适应性，进而提高导航滤波估计的精度和稳定性。藏荣春等人[24]设计了一种基于IMM 的UKF 滤波算法，用来解决GPS/DR 组合导航系统中的非线性和噪声不确定等问题，相比于单个UKF 滤波方法，其具有估计精度高，模型切换速度快，适用于动态系统等优点。

Seong [25]将IMM 算法与UKF 相结合提出了一种自适应融合滤波算法，

该方法对模型不确定性、瞬时干扰噪声及初始状态误差具有鲁棒性。作者将此算法应用于INS /GPS 组合导航系统中，仿真及实验结果表明：当INS /GPS 组合导航系统惯性器件误差模型在实际环境中发生变化时，该自适应融合算法滤波精度明显优于UKF 及EKF ；同时此算法对组合导航系统初始状态统计特性没有严格要求。Rafael [26]提出了一种基于IMM 算法的EKF 滤波方法，简称IMM-EKF ，并将其用于陆地车辆组合导航系统。与EKF 及UKF 相比，IMM-EKF 算法能够有效克服EKF 及UKF 因模型不确定性而产生的滤波发散，估计精度高于EKF 及UKF 。

4.3 交互式多模型算法简介

设系统可用如下状态方程和量测方程描述：

(1)(,())()(,())()(,())()(,())

k k k k k k k k k k k k +=+???=+??x m x w m z H m x v m Φ （1）

式中，()k x 为系统状态向量，(,())k m k Φ为状态转移矩阵，()k z 是量测向量，(,())k k H m 为观测矩阵，(,())k k w m 和(,())k m k v 分别为系统噪声和测量噪声。这里，()k m 是指k 采样时刻有效的模型，所有可能的系统运动行为方式称 为系统模型集，表示为12{,,,}n m m m ="M ，在无条件约束下，模型转换过程符合一阶马尔可夫过程，从()j m k 到 (1)i m k +的转移概率{(1)/()}i j p m k m k +记为ji π，ji π由先验知识获得。模型之间的实际转移概率（即模型预测概 率）{()/(1),}k j i p m k m k z +记为|(/)j i k k μ是基于上述ji π和测量组合{}k z 的极大后验概率。模型i m 在k 时刻为 系统匹配模型的概率称为模型概率{()/}k

i p m k z ，记为()i k μ，其也是基于滤波器输出的残差信息以及各模型先验信息 ji π的极大后验概率，其中{(1),(2),,()}k z z z z k ="表示系统k 时刻的测量信息。

IMM 算法是将状态的条件均值沿模型空间做贝叶斯全概率展开，也就是在模型集覆盖系统运动模式且模型间相互独立条件下的最优估计。IMM 是一种递推算法，它假设模型的数目是有限的，算法的每一个循环包括4步：输入交互，滤波计算，模型概率更新及输出融合。

设模型之间的初始马尔可夫链状态转移矩阵为：

1112121

22212()n n ji n n n n nn ππππππππππ×??????=????????

""#

#%#" （2） 其中ji π为初始马尔可夫转移概率，且满足如下条件：

1

{(1)/()},,1,1,2,,ji i j i j n ji i p m k m k m m M j n ππ==+∈???==??∑" （3） 一般情况下，式（3）中：对于ji π，i j =时其值较大；i j ≠时其值较小。最终的融合输出结果对这些转移概率并 不十分敏感。IMM 算法最突出的优点是：通过输出残差来不断更新模型概率，使得融合输出尽可能接近，那个基于最能反映实际系统客观行为方式的模型的滤波输出。

4.3.1 输入交互

当获得测量信息后，模型条件转移概率（即模型预测概率）|()j i k μ的计算公式为：

|1(){()/(1),}()()n k j i j i ji j ji j j k p m k m k z k k μπμπ

μ==+=∑ （4）

第1期 赵琳等：组合导航系统非线性滤波算法综述 51 则基于每个模型{()},1,2,,i m k i n ="的滤波器，在1k +时刻的输入状态0?()i k x

及估计误差协方差阵0()i k P 为： 0|1??()()()n

i j j i j k k k μ==∑x x （5）

0|1()(){()n

i j i j j k k k μ==+∑P P T 00????[()()][()()]}j i j i k k k k ??x x x x （6）

0?()i k x

和0()i k P 分别表示基于模型()i m k 的滤波器经输入交互之后的状态估计及误差协方差阵。 4.3.2 滤波计算

在IMM 算法中，基于每个模型的滤波器并行工作，各个滤波器的输入由式（62）和（63）计算得到。经过滤波计算

之后，k 时刻基于模型()i m k 的滤波器的状态及协方差输出分别为?()i k x

和()i k P 。 4.3.3 模型概率更新

模型概率的计算就是假设检验过程，采用贝叶斯假设检验方法来检测基于不同模型的各个滤波器的残差。已知系统的测量信息()k z ，则k 时刻基于模型()i m k 的滤波残差矢量为：

?()()(,())(/1)i i k k k m k k k =??εz H x

（7） 残差的协方差矩阵为： (){()()}i i i k E k k Τ=S εε （8）

由KF 理论可知：如果滤波模型与实际模型完全匹配时，滤波残差为零均值方差为()k S 的高斯白噪声。因此k 时刻模型()i m k 为匹配模型的似然函数()i k Λ表达式如下：

()[(),0,()]i i i k N k k Λ==S ε121[2|()|]exp{()()()}2

i i i i k k k k πΤ?εεS S （9）

则模型概率更新方程为： 111()(1)(){()/}=()(1)

n

i ji j j k i i n n i

ji j i j k k k m k k k ΛπμμΛπμ===?=?∑∑∑P z （10） 4.3.4 输出融合

IMM 最终的状态估计输出?()k x

，是将基于各个模型{()}1,2,,i m k i n ="，的滤波状态估计?()i k x 进行加权融合 之后得到的，即为各模型的状态估计值?()i k x 和相应模型概率()i k μ的乘积： 1

??()()()n i i i k k k μ==∑x

x （11） 同时IMM 状态估计误差协方差矩阵()k P 为：

1()(){()n

i i i k k k μ==+∑P P T ????[()()][()()]}i i k k k k ??x

x x x （12）

5 展望与结论

近期所出现的MPF 、PF 及UKF 等非线性滤波方法以及交互式多模型算法，在处理组合导航系统中非线性滤波问题及克服模型不确定等方面，都有各自独到的优势。目前虽然它们在组合导航系统应用方面取得了一定的理论成果，但尚有以下几方面内容值得关注：

1）目前，非线性滤波算法本身在理论上并不十分成熟，当将其应用于组合导航系统中时，无法从理论上对这些滤波算法进行性能分析，从而使得这些算法在实际应用中的稳定性无法得到保证。以PF 及UKF 为例进行说明。

对于PF，其仍有大量的理论问题亟待解决，主要体现在：①重要性函数的选择直接影响PF的性能高低，开展PF重要性函数选择的通用准则研究极具意义；同时，目前针对许多实际问题，如机动目标跟踪、计算机视觉以及状态检测与故障诊断等，出现了许多选择重要性函数的改进算法，但应用于组合导航系统中的重要性函数选择方法较少，有待进一步理论分析。②经典的重采样方法虽能有效克服粒子匮乏，但计算量随粒子数增加而成级数递增，系统实时性变差，如何解决粒子滤波在组合导航系统中的可实现性成为主要问题。③目前还没有任何数学理论对PF在何种条件能够收敛的问题做出回答，因此评价和分析PF在组合导航系统应用中的性能也就变得十分困难。

对于UT变换及UKF，目前虽然可以得到UT变换的精度证明，但UKF算法尚不能像EKF那样给出稳定性分析，影响了其在组合导航系统中的应用。UKF的采样策略已有很多种，其要么精度低，无法精确得到非线性系统高阶项信息，对非高斯系统的滤波效果不佳，要么精度高，但计算过于复杂而实时性差，造成UKF算法在组合导航系统中实现困难，因此如何根据系统的性能要求（计算复杂度和精度要求）对采样策略进行自适应选取，成为UKF算法研究的方向。

2）探讨IMM算法模型集的设计方法。IMM算法应用于组合导航系统时，为了获得最佳的导航信息滤波效果，必须使用一个尽可能完全覆盖实际系统全部运动状态的模型集。然而，增加模型集中的模型数量不仅会增加计算复杂度，而且不一定能改善滤波性能。这是因为过于细化的模式空间可能会破坏贝叶斯推理的完备性和模型间的独立性，来自过多模型的不必要竞争，反而会造成算法性能下降。因此，模型集的设计将直接影响IMM算法输出的估计精度，成为IMM算法应用的关键问题之一。以组合导航系统作为研究背景，探讨IMM算法非线性模型集的设计方法，也将是未来研究的热点和难点。

3）EKF是解决非线性系统滤波问题的常用方法，MPF、PF及UKF是近期发展起来的一些新型非线性滤波方法，它们各自都有优缺点；交互式多模型算法是解决变结构或参数不确定系统状态估计问题的有效方法，它被认为是性能与计算量最为理想的方法而得到广泛应用。在系统强非线性及系统噪声和观测噪声特性等不确定新的情况下，IMM滤波效果明显优于单独使用的各种非线性滤波器。将IMM与EKF、MPF、PF及UKF等有机的结合起来，设计出以交互式多模型性为基础的各种自适应滤波算法，为解决组合导航中非线性系统动态滤波问题及克服其模型不确定提出了新的思路与方法。

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几种非线性滤波算法的研究-内附程序

2017 年秋季学期研究生课程考核 （读书报告、研究报告） 考核科目:雷达系统导论 学生所在（系）:电子与信息工程学院 学生所在学科:电子与同学工程 学生姓名: 学号: 学生类别: 考核结果阅卷人 第 1 页（共页）

几种非线性滤波算法的介绍与性能分析 作者姓名：学号： 专业院系：电信学院电子工程系 电子邮件： 摘要—非线性滤波算法在雷达目标跟踪中有着重要的应用，对雷达的跟踪性能有着至关重要的影响。好的滤波算法有利于目标航迹的建立及保持，能够得到较精确的目标位置，为发现目标后的后续工作提供可靠的数据依据。本文重点介绍了雷达数据处理中的几种非线性滤波算法：扩展卡尔曼滤波（EKF）、不敏卡尔曼滤波（UKF）、粒子滤波（PF），并且给出了一个利用这三种算法进行数据处理的一个实例，通过这个实例对比分析了这三种算法的性能以及优劣。 关键字—非线性滤波算法；扩展卡尔曼滤波；不敏卡尔曼滤波；粒子滤波； I.概述（一级表题格式） 在雷达对目标进行跟踪前要先对目标进行检测。对于满足检测条件的目标就需要进行跟踪，在跟踪的过程中可以利用新获得的数据完成对目标的进一步检测比如去除虚假目标等，同时利用跟踪获得数据可以进一步完成对目标动态特性的检测和识别。因此对目标进行准确的跟踪是雷达性能的一个重要指标。在检测到满足条件的目标后，根据目标运动状态建立目标运动模型，然后对目标跟踪算法进行设计，这是雷达目标跟踪中的核心部分。 目前主要的跟踪算法包括线性自回归滤波，两点外推滤波、维纳滤波、- αβ滤波、加权最小二乘滤波、维纳滤波和卡尔曼滤波[1]。对于线性系统而言最优滤波的方法就是卡尔曼滤波，卡尔曼滤波是线性高斯模型下的最优状态估计算法。但是实际问题中目标的运动模型往往不是线性的，因此卡尔曼滤波具有很大的局限性。目前主要用的非线性滤波算法可以分为高斯滤波和粒子滤波[2]。不敏卡尔曼滤波和扩展卡尔曼滤波就是高斯滤波中的典型代表，也是应用相对较为广泛的。粒子滤波的应用范围比高斯滤波的适用范围要广，对于系统状态非线性，观测模型非高斯等问题都有很好的适用性。本文具体分析阐述了扩展卡尔曼滤波算法，不敏卡尔曼滤波算法，粒子滤波算法，并且通过一个实例利用仿真的方法分析了这三种算法在滤波性能上的优劣，最后对这三种算法做了一定的总结。 我本科毕业设计题目为《基于历史数据的路径生成算法研究》，由于我是跨专业保研到电信学院，该课题所研究内容不属于雷达系统研究范围，是一种城市路网最快路径生成算法。 II.几种非线性滤波算法 A.扩展卡尔曼滤波 扩展卡尔曼滤波是将非线性系统转换为近似的线性系统的一种方法，其核心思想是围绕滤波值将非线性函数展开成泰勒级数并略去二阶及以上的项，得到一个近似的线性化模型，然后应用卡尔曼滤波完成状态估计。 扩展卡尔曼滤波状态空间模型： k k k w x f+ = + ) ( x 1 状态方程 k k k v x h+ =) ( z观测方程 其中(.) f和(.) h为非线性函数 在扩展卡尔曼滤波中，状态的预测以及观测值的预测由非线性函数计算得出，线性卡尔曼滤波中的状态转移矩阵A阵和观测矩阵H阵由f和h函数的雅克比矩阵代替。 对 (.) f和(.) h Taylor展开，只保留一次项有： ) ? ( ) ?( ) ( k k k k k x x A x f x f- + ≈ ) ? ( ) ?( ) ( k k k k k x x H x h x h- + ≈ 其中： k k x x k k dx df A ?= =为f对 1- k x求导的雅克比矩阵 k k x x k k dx dh H ?= =为h对 1- k x求导的雅克比矩阵 ) ?( ? 1-k k x f x=，于是可以得出： k k k k k k k w x A x f x A x+ - + ≈ + ) ? ) ?( ( 1 k k k k k k k v x H x h x H z+ - + ≈ + ) ? ) ?( ( 1 通过以上变换，将非线性问题线性化。接下来EKF 滤波过程同线性卡尔曼滤波相同，公式如下: )) | (?( ) |1 ( X?k k X f k k= + ) ( ) ( ) | ( ) ( ) |1 (P k Q k k k P k k k+ Φ' Φ = + )1 ( )1 ( ) |1 ( )1 ( )1 (S+ + + ' + + = +k R k H k k P k H k )1 ( )1 ( ) |1 ( )1 ( K1+ + ' + = +-k S k H k k P k

常用的8种数字滤波算法

常用的8种数字滤波算法 摘要：分析了采用数字滤波消除随机干扰的优点，详细论述了微机控制系统中常用的8种数字滤波算法，并讨论了各种数字滤波算法的适用范围。 关键词：数字滤波；控制系统；随机干扰；数字滤波算法 1 引言 在微机控制系统的模拟输入信号中，一般均含有各种噪声和干扰，他们来自被测信号源本身、传感器、外界干扰等。为了进行准确测量和控制，必须消除被测信号中的噪声和干扰。噪声有2大类：一类为周期性的，其典型代表为50 Hz 的工频干扰，对于这类信号，采用积分时间等于20 ms整倍数的双积分A/D转换器，可有效地消除其影响；另一类为非周期的不规则随机信号，对于随机干扰，可以用数字滤波方法予以削弱或滤除。所谓数字滤波，就是通过一定的计算或判断程序减少干扰信号在有用信号中的比重，因此他实际上是一个程序滤波。 数字滤波器克服了模拟滤波器的许多不足，他与模拟滤波器相比有以下优点： (1)数字滤波器是用软件实现的，不需要增加硬设备，因而可靠性高、稳定性好，不存在阻抗匹配问题。 (2)模拟滤波器通常是各通道专用，而数字滤波器则可多通道共享，从而降低了成本。 (3)数字滤波器可以对频率很低(如0.01 Hz)的信号进行滤波，而模拟滤波器由于受电容容量的限制，频率不可能太低。 (4)数字滤波器可以根据信号的不同，采用不同的滤波方法或滤波参数，具有灵活、方便、功能强的特点。 2 常用数字滤波算法 数字滤波器是将一组输入数字序列进行一定的运算而转换成另一组输出数字序列的装置。设数字滤波器的输入为X(n)，输出为Y(n)，则输入序列和输出序列之间的关系可用差分方程式表示为： 其中：输入信号X(n)可以是模拟信号经采样和A/D变换后得到的数字序列，也

组合结构文献综述

钢-混凝土组合结构设计 题目：组合梁与现浇结构中钢筋混凝土梁分析对比 学校：辽宁工业大学 院（系）：土木建筑工程学院 学号：100501061 学生姓名：柴高炯 指导老师：田傲霜

摘要：为了分析对比组合梁与钢筋混凝土梁在设计计算上的异同，本文将从四个方面论述，分别为：受弯承载力、受剪承载力、弯剪相关性以及裂缝和挠度计算。每一方面又在设计理论、基本假定、判别条件、计算公式和应力应变图进行分析比较。 关键词：组合梁、钢筋混凝土梁、受弯承载力、受剪承载力、弯剪相关性、裂缝计算和挠度计算 1.受弯承载力 在设计理论上，组合梁和现浇结构中钢筋混凝土梁都可视为T形截面梁。但是对于组合梁是通过连接件达到与混凝土板的有效连接，连接件用以抵抗钢梁和混凝土板之间的相对滑移，使它们的弯曲变形协调，则在弯矩作用下的截面的应变接近平截面假定，这样，混凝土板和钢梁之间就构成了一个具有公共中和轴的组合截面；对于现浇结构中的钢筋混凝土梁，由于是通过一次性整体现浇而成，钢筋混凝土板和梁之间天然连接，协同受力。 在基本假定上，共同的假定有：1）截面应保持不变；2）不考虑混凝土的抗拉强度；3）混凝土受压的应力与应变关系曲线按下列规定取用：当时（上升段） 当时（水平段） 式中，参数、和的取值如下，为混凝土立方体抗压强度标准值。 对于钢筋混凝土梁有另外两条假定，分别是：纵向受拉钢筋的极限拉应变取为0.01；纵向钢筋的应力取钢筋应变与其弹性模量的乘积，但其值应符合下列要求：。对于组合梁对应的为钢梁的要求。 与钢筋混凝土梁相比，组合梁按照结算方法不同仍有不同的假定，在弹性受弯承载力计算时的基本假定还有：1)在正弯矩作用下,不考虑混凝土板中的钢筋作用；2）中间支座两侧负弯矩区混凝土板受拉开裂区段的长度，各为该跨的0.15

卡尔曼滤波算法与matlab实现

一个应用实例详解卡尔曼滤波及其算法实现 标签：算法filtermatlabalgorithm优化工作 2012-05-14 10:48 75511人阅读评论(25) 收藏举报分类： 数据结构及其算法（4） 为了可以更加容易的理解卡尔曼滤波器，这里会应用形象的描述方法来讲解，而不是像大多数参考书那样罗列一大堆的数学公式和数学符号。但是，他的5条公式是其核心内容。结合现代的计算机，其实卡尔曼的程序相当的简单，只要你理解了他的那5条公式。 在介绍他的5条公式之前，先让我们来根据下面的例子一步一步的探索。 假设我们要研究的对象是一个房间的温度。根据你的经验判断，这个房间的温度是恒定的，也就是下一分钟的温度等于现在这一分钟的温度（假设我们用一分钟来做时间单位）。假设你对你的经验不是100%的相信，可能会有上下偏差几度。 我们把这些偏差看成是高斯白噪声（White Gaussian Noise），也就是这些偏差跟前后时间是没有关系的而且符合高斯分配（Gaussian Distribution）。另外，我们在房间里放一个温度计，但是这个温度计也不准确的，测量值会比实际值偏差。我们也把这些偏差看成是高斯白噪声。 好了，现在对于某一分钟我们有两个有关于该房间的温度值：你根据经验的预测值（系统的预测值）和温度计的值（测量值）。下面我们要用这两个值结合他们各自的噪声来估算出房间的实际温度值。 假如我们要估算k时刻的是实际温度值。首先你要根据k-1时刻的温度值，来预测k时刻的温度。因为你相信温度是恒定的，所以你会得到k时刻的温度预测值是跟k-1时刻一样的，假设是23度，同时该值的高斯噪声的偏差是5度（5是这样得到的：如果k-1时刻估算出的最优温度值的偏差是3，你对自己预测的不确定度是4度，他们平方相加再开方，就是5）。然后，你从温度计那里得到了k时刻的温度值，假设是25度，同时该值的偏差是4度。 由于我们用于估算k时刻的实际温度有两个温度值，分别是23 度和25度。究竟实际温度是多少呢？相信自己还是相信温度计呢？究竟相信谁多一点，我们可以用他们的covariance（协方差）来判断。因为Kg^2=5^2/(5^2+4^2)，所以Kg=0.78，我们可以估算出k时刻的实际温度值是：23+0.78*(25-23)=24.56度。 可以看出，因为温度计的covariance比较小（比较相信温度计），所以估算出的最优温度值偏向温度计的值。 现在我们已经得到k时刻的最优温度值了，下一步就是要进入k+1时刻，进行新的最优估算。到现在为止，好像还没看到什么自回归的东西出现。对了，在进入k+1时刻之前，我们还要算出k时刻那个最优值（24.56 度）的偏差。算法如下：((1-Kg)*5^2)^0.5=2.35。这里的5就是上面的k时刻你预测的那个23度

10种常用滤波方法

1、限幅滤波法(又称程序判断滤波法) A、方法: 根据经验判断,确定两次采样允许的最大偏差值(设为A) 每次检测到新值时判断: 如果本次值与上次值之差<=A,则本次值有效 如果本次值与上次值之差>A,则本次值无效,放弃本次值,用上次值代替本次值B、优点: 能有效克服因偶然因素引起的脉冲干扰 C、缺点 无法抑制那种周期性的干扰 平滑度差 2、中位值滤波法 A、方法: 连续采样N次(N取奇数) 把N次采样值按大小排列 取中间值为本次有效值 B、优点: 能有效克服因偶然因素引起的波动干扰 对温度、液位的变化缓慢的被测参数有良好的滤波效果 C、缺点: 对流量、速度等快速变化的参数不宜 3、算术平均滤波法 A、方法: 连续取N个采样值进行算术平均运算 N值较大时:信号平滑度较高,但灵敏度较低 N值较小时:信号平滑度较低,但灵敏度较高 N值的选取:一般流量,N=12;压力:N=4 B、优点: 适用于对一般具有随机干扰的信号进行滤波 这样信号的特点是有一个平均值,信号在某一数值范围附近上下波动 C、缺点: 对于测量速度较慢或要求数据计算速度较快的实时控制不适用 比较浪费RAM 4、递推平均滤波法(又称滑动平均滤波法) A、方法: 把连续取N个采样值看成一个队列 队列的长度固定为N 每次采样到一个新数据放入队尾,并扔掉原来队首的一次数据.(先进先出原则) 把队列中的N个数据进行算术平均运算,就可获得新的滤波结果 N值的选取:流量,N=12;压力:N=4;液面,N=4~12;温度,N=1~4 B、优点:

对周期性干扰有良好的抑制作用,平滑度高 适用于高频振荡的系统 C、缺点: 灵敏度低 对偶然出现的脉冲性干扰的抑制作用较差 不易消除由于脉冲干扰所引起的采样值偏差 不适用于脉冲干扰比较严重的场合 比较浪费RAM 5、中位值平均滤波法(又称防脉冲干扰平均滤波法) A、方法: 相当于“中位值滤波法”+“算术平均滤波法” 连续采样N个数据,去掉一个最大值和一个最小值 然后计算N-2个数据的算术平均值 N值的选取:3~14 B、优点: 融合了两种滤波法的优点 对于偶然出现的脉冲性干扰,可消除由于脉冲干扰所引起的采样值偏差C、缺点: 测量速度较慢,和算术平均滤波法一样 比较浪费RAM 6、限幅平均滤波法 A、方法: 相当于“限幅滤波法”+“递推平均滤波法” 每次采样到的新数据先进行限幅处理, 再送入队列进行递推平均滤波处理 B、优点: 融合了两种滤波法的优点 对于偶然出现的脉冲性干扰,可消除由于脉冲干扰所引起的采样值偏差C、缺点: 比较浪费RAM 7、一阶滞后滤波法 A、方法: 取a=0~1 本次滤波结果=(1-a)*本次采样值+a*上次滤波结果 B、优点: 对周期性干扰具有良好的抑制作用 适用于波动频率较高的场合 C、缺点: 相位滞后,灵敏度低 滞后程度取决于a值大小

机组组合问题的优化方法综述2

机组组合问题的优化方法综述 陈皓勇　王锡凡 (西安交通大学电力工程系　710049　西安) 1998205215收稿。 国家教委博士点基金资助项目。 (上接本刊1999年第4期第56页) 5　拉格朗日松弛法 电力系统是一个非常典型的大系统,是大系统优化和控制理论的一个重要应用领域[42]。大系统的分解协调思想最早见于D an tzig 和W o lfe 对于线性规划问题的分解[43],而用于机组组合问题的主要是拉格朗日松弛(L agrangian relaxati on )法[44～47],该方法产生于70年代,是解决复杂整数和组合优化问题的一类优化算法,它建立在下述思想的基础上:许多困难的整数规划问题可看成是由一些边界约束条件联系在一起的一系列相对容易的子问题组成,利用这个特点,把约束条件被破坏的量和它们各自的对偶变量的乘积加在目标函数上作为惩罚项,形成拉格朗日问题。拉格朗日问题相对容易解决,对于最大(小)化问题,它的优化值是原问题优化值的上(下)界,因此在分支定界法中,它能够取代线性规划法以提供下界。 下面以最大化问题为例来说明这种方法: Z =m ax X {c T X AX ≤b , D X ≤e ,X ≥0且是整数向量} 其中　X 是n 维向量;b ,c ,e 分别为m 维、n 维、k 维向 量;A ,D 分别为m ×n ,k ×n 的矩阵。 假设问题的约束条件可以分为两组,即AX ≤b 和D X ≤e ,并且如果去掉约束AX ≤b ,问题会变得相对容易解决。因此可以构造拉格朗日问题: Z D (u )=m ax X {c T X +u T (b -AX ) D X ≤e , X ≥0且是整数向量} 对偶变量u 的值应该通过解对偶问题Z D =m in u {Z D (u ) u ≥0}来得到。由于Z D (u )对u 是不可 微的,通常用次梯度法来求解,从初始点u 0开始,应用公式u k +1=m ax{0,u k -t k (b -AX k )}迭代求解。其中t k 是标量步长,X k 是第k 步拉格朗日问题的优化解。 拉格朗日松弛法在机组组合问题中应用时,把 所有的约束分成两类,一类是全系统的约束,即文章第1部分模型中的P (X ),一类是可以按单台机组分解的约束,如模型中的R (X ,Z ),M (X ,Z ),U (Z ),P (X )可以写成惩罚项的形式,加入目标函数,形成拉格朗日函数,拉格朗日函数可按单台机组分解成一系列的子问题,子问题一般用动态规划法求解,对偶问题一般用次梯度法[48]求解。 拉格朗日松弛法在机组组合问题中的应用研究始于70年代,80年代逐渐推广,90年代成为主流,有大量的理论和应用成果。早期的应用多结合分支定界法,但在后来的应用中发现分支定界的框架是可以完全抛弃的,直接解对偶问题并结合一些启发式的调整策略即能得出原问题的最优解或次优解。在后来的研究中发现,为解决由于线性费用函数造成的解的振荡问题,需要在目标函数中加入二次惩罚项,采用辅助问题原理(aux iliary p rob lem p rinci p le )和增广拉格朗日法(augm en ted L agrangian )来解决 [49～51] 。文献[52,53]以分支定界法为框架,应用对偶方法求分支定界树各节点的下界,使用近似罚函数法,不但能解对偶问题,而且能为构造原问题的近似优化解提供有用的信息。文献[53]论证了对偶间隙(duality gap ,即原问题的优化值和对偶问题优化值之间的差值)相对值随着机组数增加而减少。由于对偶法提供了主问题紧的下界和构造优化可行解的有用信息,只需检查一个节点,甚至可以完全放弃分支定界框架。随着机组数增加,计算量线性增长。文献[54]直接应用拉格朗日松弛法求解机组组合和水火电负荷经济分配的问题,用次梯度法优化拉格朗日乘子,用动态规划法求解单台热力机组的开停机问题,用罚函数法求解凸水电优化控制问题,用文献[52,53]的方法从对偶问题的解构造原问题的可行解。 文献[55]提出的方法,不用分支定界的框架,而是直接从对偶问题的解构造原问题的解。该方法利用了电力系统的如下特点:若所有投入运行的机组能满足系统的旋转备用要求,则系统的功率一定能够平衡。因此使用特殊的算法来选择拉格朗日乘子,保证在迭代的过程中旋转备用能够满足要求。文献[56]使用拉格朗日松弛法进行分解,用连续逼近 1 51999年3月 电　力　系　统　自　动　化 A utom ati on of E lectric Pow er System s 第23卷　第5期

非线性滤波算法

SINS/CNS组合导航技术 众所周知，SINS和CNS具有很强的互补性。将CNS与SINS组合，构成SINS／CNS自主组合导航系统，既能有效弥补SINS误差随时间积累的缺陷，又能弥补CNS平台结构设计难度大、结构复杂、成本高的缺陷。显然，SINS/CNS 自主组合系统兼备了SINS、CNS两者的优点，相互取长补短，不但抗干扰能力强、而且自主性能好，定位精度高，非常适合飞机对导航系统性能的要求。SINS/CNS组合导航的技术难点 1. 需要设计一套具有实时性和可行性的SINS/CNS自主组合导航系统方案，具体化各子传感器技术指标，使得各子传感器指标可考核；各传感器信息既互相兼容、互补和辅助，又能有效地进行信息交换。 2. 在某些特定情况下，系统的线性化数学模型的确能够反映出实际系统或过程的实际性能和特点。但是，任何实际系统总是存在不同程度的非线性，其中有些系统可以近似看成线性系统，而大多系统则不能仅用线性数学模型来描述，存在于这些系统中的非线性因素不能忽略。 3.SINS/CNS组合导航系统利用CNS输出的位置信息对SINS进行修正，能够克服SINS导航误差随时间积累的缺点，提高导航系统的定位精度。然而，由于CNS导航系统星图匹配及定位时需要耗用的不等的匹配计算时间，导航数据输出存在时延现象，导致其输出的位置及航向信息具有滞后效应，这将严重影响组合导航的解算精度。 本项目为了贴近实际工程系统，建立的自主组合导航系统模型为非线性数学模型。显然，卡尔曼滤波不能满足项目需求，必须建立与之相适应的非线性滤波系统。 扩展卡尔曼滤波(Extended KalmanFilter，EKF)在组合导航系统非线性滤波中得到了广泛应用，但它仍然具有理论局限性，具体表现在：(1)当系统非线性度较严重时，忽略Taylor展开式的高阶项将引起线性化误差增大，导致EKF的滤波误差增大甚至发散；(2)雅可比矩阵的求取复杂、计算量大，在实际应用中很难实施，有时甚至很难得到非线性函数的雅可比矩阵；(3)EKF将状态方程中的模型误差作为过程噪声来处理，且假设为高斯白噪声，这与组合导航系统的实际噪声情况并不相符；同时，EKF是以KF为基础推导得到的，其对系统初始状态的统计特性要求严格。因此EKF关于系统模型不确定性的鲁棒性很差。 模型预测滤波器(Models Predictive Filter，MPF)是基于最小模型误差(Minimum Model Error，MME)准则对系统状态进行估计，模型误差在估计过程中被确定并用于修正系统的动态模型。这种滤波器能够有效地解决存在显著动态模型误差情况下的非线性系统状态估计问题。EKF将模型误差作为过程白噪声

基于Matlab的常用滤波算法研究(含代码)讲解

毕业设计(论文) UNDERGRADUATE PROJECT (THESIS) 题目: 冲击测试常用滤波算法研究 学院 专业 学号 学生姓名 指导教师 起讫日期

目录 摘要 (2) ABSTRACT (3) 第一章绪论 (4) 1.1课题背景 (4) 1.2国内外相关领域的研究 (4) 1.3主要研究内容与创新 (5) 1.3.1研究内容与意义 (5) 1.3.2课题的创新点 (5) 1.3.3 研究目的与技术指标 (6) 第二章数字滤波基础 (7) 2.1数字滤波算法概念 (7) 2.2数据采样与频谱分析原理 (8) 2.2.1 时域抽样定理 (8) 2.2.2 离散傅立叶变换(DFT) (8) 2.2.3 快速傅立叶变换(FFT) (9) 2.2.4 频谱分析原理 (9) 2.3常用数字滤波算法基础 (10) 2.3.1常用数字滤波算法分类 (10) 2.3.2常用数字滤波算法特点 (11) 2.3.3常用滤波算法相关原理 (13) 2.4 冲击测试采样数据 (16) 2.4.1噪声的特点与分类 (16) 2.4.2冲击测试采样数据特点 (17) 2.5 MATLAB简介 (17) 2.5.1 MATLAB功能简介 (18) 2.5.2 MATLAB的发展 (18) 第三章、冲击测试滤波算法设计及滤波效果分析 (20) 3.1 冲击测试采样数据的分析 (20) 3.2 滤波算法设计及效果分析 (21) 3.2.1 中位值平均法的设计 (21) 3.2.2限幅法和限速法的设计 (23) 3.2.3一阶滞后法的设计 (25) 3.2.4低通法的设计 (26) 第四章结论与展望 (34) 4.1冲击测试的滤波算法总结 (34) 4.2冲击测试的滤波算法展望 (34) 致谢 (36) 参考文献 (37) 附录：程序代码清单 (38)

排列组合21种方法

高考数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。 教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有 m种不同的方法，在 1 第2类办法中有 m种不同的方法，…，在第n类办法中有n m种不同 2 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有 m种不同的方法，做 1 第2步有 m种不同的方法，…，做第n步有n m种不同的方法，那么2 完成这件事共有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素

总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 占了这两个位置. 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有3 4A 由分步计数原理得113 434288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间， 也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也 看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能 连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4 舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种4 6 A 443

卡尔曼滤波算法总结

Kalman_Filter(float Gyro,float Accel) { Angle+=(Gyro - Q_bias) * dt; Pdot[0]=Q_angle - PP[0][1] - PP[1][0]; Pdot[1]= - PP[1][1]; Pdot[2]= - PP[1][1]; Pdot[3]=Q_gyro; PP[0][0] += Pdot[0] * dt; PP[0][1] += Pdot[1] * dt; PP[1][0] += Pdot[2] * dt; PP[1][1] += Pdot[3] * dt; Angle_err = Accel - Angle; PCt_0 = C_0 * PP[0][0]; PCt_1 = C_0 * PP[1][0]; E = R_angle + C_0 * PCt_0; K_0 = PCt_0 / E; K_1 = PCt_1 / E; t_0 = PCt_0; t_1 = C_0 * PP[0][1]; PP[0][0] -= K_0 * t_0; PP[0][1] -= K_0 * t_1; PP[1][0] -= K_1 * t_0; PP[1][1] -= K_1 * t_1; Angle += K_0 * Angle_err; Q_bias += K_1 * Angle_err; Gyro_x = Gyro - Q_bias; } 首先是卡尔曼滤波的5个方程： -=--+（1）先验估计 X k k AX k k Bu k (|1)(1|1)() -=--+（2）协方差矩阵的预测(|1)(1|1)' P k k AP k k A Q

排列组合方法归纳大全

排列组合方法归纳大全 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为

四.定序问题倍缩空位插入策略 例人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 练习题： 1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法 六.环排问题线排策略 例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 七.多排问题直排策略 例人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法 练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是

非线性滤波除噪技术综述

非线性滤波除噪技术综述 马义德张祥光 兰州大学信息科学与工程学院，兰州 730000 (Email: ydma@https://www.sodocs.net/doc/0b16216456.html, ) 【摘要】本文阐述了以中值滤波为代表的传统非线性滤波方法以及以形态滤波为代表的新型非线性滤波方法的发展现状，指明自然图像的多样性和噪声本身的复杂性是实现图像滤除噪声的难点，只有将自适应机制、自组织能力、自学习能力与传统的成熟滤波算法相结合，才能使非线性滤波算法彻底摆脱图像多样性和噪声复杂性的困扰。 【关键词】图像复原中值滤波形态滤波遗传算法模糊数学神经网络 1、引言 在不同的应用场合中，存在着不同类型的噪声影响。按噪声对信号的影响可分为加性噪声和乘性噪声两大类[1]。在计算机视觉和数字图像处理中，噪声的消除一直是人们关注的重点。在一些应用领域，例如基于计算图像导数的算子中，图像中的任何一点噪声都会导致严重的错误。噪声与要研究的对象不相关，它以无用的信息形式出现，扰乱图像的可观测信息。噪声可被译成或多或少的极值，这些极值通过加减作用于一些象素的真实灰度级上，在图像上造成黑白亮暗点干扰，极大降低了图像质量，影响图像复原、分割、特征提取、图像识别等后继工作的进行。因而对其抑制处理是图像处理中非常重要的一项工作。 在数字信号处理和数字图像处理的早期研究中，线性滤波器是噪声抑制处理的主要手段。线性滤波器简单的数学表达形式以及某些理想特性使其很容易设计和实现。然而，当信号频谱与噪声频谱混叠时或者当信号中含有非叠加性噪声时(例如由系统非线性引起的噪声或存在非高斯噪声等)，线性滤波器的处理结果就很难令人满意。在处理图像时，传统的线性滤波器在滤除噪声的同时，往往会严重模糊图像细节（如边缘等），而且不能有效滤除椒盐噪声。就是说，线性滤波器在信号与噪声彼此相关情况下不能很好工作。虽然人类视觉的确切特性目前还未完全揭示出来，但许多实验表明，人类视觉系统的第一处理级是非线性的。基于上述原因，早在1958年维纳（Wiener）就提出了非线性滤波理论。非线性滤波器在一定程度上克服了线性滤波器的这一缺点。由于它能够在滤除噪声的同时，最大限度地保持了图像信号的高频细节，使图像清晰、逼真，从而得到广泛应用和研究。目前已有很多比较经典的非线性滤波算法，如：中值滤波[2]、形态滤波[3]、层叠滤波[4]以及基于中值滤波的一些改进滤波算法等。 一般图像处理过程如图1-1图像处理链状图所示，包含以下五项不同的工作： ①图像预处理：具体又分为噪声去除、图像增强、边缘检测以及去模糊等。 ②数据简化：具体又分为图像压缩和特征提取等。 ③分割：具体包括纹理分割、颜色识别和分类等。 ④目标识别：具体包括模板匹配以及基于特征的识别等。 1

时间序列分析方法之卡尔曼滤波

第十三章 卡尔曼滤波 在本章中，我们介绍一种被称为卡尔曼滤波的十分有用的工具。卡尔曼滤波的基本思想是将动态系统表示成为一种称为状态空间表示的特殊情形。卡尔曼滤波是对系统线性投影进行序列更新的算法。除了一般的优点以外，这种算法对计算确切的有限样本预测、计算Gauss ARMA 模型的确切似然函数、估计具有时变参数的自回归模型等，都提供了重要方法。 §13.1 动态系统的状态空间表示 我们已经介绍过一些随机过程的动态表示方法，下面我们在以前的假设基础上，继续分析动态系统的表示方法。 13.1.1 继续使用的假设 假设表示时刻观测到的n 维随机向量，一类非常丰富的描述动态性的模型可以利用一些可能无法观测的被称为状态向量(state vector)的r 维向量表示，因此表示动态性的状态空间表示(state-space representation)由下列方程系统给出： 状态方程(state model) (13.1) 量测方程(observation model) (13.2) 这里，和分别是阶数为，和的参数矩阵，是的外生或者前定变量。方程(13.1)被称为状态方程(state model)，方程(13.2)被称为量测方程(observation model)，维向量和维向量都是向量白噪声，满足： (13.3) (13.4) 这里和是和阶矩阵。假设扰动项和对于所有阶滞后都是不相关的，即对所有和，有： (13.5) t x 是外生或者前定变量的假定意味着，在除了包含在121,,,y y y t t 内的信息以外，t x 没有为s t ξ和s t w ( ,2,1,0 s )提供任何新的信息。例如，t x 可以包括t y 的滞后值，也可以包括与 ξ和 w (任意 )不相关的变量。 方程系统中方程(13.1)至方程(13.5)可以表示有限观测值的序列},,,{21T y y y ，这时需要状态向量初始值1ξ。假设1ξ与t v 和t w 的任何实现都不相关：

数据处理中的几种常用数字滤波算法

数据处理中的几种常用数字滤波算法 王庆河王庆山 (济钢集团计量管理处，济南250101) (济钢集团中厚板厂，济南250101) 摘要随着数字化技术的发展，数字滤波技术成为数字化仪表和计算机在数据采集中的关键性技术，本文对常用的几种数字滤波算法的原理进行描述，并给出必要的数学模型。 关键词：数据采样噪声滤波移动滤波 一、引言 在仪表自动化工作中，经常需要对大量的数据进行处理，这些数据往往是一个时间序列或空间序列，这时常会用到数字滤波技术对数据进行预处理。数字滤波是指利用数学的方法对原始数据进行处理，去掉原始数据中掺杂的噪声数据，获得最具有代表性的数据集合。 数据采样是一种通过间接方法取得事物状态的技术如将事物的温度、压力、流量等属性通过一定的转换技术将其转换为电信号，然后再将电信号转换为数字化的数据。在多次转换中由于转换技术客观原因或主观原因造成采样数据中掺杂少量的噪声数据，影响了最终数据的准确性。 为了防止噪声对数据结果的影响，除了采用更加科学的采样技术外，我们还要采用一些必要的技术手段对原始数据进行整理、统计，数字滤波技术是最基本的处理方法，它可以剔除数据中的噪声，提高数据的代表性。 二、几种常用的数据处理方法 在实际应用中我们所用的数据滤波方法很多，在计算机应用高度普及的今天更有许多新的方法出现，如逻辑判断滤波、中值滤波、均值滤波、加权平均 2中值滤波 中值滤波是对采样序列按大小排滤波、众数滤波、一阶滞后滤波、移动滤波、复合滤波 等。 假设我们采用前端仪表采集了一组采样周期为1s的温度数据的时间序列 T0为第0s 采集的温度值，Ti为第is采集的温度值。下面介绍如何应用几种不同滤波算法来计算结果温度T。 1.程序判断滤波 当采样信号由于随机干扰、误检测或变送器不稳定引起严重失真时，可采用程序判断滤波算法，该算法的基本原理是根据生产经验，确定出相邻采样输入信号可能的最大偏差△T,若超过此偏差值，则表明该输入信号是干扰信号，应该去掉，若小于偏差值则作为此次采样值。 (1)限幅滤波 限幅滤波是把两次相邻的采集值进行相减，取其差值的绝对值△T作为比较依据，如果小于或等于△T,则取此次采样值,如果大于△T,则取前次采样值，如式(1)所示：

常用7种软件滤波

随机误差是有随机干搅引起的，其特点是在相同条件下测量同一个量时，其大小和符号做无规则变化而无法预测，但多次测量结果符合统计规律。为克服随机干搅引入的误差，硬件上可采用滤波技术，软件上可以采用软件算法实现数字滤波，其算法往往是系统测控算法的一个重要组成部分，实时性很强，采用汇编语言来编写。 采用数字滤波算法克服随机干搅引入的误差具有以下几个优点： （1）数字滤波无须硬件，只用一个计算过程，可靠性高，不存在阻抗匹配问题，尤其是数字滤波可以对 频率很高或很低的信号进行滤波，这是模拟滤波器做不到的。 （2）数字滤波是用软件算法实现的，多输入通道可用一个软件“滤波器”从而降低系统开支。 （3）只要适当改变软件滤波器的滤波程序或运行参数，就能方便地改变其滤波特性，这个对于低频、脉冲 干搅、随机噪声等特别有效。 常用的数字滤波器算法有程序判断法、中值判断法、算术平均值法、加权滤波法、滑动滤波法、低通滤波法和复合滤波法。 1．程序判断法： 程序判断法又称限副滤波法，其方法是把两次相邻的采样值相减，求出其增量（以绝对值表示）。然后与两次采样允许的最大差值△Y进行比较，△Y的大小由被测对象的具体情况而定，若小于或等于△Y，则取本次采样的值；若大于△Y，则取上次采样值作为本次采样值，即 yn - yn-1|≤△Y，则yn有效， yn -yn-1|＞△Y，则yn-1有效。 式中yn ——第n次采样的值； Yn-1——第（n-1）次采样的值； △Y——相邻两次采样值允许的最大偏差。 设R1和R2为内部RAM单元，分别存放yn-1和yn，滤波值也存放在R2单元，采用MCS-51单片机指令编写的程序判断法子程序如下：付表 2．中值滤波法即对某一参数连续采样N次（一般N为奇数），然后把N次采样值按从小到大排队，再取中间值作为本次采样值。

排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)

教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.

先排末位共有 然后排首位共有 最后排其它位置共有 由分步计数原理得 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进 行自排。由分步计数原理可得共有种不同的排法 要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列. 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有种，第二步将4舞蹈插入

几种卡尔曼滤波算法理论

自适应卡尔曼滤波 卡尔曼滤波发散的原因 如果卡尔曼滤波是稳定的，随着滤波的推进，卡尔曼滤波估计的精度应该越来越高，滤波误差方差阵也应趋于稳定值或有界值。但在实际应用中，随着量测值数目的增加，由于估计误差的均值和估计误差协方差可能越来越大，使滤波逐渐失去准确估计的作用，这种现象称为卡尔曼滤波发散。 引起滤波器发散的主要原因有两点： （1）描述系统动力学特性的数学模型和噪声估计模型不准确，不能直接真实地反映物理过程，使得模型与获得的量测值不匹配而导致滤波发散。这种由于模型建立过于粗糙或失真所引起的发散称为滤波发散。 （2）由于卡尔曼滤波是递推过程，随着滤波步数的增加，舍入误差将逐渐积累。如果计算机字长不够长，这种积累误差很有可能使估计误差方差阵失去非负定性甚至失去对称性，使滤波增益矩阵逐渐失去合适的加权作用而导致发散。这种由于计算舍入误差所引起的发散称为计算发散。 针对上述卡尔曼滤波发散的原因，目前已经出现了几种有效抑制滤波发散的方法，常用的有衰减记忆滤波、限定记忆滤波、扩充状态滤波、有限下界滤波、平方根滤波、和自适应滤波等。这些方法本质上都是以牺牲滤波器的最优性为代价来抑制滤波发散，也就是说，多数都是次优滤波方法。 自适应滤波 在很多实际系统中，系统过程噪声方差矩阵Q和量测误差方差阵R事先是不知道的，有时甚至连状态转移矩阵 或量测矩阵H也不能确切建立。如果所建立的模型与实际模型不符可能回引起滤波发散。自适应滤波就是这样一种具有抑制滤波发散作用的滤波方法。在滤波过程中，自适应滤波一方面利用量测值修正预测值，同时也对未知的或不确切的系统模型参数和噪声统计参数进行估计修正。自适应滤波的方法很多，包括贝叶斯法、极大似然法、相关法与协方差匹配法，其中最基本也是最重要的是相关法，而相关法可分为输出相关法和新息相关法。 在这里只讨论系统模型参数已知，而噪声统计参数Q和R未知情况下的自适应滤波。由于Q和R等参数最终是通过增益矩阵K影响滤波值的，因此进行自适应滤波时，也可以不去估计Q和R等参数而直接根据量测数据调整K就可以了。